基于实例的均值–方差和均值–下半方差投资组合模型对比分析——以股票资产和银行活期存款为例

Comparative Analysis of Mean Variance Portfolio Model and Mean Downside Semi Variance Portfolio Model Based on Actual Data—A Case Study of Chinese Stocks and Bank Deposits

摘要: 均值–下半方差的投资组合模型是Markowitz经典均值–方差模型的推广，下半方差更能刻画投资风险。本文选取中国大陆证券公司的四只股票和中国银行活期存款的实际数据，基于非线性规划的迭代算法，分别对均值–方差模型和均值–下半方差模型求解，结果表明两个模型对约束条件的选择敏感，相同约束条件下，均值–下半方差模型的组合方案较优。

Abstract: The mean downside semi-variance portfolio model is an extension of Markowitz’s classical mean-variance model, and the downside semi-variance can better describe investment risk. This paper selects the actual data of four stocks of listed companies in Chinese Mainland and current deposits of the Bank of China. Based on the iterative algorithm of nonlinear programming, the mean variance model and the mean downside semi-variance model are solved respectively. The results show that the two models are sensitive to the selection of constraint conditions. Under the same constraint conditions, the combination scheme of the mean downside semi-variance model is better.

1. 引言

自从1952年Markowitz发表了关于投资组合的开创性论文 [1] 以来，投资组合的定量分析模型得到了广泛深入的研究。Markowitz经典的投资组合模型利用随机收益率的方差刻画投资风险，有一定的局限性。比如超过期望收益的部分是投资者所喜爱的，不应该作为风险来控制，低于期望收益的情形才是投资者需要考虑和防范的，于是学者们提出了下半方差(downside semi-variance)、下行Beta值、下半绝对离差等风险度量工具。如Estrada [2] (2007)考虑了基于下半方差的下行Beta风险测度，并建立了相应的资本资产定价模型(CAPM)，徐绪松等 [3] (2002)研究了下半绝对离差风险测度下的投资组合模型。当然，对传统的投资组合模型还有很多其他的推广，比如Markowitz用效用函数作为目标函数 [4]，用在险价值(VaR) [5]、条件在险价值(CVaR)刻画风险等。考虑到金融市场的复杂性和多种不确定性，学者们在模糊理论或者区间理论框架下建立了投资组合模型，比如Yan等 [6] (2017)提出了区间值下半方差的概念，由此刻画风险，并建立了基于区间值下半方差的最优投资组合模型，关于投资组合模型的推广，还有很多其他文献，我们这里不详细回顾相关文献，读者可以参考综述文章 [7] [8] 及其引用的文献。

本文主要介绍均值–方差模型和均值–下半方差模型，通过实际市场的数据对两个模型进行比较分析。通过选取中国大陆股票市场的四只股票和中国银行的活期存款数据，进行基本的统计分析，代入模型，用进化策略迭代求解。结果表明，给定初始的风险约束边界，为了使投资收益最大化，这两个模型都能较好计算出投资组合的优化解，这说明模型是有效的、可行的。通过实证数据计算发现，在相同的风险约束边界下，采用均值–下半方差投资组合模型解的效果要比均值–方差投资组合模型更有效，鲁棒性更好。这两个模型都能反映证券市场风险和投资组合收益之间的关系。

2. 模型

2.1. 均值–方差模型

经典的均值–方差模型有两类，一是给定可以承受的风险水平条件下，最大化收益率的投资组合模型，二是达到一定收益水平的条件下，最小化投资组合的风险。这里我们以第一类为例，即目标函数 $f\left(X\right)$ 是期望收益率 [1]。

设 $R_i$ 表示第i只风险资产的收益率，为随机变量， $i=1,\cdots ,n$， $R_0$ 表示无风险资产的收益率，为常数， $1\ge x_i\ge 0,i=0,1,\cdots ,n$，表示相应资产的投资份额。当然，模型中也可以考虑多只无风险资产，求解不会有本质的困难，为方便起见，这里我们只考虑一只无风险资产。

$\begin{array}{l}\max {\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}{x}_{i}E\left(R_i\right)}\\ \text{s}\text{.t}\text{.}E\left[{\left({\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}{x}_i{R}_i-E\left({\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}{x}_i{R}_i}\right)}\right)}^2\right]\le {\sigma }_0^2\\ {\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}{x}_i}=1,x_i\ge 0,i=0,1,\cdots ,n\end{array}$ (1)

