三区间复合Legendre方程边值问题解的相似结构

Similar Structure of Solutions of Boundary Value Problem of Three-Region Composite Legendre Equation

摘要: 针对三区复合Legendre方程的一类边值问题，对其解的表达形式进行了分析，发现其解式具有相似的结构；首先通过方程的两个线性无关解构造内、中、外区引解函数；再借助外边界条件、衔接性条件的系数以及引解函数构造内、中、外区相似核函数；最后将引解函数、相似核函数以及定解条件的系数进行组装得到其解，进而获得了求解此类边值问题的新方法——相似构造法，该方法简化了求解该类边值问题的复杂性，并提高了求解的效率。

Abstract: For a class of boundary value problems of three-region composite Legendre equation, the expres-sion of the solutions is analyzed, and it is found that its solution has a similar structure. Firstly, we can construct the functions of guide solution of the inner, middle and outer regions through the two linear independent solutions of the definite solution equation. Secondly, through the outer boundary condition, the connection condition coefficients and the functions of guide solution to con-struct the similar kernel functions in the inner, middle and outer regions. Finally, the solution is ob-tained by assembling the functions of guide solution, the similar kernel function and the coefficients of the definite solution conditions. Thus a new method for solving such boundary value problems is obtained, which is called the similarity construction method. This method simplifies the complexity of solving this kind of boundary value problem and improves the efficiency of solving them.

1. 引言

工程中的许多偏微分方程的问题常常会转化为常微分方程问题来进行研究 [1] ，因此研究常微分方程的边值问题对实际生活具有重要意义。许多学者对微分方程边值问题进行了研究，张宇飞 [2] 等人研究了一类常微分方程组在定值右边界条件下的解的结构，发现其解的结构具有一定的内在联系。李顺初 [3] 研究了一类二阶齐次线性常微分方程的边值问题，通过分析整理得出该类方程的解具有相似结构。2010年，李顺初 [4] 通过对二阶齐次线性常微分方程(组)的边值问题和二阶齐次线性偏微分方程的混合问题进行了初探，提出了求解微分方程边值问题的方法——相似构造法。该方法运用广泛，董晓旭、郭丽洁、唐乙斌、李顺初、何签等人将该方法应用于三区复合Thomson方程 [5] 、Hermit方程 [6] 、Tschebyscheff方程 [7] 、三区间复合型第二种Weber方程 [8] 、三区间复合型第一种Weber方程 [9] 的边值问题的求解中。相似构造法还为解决工程问题带来了便利，比如：李顺初等人将该方法运用于均质油藏 [10] 、复合油藏 [11] 、多层油藏 [12] 等渗流模型的求解中，使其得到了不断的完善和发展。

在特殊函数中，Legendre方程具有重要的地位，他的解Legendre多项式在求解数学物理方程中具有广泛的运用 [13] [14] 。比如在求解带有轴对称性的带电体的静电势和球形域内电位分布常常要借助Legendre多项式来求解 [15] 。那么对Legendre方程的求解进行研究以及对其解式进行研究就显得十分有必要。但是一般的方法对其进行求解十分的繁琐，能否找到一种简便的方法进行求解呢？近年来，李顺初等人对Legendre方程 [16] ，连带Legendre方程 [17] ，复合Legendre方程 [18] 的解式进行了研究，并找到了其解式的相似结构，但是对于三区间复合及其以上的Legendre方程解式的研究还没有。基于以上的研究，下面将对三区复合Legendre方程的边值问题进行研究：

$\{\begin{array}{l}\left(1-x^2\right){y^{″}}_1-2x{y^{\prime }}_1+l_1\left(l_1+1\right)y_1=0,\left(-1\le a\le x<b\right)\\ \left(1-x^2\right){y^{″}}_2-2x{y^{\prime }}_2+l_2\left(l_2+1\right)y_2=0,\left(b<x<c\right)\\ \left(1-x^2\right){y^{″}}_3-2x{y^{\prime }}_3+l_3\left(l_3+1\right)y_3=0,\left(c<x<d\le 1\right)\\ {\left[E{y}_1+\left(1+EF\right){y^{\prime }}_1\right]|}_{x=a}=M\\ {y_1|}_{x=b}={{\lambda }_1{y}_2|}_{x=b},{{y^{\prime }}_1|}_{x=b}={{\lambda }_2{y^{\prime }}_2|}_{x=b}\\ {y_2|}_{x=c}={{\mu }_1{y}_3|}_{x=c},{{y^{\prime }}_2|}_{x=c}={{\mu }_2{y^{\prime }}_3|}_{x=c}\\ {\left[G{y}_3+H{y^{\prime }}_3\right]|}_{x=d}=0\end{array}$ (1)

其中 $a、b、c、d、E、F、M、{\lambda }_1、{\lambda }_2、{\mu }_1、{\mu }_2、G、H$ 均为实数， $l_i\left(i=1,2,3\right)$ 为正整数，且满足 $M\ne 0$ ， $G^2+H^2\ne 0$ 。

