时空分数阶时滞扩散方程mild解的局部存在唯一性

The Local Existence and Uniqueness of Mild Solution for Time-Space Fractional Diffusion Equation with Delay

摘要: 本文研究了含时滞项的时空分数阶扩散方程初边值问题mild解的局部存在唯一性，其中Ω∈R^d(d∈N)为具有光滑边界∂Ω的开域₀^CD_t^α为α∈(0,1)阶Caputo型时间分数阶导数，(-Δ)^s为s∈(0,1)阶拉普拉斯算子。f:Ω×[0,T]×R²→R为局部Lipschitz连续凸函数，f(x,t,0,0)有界。ϕ∈C(R×[−r,0])，r > 0为常数，常数T > 0待定。在非线性项中含时滞项的情形下，运用算子半群理论及不动点定理，获得了该问题mild解的局部存在唯一性。

Abstract: In this paper, we study the existence and uniqueness of mild solution for time-space fractional diffusion equation with delay where Ω∈R^d(d∈N) is an open bounded domain with smooth boundary ∂Ω. ₀^CD_t^α denotes the Caputo time fractional derivative of order α∈(0,1), and (-Δ)^s is the fractional Laplacian with s∈(0,1). f:Ω×[0,T]×R²→R is a convex function satisfying local Lipschitz continuous. f(x,t,0,0) is bounded. ϕ∈C(R×[−r,0]), r > 0 is a constant. T > 0 is a constant to be deter-mined. When the nonlinear term includes time delay, the local existence and uniqueness of mild solution to the problem are obtained by using the operator semigroup theory combined with the fixed point theorem.

1. 引言

近几年来，分数阶微分方程在流体力学、材料力学、生物学、等离子体物理学、金融学、化学等许多领域中提出，分数阶扩散方程在几个应用领域非常流行 [1] [2]。当空间和时间上的整数阶导数被分数阶所代替时，引入了时空分数阶扩散方程。最近，许多学者致力于时空分数阶微分方程的研究 [3] [4] [5] [6]。特别地，Padgett在文献 [4] 中运用Banach不动点定理讨论了不含时滞项的时空分数阶扩散方程初边值问题。李强等人在文献 [5] 中利用单调迭代技巧研究了时空分数阶时滞扩散方程初边值问题mild解的存在性。受上述文献的启发，本文将文献 [4] 中的结果推广到含有时滞的情形，同时取消了文献 [5] 要求方程具有上下解的条件。本文运用算子半群理论，结合不动点定理，在Banach空间中讨论并获得了如下含有时滞项的时空分数阶扩散方程mild解的局部存在唯一性

$\{\begin{array}{l}{}_0{}^{C}D{}_t^{\alpha }u\left(x,t\right)+{\left(-\Delta \right)}^{s}u\left(x,t\right)=f\left(x,t,u\left(x,t\right),u\left(x,t+\tau \right)\right),\left(x,t\right)\in \Omega \times \left[0,T\right],\hfill \\ u=0,\left(x,t\right)\in \partial \Omega \times \left[0,T\right],\hfill \\ u\left(x,\tau \right)=\phi \left(x,\tau \right),\tau \in \left[-r,0\right],x\in \Omega ,\hfill \end{array}$ (1)

其中 $\Omega \in R^d\left(d\in N\right)$ 为具有光滑边界 $\partial \Omega$ 的开域， ${}_0{}^{C}D{}_t^{\alpha }$ 为 $\alpha \in \left(0,1\right)$ 阶Caputo型时间分数阶导数， ${\left(-\Delta \right)}^s$ 为 $s\in \left(0,1\right)$ 阶拉普拉斯算子。 $f:\Omega \times \left[0,T\right]\times R^2\to R$ 为局部Lipschitz连续凸函数， $f\left(x,t,0,0\right)$ 有界。 $\phi \in C\left(R\times \left[-r,0\right]\right),r>0$ 为常数。本文主要结果如下：