由数学期望的线性性质，我们有：

$\begin{array}{c}E\left[{\left({\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}{x}_i{R}_i-E\left({\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}{x}_i{R}_i}\right)}\right)}^2\right]=E\left[{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}{x}_i{\left(R_i-E\left(R_i\right)\right)}^2}\right]\\ ={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n}{\sum }}{x}_i{x}_j}}E\left[\left(R_i-E\left(R_i\right)\right)\left(R_j-E\left(R_j\right)\right)\right]\\ ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_i{x}_j}}\mathrm{cov}\left(R_i,R_j\right)\end{array}$

注意到无风险资产对应的协方差项为零，则模型(1)中的约束条件可以变为

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_i{x}_j}}\mathrm{cov}\left(R_i,R_j\right)\le {\sigma }_0^2$ (2)

引入协方差矩阵 $\Sigma$，式(2)可以表示成如下的二次型形式；

$X^{\text{T}}\Sigma X\le {\sigma }_0^2$ (3)

其中，

$X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),\Sigma =\left(\begin{array}{cccc}{\sigma }_1^2& {\sigma }_{12}& \dots & {\sigma }_{1n}\\ {\sigma }_{12}& {\sigma }_2^2& \cdots & {\sigma }_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\sigma }_{1n}& {\sigma }_{2n}& \cdots & {\sigma }_n^2\end{array}\right),{\sigma }_{ij}=\mathrm{cov}\left(R_i,R_j\right).$

模型(1)中的目标函数是线性函数，但是约束条件是二次函数，这是一个非线性规划问题。由数学期望的Cauchy-Schwarz不等式可知 $\Sigma$ 是一个半正定矩阵，则上述模型是一个非线性凸优化问题，当n很大时，一般很难求出其显示解，可以通过进化策略迭代计算数值解。对于风险资产，一般来说收益率的精确分布未知，一般情况下也不是服从正态分布，因此我们将通过历史数据对数学期望和协方差进行估计，矩估计量满足相合性，也易于计算，在实证分析中我们采用矩估计量。

设对第i只风险资产，我们得到T个样本值，记为 $r_{it},t=1,\cdots ,T;i=1,\cdots ,n$。则数学期望和协方差的矩估计值分别为：

$\begin{array}{l}\hat{E}\left(R_i\right)={\bar{r}}_i,\\ {\hat{\sigma }}_{ij}=\frac{1}{T}{\displaystyle \underset{t=1}{\overset{T}{\sum }}\left(r_{it}-{\bar{r}}_i\right)\left(r_{jt}-{\bar{r}}_j\right)}\end{array}$

其中 ${\bar{r}}_i=\frac{1}{T}{\displaystyle \underset{t=1}{\overset{T}{\sum }}{r}_{it}},i=1,\cdots ,n$。

把上述估计值代入到模型(1)中，通过进化策略计算方法可以求出模型的优化解。

2.2. 均值–下半方差模型

对于投资者来说，收益越高越好。在均值–方差模型中，用方差刻画风险，有其不合理成分，因为高于期望收益的部分是投资者喜好的，是收益，低于期望收益的部分才是投资者想回避的风险。鉴于此，后来的学者次采用下半方差(downside semi-variance)刻画风险，从而建立均值–下半方差投资组合模型(这部分内容主要参考文献 [2] 和 [6])。下半方差只关注低于期望收益率的部分，具体来说，设R为某项风险资产的收益率，为随机变量，下半方差(记为 ${\sigma }_l^2$ )定义如下：

${\sigma }_l^2:=E\left[{\left(\min \left\{0,R-E\left(R\right)\right\}\right)}^2\right]$ (4)

为方便起见，一个实数a的负部记为 $a^{-}$，其中 $a^{-}=\frac{\left|a\right|-a}{2}=\frac{\sqrt{a^2}-a}{2}$。则随机收益率R的下半方差可以写为：

${\sigma }_l^2=E\left[{\left({\left(R-E\left(R\right)\right)}^{-}\right)}^2\right].$