本文第一部分给出了研究所需要用到的基础知识，第二部分给出了本文的主要定理及其证明，第三部分通过对定理的证明归纳总结出相似构造法的求解步骤，第四部分将相似构造法的求解步骤进行举例应用，第五部分为本文的总结。

2. 预备知识

引理1 Legendre方程 $\left(1-x^2\right){y^{″}}_i-2x{y^{\prime }}_i+{\mu }_i{y}_i=0,\left(-1\le x\le 1\right)$ 它的本征值为 ${\mu }_i=l_i\left(l_i+1\right)\left(l=0,1,2,\cdots ,i=1,2,3\right)$ ，两个线性无关解为 $P_{l_i}$ ， $Q_{l_i}$ 则其方程的通解 [14] 为：

$y_i\left(x\right)=A_i{P}_{l_i}\left(x\right)+B_i{Q}_{l_i}(\; x\; )$

其中 $A_i$ ， $B_i$ 为任意常数。 $P_{l_i}\left(x\right)$ 为Legendre多项式， $Q_{l_i}\left(x\right)$ 为第二类Legendre函数， $i=1,2,3$ 。

引理2 Legendre函数的微分性质 [19]

${P^{\prime }}_{l_i}\left(x\right)=\frac{l_i}{1-x^2}\left[P_{l_i-1}\left(x\right)-x{P}_{l_i}\left(x\right)\right]$

${Q^{\prime }}_{l_i}\left(x\right)=\frac{l_i}{1-x^2}\left[Q_{l_i-1}\left(x\right)-x{Q}_{l_i}\left(x\right)\right]$

证明：见参考文献 [19]

引理3 由Legendre方程的两个线性无关解 $P_{l_i}\left(x\right)$ ， $Q_{l_i}\left(x\right)$ 构造二元函数

${\phi }_{0,0}^i\left(x,\xi \right)=P_{l_i}\left(x\right)Q_{l_i}\left(\xi \right)-P_{l_i}\left(\xi \right)Q_{l_i}\left(x\right)$ (2)

则有

${\phi }_{1,0}^i\left(x,\xi \right)=\frac{l_i}{1-x^2}\left\{P_{l_i-1}\left(x\right)Q_{l_i}\left(\xi \right)-P_{l_i}\left(\xi \right)Q_{l_i-1}\left(x\right)-x\left[P_{l_i}\left(x\right)Q_{l_i}\left(\xi \right)-P_{l_i}\left(\xi \right)Q_{l_i}\left(x\right)\right]\right\}$ (3)

${\phi }_{0,1}^i\left(x,\xi \right)=\frac{l_i}{1-{\xi }^2}\left\{P_{l_i}\left(x\right)Q_{l_i-1}\left(\xi \right)-P_{l_i-1}\left(\xi \right)Q_{l_i}\left(x\right)-\xi \left[P_{l_i}\left(x\right)Q_{l_i}\left(\xi \right)-P_{l_i}\left(\xi \right)Q_{l_i}\left(x\right)\right]\right\}$ (4)

$\begin{array}{c}{\phi }_{1,1}^i\left(x,\xi \right)=\frac{l_i^2}{\left(1-x^2\right)\left(1-{\xi }^2\right)}\{P_{l_i-1}\left(x\right)Q_{l_i-1}\left(\xi \right)-P_{l_i-1}\left(\xi \right)Q_{l_i-1}\left(x\right)\\ -x\left[P_{l_i}\left(x\right)Q_{l_i-1}\left(\xi \right)-P_{l_i-1}\left(\xi \right)Q_{l_i}\left(x\right)\right]-\xi \left[P_{l_i-1}\left(x\right)Q_{l_i}\left(\xi \right)-P_{l_i}\left(\xi \right)Q_{l_i-1}\left(x\right)\right]\\ +x\xi \left[P_{l_i}\left(x\right)Q_{l_i}\left(\xi \right)-P_{l_i}\left(\xi \right)Q_{l_i}\left(x\right)\right]\}\end{array}$ (5)

其中 ${\phi }_{0,0}^i\left(x,\xi \right),{\phi }_{1,0}^i\left(x,\xi \right),{\phi }_{0,1}^i\left(x,\xi \right),{\phi }_{1,1}^i\left(x,\xi \right)$ 称作引解函数， $i=1$ 表示内区 $-1\le a\le x<b$ ， $i=2$ 表示中区 $b<x<c$ ， $i=3$ 表示外区 $c<x<d\le 1$ 。

证明：根据引理2有

${P^{\prime }}_{l_i}\left(x\right)=\frac{l_i}{1-x^2}\left[P_{l_i-1}\left(x\right)-x{P}_{l_i}\left(x\right)\right]$

${Q^{\prime }}_{l_i}\left(x\right)=\frac{l_i}{1-x^2}\left[Q_{l_i-1}\left(x\right)-x{Q}_{l_i}\left(x\right)\right]$

