阶为八倍奇素数的边本原图

Edge-Primitive Graphs of Order Eight Times an Odd Prime

摘要: 称一个图是边本原的，如果其全自同构群在其边集上的作用是本原的。通过Li的研究成果，我们可以得到包含子群的指数为四倍奇素数和八倍奇素数的本原置换群，并且将连通的非平凡边本原图分为了三种情形。本文我们考虑顶点本原和二部本原的情形，刻画阶为八倍奇素数的边本原图。

Abstract: A graph is called edge-primitive, if its automorphism group acts primitively on its edge set. Through Li’s research findings, we can obtain the primitive permutation group with a subgroup of index four times an odd prime and eight times an odd prime, and divide the connected non-trivial edge-primitive graphs into three cases. In this paper, edge-primitive graphs of order eight times an odd prime are characterized by considering the case of vertex-primitive and vertex-biprimitive.

1. 引言

本文讨论的都是有限无向、无自环和重边的图。

对于一个非空图 $\Gamma$，我们用 $V\Gamma$， $E\Gamma$， $A\Gamma$ 和 $G\le \text{Aut}\left(\Gamma \right)$ 分别表示它的顶点集、边集、弧集和全自同构群，记 $\left|V\Gamma \right|$ 和 $val\left(\Gamma \right)$ 分别为图 $\Gamma$ 的阶和度数。给定顶点 $\alpha \in V\Gamma$，与顶点 $\alpha$ 邻接的点集称为 $\alpha$ 的邻域，记为 $\Gamma \left(\alpha \right)$， $\left|\Gamma \left(\alpha \right)\right|$ 称为点 $\alpha$ 的度数。我们称顶点集的一个 $s+1$ 序列 $\left({\alpha }_0,{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s\right)$ 为 $\Gamma$ 的一条s-弧，如果任意相邻两点邻接且 ${\alpha }_{i+1}\ne {\alpha }_{i-1}$，其中 $1\le i\le s-1$。设 $G\le \text{Aut}\left(\Gamma \right)$，若G在 $V\Gamma$ 、 $E\Gamma$ 、 $A\Gamma$ 上的作用传递，则分别称 $\Gamma$ 为G-点传递图、G-边传递图和G-弧传递图。

边本原图是弧传递图 [1] 的一个特殊子类，因此其具有特殊性但不失普遍性。我们知道除了星图外边本原图都是弧传递图，因此我们称一个边本原图是非平凡的，如果它是连通的弧传递图并且它的度数至少是3。相比于弧传递图，边本原图的例子十分稀少，因此刻画边本原图是一项有意义的工作。

边本原图的研究开始于著名群论学家Weiss [2] 于1973年对3度边本原图的完全分类，其中有6阶的完全二部图、14阶的Heawood图、30阶的Tutte-Coxeter图以及102阶的Biggs-Smith图。后来学者们发现了新的边本原图，例如Hoffman-Singleton图和Higman-Sims图，一些以零散单群 $J_2,McL,Ru,Suz,F{i}_{23}$ 为自同构群的边本原图。

约30年后，Li等人重新开始对边本原图的研究工作。如M. Giudici和Li [3] 于2010年系统地分析了边本原图可能的点和边作用，并且决定了基柱为 $PSL\left(2,q\right),\left(q\ne 2,3\right)$ 的G-边本原图；Li和Zhang [4] 于2011年决定了边本原s-弧传递图的分类( $s\ge 4$ )；Feng、Li和Guo [5] [6] 于2011年分别决定了度数为4和5的边本原图；Pan和Wu [7] 于2017年刻画了6度的边本原图，并且完全分类了边稳定子群为可解的情形。此外，近几年，对边本原图的研究取得了创新性的成果。如Pan和Wu [8] [9] 于2019年完全分类阶为素数幂和二倍素数幂的边本原图；Lu [10] 于2019年刻画了2-弧传递的边本原图，证明了这类图是完全二部图或者其全自同构群是几乎单群；M. Giudici [11] 在2021年通过分类图的全自同构群为一个基柱是交错群或零散单群的几乎单群，刻画了3-弧传递的边本原图。

