基于STAR模型初步分析我国大宗商品价格指数的非线性特征

Preliminary Analysis of Non-Linear Characteristics of China’s Commodity Price Index Based on STAR Model

摘要: 本文通过平滑转移自回归(STAR)模型，初步分析我国大宗商品价格波动的非线性调整特征，实现从线性到非线性的逐步实证检验以建立ESTAR模型，描述了大宗商品价格机制转换的速度、滞后期和门限值等，充分反映了大宗商品动态调整过程的非线性变化特征，为有关部门稳定大宗商品价格提供相关指标的参考。

Abstract: In this paper, through the smoothed transfer autoregressive (STAR) model, we initially analyze the nonlinear adjustment characteristics of China’s commodity price fluctuations, realize the step-by-step empirical test from linear to nonlinear to establish the ESTAR model, describe the speed, lag period and threshold value of commodity price mechanism conversion, etc., fully reflect the nonlinear change characteristics of the dynamic adjustment process of commodities. It provides a reference of relevant indicators for the relevant departments to stabilize commodity prices.

1. 引言

大宗商品是我国产业链的重要战略资源，是产业链的上游产品，是流通领域的非零售产品，我国大宗商品现货主要包含九大类，即能源、农副产品、钢铁、矿产、橡胶、有色金属、油料油脂、牲畜、食糖，共涵盖了26种大宗商品现货。我国是全球最大的大宗商品资源进口国，大宗商品对外依存度较高，但在大宗商品的国际话语权和定价权方面还有很大的进步空间，议价能力不足，常常只能被动接受大宗商品价格的攀升或暴跌，因而国际大宗商品价格的剧烈波动也会导致我国大宗商品价格跟着波动，例如在2008年全球金融危机后，国外大宗商品经历了暴涨暴跌，其价格泡沫的膨胀和破灭等趋势对我国大宗商品市场的走势也产生了明显的冲击，甚至短期内会出现“过度波动”的现象(郭文伟，2022) [1] ，此时，政府也会对不合理的大宗商品价格波动进行适当地调控，稳定市场价格，施行相应的政策手段防止大宗商品价格的攀升。总体来看，主要有市场供求、实际经济因素、宏观经济政策等因素影响了大宗商品价格的波动，因而大宗商品价格的波动因为所含种类的多样性以及影响因素的多样性而具有复杂性(韩立岩等，2012) [2] 。

传统的线性模型无法准确地描述经济变量的动态调整行为，因而许多学者使用非线性的方法对经济行为进行刻画，王书平等(2017) [3] 考虑结构突变对大宗商品价格波动的影响，本文主要探讨的非线性模型是平滑转移自回归模型，其中机制的转换是连续且平滑的，与门限自回归模型和马尔科夫机制转换模型相比，其克服了机制转移由外生因素决定和导致机制转换的阈值不可直接观测获得的弊端，更加符合经济变量实际转换的特征。

已有学者使用STAR模型研究价格等波动因素，周锦等(2014) [4] 研究大白菜、黄瓜、四季豆等大宗蔬菜价格波动的非线性动态特征；危黎黎等(2014) [5] 研究人民币汇率的非线性特征；以及毛学峰等(2009) [6] 研究我国生猪市场价格动态变化规律。本文同样采用STAR模型对我国大宗商品价格指数CCPI的波动特征进行研究，实证表明CCPI的动态调整过程确实存在非线性变化，借助拟合相应的ESTAR模型，初步量化CCPI的动态变化过程，估计初步的转换变量以及门限值，为相关部门在必要时对大宗商品价格进行调控以稳定市场价格提供相关的参考指标。

2. 理论模型

(一) STAR理论模型

平滑转移自回归模型(Smooth Transition Autoregressive Process, STAR)主要用于非线性时间序列的研究。STAR模型的基本形式(Terasvirta et al., 1992) [7] 为：

$y_t={\alpha }_{10}+{\displaystyle {\sum }_{j=1}^p{\alpha }_{1j}{y}_{t-j}}\left[1-F\left(s_t,\gamma ,c\right)\right]+{\alpha }_{20}+{\displaystyle {\sum }_{j=1}^p{\alpha }_{2j}{y}_{t-j}}\times F\left(s_t,\gamma ,c\right)+{\epsilon }_t$ (1)

