一类液晶系统基态解和无穷多解的存在

Existence of Ground State Solutions and Infinitely Many Solutions for a Class of Liquid Crystal Systems

摘要: 在这篇文章中，我们主要证明一类液晶系统基态解的存在性。在V和 g的假设下，我们利用Nehari流形的方法找到了这个解。之后，我们利用山路定理的方法证明了这类液晶系统非平凡解的存在性。最后我们对上述系统做了一些改进，利用亏格理论的方法证明了液晶系统的多重性结果，即证明了该系统无穷多解的存在性。

Abstract: In this paper, we aim to prove the existence of ground state solutions for a class of liquid crystal system. Under the assumptions of V and the nonlinearity g, we find this solution using the Nehari manifold. After that, we prove the existence of nontrivial solutions of liquid crystal system by using the method of Mountain Pass Theorem. Finally, we have made some improvements, and prove a different type of multiplicity result by applying the Krasnoselskii genus theory, the existence of infinitely many solutions to the system.

1. 引言

本文考虑下面的液晶系统

$\{\begin{array}{ll}-\Delta u+V\left(x\right)u+\gamma u\theta =g\left(u\right),\hfill & x\in {ℝ}^2.\hfill \\ -\Delta \theta +c^2=u^2,\hfill & x\in {ℝ}^2,\hfill \end{array}$ (1)

其中参数 $\gamma \ge 0$， $c>0$ 是一个常数。 $\left(x,y\right)\in {ℝ}^2$， $\Delta ={\partial }_x^2+{\partial }_y^2$ 是横向的拉普拉斯算子。 $u\left(x,y\right)$ 是一个实值函数。方程(1)与文 [1] 中的光电场 $\left(E,\theta \right)$

$\{\begin{array}{l}2i\frac{\partial E}{\partial z}+{\Delta }_{x,y}E+\alpha \left[{\sin }^2\theta -{\sin }^2{\theta }_0\right]E=0,\\ 2{\Delta }_{x,y}\theta +\left[\beta +\alpha {\left|E\right|}^2\right]\sin \left(2\theta \right)=0,\end{array}$ (2)

其中， ${\theta }_0$ 为预倾斜角，表示由静电场诱导的取向， ${\Delta }_{x,y}$ 是拉普拉斯算子。 $\alpha$ 和 $\beta$ 代表向列向液晶分子的光学和静态介电常数。系统(2)模拟了激光在向列相液晶中的传播。在文 [2] 中，Strinic等人利用快速傅里叶变换算法从数值上证明了在狭窄阈值区域内存在稳定孤子。在文 [3] 中，Aleksic等人利用改进的Petviashvili方法和变分法，计算了基本孤子的分布。Panayotaros和Marchant在文 [4] 中，研究了具有贝塞尔势核的二维Hartree型非局域NLS方程的孤子解。

设 $\theta =\bar{\theta }+{\theta }_0$，其中， $\bar{\theta }$ 对应于光诱导的分子重定向，并且 $\bar{\theta }\ll 1$， $\bar{\alpha }=\alpha \sin \left(2{\theta }_0\right)$， $\bar{\beta }=2\beta \cos \left(2{\theta }_0\right)$。利用一阶近似，可推得下列的低阶近似模型：

$\{\begin{array}{l}2i\frac{\partial E}{\partial z}+{\Delta }_{x,y}E+\bar{\alpha }\bar{\theta }E=0,\\ 2{\Delta }_{x,y}\bar{\theta }+\bar{\beta }\bar{\theta }+\bar{\alpha }{\left|E\right|}^2=0.\end{array}$ (3)

在文 [3] 中，Aleksic等人使用了一种迭代的数值方法求该模型的精确基本型不变解，将变分法应用于单轴向列相液晶中光束传播的标量模型，并与数值模拟结果进行了比较，通过直接的数值模拟，在有噪声和无噪声的情况下，验证了孤子解的稳定性，之后对(3)应用无量纲化过程，得到下列无量纲动力演化系统

$\{\begin{array}{l}2i\frac{\partial E}{\partial z}+{\Delta }_{x,y}E+\gamma \psi E=0,\\ {\Delta }_{x,y}\psi -c^2\psi =4\pi {\left|E\right|}^2=0,\end{array}$ (4)

其中参数 $\gamma \ge 0$， $c>0$ 是一个常数。Hu等人在文 [5] 中证明了(4)向列向液晶中非局域孤子间的相互作用可以由非局域程度来控制。对于给定的波束宽度，可以通过偏置电压V改变NLC分子的前倾角 ${\theta }_0$ 来调整非局域程度。文 [6] 中，作者考虑了系统(4)的驻波解，其形式为

$E\left(x,y,z\right)={\text{e}}^{i\omega z}u\left(x,y\right)$ ,

其中， $\omega >0$， $u\left(x,y\right)$ 是实值函数，则系统(4)退化为下列系统

$\{\begin{array}{ll}\Delta u-2\omega u+\gamma u\psi =0,\hfill & \left(x,y\right)\in {ℝ}^2.\hfill \\ -\Delta \psi +c^2\psi =4\pi u^2,\hfill & \left(x,y\right)\in {ℝ}^2.\hfill \end{array}$ (5)

文 [6] 中，作者利用山路定理和亏格理论，证明了径向对称孤立波的存在性和多重性。

当 $c=0$ 时，(5)退化为下列Schrödinger-Possion系统

$\{\begin{array}{ll}-\Delta u+V\left(x\right)u+\varphi u=f\left(x,u\right),\hfill & x\in {ℝ}^2,\hfill \\ \Delta \varphi =u^2,\hfill & x\in {ℝ}^2.\hfill \end{array}$ (6)

关于 ${ℝ}^2$ 上Schrödinger-Possion系统的变分方法研究，许多学者研究了其基态解、束缚态解，无穷多解的存在性。特别地，在文 [7] 中，Alves等人利用Nehari流形的方法证明了Schrödinger-Poisson系统(6)当 $V\left(x\right)=1$ 时其最小能量正解的存在性。Chen等人在系统(6)的基础上，令 $f\left(x,u\right)=f\left(u\right)$，采用变分方法在文 [8] 中研究了平面薛定谔泊松系统在轴对称函数空间中存在一个非平凡解和一个具有最小能量的基态解，其中 $V\left(x\right)$ 是轴对称的，进一步改进 $V=1$， $f\left(u\right)={\left|u\right|}^{p-2}u$，且 $2<p<6$ 的情形。之后，在文 [9] 中，假设V轴对称和f满足Trudinger-Moser的意义上是次临界或临界指数增长，利用Nehari流形以及山路定理，证明了系统(6)基态解以及无穷多解的存在性。

受上述文献的启发，我们主要研究系统(1)基态解的存在性和无穷多解的存在性。本文主要关注系统(1)正解的存在性，不妨假设 $g\left(t\right)=0,t<0$。假设 $V,g$ 满足如下条件：

(V₁) $V\in C\left({ℝ}^2,\left(0,\infty \right)\right)$，存在 ${\alpha }_0>0$，使得 $\underset{{ℝ}^2}{\inf }V\left(x\right)\ge {\alpha }_0>0$，并且有 $\underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }V\left(x\right)=+\infty$ ；

(g₁) $g\in C^1\left(ℝ,ℝ\right)$，存在 ${\alpha }_0>0$，使得

(i)当 $\alpha >{\alpha }_0$ 时， $\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{g\left(t\right)}{{\text{e}}^{\alpha t^2}}=0$ ；

(ii) 当 $\alpha <{\alpha }_0$ 时， $\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{g\left(t\right)}{{\text{e}}^{\alpha t^2}}=+\infty$ ；

(g₂) $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{g\left(t\right)}{t}=0$ ；

(g₃) 存在 $\vartheta >2$，使得对任意的 $t>0$，都有 $0<\vartheta G\left(t\right)\le g\left(t\right)t$ ；

(g₄) 函数 $t\to \frac{g\left(t\right)}{t^3}$ 在区间 $\left(0,+\infty \right)$ 上单调递增；

(g₅) 存在 $p>4$， $\tau >\max \left\{1,{\tau }^{*}\right\}$，使得 $g\left(t\right)>\tau t^{p-1},\forall t>0$，其中，

${\tau }^{*}:={\left(\frac{2p{\alpha }_0{c}_p}{\pi \left(p-4\right)}\right)}^{\frac{p-2}{2}}$ .