本文所使用的符号都是标准的。由Atlas [12]，我们有时用正整数n来表示n阶循环群 ${\mathbb{Z}}_n$。对于一个素数幂 $q=p^n$，用 $p^n$ 表示q阶的初等交换群。其他有限群符号可参考 [13]。对于两个群N和H，我们用 $N\times H$ 表示N和H的直积，用 $N\text{.}H$ 表示N被H扩张，如果这个扩张是可裂的，则记为 $N:H$。用 $\text{Aut}\left(T\right)$ 和 $\text{Out}\left(T\right)$ 分别表示为群T的全自同构群和外自同构群。用 $\mathcal{G}\left(a,b\right)$ 表示阶为a且度数为b的G-边本原图，特别地，用 $K_n$ 和 $K_{n,n}$ 分别表示n阶的完全图和2n阶的完全二部图。

本文的主要内容是刻画阶为八倍奇素数的边本原图，下面给出本文的主要结果。

定理1.1 设 $\Gamma$ 是阶为8p的G-边本原图，其中p为奇素数。如果G在 $V\Gamma$ 上本原或二部本原， $G\le \text{Aut}\left(\Gamma \right)$，则图 $\Gamma$ 是3-传递的 $K_{4p,4p}$，或者是表1所列的其中一种情形，其中 $G_v,G_e,s$ 分别是G的点稳定子群、边稳定子群和 $\Gamma$ 的s-弧传递性。

注：定理1.1的证明见下文的定理3.1，定理4.1。

本文的结构如下：在第二节，给出一些初等的结论、相关定义和引理。在第三节和第四节，分别考虑G在 $V\Gamma$ 上本原和二部本原的情形。

Table 1. Edge-primitive graphs of order 8p

表1. 阶为8p的边本原图

2. 预备知识

本节介绍一些重要的定义和引理。下面首先给出初等数论和有限群论中的小结论。

引理2.1 ( [14]，引理3.2)设q为一个素数的方幂，p是素数。若有 $\frac{q^d-1}{q-1}=2^e{p}^n$ 成立，其中 $e=1$ 或2，n为正整数，则 $d=2$。

引理2.2 ( [15]，定理8.5.3)设p和q是素数，a和b是正整数，则阶为 $p^a{q}^b$ 的群是可解群。

下面给出群在集合上拟本原、二部本原作用的定义。

定义2.3 [3] 我们称G在集合 $\Omega$ 上是拟本原的，如果G的每一个极小正规子群在 $\Omega$ 上的作用都是传递的；我们称G在 $\Omega$ 上是二部本原的，如果G在 $\Omega$ 上非本原，并且其所有的非本原不变划分都恰有两个部。

注：在上述二部本原的定义下，若G在 $\Omega$ 上是二部本原，则G在 $\Omega$ 上一定是二部拟本原。

Praeger [16] 详细分类了拟本原本原置换群，即下述引理：

引理2.4 [O’Nan Scott-Praeger定理]设G是集合 $\Omega$ 上的拟本原置换群，令 $N=Soc\left(G\right)$ 为G的基柱，T为非交换单群，给定 $v\in \Omega$。则G为以下八种类型之一：

i) 如果 $N\cong T^k$ 为G的唯一极小正规子群，其中 $k\ge 2$ 时，有六种类型：

1) 仿射型(HA)：如果 $N⊲G\le N:\text{Aut}\left(T\right)\cong {\mathbb{Z}}_p^d:GL\left(d,q\right)=AGL\left(d,q\right)$。

2) 几乎单型(AS)：如果 $N⊲G\le \text{Aut}\left(N\right)$， $N=T$。

3) 单对角型(SD)：如果N包含一个正规子群 $H\cong T^{k-1}$ 作用在 $\Omega$ 上是正则的并且 $N_v\cong T$。

4) 扭圈积型(TW)：如果N在 $\Omega$ 上的作用是正则的。

5) 乘积作用型(PA)：如果 $N_v\ne 1$，N不包含正规子群作用在 $\Omega$ 上正则。

6) 复合对角型(CD)：如果 $T_v\cong T^m$，其中 $m|k$， $\left|\Omega \right|={\left|T\right|}^{k-m}$。

ii) 如果G恰有两个极小正规子群L和M，则 $L\cong M\cong T^l$，并且有 $N\cong L\times M$ 时，有两种类型：

7) 全形单型(HS)： $l=1$，且 $G\le \left(L\times M\right).\text{Out}\left(T\right)=T^2.\text{Out}\left(T\right)$。

