非线性适型分数阶微分方程边值问题的可控性和Ulam稳定性

Controllability and Ulam Stability of Boundary Value Problems for Nonlinear Conformable Fractional Differential Equations

摘要: 研究了一类具有适型分数阶导数的非线性微分方程边值问题的可控性以及Ulam稳定性，通过建立恰当的控制函数，运用Krasnoselskii’s不动点定理得到了微分方程边值问题的可控性。同时得到了微分系统具有Ulam稳定性的新判据，最后给出例子说明了结果的可行性。

Abstract: In this paper, we study the controllability and Ulam stability of boundary value problems for a class of nonlinear differential equations with conformable fractional derivatives. By establishing appropriate control functions, we obtain the controllability of boundary value problems for dif-ferential equations using Krasnoselskii’s fixed point theorem. At the same time, a new criterion for Ulam stability of differential systems is obtained. Finally, an example is given to illustrate the fea-sibility of the results.

1. 引言

近年来，随着科学技术不断发展及广泛应用，许多领域中出现的问题越来越多地涉及分数阶微积分，作为整数阶微积分的延伸与扩展，已提出多种分数阶算子，比如我们所熟知的Riemann-Liouville分数阶导数和Caputo分数阶导数等。为了克服非局部算子在实际应用中的局限性，Khalil等人在2014年引入了适型分数阶导数的概念 [1] ，作为局部分数阶导数，其基本满足整数阶导数所具备的所有性质。随后，Abdeljawad在Khalil的基础上，进一步研究与完善了适型分数阶导数的性质，研究了Taylor幂级数展开、Gronwall不等式、Laplace变换等。这也为后人进一步研究适型分数阶微分方程奠定了基础 [2] 。

随着分数阶微积分的发展，分数阶微分方程问题得到了广泛的研究，无论是在理论上还是应用上都涌现了很多专著和论文 [3] - [8] 。其应用领域也不仅仅局限于数学理论，逐渐延展到其他学科，例如自动控制、电磁学、材料科学等。分数阶控制理论是基于分数阶微积分发展起来的，其可控性的研究是控制理论中的一个研究热点。在R. E. Kalman研究中定性地描述了输入 $u\left(t\right)$ 对状态 $x\left(t\right)$ 的控制能力 [9] 。

有关分数阶微分方程可控性问题的研究，常用的处理方法是不动点分析法。例如，Kumer在文献 [10] 利用Schauder不动点定理和压缩映射原理得到了一类半线性分数阶时滞控制系统的近似可控性。王小文等利用适型Gramian矩阵和秩判据、Krasnoselskii不动点定理等方法研究了一类非线性适型分数阶微分系统的可控性 [11] 。

众所周知，国内外学术界对微分方程初值问题可控性的研究取得的发展是迅速的，同时也取得了不少丰硕的成果，参见文献 [12] [13] [14] [15] [16] 。而微分方程边值问题作为微分方程研究的另一个重要分支，对于其可控性的研究还较少，因此对微分方程边值问题的可控性进行研究就变得非常有意义。然而，对微分方程边值问题可控性的研究主要围绕整数阶系统，文献 [17] 研究了一类二阶非线性系统三点边值问题的可控性。

对于系统模型而言，其稳定性的研究也非常重要。而在研究初期，大多是围绕李雅普诺夫稳定性进行研究。直至1940年，Ulam提出了关于函数方程的稳定性 [18] ，其结果被Rassias推广 [19] ，此后也被许多学者用于研究微分方程的稳定性 [20] [21] [22] 。

Li Mengmeng等人运用常数变易法在文献 [23] 研究了常系数适型分数阶微分方程解的存在性和Ulam稳定性。Wan Fan等人在文献 [24] 中研究了具有反周期边界条件的适型分数阶脉冲微分方程Ulam-Hyers稳定性。

本文研究具有适型分数导数的非线性微分方程边值问题

$\{\begin{array}{l}{D}_0^{\alpha }x\left(t\right)+Bu\left(t\right)+f\left(t,x\left(t\right)\right)=0,t\in \left[0,1\right],\\ x\left(0\right)=x\left(1\right)=0\end{array}$ (1)

可控性及Ulam稳定性，其中， $1<\alpha \le 2$ ， $D_0^{\alpha }$ 表示适型分数阶导数， $f:\left[0,1\right]\times {ℝ}^n\to {ℝ}^n$ ， $B\in {ℝ}^{n\times r}$ ，控制函数 $u\in L^2\left(\left[0,1\right],{ℝ}^r\right)$ 。

本文的结构如下，第二部分，预备知识，主要给出本文所用的定义和后面定理所需要的引理；第三部分，利用Krasnoselskii’s不动点定理得到微分系统的可控性；第四部分，讨论该微分系统的Hyers-Ulam稳定性；第五部分，给出一个具体的例子来阐述对应的抽象结果的可行性。

2. 准备工作

定义2.1 [2] 给定函数 $\phi :\left[a,+\infty \right)\to ℝ$ ， $0<\beta \le 1$ ，则 $\phi$ 的 $\beta$ 阶适型分数阶导数为：

$D_a^{\beta }\phi \left(t\right)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{\phi \left(t+\epsilon {\left(t-a\right)}^{1-\beta }\right)-\phi \left(t\right)}{\epsilon }$ ， $t>a$ ，

若 $D_a^{\beta }f\left(t\right)$ 在 $\left(a,b\right)$ 上存在，则

$D_a^{\beta }f\left(a\right)=\underset{t\to a^{+}}{\lim }{D}_a^{\beta }f\left(t\right)$ .

