点态化完备代数正规类中的几乎幂零代数类

The Almost Nilpotent Classes in Normal Classes of Complete Pointwise Alagebras

摘要: 环及其它代数系统的根理论已经有了丰富的研究，Puczylowski建立了一般代数正规类的根理论。本文研究点态化完备代数正规类中的几乎幂零代数类α及其确定的下根性质L(α)，讨论了无非零几乎幂零理想代数类T={a∈A |a没有非0几乎幂零理想}确定的上根性质UT，证明了L(α) = UT。

Abstract: The radicals of rings and other various algebraic structures have been researched very much. Puczylowski established the general theory of radicals of the objects called algebras. In this paper, we study the almost nilpotent algebras α in the normal classes of pointwise complete algebras and the properties of the lower radical L(α) determined by α. We discuss the properties of the upper radical UT determined by the class T={a∈A |a has not nonzero almost ideals} of alge-bras without nonzero almost nilpotent ideals and prove that L(α) = UT.

1. 引言

环及其它代数系统根理论的统一研究促使一般代数正规类根理论的建立 [1] - [15]，为了进一步统一地研究一般代数正规类中根性质，文献 [16] - [23] 分别引入了可积代数正规类、完备代数正规类，对特殊根等进行了研究，并对一类特殊的半环——大半环(可做单侧减法的半环)建立了相应的根理论；文献 [24] [25] [26] [27] 对完备代数正规类进行了点态化，研究了点态化完备代数正规类中的亚直既约代数类确定的上根——反单根、遗传幂等根、补根、对偶根、子幂等根、诣零根、λ-根、正则根、κ-根和β-根的结构性质，文献 [28] 使用预根概念给出了根类的一个映射刻画，文献 [29] 定义了点态化完备代数正规类中的低幂等根，证明了Boolean根 $\beta$ 、正则根 $\nu$ 、遗传幂等根 $\chi$ 、λ-根 $\lambda$ 、幂等代数根 $\iota$ 都是低幂等根，并且这5个低幂等根满足 $\beta \le \nu \le \chi \le \lambda \le \iota$，文献 [30] 定义了点态化完备代数正规类中的小理想及小理想遗传根，讨论了小理想及根R和R-半单类S_R与小理想相关的2个条件(*)与(**)的一些性质，进一步讨论了根R是一个小理想遗传根的2个条件，文献 [31] 定义了完备代数正规类中代数类X确定的基根类 ${\text{L}}_b\left(X\right)$，讨论了基根类 ${\text{L}}_b\left(X\right)$ 与代数类X，下根 $\text{L}\left(X\right)$ 之间的关系。

本文在文献 [24] - [31] 建立的点态化完备代数正规类基础上，定义了几乎幂零代数、几乎幂零代数类 $\alpha$ 及无非0几乎幂零理想代数类T，讨论了几乎幂零代数类 $\alpha$ 确定的下根及无非0几乎幂零理想代数类T确定的上根性质。论文第2节给出了点态化完备代数正规类相关的概念及基本引理；论文第3节定义了几乎幂零代数、几乎幂零代数类 $\alpha$ 及无非0几乎幂零理想代数类T，讨论了完备代数正规类中几乎幂零代数类 $\alpha$ 确定的下根及无非0几乎幂零理想代数类T确定的上根性质。

2. 预备知识及基本引理

点态化完备代数正规类的相关概念及性质参见文献 [24] - [31]，为了建立每个代数的子代数乘积与 $S_a$ 中点乘积之间的联系，本文使用文献 [26] [27] 中强化了的点乘积公理。

设 $A$ 是一个完备代数正规类，设X是完备代数正规类 $A$ 的子类，文献 [15] [16] 给出了可积代数正规类的子类 $X\subseteq A$ 上的如下算子：

