分数次极大交换子在分层Lie群中的有界性

Boundedness of Fractional Maximal Commutator in Stratified Lie Groups

摘要: 本文借助于广义Morrey空间的相关的理论与工具，在分层Lie群中考虑了由Lipschitz函数和分数次极大算子M_α生成的交换子M_α,b、[b,M_α]在广义Morrey空间中的有界性。

Abstract: In this paper, the main aim is to consider the boundedness of commutator M_α,b and [b,M_α] generated by Lipschitz function b and the fractional maximal operator M_α on stratified Lie group G with the help of relevant theories and tools of Generalized Morrey space.

1. 引言

众所周知，算子在函数空间上的有界性一直以来都是分析理论中备受关注的问题之一，由算子和合适的函数生成的交换子的有界性也成为重要的研究对象，见 [1] [2] [3] [4]。1938年，美国数学家Morrey为了研究二阶椭圆偏微分方程的局部正则性，在文献 [5] 中首次引入了经典的Morrey空间，是Lebesgue空间的一种自然的推广。1991年，Mizuharaz在文献 [6] 中引进了广义Morrey空间。

设 是经典的奇异积分算子，b是一合适的函数，由T,b生成的交换子 $\left[b,T\right]$ 的定义为

$\left[b,T\right]\left(f\right)\left(x\right)=b\left(x\right)T\left(f\right)\left(x\right)-T\left(bf\right)\left(x\right).$ (1.1)

1976年，Coifman，Rochberg和Weiss [7] 证明了当 $b\in BMO\left({ℝ}^n\right)$ 时， $\left[b,T\right]$ 在 $L^p\left({ℝ}^n\right)$ 上有界，其中 $1<p<\infty$ 中，并给出了BMO空间的一种等价刻画。1978年，Janson [8] 通过交换子 $\left[b,T\right]$ 对Lipschitz空间 ${\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }\left({ℝ}^n\right)$ 进行了一些刻画，并证明了当 $b\in {\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }\left({ℝ}^n\right)\left(0<\beta <1\right)$ 时， $\left[b,T\right]$ 从 $L^p\left({ℝ}^n\right)$ 到 $L^q\left({ℝ}^n\right)$ 有界，其中

$1<p<\frac{n}{\beta }$, $\frac{1}{p}-\frac{1}{q}=\frac{\beta }{n}$ (同见 [9])。

设 $f\in L_{\text{loc}}^1$， $0\le \alpha <n$，定义分数次极大算子 $M_{\alpha }$

$M_{\alpha }\left(f\right)\left(x\right)=\underset{B\ni x}{\sup }\frac{1}{{\left|B\right|}^{1-\frac{\alpha }{Q}}}\underset{B}{{\displaystyle \int }}\left|f\left(y\right)\right|\text{d}y,$

由局部可积函数 和分数次极大算子 $M_{\alpha }$ 生成的交换子 $M_{\alpha ,b}$ 定义为

$M_{\alpha ,b}\left(f\right)\left(x\right)=\underset{B\ni x}{\sup }\frac{1}{{\left|B\right|}^{1-\frac{\alpha }{Q}}}\underset{B}{{\displaystyle \int }}\left|b\left(x\right)-b\left(y\right)\right|\left|f\left(y\right)\right|\text{d}y,$

其中上确界取遍 $\mathbb{G}$ 里所有包含x的球体B。从另一方面来说，类似(1.1)，由分数次极大算子 $M_{\alpha }$ 和局部可积函数b生成的交换子被定义为

$\left[b,M_{\alpha }\right]\left(f\right)\left(x\right)=b\left(x\right)M_{\alpha }\left(f\right)\left(x\right)+M_{\alpha }\left(bf\right)\left(x\right).$

许多学者已对交换子 $M_{\alpha ,b}$ 和 $\left[b,M_{\alpha }\right]$ 进行深入的研究，例如见 [10] [11] [12] 等。2013年Guliyev [13] 等人在分层Lie群中讨论了当 $b\in BMO\left(\mathbb{G}\right)$ 时，交换子 $M_{\alpha ,b}$ 在广义Morrey空间中的有界性。2017年张 [10] 通过Hardy-Littlewood极大交换子 $M_b$ 在Lebesgue空间和Morrey空间中的有界性刻画了Lipschitz函数空间；同时借助极大算子的交换子 $\left[b,M\right]$ 在Lebesgue空间和Morrey空间中的有界性，刻画了当 $b\ge 0$ 时的Lipschitz空间。