8) 复合全型(HC)： $l\ge 2$，且 $G\le \left(L\times M\right).\text{Out}\left(T^k\right)$。

引理2.5 ( [3] 定理1.1)设图 $\Gamma$ 是一个连通的非平凡G-边本原图。则 $\Gamma$ 是一个G-弧传递图，并且为下列情形之一：

1) $\Gamma$ 为G-顶点本原。

2) $\Gamma$ 为G-顶点二部本原。

3) $\Gamma$ 为G-边本原图 $\sum$ 的扩展(spread)，且 $\sum$ 为G-非局部本原图。

注：本文的主要研究内容是刻画上述引理情形(1)和(2)的边本原图。

引理2.6 设 $\Gamma$ 是阶为8p的G-边本原图，其中p为奇素数。如果G在 $V\Gamma$ 上本原， $G\le \text{Aut}\left(\Gamma \right)$。则G为几乎单型。

证明 令 $N=Soc\left(G\right)=T^k$ 为G的基柱。Liebeck和Praeger对本原置换群进行了分类，其被分为五类：几乎单，仿射，乘积作用，扭圈积和对角型，即属于引理2.4中的情形。下面逐一讨论：

1) 若G为HA型，则 $N\cong {\mathbb{Z}}_p^k$ 在 $V\Gamma$ 上正则，于是有 $p^k=\left|N\right|=\left|V\Gamma \right|=8p$，故 $p=2$，舍去。

2) 若G为SD型，则有 $\left|N:N_v\right|={\left|T\right|}^{k-l}$，其中T为非交换单群， $v\in V\Gamma$， $1\le l\le k$。由G在 $V\Gamma$ 上本原，则N在 $V\Gamma$ 上传递，因此有 $8p=\left|V\Gamma \right|=\left|N:N_v\right|={\left|T\right|}^{k-l}$。而由引理2.1可知T为可解群，矛盾。

3) 若G为TW型，则N在 $V\Gamma$ 上正则，则有 $8p=\left|V\Gamma \right|=\left|N\right|={\left|T\right|}^k$。而由引理2.1可知T为可解群，矛盾。

4) 若G为PA型，则 $N=T^l$，其中 $l\ge 2$，由G在 $V\Gamma$ 上本原，则N在 $V\Gamma$ 上传递，因此有 $8p=\left|V\Gamma \right|=\left|N\right|={\left|T\right|}^l$，而由引理2.1可知T为可解群，矛盾。

证毕，故G只可能为几乎单型。

下面引理给出非平凡G-边本原图存在的一个必要条件。

引理2.7 设图 $\Gamma$ 为一个非平凡G-边本原图，令 $e=\left\{u,v\right\}\in E\Gamma$。则 $\left|G_e\right|<\left|G_v\right|$ 且 $\left|G_e\right|/2$ 整除 $\left|G_v\right|$。

证明由引理2.5可知 $\Gamma$ 是连通的弧传递图，则有 $G_e=G_{uv}.{\mathbb{Z}}_2$ 并且 $\Gamma$ 的度数 $val\left(\Gamma \right)=\left|G_v:G_{uv}\right|\ge 3$。并且有 $\left|G_e\right|=2\left|G_{uv}\right|\le 2\left|G_v\right|/3<\left|G_v\right|$， $\left|G_e\right|/2=\left|G_{uv}\right|$ 整除 $\left|G_v\right|$。

Li等人在 [17] 中分类了包含子群的指数为两个素数幂的乘积的本原置换群。从而我们可读出包含子群的指数为四倍奇素数和八倍奇素数的本原置换群。可得到下述的引理：

引理2.8 设T是几乎单型的本原置换群，H是T的子群，并且满足 $n=\left|T:H\right|=4p$ 或 $8p$，其中p为奇素数。则二元组 $\left(T,H\right)$ 如表2所列。其中q为素数p的方幂， $P_1$ 和 $P_{d-1}$ 分别表示 $PS{L}_d\left(q\right)$ 作用在1维和 $d-1$ 维子空间上的点稳定子群，其中 $d\ge \text{3}$。