令 $u\left(t\right):=u\left(\cdot ,t\right)$ ， $u_t\left(\tau \right):=u\left(\cdot ,t+\tau \right)$ ， $\tau \in \left[-r,0\right]$ ， $f\left(t,u\left(t\right),u_t\right):=f\left(\cdot ,t,u\left(t\right),u_t\left(\tau \right)\right)$ ，则方程(1)抽象为如下时滞发展方程

$\{\begin{array}{l}{}_0{}^{C}D{}_t^{\alpha }u\left(t\right)+Au\left(t\right)=f\left(t,u\left(t\right),u_t\right),t\in \left[0,T\right],\\ u\left(t\right)=\phi \left(t\right),t\in \left[-r,0\right],\end{array}$ (2)

其中 $A:={\left(-\Delta \right)}^s$ ， $\text{Dom}\left(A\right)=H^s\left(\Omega \right)\subset E\to E$。 ${}_0{}^{C}D{}_t^{\alpha }$ 为 $\alpha \in \left(0,1\right)$ 阶Caputo时间分数阶导数。 $f:\left[0,T\right]\times E\times E_1\to E$ 满足局部Lipschitz连续， $E_1:=C\left(\left[-r,0\right],H^s\left(\Omega \right)\right)$ ， $r>0$ 为常数， $H^s\left(\Omega \right)$ 为Sobolev空间，其定义将在第2节给出， $\phi \in E_1$。

定理1.1. 设 $E=C\left(\left[-r,T\right],H^s\left(\Omega \right)\right)$ 为具有范数 $\Vert u\Vert :={\sup }_{t\in \left[-r,T\right]}{\Vert u\left(t\right)\Vert }_{H^s\left(\Omega \right)}$ 的Banach空间，则存在 $T>0$ ，使得方程(2)存在唯一mild解 $u\in E$。

由抽象结果定理1.1知，存在 $T>0$ ，使得方程 (1) 存在唯一mild解 $u\left(x,t\right)\in C\left(\Omega \times \left[0,T\right],R\right)$。

2. 预备知识

定义2.1. [7] 设 $S\left(R^d\right)$ 为Schwartz 速降函数空间，对 $\forall u\in S\left(R^d\right)$ ，定义 $s\in \left(0,1\right)$ 阶拉普拉斯算子为

${\left(-\Delta \right)}^{s}u\left(x\right)=-\frac{1}{2}{C}_{d,s}{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^d}\frac{u\left(x+y\right)+u\left(x-y\right)-2u\left(x\right)}{{\left|y\right|}^{d+2s}}\text{d}y},x\in R^d,$

其中 $C_{d,s}=\frac{s{4}^s\Gamma \left(\frac{d+2s}{2}\right)}{{\pi }^{d/2}\Gamma \left(1-s\right)}$ 为正常数。

对具有光滑边界 $\partial \Omega$ 的 $\Omega \subseteq R^d$ ， $s\in \left(0,1\right)$ 阶Sobolev空间定义为

$H^s\left(\Omega \right)=\left\{u\in L^2\left(\Omega \right):{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)-u\left(y\right)\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{d+2s}}\text{d}x\text{d}y}}<\infty \right\}.$

对 $\forall u\in H^s\left(\Omega \right)$ ，定义半范 ${|\cdot |}_{H^s\left(\Omega \right)}$ 为

${\left|u\right|}_{H^s\left(\Omega \right)}^2:={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)-u\left(y\right)\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{d+2s}}\text{d}x\text{d}y}},$

则 $H^s\left(\Omega \right)$ 为具有范数 ${\Vert \cdot \Vert }_{H^s\left(\Omega \right)}^2={\Vert \cdot \Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2+{|\cdot |}_{H^s\left(\Omega \right)}^2$ 的Hilbert空间。由于 $\Omega$ 的边界 $\partial \Omega$ 光滑，则可以通过指标为 $\theta =1-s$ 的插值空间定义上述分数阶Sobolev空间，详见文献 [7]。对 $s\in \left(0,1\right)$ ，我们有