将 ${\phi }_{0，0}^i\left(x,\xi \right)$ 对 $x$ 求偏导数有

$\begin{array}{c}{\phi }_{1,0}^i\left(x,\xi \right)=\frac{\partial }{\partial x}{\phi }_{0,0}^i\left(x,\xi \right)\\ =\frac{l_i}{1-x^2}\left[P_{l_i-1}\left(x\right)-x{P}_{l_i}\left(x\right)\right]Q_{l_i}\left(\xi \right)-\frac{l_i}{1-x^2}\left[Q_{l_i-1}\left(x\right)-x{Q}_{l_i}\left(x\right)\right]P_{l_i}\left(\xi \right)\\ =\frac{l_i}{1-x^2}\left\{P_{l_i-1}\left(x\right)Q_{l_i}\left(\xi \right)-P_{l_i}\left(\xi \right)Q_{l_i-1}\left(x\right)-x\left[P_{l_i}\left(x\right)Q_{l_i}\left(\xi \right)-P_{l_i}\left(\xi \right)Q_{l_i}\left(x\right)\right]\right\}\end{array}$

同理可证(4) (5)式。

3. 主要定理及其证明

定理1 若边值问题(1)有唯一解，那么它的内区、中区、外区解可以分别表示为：

$y_1\left(x\right)=M\frac{{\Phi }_1\left(x\right)}{E{\Phi }_1\left(a\right)+\left(1+EF\right)}$ (6)

$y_2\left(x\right)=M\frac{1}{E{\Phi }_1\left(a\right)+\left(1+EF\right)}\cdot \frac{{\phi }_{0,1}^1\left(b,b\right)}{{\lambda }_1{\phi }_{1,1}^1\left(a,b\right){\Phi }_2\left(b\right)-{\lambda }_2{\phi }_{1,0}^1\left(a,b\right)}\cdot {\Phi }_2\left(x\right)$ (7)

$y_3\left(x\right)=M\frac{1}{E{\Phi }_1\left(a\right)+\left(1+EF\right)}\cdot \frac{{\phi }_{0,1}^1\left(b,b\right){\phi }_{0,1}^2\left(c,c\right){\Phi }_3\left(x\right)}{\left[{\lambda }_2{\phi }_{1,0}^1\left(a,b\right)-{\lambda }_1{\phi }_{1,1}^1\left(a,b\right){\Phi }_2\left(b\right)\right]\left[{\mu }_2{\phi }_{1,0}^2\left(b,c\right)-{\mu }_1{\phi }_{1,1}^2\left(b,c\right){\Phi }_3\left(c\right)\right]}$ (8)

其中 ${\Phi }_1\left(x\right)$ 为内区相似核函数，表示为：

${\Phi }_1\left(x\right)=\frac{{\lambda }_2{\phi }_{0,0}^1\left(x,b\right)-{\lambda }_1{\phi }_{0,1}^1\left(x,b\right){\Phi }_2\left(b\right)}{{\lambda }_2{\phi }_{1,0}^1\left(a,b\right)-{\lambda }_1{\phi }_{1,1}^1\left(a,b\right){\Phi }_2\left(b\right)}$ (9)

${\Phi }_2\left(x\right)$ 为中区相似核函数，表示为：

${\Phi }_2\left(x\right)=\frac{{\mu }_2{\phi }_{0,0}^2\left(x,c\right)-{\mu }_1{\phi }_{0,1}^2\left(x,c\right){\Phi }_3\left(c\right)}{{\mu }_2{\phi }_{1,0}^2\left(b,c\right)-{\mu }_1{\phi }_{1,1}^2\left(b,c\right){\Phi }_3\left(c\right)}$ (10)

${\Phi }_3\left(x\right)$ 为外区相似核函数，表示为：

${\Phi }_3\left(x\right)=\frac{G{\phi }_{0,0}^3\left(x,d\right)+H{\phi }_{0,1}^3\left(x,d\right)}{G{\phi }_{1,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{1,1}^3\left(c,d\right)}$ (11)

证明：由引理1知，边值问题(1)的三个定解方程的通解为：

$y_i\left(x\right)=A_i{P}_{l_i}\left(x\right)+B_i{Q}_{l_i}\left(x\right),i=1,2,3$ (12)

其中 $A_i$ ， $B_i$ 为任意常数。

由引理2知

${y^{\prime }}_i\left(x\right)=\frac{l_i}{1-x^2}\left\{A_i\left[P_{l_i-1}\left(x\right)-x{P}_{l_i}\left(x\right)\right]+B_i\left[Q_{l_i-1}\left(x\right)-x{Q}_{l_i}\left(x\right)\right]\right\}$ (13)