2017年张在文献 [10] 中证明了当 $b\in {\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }\left({ℝ}^n\right)\left(0<\beta <1\right)$ 时，交换子 $\left[b,M\right]$ 与 $M_b$ 从 $L^p\left({ℝ}^n\right)$ 到 $L^q\left({ℝ}^n\right)$ 有

界，其中 $1<p<\frac{n}{\beta }$， $\frac{1}{p}-\frac{1}{q}=\frac{\beta }{n}$。因此受到启发，本文主要研究了在分层Lie群中的交换子 $M_{\alpha ,b}$ 和 $\left[b,M_{\alpha }\right]$

在广义Morrey空间中的一些类似的结果，证明了当 $b\in {\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }\left(\mathbb{G}\right)$ 时，交换子 $M_{\alpha ,b}$ 和 $\left[b,M_{\alpha }\right]$ 的有界性。

本文各章节的安排如下：第一部分主要介绍了研究的背景，研究的内容；第二部分介绍了在分层Lie群中的一些基本的符号和概念，然后介绍了建立在分层Lie群中的一些函数空间的概念；第三部分主要给出了当 $b\in {\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }\left(\mathbb{G}\right)\left(0<\beta <1\right)$ 时，交换子 $\left[b,M_{\alpha }\right]$ 与 $M_{\alpha ,b}$ 在广义Morrey空间中有界性的相关证明。

在本文中，对任意的 $x\in \mathbb{G}$，和所有的 $r>0$，令 $B\left(x,r\right)$ 是以x中心，以r为半径的球，记 $B=B\left(x,r\right)$， $\lambda B=B\left(x,\lambda r\right)$。字母C表示一个与主要参数无关的正常数，但在不同的位置可以不同。用 $A\lesssim B$ 表示 $A\le CB$。若 $A\lesssim B$ 且 $B\lesssim A$，则记为 $A\approx B$，表示A与B等价。

2. 预备知识与引理

下面主要介绍有关分层Lie群的记号和概念，更详细的信息参见 [14] [15]。

设 $\mathbb{G}$ 是一个有限维，连通且单连通的Lie群， $\mathcal{G}$ 是它的李代数。如果对任意的 $X,Y\in \mathcal{G}$，若满足李括号积 $\left[X,Y\right]=XY-YX\in \mathcal{G}$ 的定义，则被称为一阶换位运算。若 $\mathcal{G}$ 是有限维分层零幂Lie代数，则存在向量空间分解的直和

$\mathcal{G}=V_1\oplus \cdots \oplus V_m,$ (2.1)

其中 $V_j\left(2\le j\le m\right)$ 中的每个元素都是 $V_1$ 元素的 $\left(j-1\right)$ 阶Lie积。同样的(2.1)式是一个分层，当 $i+j\le m$ 时， $\left[V_i,V_j\right]=V_{i+j}$ ；否则， $\left[V_i,V_j\right]=0$。另外，设 $X=\left\{X_1,\cdots ,X_n\right\}$ 是 $V_1$ 的基， $V_j$ 中的 $X_{ij}$ 是由长度为j的换位运算组成的， $1\le i\le k_j$。令 $X_{i1}=X_i,i=1,\cdots ,n$ 且 $k_1=n$，则称 $X_{i1}$ 是长度为1的Lie积。如果 $X_1,\cdots ,X_n$ 是 $V_1$ 的，那么假设 $\Vert X_j\Vert =1,j=1,\cdots ,n$。

若 $\mathbb{G}$ 是与 $\mathcal{G}$ 相关的单连通Lie群，则指数映射是一个从 $\mathcal{G}$ 到 $\mathbb{G}$ 的整体微分同胚。因此对于每个 $g\in \mathbb{G}$，有 $x=\left(x_{ij}\right)\in {ℝ}^N$， $1\le i\le k_j,1\le j\le m,N={\displaystyle {\sum }_{j=1}^m{k}_j}$，使得 $g=\exp \left({\displaystyle \sum x_{ij}{X}_{ij}}\right)$。在 $\mathbb{G}$ 上的齐次范数函数 $\left|\cdot \right|$ 是由