则建立均值–下半方差模型如下：

$\begin{array}{l}\max {\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}{x}_{i}E\left(R_i\right)}\\ \text{s}\text{.t}\text{.}E\left[{\left({\left({\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}{x}_i{R}_i-E\left({\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}{x}_i{R}_i}\right)}\right)}^{-}\right)}^2\right]\le {\sigma }_0^2\\ {\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}{x}_i}=1,x_i\ge 0,i=0,1,\cdots ,n\end{array}$ (5)

对于任何两个实数 $a,b$ 和非负实数 $\lambda ,\mu$，我们有 ${\left(\lambda a+\mu b\right)}^{-}\le \lambda a^{-}+\mu b^{-}$，则模型非线性不等式约束条件 的左边满足

$\begin{array}{l}E\left[{\left({\left({\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}{x}_i{R}_i-E\left({\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}{x}_i{R}_i}\right)}\right)}^{-}\right)}^2\right]\\ \le E\left[{\left({\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}{x}_i{\left(R_i-E\left(R_i\right)\right)}^{-}}\right)}^2\right]\left(由数学期望的线性性质和负部函数的不等式得\right)\\ =E\left[{\displaystyle \underset{i,j=0}{\overset{n}{\sum }}{x}_i{x}_j{\left(R_i-E\left(R_i\right)\right)}^{-}{x}_j{\left(R_j-E\left(R_j\right)\right)}^{-}}\right]\\ \stackrel{记为}{{\displaystyle =}}{\displaystyle \underset{i,j=0}{\overset{n}{\sum }}{x}_i{x}_j{\sigma }_{lij}}\left(称{\sigma }_{lij}为R_i与R_j的下半协方差\right)\end{array}$

由于 $R_0$ 为无风险资产的收益率，与时间无关，为求解方便，把上述均值–半方差模型转化为如下模型

$\begin{array}{l}\max {\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}{x}_i}E\left(R_i\right)\\ {\displaystyle \underset{i,j=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_i{x}_j{\sigma }_{lij}}\le {\sigma }_0^2\\ {\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}{x}_i}=1,x_i\ge 0,i=0,1,\cdots ,n\end{array}$ (6)

同样，模型(6)的不等式约束可以用矩阵表示为

$X^{\text{T}}{\Sigma }^{-}X\le {\sigma }_0^2,$ (7)

其中， ${\Sigma }^{-}={\left({\sigma }_{ij}^{-}\right)}_{n\times n},{\sigma }_{ij}^{-}=E\left[{\left(R_i-E\left(R_i\right)\right)}^{-}{\left(R_j-E\left(R_j\right)\right)}^{-}\right]$。

给定历史收益率数据 $r_{it},i=0,\cdots ,n;t=1,\cdots ,T$， ${\sigma }_{lij}$ 的矩估计值为

${\hat{\sigma }}_{lij}=\frac{1}{T}{\displaystyle \underset{t=1}{\overset{T}{\sum }}{\left(r_{it}-{\bar{r}}_i\right)}^{-}{\left(r_{jt}-{\bar{r}}_j\right)}^{-}}.$

3. 实证分析

我们选取招商银行(SH600036)、中国船舶(SH600150)、美的集团(SZ000333)、潍柴动力(SZ000338)四只股票作为风险资产，中国银行的活期存款产品作为无风险资产，分别用方差和下半方差测度风险构造投资组合，在一定的风险条件下，寻求组合收益率最大化的资金分配方案。数据来源于新浪财经网站https://finance.sina.com.cn/，采样时间段为2022-01-04至2022-07-28。四只股票的收益率时序图如下：

说明：用 $S_t,S_t^u,S_t^l$ 分别表示第t日股票的收盘价、最高价和最低价，图中蓝色是每日对数收益率上限曲线，即纵坐标的值为 $\ln S_t^u-\ln S_{t-1}$，绿色是每日对数收益曲线，即纵坐标的值为 $\ln S_t-\ln S_{t-1}$，红色为每日对数收益率下限曲线，即纵坐标的值为 $\ln S_t^l-\ln S_{t-1}$。

Figure 1. Time series of daily return for four stocks

图1. 四只股票的日收益率时序图

根据图1给出的数据，我们采用矩估计法计算四只股票的样本协方差矩阵和样本下半协方差矩阵，经过计算，发现四只股票的平均收益率均小于零，对上述两个模型求解，必然得到无风险资产的份额为100%，这对一个投资者来说不是最优的。有经验的投资者会捕捉市场波动的机会，获得更多收益，因此模型中我们采用收益率上限。经计算，收益率上限的样本平均值、样本协方差矩阵和样本下半协方差矩阵分别为：