其中 $F\left(s_t,\gamma ,c\right)$ 为转移函数，值域为[0, 1]的连续函数， $s_t$ 为转移变量，c为门限值，γ为转移速度。转移函数有两种形式，使得STAR模型也分为两种，一是对称变化的ESTAR模型(exponential smooth transition autoregressive model)，二是非对称变化的LSTAR模型(logistic smooth transition autoregressive model)。其中ESTAR模型中，指数形式的转移函数为：

$F\left(s_t,\gamma ,c\right)=1-\exp \left\{-\gamma {\left(s_t-c\right)}^2\right\},\gamma >0$ (2)

LSTAR模型中，对数形式的转移函数为：

$F\left(s_t,\gamma ,c\right)=\frac{1}{1+\exp \left\{-\gamma \left(s_t-c\right)\right\}},\gamma >0$ (3)

(二) STAR模型拟合的步骤如下：

下文将详细介绍具体的模型拟合步骤(van Dijk et al., 2002) [8] 。

第一步：确定最优滞后阶数p，拟合一个恰当的线性自回归模型AR(p)

确定最优滞后阶数p并拟合相应的线性模型，并检验该线性模型是否还存在非线性部分，若存在非线性部分则意味着线性模型不能充分描述CCPI序列变化过程的非线性动态特征，因此有必要进行对其进行线性检验并进一步更符合其变化特征的非线性模型。

第二步：根据线性检验和序贯检验确定转移变量 $S_t$ 和转换函数 $F\left(S_t;\gamma ;c\right)$ 的形式

线性检验主要是借助于检验辅助回归方程系数是否显著为零，Terasvirta (1994) [9] 采用三阶泰勒展开式得到辅助回归方程，可以避免模型的不可识别问题，如下：

$y_t={\beta }_0+{\displaystyle {\sum }_{j=1}^p\left({\beta }_{1j}{y}_{t-j}+{\beta }_{2j}{y}_{t-j}{s}_t+{\beta }_{3j}{y}_{t-j}{s}_t^2+{\beta }_{4j}{y}_{t-j}{s}_t^3\right)}+u_t$ (4)

由上，线性检验的原假设为 ${\text{H}}_0:{\beta }_{2j}={\beta }_{3j}={\beta }_{4j}=0$ ，若拒绝原假设则意味着模型含有非线性部分，同时可以下列序贯检验选择转移函数的形式：

${\text{H}}_{03}:{\beta }_{4j}=0$

${\text{H}}_{02}:{\beta }_{3j}=0|{\beta }_{4j}=0$

${\text{H}}_{01}:{\beta }_{2j}=0|{\beta }_{3j}={\beta }_{4j}=0$

根据上述方程，可以计算LM统计量以及其对于的p值，其中LM统计量的具体计算式为： $L{M}_1=\frac{\left(SS{R}_0-SS{R}_1\right)/3p}{SS{R}_1/\left(N-4p-1\right)}$ ，服从F分布，或者 $L{M}_2=\frac{N\ast \left(SS{R}_0-SS{R}_1\right)}{SS{R}_0}$ ，服从 ${\chi }^2$ 分布。在某一转移变量

下，若H₀₂检验统计量对应的p值最小，则意味着应建立ESTAR模型，反之，若H₀₁或H₀₃检验统计量对应的p值最小，则应该建立LSATR模型，并且该变量即可确定为转移变量，转移变量可以从因变量的滞后项或差分滞后项中筛选。

第三步：拟合两区制STAR模型

根据上述确定的最优滞后阶数p，转移变量 $s_t$ 和转移函数形式等条件，采用非线性最小二乘法拟合两区制的STAR模型。

(三) 数据来源及处理

中国国际电子商务网站发布的反应中国大宗商品现货市场价格走势的中国大宗商品价格指数(China Commodity Price Index, CCPI)¹，涵盖了能源、钢铁、矿产品、有色金属、橡胶、农产品、牲畜、油料油脂、食糖等9大类别26种商品，CCPI是以2006年6月为基期，利用加权平均法计算的定基指数。本文采用2006年7月至2022年9月CCPI的周度数据，并整理成月度数据，共195个样本数据。