$uX=\left\{a\in A|\forall i⊲a,i\ne a,有a/i\notin X\right\}$，

$sX=\left\{a\in A|\forall 0\ne i⊲a,有i\notin X\right\}$，

$hX=\left\{a\in A|存在b\in X,i⊲b,使得a\sim b/i\right\}$，

$eX=\left\{a\in A|存在i⊲a,i\in X,使得a/i\in X\right\}$，

$\left(X\right)=\left\{a\in A|存在i⊲a,a/i\in X\right\}$，

$X_{\lambda }=\left\{a\in A|存在i{⊲}_{s}a,0\ne i\in X\right\}$。

从而，

$usX=\left\{a\in A|a的非0同态像b=a/i都有非0理想j/i\in X\right\}$，

$suX=\left\{a\in A|a的非0理想i都有非0同态像i/j\in X\right\}$。

进一步， $\forall a\in A$，引入记号：

$A_a=\left\{i,存在i=i_0\le i_1\le i_2\le \cdots \le i_n=a,i_k⊲i_{k+1},k=0,1,\cdots ,n-1\right\}$。

uX是非0同态像都不在X中的代数全体，sX是非0理想都不在X中的代数全体，usX是非0同态像都有非0理想在X中的代数全体，suX是非0理想都有非0同态像在X中的代数全体， $A_a$ 是代数 $a$ 的所有可达子代数全体。

对 $A$ 的子类X，文献 [12] [13] [15] 分别建立了代数正规类中下根及上根的构造。

对于序 $\lambda$，如果 $\lambda =1$，定义

$X_1=hX=\left\{a\in A|存在b\in X,i⊲b,使得a\sim b/i\right\}$，

$X_2=us{X}_1=\left\{a\in A|a的非0同态像有非0X_1\text{-}理想\right\}$ ；

如果 $\lambda \ne \text{1}$ 不是极限序， $X_{\lambda -1}$ 已定义，则

$X_{\lambda }=\left\{a\in A|a的非0同态像有非0X_{\lambda -1}\text{-}理想\right\}=us{X}_{\lambda -1}$ ；

如果 $\lambda \ne \text{1}$ 是极限序，则 $X_{\lambda }=\underset{\gamma <\lambda }{\cup }{X}_{\gamma }$。

则 $\text{L}\left(X\right)=\cup X_{\lambda }$ 是一个根类，称X确定的下根。下根 $\text{L}\left(X\right)$ 是使得X中代数都是根代数的最小的根。

注1 $\forall \lambda$， $0\in X_{\lambda }$。

令 $\bar{X}=\left\{a\in A|存在b\in X,使得a\in A_b\right\}=\underset{a\in X}{\cup }{A}_a$，即 $\bar{X}$ 是X中代数的可达子代数全体构成的代数类(即 $\bar{X}$ 是包含X的最小的理想封闭类)，

$\overline{\stackrel{¯}{X}}=\left\{a\in A|a的非0理想i都有非0同态像i/j\in \bar{X}\right\}=su\bar{X}$，

则

$\text{U}X=\left\{a\in A|\forall i⊲a,0\ne a/i\notin \overline{\stackrel{¯}{X}}\right\}$

是一个根类，称X确定的上根。上根 $\text{U}X$ 是使得X中代数都是半单代数的最大的根类且 $\overline{\stackrel{¯}{X}}$ 为上根 $\text{U}X$ 的半单类 $\text{P}\left(\text{U}X\right)$。

显然 $X\subseteq \bar{X}\subseteq \overline{\stackrel{¯}{X}}$。

引理2.1：1) X是 $A$ 的一个子类，则 $X\subseteq X_{\text{1}}$ 且 $X_{\text{1}}$ 同态闭。

2) X是 $A$ 的一个同态闭子类，则 $X=X_1=hX$。

3) X是 $A$ 的一个子类，对任意序 $\lambda \ne \text{1}$， $\lambda$ 不是极限序，则 $X_{\lambda -1}\subseteq X_{\lambda }$ 且 $X_{\lambda }$ 同态闭。

4) X是 $A$ 的一个子类，对任意2个序 $\gamma ,\lambda$，如果 $\gamma <\lambda$，则 $X_{\gamma }\subseteq X_{\lambda }$ 且 $X_{\lambda }$ 同态闭。

证明：1) $\forall a\in X$， $X_1=hX=\left\{a\in A|存在b\in X,i⊲b,使得a\sim b/i\right\}$。取 $i=0$，则 $a\sim a/i$，从而 $a\in X_{\text{1}}$，即 $X\subseteq X_{\text{1}}$。

