Legendre谱方法求解第二类Fredholm积分方程

The Legendre Spectral Method for Numerical Solution of the Second Fredholm Integral Equation

摘要: 本文提出了非奇异的第二类Fredholm积分方程求解的Legendre谱方法。首先作积分变换，然后应用Legendre-Gauss求积公式与级数展开法分别对积分项与未知函数做近似，再对变换后的积分方程求近似解，并进行误差分析，最后通过数值算例，验证了该方法的可行性与有效性。

Abstract: In this paper, a Legendre spectral method for solving the second Fredholm integral equation is presented. Firstly, the integral transformation is performed, and then the Legendre-Gauss quadrative formula combined with series expansion method are used to approximate the integral term and the unknown function, and then the approximate solution of the transformed integral equation is obtained, and the error analysis is carried out. Finally, the feasibility and effectiveness of the method are verified by numerical examples.

1. 引言

积分方程是现代数学研究的一个关注点，随着时间的发展，积分方程在现代社会中应用的重要性越发的突显出来，生产及生活实践中抽象概括出的许多模型要么是积分方程，要么是可以转化为积分方程来求解。但是大部分积分方程求解较为复杂，这就使得众多的专家学者对此进行了深入的研究，提出了许多行之有效的解决方案，目前主要的解决方法有Nyström法 [1] [2] 、小波法 [3] [4] 、配置法 [5] [6] [7] 、神经网络法 [8] 、迭代法 [9] 等。

本文将介绍谱方法在求解积分方程中的应用。谱方法的优秀之处在于其具有“无穷阶收敛性”，即如果积分方程的解是充分光滑的，那么谱方法的收敛阶是无穷阶的 [10]。目前对于积分项的处理方法中有Gauss求积公式与Lagrange插值相结合的模式 [11] [12] [13]，本文将应用Gauss求积公式与函数的级数展开法相结合的方法对第二类非奇异积分方程进行研究。

考虑第二类Fredholm积分方程 [14]，形如

$u\left(x\right)+{\displaystyle {\int }_a^{b}k\left(x,s\right)u\left(s\right)\text{d}s}=g\left(x\right)$ , $x\in \left[a,b\right]$ (1)

其中 $k\left(x,s\right)$ 为连续核函数，自由项 $g\left(x\right)$ 为连续函数， $u\left(x\right)$ 是未知密度函数。

2. Legendre谱方法

首先，对方程(1)式应用作积分变换

$s=s\left(x,\theta \right)=\frac{b-a}{2}\theta +\frac{a+b}{2}$ , $\theta \in \left[-1,1\right]$ (2)

化为

$u\left(x\right)+{\displaystyle {\int }_{-1}^1\tilde{k}\left(x,s\left(x,\theta \right)\right)u\left(s\left(x,\theta \right)\right)\text{d}\theta }=g\left(x\right)$ , $\theta \in \left[-1,1\right]$ (3)

其中

$\tilde{k}\left(x,s\left(x,\theta \right)\right)=\frac{1}{2}k\left(x,s\left(x,\theta \right)\right)$ .

其次，对(3)式进行离散化。将函数 $u\left(x\right)$ 在Legendre-Gauss点上利用级数展开法展开，得到

$u\left(x\right)\approx u_N\left(x\right)={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N}{\sum }}{a}_j{u}_j\left(x\right)}$ , $j=0,1,\cdots ,N$ (4)

其中 $a_j$ 为系数， $u_j\left(x\right)$ 为Legendre多项式的基函数。

假设(3)式在Legendre-Gauss点 ${\left\{x_i\right\}}_{i=0}^N$ 上成立，其中

$x_i=\cos \frac{i}{N}\pi$ , $i=0,1,\cdots ,N$

则有

$u\left(x_i\right)+{\displaystyle {\int }_{-1}^1\tilde{k}\left(x_i,s\left(x_i,\theta \right)\right)u\left(s\left(x_i,\theta \right)\right)\text{d}\theta }=g\left(x_i\right)$ , $i=0,1,\cdots ,N$ (5)

将(4)式代入(5)式，得

${\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N}{\sum }}{a}_j{u}_j\left(x_i\right)}+{\displaystyle {\int }_{-1}^1\tilde{k}\left(x_i,s\left(x_i,\theta \right)\right){\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N}{\sum }}{a}_j{u}_j\left(s\left(x_i,\theta \right)\right)\text{d}\theta }}=g\left(x_i\right)$ , $i=0,1,\cdots ,N$ (6)

对(6)式应用Legendre-Gauss求积公式，有

${\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N}{\sum }}{a}_j}\left(u_j\left(x_i\right)+{\displaystyle \underset{p=0}{\overset{N}{\sum }}\tilde{k}\left(x_i,s\left(x_i,{\theta }_p\right)\right)u_j\left(s\left(x_i,{\theta }_p\right)\right){\omega }_p}\right)=g\left(x_i\right)$ , $i=0,1,\cdots ,N$ (7)