将 $y\left(x\right),y^{\prime }\left(x\right)$ 代入边值问题(1)的内边值条件、衔接性条件和外边值条件可以得到

$\begin{array}{l}{A}_1\left\{E{P}_{l_i}\left(a\right)+\left(1+EF\right)\frac{l_1}{1-a^2}\left[P_{l_1-1}\left(a\right)-a{P}_{l_1}\left(a\right)\right]\right\}\\ +B_1\left\{E{Q}_{l_1}\left(a\right)+\left(1+EF\right)\frac{l_1}{1-a^2}\left[Q_{l_1-1}\left(a\right)-a{Q}_{l_1}\left(a\right)\right]\right\}=M\end{array}$ (14)

$A_1{P}_{l_1}\left(b\right)+B_1{Q}_{l_1}\left(b\right)-A_2{\lambda }_1{P}_{l_2}\left(b\right)-B_2{\lambda }_1{Q}_{l_2}\left(b\right)=0$ (15)

$\begin{array}{l}{A}_1\frac{l_1}{1-b^2}\left[P_{l_1-1}\left(b\right)-b{P}_{l_1}\left(b\right)\right]+B_1\frac{l_1}{1-b^2}\left[Q_{l_1-1}\left(b\right)-b{Q}_{l_1}\left(b\right)\right]\\ -A_2\frac{l_2{\lambda }_2}{1-b^2}\left[P_{l_2-1}\left(b\right)-b{P}_{l_2}\left(b\right)\right]-B_2\frac{l_2{\lambda }_2}{1-b^2}\left[Q_{l_2-1}\left(b\right)-b{Q}_{l_2}\left(b\right)\right]=0\end{array}$ (16)

$A_2{P}_{l_2}\left(c\right)+B_2{Q}_{l_2}\left(c\right)-A_3{\mu }_1{P}_{l_3}\left(c\right)-B_3{\mu }_1{Q}_{l_3}\left(c\right)=0$ (17)

$\begin{array}{l}{A}_2\frac{l_1}{1-c^2}\left[P_{l_2-1}\left(c\right)-c{P}_{l_2}\left(c\right)\right]+B_2\frac{l_2}{1-c^2}\left[Q_{l_2-1}\left(c\right)-c{Q}_{l_2}\left(c\right)\right]\\ -A_3\frac{l_3{\mu }_2}{1-c^2}\left[P_{l_3-1}\left(c\right)-c{P}_{l_2}\left(c\right)\right]-B_3\frac{l_2{\mu }_2}{1-c^2}\left[Q_{l_3-1}\left(c\right)-c{Q}_{l_3}\left(c\right)\right]=0\end{array}$ (18)

$A_3\left\{G{P}_{l_3}\left(d\right)+H\frac{l_3}{1-d^2}\left[P_{l_3-1}\left(d\right)-d{P}_{l_2}\left(d\right)\right]\right\}+B_3\left\{G{Q}_{l_3}\left(d\right)+H\frac{l_3}{1-d^2}\left[Q_{l_3-1}\left(d\right)-d{Q}_{l_3}\left(d\right)\right]\right\}=0$ (19)

从而由(14)~(19)式可以得到关于待定系数 $A_1,B_1,A_2,B_2,A_3,B_3$ 的线性方程组。结合(2)~(5)式得到其系数行列式为

$\begin{array}{c}\Delta ={\mu }_2{\lambda }_2{\phi }_{1,0}^2\left(b,c\right)\left[G{\phi }_{1,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{1,1}^3\left(c,d\right)\right]\left[E{\phi }_{0,0}^1\left(a,b\right)+\left(1+EF\right){\phi }_{1,0}^1\left(a,b\right)\right]\\ -{\mu }_1{\lambda }_2{\phi }_{1,1}^2\left(b,c\right)\left[G{\phi }_{0,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{0,1}^3\left(c,d\right)\right]\left[E{\phi }_{0,0}^1\left(a,b\right)+\left(1+EF\right){\phi }_{1,0}^1\left(a,b\right)\right]\\ -{\mu }_2{\lambda }_1{\phi }_{0,0}^2\left(b,c\right)\left[G{\phi }_{1,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{1,1}^3\left(c,d\right)\right]\left[E{\phi }_{0,1}^1\left(a,b\right)+\left(1+EF\right){\phi }_{1,1}^1\left(a,b\right)\right]\\ +{\mu }_1{\lambda }_1{\phi }_{0,1}^2\left(b,c\right)\left[G{\phi }_{0,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{0,1}^3\left(c,d\right)\right]\left[E{\phi }_{0,1}^1\left(a,b\right)+\left(1+EF\right){\phi }_{1,1}^1\left(a,b\right)\right]\end{array}$ (20)