$\forall a\in X_{\text{1}}$， $i⊲a$，则存在 $b\in X$， $j⊲b$， $a\sim b/j$。如果 $a/i=0$，则 $a/i=0\in X_1$。如果 $a/i\ne 0$，因为 $a\sim b/j$，则存在 $k⊲b$， $j\le k$， $i=k/j$，故 $a/i=\left(b/j\right)/\left(k/j\right)\sim b/k$，从而 $a/i\in X_1$。总之， $X_{\text{1}}$ 同态闭。

2) $\forall a\in X_{\text{1}}$，则存在 $b\in X$， $i⊲b$， $a\sim b/i$。因为X是 $A$ 的一个同态闭子类，故 $a\sim b\in X$，即 $X_{\text{1}}\subseteq X$。再由1)，有 $X=X_1$。

3) $X_2=us{X}_1=\left\{a\in A|a的非0同态像有非0X_1\text{-}理想\right\}$， $\forall a\in X_{\text{1}}$， $i⊲a$， $a/i\ne 0$，由于 $X_{\text{1}}$ 同态闭，故 $a/i$ 也有非零同态像 $a/i\in X_1$，从而 $a\in X_{\text{2}}$，即 $X_{\text{1}}\subseteq X_{\text{2}}$。

$\forall a\in X_{\text{2}}$， $i⊲a$。如果 $a/i=0$，则 $a/i\in X_2$。如果 $a/i\ne 0$，考虑 $a/i$ 的非零同态像 $\left(a/i\right)/\left(k/i\right)$ ( $k⊲a$ )，则有 $0\ne \left(a/i\right)/\left(k/i\right)\sim a/k\in X_1$，从而 $a/i\in X_2$。综上， $X_{\text{2}}$ 同态闭。

对序 $\lambda >2$， $\lambda$ 不是极限序，存在 $\lambda -1>1$， $X_{\lambda -1}$ 同态闭。 $\forall a\in X_{\lambda -1}$， $i⊲a$，如果 $a/i\ne 0$，由于 $X_{\lambda -\text{1}}$ 同态闭，故 $a/i$ 也有非零同态像 $a/i\in X_{\lambda -\text{1}}$，从而 $a\in X_{\lambda }$，即 $X_{\lambda -\text{1}}\subseteq X_{\lambda }$。

$\forall a\in X_{\lambda }$， $i⊲a$。如果 $a/i=0$，则 $a/i\in X_{\lambda }$。如果 $a/i\ne 0$，考虑 $a/i$ 的非零同态像 $\left(a/i\right)/\left(k/i\right)$ ( $k⊲a$ )，则有 $0\ne \left(a/i\right)/\left(k/i\right)\sim a/k\in X_{\lambda -1}$，从而 $a/i\in X_{\lambda }$。综上， $X_{\lambda }$ 同态闭。

4) X是 $A$ 的一个子类，对任意2个序 $\gamma ,\lambda$， $\gamma <\lambda$，对 $\gamma$ 用超限归纳法。

$\lambda =2$， $\gamma =1$ 时由3)知 $X_{\gamma }\subseteq X_{\lambda }$ 且 $X_{\lambda }$ 同态闭。

设 $\lambda <\theta$ 时都有 $X_{\gamma }\subseteq X_{\lambda }$ 且 $X_{\lambda }$ 同态闭，考虑 $\lambda =\theta$。

当 $\lambda =\theta$ 不是极限序，则有 $\gamma \le \lambda -1<\lambda$，因此由归纳假设有 $X_{\gamma }\subseteq X_{\lambda -1}\subseteq X_{\lambda }$ 且 $X_{\lambda -1}$ 同态闭，从而由3)知 $X_{\gamma }\subseteq X_{\lambda }$。当 $\lambda =\theta$ 是极限序，则 $X_{\gamma }\subseteq \underset{\iota <\lambda }{\vee }{X}_{\iota }=X_{\lambda }$。 $\forall a\in X_{\lambda }$， $i⊲a$，则存在 $\iota <\lambda$， $a\in X_{\iota }$，由于 $X_{\iota }$ 同态闭，从而 $a/i\in X_{\iota }\subseteq X_{\lambda }$。综上，对任意2个序 $\gamma ,\lambda$ $\gamma <\lambda$， $X_{\lambda }$ 同态闭。