(7)式可化为矩阵方程 $KA=G$ ，其中

$K=u_j\left(x_i\right)+{\displaystyle \underset{p=0}{\overset{N}{\sum }}\tilde{k}\left(x_i,s\left(x_i,{\theta }_p\right)\right)u_j\left(s\left(x_i,{\theta }_p\right)\right){\omega }_p}$

$A={\left[a_0,a_1,\cdots ,a_N\right]}^{\mathrm{T}}$

$G={\left[g\left(x_0\right),g\left(x_1\right),\cdots ,g\left(x_N\right)\right]}^{\mathrm{T}}$ , $i,j=0,1,\cdots ,N$

最后，求解方程组(7)式。

3. 预备知识

本节中的引理均基于Jacobi多项式。首先，给定区间

$\Lambda =\left[-1,1\right]$

然后定义 ${\mathcal{P}}_N$ 为次数不超过N次的Jacobi多项式空间。设 $u_j\left(x\right)$ 为j次多项式，其中 $j=0,1,\cdots ,N$ ，即

${\mathcal{P}}_N=span\left\{u_0\left(x\right),u_1\left(x\right),\cdots ,u_N\left(x\right)\right\}$

Jacobi多项式的权函数为

${\omega }^{\alpha ,\beta }\left(x\right)={\left(1-x\right)}^{\alpha }{\left(1+x\right)}^{\beta }$

其中 $\alpha ,\beta >-1$ ，当 $\alpha =\beta =0$ 时，Jacobi多项式将转变为Legendre多项式。

加权空间 [15] 定义为：

$L_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^2\left(\Lambda \right)=\left\{u:u是可测函数,且{\Vert u\Vert }_{L_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^2\left(\Lambda \right)}<\infty \right\}$

其中

${\Vert u\Vert }_{L_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^2\left(\Lambda \right)}={\left({\displaystyle {\int }_{-1}^1{\omega }^{\alpha ,\beta }\left(x\right)u^2\left(x\right)\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}$

此外，定义空间 [16]

$H_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^m\left(\Lambda \right)=\left\{v:D^{k}u\in L_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^2\left(\Lambda \right),0\le k\le m\right\}$

有范数 [17]

${\Vert u\Vert }_{H_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^{m:N}}={\left({\displaystyle \underset{k=0}{\overset{m}{\sum }}{\Vert D^{k}u\Vert }_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^2}\right)}^{\frac{1}{2}}$

其中

$D^{k}u=\frac{{\text{d}}^{k}u}{\text{d}{x}^k}$

半范数定义为 [17]

${\left|u\right|}_{H_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^{m:N}}={\left({\displaystyle \underset{k=\min \left(m,N+1\right)}{\overset{m}{\sum }}{\Vert D^{k}u\Vert }_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^2}\right)}^{\frac{1}{2}}$

当 ${\omega }^{\alpha ,\beta }\left(x\right)=1$ 时， $L_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^2\left(\Lambda \right)$ ， $H_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^m\left(\Lambda \right)$ 和 ${\Vert \cdot \Vert }_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}$ 分别用 $L^2\left(\Lambda \right)$ ， $H^m\left(\Lambda \right)$ 和 $\Vert \cdot \Vert$ 表示。

定义正交投影算子 ${\Pi }_N^{\alpha ,\beta }$ ： $L_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^2\left(\Lambda \right)\to {\mathcal{P}}_N$ ，对任意的 $u\in L_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^2\left(\Lambda \right)$ ， $u_N\in {\mathcal{P}}_N$ ，满足

${\left({\Pi }_N^{\alpha ,\beta }u,u_N\right)}_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}={\left(u,u_N\right)}_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}$ .

引理1 [18] 假设函数 $u\in L_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^2\left(\Lambda \right)$ ，存在与u无关的常数C，使得

${\Vert {\Pi }_N^{\alpha ,\beta }u\Vert }_{L_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^2\left(\Lambda \right)}\le C{\Vert u\Vert }_{L_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^2\left(\Lambda \right)}$ , ${\Vert {\Pi }_N^{\alpha ,\beta }u\Vert }_{\infty }\le C{\Vert u\Vert }_{\infty }$

引理2 [16] 对任意的函数 $u\in L_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^2\left(\Lambda \right)$ ，且 $m\ge 1$ ，存在与u无关的常数C，使得

1) 当 $\alpha ,\beta >-1$ 时，有

${\Vert u-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }u\Vert }_{L_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^2\left(\Lambda \right)}\le C{N}^{-m}{\left|u\right|}_{H_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^{m::N}}$ .