我们主要结果陈述如下：

定理1.1设V满足V₁，g满足(g₁)~(g₅)。那么系统(1)至少存在一个基态解。

定理1.2设V满足V₁，g满足(g₁)~(g₅)。那么系统(1)至少存在一个非平凡解。

定理1.3设V满足V₁，g满足(g₁)~(g₄)。那么存在无穷多解 $\left({\gamma }_n,u_n,{\theta }_n\right)\in {ℝ}^{+}\times E\times H^1\left({ℝ}^2\right)$，使得 $\left({\gamma }_n,u_n,{\theta }_n\right)$ 是下列系统

$\{\begin{array}{ll}-\Delta u+V\left(x\right)u-\gamma u\theta =\gamma g\left(u\right),\hfill & x\in {ℝ}^2.\hfill \\ -\Delta \theta +c^2\theta =u^2,\hfill & x\in {ℝ}^2\hfill \end{array}$

的弱解。

本文结构如下：在第二节我们给出了几个准备性引理。在第三节证明定理1.1。第四节将给出定理1.2的证明。第五节证明定理1.3。

2. 准备性工作

设 $H^1\left({ℝ}^2\right)=\left\{u\in L^2\left({ℝ}^2\right)|\nabla u\in L^2\left({ℝ}^2\right)\right\}$，其上赋予范数

$\Vert u\Vert ={\left({\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left({\left|u\right|}^2+{\left|\nabla u\right|}^2\right)\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}$ .

定义空间

$E:=\left\{u\in H^1\left({ℝ}^2\right)|{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }V\left(x\right)u^2\text{d}x<\infty }\right\}$ ,

其上赋予范数

${\Vert u\Vert }_E={\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left({\left|\nabla u\right|}^2+V\left(x\right)u^2\right)\text{d}x}$

在此范数下，E是一个Hilbert空间。由假设(V₁)，显然可得 $E\subset H^1\left({ℝ}^2\right)$，并且E紧嵌入 $L^q\left({ℝ}^2\right)$， $2\le q<+\infty$。

对于系统(1)中的第二个方程，利用Lax-Milgram定理，易证得如下结论，证明见 [6]。

引理2.1. 对任意的 $u\in H^1\left({ℝ}^2\right)$，存在唯一的 $\theta =\theta \left(u\right)\in H^1\left({ℝ}^2\right)$，使得

(i) $\theta$ 是系统(1)第二个方程的解；

(ii) $\theta$ 满足： $\Vert \theta \left(u\right)\Vert \le C{\Vert u\Vert }_p^2$，其中 $p>2$，C是一个常数；

(iii) $\theta :H^1\left({ℝ}^2\right)\to H^1\left({ℝ}^2\right)$ 连续；

(iv) 在 ${ℝ}^2$ 上， $\theta \left(u\right)\ge 0$，且对于任意的 $s\in ℝ$， $\theta \left[su\right]=s^2\theta \left[u\right]$。

此外，由文 [10] 可知，系统(1)第二个方程的解 $\theta \left(u\right)$ 显示表达为

$\theta \left[u\right]\left(x,y\right)={\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }4\pi E_2}\left(c\left(x-s\right),c\left(y-t\right)\right)u^2\left(s,t\right)\text{d}t$ ,

其中， $E_2\left(x,y\right)=\frac{1}{2\pi }{K}_0\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)\in L^r\left({ℝ}^2\right),1\le r<+\infty$，

这里， $K_0\left(r\right)\ge 0$，是第二类零阶修正贝塞尔函数，且具有如下性质：

(i) $K_0\in C^{\infty }\left(\left(0,\infty \right)\right)$， $K_0\left(r\right)>0$， $r>0$，并且 ${\left\{K_0\left(r\right)\right\}}^{\prime }=-K_1\left(r\right)$， $r>0$ ；

(ii) 当 $r\to 0$ 时，有 $\frac{K_0\left(r\right)}{-\ln r}\to 1$， $r{K^{\prime }}_0\left(r\right)\to -L_0$， $L_0>0$ ；

(iii) 当 $r\to \infty$ 时， ${\text{e}}^r{K}_0\left(r\right)\to 0$， ${\text{e}}^r{K^{\prime }}_0\left(r\right)\to 0$。

由引理2.1，系统(1)可约化为经典的Schrödinger方程

$-\Delta u+V\left(x\right)u+\gamma u\theta =g\left(u\right),x\in {ℝ}^2$ (7)

根据文 [10] 中定理2.14知( $W^{2,p}$ -估计)，如果 $u\in H^1\left({ℝ}^2\right)$ 固定，那么 $\theta \in W^{2,r}\left({ℝ}^2\right)$，对任意 $r\ge 2$，利用Sobolev嵌入定理，知 $\theta \in C^{1,\alpha }\left({ℝ}^2\right)$， $\alpha \in \left(0,1\right)$。椭圆正则性的 $W^{2,p}$ 估计，蕴含了 $u\in W_{loc}^{2,p}\left({ℝ}^2\right)$，对任何 $p\ge 1$，利用Sobolev嵌入定理，知 $u\in C_{loc}^{1,\beta }\left({ℝ}^2\right)$， $\beta \in \left(0,1\right)$。对第二个方程使用Shauder估计，得 $\theta \in C_{loc}^{3,\gamma }\left({ℝ}^2\right)$， $\gamma =\min \left\{\alpha ,\beta \right\}$。

问题(7)对应的能量泛函 $I:E\to ℝ$ 为

$I\left(u\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left({\left|\nabla u\right|}^2+V\left(x\right)u^2\right)\text{d}x}+\frac{\gamma }{4}{\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }{u}^2\theta \left[u\right]\text{d}x}-{\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }G\left(u\right)\text{d}x}$ (8)

由假设(g₁)和(g₂)，容易验证 $I\in C^1\left(E,ℝ\right)$，且对任意的 $v\in E$，有

$\langle I^{\prime }\left(u\right),v\rangle =\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left(\nabla u\nabla v+V\left(x\right)uv\right)\text{d}x}+\frac{\gamma }{4}{\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }u\theta \left[u\right]v\text{d}x}-{\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }g\left(u\right)v\text{d}x}$

因此， $u\in E$ 是方程(7)的弱解当且仅当u是泛函I的临界点。

引理2.2. [6] 如果在E中， $u_n$ 弱收敛于u，那么在E中 $\theta \left[u_n\right]\to \theta \left[u\right]$，并且

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\theta \left(u_n\right)u_n^2\text{d}x}={\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\theta \left(u\right)u^2\text{d}x}$ (9)

我们回顾 ${ℝ}^2$ 上的Trudinger-Moser不等式，见文 [11]。

引理2.3. 对于任意的 $u\in H^1\left({ℝ}^2\right)$， $\alpha >0$，都有 $e^{\alpha {\left|u\right|}^2}-1\in L^1\left({ℝ}^2\right)$。此外，对于 $M>0$， $\alpha <4\pi$，如果 ${\Vert \nabla u\Vert }_2^2\le 1$， ${\Vert u\Vert }_2^2\le M$，那么存在 $C=C\left(M,\alpha \right)>0$，使得

${\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left(e^{\alpha {\left|u\right|}^2}-1\right)\text{d}x}\le C$ .