定义2.2 [2] 设 $\beta \in \left(n,n+1\right]$ ，其中n为正整数，令 $\rho =\beta -n$ ，对给定的函数 $\phi :\left[a,+\infty \right)\to ℝ$ ，若 ${\phi }^{\left(n\right)}$ 存在，则关于 $\phi$ 的适型分数阶导数为：

$D_a^{\beta }\phi \left(t\right)=D_a^{\rho }{\phi }^{\left(n\right)}\left(t\right)$ .

特殊地，当 $1<\beta \le 2$ 时，令 $\rho =\beta -1$ ，对于给定函数 $\phi :\left[a,+\infty \right)\to ℝ$ ， $\phi$ 的 $\beta$ 阶适型分数阶导数为：

$D_a^{\beta }\phi \left(t\right)=D_a^{\rho }{\phi }^{\prime }\left(t\right)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{{\phi }^{\prime }\left(t+\epsilon {\left(t-a\right)}^{1-\beta }\right)-{\phi }^{\prime }\left(t\right)}{\epsilon }$ ， $t>a$ .

定义2.3 [2] 设 $\beta \in \left(n,n+1\right]$ ，n为非负整数，令 $\rho =\beta -n$ ，则函数 $\phi :\left[a,+\infty \right)\to ℝ$ 的 $\beta$ 阶适型分数阶积分为：

$I_a^{\beta }\phi \left(t\right)=I_a^{n+1}\left({\left(t-a\right)}^{\rho -1}\phi \left(t\right)\right)=\frac{1}{n!}{\displaystyle {\int }_a^t{\left(t-s\right)}^n{\left(s-a\right)}^{\rho -1}\phi \left(s\right)\text{d}s}$ .

特别地，对于 $\beta \in \left(1,2\right]$ ，令 $\rho =\beta -1$ ，则关于函数 $\phi :\left[a,+\infty \right)\to ℝ$ 的 $\beta$ 阶适型分数阶积分为：

$I_a^{\beta }\phi \left(t\right)={\displaystyle {\int }_a^t\left(t-s\right){\left(s-a\right)}^{\rho -1}\phi \left(s\right)\text{d}s}$ .

引理2.4 [2] 设 $\phi$ 是 $\left[a,+\infty \right)$ 上连续的函数，且 $\beta \in \left(n,n+1\right]$ ，则对所有 $t>a$ 有：

$D_a^{\beta }{I}_a^{\beta }\phi \left(t\right)=\phi \left(t\right)$ .

进一步，若 $\phi$ 是n次可微的，则有：

$I_a^{\beta }{D}_a^{\beta }\phi \left(t\right)=\phi \left(t\right)-{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}\frac{{\phi }^{\left(k\right)}\left(a\right){\left(t-a\right)}^k}{k!}}$ .

引理2.5 设 $x={\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)}^{\text{T}}$ ， $y\in C\left(\left[0,1\right],{ℝ}^n\right)$ ，则线性分数阶微分方程边值问题：

$\{\begin{array}{l}{D}_0^{\alpha }x\left(t\right)+y\left(t\right)=0,t\in \left[0,1\right],\\ x\left(0\right)=x\left(1\right)=0\end{array}$ (2)

的唯一解是

$x\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)y\left(s\right)\text{d}s}$ ，

其中

$G\left(t,s\right)=diag\left(G_1\left(t,s\right),G_2\left(t,s\right),\cdot \cdot \cdot ,G_n\left(t,s\right)\right)$ ，

$G_i\left(t,s\right)=\{\begin{array}{l}t\left(1-s\right)s^{\alpha -2},0\le t<s\le 1,\\ \left(1-t\right)s^{\alpha -1},0\le s\le t\le 1.\end{array}$ (3)

证明：对于边值问题

$\{\begin{array}{l}{D}_0^{\alpha }{x}_i\left(t\right)+y_i\left(t\right)=0,t\in \left[0,1\right],i=1,2,\cdots ,n,\\ x_i\left(0\right)=x_i\left(1\right)=0\end{array}$

进行积分为

$I_0^{\alpha }{D}_0^{\alpha }{x}_i\left(t\right)=-I_0^{\alpha }{y}_i\left(t\right)=-{\displaystyle {\int }_0^t\left(t-s\right)s^{\alpha -2}{y}_i\left(s\right)\text{d}s}$ ，

而

$I_0^{\alpha }{D}_0^{\alpha }{x}_i\left(t\right)=x_i\left(t\right)+c_i+d_{i}t$ ，

对于 $c_i,d_i\in ℝ$ ，当 $x_i\left(0\right)=x_i\left(1\right)=0$ 可得到 $c_i=0$ ， $d_i=-{\displaystyle {\int }_0^1\left(1-s\right)s^{\alpha -2}{y}_i\left(s\right)\text{d}s}$ 。

