线面积分的奇偶对称性研究

Study on Odd-Even Symmetry of Curvilinear Integral and Surface Integral

摘要: 本文主要讨论第二类线面积分的奇偶对称性，给出了详细的理论证明，并结合实际解释加深理解。最后应用第二类线面积分的对称性较简便的解决了具体例题。

Abstract: This paper mainly discusses the parity symmetry of the second kind of line and surface integrals, gives a detailed theoretical proof, and combines the substantive interpretation to deepen the un-derstanding, and finally uses the symmetry of the second kind of line and surface integrals to solve the specific example more easily.

1. 引言

目前，关于重积分和第一类线、面积分对称性的研究比较多，如文献 [1] [2] [3] [4]。但对于第二类线、面积分对称性的研究较少，郭洪之 [5]、赵艳辉 [6] 中有部分阐述，但结果不够全面且缺少理论证明和实际解释。本文详细的讨论了第二类线面积分的奇偶对称性，给出了理论证明、实际解释，并利用第二类线面积分的对称性解决了某些具体问题。

第一类线面积分的奇偶对称性比较容易理解，它与定积分和重积分的奇偶对称性一致，我们简述为如下引理1、引理2。

引理1 设函数 $f\left(x,y\right)$ 在曲线弧L上连续，对第一类曲线积分 $I_1={\displaystyle {\int }_{L}f\left(x,y\right)\text{d}s}$，以下结论成立：

1) 若L关于x轴对称，被积函数是关于y的奇函数( $f\left(x,-y\right)=-f\left(x,y\right)$ )，则 $I_1=0$ ；

2) 若L关于x轴对称，被积函数是关于y的偶函数( $f\left(x,-y\right)=f\left(x,y\right)$ )，则 $I_1=2{\displaystyle {\int }_{L_1}f\left(x,y\right)\text{d}s}$，其中 $L_1$ 是L位于x轴上方的弧段；

3) 若L关于y轴对称，被积函数是关于x的奇函数( $f\left(-x,y\right)=-f\left(x,y\right)$ )，则 $I_1=0$ ；

4) 若L关于y轴对称，被积函数是关于x的偶函数( $f\left(-x,y\right)=f\left(x,y\right)$ )，则 $I_1=2{\displaystyle {\int }_{L_1}f\left(x,y\right)\text{d}s}$，其中 $L_1$ 是L位于y轴右方的弧段。

引理2 设函数 $f\left(x,y,z\right)$ 在曲面 $\Sigma$ 上连续，对第一类曲面积分 $I_2={\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }f\left(x,y,z\right)\text{d}S}$，以下结论成立：

1) 若 $\Sigma$ 关于xOy面对称，被积函数是关于z的奇函数，即 $f\left(x,y,-z\right)=-f\left(x,y,z\right)$，则 $I_2=0$ ；

2) 若 $\Sigma$ 关于xOy面对称，被积函数是关于z的偶函数，即 $f\left(x,y,-z\right)=f\left(x,y,z\right)$，则

$I_2=2{\displaystyle \underset{{\Sigma }_1}{\iint }f\left(x,y,z\right)\text{d}S}$，其中 ${\Sigma }_1$ 是 $\Sigma$ 位于xOy面上方的曲面；

3) 若 $\Sigma$ 关于yOz面对称，被积函数是关于x的奇函数，即 $f\left(-x,y,z\right)=-f\left(x,y,z\right)$，则 $I_2=0$ ；

4) 若 $\Sigma$ 关于yOz面对称，被积函数是关于x的偶函数，即 $f\left(-x,y,z\right)=f\left(x,y,z\right)$，则

$I_2=2{\displaystyle \underset{{\Sigma }_1}{\iint }f\left(x,y,z\right)\text{d}S}$，其中 ${\Sigma }_1$ 是 $\Sigma$ 位于yOz面前侧的曲面；

5) 若 $\Sigma$ 关于xOz面对称，被积函数是关于y的奇函数，即 $f\left(x,-y,z\right)=-f\left(x,y,z\right)$，则 $I_2=0$ ；