$\hat{E}\left(R_1\right)=0.01684407,\hat{E}\left(R_2\right)=0.01904273,\hat{E}\left(R_3\right)=0.01661454,\hat{E}\left(R_4\right)=0.01627007,$

无风险日均利率 $R_0=0.000055$，

$\Sigma =\left(\begin{array}{llll}2.837226\times {10}^{-4}\hfill & 1.887238\times {10}^{-5}\hfill & 1.429994\times {10}^{-4}\hfill & 8.443690\times {10}^{-5}\hfill \\ 1.887238\times {10}^{-5}\hfill & 3.626256\times {10}^{-4}\hfill & 4.561091\times {10}^{-5}\hfill & 5.676520\times {10}^{-5}\hfill \\ 1.429994\times {10}^{-4}\hfill & 4.561091\times {10}^{-5}\hfill & 2.760428\times {10}^{-4}\hfill & 5.564747\times {10}^{-5}\hfill \\ 8.443690\times {10}^{-5}\hfill & 5.676520\times {10}^{-5}\hfill & 5.564747\times {10}^{-5}\hfill & 2.647150\times {10}^{-4}\hfill \end{array}\right),$

${\Sigma }^{-}=\left(\begin{array}{llll}9.339035\times {10}^{-5}\hfill & 1.831235\times {10}^{-5}\hfill & 3.130150\times {10}^{-5}\hfill & 2.948742\times {10}^{-5}\hfill \\ 1.831235\times {10}^{-5}\hfill & 5.104755\times {10}^{-5}\hfill & 5.643519\times {10}^{-6}\hfill & 2.388866\times {10}^{-5}\hfill \\ 3.130150\times {10}^{-5}\hfill & 5.643519\times {10}^{-6}\hfill & 6.268239\times {10}^{-5}\hfill & 1.973065\times {10}^{-5}\hfill \\ 2.948742\times {10}^{-5}\hfill & 2.388866\times {10}^{-5}\hfill & 1.973065\times {10}^{-5}\hfill & 7.940688\times {10}^{-5}\hfill \end{array}\right).$

把这里的数据代入到上述均值–方差和均值–下半方差模型中，利用R软件中的程序包NLoptr2.7.1中的NLOPT_GN_ISRES (Improved Stochastic Ranking Evolution Strategy)算法和NLOPT_LN_COBYLA (Constrained Optimization By Linear Approximations)算法，参数设定xtol_rel：1.0e-06，maxeval：1.0e+06，对上述两个非线性规划问题求解，得到最优目标函数值和相应投资份额如下表所示：

Table 1. Solutions to two models with different risk constraint

表1. 在不同风险约束条件下两个模型的求解结果

从表1中可以看出，两个模型的解对风险约束水平比较敏感，约束边界越小，最优投资越分散，但均值–下半方差模型的稳健性更好。相同风险约束边界的条件下，均值–下半方差模型给出的投资策略收益比均值–方差模型给出的投资策略收益更高。从表中可以看出，所有的模型的结果都是倾向于把绝大部分资金分配给中国船舶，这和中国船舶在采样时间段内的平均投资收益率最高，下半方差最小相吻合。

为直观起见，我们画出约束条件与目标函数值的散点图，从图上看出均值–方差模型和均值–下半方差模型的散点图差异明显。

Figure 2. Plot of optimal return and risk constraint

图2. 风险约束条件和最优组合收益率散点图

4. 结论与讨论

从理论上说，下半方差越大，投资低于预期收益的概率越大，这是投资者需要回避的风险，方差既包含低于期望收益的部分，也包含高于期望收益的部分，因此下半方差刻画风险更合理。通过实证分析，我们发现在相同的约束条件下，均值–下半方差投资组合模型的最优组合收益率较均值–方差模型的最优收益率高，从图2可以看出，均值–下半方差的目标函数与风险值与约束条件的散点图基本在一条直线上，而均值–方差模型的目标函数值关于约束条件变化很敏感，据我们所知，这个特征在以往的文献中未曾讨论。