涉及高阶导数分担值的正规族

Involving Normal Families of Sharing Values of Higher-Order Derivative

摘要: 分析了两类涉及变动分担值以及高阶导数的函数族正规性。应用Pang-Zalcman引理，分别讨论了两个涉及高阶导数的全纯函数f以及亚纯函数g分担值的正规定则，并且将固定分担值推广到了依赖于f与g的分担值，得到了两类新的正规定则。令ℑ为D上一全纯函数族，a_f,b_f,c_f为3个非零有穷复数，a_f≠b_f，满足：1)min{σ(0,a_f),σ(0,b_f),σ(a_f,b_f)}≥ε；2)相对于f独立；若对于任意的f∈ℑ，f的零点重级至少为k，且f(z)=0⇔f^{(k )}(z)=a_f，f^{(k )}(z)=b_f⇒f(z)=c_f，则ℑ在复数域D内正规。

Abstract: Two classes of function family regularity involving higher-order derivative variable sharing values are discussed. Applying the Pang-Zalcman lemma, normality criterions for sharing values of holo-morphic functions f and meromorphic functions g which involving higher-order derivatives are dis-cussed respectively, and the fixed sharing values are generalized to the sharing values which de-pendent on f and g, hence two normality criterion are obtained. Let be a family of holomorphic function in a domain D, for every f∈ℑ, the zeros of f have multiplicities at least k. a_f,b_f,c_f are three finite non-zero complex numbers and a_f≠b_f. And satisfied 1) min{σ(0,a_f),σ(0,b_f),σ(a_f,b_f)}≥ε; 2) are independent of f; and f(z)=0⇔f^{(k )}(z)=a_f，f^{(k )}(z)=b_f⇒f(z)=c_f, . Then ℑ is normal in D.

1. 引言及主要结果

设 $D$ 是复平面 $ℂ$ 上的一个区域， $M\left(D\right)$ 是定义在D上所有亚纯函数的集合。设 $\left\{f,g\right\}\subset M\left(D\right)$ ， $\left\{f,g\right\}\subset ℂ\cup \left\{\infty \right\}$ ，若当 $f\left(z\right)=a$ 时，有 $g\left(z\right)=b$ ，我们记为

$f\left(z\right)=a\Rightarrow g\left(z\right)=b$

如果 $f\left(z\right)=a\Rightarrow g\left(z\right)=b$ 且 $g\left(z\right)=b\Rightarrow f\left(z\right)=a$ ，我们记为

$f\left(z\right)=a\iff g\left(z\right)=b$

当 $a=b$ 时，我们称f，g在D上IM分担a。

本文，我们用 $\sigma \left(x,y\right)$ 表示x与y的球面距离 [1] 。

本文主要分为三个部分，第一部分介绍国内研究现状，第二部分给出本文所需要用到的引理，第三部分给出了对于定理的证明。

2000年，庞学诚和Zalcman [2] 研究了分担值的正规定则，得到如下结论：

定理A令 $F$ 是复数域D内的一个亚纯函数族，a，b，c和d是有限复常数，满足 $c\ne a$ 及 $b\ne d$ ，假如对任意函数 $f\in F$ ，都有 $f\left(z\right)=a\iff f^{\prime }\left(z\right)=b$ ， $f\left(z\right)=c\iff f^{\prime }\left(z\right)=d$ ，则 $F$ 在D内正规。

2004年，方明亮和Zalcman [3] 证明了：

定理B令 $F$ 是复数域D内的一个亚纯函数族，a，b为两个非零有限复数，k为正整数，假如对任意函数 $f\in F$ ，f的零点重数最少为 $k+1$ ，且满足 $f\left(z\right)=a\iff f^{\left(k\right)}(z)=b$ ，则 $F$ 在D内正规。

2018年，廖华婷 [4] 在毕业论文中分别推广了定理A与定理B，得到了定理C与定理D：

定理C令 $F$ 是复数域D内的一个亚纯函数族，假如对任意函数 $f\in F$ ，有复数 $a_f\left(\ne 0\right)$ ， $b_f$ ， $c_f$ ， $d_f$ ( $a_f\ne c_f$ ， $b_f\ne d_f$ )，满足以下条件：