由于边值问题(1)有唯一解 [16] ，即 $\Delta \ne 0$ 。根据Cramer法则可得

$\begin{array}{c}{A}_1=\frac{M}{\Delta }\{{\mu }_2{\lambda }_2{\phi }_{1,0}^2\left(b,c\right)Q_{l_1}\left(b\right)\left[G{\phi }_{1,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{1,1}^3\left(c,d\right)\right]\underset{}{\overset{}{}}\\ -{\mu }_1{\lambda }_2{\phi }_{1,1}^2\left(b,c\right)Q_{l_1}\left(b\right)\left[G{\phi }_{0,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{0,1}^3\left(c,d\right)\right]\\ -{\mu }_2{\lambda }_1{\phi }_{0,0}^2\left(b,c\right)\frac{l_1}{1-b^2}\left[Q_{l_1-1}\left(b\right)-b{Q}_{l_1}\left(b\right)\right]\left[G{\phi }_{1,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{1,1}^3\left(c,d\right)\right]\\ +{\mu }_1{\lambda }_1{\phi }_{0,1}^2\left(b,c\right)\frac{l_1}{1-b^2}\left[Q_{l_1-1}\left(b\right)-b{Q}_{l_1}\left(b\right)\right]\left[G{\phi }_{0,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{0,1}^3\left(c,d\right)\right]\}\end{array}$ (21)

$\begin{array}{c}{B}_1=-\frac{M}{\Delta }\{{\mu }_2{\lambda }_2{\phi }_{1,0}^2\left(b,c\right)P_{l_1}\left(b\right)\left[G{\phi }_{1,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{1,1}^3\left(c,d\right)\right]\underset{}{\overset{}{}}\\ -{\mu }_1{\lambda }_2{\phi }_{1,1}^2\left(b,c\right)P_{l_1}\left(b\right)\left[G{\phi }_{0,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{0,1}^3\left(c,d\right)\right]\\ -{\mu }_2{\lambda }_1{\phi }_{0,0}^2\left(b,c\right)\frac{l_1}{1-b^2}\left[P_{l_1-1}\left(b\right)-b{P}_{l_1}\left(b\right)\right]\left[G{\phi }_{1,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{1,1}^3\left(c,d\right)\right]\\ +{\mu }_1{\lambda }_1{\phi }_{0,1}^2\left(b,c\right)\frac{l_1}{1-b^2}\left[P_{l_1-1}\left(b\right)-b{P}_{l_1}\left(b\right)\right]\left[G{\phi }_{0,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{0,1}^3\left(c,d\right)\right]\}\end{array}$ (22)

$\begin{array}{c}{A}_2=\frac{M}{\Delta }\{-{\mu }_2{\phi }_{0,1}^1\left(b,b\right)Q_{l_2}\left(c\right)\left[G{\phi }_{1,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{1,1}^3\left(c,d\right)\right]\underset{}{\overset{}{}}\\ +{\mu }_1{\phi }_{0,1}^1\left(b,b\right)\frac{l_2}{1-c^2}\left[Q_{l_2-1}\left(c\right)-c{Q}_{l_2}\left(c\right)\right]\left[G{\phi }_{0,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{0,1}^3\left(c,d\right)\right]\}\end{array}$ (23)

$\begin{array}{c}{B}_2=-\frac{M}{\Delta }\{-{\mu }_2{\phi }_{0,1}^1\left(b,b\right)P_{l_2}\left(c\right)\left[G{\phi }_{1,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{1,1}^3\left(c,d\right)\right]\underset{}{\overset{}{}}\\ +{\mu }_1{\phi }_{0,1}^1\left(b,b\right)\frac{l_2}{1-c^2}\left[P_{l_2-1}\left(c\right)-c{P}_{l_2}\left(c\right)\right]\left[G{\phi }_{0,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{0,1}^3\left(c,d\right)\right]\}\end{array}$ (24)

$A_3=\frac{M}{\Delta }\left\{G{Q}_{l_3}\left(d\right)+H\frac{l_3}{1-d^2}\left[Q_{l_3-1}\left(d\right)-d{Q}_{l_2}\left(d\right)\right]\right\}{\phi }_{0,1}^1\left(b,b\right){\phi }_{0,1}^2\left(c,c\right)$ (25)

$B_3=-\frac{M}{\Delta }\left\{G{P}_{l_3}\left(d\right)+H\frac{l_3}{1-d^2}\left[P_{l_3-1}\left(d\right)-d{P}_{l_2}\left(d\right)\right]\right\}{\phi }_{0,1}^1\left(b,b\right){\phi }_{0,1}^2\left(c,c\right)$ (26)

将(21)~(26)式带入到Legendre方程的通解(12)式中，并将结果进行整理，即得到边值问题(1)的解式(6)~(8)式。根据定理1容易得到如下推论。

推论1如果Legendre方程边值问题(1)的内边界条件为 ${{y^{\prime }}_1|}_{x=a}=1$ ，即 $E=0,F\ne 0$ ，那么边值问题(1)的内区解为

$y_1\left(x\right)={\Phi }_1\left(x\right),\left(-1\le a\le x<b\right)$

推论2如果Legendre方程边值问题(1)的外边界条件为 ${y_3|}_{x=d}=0$ ，即 $G\ne 0$ ， $H=0$ ，那么边值问题(1)的外区相似核函数为