6) 若 $\Sigma$ 关于xOz面对称，被积函数是关于y的偶函数，即 $f\left(x,-y,z\right)=f\left(x,y,z\right)$，则

$I_2=2{\displaystyle \underset{{\Sigma }_1}{\iint }f\left(x,y,z\right)\text{d}S}$，其中 ${\Sigma }_1$ 是 $\Sigma$ 位于xOz面右侧的曲面。

2. 第二类曲线积分的对称性

定理1 设函数 $P\left(x,y\right)$， $Q\left(x,y\right)$ 在曲线弧L上连续，对第二类曲线积分 $I_3={\displaystyle {\int }_{L}P\left(x,y\right)\text{d}x}$， $I_4={\displaystyle {\int }_{L}Q}\left(x,y\right)\text{d}y$，以下结论成立：

1) a) 若L关于x轴对称，被积函数 $P\left(x,y\right)$ 关于y是奇函数，即 $P\left(x,-y\right)=-P\left(x,y\right)$，则 $I_3=2{\displaystyle {\int }_{L_1}P\left(x,y\right)\text{d}x}$，其中 $L_1$ 是L位于x轴上方的弧段；

b) 若L关于x轴对称，被积函数 $P\left(x,y\right)$ 关于y是偶函数，即 $P\left(x,-y\right)=P\left(x,y\right)$，则 $I_3=0$ ；

c) 若L关于x轴对称，被积函数 $Q\left(x,y\right)$ 关于y是奇函数，即 $Q\left(x,-y\right)=-Q\left(x,y\right)$，则 $I_4=0$ ；

d) 若L关于x轴对称，被积函数 $Q\left(x,y\right)$ 关于y是偶函数，即 $Q\left(x,-y\right)=Q\left(x,y\right)$，则 $I_4=2{\displaystyle {\int }_{L_1}Q\left(x,y\right)\text{d}y}$，其中 $L_1$ 是L位于x轴上方的弧段。

2) a) 若L关于y轴对称，被积函数 $P\left(x,y\right)$ 关于x是奇函数，即 $P\left(-x,y\right)=-P\left(x,y\right)$，则 $I_3=0$ ；

b) 若L关于y轴对称，被积函数 $P\left(x,y\right)$ 关于x是偶函数，即 $P\left(x,-y\right)=P\left(x,y\right)$，则 $I_3=2{\displaystyle {\int }_{L_1}P\left(x,y\right)\text{d}x}$，其中 $L_1$ 是L位于y轴右方的弧段；

c) 若L关于y轴对称，被积函数 $Q\left(x,y\right)$ 关于x是奇函数，即 $Q\left(x,-y\right)=-Q\left(x,y\right)$，则 $I_4=2{\displaystyle {\int }_{L_1}Q\left(x,y\right)\text{d}y}$，其中 $L_1$ 是L位于y轴右方的弧段；

d) 若L关于y轴对称，被积函数 $Q\left(x,y\right)$ 关于x是偶函数，即 $Q\left(x,-y\right)=Q\left(x,y\right)$，则 $I_4=0$。

证明 1) 设曲线L关于x轴对称，如下图，其方程为 $x=\psi \left(y\right)$，对应y从 $-c$ 到c的一段，且有 $\psi \left(-y\right)=\psi \left(y\right)$，则

$I_3={\displaystyle {\int }_{L}P\left(x,y\right)\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{-c}^{0}P\left(\psi \left(y\right),y\right){\psi }^{\prime }\left(y\right)\text{d}y}+{\displaystyle {\int }_0^{c}P\left(\psi \left(y\right),y\right){\psi }^{\prime }\left(y\right)\text{d}y}$

对于 ${\tilde{I}}_3={\displaystyle {\int }_{-c}^{0}P\left(\psi \left(y\right),y\right){\psi }^{\prime }\left(y\right)\text{d}y}$，令 $y=-t$，积分可转化为