1) $\min \left\{\sigma \left(b_f,a_f\right),\sigma \left(c_f,b_f\right),\sigma \left(a_f,c_f\right)\right\}\ge \epsilon$ ；( $\epsilon$ 为正实数)

2) $\frac{b_f}{a_f},\frac{c_f}{a_f},\frac{d_f}{a_f}$ 相对函数f独立，使得 $f\left(z\right)=a_f\iff f^{\prime }\left(z\right)=b_f$ ， $f\left(z\right)=c_f\iff f^{\prime }\left(z\right)=d_f$ ，则 $F$ 在D

内是正规的。

定理D令 $F$ 是区域D内的一个亚纯函数族，k为正整数，假如对任意函数 $f\in F$ ，f的零点重数最少为 $k+1$ ，存在复数 $a_f\left(\ne 0\right)$ ， $b_f$ 满足条件：

1) $\min \left\{\sigma \left(0,a_f\right),\sigma \left(0,b_f\right),\sigma \left(a_f,b_f\right)\right\}\ge \epsilon$ ；( $\epsilon$ 为正实数)

2) $\frac{b_f}{a_f}$ 相对于f独立，使得 $f\left(z\right)=a_f\iff f^{\left(k\right)}\left(z\right)=b_f$ ，则 $F$ 在D内正规。

2006年刘礼培 [5] 得到了：

定理E令 $F$ 为单位圆盘 $\Delta$ 内的一个全纯函数族，a， $b\left(\ne 0\right)$ ， $c\left(\ne 0\right)$ 为3个有限复数，并且满足 $a\ne b$ ，假如对任意函数 $f\in F$ ，f零点重数最少为k，并且 $f\left(z\right)=0\iff f^{\left(k\right)}\left(z\right)=a$ ， $f^{\left(k\right)}\left(z\right)=b\Rightarrow f\left(z\right)=c$ ，则 $F$ 在单位圆盘 $\Delta$ 内正规。

2016年，吕凤姣等人 [6] 证明了：

定理F令 $F$ 是单位圆盘 $\Delta$ 内的一个亚纯函数族，a和b是两个非零有限复常数，k为正整数。假如对

任意函数 $f\in F$ ，f零点重数至少是 $k+1$ ，极点重数最少为2，且 $f^{\left(k\right)}\left(z\right)=a\Rightarrow \left|f\left(z\right)\right|\ge b$ ，则 $F$ 在单位圆

盘 $\Delta$ 内正规。

根据上述将固定分担值推广至变动分担值这一思路，可得到本文的主要定理。

定理1令 $F$ 为一全纯函数族， $a_f,b_f,c_f$ 为3个有限非零复数， $a_f\ne b_f$ ，满足：

1) $\min \left\{\sigma \left(0,a_f\right),\sigma \left(0,b_f\right),\sigma \left(a_f,b_f\right)\right\}\ge \epsilon$ ；( $\epsilon$ 为正实数)

2) $\frac{b_f}{a_f}，\frac{c_f}{a_f}$ 相对于 $f$ 独立；

若对于任意的 $f\in \mathcal{F}$ ，f的零点重级至少为k，且 $f\left(z\right)=0\iff f^{\left(k\right)}\left(z\right)=a_f$ ， $f^{\left(k\right)}\left(z\right)=b_f\Rightarrow f\left(z\right)=c_f$ ，则 $F$ 在复数域D内正规。

定理2令 $F$ 是一亚纯函数族， $a_f$ 和 $b_f$ 为两个非零有穷复数，k为正整数，满足：

1) $\min \left\{\sigma \left(0,a_f\right),\sigma \left(0,b_f\right),\sigma \left(a_f,b_f\right)\right\}\ge \epsilon$ ；( $\epsilon$ 为正实数)

2) $\frac{b_f}{a_f}，\frac{c_f}{a_f}$ 相对于f独立；

加入对任意函数 $f\in F$ ，f零点重数最少是 $k+1$ ，极点重数最少为2，并且满足 $f^{\left(k\right)}\left(z\right)=a_f\Rightarrow \left|f\left(z\right)\right|\ge b_f$ ，则 $F$ 在D内正规。