注：由(g₂)可得，对于任意的 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得

$\left|g\left(t\right)\right|\le \epsilon \left|t\right|,\left|G\left(t\right)\right|\le \frac{1}{2}\epsilon {\left|t\right|}^2,0<t\le \delta$ (10)

另一方面，由(g₁)，给定 $\alpha >{\alpha }_0$，存在 ${\delta }_1>0$，使得

$\left|g\left(t\right)\right|\le \epsilon \left(e^{\alpha t^2}-1\right),t\ge {\delta }_1$ .

于是，当 $t\ge {\delta }_1$ 时，有

$\left|g\left(t\right)t\right|\le \frac{\epsilon }{{\delta }_1^2}{t}^2\left(e^{\alpha t^2}-1\right),\left|G\left(t\right)\right|\le \frac{\epsilon }{{\delta }_1^2}\left(e^{\alpha t^2}-1\right)$ (11)

因此，根据(10)~(11)，对于 $\epsilon >0$， $\alpha >{\alpha }_0$，存在 $C_{\epsilon }>0$，使得对任意的 $u\in E$， $q>2$，都有

${\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }g\left(u\right)u\text{d}x}\le \epsilon {\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left|u\right|}^2\text{d}x}+C_{\epsilon }{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left|u\right|}^q}\left({\text{e}}^{\alpha u^2}-1\right)\text{d}x$ (12)

${\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }G\left(u\right)\text{d}x}\le \frac{\epsilon }{2}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left|u\right|}^2\text{d}x}+{\bar{C}}_{\epsilon }{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left|u\right|}^q}\left({\text{e}}^{\alpha u^2}-1\right)\text{d}x$ (13)

引理2.4. 函数 $h\left(t\right)=g\left(t\right)t-4G\left(t\right)$ 在 $\left(0,+\infty \right)$ 上单调递增。

证明：当 $0<s<t$ 时，由(g₄)得，

$\begin{array}{c}h\left(s\right)=g\left(s\right)s-4G\left(s\right)=\frac{g\left(s\right)}{s^3}{s}^4-4G\left(t\right)+4{\displaystyle {\int }_s^{t}g\left(\tau \right)\text{d}\tau }\\ \le \frac{g\left(t\right)}{t^3}{s}^4-4G\left(t\right)+\frac{g\left(t\right)}{t^3}\left(t^4-s^4\right)<g\left(t\right)-4G\left(t\right)=h(\; t\; )\end{array}$

得证。

3. 定理1.1 的证明

定义. Nehari流形

$N=\left\{u\in E\backslash \left\{0\right\},\langle I^{\prime }\left(u\right),u\rangle =0\right\}$ .

引理3.1. $N\ne \varnothing$。

证明：设 $u\in E\backslash \left\{0\right\}$，且 $u\ge 0$，令 ${\eta }_u\left(t\right)=I\left(tu\right),t>0$。显然 ${\eta }_u\left(t\right)\in C^1\left(ℝ\right)$，并且 $tu\in N$ 当且仅当 ${{\eta }^{\prime }}_u\left(t\right)=0$。由(12)以及Holder不等式可得

$\begin{array}{c}{{\eta }^{\prime }}_u\left(t\right)=t{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left({\left|\nabla u\right|}^2+V\left(x\right)u^2\right)\text{d}x}+\gamma t^3{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}^2}\theta \left[u\right]\text{d}x-{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }g\left(tu\right)u\text{d}x}\\ \ge t{\Vert u\Vert }_E^2+\gamma t^3{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}^2}\theta \left[u\right]\text{d}x-\epsilon t{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left|u\right|}^2\text{d}x}-t^{q-1}{\bar{C}}_{\epsilon }{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left|u\right|}^q}\left({\text{e}}^{\alpha {\left|u\right|}^2}-1\right)\text{d}x\\ \ge t\left(\frac{1}{2}-\frac{C\epsilon }{2}\right){\Vert u\Vert }_E^2+\gamma t^3{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}^2\theta \left[u\right]\text{d}x-t^{q-1}}{\bar{C}}_{\epsilon }{\left({\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left|u\right|}^{q{s}^{\prime }}\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{s^{\prime }}}{\left[{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left({\text{e}}^{\alpha s{\Vert tu\Vert }_{H^1}^2{\left(\frac{u}{{\Vert u\Vert }_{H^1}}\right)}^2}-1\right)\text{d}x}\right]}^{\frac{1}{s}}\end{array}$ ,

其中 $s,s^{\prime }>1$。选取 $\alpha >{\alpha }_0$， $t_1>0$，使得 $\alpha s{\Vert t_{1}u\Vert }_{H^1\left({ℝ}^2\right)}^2<4\pi$，利用引理2.4，可得

${\eta }_u\left(t\right)\ge D_{1}t+D_2{t}^3-D_3{t}^{q-1},0<t\le t_1$

其中， $D_1=\left(\frac{1}{2}-\frac{C\epsilon }{2}\right){\Vert u\Vert }_E^2$， $D_2=\gamma {\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}^2\theta \left[u\right]\text{d}x}$， $D_3={\bar{C}}_{\epsilon }{\left({\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left|u\right|}^{q{s}^{\prime }}\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{s^{\prime }}}$。由于 $q>2$，因此存在 $0<t^{*}<t_1$，使得对所有的 $0<t<t^{*}\le t_1$，都有 ${\eta }_u\left(t\right)>0$。

另一方面，由(g₅)和引理2.3，易得

${{\eta }^{\prime }}_u\left(t\right)\le t{\Vert u\Vert }_E^2+\gamma t^3{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}^2\theta \left[u\right]\text{d}x}-\tau t^{p-1}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}^p\text{d}x}$ .