综上，由超限归纳法知：对任意 $\gamma <\lambda$，有 $X_{\gamma }\subseteq X_{\lambda }$ 且 $X_{\lambda }$ 同态闭。证毕。

注2 由引理2.1知对任意 $\gamma <\lambda$，有 $X_{\gamma }\subseteq X_{\lambda }$， $X\subseteq X_{\lambda }$ 且 $X_{\lambda }$ 同态闭； $X_1$ 是包含X的最小的理想封闭类。

由定义显然有：

引理2.2：X是 $A$ 的一个子类，X理想闭，则 $\bar{X}=X$ 且 $\text{P}\left(\text{U}X\right)=\overline{\stackrel{¯}{X}}=suX$。

$A$ 是一个完备代数正规类，X是 $A$ 的子类，定义：

${\text{L}}_b\left(X\right)=\left\{a\in A|a的非0同态像有非0X\text{-}可达子代数\right\}$。

引理2.3 [31]： $X\subseteq A$ 是一个代数类，则 ${\text{L}}_b\left(X\right)$ 是一个根类。

引理2.4 [31]： $X\subseteq A$ 是一个同态闭类，则 ${\text{L}}_b\left(X\right)=\text{L}\left(X\right)$。

对 $A$ 的任意子类X， ${\text{L}}_b\left(X\right)$ 是一个根类，称为是由X确定的基根 [31]。 ${\text{L}}_b\left(X\right)$ 与X的关系不确定， ${\text{L}}_b\left(X\right)\cap X=0$， ${\text{L}}_b\left(X\right)\cap X=X$ 及 ${\text{L}}_b\left(X\right)\cap X\ne 0$， $X$ 都可能成立，故通常 ${\text{L}}_b\left(X\right)$ 与 $\text{L}\left(X\right)$ 不一定相同。 ${\text{L}}_b\left(X\right)$ 与 $\text{L}\left(X\right)$ 的关系也不确定，但是当X是一个同态闭类，则 ${\text{L}}_b\left(X\right)$ 与 $\text{L}\left(X\right)$ 相同。

结合环类(相对于子环类、左理想类、右理想类及理想类关于集合包含关系“ $\subseteq$ ”构成的完备格及相应的乘积)是完备代数正规类。由完备代数正规类乘积公理可保证环中理想、左右理想乘积相关的运算性质在完备代数正规类中皆成立。

引理2.5 [15]： $A$ 是一个完备代数正规类， $\forall a\in A$， $i⊲a$， $k⊲i$， $\bar{k}$ 是a的包含k的最小理想。则 $\bar{k}=k\vee ak\vee ka\vee aka$，且 ${\bar{k}}^3\le k$。

定义2.6 [21]： $\forall \text{K}\subseteq A$，称K是一个弱特殊类，如果K满足以下3条：

1) $\forall a\in \text{K}$，a中无非0幂零理想；

2) $\forall a\in \text{K}$， $i⊲a$，则 $i\in \text{K}$ ；

3) $\forall a\in A$， $i⊲a$， $i\in \text{K}$， $i^{\ast }=0$，则 $a\in \text{K}$。

定义2.7 [21]：设S为 $A$ 中的一个根类。如果S满足以下2条，则称根类S是一个超幂零根：

1) S是遗传根；

2) $\forall a\in A$，如果a是幂零代数，则 $a\in \text{S}$。

引理2.8 [21]：设S为 $A$ 中的一个根类。S是一个超幂零根 $\iff$ $\text{S}=\text{UK}$，K是一个弱特殊类。

3. 点态化完备代数正规类中的几乎幂零代数类及无非0几乎幂零理想代数类

$A$ 是一个点态化完备代数正规类。

定义3.1 [21]：1) $\forall a\in A$， $p⊲a$，如果 $\forall i,j⊲a$， $ij\le p$ 可推出 $i\le p$ 或者 $j\le p$，则称p是a的一个素理想；

2) $\forall a\in A$，如果0是a的一个素理想，则称a是一个素代数；

3) $\forall a\in A$， $p⊲a$，如果 $\forall i⊲a$， $i^2\le p$ 可推出 $i\le p$，则称p是a的一个半素理想；