2. 主要引理

引理2.1 [1] 令 $F$ 是一族亚纯函数， $F$ 包含于单位圆盘，且 $F$ 中的每个函数的零点重级最少是k，并且

1) 若 $f\left(z\right)=0$ ，必有 $\left|f^{\left(k\right)}\left(z\right)\right|\le A$ ；

2) 假如 $F$ 在单位圆内不正规，那么对于每一个 $\alpha$ ， $0\le \alpha \le k$ ，存在

a) 实数r， $0<r<1$ ；

b) 点列 $z_n$ ， $\left|z_n\right|<r$ ；

c) 函数列 $f_n\in F$ ；

d) 正数列 ${\rho }_n\to 0^{+}$

使得函数 $\left\{\frac{f_n\left(z_n+{\rho }_n\zeta \right)}{{\rho }_n^{\alpha }}\right\}$ 在单位圆上按照球距内闭一致收敛到一亚纯函数 $g\left(\zeta \right)$ ，满足 $g^{\#}\left(\zeta \right)\le g^{\#}\left(0\right)=kA+1$

引理2.2 [7] 令 $f\left(z\right)$ 为复平面上不为常数的有限级亚纯函数，复常数b，a为非零， $k\left(\ge 3\right)$ 为正整数，假如 $f\left(z\right)$ 的零点重数最少为k， $f\left(z\right)=0\iff f^{\left(k\right)}\left(z\right)=a$ ， $f^{\left(k\right)}\left(z\right)\ne b$ ，则

$f\left(z\right)=\frac{a{\left(z-c\right)}^k}{k!}$

引理2.3 [8] 令 $\epsilon$ 为一正整数，Möbius变换 $L$ 满足：

$\min \left\{\sigma \left(L_f\left(b\right),L_f\left(a\right)\right),\sigma \left(L_f\left(c\right),L_f\left(b\right)\right),\sigma \left(L_f\left(a\right),L_f\left(c\right)\right)\right\}\ge \epsilon$

其中 $a,b,c$ 为三个常数，则L满足李普希茨条件，即

$\sigma \left(L_f\left(z\right),L_f\left(w\right)\right)\le k_{\epsilon }\sigma \left(z,w\right)$

这里 $k_{\epsilon }$ 是与 $\epsilon$ 有关的常数。

引理2.4 [9] 令 $f\left(z\right)$ 为复平面上不恒为常数的有限级亚纯函数，复常数b非零，k为正整数，假如 $f\left(z\right)$ 的零点重数最少为 $k+1$ ，极点重数最少为2，且 $f^{\left(k\right)}\left(z\right)\ne b$ ，则 $f\left(z\right)$ 恒为常数。

引理2.5 [10] 令 $\left\{f_n\left(z\right)\right\}$ 为复数域D内解析的函数序列，并且 $\left\{f_n\left(z\right)\right\}$ 内闭一致收敛到一个不恒为零的函数， $\gamma$ 是复数域D内可求长的闭曲线，且曲线 $\gamma$ 不经过 $f\left(z\right)$ 的零点，则存在正整数N，当 $n\ge N$ 时，在 $\gamma$ 内部 $f_n\left(z\right)$ 和 $f\left(z\right)$ 的零点个数是相同。

引理2.6 [1] 令 $f\left(z\right)$ 为 $ℂ$ 上的亚纯函数，如果 $f\left(z\right)$ 的球面导数 $f^{\#}\left(z\right)$ 有界，则 $f\left(z\right)$ 的级最多为2。

引理2.7 [1] 令 $f\left(z\right)$ 为 $ℂ$ 上的全纯函数，如果 $f\left(z\right)$ 的球面导数 $f^{\#}\left(z\right)$ 有界，则 $f\left(z\right)$ 的级最多为1。

