一类改进的灰色绝对关联度模型的性质及其应用

doi:10.12677/AAM.2022.1110754

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一类改进的灰色绝对关联度模型的性质及其应用
The Properties and Applications of an Improved Grey Absolute Relational Mode

DOI: 10.12677/AAM.2022.1110754, PDF, HTML, XML, 被引量科研立项经费支持
作者: 罗丹, 王松华, 黎勇^*：百色学院数学与统计学院，广西百色
关键词: 灰色系统；灰色关联分析；绝对关联度；灰色关联算子；Grey System； Grey Relational Model； Absolute Degree of Incidence； Grey Relational Operator

摘要: 文章研究灰色系统中一类改进的灰色绝对关联度模型的性质及其应用。根据广义灰色关联分析理论，采用构造最大值点零化像的方法提出改进的灰色绝对关联度模型的方法。改进的灰色绝对关联度模型具有差序列符号的确定性、规范性、偶对称性、接近性等性质。初步的实例验证表明，改进的灰色关联度模型能真实地反映序列曲线的关联程度，所得关联分析结果较为客观可靠，且易于在计算机上实现。

Abstract: This paper studies the properties and applications of an improved grey absolute relational degree model for grey relational analysis in grey systems. Based on the theory of generalized grey correla-tion analysis, an improved grey absolute correlation degree model is proposed by constructing the zero image of the maximum point. The improved grey absolute relational degree model has the properties of difference sequence symbols such as determinacy, normality, even symmetry and proximity. The preliminary example shows that the improved grey relational degree model can truly reflect the correlation degree of the sequence curve, and the obtained correlation analysis re-sults are more objective and reliable, and are easy to be realized on the computer.

文章引用：罗丹, 王松华, 黎勇. 一类改进的灰色绝对关联度模型的性质及其应用[J]. 应用数学进展, 2022, 11(10): 7109-7114. https://doi.org/10.12677/AAM.2022.1110754

1. 引言

自1982年邓聚龙教授提出灰色关联分析理论以来，众多学者参与研究并相继构造了大量灰色关联度模型并将之广泛应用于生产生活实践 [1]。1991年刘思峰教授 [2] 根据邓氏灰色关联分析模型 [3] 研究了一类广义灰色关联分析模型，首次提出了绝对关联分析模型。该模型形式简捷方便计算，有效解决了许多科研、生产中的实际问题，一直以来受到研究者的广泛关注。在刘思峰教授提出的在灰色绝对关联分析模型中，灰色关联算子起到重要的作用。但考虑到绝对关联度分析模型在做实际问题的定量分析时，存在因自然灾害、战争、疫情等意外因素的影响，引起系统行为序列数据受到冲击干扰而失真的问题。本文构造一种新的灰色关联算子叫做最大值零化像算子，结合灰色绝对关联分析模型，构建了一类改进的灰色绝对关联度模型并讨论其性质和应用。

2. 新的灰色关联算子的构造

定义1设系统行为序列 $X_{i} = (x_{i} (1), x_{i} (2), \dots, x_{i} (n))$ ，D为序列算子且

$X_{i} D = (x_{i} (1) d, x_{i} (2) d, \dots, x_{i} (n) d),$

其中 $x_{i} (k) d = x_{i} (k) - x_{i} (M), k = 1, 2, \dots, n$ ，则称D为最大零化算子， $X_{i} D$ 为 $X_{i}$ 的最大零化像，记为 $X_{i} D = \overset{(M)}{X_{i}^{0}} = (\overset{(M)}{x_{i}^{0}} (1), \overset{(M)}{x_{i}^{0}} (2), \dots, \overset{(M)}{x_{i}^{0}} (n))$ 。

定义2设序列 $X_{i}$ 与 $X_{j}$ 长度相同， $\overset{(M)}{s_{i}}$ ， $\overset{(M)}{s_{j}}$ 如定理所述，则称

$\overset{(M)}{ε_{i j}} = \frac{1 + | \overset{(M)}{s_{i}} | + | \overset{(M)}{s_{j}} |}{1 + | \overset{(M)}{s_{i}} | + | \overset{(M)}{s_{j}} | + | \overset{(M)}{s_{j}} - \overset{(M)}{s_{i}} |}$ (1)