4) $\forall a\in A$，如果0是a的一个半素理想，则称a是一个半素代数；

5) $\forall a\in A$，如果存在正整数n，使 $a^n=0$，则称a是幂零代数； $\forall a\in A$， $i⊲a$，如果存在正整数n，使 $i^n=0$，则称i是a的幂零理想；

定义3.2：1) $\forall a\in A$，如果 $\forall 0\ne i⊲a$ ( $0\ne i{⊲}_{l}a$ 或 $0\ne i{⊲}_{r}a$ )，都存在正整数n，使得 $a^n\le i$，则称a是一个几乎幂零代数(左几乎幂零代数或右几乎幂零代数)；

2) $\forall a\in A$，如果 $\forall 0\ne s\le a$，都存在正整数n，使 $a^n\le s$，则称a是一个子代数几乎幂零代数；

3) $\forall a\in A$，如果 $\forall i⊲a$ ( $i{⊲}_{l}a$ 或 $i{⊲}_{r}a$ )，且i本身是几乎幂零代数，则称i是a的一个几乎幂零理想(几乎幂零左理想或几乎右幂零理想)；

4) $\forall a\in A$，如果 $\forall 0\ne s\le a$，且s本身是几乎幂零代数，则称s是a的一个几乎子代数；

所有几乎幂零代数、左几乎幂零代数、右几乎幂零代数及子代数几乎幂零代数构成的代数类分别称几乎幂零代数类、左几乎幂零代数类、右几乎幂零代数类理想闭及子代数几乎幂零代数类，分别记为 $\alpha$， ${\alpha }_l$， ${\alpha }_r$， ${\alpha }_s$。

注3 1)幂零代数都是几乎幂零代数，但幂等非0单代数是非0的几乎幂零代数，故几乎幂零代数类 $\alpha$ 是包含幂零代数类，但比幂零代数类更大的代数类。

2) ${\alpha }_s\subseteq {\alpha }_l\subseteq \alpha$， ${\alpha }_s\subseteq {\alpha }_r\subseteq \alpha$。

3) $\forall a\in A$，a是一个几乎幂零代数，则 $\forall 0\ne i⊲a$， $a/i$ 都是幂零代数。

下面研究几乎幂零代数类 $\alpha$ 及其确定的上根。

引理3.3：1) 几乎幂零代数类 $\alpha$ 理想闭；

2) $\alpha$ 是同态闭类。

证明：1) $\forall a\in \alpha$，任取 $i⊲a$。

如果 $i=0$，则i是幂零代数，从而是几乎幂零代数。

如果 $i\ne 0$， $\forall 0\ne j⊲i$，设 $\bar{j}$ 是j在a中生成的理想，则由引理2.5知 ${\bar{j}}^3\le j$。因为 $0\ne j\le \bar{j}⊲a$，故存在正整数n，使得 $a^n\le \bar{j}$，从而 $i^{3n}\le a^{3n}\le {\bar{j}}^3\le j$，即i是几乎幂零代数。

综上，a中的理想都是几乎幂零代数，即几乎幂零代数类 $\alpha$ 理想闭。

2) $\forall a\in \alpha$，任取 $i⊲a$。

如果 $i=a$，则 $a/i=0$ 是幂零代数，从而是几乎幂零代数。

如果 $i\ne a$，则 $a/i\ne 0$， $\forall 0\ne j/i⊲a/i$，则 $0\ne j⊲a$，故存在正整数n，使得 $a^n\le j$，从而 ${\left(a/i\right)}^n\le \left(a^n\vee i\right)/i\le \left(j\vee i\right)/i=j/i$，即 $a/i$ 是几乎幂零代数；

综上，a的同态像都是几乎幂零代数，即几乎幂零代数类 $\alpha$ 同态闭。证毕。

引理3.4： $\forall a\in \alpha$，a是几乎幂零代数，则：a是幂零代数或者a是素几乎幂零代数。

证明：设a不是幂零代数， $\forall i,j⊲a$， $ij=0$。如果 $i\ne 0$， $j\ne 0$，因为a是几乎幂零代数，故存在正整数m，n，使得 $a^m\le i$， $a^n\le j$，从而 $a^{m+n}=a^m{a}^n\le ij=0$，即a是幂零代数，矛盾。故 $i=0$ 或者 $j=0$，即a是素几乎幂零代数。证毕。