3. 定理的证明

定理1的证明

由条件2可知，有非零常数a，b，c使得 $\frac{b_f}{a_f}=\frac{b}{a}$ ， $\frac{c_f}{a_f}=\frac{c}{a}$ 相对f独立。有莫比乌斯变换为 $L_f\left(z\right)=\frac{a_f}{a}z$ ，其逆变换为 $L_f^{-1}\left(z\right)=\frac{a}{a_f}z$ ，先证明函数族 $G=\left\{L_f^{-1}\circ f|f\in F\right\}$ 在D内正规。不失一般性，可设D为单位圆 $\Delta$ 。用反证法，假设G在 $\Delta$ 内不正规，则由引理2.1可知存在函数列 $\left\{g_j=L_{f_j}^{-1}\circ f_j\right\}\subset G$ ， $\left\{f_j\right\}\subset F$ ， $\left\{z_j\right\}\subset \Delta$ ，正数列 $\left\{{\rho }_j\right\}$ 满足 ${\rho }_j\to 0^{+}$ ，使得

$T_j\left(\zeta \right)={\rho }_j^{-k}{g}_j\left(z_j+{\rho }_j\zeta \right)$ (3.1)

在 $\Delta$ 上按球距内闭一致收敛于一个非常数的全纯函数 $T\left(\zeta \right)$ ， $T^{\text{\#}}\left(\zeta \right)\le T^{\text{\#}}\left(0\right)=k\left(\left|a\right|+1\right)+1$ ，T的级至多为1。

断言：

1) $T\left(\zeta \right)=0\iff T^{\left(k\right)}\left(\zeta \right)=a$ ；

2) $T^{\left(k\right)}\left(\zeta \right)\ne b$

设 $T\left({\zeta }_0\right)=0$ ，由赫尔维茨定理，存在点列 ${\zeta }_j\to {\zeta }_0$ ，满足 $T_j\left({\zeta }_j\right)={\rho }_j^{-k}{g}_j\left(z_j+{\rho }_j{\zeta }_j\right)=0$ ，所以 $f_j\left(z_j+{\rho }_j{\zeta }_j\right)=0$ ，即 $f_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\zeta }_j\right)=a_f$ ，从而 $T_j^{\left(k\right)}\left({\zeta }_j\right)=g_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\zeta }_j\right)=a$ 。所以 $T\left(\zeta \right)=0\Rightarrow T^{\left(k\right)}\left(\zeta \right)=a$ 。

再设 $T^{\left(k\right)}\left({\zeta }_0\right)=a$ ，显然 $T^{\left(k\right)}\left(\zeta \right)\cancel{\equiv }a$ ，否则 $T\left(\zeta \right)=\frac{a}{k!}{\left(\zeta -{\zeta }_1\right)}^k$ ，经简单计算有

$T^{\#}\left(0\right)\le \{\begin{array}{l}\frac{k}{2},\left|{\zeta }_1\right|\ge 1,\\ \left|a\right|,\left|{\zeta }_1\right|<1.\end{array}$ (3.2)

与 $T^{\text{\#}}\left(0\right)=k\left(\left|a\right|+1\right)+1$ 发生矛盾。所以由赫尔维茨定理，存在点列 ${\zeta }_j\to {\zeta }_0$ ，使得 $T_j^{\left(k\right)}\left({\zeta }_j\right)=g_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\zeta }_j\right)=a$ ，即 $f_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\zeta }_j\right)=a_f$ ，从而 $f_j\left(z_j+{\rho }_j{\zeta }_j\right)=0$ ，所以 $T_j\left({\zeta }_j\right)={\rho }_j^{-k}{g}_j\left(z_j+{\rho }_j{\zeta }_j\right)=0$ ，令 $j\to \infty$ ，则 $T\left({\zeta }_0\right)=0$ ，所以 $T\left(\zeta \right)=0\iff T^{\left(k\right)}\left(\zeta \right)=a$ 。

设 $T^{\left(k\right)}\left({\zeta }_0\right)=b$ ，则 $T^{\left(k\right)}\left(\zeta \right)\cancel{\equiv }b$ ，所以由Hurwitz定理，存在点列 ${\zeta }_j\to {\zeta }_0$ ， $T_j^{\left(k\right)}\left({\zeta }_j\right)=g_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\zeta }_j\right)=b$ ，则 $f_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\zeta }_j\right)=b_f$ ，由条件可得 $f_j\left(z_j+{\rho }_j{\zeta }_j\right)=c_f$ ，所以 $T_j\left({\zeta }_j\right)={\rho }_j^{-k}{g}_j\left(z_j+{\rho }_j{\zeta }_j\right)={\rho }_j^{-k}c$ ，即 $T\left({\zeta }_0\right)=\infty$ ，与 $T\left(\zeta \right)$ 为全纯函数矛盾。