Table 2. Non-abelian simple groups with a subgroup of index 4p and 8p

表2. 具有子群的指数为4p和8p的非交换单群

引理2.9 [18] 若交换群G忠实且传递作用在集合 $\Omega$ 上，则G在 $\Omega$ 上正则。

引理3 [19] 设 $\Gamma$ 是一个完全图， $G\le \text{Aut}\left(\Gamma \right)$。若 $Soc\left(G\right)\cong PS{L}_d\left(q\right)$，其中 $d\ge \text{3}$，则G作用在 $\Gamma$ 上

非本原。

3. 顶点本原的情形

在本节，我们考虑G在 $V\Gamma$ 上本原，我们可以得到下面的定理：

定理3.1 设 $\Gamma$ 是8p阶的G-边本原图，其中 $G\le \text{Aut}\left(\Gamma \right)$，G在 $V\Gamma$ 上本原。则 $\Gamma =K_{8p}$，其中p为奇素数或者 $\Gamma =\mathcal{G}\left(248,5\right)$，或者 $\Gamma =\mathcal{G}\left(56,10\right)$。

证明：通过引理2.6可知G是AS型的。令 $T=Soc\left(G\right)$，由T在 $V\Gamma$ 上传递，则 $\left|T:T_v\right|=8p$， $v\in V\Gamma$。由引理2.8可知 $\left(T:T_v\right)$ 即为表2的右侧所列。由G在 $E\Gamma$ 的作用是忠实的，则G和T都可以看成 $E\Gamma$ 上的本原置换群。令 $e=\left\{u,v\right\}\in E\Gamma$，下考虑边稳定子群 $G_e$ 是否为G的极大子群。

注：下文的证明将多次用到数学工具：Magma [20]，Atlas [12]。

设 $\left(T,T_v\right)=\left(A_8,\left(A_5\times 3\right):2\right)$，由Atlas可知，此时 $T_v=\left(A_5\times 3\right):2$ 为T中阶最小的极大子群，由引理2.7，我们可得到： $\left|G_e\right|<\left|G_v\right|=\left|\left(A_5\times 3\right):2\right|\left|o\right|$，其中 $o\le \text{Out}\left(A_8\right)\cong {\mathbb{Z}}_2$，矛盾。

设 $\left(T,T_v\right)=\left(A_{17},S_{15}\right)$，则 $G\cong A_{17}.o$， $o\le \text{Out}\left(A_{17}\right)\cong {\mathbb{Z}}_2$，由Magma计算可知，G在 $V\Gamma$ 上的秩为3，非平凡次轨道的长度为30或105。故可得： $\left|G_{uv}\right|=\left|G_v\right|/val\left(\Gamma \right)=43589145600\left|o\right|$ 或 $12454041600\left|o\right|$， $\left|G_e\right|=87178291200\left|o\right|$ 或 $24908083200\left|o\right|$。由Magma计算可知，G无阶为 $\left|G_e\right|$ 的极大子群，舍去。

设 $\left(T,T_v\right)=\left(A_{8p},A_{8p-1}\right)$，则 $G\cong A_{8p}.o$， $o\le \text{Out}\left(A_{8p}\right)\cong {\mathbb{Z}}_2$。由G在 $V\Gamma$ 上是2-传递的，故此时存在边本原图 $\Gamma$ 为 $K_{8p}$，其中 $\text{Aut}\left(\Gamma \right)\cong S_{8p}$， $\text{Aut}{\left(\Gamma \right)}_v\cong S_{8p-1}$， $\text{Aut}{\left(\Gamma \right)}_e\cong S_{8p-2}\times {\mathbb{Z}}_2$ 为 $S_{8p}$ 的极大子群。

设 $\left(T,T_v\right)=\left(PS{L}_2\left(16\right),D_{30}\right)$， $\left(PS{L}_2\left(17\right),D_{18}\right)$ 或 $\left(PS{L}_2\left(31\right),A_5\right)$。由( [3]，表格1)易知仅当 $\left(T,T_v\right)=\left(PS{L}_2\left(16\right),D_{30}\right)$ 时存在边本原图，记为 $\mathcal{G}\left(248,5\right)$，并且它是2-弧传递的。