${\Phi }_3\left(x\right)=\frac{{\phi }_{0,0}^3\left(x,d\right)}{{\phi }_{1,0}^3\left(c,d\right)},\left(c<x<d\right)$

推论3如果Legendre方程边值问题(1)的外边界条件为 ${{y^{\prime }}_3|}_{x=d}=0$ ，即 $G=0$ ， $H\ne 0$ ，那么外区相似核函数为

${\Phi }_3\left(x\right)=\frac{{\phi }_{0,1}^3\left(x,d\right)}{{\phi }_{1,1}^3\left(c,d\right)},\left(c<x<d\right)$

推论4在Legendre方程边值问题(1)中有

${\left[y_1+F{y^{\prime }}_1\right]|}_{x=a}=\frac{M}{E+\frac{1}{F+{\Phi }_1(\; a\; )}}$

4. 相似构造法的具体步骤

根据上述定理1的证明过程，我们不难归纳总结出求解三区复合Legendre方程边值问题的相似构造法的具体步骤如下：

第一步，构造内区、中区、外区引解函数。根据Legendre方程的两个线性无关解 $P_{l_i}\left(x\right)$ ， $Q_{l_i}\left(x\right)$ 构造内区、中区、外区引解函数 ${\phi }_{m,n}^i\left(x,\xi \right)\left(i=1,2,3,m,n=0,1\right)$ ，如(5)~(8)式。

第二步，构造内区、中区、外区的相似核函数。根据外边值条件的系数G,H以及外区引解函数 ${\phi }_{m,n}^3\left(x,\xi \right)\left(m,n=0,1\right)$ 构造外区相似核函数，如(11)式所示，并求出 ${\Phi }_3\left(c\right)$ ；根据衔接性条件的系数 ${\mu }_1$ ， ${\mu }_2$ 以及中区引解函数 ${\phi }_{m,n}^2\left(x,\xi \right)\left(m,n=0,1\right)$ 构造中区相似核函数，如(10)所示，并求出 ${\Phi }_2\left(b\right)$ ；根据衔接性条件的系数 ${\lambda }_1$ ， ${\lambda }_2$ 以及内区引解函数 ${\phi }_{m,n}^1\left(x,\xi \right)\left(m,n=0,1\right)$ 构造内区相似核函数，如(9)式所示，并求出 ${\Phi }_1\left(a\right)$ 。

第三步，获得三区复合Legendre边值问题(1)的解。将内边值条件的系数M，E，F与内区相似核函数 ${\Phi }_1\left(x\right)$ 以及 ${\Phi }_1\left(a\right)$ 进行组装得到内区解，即(6)式；将内边值条件的系数M，E，F、衔接性条件的系数 ${\lambda }_1$ ， ${\lambda }_2$ 、内区引解函数、中区相似核函数 ${\Phi }_2\left(x\right)$ 以及 ${\Phi }_1\left(a\right)$ ， ${\Phi }_2\left(b\right)$ 进行组装得到中区解，即(7)式；将内边值条件的系数M，E，F、衔接性条件的系数 ${\lambda }_1$ ， ${\lambda }_2$ ， ${\mu }_1$ ， ${\mu }_2$ 、内区引解函数，中区引解函数、外区相似核函数 ${\Phi }_3\left(x\right)$ 以及 ${\Phi }_1\left(a\right)$ ， ${\Phi }_2\left(b\right)$ ， ${\Phi }_3\left(c\right)$ 进行组装得到外区解，即(8)式。

根据以上的求解步骤可以绘出如图1的求解流程图。

Figure 1. Solution flow chart

图1. 求解流程图

5. 举例

求解如下的边值问题：

$\{\begin{array}{l}\left(1-x^2\right){y^{″}}_1-2x{y^{\prime }}_1+2y_1=0,\left(-1<x<0\right)\\ \left(1-x^2\right){y^{″}}_2-2x{y^{\prime }}_2+6y_2=0,\left(0<x<\frac{1}{2}\right)\\ \left(1-x^2\right){y^{″}}_3-2x{y^{\prime }}_3+12y_3=0,\left(\frac{1}{2}<x<1\right)\\ {\left[y_1+2{y^{\prime }}_1\right]|}_{x=-1}=1\\ {y_1|}_{x=0}={y_2|}_{x=0},{{y^{\prime }}_1|}_{x=0}={2{y^{\prime }}_2|}_{x=0}\\ {y_2|}_{x=\frac{1}{2}}={y_3|}_{x=\frac{1}{2}},{{y^{\prime }}_2|}_{x=\frac{1}{2}}={2{y^{\prime }}_3|}_{x=\frac{1}{2}}\\ {\left[y_3+2{y^{\prime }}_3\right]|}_{x=1}=0\end{array}$ (27)