由a理想闭、同态闭，且包含所有幂零代数，得

引理3.5： ${\alpha }_{\text{2}}=us\alpha =\left\{a\in A|a的非0同态像有非0几乎幂0理想\right\}$ 是超幂零根。

引理3.6： $\forall a\in \alpha$，a是半素代数 $\iff$ a无非0幂零理想。

证明：“ $\Rightarrow$ ” $\forall i⊲a$，如果存在正整数m，使得，取k为使得 $i^m=0$ 的最小正整数m。则 $j=i^k\ne 0$，但 $j^2=i^{2k}=0$。因为a是半素代数，故 $j=0$，矛盾。故 $\forall m>0$，有 $i^m\ne 0$，即a中无非0幂零理想。

“ $\Leftarrow$ ”a中无非0幂零理想， $\forall i⊲a$，如果 $i^2=0$，即i是a的幂零理想，故 $i=0$，即a是是半素代数。证毕。

引理3.7： $\text{K}\subseteq A$ 是一个半素代数类，则以下3条等价：

1) $\forall i⊲a$， $i\in \text{K}$， $i^{\ast }=0$，则 $a\in \text{K}$ ；

2) $\forall i⊲\cdot a$， $i\in \text{K}$ 且 $a/i\in \text{K}$，则 $a\in \text{K}$ (即K本质扩张闭)；

3) $\forall i⊲a$， $i\in \text{K}$，则 $a/i^{\ast }\in \text{K}$。

证明：1) $\Rightarrow$ 2) $i⊲\cdot a$， $i\in \text{K}$ 且 $a/i\in \text{K}$，因为 ${\left(i\wedge i^{\ast }\right)}^2\le i{i}^{\ast }=0$， $i\wedge i^{\ast }⊲i$， $i\in \text{K}$ 是一个半素代数，故 $i\wedge i^{*}=0$。由 $i⊲\cdot a$ 得 $i^{\ast }=0$，从而由1)得 $a\in \text{K}$，即2)成立。

2) $\Rightarrow$ 3) $\forall i⊲a$， $i\in \text{K}$，设 $l⊲a$，且 $i\wedge l=0$，则 $il\vee li⊲a$ 且 $il\vee li\le i\wedge l=0$，故 $l\le i^{\text{*}}$。因为 ${\left(i\wedge i^{\ast }\right)}^2\le i{i}^{\ast }=0$， $i\wedge i^{\text{*}}⊲i\in \text{K}$，所以 $i\wedge i^{\ast }=0$，从而 $i^{\ast }$ 是使得 $i\wedge l=0$ 的a的最大理想l，且 $i\sim i/\left(i\wedge l\right)\sim \left(i\vee l\right)/l⊲a/l$。设 $i^{\ast }\le k⊲a$， $i^{\ast }\ne k$， $0\ne k/i^{\ast }⊲a/i^{\ast }$。由 $i^{\ast }$ 的最大性知 $i^{\ast }\le k$， $i^{\ast }\ne k$，从而 $i\wedge k\ne 0$，从而 $i\wedge k\cancel{\le }{i}^{\ast }$，所以 $0\ne \left(i^{\ast }\vee \left(i\wedge k\right)\right)/i^{\ast }=\left(\left(i^{\ast }\vee i\right)/i^{\ast }\right)\wedge \left(\left(i^{\ast }\vee k\right)/i^{\ast }\right)=\left(\left(i^{\ast }\vee i\right)/i^{\ast }\right)\wedge \left(k/i^{\ast }\right)$，因此 $\left(i\vee i^{\ast }\right)/i^{\ast }⊲\cdot a/i^{\ast }$。由2)知 $a/i^{\ast }\in \text{K}$，即3)成立。

3) $\Rightarrow$ 1) $\forall a\in A$， $i⊲a$， $i\in \text{K}$， $i^{\ast }=0$，由3)有 $a\sim a/i^{\ast }\in \text{K}$，即1)成立。证毕。