$H^s\left(\Omega \right)={\left[H^1\left(\Omega \right),L^2\left(\Omega \right)\right]}_{\theta }.$

即 $H^s\left(\Omega \right)$ 是介于 $L^2$ 和 $H^1$ 之间的Banach空间。设 $H_0^s$ 为 $C_0^{\infty }$ 关于范数 ${\Vert \cdot \Vert }_{H^s\left(\Omega \right)}$ 的闭包，进而可以定义空间

$H_0^s\left(\Omega \right)={\left[H_0^1\left(\Omega \right),L^2\left(\Omega \right)\right]}_{\theta }.$

本文通过狄利克雷拉普拉斯算子引入分数阶拉普拉斯算子， $-\Delta :L^2\left(\Omega \right)\to L^2\left(\Omega \right)$ 是定义域为 $\text{Dom}\left(-\Delta \right)=\left\{u\in H_0^1|\Delta u\in L^2\left(\Omega \right)\right\}$ 的经典拉普拉斯算子。这是一个无界的闭算子，且有紧逆，并且存在 ${\left\{{\lambda }_n,e_n\right\}}_{n\in N}\subset R^{+}\times H_0^1\left(\Omega \right)$ ，使得 ${\left\{e_n\right\}}_{n\in N}$ 为 $L^2\left(\Omega \right)$ 的一个标准正交基，

$\{\begin{array}{l}-\Delta e_n={\lambda }_n{e}_n,x\in \Omega ,\hfill \\ e_n=0,x\in \partial \Omega .\hfill \end{array}$

于是，对 $u\in C_0^{\infty }\left(\Omega \right)$ 可定义分数阶拉普拉斯算子为

${\left(-\Delta \right)}^{s}u:={\displaystyle {\sum }_{n\in N}{u}_n{\lambda }_n^s{e}_n},$ (3)

其中 $u_n={\displaystyle {\int }_{\Omega }u{e}_n\text{d}x}$。由定义式(3)，Hilbert 空间 $H^s$ 可以表示为

$H^s:=\left\{u={\displaystyle {\sum }_{n\in N}{u}_n{e}_n}\in L^2\left(\Omega \right):{\Vert u\Vert }_{H^s\left(\Omega \right)}^2={\displaystyle {\sum }_{n\in N}{\lambda }_n^s{\left|u_n\right|}^2}<\infty \right\}.$

设 $E=C\left(\left[-r,T\right],H^s\left(\Omega \right)\right)$ 为具有范数 $\Vert u\Vert :={\sup }_{t\in \left[-r,T\right]}{\Vert u\left(t\right)\Vert }_{H^s\left(\Omega \right)}$ 的Banach空间， $\sigma \left(A\right)$ 和 $\rho \left(A\right):=C-\sigma \left(A\right)$ 分别为算子 $A:={\left(-\Delta \right)}^s$ 的谱和预解集。 $–A$ 生成如下的Feller半群 [4]

$T\left(t\right)={\text{e}}^{-tz}\left(A\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{{\Gamma }_{\theta }}{\text{e}}^{-tz}R\left(z;A\right)\text{d}z},t\in \left[0,T\right],$

其中 ${\Gamma }_{\theta }$ 为包含 $\sigma \left(A\right)$ 的任意周线， $R\left(z;A\right):={\left(zI-A\right)}^{-1}$ 为预解算子， $z\in \rho \left(A\right)$。分别定义算子簇 ${\left\{P_{\alpha }\left(t\right)\right\}}_{t\in \left[0,T\right]}$ 和 ${\left\{Q_{\alpha }\left(t\right)\right\}}_{t\in \left[0,T\right]}$ 如下：

$P_{\alpha }\left(t\right):=E_{\alpha ,1}\left(-z{t}^{\alpha }\right)\left(A\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{{\Gamma }_{\theta }}{E}_{\alpha ,1}}\left(-z{t}^{\alpha }\right)R\left(z;A\right)\text{d}z,$