为 $X_{i}$ 与 $X_{j}$ 的灰色最大值绝对关联度。

3. 改进的灰色绝对关联度模型及其性质

定理1设系统行为序列为 $X_{i} = (x_{i} (1), x_{i} (2), \dots, x_{i} (n))$ ，记 $x_{i} (M) = \max_{1 \leq k \leq n} {x_{i} (k)}$ ，记折线 $(x_{i} (1) - x_{i} (M), x_{i} (2) - x_{i} (M), \dots, x_{i} (n) - x_{i} (M))$ 为 $X_{i} - x_{i} (M)$ ，令 $\overset{(M)}{s_{i}} = \int_{1}^{n} (X_{i} - x_{i} (M)) d t$ ，则 $\overset{(M)}{s_{i}} \leq 0$ 。

证明：直接利用增长序列、衰减序列、振荡序列的定义及积分的性质，可知定理结论成立。

该定理说明了 $\overset{(M)}{s_{i}}$ 不受到序列性质所影响，具有一定的稳定性。

定理2设系统行为序列

$X_{i} = (x_{i} (1), x_{i} (2), \dots, x_{i} (n))$ ， $X_{j} = (x_{j} (1), x_{j} (2), \dots, x_{j} (n))$ 的最大零化像分别为 $\overset{(M)}{X_{i}^{0}} = (\overset{(M)}{x_{i}^{0}} (1), \overset{(M)}{x_{i}^{0}} (2), \dots, \overset{(M)}{x_{i}^{0}} (n))$ ， $\overset{(M)}{X_{j}^{0}} = (\overset{(M)}{x_{j}^{0}} (1), \overset{(M)}{x_{j}^{0}} (2), \dots, \overset{(M)}{x_{j}^{0}} (n))$ ，令

$\overset{(M)}{s_{i}} - \overset{(M)}{s_{j}} = \int_{1}^{n} (\overset{(M)}{X_{i}^{0}} - \overset{(M)}{X_{j}^{0}}) d t$

则(1) 当 $\overset{(M)}{X_{i}^{0}}$ 恒在 $\overset{(M)}{X_{j}^{0}}$ 的上方， $\overset{(M)}{s_{i}} - \overset{(M)}{s_{j}} \geq 0$ ；

(2) 当 $\overset{(M)}{X_{i}^{0}}$ 恒在 $\overset{(M)}{X_{j}^{0}}$ 的下方， $\overset{(M)}{s_{i}} - \overset{(M)}{s_{j}} \leq 0$ ；

(3) 当 $\overset{(M)}{X_{i}^{0}}$ 恒在 $\overset{(M)}{X_{j}^{0}}$ 相交， $\overset{(M)}{s_{i}} - \overset{(M)}{s_{j}}$ 的符号不定。

证明：如图1所示，图1(a)中， $\overset{(M)}{X_{i}^{0}}$ 恒在 $\overset{(M)}{X_{j}^{0}}$ 的上方，所以 $\overset{(M)}{s_{i}} - \overset{(M)}{s_{j}} \geq 0$ ；图1(b)中， $\overset{(M)}{X_{i}^{0}}$ 恒在 $\overset{(M)}{X_{j}^{0}}$ 相交，所以 $\overset{(M)}{s_{i}} - \overset{(M)}{s_{j}}$ 的符号不定。由此可知，定理结论的成立是显然的。

Figure 1. Line chart of $\overset{(M)}{X_{i}^{0}}$ 、 $\overset{( M )}{X_{j}^{0}}$

图1. $\overset{(M)}{X_{i}^{0}}$ 、 $\overset{(M)}{X_{j}^{0}}$ 折线图

定理3灰色最大值关联度灰色关联度 $\overset{(M)}{ε_{i j}} = \frac{1 + | \overset{(M)}{s_{i}} | + | \overset{(M)}{s_{j}} |}{1 + | \overset{(M)}{s_{i}} | + | \overset{(M)}{s_{j}} | + | \overset{(M)}{s_{j}} - \overset{(M)}{s_{i}} |}$