下面再分三种情况：

当 $k\ge 3$ 时，由引理2.2可知， $T\left(\zeta \right)=\frac{a}{k!}{\left(\zeta -{\zeta }_2\right)}^k$ ，经过上述讨论，与 $T^{\text{\#}}\left(0\right)=k\left(\left|a\right|+1\right)+1$ 矛盾。

当 $k=2$ 时，因为 $T\left(\zeta \right)$ 的级至多为1，所以 $T^{\left(2\right)}$ 的级最多也为1，又因为 $T^{\left(2\right)}\ne b$ ，所以

$T^{\left(2\right)}=b+A{\text{e}}^{\lambda \zeta }$ (3.3)

其中 $A\ne 0$ ， $\lambda$ 为有限常数。

当 $\lambda =0$ 时，我们有

$T\left(\zeta \right)=\frac{1}{2}\left(b+A\right){\zeta }^2+B_1\zeta +B_2$ (3.4)

其中 $B_1$ ， $B_2$ 为常数，显然 $b+A\ne 0$ ，不然 $T^{\left(2\right)}=0$ ，与T的零点重级为2矛盾。又由断言(1)， $b+A=a$ ，从而 $T\left(\zeta \right)=\frac{1}{2}a{\zeta }^2+B_1\zeta +B_2$ 且必有零点，不妨设 $T\left({\zeta }_0\right)=0$ ，因为T的零点重级为2，且有 $T^{\left(2\right)}=a$ ，所

以

$T\left(\zeta \right)=\frac{a}{2}{\left(\zeta -{\zeta }_0\right)}^2$ (3.5)

由上述讨论，与 $T^{\#}\left(0\right)=2\left(\left|a\right|+1\right)+1$ 矛盾。

当 $\lambda \ne 0$ 时

$T\left(\zeta \right)=\frac{1}{2}b{\zeta }^2+B_1\zeta +B_2+\frac{A}{{\lambda }^2}{\text{e}}^{\lambda \zeta }$ (3.6)

其中 $B_1$ ， $B_2$ 为常数。存在 ${\zeta }_0$ ，使得 $T\left({\zeta }_0\right)=0$ ，因为 $T\left(\zeta \right)=0\iff T^{\left(2\right)}\left(\zeta \right)=a$ 。所以 ${\zeta }_0$ 将满足以下两个方

程：

$\frac{1}{2}b{\zeta }_0^2+B_1{\zeta }_0+B_2+\frac{A}{{\lambda }^2}{\text{e}}^{\lambda {\zeta }_0}=0$ (3.7)

$b+A{\text{e}}^{\lambda {\zeta }_0}=a$ (3.8)

化简可得 $\frac{1}{2}b{\zeta }_0^2+B_1{\zeta }_0+B_2+\frac{a-b}{{\lambda }^2}=0$ 。所以满足断言的解只有两个，与 $T\left(\zeta \right)$ 本身矛盾。

当 $k=1$ 时，我们指出 $T\left(\zeta \right)=0\Rightarrow T^{\prime }\left(\zeta \right)=a$ ，以及 $T^{\prime }\left(\zeta \right)\ne b$ 。同 $k=2$ 的情形， $T^{\prime }\left(\zeta \right)$ 的级最多也为1，又因为 $T^{\prime }\left(\zeta \right)\ne b$ ，所以

$T^{\prime }\left(\zeta \right)=b+A{\text{e}}^{\lambda \zeta }$ (3.9)

若 $\lambda =0$ ，我们有

$T\left(\zeta \right)=\left(b+A\right)\zeta +B_1$ (3.10)

其中 $B_1$ 是一个有限常数。

因为 $T\left(\zeta \right)$ 非常数，所以

$b+A\ne 0$ (3.11)

因为 $T\left(\zeta \right)=0\Rightarrow T^{\prime }\left(\zeta \right)=a$ ，我们可以得出

$b+A=a$ (3.12)