$Q_{\alpha }\left(t\right):=E_{\alpha ,\alpha }\left(-z{t}^{\alpha }\right)\left(A\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{{\Gamma }_{\theta }}{E}_{\alpha ,\alpha }}\left(-z{t}^{\alpha }\right)R\left(z;A\right)\text{d}z,$

其中 $E_{\alpha ,\alpha }\left(-z{t}^{\alpha }\right)$ 为Mittag-Leffler函数，是指数函数的自然推广，单参数和双参数的Mittag-Leffler分别为

$E_{\alpha }\left(z\right)=E_{\alpha ,1}\left(z\right)=\underset{k=0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}\frac{z^k}{\Gamma \left(\alpha k+1\right)},$

$E_{\alpha ,\beta }\left(z\right)=\underset{k=0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}\frac{z^k}{\Gamma \left(\alpha k+\beta \right)},\alpha >0,\beta >0.$

引理2.2. [4] 对每个固定的 $t\in \left[0,T\right]$ ， $P_{\alpha }\left(t\right)$ 与 $Q_{\alpha }\left(t\right)$ 均为E中的闭线性算子，且

$\Vert P_{\alpha }\left(t\right)\Vert \le 1,\Vert Q_{\alpha }\left(t\right)\Vert \le \frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}.$ (4)

引理2.3. [8] 设 $\left(E,\Vert \cdot \Vert \right)$ 为Banach空间，若f为E中的Lipschitz连续函数，则存在常数 $L_1,L_2>0$ ，使得 $\forall u_1,u_2,v_1,v_2\in E$ 满足

$\Vert f\left(u_1,u_2\right)-f\left(v_1,v_2\right)\Vert \le L_1\Vert u_1-v_1\Vert +L_2\Vert u_2-v_2\Vert .$ (5)

推论2.4. 设 $\left(E,\Vert \cdot \Vert \right)$ 为Banach空间， $\theta$ 为E中的零元，设 $B_R:=\left\{u\in E|\Vert u\Vert <R,R>0\right\}$ 为E中以 $\theta$ 为中心，R为半径的闭球。f为 $B_R$ 上的局部Lipschitz连续函数且 $f\left(\theta ,\theta \right)$ 有界，则对 $\forall u\in B_R$ ，有

$\Vert f\left(u_1,u_2\right)\Vert \le L\left(\Vert u_1\Vert +\Vert u_2\Vert +1\right).$ (6)

证明：由(5)式，取 $v_1=v_2=\theta$ ，则有 $\Vert f\left(u_1,u_2\right)\Vert \le L_1\Vert u_1\Vert +L_2\Vert u_2\Vert +\Vert f\left(\theta ,\theta \right)\Vert$ ，令 $L=\max \left\{L_1,L_2,\Vert f\left(\theta ,\theta \right)\Vert \right\}$ ，则 $\Vert f\left(u_1,u_2\right)\Vert \le L\left(\Vert u_1\Vert +\Vert u_2\Vert +1\right)$。因此，推论2.4的结论成立。 □

3. 主要结果的证明

令 $u\left(t\right):=u\left(\cdot ,t\right)$ ， $u_t\left(\tau \right):=u\left(\cdot ,t+\tau \right)$ ， $\tau \in \left[-r,0\right]$ ， $f\left(t,u\left(t\right),u_t\right):=f\left(\cdot ,t,u\left(t\right),u_t\left(\tau \right)\right)$。下面讨论抽象时滞发展方程(2) mild解的局部存在唯一性

$\{\begin{array}{l}{}_0{}^{C}D{}_t^{\alpha }u\left(t\right)+Au\left(t\right)=f\left(t,u\left(t\right),u_t\right),t\in \left[0,T\right],\\ u\left(t\right)=\phi \left(t\right),t\in \left[-r,0\right],\end{array}$ (2)