因此该线性微分方程边值问题的唯一解是

$\begin{array}{c}{x}_i\left(t\right)=-{\displaystyle {\int }_0^t\left(t-s\right)s^{\alpha -2}{y}_i\left(s\right)\text{d}s}+t{\displaystyle {\int }_0^1\left(1-s\right)s^{\alpha -2}{y}_i\left(s\right)\text{d}s}\\ ={\displaystyle {\int }_0^1{G}_i\left(t,s\right)y_i\left(s\right)\text{d}s}.\end{array}$

所以， $x_i\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^1{G}_i\left(t,s\right)y_i\left(s\right)\text{d}s}$ 。证毕。

由引理2.5可得：

引理2.6 非线性适型分数阶微分方程边值问题(1)与积分方程

$x\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)\left(f\left(s,x\left(s\right)\right)+Bu\left(s\right)\right)\text{d}s}$ ，

等价。

引理2.7 由(3)式定义的Green函数 $G_i\left(t,s\right)$ ， $i=1,2,\cdots ,n$ ，满足以下性质：

1) 对任意的 $t,s\in \left(0,1\right)$ ，都有 $G_i\left(t,s\right)>0$ ，

2) $\underset{0\le t\le 1}{\max }{G}_i\left(t,s\right)=G_i\left(s,s\right)=\left(1-s\right)s^{\alpha -1}$ ， $s\in \left(0,1\right)$ 。

证明：1) $G_i\left(t,s\right)$ 表达式可知，对任意的 $t,s\in \left(0,1\right)$ ，有 $G_i\left(t,s\right)>0$ 。

2) 给定的 $s\in \left(0,1\right)$ ，对 $G_i\left(t,s\right)$ 求关于t的偏导，

$\frac{\partial G_i\left(t,s\right)}{\partial t}=\{\begin{array}{l}{s}^{\alpha -2}\left(1-s\right),0\le t<s\le 1,\\ -s^{\alpha -1},0\le s\le t\le 1.\end{array}$

由于当 $t<s$ 时，我们有 $\frac{\partial G_i\left(t,s\right)}{\partial t}>0$ ，因此可知 $G_i\left(t,s\right)$ 在 $t\le s$ 时是递增的，同理可知 $G_i\left(t,s\right)$ 在在 $s\le t$ 是递减的。所以， $\underset{0\le t\le 1}{\max }{G}_i\left(t,s\right)=G_i\left(s,s\right)=\left(1-s\right)s^{\alpha -1}$ ，证毕。

引理2.8 [25] (Krasnoselskii’s fixed point theorem)令Z是Banach空间，E是Z上的有界闭凸集，映射 $P_i:E\to {\rm Z}\left(i=1,2\right)$ 满足

1) 对任意 $x,y\in E$ ，有 $P_{1}x+P_{2}y\in E$ 。

2) 算子 $P_1$ 是一个压缩的， $P_2$ 在E上是全连续的。

则 $P_1+P_2$ 在E上至少有一个不动点。

3. 可控性分析

设 ${ℝ}^m$ 为m维欧式空间，其中 $m=n,r$ 。对任意给定的向量 $\omega \in {ℝ}^m$ ，引进 $\omega$ 的范数为 $\Vert \omega \Vert =\sqrt{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{\omega }_i^2}}$ ，对矩阵 $M=\left[a_{ij}\right]\in {ℝ}^{n\times m}$ ，引进矩阵范数 $\Vert M\Vert =\underset{\Vert x\Vert =1}{\max }\Vert Mx\Vert$ 。

定义空间 $E=\left\{x={\left(x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_n\right)}^{\text{T}}|x_i\in C\left(\left[0,1\right],ℝ\right)\right\}$ ，取范数 ${\Vert x\Vert }_E=\underset{0\le t\le 1}{\max }\Vert x\left(t\right)\Vert$ ，则E是一个Banach空间。

定义3.1 如果对给定的 $\tau \in \left(0,1\right)$ ， $b\in {ℝ}^n$ ，若存在一个控制 $u\in L^2\left(\left[0,1\right],{ℝ}^r\right)$ ，使得系统(1)的解x满足 $x\left(\tau \right)=b$ ，则称系统(1)是可控的。

我们列举出本节证明中所需要的假设条件：

(H₁) $K={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\tau ,s\right)B{B}^{\text{T}}{G}^{\text{T}}\left(\tau ,s\right)\text{d}s}$ 为正定矩阵。

(H₂)存在非负函数 $l\in C\left(\left[0,1\right],{ℝ}^{+}\right)$ ，对 $t\in \left[0,1\right]$ 及任意的 $x,y\in {ℝ}^n$ 都有：

$\Vert f\left(t,y\right)-f\left(t,x\right)\Vert \le l\left(t\right)\Vert y-x\Vert$ ，

定义一个集合

$N=\left\{u\in L^2\left(\left[0,1\right],{ℝ}^r\right)|{\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\tau ,s\right)Bu\left(s\right)\text{d}s}=0\right\}$ ，

则N为 $L^2\left(\left[0,1\right],{ℝ}^r\right)$ 非空闭子空间。考虑商空间 $L^2\left(\left[0,1\right],{ℝ}^r\right)/N$ ，定义其范数 $\Vert u\Vert =\underset{\upsilon \in N}{\inf }{\Vert u-\upsilon \Vert }_{L^2}$ ，为Banach空间。