$\left|g\right|={\left({{\displaystyle \sum }}^{\text{}}{\left|x_{ij}\right|}^{2\cdot m!/j}\right)}^{1/\left(2\cdot m!\right)}$ 定义的，且 $Q={\displaystyle {\sum }_{j=1}^{m}j{k}_j}$ 是 $\mathbb{G}$ 上的齐次维数，因此 $\text{d}\left({\delta }_{r}x\right)=r^Q\text{d}x,r>0$。 ${\delta }_r$ 在 $\mathbb{G}$ 上的扩张被定义为

${\delta }_r\left(g\right)=\exp \left({\displaystyle \sum r^j{x}_{ij}{X}_{ij}}\right)\text{,}g=\exp \left({\displaystyle \sum x_{ij}{X}_{ij}}\right).$

由于 $\mathbb{G}$ 是零幂的，指数映射是从 $\mathbb{G}$ 到 $\mathbb{G}$ 的微分同构，它将 $\mathbb{G}$ 上的Lebesgue测度取为 $\mathbb{G}$ 上的双不变Haar测度dx。将群 $\mathbb{G}$ 的恒等式称为原点，用 表示。

群 $\mathbb{G}$ 上的齐次范数是一个从 $\mathbb{G}$ 到 $\left[0,\infty \right)$ 的连续函数 $x\to \rho \left(x\right)$，它在上是 $C^{\infty }$ 的，满足

$\{\begin{array}{ll}\rho \left(x^{-1}\right)=\rho \left(x\right)\hfill & \hfill \\ \rho \left({\delta }_{t}x\right)=t\rho \left(x\right)\hfill & \forall x\in \mathbb{G},t>0\hfill \\ \rho \left(e\right)=0\hfill & \hfill \end{array}$

在 [16] 中表明， $\mathbb{G}$ 上至少存在一个齐次范数, $\mathbb{G}$ 上的任意两个齐次范数是等价的。由此确定了 $\mathbb{G}$ 上存在一个齐次范数，它满足三角不等式：即存在一个常数 $C_0\ge 1$，对任意的 $\forall x,y\in \mathbb{G}$，使得 $\rho \left(xy\right)\le C_0\left(\rho \left(x\right)+\rho \left(y\right)\right)$ (见 [17])。

用 $B\left(x,r\right)=\left\{y\in \mathbb{G}:\rho \left(y^{-1}x\right)<r\right\}$ 表示以x为中心，r为半径的开球，用 $B\left(x,r\right)=\left\{y\in \mathbb{G}:\rho \left(y^{-1}x\right)<r\right\}$ 表示以 $\mathbb{G}$ 的恒等元素e为中心，r为半径的开球，用表示球 $B\left(x,r\right)$ 的补。易知存在 $C_1=C_1\left(\mathbb{G}\right)$，使得

$\left|B\left(x,r\right)\right|=C_1{r}^Q,\left|B\left(x,r\right)\right|=C_1{r}^{Q}x\in \mathbb{G},r>0,$

因此 $\mathbb{G}$ 体积加倍条件，即存在一个常数c，对任意的 $x\in \mathbb{G}$ 和 $r>0$，有

$\left|B\left(x,2r\right)\left|\le C\right|B\left(x,r\right)\right|.$

分层Lie群中最基本的偏微分算子是与X相关的拉普拉斯算子 $\mathcal{L}={\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{X}_i^2}$ 给出的 $\mathbb{G}$ 上的二阶偏微分算子。

下面介绍 $\mathbb{G}$ 上的Lipschitz空间的定义和性质。

定义2.1 [18] 设 $0<\beta <1$，对任意的 $x,y\in \mathbb{G}$，若存在一个常数 $C>0$，满足不等式

$\left|b\left(x\right)-b\left(y\right)\right|\le C\rho {\left(x,y\right)}^{\beta },$

则称b属于 ${\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }\left(\mathbb{G}\right)$ 空间，用 $b\in {\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }\left(\mathbb{G}\right)$ 表示。满足上述条件的最小的常数C称为b的 ${\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }$ 范数，用 ${\Vert b\Vert }_{{\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }}$ 表示。