由于 $p>4$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{{\eta }^{\prime }}_u\left(t\right)\to -\infty$。因此，至少存在一个 $t_u>0$，使得 ${{\eta }^{\prime }}_u\left(t_u\right)=0$，即 $t_{u}u\in N$，因此 $N\ne \varnothing$。

引理3.2. 存在常数 $C>0$，使得对任意的 $u\in N$，都有 ${\Vert u\Vert }_E\ge C$。

证明：反证法，假设存在序列 $\left\{u_n\right\}\subset N$，使得在E上

$u_n\to 0$ (14)

因此，由(12)可得

${\Vert u\Vert }_E^2\le \gamma {\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}_n^2}\theta \left[u_n\right]\text{d}x+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }g\left(u_n\right)u_n\text{d}x}\le \epsilon {\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left|u_n\right|}^2\text{d}x}+C_{\epsilon }{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left|u_n\right|}^q}\left(e^{\alpha u_n^2}-1\right)\text{d}x$

由Hölder不等式， $s^{\prime },s>1$，有

$\left(1-C_{\epsilon }\right){\Vert u_n\Vert }_E^2\le {\bar{C}}_{\epsilon }{\left({\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left|u_n\right|}^{q{s}^{\prime }}\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{s^{\prime }}}{\left[{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left(e^{\alpha s{\Vert u_n\Vert }_{H^1}^2{\left(\frac{u}{{\Vert u_n\Vert }_{H^1}}\right)}^2}-1\right)\text{d}x}\right]}^{\frac{1}{s}}$

利用(14)，存在 $n_0\in \mathbb{N}$，使得 $\underset{n\ge n_0}{\sup }\left\{\alpha s{\Vert u_n\Vert }_E^2\right\}={\alpha }^{*}<4\pi$，由引理2.3，Sobolev嵌入定理，可得

$\left(1-C_{\epsilon }\right){\Vert u_n\Vert }_E^2\le M{C}_{\epsilon }{\left({\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left|u_n\right|}^{q{s}^{\prime }}\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{s^{\prime }}}\le M{C}_{\epsilon }C{\Vert u_n\Vert }_E^q$ .

上述不等式蕴含着 $\frac{1-C_{\epsilon }}{M{C}_{\epsilon }C}\le {\Vert u_n\Vert }_E^{q-2}$。由于 $q>2$ 与(14)矛盾。得证。

考虑极小化问题

$\underset{u\in N}{\inf }I\left(u\right)=c$

引理3.3. $c>0$。

证明：对任意的 $u\in N$，由引理3.2和引理2.4得

$\begin{array}{c}I\left(u\right)=I\left(u\right)-\frac{1}{4}\langle I^{\prime }\left(u\right),u\rangle \\ =\frac{1}{4}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left({\left|\nabla u\right|}^2+V\left(x\right)u^2\right)\text{d}x}+\frac{1}{4}{\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }\left(\frac{1}{4}g\left(u\right)u-G\left(u\right)\right)\text{d}x}\\ \ge \frac{1}{4}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left({\left|\nabla u\right|}^2+V\left(x\right)u^2\right)\text{d}x}\ge C>0\end{array}$ .

因此， $c>0$。

引理3.4. 设 $u_n\in N$，满足 $I\left(u_n\right)\to c$，则 $\left\{u_n\right\}$ 在E中有界。

证明：由 $I\left(u_n\right)\to c$， $\langle I^{\prime }\left(u_n\right),u_n\rangle =0$，以及引理2.4，计算得

$c+o_n\left(1\right)=I\left(u_n\right)-\frac{1}{4}\langle I^{\prime }\left(u_n\right),u_n\rangle =\frac{1}{4}{\Vert u_n\Vert }_E^2+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left(\frac{1}{4}g\left(u_n\right)u_n-G\left(u_n\right)\right)\text{d}x}\ge \frac{1}{4}{\Vert u_n\Vert }_E^2$

上式蕴含了 $\left\{u_n\right\}$ 在E中有界。

下面我们考虑问题

$-\Delta u+V\left(x\right)u+\gamma u\theta ={\left|u\right|}^{p-2}u,{ℝ}^2,$

其中 $p>4$，该问题对应的能量泛函 $I_p:E\to ℝ$ 为

$I_p\left(u\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left({\left|\nabla u\right|}^2+V\left(x\right)u^2\right)\text{d}x}+\frac{\gamma }{4}{\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }{u}^2\theta \left[u\right]\text{d}x}-\frac{1}{p}{\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }{\left|u\right|}^p\text{d}x}$ .

显然 $I_p\in C^1\left(E,ℝ\right)$。记其对应的Nehari流形为

$N_p=\left\{u\in E\backslash \left\{0\right\},\langle {I^{\prime }}_p\left(u\right),u\rangle =0\right\}$

定义 $c_p=\underset{u\in N_p}{\inf }{I}_p\left(u\right)$。类似于文 [12] 中的讨论，存在 $w_p\in E$，且 $w_p>0$，使得 $I_p\left(w_p\right)=c_p$， ${I^{\prime }}_p\left(w_p\right)=0$，并且

$c_p=I_p\left(w_p\right)=I_p\left(w_p\right)-4\langle {I^{\prime }}_p\left(w_p\right),w_p\rangle =\frac{1}{4}{\Vert w_p\Vert }_E^2+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{p}\right){\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{w}_p^p\text{d}x}\ge \frac{p-4}{4p}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{w}_p^p\text{d}x}$ (15)

下面我们对极小能量值 $c=\underset{N}{\inf }I$ 进行估计。

引理3.5. $c\le \frac{2p{c}_p}{\left(p-4\right){\tau }^{\frac{2}{p-2}}}$。

证明：利用 $\langle {I^{\prime }}_p\left(w_p\right),w_p\rangle =0$，以及条件(g₅)可得

${\Vert w_p\Vert }_E^2+\gamma {\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{w}_p^2}\theta \left[w_p\right]\text{d}x={\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{w}_p^p\text{d}x}\le \tau {\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{w}_p^p\text{d}x}\le {\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }g\left(w_p\right)w_p\text{d}x}$

上述不等式蕴含了 $\langle I^{\prime }\left(w_p\right),w_p\rangle \le 0$。类似于之前的证明，利用零点定理可得存在 $\beta \in \left(0,1\right]$，使得 $\beta w_p\in N$。利用条件(g₅)，以及 $\langle {I^{\prime }}_p\left(w_p\right),w_p\rangle =0$，推得

$\begin{array}{c}c\le \frac{{\beta }^2}{2}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left({\left|\nabla w_p\right|}^2+V\left(x\right)w_p^2\right)\text{d}x}+\frac{\gamma {\beta }^4}{4}{\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }{w}_p^2\theta \left[w_p\right]\text{d}x}-{\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }G\left(\beta w_p\right)\text{d}x}\\ \le \frac{{\beta }^2}{2}\left({\Vert w_p\Vert }_E^2+\frac{\gamma }{2}{\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }{w}_p^2\theta \left[w_p\right]\text{d}x}\right)-\frac{\tau }{p}{\beta }^p{\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }{w}_p^p\text{d}x}\\ \le \frac{{\beta }^2}{2}\left({\Vert w_p\Vert }_E^2+\gamma {\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }{w}_p^2\theta \left[w_p\right]\text{d}x}\right)-\frac{\tau }{p}{\beta }^p{\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }{w}_p^p\text{d}x}\\ \le \left(\frac{{\beta }^2}{2}-\frac{\tau }{p}{\beta }^p\right){\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }{w}_p^p\text{d}x}\end{array}$ .

由(15)得 $c\le \left(\frac{{\beta }^2}{2}-\frac{\tau }{p}{\beta }^p\right)\frac{c_{p}4p}{p-4}\le \underset{s\ge 0}{\max }\left[\frac{s^2}{2}-\frac{\tau }{p}{s}^p\right]\frac{c_{p}4p}{p-4}$。因此可以推得

$c\le \frac{1}{2}{\left(\frac{1}{\tau }\right)}^{\frac{2}{p-2}}\frac{4p{c}_p}{p-4}=\frac{2p{c}_p}{\left(p-4\right){\tau }^{\frac{2}{p-2}}}$ .