通过对比边值问题(1)和边值问题(27)可以得到 $l_1=1$ ， $l_2=2$ ， $l_3=3$ ， $a=-1$ ， $b=0$ ， $c=\frac{1}{2}$ ， $d=1$ ， $E=1$ ， $F=1$ ， $M=1$ ， ${\lambda }_1=1$ ， ${\lambda }_2=2$ ， ${\mu }_1=1$ ， ${\mu }_2=2$ ， $G=1$ ，利用相似构造法对边值问题(27)进行求解。

内区定解方程 $\left(1-x^2\right){y^{″}}_1-2x{y^{\prime }}_1+2y_1=0$ 的两个线性无关解为 $P_1\left(x\right)$ ， $Q_1\left(x\right)$ ，中区定解方程 $\left(1-x^2\right){y^{″}}_2-2x{y^{\prime }}_2+6y_2=0$ 的两个线性无关解为 $P_2\left(x\right)$ ， $Q_2\left(x\right)$ ，外区定解方程 $\left(1-x^2\right){y^{″}}_3-2x{y^{\prime }}_3+12y_3=0$ 的两个线性无关解为 $P_3\left(x\right)$ ， $Q_3\left(x\right)$ 。

第一步，根据边值问题(27)的内区、中区、外区定解方程的两个线性无关解分别构造相应的引解函数。即内区引解函数为：

${\phi }_{0,0}^1\left(x,\xi \right)=P_1\left(x\right)Q_1\left(\xi \right)-P_1\left(\xi \right)Q_1(\; x\; )$

${\phi }_{1,0}^1\left(x,\xi \right)=\frac{1}{1-x^2}\left\{P_0\left(x\right)Q_1\left(\xi \right)-P_1\left(\xi \right)Q_0\left(x\right)-x\left[P_1\left(x\right)Q_1\left(\xi \right)-P_1\left(\xi \right)Q_1\left(x\right)\right]\right\}$

${\phi }_{0,1}^1\left(x,\xi \right)=\frac{1}{1-{\xi }^2}\left\{P_1\left(x\right)Q_0\left(\xi \right)-P_0\left(\xi \right)Q_1\left(x\right)-\xi \left[P_1\left(x\right)Q_1\left(\xi \right)-P_1\left(\xi \right)Q_1\left(x\right)\right]\right\}$

$\begin{array}{c}{\phi }_{1,1}^1\left(x,\xi \right)=\frac{1}{\left(1-x^2\right)\left(1-{\xi }^2\right)}\{P_0\left(x\right)Q_0\left(\xi \right)-P_0\left(\xi \right)Q_0\left(x\right)-x\left[P_1\left(x\right)Q_0\left(\xi \right)-P_0\left(\xi \right)Q_1\left(x\right)\right]\\ -\xi \left[P_0\left(x\right)Q_1\left(\xi \right)-P_1\left(\xi \right)Q_0\left(x\right)\right]+x\xi \left[P_1\left(x\right)Q_1\left(\xi \right)-P_1\left(\xi \right)Q_1\left(x\right)\right]\}\end{array}$

中区引解函数为：

${\phi }_{0,0}^2\left(x,\xi \right)=P_2\left(x\right)Q_2\left(\xi \right)-P_2\left(\xi \right)Q_2(\; x\; )$

${\phi }_{1,0}^2\left(x,\xi \right)=\frac{2}{1-x^2}\left\{P_1\left(x\right)Q_2\left(\xi \right)-P_2\left(\xi \right)Q_1\left(x\right)-x\left[P_2\left(x\right)Q_2\left(\xi \right)-P_2\left(\xi \right)Q_2\left(x\right)\right]\right\}$

${\phi }_{0,1}^2\left(x,\xi \right)=\frac{1}{1-{\xi }^2}\left\{P_2\left(x\right)Q_1\left(\xi \right)-P_1\left(\xi \right)Q_2\left(x\right)-\xi \left[P_2\left(x\right)Q_2\left(\xi \right)-P_2\left(\xi \right)Q_2\left(x\right)\right]\right\}$

$\begin{array}{c}{\phi }_{1,1}^2\left(x,\xi \right)=\frac{4}{\left(1-x^2\right)\left(1-{\xi }^2\right)}\{P_1\left(x\right)Q_1\left(\xi \right)-P_1\left(\xi \right)Q_1\left(x\right)-x\left[P_2\left(x\right)Q_1\left(\xi \right)-P_1\left(\xi \right)Q_2\left(x\right)\right]\\ -\xi \left[P_1\left(x\right)Q_2\left(\xi \right)-P_2\left(\xi \right)Q_1\left(x\right)\right]+x\xi \left[P_2\left(x\right)Q_2\left(\xi \right)-P_2\left(\xi \right)Q_2\left(x\right)\right]\}\end{array}$

外区引解函数为：

${\phi }_{0,0}^3\left(x,\xi \right)=P_3\left(x\right)Q_3\left(\xi \right)-P_3\left(\xi \right)Q_3(\; x\; )$