2) 当 $-1<\alpha ,\beta <0$ 时，有

${\Vert u-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }u\Vert }_{\infty }\le C{N}^{\frac{3}{4}-m}{\left|u\right|}_{H_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^{m::N}}$ .

引理3 [19] 使用 $N+1$ 个Legendre-Gauss点的Gauss求积公式来离散内积 $\left(u,\varphi \right)$ 得 ${\left(u,\varphi \right)}_{{\omega }^{\alpha ,\beta },N}$ ，其中函数 $u\in L_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^m\left(\Lambda \right)$ ，且常数 $m\ge 1$ ， $\varphi \in {\mathcal{P}}_N$ ，则存在无关的常数C，有

$\left|{\displaystyle {\int }_{-1}^{1}u\left(x\right)\varphi \left(x\right){\omega }^{\alpha ,\beta }\left(x\right)\text{d}x}-{\left(u,\varphi \right)}_{{\omega }^{\alpha ,\beta },N}\right|\le C{N}^{-m}{\left|u\right|}_{H_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^{m::N}}{\Vert \varphi \Vert }_{L_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^2(\; \Lambda \; )}$

成立。

引理4 (Gronwall不等式 [16] ) 设常数 $C\ge 0$ ，且 $E\left(x\right)$ 是非负可积函数，满足

$E\left(x\right)\le C{\displaystyle {\int }_{-1}^{x}E\left(s\right)\text{d}s}+G\left(x\right)$ , $x\in \left[-1,1\right]$ ,

其中 $G\left(x\right)$ 是可积函数，且

${\Vert E\Vert }_{L_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^p\left(I\right)}\le C{\Vert G\Vert }_{L_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^p\left(I\right)}$ , $p\ge 1$ .

4. 误差分析

本节将对文中所提出的Legendre谱方法在模 ${\Vert \cdot \Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}$ 与 ${\Vert \cdot \Vert }_{\infty }$ 下进行误差分析，需将方程转化为算子形式与内积形式表述。

首先将(3)式转化为算子方程，有

$u+Ku=g$ (8)

其中

$Ku={\displaystyle {\int }_{-1}^1\tilde{k}\left(x,s\left(x_i,\theta \right)\right)u\left(s\left(x,\theta \right)\right)\text{d}\theta }$

Legendre谱方法的近似解 $u_N$ 满足下列格式

${\left(u_N,v_N\right)}_{\omega }+{\left({\Pi }_N^{\alpha ,\beta }{K}_N{u}_N,v_N\right)}_{\omega }={\left({\Pi }_N^{\alpha ,\beta }g,v_N\right)}_{\omega }$ (9)

其中 $v_N$ 为 ${\mathcal{P}}_N$ 空间的任意Legendre多项式。

设

$I\left(x\right)=K{u}_N-K_N{u}_N={\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{1}{2}k\left(x_i,s\left(x_i,{\theta }_p\right)\right)u_N\left(s\left(x_i,{\theta }_p\right)\right)}-{\displaystyle \underset{p=0}{\overset{N}{\sum }}\frac{1}{2}k\left(x_i,s\left(x_i,{\theta }_p\right)\right)u_N\left(s\left(x_i,{\theta }_p\right)\right){\omega }_p}$ (10)

其中 $i=0,1,\cdots ,N$ 。有

${\left(u_N,v_N\right)}_{\omega }+{\left({\Pi }_N^{\alpha ,\beta }K{u}_N-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }I\left(x\right),v_N\right)}_{\omega }={\left({\Pi }_N^{\alpha ,\beta }g,v_N\right)}_{\omega }$ (11)

使得

$u_N+\left({\Pi }_N^{\alpha ,\beta }K{u}_N-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }I\left(x\right)\right)={\Pi }_N^{\alpha ,\beta }g$ (12)

为了便于考察Legendre谱方法的误差，引入辅助解 ${\tilde{u}}_N\in {\mathcal{P}}_N$ ，有

${\left({\tilde{u}}_N,v_N\right)}_{\omega ,N}+{\left(K{\tilde{u}}_N,v_N\right)}_{\omega ,N}={\left(g,v_N\right)}_{\omega ,N}$ (13)

从而有

${\left({\tilde{u}}_N,v_N\right)}_{\omega }+{\left({\Pi }_N^{\alpha ,\beta }K{\tilde{u}}_N,v_N\right)}_{\omega }={\left({\Pi }_N^{\alpha ,\beta }g,v_N\right)}_{\omega }$

即

${\tilde{u}}_N+{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }K{\tilde{u}}_N={\Pi }_N^{\alpha ,\beta }g$ (14)

定理4.1 设函数u与函数 ${\tilde{u}}_N$ 分别是(8)式与(14)式的解，如果 $u\in H^m\left(\Lambda \right)$ ，则有