引理3.6. 设 $u_n\in N$ 为极小化序列。则 $\underset{n\to \infty }{\lim \sup }{\Vert u_n\Vert }_E^2<\frac{4\pi }{{\alpha }_0}$。不妨假设存在 $m\in \left(0,\frac{4\pi }{{\alpha }_0}\right)$，使得 ${\Vert u_n\Vert }_E^2\le m,\forall n\in \mathbb{N}$。

证明：由引理3.4和引理3.5，可得 ${\Vert u_n\Vert }_E^2\le 4c+o_n\left(1\right)\le \frac{8p{c}_p}{\left(p-4\right){\tau }^{\frac{2}{p-2}}}+o_n\left(1\right)$，利用条件(g₅)可得： $\tau >{\tau }^{*}$，因此 $\underset{n\to \infty }{\lim \sup }{\Vert u_n\Vert }_E^2\le \frac{8p{c}_p}{\left(p-4\right){\tau }^{\frac{2}{p-2}}}<\frac{4\pi }{{\alpha }_0}$。

固定 $\alpha >{\alpha }_0$，使得 $m\in \left(0,\frac{4\pi }{\alpha }\right)$。另外，由引理3.4，对于上述的极小化序列 $\left\{u_n\right\}$，通过取子列，仍记为 $\left\{u_n\right\}$，假设存在 $u\in E$ 使得在E中， $u_n$ 弱收敛于u，在 $L^p\left({ℝ}^2\right)\left(p\ge 2\right)$ 中， $u_n$ 强收敛于u，在 ${ℝ}^2$ 上， $u_n$ 几乎处处收敛于u。

引理3.7. 存在 $R,\eta >0$， $\left\{y_n\right\}\subset {ℝ}^2$，使得 $\underset{n\to \infty }{\lim \sup }{\displaystyle \underset{B_R\left(y_n\right)}{\int }{\left|u_n\right|}^2\text{d}x\ge \eta }$。

证明：利用文 [13] 中的消失引理，可得 $u_n\to 0$，在 $L^s\left({ℝ}^2\right)\left(2<s<+\infty \right)$。由引理2.1，易推得 ${\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}_n^2\theta \left[u_n\right]\text{d}x\to 0}$。

另一方面，由引理3.6和引理2.3，得 $C_{\epsilon }{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left|u_n\right|}^q}\left({\text{e}}^{\alpha u_n^2}-1\right)\text{d}x\le C{C}_{\epsilon }{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left|u_n\right|}^q\text{d}x}\to 0$。

因此，由(12)得 ${\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }g\left(u_n\right)u_n\text{d}x}\le \epsilon {\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left|u_n\right|}^2\text{d}x}+C_{\epsilon }{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left|u_n\right|}^q}\left({\text{e}}^{\alpha u_n^2}-1\right)\text{d}x\to 0,\epsilon \to 0$。联合

$\langle I^{\prime }\left(u_n\right),u_n\rangle =0$，可推得 ${\Vert u_n\Vert }_E\to 0$，这与引理3.2矛盾，得证。

类似于文 [7] 中的引理4.5，可证得如下结论：

引理3.8.

${\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }g\left(u_n\right)u_n\text{d}x}\to {\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }g\left(u\right)u\text{d}x}$

和

${\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }g\left(u_n\right)w\text{d}x}\to {\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }g\left(u\right)w\text{d}x},\forall w\in E$ .

定理1.1的证明下证序列 $\left\{u_n\right\}$ 的弱极限 $u\in N$，并且 $I\left(u\right)=c$。设 $u_n\in N$，满足 $I\left(u_n\right)\to c$。由范数函数的弱下半连续性，可得

${\Vert u_n\Vert }_E^2\le \underset{n\to \infty }{\lim \inf }\left({\Vert \nabla u_n\Vert }_{L^2}^2+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }V\left(x\right)u_n^2}\text{d}x\right)$

因此，利用引理2.2和引理3.8，可得

${\Vert u_n\Vert }_E^2\le \gamma {\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}^2}\theta \left[u\right]\text{d}x+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }g\left(u\right)u\text{d}x}$ .

类似于引理3.1的证明，存在 $t\in \left(0,1\right]$，使得 $tu\in N$。因此

$c\le I\left(tu\right)=I\left(tu\right)-\frac{1}{4}\langle I^{\prime }\left(tu\right),tu\rangle =\frac{1}{4}{\Vert tu\Vert }_E^2+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left(\frac{1}{4}g\left(tu\right)tu-4G\left(tu\right)\right)\text{d}x}$ .

若 $0<t<1$，则利用引理2.4和Fatou's引理，得 $c\le I\left(tu\right)<\frac{1}{4}{\Vert u\Vert }_E^2+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left(\frac{1}{4}g\left(u\right)u-4G\left(u\right)\right)\text{d}x}\le \frac{1}{4}\underset{n\to \infty }{\lim \inf }\left({\Vert u_n\Vert }_E^2+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left(g\left(u\right)u-4G\left(u\right)\right)\text{d}x}\right)$ 即 $c\le I\left(tu\right)<\underset{n\to \infty }{\lim }I\left(u_n\right)=c$，说明 $0<t<1$ 不可能发生。因此 $t=1$，即 $u\in N$， $I\left(u\right)=c$，得证。

4. 定理1.2的证明注意到 $I\left(0\right)=0$，由引理2.1，以及(12)可得，存在常数 $C>0$，使得

$\begin{array}{c}I\left(u\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left({\left|\nabla u\right|}^2+V\left(x\right)u^2\right)\text{d}x}+\frac{\gamma }{4}{\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }{u}^2\theta \left[u\right]\text{d}x}-{\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }G\left(u\right)\text{d}x}\\ \ge \frac{1}{2}{\Vert u\Vert }_E^2+C_1\gamma {\Vert u\Vert }_E^4-\frac{\epsilon }{2}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left|u\right|}^2\text{d}x}-{\bar{C}}_{\epsilon }{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left|u\right|}^q}\left({\text{e}}^{\alpha u^2}-1\right)\text{d}x\end{array}$

存在 $s,s^{\prime }>1$，使得 $\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{\prime }}=1$，由引理3.6，可选取适当的s，使得 $\alpha s{\Vert u\Vert }_{H^1}^2<4\pi$。利用引理2.3，Sobolev嵌入定理以及Hölder不等式，存在 $C=C\left(M,\alpha \right)>0$，使得

${\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left({\left|u\right|}^q\left({\text{e}}^{\alpha u^2}-1\right)\right)\text{d}x}\le C_{\epsilon }{\left({\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left|u\right|}^{q{s}^{\prime }}}\text{d}x\right)}^{\frac{1}{s^{\prime }}}{\left[{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left({\text{e}}^{\alpha s{\Vert u_n\Vert }_{H^1}^2{\left(\frac{u}{{\Vert u_n\Vert }_{H^1}}\right)}^2}-1\right)\text{d}x}\right]}^{\frac{1}{s}}\le C{\Vert u\Vert }_{q{s}^{\prime }}^q\le C{\Vert u\Vert }_E^q$ (16)

因此，存在 $D_1,D_2>0$，有

$I\left(u\right)\ge \left(\frac{1}{2}-\frac{\epsilon }{2}\right){\Vert u\Vert }_E^2+\gamma D_1{\Vert u\Vert }_E^4-D_2{\Vert u\Vert }_E^q$ .

那么存在常数 $\rho >0,r_0>0$，对于任意的 $u\in \partial B_{\rho }\left(0\right)$，都有 $I\left(u\right)\ge r_0$。设 $u_0\in E$， $u_0\ge 0$，我们有

$I\left(s{u}_0\right)=\frac{s^2}{2}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left({\left|\nabla u_0\right|}^2+V\left(x\right)u_0^2\right)\text{d}x}+\frac{\gamma s^4}{4}{\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }{u}_0^2\theta \left[u_0\right]\text{d}x}-{\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }G\left(s{u}_0\right)\text{d}x},s>0$ .