因此

$T\left(\zeta \right)=a\zeta +B_1$ (3.13)

这与 $T^{\#}\left(0\right)=\left|a\right|+2$ 矛盾。

因此，一定有 $\lambda \ne 0$ ，所以

$T\left(\zeta \right)=b\zeta +\frac{A}{\lambda }{\text{e}}^{\lambda \zeta }+B_1$ (3.14)

其中 $B_1$ 是一个有限常数。

因为 $b\ne 0$ ，所以上式必有一根，不妨设 $T\left({\zeta }_0\right)=0$ ，因为 $T\left(\zeta \right)=0\Rightarrow T^{\prime }\left(\zeta \right)=a$ ，所以

$T^{\prime }\left({\zeta }_0\right)=a$ (3.15)

从而下面两个等式必然同时成立

$b\lambda {\zeta }_0+A{\text{e}}^{\lambda {\zeta }_0}+\lambda B_1=0$ (3.16)

以及

$A{\text{e}}^{\lambda {\zeta }_0}+b-a=0$ (3.17)

所以得到

${\zeta }_0=\left(b-\lambda B_1-a\right)/b\lambda$ (3.18)

这说明 $T\left(\zeta \right)$ 只有一个零点满足条件，与 $T\left(\zeta \right)=b\zeta +\frac{A}{\lambda }{\text{e}}^{\lambda \zeta }+B_1$ 矛盾。

从而 $G=\left\{L_f^{-1}\circ f\backslash f\in F\right\}$ 在 $\Delta$ 内正规。即函数族G在 $\Delta$ 内等度连续。由定理条件知：

$\begin{array}{c}\epsilon \le \min \left\{\sigma \left(0,a_f\right),\sigma \left(0,b_f\right),\sigma \left(a_f,b_f\right)\right\}\\ =\min \left\{\sigma \left(L_f\left(0\right),L_f\left(a\right)\right),\sigma \left(L_f\left(0\right),L_f\left(b\right)\right),\sigma \left(L_f\left(a\right),L_f\left(b\right)\right)\right\}\end{array}$

由引理2.3知， $L_f$ 满足李普希茨条件 $\sigma \left(L_f\left(z\right),L_f\left(w\right)\right)\le k_{\epsilon }\sigma \left(z,w\right)$ ， $k_{\epsilon }$ 为取决于 $\epsilon$ 的常数。

任意取一点 $z\in \Delta$ ，对任意的 $\epsilon >0$ ，T在 $z\in \Delta$ 上等度连续，存在 $\delta >0$ ，当 $w\in D$ 满足 $\sigma \left(z,w\right)<\delta$ ，对任意 $f\in F$ 满足

$\begin{array}{c}\sigma \left(f\left(z\right),f\left(w\right)\right)=\sigma \left(\left(L_f\circ L_f^{-1}\circ f\right)\left(z\right),\left(L_f\circ L_f^{-1}\circ f\right)\left(w\right)\right)\\ \le k_{\epsilon }\sigma \left(\left(L_f^{-1}\circ f\right)\left(z\right),L_f^{-1}\circ f\left(w\right)\right)\\ <\epsilon \end{array}$

即 $F$ 在点z也等度连续，因此 $F$ 在 $\Delta$ 内正规。

定理2的证明

与定理1类似，存在非零常数a，b使得 $\frac{b_f}{a_f}=\frac{b}{a}$ 相对f独立。有莫比乌斯变换 $L_f\left(z\right)=\frac{a_f}{a}z$ ，它的逆变换 $L_f^{-1}\left(z\right)=\frac{a}{a_f}z$ ，先证明函数族 $G=\left\{L_f^{-1}\circ f\backslash f\in F\right\}$ 在D内正规。不失一般性可设D为单位圆盘 $\Delta$ ，假设G在 $\Delta$ 内不正规，由引理2.1可得，存在函数列 $\left\{g_j=L_{f_j}^{-1}\circ f_j\right\}\subset G$ ， $\left\{f_j\right\}\subset F$ ， $\left\{z_j\right\}\subset \Delta$ ，正数列 $\left\{{\rho }_j\right\}$ 满足 ${\rho }_j\to 0^{+}$ ，使得