其中 $A:={\left(-\Delta \right)}^s$ ， $\text{Dom}\left(A\right)=H^s\left(\Omega \right)\subset E\to E$ ； ${}_0{}^{C}D{}_t^{\alpha }u$ 为 $\alpha \in \left(0,1\right)$ 阶Caputo型分数阶导数； $f:\left[0,T\right]\times E\times E_1\to E$ Lipschitz连续； $\phi \in E_1$ ， $E_1:=C\left(\left[-r,0\right],H^s\left(\Omega \right)\right)$ ， $r>0$ 为常数。

定义 3.1. 设 $u\in E$ 为方程(2)的mild解，若满足对 $\forall t\in \left[-r,T\right]$ ， $\Vert u\left(t\right)\Vert <R$ ， $R>0$ 为实数，

$u\left(t\right)=\{\begin{array}{l}{P}_{\alpha }\left(t\right)u\left(0\right)+{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}{Q}_{\alpha }}\left(t-s\right)f\left(s,u\left(s\right),u_s\right)\text{d}s,t\in \left[0,T\right],\hfill \\ \phi \left(t\right),t\in \left[-r,0\right].\hfill \end{array}$

定理1.1的证明 考虑E的非空闭子集

$\begin{array}{l}{B}_{{\delta }_1,T}=\left\{u\left(t\right),t\in \left[0,T\right]|\Vert u\Vert \le {\delta }_1\right\},\\ B_{{\delta }_2,T}=\left\{u\left(t\right)=\phi \left(t\right),t\in \left[-r,0\right]|\Vert u\Vert \le {\delta }_2\right\},\\ B_{\delta ,T}=\left\{u\left(t\right),t\in \left[-r,T\right]|\Vert u\Vert \le \delta =\text{max}\left\{{\delta }_1,{\delta }_2\right\}\right\}.\end{array}$

其中 $0<{\delta }_1,{\delta }_2<R$ ， $R>0$ 充分大。因此 $B_{\delta ,T}$ 为具有范数 ${\Vert u\Vert }_{B_{\delta ,T}}:=\Vert u\Vert$ 的Banach空间。对 $\forall u\left(t\right)\in B_{\delta ,T}$ ，定义算子 $S:B_{\delta ,T}\to E$ 如下：

$\left(Su\right)\left(t\right)=\{\begin{array}{l}{P}_{\alpha }\left(t\right)u\left(0\right)+{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}{Q}_{\alpha }}\left(t-s\right)f\left(s,u\left(s\right),u_s\right)\text{d}s,t\in \left[0,T\right],\hfill \\ \phi \left(t\right),t\in \left[-r,0\right].\hfill \end{array}$ (7)

下面分两步来证明S在 $B_{\delta ,T}$ 中有唯一不动点，

1) 证明 $S:B_{\delta ,T}\to B_{\delta ,T}$。

考查定义式(7)，由(4)式知

${\Vert P_{\alpha }\left(t\right)u\left(0\right)\Vert }_{B_{\delta ,T}}\le \Vert P_{\alpha }\left(t\right)u\left(0\right)\Vert \le \Vert u\left(0\right)\Vert \equiv {\delta }_0\ll R,$ (8)

再由(4)式和(6)式，有

$\begin{array}{l}{\Vert {\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}{Q}_{\alpha }\left(t-s\right)f\left(s,u\left(s\right),u_s\right)\text{d}s}\Vert }_{B_{\delta ,T}}\\ \le {\displaystyle {\int }_0^t{\left|t-s\right|}^{\alpha -1}\Vert Q_{\alpha }\left(t-s\right)\Vert \Vert f\left(s,u\left(s\right),u_s\right)\Vert \text{d}s}\\ \le \frac{L\left(1+2R\right)}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}{T}^{\alpha },\end{array}$ (9)

取 $T_1={\left[\frac{\left(R-{\delta }_0\right)\Gamma \left(1+\alpha \right)}{L\left(1+2R\right)}\right]}^{\frac{1}{\alpha }}$。当 $T\in \left[0,T_1\right]$ 时，结合(8)式和(9)式，有