定义算子 $W:L^2\left(\left[0,1\right],{ℝ}^r\right)/N\to {ℝ}^n$

$Wu={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\tau ,s\right)Bu\left(s\right)\text{d}s}$ ，

则W为线性算子。

下证当(H₁)成立时 $W^{-1}$ 存在，即证明 $W:L^2\left(\left[0,1\right],{ℝ}^r\right)/N\to {ℝ}^n$ 是双射。

1) 证明算子 $W:L^2\left(\left[0,1\right],{ℝ}^r\right)/N\to {ℝ}^n$ 为单射。

设 $u_1,u_2\in L^2\left(\left[0,1\right],{ℝ}^r\right)/N$ ，且 $u_1\ne u_2$ ，则有

$W{u}_1-W{u}_2={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\tau ,s\right)B\left(u_1\left(s\right)-u_2\left(s\right)\right)\text{d}s}$ ，

若 $W\left(u_1-u_2\right)=0$ ，则 $u_1-u_2\in N$ ，这与题设矛盾，故 $W{u}_1\ne W{u}_2$ ，由此W是单射得证。

2) 证明算子 $W:L^2\left(\left[0,1\right],{ℝ}^r\right)/N\to {ℝ}^n$ 为满射。

记 $X=L^2\left(\left[0,1\right],{ℝ}^r\right)/N$ ， $Y={ℝ}^n$ 则 $\left(X,{\left(\cdot ,\cdot \right)}_X\right)$ ， $\left(Y,{\left(\cdot ,\cdot \right)}_Y\right)$ 为Hilbert空间，其中 ${\left(\cdot ,\cdot \right)}_X$ 为X上内积， ${\left(\cdot ,\cdot \right)}_Y$ 为Y上的Euclid内积，则 $W\in L\left(X,Y\right)$ 。有如下性质：

对于算子W，存在唯一的伴随算子 $W^{*}:Y\to X$ 为连续线性算子，对任意 $u\in X$ ， $\gamma \in Y$ ，满足

${\left(Wu,\gamma \right)}_Y={\left(u,W^{\ast }\gamma \right)}_X$ ， ${\Vert W^{\ast }\Vert }_{L\left(Y,X\right)}={\Vert W\Vert }_{L\left(X,Y\right)}$ 。

② $\ker W={\left(\mathrm{Im}{W}^{*}\right)}^{\perp }$ ， $\ker W^{\ast }={\left(\mathrm{Im}W\right)}^{\perp }$ ，

$X=\ker W\oplus \overline{\mathrm{Im}{W}^{\ast }}=\ker W\oplus {(\ker W)}^{\perp }$ ，

$X=\ker W\oplus \overline{\mathrm{Im}{W}^{\ast }}=\ker W\oplus {\left(\ker W\right)}^{\perp }$ 。

则对任意的 $\gamma \in Y$ 和 $u\in X$ 有

$\begin{array}{c}\left(Wu,\gamma \right)=\left({\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\tau ,s\right)Bu\left(s\right)\text{d}s},\gamma \right)\\ ={\displaystyle {\int }_0^1\left(u\left(s\right),{\left(G\left(\tau ,s\right)B\right)}^{\text{T}}\gamma \right)\text{d}s},\end{array}$

根据伴随算子性质 $\left(Wu,\gamma \right)=\left(u,W^{\ast }\gamma \right)$ ，可得

$W^{*}\gamma ={\left(G\left(\tau ,s\right)B\right)}^{\text{T}}\gamma$ . (4)

而 $Y=\mathrm{Im}W\oplus {\left(\mathrm{Im}W\right)}^{\perp }=\mathrm{Im}W\oplus \text{Ker}{W}^{\ast }$ ，因此若要得到算子W的满射性，则需满足 $\text{Ker}{W}^{\ast }=\left\{0\right\}$ 。

对任意 $\gamma \in Y\backslash \left\{0\right\}$ ，有

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^1{\Vert W^{*}\gamma \Vert }^2\text{d}s}={\displaystyle {\int }_0^1{\Vert {\left(G\left(\tau ,s\right)B\right)}^{\text{T}}\gamma \Vert }^2\text{d}s}\\ =\left({\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\tau ,s\right)B{B}^{\text{T}}{G}^{\text{T}}\left(\tau ,s\right)\gamma \text{d}s,\gamma }\right)\\ =\left(K\gamma ,\gamma \right)\\ ={\gamma }^{\text{T}}K\gamma .\end{array}$

根据(H₁)，K为正定的，有 ${\displaystyle {\int }_0^1{\Vert {\left(G\left(\tau ,s\right)B\right)}^{\text{T}}\gamma \Vert }^2\text{d}s}>0$ 。因此，W是双射，于是存在逆算子， $W^{-1}:{ℝ}^n\to L^2\left(\left[0,1\right],{ℝ}^r\right)/N$ 。

对任意 $u\in X$ ，有 $u=u_1+u_2$ ，其中 $u_1\in \mathrm{Ker}W$ ， $u_2\in \overline{\mathrm{Im}{W}^{*}}$ ，则

$Wu=W{u}_1+W{u}_2=W{u}_2$ .