满足灰色关联公理中规范性、偶对称性与接近性。

证明：由定义2的(1)式知，

(1) $\overset{(M)}{ε_{i j}} \geq 0$ ， $| \overset{(M)}{s_{j}} - \overset{(M)}{s_{i}} | \geq 0$ ， $∴ \overset{(M)}{ε_{i j}} \leq 1$ $∴ 0 \leq \overset{(M)}{ε_{i j}} \leq 1$ ，即 $\overset{(M)}{ε_{i j}}$ 满足规范性；

(2) $∵ | \overset{(M)}{s_{j}} - \overset{(M)}{s_{i}} | = | \overset{(M)}{s_{i}} - \overset{(M)}{s_{j}} |$ 易知， $\overset{(M)}{ε_{i j}} = \overset{(M)}{ε_{j i}}$ 成立，即 $\overset{(M)}{ε_{i j}}$ 满足偶对称性；

(3) 在定义2的(1)式中，显然 $| \overset{(M)}{s_{j}} - \overset{(M)}{s_{i}} |$ 越小， $\overset{(M)}{ε_{i j}}$ 就越大，所以 $\overset{(M)}{ε_{i j}}$ 满足接近性。

引理1设 $X_{i}$ 与 $X_{j}$ 的长度相同且皆为1时距序列，而 $\overset{(M)}{X_{i}^{0}} = (\overset{(M)}{x_{i}^{0}} (1), \overset{(M)}{x_{i}^{0}} (2), \dots, \overset{(M)}{x_{i}^{0}} (n))$ ， $\overset{(M)}{X_{j}^{0}} = (\overset{(M)}{x_{j}^{0}} (1), \overset{(M)}{x_{j}^{0}} (2), \dots, \overset{(M)}{x_{j}^{0}} (n))$ 分别为 $X_{i}$ 与 $X_{j}$ 的最大零化像，令 $\overset{(M)}{x_{i}^{0}} (M_{i}) = - \max_{1 \leq k \leq n} {\overset{(M)}{x_{i}^{0}} (k)}$ ， $\overset{(M)}{x_{j}^{0}} (M_{j}) = - \max_{1 \leq k \leq n} {\overset{(M)}{x_{j}^{0}} (k)}$ ，则 $| \overset{(M)}{s_{i}} | = | \sum_{k = 1, k \neq M_{i}}^{n} \overset{(M)}{x_{i}^{0}} (k) + \frac{1}{2} \overset{(M)}{x_{i}^{0}} (M_{i}) |$ ， $| \overset{(M)}{s_{j}} | = | \sum_{k = 1, k \neq M_{j}}^{n} \overset{(M)}{x_{j}^{0}} (k) + \frac{1}{2} \overset{(M)}{x_{j}^{0}} (M_{j}) |$ ， $| \overset{(M)}{s_{i}} - \overset{(M)}{s_{j}} | = | (\sum_{k = 1, k \neq l_{i}}^{n} \overset{(M)}{x_{i}^{0}} (k) - \sum_{k = 1, k \neq M_{j}}^{n} \overset{(M)}{x_{j}^{0}} (k)) + \frac{1}{2} (\overset{(M)}{x_{i}^{0}} (l_{i}) - \overset{(M)}{x_{j}^{0}} (l_{j})) | = \frac{1}{2} | \overset{(M)}{x_{i}^{0}} (l_{i}) - \overset{(M)}{x_{j}^{0}} (l_{j}) |$

定理4设 $X_{i}$ 与 $X_{j}$ 的长度、时距相同且皆为等时距序列，则

$\begin{matrix} \overset{(M)}{ε_{i j}} = [1 + | \sum_{k = 1, k \neq M_{i}}^{n} \overset{(M)}{x_{i}^{0}} (k) + \frac{1}{2} \overset{(M)}{x_{i}^{0}} (M_{i}) | + | \sum_{k = 1, k \neq M_{j}}^{n} \overset{(M)}{x_{j}^{0}} (k) + \frac{1}{2} \overset{(M)}{x_{j}^{0}} (M_{j}) |] \\ \times [1 + | \sum_{k = 1, k \neq M_{i}}^{n} \overset{(M)}{x_{i}^{0}} (k) + \frac{1}{2} \overset{(M)}{x_{i}^{0}} (M_{i}) | + | \sum_{k = 1, k \neq M_{j}}^{n} \overset{(M)}{x_{j}^{0}} (k) + \frac{1}{2} \overset{(M)}{x_{j}^{0}} (M_{j}) | \\ + {| (\sum_{k = 1, k \neq M_{i}}^{n} \overset{(M)}{x_{i}^{0}} (k) - \sum_{k = 1, k \neq M_{j}}^{n} \overset{(M)}{x_{j}^{0}} (k)) + \frac{1}{2} (\overset{(M)}{x_{i}^{0}} (M_{i}) - \overset{(M)}{x_{j}^{0}} (M_{j})) |]}^{- 1} \end{matrix}$