设 $\left(T,T_v\right)=\left(PS{L}_3\left(4\right),A_6\right)$，则 $G\cong PS{L}_3\left(4\right).o$， $o\le \text{Out}\left(PS{L}_3\left(4\right)\right)\cong {\mathbb{Z}}_2\times S_3$，首先考虑：(i) 当有 $G\cong PS{L}_3\left(4\right).o$， $o\le {\mathbb{Z}}_4$ 时，此时由Magma计算可知，G在 $V\Gamma$ 上的秩为3，非平凡次轨道的长度为10或45。故此时可计算得 $\left|G_{uv}\right|=\left|G_v\right|/val\left(\Gamma \right)=36\left|o\right|$ 或 $8\left|o\right|$， $\left|G_e\right|=72\left|o\right|$ 或 $16\left|o\right|$。由Atlas可知，此时G恰有阶为 $72\left|o\right|$ 的极大子群，故存在边本原图，记为 $\mathcal{G}\left(56,10\right)$。(ii) 当 $G\cong T.o$， ${\mathbb{Z}}_3\le o\le S_3\times {\mathbb{Z}}_2$ 时，G不存在指数为56的子群，舍去。

设 $\left(T,T_v\right)=PS{L}_d\left(q\right),P_1$，由引理3可知，此时不存在边本原图。

设 $\left(T,T_v\right)=\left(PS{p}_4\left(3\right),3_{+}^{1+2}:2A_4\right)$ 或 $\left(T,T_v\right)=\left(PS{p}_4\left(3\right),3^3:S_4\right)$，此时 $G\cong T.o$， $o\le \text{Out}\left(PS{p}_4\left(3\right)\right)\cong {\mathbb{Z}}_2$，若 $G_e$ 为G的极大子群，由Atlas可知，当 $\left|G_e\right|<\left|G_v\right|$ 时， $\left|G_e\right|$ 只能为 $576\left|o\right|$，而 $\left|G_v\right|=\left|3_{+}^{1+2}:2A_4\right|\left|o\right|=\left|3^3:S_4\right|\left|o\right|=648\left|o\right|$。计算可知 $\left|G_e\right|/2$ 不整除 $\left|G_v\right|$，这与引理2.7矛盾，舍去。

设 $\left(T,T_v\right)=\left(PS{p}_4\left(4\right),\left(A_5\times A_5\right):2\right)$，此时 $G\cong T.o$， $o\le \text{Out}\left(PS{p}_4\left(4\right)\right)\cong {\mathbb{Z}}_4$，由Magma计算可知，G在 $V\Gamma$ 上的秩为3，非平凡次轨道的长度为60或75，故可得： $\left|G_{uv}\right|=\left|G_v\right|/val\left(\Gamma \right)=120\left|o\right|$ 或 $96\left|o\right|$， $\left|G_e\right|=240\left|o\right|$ 或 $192\left|o\right|$。而G的极大子群阶至少为 $720\left|o\right|$，矛盾。

设 $\left(T,T_v\right)=\left(PS{U}_3\left(7\right),7^{1+2}:48\right)$，此时 $G\cong T.o$， $o\le \text{Out}\left(PS{U}_3\left(7\right)\right)\cong {\mathbb{Z}}_2$，由Magma计算可知，G在 $V\Gamma$ 上的秩为2，非平凡次轨道的长度为343，故可得： $\left|G_{uv}\right|=\left|G_v\right|/val\left(\Gamma \right)=48\left|o\right|$， $\left|G_e\right|=96\left|o\right|$。而G的极大子群阶至少为 $129\left|o\right|$，矛盾。

设 $\left(T,T_v\right)=\left(P{\Omega }_8^{-}\left(2\right),PS{p}_6\left(2\right)\right)$，此时 $G\cong T.o$， $o\le \text{Out}\left(P{\Omega }_8^{-}\left(2\right)\right)\cong {\mathbb{Z}}_2$，由Magma计算可知，G在 $V\Gamma$ 上的秩为3，非平凡次轨道的长度为63或72，故可得： $\left|G_{uv}\right|=\left|G_v\right|/val\left(\Gamma \right)=23040\left|o\right|$ 或 $20160\left|o\right|$， $\left|G_e\right|=46080\left|o\right|$ 或 $40320\left|o\right|$。而G的极大子群没有阶为 $\left|G_e\right|$ 的极大子群，矛盾。