由(4)式对任意 $\gamma \in Y$ ，取 $u\left(s\right)={\left(G\left(\tau ,s\right)B\right)}^{\text{T}}\gamma$ ，则有

$v=Wu=W\left({\left(G\left(\tau ,s\right)B\right)}^{\text{T}}\gamma \right)={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\tau ,s\right)B{B}^{\text{T}}{G}^{\text{T}}\left(\tau ,s\right)\gamma \text{d}s}=K\gamma$ ，

由于K正定，所以K可逆。 $\gamma =K^{-1}v$ ，进一步： $u\left(s\right)={\left(G\left(\tau ,s\right)B\right)}^{\text{T}}{K}^{-1}v$ 。

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^1{\Vert u\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}={\displaystyle {\int }_0^1{\Vert {\left(G\left(\tau ,s\right)B\right)}^{\text{T}}{K}^{-1}v\Vert }^2\text{d}s}\\ ={\displaystyle {\int }_0^1\left({\left(G\left(\tau ,s\right)B\right)}^{\text{T}}{K}^{-1}v,{\left(G\left(\tau ,s\right)B\right)}^{\text{T}}{K}^{-1}v\right)\text{d}s}\\ ={\displaystyle {\int }_0^1\left(G\left(\tau ,s\right)B{\left(G\left(\tau ,s\right)B\right)}^{\text{T}}{K}^{-1}v,K^{-1}v\right)\text{d}s}\\ =\left(v,K^{-1}v\right).\end{array}$

而 ${\displaystyle {\int }_0^1{\Vert u\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}\ge {\Vert W^{-1}v\Vert }^2$ 。因此，

$\Vert W^{-1}\Vert =\underset{\Vert v\Vert \ne 0}{\sup }\frac{\Vert W^{-1}v\Vert }{\Vert v\Vert }\le \underset{\Vert v\Vert \ne 0}{\sup }\frac{\sqrt{\left(v,K^{-1}v\right)}}{\Vert v\Vert }\le \underset{\Vert v\Vert \ne 0}{\sup }\frac{\sqrt{{\Vert v\Vert }^2\Vert K^{-1}\Vert }}{\Vert v\Vert }=\sqrt{\Vert K^{-1}\Vert }$ .

为方便讨论，记： $L=\underset{t\in \left[0,1\right]}{\sup }\left|l\left(t\right)\right|$ ， $Q=\underset{t\in \left[0,1\right]}{\sup }\Vert f\left(t,0\right)\Vert$ ， $M=\Vert B\Vert \sqrt{\Vert K^{-1}\Vert }$ 。

定理3.2 在假设(H₁)，(H₂)成立的情况下，如果下列条件成立：

$L+\sqrt{L^2+4LM}<2\alpha \left(\alpha +1\right)$ .

则系统(1)是可控的。

证明：如果x是非线性微分方程系统(1)的解，且满足 $x\left(\tau \right)=b$ ，由引理2.6，则有：

$b=x\left(\tau \right)={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\tau ,s\right)\left(Bu\left(s\right)+f\left(s,x\left(s\right)\right)\right)\text{d}s}$ ，

因此，控制函数u应该满足：

$Wu={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\tau ,s\right)Bu\left(s\right)\text{d}s}=b-{\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\tau ,s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}$ .

由于(H₁)成立，则 $W^{-1}$ 存在，可得控制函数

$u\left(t\right)=W^{-1}\left(b-{\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\tau ,s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\right)\left(t\right)$ .

定义算子 $\Phi :E\to E$

$\begin{array}{c}\left(\Phi x\right)\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)\left(Bu\left(s\right)+f\left(s,x\left(s\right)\right)\right)\text{d}s}\\ ={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)\left(B{W}^{-1}\left(b-{\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\tau ,\nu \right)f\left(\nu ,x\left(\nu \right)\right)\text{d}\nu }\right)\left(s\right)+f\left(s,x\left(s\right)\right)\right)\text{d}s}.\end{array}$

如果该算子有一个不动点x存在，那么不动点x就是系统(1)满足 $x\left(\tau \right)=b$ 的解，即系统(1)是可控的。

选取 $\varsigma =\frac{\alpha \left(\alpha +1\right)M\Vert b\Vert +Q\left(\alpha \left(\alpha +1\right)+M\right)}{{\alpha }^2{\left(\alpha +1\right)}^2-L\left(\alpha \left(\alpha +1\right)+M\right)}$ ，令 $\Omega =\left\{x\in E:{\Vert x\Vert }_E\le \varsigma \right\}$ 是E中的有界闭子集。