$T_j\left(\zeta \right)={\rho }_j^{-k}{g}_j\left(z_j+{\rho }_j\zeta \right)$ (3.19)

在复平面上按球距内闭一致收敛到非常数亚纯函数 $T\left(\zeta \right)$ ，其中 $T\left(\zeta \right)$ 的级最多为2，其零点重级至少为 $k+1$ ，极点重级至少为2。

断言 $T^{\left(k\right)}\left(\zeta \right)\ne a$ 。事实上，设 ${\zeta }_0\in \Delta$ ，使得 $T^{\left(k\right)}\left({\zeta }_0\right)=a$ ， $T\left({\zeta }_0\right)\ne \infty$ 显然 $T^{\left(k\right)}\left(\zeta \right)\cancel{\equiv }a$ ，否则 $T\left(\zeta \right)$ 为一k次多项式，与其零点重级至少为 $k+1$ 矛盾。所以，由赫尔维茨定理可得，存在 $T_j\left(\zeta \right)$ ，和点列 ${\zeta }_j\to {\zeta }_0$ ，使得当 充分大时有 $T_j^{\left(k\right)}\left({\zeta }_j\right)=a$ ，所以 $f_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\zeta }_j\right)=a_f$ ，根据定理条件 $f^{\left(k\right)}\left(z\right)=a_f\Rightarrow \left|f\left(z\right)\right|\ge b_f$ ，所以 $\left|f_j\left(z_j+{\rho }_j{\zeta }_j\right)\right|\ge b_f$ ，即 $\left|T_j\left({\zeta }_j\right)\right|=\left|{\rho }_j^{-k}{g}_j\left(z_j+{\rho }_j{\zeta }_j\right)\right|\ge {\rho }_j^{-k}\frac{a}{a_f}{b}_f={\rho }_j^{-k}b\to \infty$ (当 $j\to \infty$ )。所以 $T\left({\zeta }_0\right)=\infty$ 。矛盾，断言得证。

又 $T\left(\zeta \right)$ 的零点重级至少为 $k+1$ ，极点重级至少为2，由引理2.4知， $T\left(\zeta \right)$ 为一常数，这与 $T\left(\zeta \right)$ 是非常数亚纯函数矛盾，从而G在 $\Delta$ 内正规，即G在 $\Delta$ 内等度连续。由定理条件(1)知，

$\begin{array}{c}\epsilon \le \min \left\{\sigma \left(0,a_f\right),\sigma \left(0,b_f\right),\sigma \left(a_f,b_f\right)\right\}\\ =\min \left\{\sigma \left(L_f\left(0\right),L_f\left(a\right)\right),\sigma \left(L_f\left(0\right),L_f\left(b\right)\right),\sigma \left(L_f\left(a\right),L_f\left(b\right)\right)\right\}\end{array}$

由引理2.3， $L_f$ 满足Lipschitz’s条件 $\sigma \left(L_f\left(z\right),L_f\left(w\right)\right)\le k_{\epsilon }\sigma \left(z,w\right)$ ，其中 $k_{\epsilon }$ 为取决于 $\epsilon$ 的常数。

任意取一点 $z\in \Delta$ ，对任意 $\epsilon >0$ ， 在 $z\in \Delta$ 等度连续，存在 $\delta >0$ ，当 $w\in D$ 满足 $\sigma \left(z,w\right)<\delta$ ，对任意 $f\in F$ 满足

$\begin{array}{c}\sigma \left(f\left(z\right),f\left(w\right)\right)=\sigma \left(\left(L_f\circ L_f^{-1}\circ f\right)\left(z\right),\left(L_f\circ L_f^{-1}\circ f\right)\left(w\right)\right)\\ \le k_{\epsilon }\sigma \left(\left(L_f^{-1}\circ f\right)\left(z\right),L_f^{-1}\circ f\left(w\right)\right)\\ <\epsilon \end{array}$

即 $F$ 在点z也等度连续，因此 $F$ 在 $\Delta$ 内正规。

基金项目

国家自然科学基金资助(11961068)。

NOTES

^*通讯作者。