4. 二部本原的情形

在本节，我们考虑G在 $V\Gamma$ 上二部本原，可以得到下面的定理：

定理4.1 设 $\Gamma$ 是8p阶的G-边本原图，其中 $G\le \text{Aut}\left(\Gamma \right)$，G在 $V\Gamma$ 上二部本原。则 $\Gamma =K_{4p,4p}$ 是3-传递的，其中p为奇素数。

注：定理4.1的证明见下述引理4.4~4.7。

下面给出图的标准双覆盖的一个重要结论。

引理4.2 ( [8]，引理3.1)任意图的标准双覆盖都不是边本原图。特别地， $\Gamma =K_{n,n}-n{K}_2$ 不是边本原的，其中n是正整数。

下面的定理对二部拟本原置换群的情形进行了分类。

定理4.2 ( [21]，定理1.4，定理1.5)设G是 $\Omega$ 上的二部拟本原置换群，G在 $\Omega$ 上有两部为 ${\Delta }_1,{\Delta }_2$， $\Omega ={\Delta }_1\cup {\Delta }_2$。下令 $G^{+}=G_{{\Delta }_1}=G_{{\Delta }_2}$，则 $G^{+}$ 为下列情形之一：

1) $G^{+}$ 在 ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ 上不忠实。

2) $G^{+}$ 在 ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ 上忠实：

i) $G^{+}$ 在 ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ 上拟本原。

ii) $G^{+}$ 有两个同构的极小正规子群L和M，它们在 $\Omega$ 上半正则。它们的直积 $L\times M$ 是G的极小正规子群，并且在 ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ 上传递。

假设4.3 设 $\Gamma$ 是8p阶的G-边本原图，其中 $G\le \text{Aut}\left(\Gamma \right)$，G在 $V\Gamma$ 上二部本原，其中p为奇素数。设G在 $V\Gamma$ 上二部本原，其两部为 ${\Delta }_1,{\Delta }_2$，令 $G^{+}=G_{{\Delta }_1}=G_{{\Delta }_2}$，则 $G=G^{+}.{\mathbb{Z}}_2$，并且任取 $g\in G\backslash G^{+}$，有 $G=\langle G^{+},g\rangle$。

以下引理是在上述假设成立的条件下得到的。

引理4.4 若 $G^{+}$ 在 ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ 上不忠实，则 $\Gamma$ 为3-传递的完全二部图 $K_{4p,4p}$，其中p为奇素数。

证明 令 $K_1,K_2$ 分别为 $G^{+}$ 作用在 ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ 上的核，则我们有 $K_1\cap K_2=1$。因为 $G=\langle G^{+},g\rangle$ 在 $V\Gamma$ 上传递，有 ${\Delta }_1^g={\Delta }_2,{\Delta }_2^g={\Delta }_1$。任取 $\beta \in {\Delta }_2$，有 ${\beta }^{g^{-1}}\in {\Delta }_1$，则 ${\beta }^{g^{-1}{K}_{1}g}={\left({\beta }^{{}^{g^{-1}}}\right)}^{K_{1}g}={\beta }^{g^{-1}g}=\beta$，于是 $K_1^g\subseteq K_2$ ；同理有 $K_2\subseteq K_1^g$。因此 $K_1^g=K_2$， $K_2^g=K_1$，并且 $1\ne K_1\times K_2⊲G$。因为G在 $V\Gamma$ 上二部本原，则 $K_1\times K_2$ 在 ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ 上都传递，于是 $K_1$ 在 ${\Delta }_2$ 上传递， $K_{\text{2}}$ 在 ${\Delta }_{\text{1}}$ 上传递，因此 ${\Delta }_{\text{1}}$ 中的每一个点都与 ${\Delta }_2$ 中的每个点相邻接，从而 $\Gamma =K_{4p,4p}$ 是完全二部图。

引理4.5 若 $G^{+}$ 在 ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ 上忠实，则 $G^{+}$ 在 ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ 上的作用是拟本原。