证明 $\Phi :\Omega \to \Omega$ 。

$\begin{array}{c}\Vert \left(\Phi x\right)\left(t\right)\Vert \le \Vert {\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)B{W}^{-1}\left(b-{\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\tau ,\nu \right)f\left(\nu ,x\left(\nu \right)\right)\mathrm{d}\nu }\right)\left(s\right)\text{d}s}\Vert \\ +\Vert {\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)\left(f\left(s,x\left(s\right)\right)-f\left(s,0\right)\right)\text{d}s}\Vert +\Vert {\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)f\left(s,0\right)\text{d}s}\Vert \\ \le M\left(\Vert b\Vert +\frac{L}{\alpha \left(\alpha +1\right)}{\Vert x\Vert }_E+\frac{Q}{\alpha \left(\alpha +1\right)}\right){\displaystyle {\int }_0^1\Vert G\left(t,s\right)\Vert \text{d}s}\\ +{\Vert x\Vert }_E{\displaystyle {\int }_0^1\Vert G\left(s,s\right)l\left(s\right)\Vert \text{d}s}+Q{\displaystyle {\int }_0^1\Vert G\left(t,s\right)\Vert \text{d}s}\\ \le \frac{M}{\alpha \left(\alpha +1\right)}\left(\Vert b\Vert +\frac{L}{\alpha \left(\alpha +1\right)}{\Vert x\Vert }_E+\frac{Q}{\alpha \left(\alpha +1\right)}\right)+\frac{L}{\alpha \left(\alpha +1\right)}{\Vert x\Vert }_E+\frac{Q}{\alpha \left(\alpha +1\right)}\\ \le \varsigma .\end{array}$

因此， ${\Vert \Phi x\Vert }_E\le \varsigma$ ，从而 $\Phi \left(\Omega \right)\subseteq \Omega$ 。

分别定义算子 ${\Phi }_1:\Omega \to E$ 和 ${\Phi }_2:\Omega \to E$

$\left({\Phi }_{1}x\right)\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)B{W}^{-1}\left(b-{\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\tau ,\nu \right)f\left(\nu ,x\left(\nu \right)\right)\text{d}\nu }\right)\left(s\right)\text{d}s}$ ，

$\left({\Phi }_{2}x\right)\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}.$

2) 证明 ${\Phi }_1$ 在 $\Omega$ 上是压缩映射。

对任意的 $x,y\in \Omega$ ，则

$\begin{array}{l}\Vert {\Phi }_{1}x\left(t\right)-{\Phi }_{1}y\left(t\right)\Vert \\ =\Vert {\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)B}(W^{-1}\left(\eta -{\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\tau ,\nu \right)f\left(\nu ,x\left(\nu \right)\right)\text{d}\nu }\right)\left(s\right)-W^{-1}\left(\eta -{\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\tau ,\nu \right)f\left(\nu ,y\left(\nu \right)\right)\mathrm{d}\nu }\right)\left(s\right))\text{d}s\Vert \\ \le M{\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)}\Vert {\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\tau ,\nu \right)}\left(f\left(\nu ,x\left(\nu \right)\right)-f\left(\nu ,y\left(\nu \right)\right)\right)\text{d}\nu \Vert \text{d}s\\ \le M{\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)}{\displaystyle {\int }_0^1\Vert G\left(\tau ,\nu \right)l\left(\nu \right)\Vert \text{d}v}{\Vert x-y\Vert }_E\text{d}s\\ \le \frac{LM}{{\alpha }^2{\left(\alpha +1\right)}^2}{\Vert x-y\Vert }_E,\end{array}$

因此， ${\Vert {\Phi }_{1}x-{\Phi }_{1}y\Vert }_E\le \frac{LM}{{\alpha }^2{\left(\alpha +1\right)}^2}{\Vert x-y\Vert }_E$ ，根据定理3.2，可得出结论 $\frac{LM}{{\alpha }^2{\left(\alpha +1\right)}^2}<1$ ，即 ${\Phi }_1:\Omega \to E$ 是压缩映射。

证明 ${\Phi }_2:\Omega \to E$ 是全连续算子。

先证明算子 ${\Phi }_2:\Omega \to E$ 是连续的。设集合 $\Omega$ 上存在极限为x的收敛序列 $\left\{x_n\right\}$ ，即当 $n\to \infty$ 时， ${\Vert x_n-x\Vert }_E\to 0$ 。

当 $n\to \infty$ ，我们有 ${\Vert {\Phi }_2{x}_n-{\Phi }_{2}x\Vert }_E\to 0$ 。因此， ${\Phi }_2:\Omega \to E$ 是一个连续算子。

$\Vert \left({\Phi }_{2}x\right)\left(t\right)\Vert \le \left(L{\Vert x\Vert }_E+Q\right){\displaystyle {\int }_0^1\Vert G\left(t,s\right)\Vert \text{d}s}\le \frac{L{\Vert x\Vert }_E+Q}{\alpha \left(\alpha +1\right)}.$

因此， ${\Vert {\Phi }_{2}x\Vert }_E\le \frac{L\varsigma +Q}{\alpha \left(\alpha +1\right)}$ ，由于 $\Omega$ 是有界集，故 ${\Phi }_2\left(\Omega \right)$ 有界。

其次证明算子 ${\Phi }_2\left(\Omega \right)$ 是等度连续的，对任意 $x\in \Omega$ ， $0<t_1\le t_2\le 1$ 时

$\begin{array}{c}\Vert \left({\Phi }_{2}x\right)\left(t_2\right)-\left({\Phi }_{2}x\right)\left(t_1\right)\Vert =\Vert {\displaystyle {\int }_0^1\left(1-t_2\right)s^{\alpha -1}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_{t_2}^1\left(t_2-s\right)s^{\alpha -2}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\\ -{\displaystyle {\int }_0^1\left(1-t_1\right)s^{\alpha -1}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}-{\displaystyle {\int }_{t_1}^1\left(t_1-s\right)s^{\alpha -2}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert \\ \le \Vert {\displaystyle {\int }_0^1(t_1-t_2)s^{\alpha -1}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert +\Vert {\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}(s-t_1)}{s}^{\alpha -2}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s\Vert \\ +\Vert {\displaystyle {\int }_{t_2}^1\left(t_2-t_1\right)s^{\alpha -2}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert \\ \le \frac{3\alpha -2}{\alpha \left(\alpha -1\right)}\left(Q+L\varsigma \right)\left|t_2-t_1\right|.\end{array}$