由条件(g₅)可得， ${\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }G\left(s{u}_0\right)\text{d}t}>\frac{\tau }{p}{\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }{\left(s{u}_0\right)}^p\text{d}t}$。由于 $\gamma \ge 0$，因此当 $s\to +\infty$ 时， $I\left(s{u}_0\right)\to -\infty$。那么存在 $s_0>0$，使得 $s_0{u}_0\not\subset B_{\rho }\left(0\right)$，并且 $I\left(s_0,u_0\right)<0<r_0$。

下面证明泛函I满足PS条件。设 $d\in ℝ$，以及 $\left\{u_n\right\}$ 是E中的序列满足

$I\left(u_n\right)\to d,I^{\prime }\left(u_n\right)\to 0$

直接计算得

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left[{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left({\left|\nabla u_n\right|}^2+V\left(x\right)u_n^2\right)\text{d}x}-4{\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }G\left(u_n\right)\text{d}x}+{\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }g\left(u_n\right)u_n\text{d}x}\right]=\underset{n\to \infty }{\lim }\left[4I\left(u_n\right)-\langle I^{\prime }\left(u_n\right),u_n\rangle \right]=4d$

又因为

${\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }g\left(u_n\right)u_n\text{d}x}-4{\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }G\left(u_n\right)\text{d}x}\ge 0$ .

因此， ${\Vert u_n\Vert }_E^2\le d$，即 $u_n$ 在E中有界。通过取子列，仍记为 $u_n$，不妨假设存在 $u\in E$，使得在E中， $u_n$ 弱收敛于u，在 $L^p\left({ℝ}^2\right)\left(p\ge 2\right)$ 中， $u_n$ 强收敛于u，在 ${ℝ}^2$ 上， $u_n$ 几乎处处收敛于u。

对于任意的 $\phi \in E$，利用Hölder不等式可得

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\theta \left[u_n\right]u_n\phi \text{d}x}-{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\theta \left[u\right]u\phi \text{d}x}\\ ={\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left(\theta \left[u_n\right]-\theta \left[u\right]\right)u_n\phi \text{d}x}+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\theta \left[u\right]}\left(u_n-u\right)\phi \text{d}x\\ \le {\left({\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left(\theta \left[u_n\right]-\theta \left[u\right]\right)}^2\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left|u_n\right|}^3\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{3}}{\left({\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left|\phi \right|}^6\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{6}}\\ +{\left({\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left(\theta \left[u_n\right]-\theta \left[u\right]\right)}^2\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left|u_n-u\right|}^3\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{3}}{\left({\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left|\phi \right|}^6\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{6}}\to 0\end{array}$ (17)

由于在E中， $u_n$ 弱收敛于u，因此

${\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\nabla u_n}\nabla \phi \text{d}x+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }V\left(x\right)u_n}\phi \text{d}x\to {\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\nabla u}\nabla \phi \text{d}x+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }V\left(x\right)u\phi \text{d}x}$ (18)

利用(17)，(18)和引理3.8可得

$\begin{array}{l}\langle I^{\prime }\left(u_n\right),\phi \rangle ={\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\nabla u_n}\nabla \phi \text{d}x+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }V\left(x\right)u_n}\phi \text{d}x+\gamma {\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\theta \left[u_n\right]u_n\phi \text{d}x}-{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }g\left(u_n\right)\phi \text{d}x}\\ \to {\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\nabla u\nabla \phi \text{d}x}+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }V\left(x\right)u\phi \text{d}x}+\gamma {\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\theta \left[u\right]u\phi \text{d}x}-{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }g\left(u\right)\phi \text{d}x}\end{array}$ (19)

因此， $I^{\prime }\left(u\right)=0$，即u是泛函I的临界点。在(19)中，取 $\phi =u_n-u$，即

$\begin{array}{l}\langle I^{\prime }\left(u_n\right),u_n-u\rangle ={\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\nabla u_n}\nabla \left(u_n-u\right)\text{d}x+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }V\left(x\right)u_n}\left(u_n-u\right)\text{d}x\\ +\gamma {\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\theta \left[u_n\right]u_n\left(u_n-u\right)\text{d}x}-{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }g\left(u_n\right)\left(u_n-u\right)\text{d}x}\to 0\end{array}$

利用引理2.2，引理3.4，以及 $\langle I^{\prime }\left(u_n\right),u_n-u\rangle -\langle I^{\prime }\left(u\right),u_n-u\rangle =0$ 可得

${\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{\left|\nabla \left(u_n-u\right)\right|}^2\text{d}x}+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }V\left(x\right)}{\left(u_n-u\right)}^2\text{d}x\to 0$

即 ${\Vert u_n-u\Vert }_E^2\to 0$。因此，在E中， $u_n\to u$。

因此，利用文 [14] 中的山路定理，I至少有一个非平凡临界点 $u\in E$，从而是方程(7)的弱解。

注：定义 $c_0=\underset{g\in \Gamma }{\inf }\underset{u\in g\left(\left[0,1\right]\right)}{\max }I\left(u\right)$，其中 $\Gamma =\left\{g\in C\left(\left[0,1\right],H_0^1\left({ℝ}^2\right)\right)|g\left(0\right)=0,g\left(1\right)=s_0{u}_0\right\}$。当g满足条件(g₁)~(g₅)时，利用文 [13] 中的定理4.2可得： $c=c_0$。

5. 定理1.3的证明

本节我们将证明下面系统

$\{\begin{array}{ll}-\Delta u+V\left(x\right)u-\gamma u\theta =\gamma g\left(u\right),\hfill & x\in {ℝ}^2.\hfill \\ -\Delta \theta +c^2\theta =u^2,\hfill & x\in {ℝ}^2.\hfill \end{array}$ (20)

存在无穷多解 $\left(\gamma ,u,\theta \right)\in {ℝ}^{+}\times E\times H^1\left({ℝ}^2\right)$。

定义泛函 $J:E\times H^1\left({ℝ}^2\right)\to ℝ$，

$J\left(u,\theta \right)=J_1\left(u\right)-\gamma J_2\left(u,\theta \right)$ ,

其中，

$J_1\left(u\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left({\left|\nabla u\right|}^2+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }V\left(x\right)u^2}\right)\text{d}x\text{d}y}$ (21)

$J_2\left(u,\theta \right)=-\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left({\left|\nabla \theta \right|}^2+c^2{\theta }^2\right)\text{d}x}+\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}^2\theta \text{d}x}+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }G\left(u\right)\text{d}x}$

显然，在g满足(g₁)~(g₂)的假设条件下， $J\in C^1\left(E\times H^1\left({ℝ}^2\right),ℝ\right)$，并且J的临界点对应于系统(20)的弱解。

由引理2.1，系统(20)可约化为单个未知函数u的Schrödinger方程

$-\Delta u+V\left(x\right)u=\gamma u\theta \left[u\right]+\gamma g\left(u\right),x\in {ℝ}^2$ , (22)