${\tilde{I}}_3={\displaystyle {\int }_c^{0}P\left(\psi \left(-t\right),-t\right){\psi }^{\prime }\left(-t\right)\left(-\text{d}t\right)}$。

按照导数的定义，有

${\psi }^{\prime }\left(-t\right)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\psi \left(-t+\Delta t\right)-\psi \left(-t\right)}{\Delta t}=-\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\psi \left(t-\Delta t\right)-\psi \left(t\right)}{-\Delta t}=-{\psi }^{\prime }(\; t\; )$

所以 ${\tilde{I}}_3=-{\displaystyle {\int }_0^{c}P\left(\psi \left(t\right),-t\right){\psi }^{\prime }\left(t\right)\text{d}t}$。

a) 如果 $P\left(x,y\right)$ 关于y是奇函数，那么 $P\left(\psi \left(t\right),-t\right)=-P\left(\psi \left(t\right),t\right)$，于是

${\tilde{I}}_3={\displaystyle {\int }_0^{c}P\left(\psi \left(t\right),t\right){\psi }^{\prime }\left(t\right)\text{d}t}$

因此 $I_3=2{\displaystyle {\int }_0^{c}P\left(\psi \left(y\right),y\right){\psi }^{\prime }\left(y\right)\text{d}y}=2{\displaystyle {\int }_{L_1}P\left(x,y\right)\text{d}x}$。

b) 如果 $P\left(x,y\right)$ 关于y是偶函数，那么 $P\left(\psi \left(t\right),-t\right)=P\left(\psi \left(t\right),t\right)$，于是

${\tilde{I}}_3=-{\displaystyle {\int }_0^{c}P\left(\psi \left(t\right),t\right){\psi }^{\prime }\left(t\right)\text{d}t}$

因此 $I_3=0$。

对于积分 $I_4$，可类似的讨论如下：

$I_4={\displaystyle {\int }_{L}Q}\left(x,y\right)\text{d}y={\displaystyle {\int }_{-c}^{0}Q\left(\psi \left(y\right),y\right)\text{d}y}+{\displaystyle {\int }_0^{c}Q\left(\psi \left(y\right),y\right)\text{d}y}$

对于 ${\tilde{I}}_4={\displaystyle {\int }_{-c}^{0}Q\left(\psi \left(y\right),y\right)\text{d}y}$，令 $y=-t$，则

${\tilde{I}}_4={\displaystyle {\int }_c^{0}Q\left(\psi \left(-t\right),-t\right)}\left(-\text{d}t\right)={\displaystyle {\int }_0^{c}Q\left(\psi \left(t\right),-t\right)\text{d}t}$

c) 如果 $Q\left(x,y\right)$ 关于y是奇函数，那么 $Q\left(\psi \left(t\right),-t\right)=-Q\left(\psi \left(t\right),t\right)$，于是

${\tilde{I}}_4=-{\displaystyle {\int }_0^{c}Q\left(\psi \left(t\right),t\right)\text{d}t}$

因此 $I_4=0$。

d) 如果 $Q\left(x,y\right)$ 关于y是偶函数，那么 $Q\left(\psi \left(t\right),-t\right)=Q\left(\psi \left(t\right),t\right)$，于是

${\tilde{I}}_4={\displaystyle {\int }_0^{c}Q\left(\psi \left(t\right),t\right)\text{d}t}$