证明 设 $G^{+}$ 有两个同构的极小正规子群L和M，并且在 $V\Gamma$ 上半正则。进一步，它们的直积 $L\times M$ 是G的极小正规子群，并且在 ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ 上传递。于是有 $4p|\left|L\right|\left|M\right|={\left|M\right|}^2$，并且 $\left|L\right|=\left|M\right||2\left|{\Delta }_i\right|$，从而L和M是 $\left\{2,p\right\}$ 群，这与它们是极小正规子群矛盾。

引理4.6 ${\left(G^{+}\right)}^{{\Delta }_1}\cong {\left(G^{+}\right)}^{{\Delta }_2}$ 是忠实的几乎单型的拟本原置换群。

证明 因为 $G^{+}$ 在 ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ 上的作用是拟本原，由引理2.4可知G⁺可能为仿射型、乘积作用型或几乎单型。令 $N=Soc\left(G\right)$ 为G的基柱，下证明前两种情形是不可能的：

若 $G^{+}$ 为仿射型，则N是交换群并且在 ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ 上正则。因为N是 $G^{+}$ 的特征子群， $G^{+}⊲G$，则有 $N⊲G$。由G在 $E\Gamma$ 上本原，所以其正规子群N在 $E\Gamma$ 上传递。于是由引理2.9可知，N在 $E\Gamma$ 上正则。从而我们有 $\left|{\Delta }_1\right|=\left|{\Delta }_2\right|=\left|N\right|=\left|E\Gamma \right|=\left|{\Delta }_i\right|\cdot val\left(\Gamma \right)$，则 $val\left(\Gamma \right)=1$，矛盾。

若 $G^{+}$ 为乘积作用型，由于G在 $V\Gamma$ 上二部本原，则 $G^{+}$ 在 ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ 上是本原的，于是 $G^{+}\cong {\left(G^{+}\right)}^{{\Delta }_i}$ 在 ${\Delta }_i$ 上是乘积作用型本原置换群，从而可设 $N=Soc\left(G^{+}\right)=T^l$，其中 $l\ge 2$，因此有 $4p={\left|T:T_v\right|}^l=\left|N:N_{\alpha }\right|$，此时 $p=2$ 或 $l=1$，矛盾。

引理4.7 设 ${\left(G^{+}\right)}^{{\Delta }_1}\cong {\left(G^{+}\right)}^{{\Delta }_2}$ 是忠实的几乎单型的拟本原置换群，则 $\Gamma$ 为完全二部图 $K_{12,12}$。

证明 设 $T=Soc\left(G^{+}\right)$，其中T为非交换单群，则 $\left|T:T_v\right|=4p$，其中 $v\in {\Delta }_1$ 或 ${\Delta }_2$。由 $T⊲G$，则 $G^{+}\cap C_G\left(T\right)=C_{G^{+}}\left(T\right)=1$，进一步我们有 $C_G\left(T\right)=C_G\left(T\right)/G^{+}\cap C_G\left(T\right)\cong C_G\left(T\right)G^{+}/C_G\left(T\right)\le G/G^{+}\cong {\mathbb{Z}}_2$，从而有 $C_G\left(T\right)\cong 1$ 或者 ${\mathbb{Z}}_2$。若 $C_G\left(T\right)\cong {\mathbb{Z}}_2$，则 $G=C_G\left(T\right)\times G^{+}\cong {\mathbb{Z}}_2\times G^{+}$，则G有一个正规子群 ${\mathbb{Z}}_2$ 在 $E\Gamma$ 上不传递，这与G在 $E\Gamma$ 上本原矛盾，因此 $C_G\left(T\right)\cong 1$。于是 $G=G/C_G\left(T\right)\le \text{Aut}\left(T\right)$。故 $G\cong T.o$ 是几乎单型，其中 $Soc\left(G\right)=T$， $o\le \text{Out}\left(T\right)$。由引理2.可知， $\left(T,T_v\right)$ 如表2左侧所列。下面分两种情形讨论：