${\Vert u-{\tilde{u}}_N\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}\le C{N}^{-m}{\left|u\right|}_{H^m}$ , ${\Vert u-{\tilde{u}}_N\Vert }_{\infty }\le C{N}^{\frac{3}{4}-m}{\left|u\right|}_{H^m}$

证明首先证明 ${\Vert u-{\tilde{u}}_N\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}\le C{N}^{-m}{\left|u\right|}_{H^m}$ 。

(8)式与(14)式作差得

$u-{\tilde{u}}_N+Ku-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }K{\tilde{u}}_N=g-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }g$ (15)

其中 $Ku-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }K{\tilde{u}}_N$ 变形为

$\begin{array}{l}Ku-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }K{\tilde{u}}_N\\ =Ku-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }K{\tilde{u}}_N+{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }Ku-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }K{\tilde{u}}_N\\ =Ku-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }K{\tilde{u}}_N+K\left(u-{\tilde{u}}_N\right)-\left(K\left(u-{\tilde{u}}_N\right)-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }K\left(u-{\tilde{u}}_N\right)\right)\\ =g-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }g-\left(u-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }{\tilde{u}}_N\right)+K\left(u-u_N\right)-\left(K\left(u-{\tilde{u}}_N\right)-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }K\left(u-{\tilde{u}}_N\right)\right)\end{array}$

设 $e=u-{\tilde{u}}_N$ ，则可表示为

$Ku-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }K{\tilde{u}}_N=g-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }g-\left(u-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }{\tilde{u}}_N\right)+Ke-\left(Ke-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }Ke\right)$ (16)

将(16)式代入到(15)式，有

$e=\left(u-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }{u}_N\right)-Ke+\left(Ke-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }Ke\right)=J_1-Ke+J_2$

其中

$J_1=u-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }{\tilde{u}}_N$

$J_2=Ke-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }Ke$

$Ke={\displaystyle {\int }_{-1}^1\tilde{k}\left(x,s\left(x,\theta \right)\right)e\left(s\left(x,\theta \right)\right)\text{d}\theta }$

从而有

$\left|e\right|\le \left|J_1\right|+\left|Ke\right|+\left|J_2\right|$ (17)

根据引理4，得

${\Vert e\left(x\right)\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}\le C\left({\Vert J_1\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}+{\Vert J_2\Vert }_{L^2(\; \Lambda \; )}\right)$

对于 ${\Vert J_1\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}$ 根据引理2，有

${\Vert J_1\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}={\Vert u-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }u\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}\le C{N}^{-m}{\left|u\right|}_{H^m}$

对于 ${\Vert J_2\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}$ 不妨取 $m=1$ ，有 ${|\cdot |}_{H^1}={|\cdot |}_H={\Vert \cdot \Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}$ ，所以

${\Vert J_2\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}={\Vert Ke-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }Ke\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}\le C{N}^{-m}{\left|Ke\right|}_{H^1}=C{N}^{-1}{\Vert Ke\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}\le C{N}^{-1}{\Vert e\Vert }_{L^2(\; \Lambda \; )}$

综上所述，当N足够大时，使得 $C{N}^{-1}<1$ ，有

${\Vert u-{\tilde{u}}_N\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}\le C{N}^{-m}{\left|u\right|}_{H^m}$ (18)

下面证明 ${\Vert u-{\tilde{u}}_N\Vert }_{\infty }\le C{N}^{\frac{3}{4}-m}{\left|u\right|}_{H^m}$ 。

由于 $\left|e\right|\le \left|J_1\right|+\left|Ke\right|+\left|J_2\right|$ ，且根据Gronwall不等式，(17)式有

${\Vert e\left(x\right)\Vert }_{\infty }\le C\left({\Vert J_1\Vert }_{\infty }+{\Vert J_2\Vert }_{\infty }\right)$

对于 ${\Vert J_1\Vert }_{\infty }$ 根据引理2，有

${\Vert J_1\Vert }_{\infty }={\Vert u-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }u\Vert }_{\infty }\le C{N}^{\frac{3}{4}-m}{\left|u\right|}_{H^m}$

对于 ${\Vert J_2\Vert }_{\infty }$ 同理，取 $m=1$ ，有

${\Vert J_2\Vert }_{\infty }={\Vert Ke-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }Ke\Vert }_{\infty }\le C{N}^{\frac{3}{4}-m}{\left|Ke\right|}_{H^1}=C{N}^{-1}\Vert Ke\Vert \le C{N}^{-\frac{1}{4}}{\Vert e\left(s\left(x,\theta \right)\right)\Vert }_{\infty }$