因此 $I_4=2{\displaystyle {\int }_{L_1}Q\left(x,y\right)\text{d}y}$。

同理可证情形2成立。

几何解释：1) 如上图，弧段L关于x轴对称，以x轴为界，分为L₁段与L₂段，沿着弧段方向，L₁段， $\text{d}x\left(\Delta x\right)$ 在增加，符号为正；L₂段， $\text{d}x\left(\Delta x\right)$ 在减小，符号为负。所以对于积分 $I_3={\displaystyle {\int }_{L}P\left(x,y\right)\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{L_1}P\left(x,y\right)\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{L_2}P\left(x,y\right)\text{d}x}$，考虑被积函数，若 $P\left(x,y\right)$ 关于y是奇函数，它在L₁与L₂段函数值互为相反数，两段积分相等，若 $P\left(x,y\right)$ 关于y是偶函数，它在L₁与L₂段函数值相等，两段积分互为相反数，就出现“奇倍偶零”现象。对于有向弧段L₁与L₂，沿着弧段方向，L₁段， $\text{d}y\left(\Delta y\right)$ 在增加，符号为正；L₂段， $\text{d}x\left(\Delta x\right)$ 也在增加，符号为正。所以对于积分 $I_4={\displaystyle {\int }_{L}Q}\left(x,y\right)\text{d}y={\displaystyle {\int }_{L_1}Q\left(x,y\right)\text{d}y}+{\displaystyle {\int }_{L_2}Q\left(x,y\right)\text{d}y}$，考虑被积函数，若 $Q\left(x,y\right)$ 关于y是奇函数，它在L₁与L₂段互为相反数，两段积分也互为相反数，若 $Q\left(x,y\right)$ 关于y是偶函数，它在L₁与L₂段函数值相等，两段积分值也相等，即出现“奇零偶倍”现象。

2) 如下图，弧段L关于y轴对称，以y轴为界，分为L₁段与L₂段两部分，沿着弧段方向，L₁段， $\text{d}x\left(\Delta x\right)$ 在增加，符号为正；L₂段， $\text{d}x\left(\Delta x\right)$ 也在增加，符号为正。所以对于积分 $I_3={\displaystyle {\int }_{L}P\left(x,y\right)\text{d}x}$，考虑被积函数，若 $P\left(x,y\right)$ 关于y是奇函数，它在L₁与L₂段互为相反数，两段积分也互为相反数，若 $P\left(x,y\right)$ 关于y是偶函数，它在L₁与 $L_2$ 段函数值相等，两段积分值也相等，即出现“奇零偶倍”现象。对于有向弧段L₁与L₂，L₁段， $\text{d}y\left(\Delta y\right)$ 在增加，符号为正；L₂段， $\text{d}y\left(\Delta y\right)$ 在减小，符号为负。所以对于积分 $I_4={\displaystyle {\int }_{L}Q}\left(x,y\right)\text{d}y$，考虑被积函数，就出现“奇倍偶零”现象。

例1 已知曲线L的方程为 $y=1-\left|x\right|$， $x\in \left[-1,1\right]$，起点是 $\left(-1,0\right)$，终点是 $\left(1,0\right)$，求曲线积分 ${\displaystyle {\int }_{L}xy\text{d}x+x^2\text{d}y}$。

解 如下图，曲线L关于y轴对称， $P\left(x,y\right)=xy$ 是关于x的奇函数，由定理1知 ${\displaystyle {\int }_{L}xy\text{d}x}=0$ ； $Q\left(x,y\right)=x^2$ 是关于x的偶函数，由定理1知 ${\displaystyle {\int }_L{x}^2\text{d}y}=0$，综上 ${\displaystyle {\int }_{L}xy\text{d}x+x^2\text{d}y}=0$。

说明：例1可以用添加辅助线成封闭弧段，用格林公式求解，也可以直接计算，见文献 [7]。比较可知，用对称性比较简便。

3. 第二类曲面积分的对称性

定理2 设函数 $R\left(x,y,z\right)$， $P\left(x,y,z\right)$， $Q\left(x,y,z\right)$ 在曲面 $\Sigma$ 上连续，对第二类曲面积分 $I_5={\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }R}\left(x,y,z\right)\text{d}x\text{d}y$， $I_6={\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }P\left(x,y,z\right)\text{d}y\text{d}z}$， $I_7={\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }Q\left(x,y,z\right)\text{d}z\text{d}x}$，以下结论成立：