由引理3.6，引理3.7得：

引理3.8： $\forall \text{K}\subseteq A$，K是一个弱特殊类 $\iff$ 是K满足以下3条：

1) $\forall a\in \text{K}$，a是半素代数；

2) $\forall a\in \text{K}$， $i⊲a$，则 $i\in \text{K}$ ；

3) $\forall i⊲a$， $i\in \text{K}$， $i^{\ast }=0$，则 $a\in \text{K}$。

引理3.9： $\forall \text{K}\subseteq A$，K是一个弱特殊类 $\iff$ K满足以下3条：

1) $\forall a\in \text{K}$，a是半素代数；

2) $\forall a\in \text{K}$， $i⊲a$，则 $i\in \text{K}$ ；

3) $\forall i⊲\cdot a$， $i\in \text{K}$ 且 $a/i\in \text{K}$，则 $a\in \text{K}$ (即K本质扩张闭)。

注意到几乎幂零代数类 $\alpha$ 理想闭、同态闭，从而下根 $\text{L}\left(\alpha \right)={\text{L}}_b\left(\alpha \right)$ 是一个超幂零根，称几乎幂零代数根。显然有Bears根B ≤ 几乎幂零代数 $\text{L}\left(\alpha \right)$。

设 $T=\left\{a\in A|a没有非0几乎幂零理想\right\}$，则：

定理3.10：T是弱特殊类。

证明：1) $\forall a\in T$，设 $i⊲a$， $i^2=0$，则i是a的幂零理想，从而是几乎幂零理想。由于 $a\in T$ 没有非0幂零理想，故 $i=0$，所以a是半素代数；

2) $\forall a\in T$，设 $0\ne i⊲a$。设j是i的非0几乎幂零理想，设 $\bar{j}$ 是j在a中生成的理想，则 $0\ne {\bar{j}}^3\le j$ (因为a无非0幂零理想)。 $\forall 0\ne k⊲\bar{j}$，如果 $k\wedge j=0$，则 $k\wedge {\bar{j}}^3\le k\wedge j=0$，所以 ${\left(k\bar{j}\right)}^3\le k{\bar{j}}^3=0$。如果 $k\bar{j}\ne 0$，则 $l=k\bar{j}\ne 0$ 是 $\bar{j}$ 的幂零理想且 $l^3=0$。设 $\bar{l}$ 是l在a中生成的理想，则 ${\bar{l}}^3\le l$，进而 ${\bar{l}}^9\le l^3=0$，即 $\bar{l}$ 是a的非0幂零理想，与 $a\in \beta$ 矛盾，因此 $k\bar{j}=0$。进而 $k^2\le k\bar{j}=0$，即k是 $\bar{j}$ 的非0幂零理想，设 $\bar{k}$ 是k在a中生成的理想，则 ${\bar{k}}^3\le k$，进而 ${\bar{k}}^6\le k^2=0$，即 $\bar{k}$ 是a的非0幂零理想，与 $a\in T$ 矛盾，因此 $k\wedge j\ne 0$。

因为 $k\wedge j\ne 0$，j是i的几乎幂零理想， $0\ne k\wedge j⊲j$，故存在正整数n，使得 $j^n\le k\wedge j$，从而 ${\bar{j}}^{3n}\le j^n\le k\wedge j\le k$，即 $\forall 0\ne k⊲\bar{j}$，都存在正整数m = 3n，使得 ${\bar{j}}^m\le k$，故 $\bar{j}$ 是a的非0几乎幂零理想，与 $a\in T$ 矛盾，因此i没有非0几乎幂零理想，从而 $i\in T$，即T对理想封闭。

3) $\forall i⊲a$， $i\in T$， $i^{\ast }=0$。设j是a的非0几乎幂零理想，如果 $i\wedge j=0$，则 $ij,ji\le i\wedge j=0$，从而 $ij\le i^{\text{*}}=0$，与j是a的非0几乎幂零理想矛盾，所以 $i\wedge j\ne 0$ 且是a的非0几乎幂零理想。设 $k⊲i\wedge j$ 且 $k\ne i\wedge j$。设 $\bar{k}$ 是k在j中生成的理想，则 $0\ne {\bar{k}}^3\le k$。因为 $k⊲i\wedge j⊲j$，故 $\bar{k}$ 也是j的几乎幂零理想，故存在正整数n，使得 $j^n\le \bar{k}$，进而 ${\left(i\wedge j\right)}^{3n}\le j^{3n}\le {\bar{k}}^3\le k$。由k的任意性知 $i\wedge j$ 是i的非0几乎幂零理想，与 $i\in T$ 矛盾。所以a没有非0几乎幂零理想，即 $a\in T$。