综上所述，当N足够大时，使得 $C{N}^{-\frac{1}{4}}<1$ ，有

${\Vert u-{\tilde{u}}_N\Vert }_{\infty }\le C{N}^{\frac{3}{4}-m}{\left|u\right|}_{H^m}$ (19)

定理4.2 设函数u是(3)式的解，且 $u\in H^m\left(\Lambda \right)$ ，函数 $u_N$ 为(9)式的Legendre谱方法的逼近解，则下列误差估计式成立

${\Vert u-u_N\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}\le C{N}^{-m}{\left|u\right|}_{H_{\omega }^{m:N}}+C{N}^{-m}{\left|k\left(x,s\left(x,\theta \right)\right)\right|}_{H^m}{\Vert u\Vert }_{L^2(\; \Lambda \; )}$

${\Vert u-u_N\Vert }_{\infty }\le C{N}^{\frac{3}{4}-m}{\left|u\right|}_{H_{\omega }^{m:N}}+C{N}^{-m}{\left|k\left(x,s\left(x,\theta \right)\right)\right|}_{H^m}{\Vert u\Vert }_{\infty }$

证明首先用(12)式减去(14)式，有

$u_N-{\tilde{u}}_N+{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }\left(K{u}_N-K{\tilde{u}}_N\right)-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }I\left(x\right)=0$

设 $E=u_N-{\tilde{u}}_N$ ，即

$E+{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }KE-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }I\left(x\right)=0$

变形得

$E=-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }KE+{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }I\left(x\right)=KE-KE-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }KE+{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }I\left(x\right)=-KE+Q+{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }I(\; x\; )$

其中 $Q=KE-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }KE$ 。

因为

$\left|E\right|\le \left|KE\right|+\left|Q\right|+\left|{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }I\left(x\right)\right|$ (20)

所以，根据引理4，有

${\Vert E\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}\le {\Vert Q\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}+{\Vert {\Pi }_N^{\alpha ,\beta }I\left(x\right)\Vert }_{L^2(\; \Lambda \; )}$

其中

${\Vert Q\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}={\Vert KE-{\Pi }_N^{\alpha ,\beta }KE\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}\le C{N}^{-m}{\left|E\right|}_{H^m}$

$\begin{array}{c}{\Vert {\Pi }_N^{\alpha ,\beta }I\left(x\right)\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}={\Vert {\Pi }_N^{\alpha ,\beta }\left(K{u}_N-K_N{u}_N\right)\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}\le C{\Vert K{u}_N-K_N{u}_N\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}\\ \le C{N}^{-m}{\left|k\left(x,s\left(x,\theta \right)\right)\right|}_{H^m}{\Vert u_N\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}\\ \le C{N}^{-m}{\left|k\left(x,s\left(x,\theta \right)\right)\right|}_{H^m}{\Vert u\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}.\end{array}$

所以，当N足够大时，有

${\Vert u_N-{\tilde{u}}_N\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}\le C{N}^{-m}{\left|k\left(x,s\left(x,\theta \right)\right)\right|}_{H^m}{\Vert u\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}$ (22)

根据三角不等式，同时结合引理1与(21)式和(22)式，有

${\Vert u-u_N\Vert }_{\infty }\le {\Vert u-{\tilde{u}}_N\Vert }_{\infty }+{\Vert u_N-{\tilde{u}}_N\Vert }_{\infty }\le C{N}^{\frac{3}{4}-m}{\left|u\right|}_{H_{\omega }^{m:N}}+C{N}^{-m}{\left|k\left(x,s\left(x,\theta \right)\right)\right|}_{H^m}{\Vert u\Vert }_{\infty }$

${\Vert u-u_N\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}\le {\Vert u-{\tilde{u}}_N\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}+{\Vert u_N-{\tilde{u}}_N\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}\le C{N}^{-m}{\left|u\right|}_{H_{\omega }^{m:N}}+C{N}^{-m}{\left|k\left(x,s\left(x,\theta \right)\right)\right|}_{H^m}{\Vert u\Vert }_{L^2(\; \Lambda \; )}$

5. 数值算例

例1 [14] 求积分方程

$u\left(x\right)+{\displaystyle {\int }_0^{1}x\left({\text{e}}^{xs}-1\right)u\left(s\right)\text{d}s}=g\left(x\right)$ (23)

的近似解，其中 $g\left(x\right)={\text{e}}^x-x$ ，精确解为 $u\left(x\right)\equiv 1$ 。

解 利用本文提出的Legendre谱方法，先将根据(2)式，将积分区间 $\left[0,1\right]$ 化为 $\left[1,1\right]$ ，即

$u\left(x\right)+{\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{1}{2}x\left({\text{e}}^{xs\left(x,\theta \right)}-1\right)u\left(s\left(x,\theta \right)\right)\text{d}\theta }=g\left(x\right)$ , $\theta \in \left[-1,1\right]$