1) a) 若 $\Sigma$ 关于xOy面对称，被积函数 $R\left(x,y,z\right)$ 关于z是奇函数，即 $R\left(x,y,-z\right)=-R\left(x,y,z\right)$，则 $I_5=2{\displaystyle \underset{{\Sigma }_1}{\iint }R}\left(x,y,z\right)\text{d}x\text{d}y$，其中 ${\Sigma }_1$ 是 $\Sigma$ 位于xOy面上方的部分曲面；

b) 若 $\Sigma$ 关于xOy面对称，被积函数 $R\left(x,y,z\right)$ 关于z是偶函数，即 $R\left(x,y,-z\right)=R\left(x,y,z\right)$，则 $I_5=0$ ；

2) a) 若 $\Sigma$ 关于yOz面对称，被积函数 $P\left(x,y,z\right)$ 关于x是奇函数，即 $P\left(-x,y,z\right)=-P\left(x,y,z\right)$，则 $I_6=2{\displaystyle \underset{{\Sigma }_1}{\iint }R}\left(x,y,z\right)\text{d}x\text{d}y$，其中 ${\Sigma }_1$ 是 $\Sigma$ 位于yOz面前侧的部分曲面；

b) 若 $\Sigma$ 关于yOz面对称，被积函数 $P\left(x,y,z\right)$ 关于x是偶函数，即 $P\left(-x,y,z\right)=P\left(x,y,z\right)$，则 $I_6=0$ ；

3) a) 若 $\Sigma$ 关于xOz面对称，被积函数 $Q\left(x,y,z\right)$ 关于y是奇函数，即 $Q\left(x,-y,z\right)=-Q\left(x,y,z\right)$，则 $I_7=2{\displaystyle \underset{{\Sigma }_1}{\iint }Q}\left(x,y,z\right)\text{d}x\text{d}y$，其中 ${\Sigma }_1$ 是 $\Sigma$ 位于xOz面右侧的部分曲面；

b) 若 $\Sigma$ 关于xOz面对称，被积函数 $Q\left(x,y,z\right)$ 关于y是偶函数，即 $Q\left(x,-y,z\right)=Q\left(x,y,z\right)$，则 $I_7=0$。

证明1) 如下图， $\Sigma$ 关于xOy面对称，设 $\Sigma$ 在xOy面上的投影区域为D， $\Sigma$ 在xOy面上方部分记为 ${\Sigma }_1$ (取上侧)和下方部分记为 ${\Sigma }_2$ (取下侧)，如果设 ${\Sigma }_1$ 的方程为 $z=f\left(x,y\right)$，则 ${\Sigma }_2$ 的方程为 $z=-f\left(x,y\right)$。

根据积分区域的可加性

$I_5={\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }R}\left(x,y,z\right)\text{d}x\text{d}y={\displaystyle \underset{{\Sigma }_1}{\iint }R}\left(x,y,z\right)\text{d}x\text{d}y+{\displaystyle \underset{{\Sigma }_2}{\iint }R}\left(x,y,z\right)\text{d}x\text{d}y$

按照“一投影、二代入、三定号”的原则，将其转化成定积分

$I_5={\displaystyle \underset{D}{\iint }R}\left(x,y,f\left(x,y\right)\right)\text{d}x\text{d}y-{\displaystyle \underset{D}{\iint }R}\left(x,y,-f\left(x,y\right)\right)\text{d}x\text{d}y$ (3.1)

1) 如果 $R\left(x,y,z\right)$ 关于z是奇函数，则(3.1)式可化简为

$2{\displaystyle \underset{D}{\iint }R}\left(x,y,f\left(x,y\right)\right)\text{d}x\text{d}y$

于是， $I_5=2{\displaystyle \underset{{\Sigma }_1}{\iint }R}\left(x,y,z\right)\text{d}x\text{d}y$。

2) 如果 $R\left(x,y,z\right)$ 关于z是偶函数，则由(3.1)式可得， $I_5=0$。

同样的方法可证情形2、3的正确性。

物理解释：第二类曲面积分表示以被积函数为流速的流向曲面Σ指定侧的流量。对

$I_5={\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }R}\left(x,y,z\right)\text{d}x\text{d}y$，表示以 $v=R\left(x,y,z\right)k$ ( $k$ 是z轴的单位向量)为流速的流向Σ外侧的流量。上侧 ${\Sigma }_1$