本文主要是在广义Morrey空间上考虑问题，下面介绍一下相关的概念和性质。在本文中提到的函数 $\phi \left(x,r\right)$， ${\phi }_1\left(x,r\right)$ 和 ${\phi }_2\left(x,r\right)$ 都是定义在 $\mathbb{G}\times \left(0,\infty \right)$ 上的非负测度函数。

定义2.2 [13] 设 $1\le p<\infty$，对与任意的局部可积函数 $f\in L_{\text{loc}}^p\left(\mathbb{G}\right)$，广义Morrey空间的定义为

${\mathcal{M}}^{p,\phi }\left(\mathbb{G}\right)=\left\{f\in L_{\text{loc}}^p\left(\mathbb{G}\right):={\Vert f\Vert }_{{\mathcal{M}}^{p,\phi }}=\underset{x\in \mathbb{G},r>0}{\sup }\phi {\left(x,r\right)}^{-1}{\left|B\left(x,r\right)\right|}^{-\frac{1}{p}}{\Vert f\Vert }_{L^p\left(B\left(x,r\right)\right)}<\infty \right\}.$

再回顾一下经典Morrey空间的定义

设 $1\le p\le \infty$， $0\le \lambda \le Q$，对于所有的局部可积函数 $f\in L_{\text{loc}}^p\left(\mathbb{G}\right)$，Morrey空间 $L^{p,\lambda }\left(\mathbb{G}\right)$ 的定义为

$L^{p,\lambda }\left(\mathbb{G}\right)=\left\{f\in L_{\text{loc}}^p\left(\mathbb{G}\right):{\Vert f\Vert }_{L^{p,\lambda }}<\infty \right\},$

其中

${\Vert f\Vert }_{L^{p,\lambda }}:=\underset{x\in \mathbb{G},r>0}{\sup }{\left(\frac{1}{{\left|B\right|}^{\frac{\lambda }{Q}}}{\displaystyle {\int }_B{\left|f\left(x\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{p}}$

当 $1\le p\le \infty$，有 $L^{p,0}\left(\mathbb{G}\right)=L^p\left(\mathbb{G}\right)$， $L^{p,Q}\left(\mathbb{G}\right)=L^{\infty }\left(\mathbb{G}\right)$ 成立。

通过上述的定义，当 $\phi \left(x,r\right)=r^{\frac{\lambda -Q}{p}}$ 时，可以得到这样的一个关系

$L^{p,\lambda }={{\mathcal{M}}^{p,\phi }\left(\mathbb{G}\right)|}_{\phi \left(x,r\right)=r^{\frac{\lambda -Q}{p}}}$

在 [19] 中，对于极大算子M和奇异积分算子T，得到了从 ${\mathcal{M}}_{p,\phi }\left(\mathbb{G}\right)$ 到 ${\mathcal{M}}_{q,\phi }\left(\mathbb{G}\right)$ 的有界性的充分条件。对 $\phi \left(x,r\right)$ 施加了以下条件

$c^{-1}\phi \left(x,r\right)\le \phi \left(x,\tau \right)\le c\phi \left(x,r\right),$

当 $r\le \tau \le 2r$ 时，其中 $C\left(\ge 1\right)$ 不依赖于t,r和 $x\in \mathbb{G}$，结合极大或奇异算子及其条件，得到关于 $\phi \left(x,r\right)$ 的性质为

${\displaystyle {\int }_r^{\infty }\phi {\left(x,\tau \right)}^p\frac{\text{d}\tau }{\tau }}\le C\phi {\left(x,\tau \right)}^p,$

关于势算子和分数阶极大算子的性质可以得到

${\displaystyle {\int }_r^{\infty }{\tau }^{\alpha p}\phi {\left(x,\tau \right)}^p\frac{\text{d}\tau }{\tau }}\le C{r}^{\alpha p}\phi {\left(x,\tau \right)}^p.$

其中的 $C\left(>0\right)$ 不依赖于r和 $x\in \mathbb{G}$。

引理2.1 [18] 令b是一个局部可积函数，， $0<\alpha <Q$, $0<\alpha +\beta <Q$。则以下的叙述是等价的

(1) $b\in {\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }\left(\mathbb{G}\right)$，