对上式根据(3)式离散化后，取

$x_i=\cos \frac{i}{N}\pi$ , $i=0,1,\cdots ,N$

应用(5)式和(6)式，有

${\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N}{\sum }}{a}_j}\left(u_j\left(x_i\right)+{\displaystyle \underset{p=0}{\overset{N}{\sum }}\frac{1}{2}x\left({\text{e}}^{x_{i}s\left(x_i,{\theta }_p\right)}-1\right)u_j\left(s\left(x_i,{\theta }_p\right)\right){\omega }_p}\right)=g\left(x_i\right)$ , $i=0,1,\cdots ,N$ (24)

将(24)式转化为矩阵形式，有 $KA=G$ ，其中

$K=u_j\left(x_i\right)+{\displaystyle \underset{p=0}{\overset{N}{\sum }}\frac{1}{2}x\left({\text{e}}^{x_{i}s\left(x_i,{\theta }_p\right)}-1\right)u_j\left(s\left(x_i,{\theta }_p\right)\right){\omega }_p}$

$A={\left[a_0,a_1,\cdots ,a_N\right]}^{\mathrm{T}}$ , $G={\left[g\left(x_0\right),g\left(x_1\right),\cdots ,g\left(x_N\right)\right]}^{\mathrm{T}}$ , $i,j=0,1,\cdots ,N$

当 $N=2$ 时，应用MATLAB计算有

$K=\left(\begin{array}{ccc}1.2355& -0.6224& 0.3931\\ 1.000& -0.000& -0.5000\\ 1.3951& 1.0469& 0.4139\end{array}\right)$ , $G={\left(\begin{array}{ccc}1.2355& 1.000& 1.3951\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}$

从而有

$A={\left(\begin{array}{ccc}1.000& 0.000& -0.000\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}$

进而，近似解为 $\tilde{u}\left(x\right)=1$ 。

在文献 [14] 中的近似解为

$\tilde{u}\left(x\right)={\text{e}}^x-x\left(0.6666{\text{e}}^{0.5x}+0.1666{\text{e}}^x\right)-0.1668x$

若取节点

$x_0=0.0$ , $x_1=0.2$ , $x_3=0.4$ , $x_4=0.6$ , $x_5=0.8$ , $x_6=1.0$

则Legendre谱方法与Simpson方法所得近似解分别与精确解的对比见表1与图1。

由表1可知，当 $N=2$ 时，比较本文提出的方法的绝对误差与文献 [14] 提出的Simpson方法的绝对误差可以发现，本文所提出的方法的绝对误差比文献 [14] 中的误差要小得多。

由图1可知，当 $N=2$ 时，仅在节点为 $x_0=0.0$ 时，本文提出的Legendre谱方法与文献 [14] 提出的Simpson方法，二者结果与精确解一致，但随着节点的变动，越接近1，Simpson方法误差越大，而Legendre谱方法的误差依然很小，这是由于Legendre谱方法选取的节点是非等距的，且代数精度为 $2n+1$ ，Simpson方法选取的节点是等距节点，且代数精度为n，这也很好的说明了本文提出的Legendre谱方法要优于文献 [14] 提出的Simpson方法。

Table 1. Example 1 Error comparison between the Legendre spectral method and Simpson method for N = 2

表1. 例1 N = 2时，Legendre谱方法近似解与Simpson方法近似解的误差对比表

Figure 1. Example 1 Error comparison chart between the Legendre spectral method and Simpson method for N = 2

图1. 例1 N = 2时，Legendre谱方法近似解与Simpson方法近似解的误差对比图

例2 [14] 求积分方程

$u\left(x\right)-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{1}u\left(s\right)\text{d}s}=g\left(x\right)$ (25)

的近似解，其中 $g\left(x\right)={\text{e}}^x-\frac{\text{e}}{2}+\frac{1}{2}$ ，精确解为 $u\left(x\right)={\text{e}}^x$ 。

解 利用本文提出的Legendre谱方法，先将根据(2)式，将积分区间 $\left[0,1\right]$ 化为 $\left[1,1\right]$ ，即

$u\left(x\right)-{\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{1}{4}u\left(s\left(x,\theta \right)\right)\text{d}\theta }=g\left(x\right)$ , $\theta \in \left[-1,1\right]$

对上式根据(3)式离散化后，取

$x_i=\cos \frac{i}{N}\pi$ , $i=0,1,\cdots ,N$

应用(5)式和(6)式，有

${\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N}{\sum }}{a}_j}\left(u_j\left(x_i\right)-\frac{1}{4}{\displaystyle \underset{p=0}{\overset{N}{\sum }}{u}_j\left(s\left(x_i,{\theta }_p\right)\right){\omega }_p}\right)=g\left(x_i\right)$ , $i=0,1,\cdots ,N$ (26)