因此，对任意的 $\epsilon >0$ ，存在 $\delta >0$ ，使得对任意 $x\in \Omega$ ，当 $t_1,t_2\in \left[0,1\right]$ ， $\left|t_1-t_2\right|<\delta$ 时，有 $\Vert \left({\Phi }_{2}x\right)\left(t_2\right)-\left({\Phi }_{2}x\right)\left(t_1\right)\Vert <\epsilon$ ，所以算子 ${\Phi }_2\left(\Omega \right)$ 是等度连续的。

因此 ${\Phi }_2:\Omega \to E$ 是一个全连续算子。

由Krasnoselskii’s不动点定理可知，算子 $\Phi$ 在E上至少存在一个不动点，即该非线性微分系统(1)是可控的。证毕。

4. Ulam稳定性分析

在这一节中，我们将研究非线性微分系统(1)的Hyers-Ulam稳定性。

定义4.1 如果存在一个实常数 $m>0$ ，使得对于任何 $\epsilon >0$ ，下列系统

$\{\begin{array}{l}\Vert D_0^{\alpha }z\left(t\right)+Bu\left(t\right)+f\left(t,z\left(t\right)\right)\Vert \le \epsilon ,t\in \left[0,1\right],\\ z\left(0\right)=z\left(1\right)=0,\end{array}$ (5)

的每一个解 $z\in E$ ，且 $D_0^{\alpha }z\in E$ ，都有微分控制系统(1)的解 $x\in E$ ，使得

$\Vert z\left(t\right)-x\left(t\right)\Vert \le m\epsilon ,t\in \left[0,1\right]$ ，

则称控制系统(1)是Hyers-Ulam稳定的。

定理4.2 假设(H₁)，(H₂)成立，如果 $L+\sqrt{L^2+4M}<2\alpha \left(\alpha +1\right)$ ，则边值问题(1)是Hyers-Ulam稳定的。

证明：记： $D_0^{\alpha }z\left(t\right)+Bu\left(t\right)+f\left(t,z\left(t\right)\right)=-g\left(t\right)$ ，此时 $g\left(t\right)\in E$ ，且满足 $\Vert g\left(t\right)\Vert \le \epsilon$ 。

考虑边值问题

$\{\begin{array}{l}{D}_0^{\alpha }z\left(t\right)+Bu\left(t\right)+f\left(t,z\left(t\right)\right)+g\left(t\right)=0,t\in \left[0,1\right],\\ z\left(0\right)=z\left(1\right)=0,\end{array}$ (6)

根据引理2.5可知

$z\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)\left(B{u}_z\left(s\right)+f\left(s,z\left(s\right)\right)+g\left(s\right)\right)\text{d}s}$ 。

由于定理3.2的条件成立，则边值问题(6)是可控的，且控制函数为

$u_z\left(t\right)=W^{-1}\left(\eta -{\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\tau ,s\right)}\left(f\left(s,z\left(s\right)\right)+g\left(s\right)\right)\text{d}s\right)\left(t\right)$ ，

而关于边值问题(1)的控制函数为

$u_x\left(t\right)=W^{-1}\left(\eta -{\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\tau ,s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\right)\left(t\right)$ 。

$\begin{array}{l}\Vert u_z\left(s\right)-u_x\left(s\right)\Vert \\ =\Vert W^{-1}\left(\eta -{\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\tau ,\vartheta \right)}\left(f\left(\vartheta ,z\left(\vartheta \right)\right)+g\left(\vartheta \right)\right)\text{d}\vartheta \right)\left(s\right)-W^{-1}\left(\eta -{\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\tau ,\vartheta \right)}\left(f\left(\vartheta ,x\left(\vartheta \right)\right)\text{d}\vartheta \right)\right)\left(s\right)\Vert \\ \le M\Vert {\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\tau ,\vartheta \right)}\left(f\left(\vartheta ,z\left(\vartheta \right)\right)-f\left(\nu ,x\left(\vartheta \right)\right)\right)\text{d}\vartheta \Vert +M{\displaystyle {\int }_0^1\Vert G\left(\tau ,\vartheta \right)g\left(\vartheta \right)\Vert \text{d}\vartheta }\\ \le \frac{LM}{\alpha \left(\alpha +1\right)}{\Vert z-x\Vert }_E+\frac{M\epsilon }{\alpha \left(\alpha +1\right)}.\end{array}$