(2) 对于任意的p,q， $1<p<\frac{Q}{\alpha +\beta }$， $\frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{\alpha +\beta }{Q}$。 $M_{\alpha ,b}$ 是从 $L^p\left(\mathbb{G}\right)$ 到 $L^q\left(\mathbb{G}\right)$ 有界的。

引理2.2 [18] 令 $0\le \alpha <Q$， $f:\mathbb{G}\to ℝ$ 是一个非负局部可积函数。如果b是一个局部可积函数且 $b\in \mathbb{G}$，则有

$\left|\left[b,M_{\alpha }\right]\left(f\right)\left(x\right)\right|\le M_{\alpha ,b}\left(f\right)\left(x\right).$

3. 主要的定理及证明

下面叙述本文的主要定理。

定理3.1 令 $0\le \alpha <Q$， $0<\beta <1$， $1<p<\frac{Q}{\alpha +\beta }$， $\frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{\alpha +\beta }{Q}$ 且 $b\in {\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }\left(\mathbb{G}\right)$。函数 $\left({\phi }_1,{\phi }_2\right)$ 满足条件

$\underset{r>0}{\sup }{r}^{-\frac{Q}{q}}\underset{t>r}{\text{ess}}\inf {\phi }_1\left(x,t\right)t^{\frac{Q}{p}}\le C{\phi }_2\left(x,r\right)$ (3.1)

则交换子 $M_{\alpha ,b}$ 是从 ${\mathcal{M}}^{p,{\phi }_1}\left(\mathbb{G}\right)$ 到 ${\mathcal{M}}^{q,{\phi }_2}\left(\mathbb{G}\right)$ 有界。

证明 由引理2.1可得

${\Vert M_{\alpha ,b}\Vert }_{L^q\left(B\left(x,r\right)\right)}\le C{\Vert b\Vert }_{{\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }}{\Vert f\Vert }_{L^p\left(B\left(x,r\right)\right)}.$ (3.2)

则由条件(3.1)和(3.2)可得

$\begin{array}{c}{\Vert M_{\alpha ,b}\Vert }_{{\mathcal{M}}^{q,{\phi }_2}\left(\mathbb{G}\right)}=\underset{x\in \mathbb{G},r>0}{\sup }{\phi }_2{\left(x,r\right)}^{-1}{\left|B\left(x,r\right)\right|}^{-\frac{1}{q}}{\Vert M_{\alpha ,b}\Vert }_{L^q\left(B\left(x,r\right)\right)}\\ \le C{\Vert b\Vert }_{{\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }}\underset{x\in \mathbb{G},r>0}{\sup }{\phi }_2{\left(x,r\right)}^{-1}{\left|B\left(x,r\right)\right|}^{-\frac{1}{q}}{\Vert f\Vert }_{L^p\left(B\left(x,r\right)\right)}\\ \le C{\Vert b\Vert }_{{\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }}\underset{x\in \mathbb{G},r>0}{\sup }{\phi }_1{\left(x,r\right)}^{-1}{\left|B\left(x,r\right)\right|}^{-\frac{1}{p}}{\Vert f\Vert }_{L^p\left(B\left(x,r\right)\right)}\\ =C{\Vert b\Vert }_{{\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }}{\Vert f\Vert }_{{\mathcal{M}}^{p,{\phi }_1}\left(\mathbb{G}\right)},\end{array}$

至此，定理得证。

当 $\alpha =0$ 时，可以得到以下推论：

推论 令 $0<\beta <1$， $1<p<\frac{Q}{\beta }$， $\frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{\beta }{Q}$ 且 $\frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{\beta }{Q}$。函数 $\left({\phi }_1,{\phi }_2\right)$ 满足条件

$\underset{r>0}{\sup }{r}^{-\frac{Q}{q}}\underset{t>r}{\text{essinf}}{\phi }_1\left(x,t\right)t^{\frac{Q}{p}}\le C{\phi }_2\left(x,r\right)$ (3.3)

则交换子 $M_b$ 是从 ${\mathcal{M}}^{p,{\phi }_1}\left(\mathbb{G}\right)$ 到 ${\mathcal{M}}^{q,{\phi }_2}\left(\mathbb{G}\right)$ 有界。