将(26)式转化为矩阵形式，有 $KA=G$ ，其中

$K=u_j\left(x_i\right)-\frac{1}{4}{\displaystyle \underset{p=0}{\overset{N}{\sum }}{u}_j\left(s\left(x_i,{\theta }_p\right)\right){\omega }_p}$

$A={\left[a_0,a_1,\cdots ,a_N\right]}^{\mathrm{T}}$ , $G={\left[g\left(x_0\right),g\left(x_1\right),\cdots ,g\left(x_N\right)\right]}^{\mathrm{T}}$ , $i,j=0,1,\cdots ,N$

当 $N=2$ 时，应用MATLAB计算有

$K=\left(\begin{array}{ccc}0.5000& -1.0246& 0.4000\\ 0.5000& 0.2500& -0.5000\\ 0.5000& 0.5246& 0.4000\end{array}\right)$ , $G={\left(\begin{array}{ccc}-0.3983& 0.1409& 1.3106\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}$

从而有

$A={\left(\begin{array}{ccc}1.1836& 1.1030& 0.3503\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}$

进而，近似解为

$\tilde{u}\left(x\right)=1.1836+1.1030x+0.3503\times \frac{3x^2-1}{2}$

对(25)式应用Simpson方法 [14]，近似解为

$\tilde{u}\left(x\right)={\text{e}}^x-\frac{\text{e}}{2}+\frac{1}{2}+0.8597x$

若取节点

$x_0=0.0$ , $x_1=0.2$ , $x_3=0.4$ , $x_4=0.6$ , $x_5=0.8$ , $x_6=1.0$

则Legendre谱方法与Simpson方法所得近似解分别与精确解的对比见表2与图2。

由表2可知，当 $N=2$ 时，比较本文提出的方法的绝对误差与文献 [14] 提出的Simpson方法的绝对误差可以发现，本文所提出的方法的绝对误差比文献 [14] 中的误差要小得多。

由图2可知，当 $N=2$ 时，本文提出的Legendre谱方法与文献 [14] 提出的Simpson方法，二者结果与精确解相比较发现，虽然随着节点的变动，越往后走，Simpson方法误差逐渐减小，但是总体来看，本文提出的Legendre谱方法相比较文献 [14] 提出的Simpson方法更具有优势。

Table 2. Example 2 Error comparison between the Legendre spectral method and Simpson method for N = 2

表2. 例2 N = 2时，Legendre谱方法近似解与Simpson方法近似解的误差对比表

Figure 2. Example 2 Error comparison chart between the Legendre spectral method and Simpson method for N = 2

图2. 例2 N = 2时，Legendre谱方法近似解与Simpson方法近似解的误差对比图

例3 求积分方程

$u\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{-1}^1\left(x{s}^2-x\right)u\left(s\right)\text{d}s}+g\left(x\right)$ (27)

的数值解，其中 $g\left(x\right)=\frac{4}{3}x+1$ ，精确解为 $u\left(x\right)\equiv 1$ 。

解 利用本文提出的Legendre谱方法，取

$x_i=\cos \frac{i}{N}\pi$ , $i=0,1,\cdots ,N$

应用(5)式和(6)式，有

${\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N}{\sum }}{a}_j}\left(u_j\left(x_i\right)-{\displaystyle \underset{p=0}{\overset{2}{\sum }}\left(x{\left(s\left(x_i,{\theta }_p\right)\right)}^2-x\right)u_j\left(s\left(x_i,{\theta }_p\right)\right){\omega }_p}\right)=g\left(x_i\right)$ , $i=0,1,\cdots ,N$ (28)

将(26)式转化为矩阵形式，有 $KA=G$ ，其中

$K=u_j\left(x_i\right)-{\displaystyle \underset{p=0}{\overset{N}{\sum }}\left(x{\left(s\left(x_i,{\theta }_p\right)\right)}^2-x\right)u_j\left(s\left(x_i,{\theta }_p\right)\right){\omega }_p}$

$A={\left[a_0,a_1,\cdots ,a_N\right]}^{\mathrm{T}}$ , $G={\left[g\left(x_0\right),g\left(x_1\right),\cdots ,g\left(x_N\right)\right]}^{\mathrm{T}}$

当 $N=2$ 时，应用MATLAB计算有

$K=\left(\begin{array}{ccc}2.0000& 0.0000& 0.0000\\ 0.8889& 0.6667& 0.1778\\ 0.0000& 0.0000& 0.4000\end{array}\right)$ , $G={\left(\begin{array}{ccc}2.0000& 0.8889& 0.0000\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}$

从而有

$A={\left(\begin{array}{ccc}1.000& 0.000& 0.000\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}$