${\phi }_{1,0}^3\left(x,\xi \right)=\frac{3}{1-x^2}\left\{P_2\left(x\right)Q_3\left(\xi \right)-P_3\left(\xi \right)Q_2\left(x\right)-x\left[P_3\left(x\right)Q_3\left(\xi \right)-P_3\left(\xi \right)Q_3\left(x\right)\right]\right\}$

${\phi }_{0,1}^3\left(x,\xi \right)=\frac{3}{1-{\xi }^2}\left\{P_3\left(x\right)Q_2\left(\xi \right)-P_2\left(\xi \right)Q_3\left(x\right)-\xi \left[P_3\left(x\right)Q_3\left(\xi \right)-P_3\left(\xi \right)Q_3\left(x\right)\right]\right\}$

$\begin{array}{c}{\phi }_{1,1}^1\left(x,\xi \right)=\frac{9}{\left(1-x^2\right)\left(1-{\xi }^2\right)}\{P_2\left(x\right)Q_2\left(\xi \right)-P_2\left(\xi \right)Q_2\left(x\right)-x\left[P_3\left(x\right)Q_2\left(\xi \right)-P_2\left(\xi \right)Q_3\left(x\right)\right]\\ -\xi \left[P_2\left(x\right)Q_3\left(\xi \right)-P_3\left(\xi \right)Q_2\left(x\right)\right]+x\xi \left[P_3\left(x\right)Q_3\left(\xi \right)-P_3\left(\xi \right)Q_3\left(x\right)\right]\}\end{array}$

第二步，构造相似核函数。由于 $G=1$ ， $H=1$ 结合外区引解函数构造外区相似核函数为：

${\Phi }_3\left(x\right)=\frac{{\phi }_{0,0}^3\left(x,1\right)+{\phi }_{0,1}^3\left(x,1\right)}{{\phi }_{1,0}^3\left(\frac{1}{2},1\right)+{\phi }_{1,1}^3\left(\frac{1}{2},1\right)}$

由于 ${\mu }_1=1$ ， ${\mu }_2=2$ 并结合中区引解函数和 ${\Phi }_3\left(\frac{1}{2}\right)$ 构造中区相似核函数为：

${\Phi }_2\left(x\right)=\frac{2{\phi }_{0,0}^2\left(x,\frac{1}{2}\right)-{\phi }_{0,1}^2\left(x,\frac{1}{2}\right){\Phi }_3\left(\frac{1}{2}\right)}{2{\phi }_{1,0}^2\left(0,\frac{1}{2}\right)-{\phi }_{1,1}^2\left(0,\frac{1}{2}\right){\Phi }_3(\; 1\; 2\; )}$

由于 ${\lambda }_1=1$ ， ${\lambda }_2=2$ 并结合内区引解函数和 ${\Phi }_2\left(0\right)$ 构造内区相似核函数为：

${\Phi }_1\left(x\right)=\frac{2{\phi }_{0,0}^1\left(x,0\right)-{\phi }_{0,1}^1\left(x,0\right){\Phi }_2\left(0\right)}{2{\phi }_{1,0}^1\left(-1,0\right)-{\phi }_{1,1}^1\left(-1,0\right){\Phi }_2(\; 0\; )}$

第三步，根据 $E=1$ ， $F=1$ ， $M=1$ 并将各部分进行组装，得到

内区解为：

$y_1=\frac{{\Phi }_1\left(x\right)}{{\Phi }_1\left(-1\right)+2}$

中区解为：

$y_2=\frac{1}{{\Phi }_1\left(-1\right)+2}\cdot \frac{{\phi }_{0,1}^1\left(0,0\right)}{{\phi }_{1,1}^1\left(-1,0\right){\Phi }_2\left(0\right)-2{\phi }_{1,0}^1\left(-1,0\right)}\cdot {\Phi }_2(\; x\; )$

外区解为：

$y_3=\frac{1}{{\Phi }_1\left(-1\right)+2}\cdot \frac{{\phi }_{0,1}^1\left(0,0\right){\phi }_{0,1}^2\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right){\Phi }_3\left(x\right)}{\left[2{\phi }_{1,0}^1\left(-1,0\right)-{\phi }_{1,1}^1\left(-1,0\right){\Phi }_2\left(0\right)\right]\left[2{\phi }_{1,0}^2\left(0,\frac{1}{2}\right)-{\phi }_{1,1}^2\left(0,\frac{1}{2}\right){\Phi }_3\left(\frac{1}{2}\right)\right]}$

6. 结论

1) 对于边值问题(1)只要知道其两个线性无关解，就可以构造出内、中、外区引解函数，进而构造出对应的相似核函数；

2) 观察边值问题(1)的解式可以发现，其内、中、外区三个解的表达形式具有相似性，其解式的系数只与内边界条件、衔接性条件、外边界条件的系数有关，并且其解式是由引解函数、相似核函数、边界条件的系数进行组装而成；

3) 在边值问题(1)中，随着边界条件系数的改变，其解的表示形式不会发生改变，改变的是相应的相似核函数，从而对边值问题的求解提供了一种简单、快捷的方法。