面上流速 $v_1=R\left(x,y,f\left(x,y\right)\right)k$，下侧 ${\Sigma }_2$ 面流速 $v_2=R\left(x,y,-f\left(x,y\right)\right)k$，如果 $R\left(x,y,z\right)$ 关于z是奇函数，即 $R\left(x,y,-f\left(x,y\right)\right)=-R\left(x,y,f\left(x,y\right)\right)$，说明 $v_1=-v_2$，而 ${\Sigma }_1$ 与 ${\Sigma }_2$ 的侧正好相反，因此流向 ${\Sigma }_1$ 上侧流量与流向 ${\Sigma }_2$ 下侧流量相等，总流量为流向 ${\Sigma }_1$ 面流量的2倍；如果 $R\left(x,y,z\right)$ 关于z是偶函数，即 $R\left(x,y,-f\left(x,y\right)\right)=R\left(x,y,f\left(x,y\right)\right)$，说明 $v_1=v_2$，而 ${\Sigma }_1$ 与 ${\Sigma }_2$ 侧的方向相反，因此如果流向 ${\Sigma }_1$ 上侧流量为正，则流向 ${\Sigma }_2$ 下侧流量为负，且二者绝对值相等。因此对第二类曲面积分对称性出现“奇倍偶零”现象。

例2 计算曲面积分 $I={\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }{x}^2}\text{d}y\text{d}z+y^2\text{d}z\text{d}x+z^2\text{d}x\text{d}y$，其中曲面Σ是上半球面 $z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$ 的上侧。

解 曲面Σ关于yOz面对称，被积函数 $x^2$ 关于x是偶函数，按定理2知 ${\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }{x}^2\text{d}y\text{d}z}=0$ ；曲面Σ关于xOz面对称，被积函数 $y^2$ 关于y是偶函数，按定理2知 ${\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }{y}^2\text{d}z\text{d}x}=0$，所以积分I可化简为 $I={\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }{z}^2\text{d}x\text{d}y}$，按照“一投影、二代入、三定号”的步骤将其转化成二重积分。

曲面 $\Sigma$ 在xOy面的投影是区域 $D:x^2+y^2\le R^2$

$I={\displaystyle \underset{D}{\iint }\left(R^2-x^2-y^2\right)\text{d}x\text{d}y}={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\text{d}\theta }{\displaystyle {\int }_0^R\left(R^2-r^2\right)r\text{d}r}=\frac{\pi R^4}{2}$。

说明：本题也可以添加辅助面用高斯公式，转化成三重积分。由于可导的偶函数，其导函数是奇函数， $P\left(x,y,z\right)$ 是关于x的偶函数，则 $\frac{\partial P}{\partial x}$ 是关于x的奇函数； $Q\left(x,y,z\right)$ 是关于y的偶函数，则 $\frac{\partial Q}{\partial y}$ 是关于y的奇函数，曲面 $\Sigma$ 关于yOz面、xOz面对称，添加xOy面上的平面后，所围立体 $\Omega$ 也是关于yOz面、xOz面对称的，根据三重积分的对称性知 ${\displaystyle \underset{\Omega }{\iiint }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right)\text{d}v}=0$，也可以从这个角度理解第二类曲面积分的对称性。

4. 结束语

曲线积分和曲面积分是多元积分学的重点，它可以解决现实生活中诸如不均匀曲面的质量、变力沿曲线做功、导线圈的电动势、穿过曲面的磁通量等问题，同时它的计算又是难点，如果在计算时，能首先利用对称性化简，可使计算变得简单易行。而第二类线面积分又与曲线和曲面的方向有关，它的对称性需要综合考虑线面的方向和被积函数的奇偶性，于是得到与第一类线面积分的对称性不同的结果(定理1、定理2)。本文对第二类线面积分奇偶对称性的研究，不但给出了结论，还有严格的理论证明和实义解释，便于我们深入的理解和接受，今后我们可以利用本节得到的结论较简便的处理第二类线面积分的奇偶对称性问题。

NOTES

^*通讯作者。