进而，近似解为 $\tilde{u}\left(x\right)=1$ 。

对(27)式应用Simpson方法 [14]，近似解为 $\tilde{u}\left(x\right)=0.5333x+1$ 。

若取节点

$x_0=0.0$ , $x_1=0.2$ , $x_3=0.4$ , $x_4=0.6$ , $x_5=0.8$ , $x_6=1.0$

则Legendre谱方法与Simpson方法所得近似解分别与精确解的对比见表3。

Table 3. Example 3 Error comparison between the Legendre spectral method and Simpson method for N = 2

表3. 例3 N = 2时，Legendre谱方法近似解与Simpson方法近似解的误差对比表

由表3可知，当 $N=2$ 时，比较本文提出的方法的绝对误差与文献 [14] 提出的Simpson方法的绝对误差可以发现，本文所提出的方法的绝对误差比文献 [14] 中的误差要小得多。

例4 求积分方程

$u\left(x\right)+{\displaystyle {\int }_0^1\left(x^{2}s+x{s}^2\right)u\left(s\right)\text{d}s}=g\left(x\right)$ (29)

的近似解，其中 $g\left(x\right)=x$ ，精确解为 $u\left(x\right)=-\frac{80}{359}{x}^2+\frac{300}{359}x$ 。

解 利用本文提出的Legendre谱方法，先将根据(2)式，将积分区间 $\left[0,1\right]$ 化为 $\left[1,1\right]$ ，即

$u\left(x\right)+{\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{1}{2}\left(x^{2}s\left(x,\theta \right)+x{s}^2\left(x,\theta \right)\right)u\left(s\left(x,\theta \right)\right)\text{d}\theta }=g\left(x\right)$ , $\theta \in \left[-1,1\right]$

对上式根据(3)式离散化后，取

$x_i=\cos \frac{i}{N}\pi$ , $i=0,1,\cdots ,N$

应用(5)式和(6)式，有

${\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N}{\sum }}{a}_j}\left(u_j\left(x_i\right)+{\displaystyle \underset{p=0}{\overset{N}{\sum }}\frac{1}{2}\left(x_i{}^{2}s\left(x_i,{\theta }_p\right)+x_i{s}^2\left(x_i,{\theta }_p\right)\right)u_j\left(s\left(x_i,{\theta }_p\right)\right){\omega }_p}\right)=g\left(x_i\right)$ , $i=0,1,\cdots ,N$ (30)

将(30)式转化为矩阵形式，有 $KA=G$ ，其中

$K=u_j\left(x_i\right)+{\displaystyle \underset{p=0}{\overset{N}{\sum }}\frac{1}{2}\left(x_i{}^{2}s\left(x_i,{\theta }_p\right)+x_i\left(\frac{1}{2}{s}^2\left(x_i,{\theta }_p\right)\right)\right)u_j\left(s\left(x_i,{\theta }_p\right)\right){\omega }_p}$

$A={\left[a_0,a_1,\cdots ,a_N\right]}^{\mathrm{T}}$

$G={\left[g\left(x_0\right),g\left(x_1\right),\cdots ,g\left(x_N\right)\right]}^{\mathrm{T}}$ , $i,j=0,1,\cdots ,N$

对(30)式进行数值分析， ${\Vert u-u_N\Vert }_{L^2\left(\Lambda \right)}$ 与 ${\Vert u-u_N\Vert }_{\infty }$ 的Legendre谱方法的误差估计对比见表4。

Table 4. Example 4 Error analysis of the Legendre spectral Method

表4. 例4 Legendre谱方法误差分析

由表4可以看出，由于本文所提出方法是基于Legendre多项式零点的Gauss求积公式的，核函数 $k\left(x,s\right)=x^{2}s+x{s}^2$ 在节点处收敛速度较快，且对未知函数部分做近似处理，所以在 $N=2$ 时，本文所提出的方法误差已经比较小，在后续的 $N=4$ ， $N=6$ ， $N=8$ ， $N=10$ 的情况时，误差波动幅度不大。例如在 $N=4$ 和 $N=8$ 时，见表5和表6。

Table 5. Example 4 Legendre approximate solution and error of spectral method for N = 4

表5. 例4 N = 4时，Legendre谱方法近似解及误差

Table 6. Example 4 Legendre spectral Method approximate solution and error for N = 8

表6. 例4 N = 8时，Legendre谱方法近似解解及误差

6. 总结

本文利用Legendre谱方法对第二类Fredholm积分方程的解法做了新的探究，并对其进行了误差分析，说明了该方法的可行性与有效性，并且在数值算例中与Simpson方法做了比较。

基金项目

国家自然科学青年基金项目：(11801456)；博士启动基金项目：(17E083)。

NOTES

^*通讯作者。