其对应的能量泛函 ${\rm I}{\rm I}:E\to ℝ$ 为

$\begin{array}{c}{\rm I}{\rm I}\left(u\right)=J\left(u,\theta \left[u\right]\right)\\ =\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left({\left|\nabla u\right|}^2+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }V\left(x\right)u^2}\right)\text{d}x}-\frac{\gamma }{2}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left({\left|\nabla \theta \right|}^2+c^2{\theta }^2\right)\text{d}x}\\ +\frac{\gamma }{2}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}^2\theta \text{d}x}-\gamma {\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }G\left(u\right)\text{d}x}\\ =\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left({\left|\nabla u\right|}^2+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }V\left(x\right)u^2}\right)\text{d}x}-\frac{\gamma }{4}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}^2\theta \left[u\right]\text{d}x}-\gamma {\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }G\left(u\right)\text{d}x}\end{array}$ (23)

由引理2.1， ${\rm I}{\rm I}\in C^1\left(E,ℝ\right)$，通过求导，对任意的 $v\in E$，有

$\langle {\rm I}{{\rm I}}^{\prime }\left(u\right),v\rangle ={\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left(\nabla u\nabla v+V\left(x\right)uv\right)\text{d}x}-\gamma {\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }u\theta \left[u\right]v\text{d}x}-\gamma {\displaystyle \underset{{ℝ}_2}{\int }g\left(u\right)v\text{d}x}$ ,

因此， $u\in E$ 是方程(22)的弱解当且仅当u是II的临界点。

定义泛函 $F:E\to ℝ$ 如下

$F\left(u\right)=J_2\left(u,\theta \left[u\right]\right)=-\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left({\left|\nabla \theta \left[u\right]\right|}^2+c^2{\left|\theta \left[u\right]\right|}^2\right)\text{d}x}+\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}^2\theta \left[u\right]\text{d}x}+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }G\left(u\right)\text{d}x}$

引理5.1. [6] (A) F在E中是连续可微的，即 $F\in C^1\left(E,ℝ\right)$ ；

(B) 对于 $\sigma >0$，定义集合 $M_{\sigma }=\left\{u\in E|F\left(u\right)=\sigma \right\}$，那么 $M_{\sigma }$ 是维数为1的非空 $C^1$ 流形。

证明：利用隐函数定理，我们有 $\frac{\partial J_2}{\partial \theta }\left(u,\theta \left[u\right]\right)=0,\forall u\in E$。容易证明，F(u)在E中是连续可微的，并且

$\begin{array}{c}\langle F^{\prime }\left(u\right),v\rangle =\frac{\partial J_2\left(u,\theta \left[u\right]\right)}{\partial u}v+\frac{\partial J_2\left(u,\theta \left[u\right]\right)}{\partial \theta }{\theta }^{\prime }\left[u\right]v=\frac{\partial J_2\left(u,\theta \left[u\right]\right)}{\partial u}v\\ ={\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }u\theta \left[u\right]v\text{d}x}+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }g\left(u\right)v\text{d}x}\end{array}$ (24)

因为 ${\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left({\left|\nabla \theta \left[u\right]\right|}^2+c^2{\left|\theta \left[u\right]\right|}^2\right)\text{d}x}=\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}^2\theta \left[u\right]\text{d}x}$，所以我们有

$F\left(u\right)=\frac{1}{4}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}^2\theta \left[u\right]\text{d}x}+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }G\left(u\right)\text{d}x}$ . (25)

因此， $M_{\sigma }$ 可以表示为

$M_{\sigma }=\left\{u\in E|\frac{1}{4}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}^2\theta \left[u\right]\text{d}x}+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }G\left(u\right)\text{d}x}=\sigma \right\}$

下面，证明 $M_{\sigma }$ 非空。定义 $K:{ℝ}_{+}\to ℝ$，对于任意的 $u\in E$， $u\ne 0$，有

$K\left(s\right)=F\left(su\right)=\frac{s^4}{4}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}^2\theta \left[u\right]\text{d}x}+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }G\left(su\right)\text{d}x}$ ,

那么 $K\left(0\right)=0$，并且 $K\left(s\right)$ 在 ${ℝ}_{+}$ 上单调递增。因此，存在 $s_0>0$，使得

$K\left(s_0\right)=F\left(s_{0}u\right)=\sigma$ .

因此， $M_{\sigma }$ 非空。利用引理2.1，(24)，(25)可得，若 $u\in E$，满足 $F^{\prime }\left(u\right)=0$，那么 $\langle F^{\prime }\left(u\right),u\rangle =0$，这就蕴含着 $u=0$。因此， $M_{\sigma }$ 是维数为1的 $C^1$ 流形。

回顾回顾亏格理论 [15]。设 $\chi$ 是实值巴拿赫空间。设 $\aleph$ 表示所有的闭子集 $A\subset \chi \backslash \left\{0\right\}$ 的集合，这些闭子集关于原点是对称的。当 $x\in A$ 时可以推得 $-x\in A$。对于 $A\in \aleph$，定义A的亏格 ${\gamma }_0\left(A\right)$ 为最小正整数k，使得其是一个奇映射， $h\in C\left(A,{ℝ}^k\backslash \left\{0\right\}\right)$。如果这样的k不存在，我们设 ${\gamma }_0\left(A\right)=+\infty$。如果 $A=\varnothing$，那么 ${\gamma }_0\left(A\right)=0$。如果， $\Omega \subset {ℝ}^N$ 是一个开集，并且是有界对称的， $0\in \Omega$，那么 ${\gamma }_0\left(\partial \Omega \right)=N$。

引理5.2. [15] 设 $\chi$ 是实值巴拿赫空间。假设II是完全对称的 $C^{1,1}$ 流形， $M\subset \chi \backslash \left\{0\right\}$ 上的一个偶 $C^1$ 泛函，并且II满足(PS)条件，在M上是有下界的。设

${\bar{\gamma }}_0\left(M\right)=\sup \left\{{\gamma }_0\left(K\right):K\subset M\right\}\le \infty$ ,

其中， $K\subset M$ 是紧的，并且是对称的。那么II在M上至少有 ${\bar{\gamma }}_0\left(M\right)$ 对临界点。

定理1.3的证明给定 $\sigma >0$，考虑泛函 ${J_1|}_{M_{\sigma }}$，其中， $J_1$ 由(21)给出。我们有

$J_1\left(u\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left({\left|\nabla u\right|}^2+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }V\left(x\right)u^2}\right)\text{d}x\text{d}y}\ge 0$ .

因此， $J_1\left(u\right)$ 在 $M_{\sigma }$ 上有下界。假设在E中， $u_n$ 弱收敛于u，利用引理2.2，和引理2.3，我们有

$\underset{n\to \infty }{\lim }F\left(u_n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{4}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}_n^2\theta \left[u_n\right]\text{d}x}+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }G\left(u_n\right)\text{d}x}=\frac{1}{4}{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}^2\theta \left[u\right]\text{d}x}+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }G\left(u\right)\text{d}x}=F\left(u\right)$ ,

因此， $M_{\sigma }$ 在E中弱闭。

下面，我们证明 ${J_1|}_{M_{\sigma }}$ 满足(PS)条件。设序列 $\left\{u_n\right\}\in M_{\sigma }$，使得

(i) $\left\{J_1\left(u_n\right)\right\}$ 有界；

(ii) 当 $n\to \infty$ 时， ${{J^{\prime }}_1|}_{M_{\sigma }}\left(u_n\right)\to 0$，

其中， ${{J^{\prime }}_1|}_{M_{\sigma }}$ 表示 $J_1$ 限制在 $M_{\sigma }$ 上的导数，那么利用文 [16] 中拉格朗日乘子定理，文 [17] 中Bolzano-Weierstrass定理，存在子序列 $\left\{u_n\right\}$，仍定义为 $\left\{u_n\right\}$，序列 $\left\{{\beta }_n\right\}\subset ℝ$， $d\subset ℝ$，使得对任意的 $v\in E$，