证明：不妨设 $X_{i}$ 与 $X_{j}$ 皆为1时距序列，由引理1和定义2，即得结论。

4. 应用实例

例1由文献 [4]，设有数据序列：

$X_{1} = (1.00, 1.30, 2.50, 2.80, 3.00, 4.60, 5.00, 6.40)$

$X_{2} = (1.20, 1.53, 2.85, 3.18, 3.40, 5.16, 5.60, 7.14)$

$X_{3} = (1.00, 2.50, 3.00, 1.00, 5.00, 2.00, 7.00, 6.00)$

其中， $X_{1}$ 为参考序列， $X_{2}$ 与 $X_{3}$ 为相关因素序列。计算得到的关联度及其关联序见表1，数据序列折线图见图2。

由图2可以看出，序列 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 的发展趋势更接近，而序列 $X_{1}$ 和 $X_{3}$ 的发展趋势差异较大，即 $ε_{13} < ε_{12}$ 。所以，本文构造的灰色关联度如实地反映了数据序列发展态势的相似程度。

例2由文献 [4]，选取来源于中国统计年鉴及其统计公报的中1995~2007年的数据进行研究，原始数据见表2。以第三产业就业人数为参考序列，利用绝对关联度和本文的灰关联模型计算结果见表3。

Figure 2. Data series line chart

图2. 数据序列折线图

Table 1. Comparison of calculation results of correlation degree

表1. 关联度计算结果比较

Table 2. Raw data table

表2. 原始数据表

Table 3. The relevance and ranking of the factors affecting employment in the tertiary industry

表3. 第三产业就业的影响因素关联度及其排序

第三产业就业人数的重要影响因素是人均GDP、城市化水平和工业增加值。而根据许多发达国家(地区)的发展事实表明，城市化对第三产业就业水平的提高有着直接的促进作用，是影响第三产业就业的最重要的因素。因为城市化过程诱发第三产业新行业出现和推动传统行业发展，同时城市化是工业化聚集表现，而人均GDP 的持续增加意味着国民收入的不断提高，必然导致城乡居民消费结构发生变化，即加速城市化的进程，从而促进第三产业的发展和壮大。由表3，利用本文的关联度计算，城市化水平对第三产业的就业影响最大，这是符合实际情况的。 [4]

5. 结论

文章根据广义灰色关联分析理论，采用构造最大值点零化像的方法提出改进的灰色绝对关联度模型。改进后的灰色绝对关联度模型具有差序列符号的确定性、规范性、偶对称性和接近性等性质。初步的实例验证表明，新的灰色关联度模型更真实地反映序列曲线的关联程度，所得关联分析结果较为客观可靠，较好地解决了在实际问题分析时出现的量化结果与定性分析结果不太相符的问题，且易于在计算机上实现，具有一定的实用参考价值。

基金项目

广西自然科学基金项目(NO.2020GXNSFAA159069)、广西教育科学规划2021年度课题(NO.2021A024)。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献

[1]	刘思峰, 蔡华, 杨英杰, 曹颖. 灰色关联分析模型研究进展[J]. 系统工程理论与实践, 2013, 33(8): 2041-2046.
[2]	刘思峰. 灰色系统理论及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 1991.
[3]	Liu, S.F. and Lin, Y. (2011) Grey Information: Theory and Practical Applications. Spring-Verlag, London.
[4]	崔立志, 刘思峰, 李致平, 崔杰. 一种新的灰色相似关联度模型及其应用[J]. 统计与决策, 2010(7): 7-9.

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