定理3.2 令 $0\le \alpha <Q$， $0<\beta <1$， $1<p<\frac{Q}{\alpha +\beta }$，且 $b\in {\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }\left(\mathbb{G}\right)$。函数 $\left({\phi }_1,{\phi }_2\right)$ 满足条件

$\underset{r>0}{\sup }{r}^{-\frac{Q}{q}}\underset{t>r}{\text{essinf}}{\phi }_1\left(x,t\right)t^{\frac{Q}{p}}\le C{\phi }_2\left(x,r\right)$

则交换子 $\left[b,M_{\alpha }\right]$ 是从 ${\mathcal{M}}^{p,{\phi }_1}\left(\mathbb{G}\right)$ 到 ${\mathcal{M}}^{q,{\phi }_2}\left(\mathbb{G}\right)$ 有界。

证明 由引理2.2得

$\left|\left[b,M_{\alpha }\right]\left(f\right)\left(x\right)\right|\le M_{\alpha ,b}\left(f\right)\left(x\right),$

通过交换子 $M_{\alpha ,b}$ 的有界性，可以得出交换子 $\left[b,M_{\alpha }\right]$ 是从 ${\mathcal{M}}^{p,{\phi }_1}\left(\mathbb{G}\right)$ 到 ${\mathcal{M}}^{q,{\phi }_2}\left(\mathbb{G}\right)$ 有界。

至此，定理得证。

定理3.3 令 $0<\alpha <Q$， $0<\beta <1$， $1<p<\frac{Q}{\alpha +\beta }$， $\frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{\alpha +\beta }{Q}$ 且 $b\in {\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }\left(\mathbb{G}\right)$。函数 $\phi \left(x,r\right)$ 满足条件

$\underset{r>0}{\sup }{r}^{-\frac{Q}{q}}\underset{t>r}{\text{essinf}}\phi \left(x,t\right)t^{\frac{Q}{p}}\le C\phi \left(x,r\right)$ (3.4)

且

$\underset{r>0}{\sup }{r}^{\alpha +\beta }\phi {\left(x,t\right)}^{\frac{1}{p}}\le C{r}^{-\frac{\alpha p}{q-p}}$ (3.5)

则交换子 $M_{\alpha ,b}$ 是从 ${\mathcal{M}}^{p,{\phi }^{\frac{1}{p}}}\left(\mathbb{G}\right)$ 到 ${\mathcal{M}}^{q,{\phi }^{\frac{1}{q}}}\left(\mathbb{G}\right)$ 有界。

证明 令 $1\le p<\infty$， $f\in L_{\text{loc}}^p$，把f分为两部分 $f=f_1+f_2$，其中 $f_1=f{\chi }_{2B}\left(y\right)$， $f_2=f{\chi }_{{}^C\left(2B\right)}\left(y\right)$，球用 $B=B\left(x,r\right)$ 表示。则

$M_{\alpha ,b}f\left(y\right)\le M_{\alpha ,b}{f}_1\left(y\right)+M_{\alpha ,b}{f}_2\left(y\right).$

对于 $M_{\alpha ,b}{f}_1\left(y\right)$，根据Hedberg的技巧([15])，对所有的 $y\in \mathbb{G}$，可以得到 $M_{\alpha ,b}{f}_1\left(y\right)\le C_1{r}^{\alpha }{M}_{b}f\left(x\right)$。

对于 $M_{\alpha ,b}{f}_2\left(y\right)$，讨论如下：令y是球B内的任意一点。如果 $B\left(y,t\right){\cap }^{C}B\left(x,2r\right)\ne \varphi$，则 $t>r$。如果 $Z\in B\left(y,t\right){\cap }^C\left(B\left(x,2r\right)\right)$，可以得到

$t>\left|y^{-1}z|\ge |x^{-1}z|+|x^{-1}y\right|>2r-r=r.$

另一方面， $B\left(y,t\right){\cap }^C\left(B\left(x,2r\right)\right)\subset B\left(x,2t\right)$。如果 $z\in B\left(y,t\right){\cap }^C\left(B\left(x,2r\right)\right)$，可以得到 $\left|x^{-1}z\right|\le \left|y^{-1}z\right|+\left|x^{-1}y\right|<t+r<2t$。