综上，T是弱特殊类。证毕。

由定理3.9知，上根 $UT$ 是超幂零根，进一步有：

定理3.11： $\text{L}\left(\alpha \right)={\alpha }_2=UT$。

证明： $\overline{\stackrel{¯}{T}}=\left\{a\in A|a的非0理想i都有非0同态像i/j\in T\right\}=suT$，则

$UT=\left\{a\in A|\forall i⊲a,0\ne a/i\notin \overline{\stackrel{¯}{T}}\right\}$，

${\alpha }_{\text{2}}=us\alpha =\left\{a\in A|a的非0同态像有非0\alpha \text{-}理想\right\}$。

$\forall a\in UT=\left\{a\in A|\forall i⊲a,0\ne a/i\notin \overline{\stackrel{¯}{T}}\right\}$，如果 $a\notin {\alpha }_{\text{2}}=us\alpha$，则存在 $i⊲a$， $0\ne a/i$ 没有非零 $\alpha$ -理想，即 $a/i\in T\subseteq \overline{\stackrel{¯}{T}}$，所以 $a\notin UK$，矛盾，故 $a\in {\alpha }_2\subseteq \text{L}\left(\alpha \right)$，从而 $UT\subseteq \text{L}\left(\alpha \right)$。

反之， $\forall a\in \alpha$，则a是几乎幂零理想， $\alpha$ 同态闭及理想闭，从而对a的任意理想i， $0\ne a/i$ 也是几乎幂零代数， $a/i$ 有理想 $a/i$， $a/i$ 任意同态像 $\left(a/i\right)/\left(k/i\right)\left(k⊲a\right)$ 有 $0\ne \left(a/i\right)/\left(k/i\right)\sim a/k$，从而 $\left(a/i\right)/\left(k/i\right)\in \alpha$，因此 $\left(a/i\right)/\left(k/i\right)\notin \overline{\stackrel{¯}{T}}$，即 $a/i$ 的理想 $a/i$ 的非0同态像 $\left(a/i\right)/\left(k/i\right)\notin T$，从而 $a/i\notin \overline{\stackrel{¯}{T}}$，即得a的非零同态像 $0\ne a/i\notin \overline{\stackrel{¯}{T}}$，所以 $a\in UT$，因此 $\alpha \subseteq UT$。又因为上根 $UT$ 是根，下根 $\text{L}\left(\alpha \right)$ 是所有 $\alpha$ 中代数是根代数的最小根，所以 ${\alpha }_2\subseteq \text{L}\left(\alpha \right)\subseteq UT$。

综上， $\text{L}\left(\alpha \right)={\alpha }_2=UT$。证毕。

由文献 [12] [15] 及定理3.11，有：

推论3.12： $\forall a\in A$， $\text{L}\left(\alpha \right)\left(a\right)=UT\left(a\right)=\wedge \left\{i⊲a|a/i没有非0几乎幂零理想\right\}$ ；

$\text{a}/\text{L}\left(\alpha \right)\left(a\right)=a/UT\left(a\right)={\displaystyle {\sum }_s\left\{a/i|i⊲a,a/i没有非0几乎幂零理想\right\}}$。

由引理3.3，引理3.3，引理2.1~引理2.4，有：

推论3.13： $\text{L}\left(\alpha \right)={\text{L}}_b\left(\alpha \right)=\text{U}T$。

4. 小结

本文研究点态化完备代数正规类中的几乎幂零代数类 $\alpha$ 及其确定的下根性质 $\text{L}\left(\alpha \right)$，讨论了无非0幂零理想代数类 $T=\left\{a\in A|a没有非0几乎幂零理想\right\}$ 确定的上根性质 $UT$，证明了 $\text{L}\left(\alpha \right)={\text{L}}_b\left(\alpha \right)=\text{U}T$。

基金项目

国家自然科学基金(11261067)。