${\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left(\nabla u_n\nabla v+V\left(x\right)u_{n}v\right)\text{d}x}-{\beta }_n\left({\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}_n\theta \left[u_n\right]v\text{d}x}+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }g\left(u_n\right)v\text{d}x}\right)\to 0$ (26)

并且当 $n\to \infty$ 时，有

$J_1\left(u_n\right)={\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left({\left|\nabla u_n\right|}^2+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }V\left(x\right)u_n^2}\right)\text{d}x}\to d$ . (27)

由(27)可得， $\left\{u_n\right\}$ 在E中有界。在(26)中，取 $v=u_n$，可得

${\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left({\left|\nabla u_n\right|}^2+V\left(x\right)u_n^2\right)\text{d}x}-{\beta }_n\left({\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}_n^2\theta \left[u_n\right]v\text{d}x}+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }g\left(u_n\right)u_n\text{d}x}\right)\to 0,n\to \infty$ (28)

由引理2.1， $\theta \left[u_n\right]$ 在 $H^1\left({ℝ}^2\right)$ 中有界，且 $\left\{u_n\right\}\in M_{\sigma }$。记对任意的 $n\ge 1$，由引理2.4，则 $0<4G\left(u_n\right)\le g\left(u_n\right)u_n$。因此

${\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}_n^2\theta \left[u_n\right]\text{d}x}+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }g\left(u_n\right)u_n\text{d}x}\ge {\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}_n^2\theta \left[u_n\right]\text{d}x}+4{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }G\left(u_n\right)\text{d}x}=4\sigma >0$ (29)

由(27)~(29)可得， $\left\{{\beta }_n\right\}$ 是收敛的，并且

$0<\beta =\underset{n\to \infty }{\lim }{\beta }_n\le \frac{d}{4\sigma }$ .

因为 $\left\{u_n\right\}$ 在E中有界，我们可以假设在E中， $u_n$ 弱收敛于u，由引理2.2得，在 $H^1\left({ℝ}^2\right)$ 中 $\theta \left[u_n\right]\to \theta \left[u\right]$。若 $u=0$，那么我们有 $\sigma <{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}_n^2\theta \left[u_n\right]\text{d}x}+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }G\left(u_n\right)\text{d}x}=0$，这与 $\sigma >0$ 矛盾。因此 $u\ne 0$。在(26)中，设 $v=u_n-u$，我们有

${\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left(\nabla u_n\nabla \left(u_n-u\right)+V\left(x\right)u_n\left(u_n-u\right)\right)\text{d}x}-{\beta }_n\left({\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}_n\theta \left[u_n\right]\left(u_n-u\right)\text{d}x}+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }g\left(u_n\right)\left(u_n-u\right)\text{d}x}\right)\to 0$ (30)

利用在 $L^p\left({ℝ}^2\right)\left(p\ge 2\right)$ 中， $u_n$ 强收敛于u，和定理1.2证明类似，由(30)可得，在E中， $u_n\to u$。

下面，我们证明 ${\bar{\gamma }}_0\left(M_{\sigma }\right)=\infty$。考虑序列 $\left\{H_m\right\}\subset E$，其中 $H_m$ 是E的子空间，并且维数等于m。设 $K_m=H_m\cap M_{\sigma }$。我们断言 $K_m$ 是有界的。否则，存在序列 $\left\{u_n\right\}\subset K_m$，使得 ${\Vert u_n\Vert }_E\to \infty$。现在考虑序列 $\left\{w_n\right\}=\frac{u_n}{{\Vert u_n\Vert }_E}$，因为 ${\Vert w_n\Vert }_E=1\left(n\ge 1\right)$，通过取子列，仍记为 $\left\{w_n\right\}$，使得在E中， $w_n$ 弱收敛于w。

由引理2.2可得 ${\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{w}_n^2\theta \left[w_n\right]\text{d}x}={\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{w}^2\theta \left[w\right]\text{d}x}$，注意到 $0<{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}_n^2\theta \left[u_n\right]\text{d}x}<\sigma$，在该方程的等号两边同时除以 ${\Vert u_n\Vert }_E^4$，并且令 $n\to \infty$，就有 ${\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{w}^2\theta \left[w\right]\text{d}x}=0$。

因此，在 ${ℝ}^2$ 上有 $w=0$，并且 $K_m$ 是有限维的， $w_n$ 弱收敛于w与 $w_n$ 强收敛于w等价，即与 ${\Vert w\Vert }_E=1$ 矛盾。因此， $K_m$ 有界。

设 $S^{m-1}$ 是 $H_m$ 中的单位群。定义映射 $\eta :S^{m-1}\to K_m$， $\eta \left(u\right)={\lambda }^{*}\left(u\right)u$，其中 ${\lambda }^{*}\left(u\right)u$ 是直线 $\left\{\lambda u|\lambda >0\right\}$ 与 $M_{\sigma }$ 相交的唯一相交的点。因为 $M_{\sigma }$ 是维数为1的非空流形， $\eta$ 在 $S^{m-1}$ 上有定义。因此， $\eta$ 是奇连续映射。由 [15] 的命题5.2，我们有 ${\bar{\gamma }}_0\left(S^{m-1}\right)=m$。因此可得 ${\bar{\gamma }}_0\left(K_m\right)\ge m$。由 $K_m=H_m\cap M_{\sigma }\subset M_{\sigma }$，可得 ${\bar{\gamma }}_0\left(M_{\sigma }\right)\ge {\bar{\gamma }}_0\left(K_m\right)\ge m$。因为m是任意的，我们有 ${\bar{\gamma }}_0\left(M_{\sigma }\right)=\infty$。

因此，由引理5.2， ${J_1|}_{M_{\sigma }}$ 在 $M_{\sigma }$ 上有无穷多个临界点。利用拉格朗日乘子定理，设序列 $\left\{u_n\right\}\subset M_{\sigma }$，使得 $J_1\left(u_n\right)$ 是有界的， $\left\{{\gamma }_n\right\}\subset {ℝ}^{+}$，使得对任意的 $v\in E$，都有：

${\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }\left(\nabla u_n\nabla v+V\left(x\right)u_{n}v\right)\text{d}x}-{\gamma }_n\left({\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }{u}_n\theta \left[u_n\right]v\text{d}x}+{\displaystyle \underset{{ℝ}^2}{\int }g\left(u_n\right)v\text{d}x}\right)=0$ ,

定理1.3得证。

6. 结论

本文研究了一类液晶系统基态解以及无穷多解的存在性，通过对 $V\left(x\right)$ 和 $g\left(u\right)$ 做出一些适当的假设，证明了能量泛函在Nehari流形上存在一个极小化序列，从而证明基态解的存在性。最后又利用山路定理和亏格理论证明了非平凡解以及无穷多解的存在性。在证明非平凡解的存在性时，对于 $g\left(u\right)$ 的假设可保证 $c=c_0$。上述的这些结论推广和完善了文 [6] 和文 [7] 中的研究成果。

基金项目

山西省自然科学基金面上项目(201901D111085)。

参考文献

NOTES

^*第一作者。

^#通讯作者。