${\Vert \left(Su\right)\left(t\right)\Vert }_{B_{\delta ,T}}\le {\delta }_0+\frac{L\left(1+2R\right)}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}{T}^{\alpha }\le R,$

即对 $\forall t\in \left[0,T\right]$ ， $S:B_{\delta ,T}\to B_{\delta ,T}$。

2) 证明S为压缩映射。对 $\forall u,v\in E$ ，

$\left(Su\right)\left(t\right)-\left(Sv\right)\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}{Q}_{\alpha }\left(t-s\right)}\left[f\left(s,u\left(s\right),u_s\right)-f\left(s,v\left(s\right),v_s\right)\right]\text{d}s,$

则有

$\begin{array}{l}{\Vert \left(Su\right)\left(t\right)-\left(Sv\right)\left(t\right)\Vert }_{B_{\delta ,T}}\\ \le {\displaystyle {\int }_0^t{\left|\left(t-s\right)\right|}^{\alpha -1}\Vert Q_{\alpha }\left(t-s\right)\Vert \Vert f\left(s,u\left(s\right),u_s\right)-f\left(s,v\left(s\right),v_s\right)\Vert \text{d}s}\\ \le \frac{L}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}{T}^{\alpha }\left({\Vert u\left(s\right)-v\left(s\right)\Vert }_{B_{\delta ,T}}+{\Vert u_s-v_s\Vert }_{B_{\delta ,T}}\right),\end{array}$

取 $T_2:={\left[\frac{\Gamma \left(1+\alpha \right)}{L}\right]}^{\frac{1}{\alpha }}$ ， $T=\text{min}\left\{T_1,T_2\right\}$。则对 $\forall t\in \left[0,T\right]$ ，S在 $B_{\delta ,T}$ 上为压缩映射。

对 $\forall t\in \left[-r,0\right]$ ， $\left(Su\right)\left(t\right)=\phi \left(t\right)$ ，容易证明S为压缩映射。

结合以上，由Banach不动点定理知，对 $\forall t\in \left[-r,T\right]$ ，S在 $B_{\delta ,T}$ 上有唯一不动点，即方程(2)存在唯一mild解 $u\in E$。 □

由定理1.1的证明知，存在 $T=\text{min}\left\{T_1,T_2\right\}$ ，使得时空分数阶时滞扩散方程(1)存在唯一mild解 $u\left(x,t\right)\in C\left(\Omega \times \left[0,T\right],R\right)$ ，

$u\left(x,t\right)=\{\begin{array}{l}{P}_{\alpha }\left(t\right)u_0\left(x\right)+{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}{Q}_{\alpha }}\left(t-s\right)f\left(x,s,u\left(x,s\right),u_s\left(x\right)\right)\text{d}s,\left(x,t\right)\in \Omega \times \left[0,T\right],\\ \phi \left(x,t\right),t\in \left[-r,0\right],x\in \Omega .\end{array}$

4. 结论

本文研究了时空分数阶时滞扩散方程的初边值问题，是文献 [4] 中结果的推广，同时取消了文献 [5] 要求方程具有上下解的条件，该问题可以化为抽象的分数阶非线性时滞发展方程的初值问题。在假设非线性项f满足局部Lipschitz连续的条件下，运用算子半群理论及Banach不动点定理，获得了分数阶时滞发展方程mild解的局部存在唯一性，即证明了时空分数阶时滞扩散方程(1)存在唯一mild解。泛函方程理论中存在一些特殊类型的数据依赖，如Ulam-Hyers、Ulam-Hyers-rassias等，若非线性项在适当的条件下使得方程(1)存在唯一mild解，则可进一步讨论方程(1)的Mittag-Leffler稳定性，这也是未来值得研究的问题。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(12061063)；西北师范大学青年教师科研能力提升计划资助项目(NWNU-LKQN2019-3)。