1) 如果T在 ${\Delta }_{\text{1}},{\Delta }_2$ 上2-传递。

假设 $T^{{\Delta }_{\text{1}}}$ 和 $T^{{\Delta }_2}$ 置换等价。取 $\alpha \in {\Delta }_1$，由于 $T^{{\Delta }_{\text{1}}}$ 和 $T^{{\Delta }_2}$ 置换等价，则存在 $\beta \in {\Delta }_2$ 使得 $T_{\alpha }=T_{\beta }$。若 $\alpha$ 与 $\beta$ 邻接，因为 $T⊲G$，由G的边本原性，则T在 $E\Gamma$ 上传递。从而有 $T_{\alpha }$ 在 $\Gamma \left(\alpha \right)$ 上传递。假设 $\beta \in \Gamma \left(\alpha \right)$，则 $\Gamma \left(\alpha \right)={\beta }^{T_{\alpha }}=\beta$，矛盾。于是 $\alpha$ 与 $\beta$ 不邻接。由T在 ${\Delta }_{\text{1}},{\Delta }_2$ 上 $2$ -传递， $T_{\alpha }=T_{\beta }$ 在 ${\Delta }_2\backslash \left\{\beta \right\}$ 上传递，所以 ${\Delta }_2\backslash \left\{\beta \right\}$ 中每个点都与 $\alpha$ 邻接。故此时 $\Gamma =K_{4p,4p}-4p{K}_2$。由引理3可知 $\text{Aut}\left(\Gamma \right)=S_{\text{4}p}\times {\mathbb{Z}}_2$ 有一个正规子群 ${\mathbb{Z}}_2$ 在 $E\Gamma$ 上不传递，矛盾。从而 $T^{{\Delta }_{\text{1}}}$ 和 $T^{{\Delta }_2}$ 不置换等价。因此T在 ${\Delta }_{\text{1}},{\Delta }_2$ 上至少有两个不等价的次数相等的2-传递置换表示。( [22]，定理5.3(S))中得到了2-传递置换群的完全分类，故表2左侧中满足条件的只有 $\left(T,T_v\right)=\left(M_{12},M_{11}\right)$ 或 $\left(PS{L}_d\left(q\right),P_1\right)$，其中 $d\ge 3$。

若 $\left(T,T_v\right)=\left(M_{12},M_{11}\right)$，则 $\left|V\Gamma \right|=2\left|T:T_v\right|=24$。由G是几乎单的，则 $G\cong T.{\mathbb{Z}}_2=\text{Aut}\left(M_{12}\right)$， $G^{+}\cong T=M_{12}$，并且有 $G_v\cong G_{{}^v}^{+}=M_{11}$，由Magma计算可知，此时G在 $V\Gamma$ 上的秩为3，非平凡次轨道的长度为11或12，计算可得 $\left|G_{uv}\right|=720$ 或660， $\left|G_e\right|=1440$ 或1320。而由Atlas可知 $\text{Aut}\left(M_{12}\right)$ 恰有阶为1320的极大子群。故存在24阶的边本原图为 $K_{12,12}$。

若 $\left(T,T_v\right)=\left(PS{L}_d\left(q\right),P_1\right)$，则 $\left|T:T_v\right|=\frac{q^d-1}{q-1}=4p$，由引理2.1可知， $d=2$，矛盾。

2) 如果T在 ${\Delta }_{\text{1}},{\Delta }_2$ 上非 $2$ -传递，则 $\left(T,T_v\right)=\left(A_8,S_6\right)$ 或 $\left(PS{L}_2\left(16\right),A_5\right)$。

若 $\left(T,T_v\right)=\left(A_8,S_6\right)$，则 $\left|V\Gamma \right|=2\left|T:T_v\right|=56$。由G是几乎单的，则 $G\cong T.{\mathbb{Z}}_2=S_8$， $G^{+}\cong T=A_8$，并且有 $G_v\cong G_{{}^v}^{+}=S_6$，由Magma计算可知，此时G在 $V\Gamma$ 上的秩为7，非平凡次轨道长度可能为6或30，计算得 $\left|G_{uv}\right|=120$ 或24， $\left|G_e\right|=240$ 或48。而由Magma计算可知 $S_8$ 极大子群的阶至少为336，矛盾。

若 $\left(T,T_v\right)=\left(PS{L}_2\left(16\right),A_5\right)$，由文献( [3]，表格1)易知不存在边本原图。

基金项目

云南省科技厅应用基础研究项目(2019FD116)资助。