进一步，

$\begin{array}{c}\Vert z\left(t\right)-x\left(t\right)\Vert \le \Vert {\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)B(W^{-1}\left(\eta -{\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\tau ,\vartheta \right)\left(f\left(\nu ,z\left(\vartheta \right)\right)+g\left(\vartheta \right)\right)\mathrm{d}\vartheta }\right)\left(s\right)}\\ -W^{-1}\left(\eta -{\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\tau ,\vartheta \right)f\left(\vartheta ,x\left(\vartheta \right)\right)\text{d}\vartheta }\right)\left(s\right))\text{d}s\Vert \\ +\Vert {\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)\left(f\left(s,z\left(s\right)\right)-f\left(s,x\left(s\right)\right)\right)\text{d}s}\Vert +\Vert {\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)g\left(t\right)\text{d}s}\Vert \\ \le \frac{LM}{{\left[\alpha \left(\alpha +1\right)\right]}^2}{\Vert z-x\Vert }_E+\frac{M\epsilon }{{\left[\alpha \left(\alpha +1\right)\right]}^2}+\frac{L}{\alpha \left(\alpha +1\right)}{\Vert z-x\Vert }_E+\frac{\epsilon }{\alpha \left(\alpha +1\right)}\\ =\left(\frac{LM}{{\left[\alpha \left(\alpha +1\right)\right]}^2}+\frac{L}{\alpha \left(\alpha +1\right)}\right){\Vert z-x\Vert }_E+\frac{M\epsilon }{{\left[\alpha \left(\alpha +1\right)\right]}^2}+\frac{\epsilon }{\alpha \left(\alpha +1\right)}.\end{array}$

因此

${\Vert z-x\Vert }_E\le \frac{\alpha \left(\alpha +1\right)+M}{{\alpha }^2{\left(\alpha +1\right)}^2-L\left(\alpha \left(\alpha +1\right)+M\right)}\epsilon$ ，

即

$\Vert z\left(t\right)-x\left(t\right)\Vert \le m\epsilon$ ，

其中

$m=\frac{\alpha \left(\alpha +1\right)+M}{{\alpha }^2{\left(\alpha +1\right)}^2-L\left(\alpha \left(\alpha +1\right)+M\right)}$ .

证毕。

5. 例子

例5.1 令 $n=r=2$ ，考虑如下非线性分数阶微分方程边值问题：

$\{\begin{array}{l}{D}_0^{\frac{3}{2}}x\left(t\right)+Bu\left(t\right)+f\left(t,x\left(t\right)\right)=0,t\in \left[0,1\right],\\ x\left(0\right)=x\left(1\right)=0,\end{array}$

其中， $\alpha =\frac{3}{2}$ ， $B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$ ， $f\left(t,x\left(t\right)\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{4}\left(t+1\right)x_1\left(t\right)+1\\ \frac{1}{4}\left(t+1\right)x_2\left(t\right)+1\end{array}\right)$ 。

因此，满足 $x\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\begin{array}{l}1\\ 2\end{array}\right)$ 的一个控制函数为 $u\left(t\right)=W^{-1}\left({\left(1,2\right)}^{\text{T}}-{\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\frac{1}{2},s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\right)\left(t\right)$ 。

显然， $\Vert B\Vert =2$ ， $Q=\sqrt{2}$ 。对任意 $x,y\in {ℝ}^2$ 和 $t\in \left[0,1\right]$ 有

$\Vert f\left(t,x\right)-f\left(t,y\right)\Vert =\frac{1}{4}\left(t+1\right)\sqrt{{\left(x_1\left(t\right)-y_1\left(t\right)\right)}^2+{\left(x_2\left(t\right)-y_2\left(t\right)\right)}^2}\le \frac{1}{4}\left(t+1\right)\Vert x-y\Vert$ .

因此，f满足假设(H₁)。

于是

$L=\underset{t\in \left[0,1\right]}{\sup }\left|l\left(t\right)\right|=\frac{1}{2}$ .

$\begin{array}{c}K={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(\frac{1}{2},s\right)B{B}^{\text{T}}{G}^{\text{T}}\left(\frac{1}{2},s\right)\text{d}s}\\ ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}{s}^{\frac{1}{2}}& 0\\ 0& \frac{1}{2}{s}^{\frac{1}{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 4\end{array}\right)}\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}{s}^{\frac{1}{2}}& 0\\ 0& \frac{1}{2}{s}^{\frac{1}{2}}\end{array}\right)\text{d}s\\ +{\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^1\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\left(1-s\right)s^{-\frac{1}{2}}& 0\\ 0& \frac{1}{2}\left(1-s\right)s^{-\frac{1}{2}}\end{array}\right)}\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\left(1-s\right)s^{-\frac{1}{2}}& 0\\ 0& \frac{1}{2}\left(1-s\right)s^{-\frac{1}{2}}\end{array}\right)\text{d}s\\ ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}s& 0\\ 0& s\end{array}\right)\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^1\left(\begin{array}{cc}{\left(1-s\right)}^2{s}^{-1}& 0\\ 0& {\left(1-s\right)}^2{s}^{-1}\end{array}\right)\text{d}s}\\ =\left(\begin{array}{cc}0.193& \\ & 0.193\end{array}\right),\end{array}$

因此可计算其逆： $K^{-1}=\left(\begin{array}{cc}5.18& 0\\ 0& 5.18\end{array}\right)$ 。

进一步， $\sqrt{\Vert K^{-1}\Vert }=\sqrt{5.18}=2.27$ ， $L+\sqrt{L^2+4LM}=3.55<2\alpha \left(\alpha +1\right)$ 。

由定理3.2和定理4.2可知，该非线性分数阶微分系统是可控的且为Hyers-Ulam稳定的。