$\begin{array}{c}{M}_{\alpha ,b}{f}_2\left(y\right)=\underset{t>0}{\sup }{\left|B\left(y,t\right)\right|}^{-1+\frac{\alpha }{Q}}{\displaystyle {\int }_{B\left(y,t\right)}\left|b\left(y\right)-b\left(z\right)\right|}\left|f_2\left(z\right)\right|\text{d}z\\ \le C\underset{t>r}{\sup }{\left|B\left(x,2t\right)\right|}^{-1+\frac{\alpha }{Q}}{\displaystyle {\int }_{B\left(x,2t\right)}\left|b\left(y\right)-b\left(z\right)\right|}\left|f\left(z\right)\right|\text{d}z\\ \le C\underset{t>2r}{\sup }{\left|B\left(x,t\right)\right|}^{-1+\frac{\alpha }{Q}}{\displaystyle {\int }_{B\left(x,t\right)}\left|b\left(y\right)-b\left(z\right)\right|}\left|f\left(z\right)\right|\text{d}z\\ \le C\underset{t>r}{\sup }{t}^{\alpha -Q}{\Vert b\Vert }_{{\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }}{\displaystyle {\int }_{B\left(x,t\right)}{\left|y-z\right|}^{\beta }}\left|f\left(z\right)\right|\text{d}z\\ \le C{\Vert b\Vert }_{{\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }}\underset{t>r}{\sup }{t}^{\alpha +\beta -Q}{\displaystyle {\int }_{B\left(x,t\right)}\left|f\left(z\right)\right|\text{d}z}\\ \le C{\Vert b\Vert }_{{\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }}\underset{t>r}{\sup }{t}^{\alpha +\beta -\frac{Q}{p}}{\Vert f\Vert }_{L^p\left(B\left(x,t\right)\right)},\end{array}$

由(3.4)和(3.5)，可以得到

$\begin{array}{c}{M}_{\alpha ,b}f\left(y\right)\lesssim r^{\alpha }{M}_{b}f\left(z\right)+{\Vert b\Vert }_{{\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }}\underset{t>r}{\sup }{t}^{\alpha +\beta -\frac{Q}{p}}{\Vert f\Vert }_{L^p\left(B\left(x,t\right)\right)}\\ \lesssim r^{\alpha }{M}_{b}f\left(z\right)+{\Vert b\Vert }_{{\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }}{\Vert f\Vert }_{{\mathcal{M}}^{p,{\phi }^{\frac{1}{p}}}}^{1-\frac{p}{q}}\underset{t>r}{\sup }{t}^{\alpha +\beta }\phi {\left(x,t\right)}^{\frac{1}{p}}\\ \lesssim r^{\alpha }{M}_{b}f\left(z\right)+{\Vert b\Vert }_{{\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }}{\Vert f\Vert }_{{\mathcal{M}}^{p,{\phi }^{\frac{1}{p}}}}^{1-\frac{p}{q}}{r}^{-\frac{\alpha p}{q-p}},\end{array}$

令

$r={\left(\frac{{\Vert b\Vert }_{{\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }}{\Vert f\Vert }_{{\mathcal{M}}^{p,{\phi }^{\frac{1}{p}}}}^{1-\frac{p}{q}}}{M_{b}f\left(z\right)}\right)}^{\frac{q-p}{\alpha q}},$

可以得到

$M_{\alpha ,b}f\left(y\right)\lesssim C{\Vert b\Vert }_{{\text{<mover accent="true"> Λ <mo> ˙ </mo> </mover>}}_{\beta }}^{1-\frac{p}{q}}{\Vert f\Vert }_{{\mathcal{M}}^{p,{\phi }^{\frac{1}{p}}}}^{1-\frac{p}{q}}{\left(M_{b}f\left(z\right)\right)}^{\frac{p}{q}}.$

因此，利用推论3.1的结论，可以得到

至此，结论得证。

基金项目

黑龙江省属高校基本科研业务费备案项目(No. 2019-KYYWF-0909)；

黑龙江省省属本科高校中央支持地方高校改革发展资金任务书(优秀青年人才项目编号：2020YQ07)。