定基的CCPI月度数据经过Census X-12方法进行季节调整后再调整成月度环比的大宗商品价格指数 $g_t$ ，为了简化研究，本文将研究的CCPI数据定义为 $y_t$ ，其中 $y_t=g_t-a$ ，其中a为 $g_t$ 的平均值。选用月度环比数据，因为其较为灵敏和准确，数据经过季节调整后更适合用于宏观经济的实时监测(栾惠德，2007) [10] 。

3. 建立模型

(一) 单位根检验

本文通过单位根检验方法来确定CCPI序列的整体平稳性，若数据呈现平稳趋势，则可以对水平序列 $y_t$ 进行建模，否则，若序列存在单位根，则需要对其差分序列进行建模。检验知CCPI序列无明显的时间趋势，本文采用两种单位根检验方法，一是基于线性方法的单位根检验，包含：ADF检验、DF-GLS检验、PP检验、KPSS检验以及Ng-Perron检验；二是基于平滑转移自回归模型下的非线性单位根检验方法，包括Kapetanios et al. (2003) [11] 提出的 $KSS\left(t_{NL}\right)$ 统计量和Kruse (2011) [12] 提出的Modified Wald统计量，Eklund (2003) [13] [14] 提出的 $F_{d1}$ 、 $F_{d2}$ 统计量以及刘雪燕和张晓峒(2009) [15] 提出的 $t_L$ 统计量。下文将介绍相应的两类非线性单位根检验方法，分别基于ESTAR模型和LSTAR模型拓展得来。

1、ESTAR非线性单位根检验方法。

传统的ADF单位根检验的原假设是存在单位根，备择假设是线性调整过程的平稳序列。Kapetanios et al. (2003)则将备择假设设定为指数型平滑转移自回归的非线性调整过程。假设 $y_t$ 代表政府财政赤字时间序列，Kapetanios et al. (2003)的模型设定如下：

$\Delta y_t=\varnothing y_{t-1}\left\{1-\exp \left[-\gamma y_{t-1}^2\right]\right\}+{\epsilon }_t$ (5)

利用泰勒展开式可以将上式改写为：

$\Delta y_t=\beta y_{t-1}^3+u_t$ (6)

其中， $u_t={\epsilon }_t+\varnothing y_{t-1}R\left(y_{t-1},\gamma \right)$ ， $R\left(y_{t-1},\gamma \right)$ 是经过泰勒展开之后剩余的部分。Kapetanios et al. (2003)的检验统计量表示为 $KSS\left(t_{NL}\right)=\hat{\beta }/s.e.\left(\hat{\beta }\right)$ ，其中 $\hat{\beta }$ 为 $\beta$ 的OLS估计量， $s.e.\left(\hat{\beta }\right)$ 为 $\hat{\beta }$ 的标准误。Kruse (2011)在Kapetanios et al. (2003)的基础上，重新定义Modified Wald检验统计量，有：

$\Delta y_t={\beta }_1{y}_{t-1}^3+{\beta }_2{y}_{t-1}^2+u_t$ ，(7)

其中， ${\beta }_1=\gamma \varnothing$ ， ${\beta }_2=-2c\gamma \varnothing$ 。Modified Wald检验统计量的计算结果如下：

$Wald={\left({\hat{v}}_{22}-\frac{{\hat{v}}_{21}^2}{{\hat{v}}_{11}}\right)}^{-1}{\left({\hat{\beta }}_2-{\hat{\beta }}_1\frac{{\hat{v}}_{21}}{{\hat{v}}_{11}}\right)}^2+1\left({\hat{\beta }}_1<0\right)\frac{{\hat{\beta }}_1^2}{{\hat{v}}_{11}}$ ， (8)

上述可以更简洁地表示为：

$Wald=t_{{\beta }_2^{\perp }=0}^2+1\left({\hat{\beta }}_1<0\right)t_{{\beta }_1=0}^2$ ， (9)

其中， ${\beta }_2^{\perp }\equiv {\beta }_2-{\beta }_1{v}_{21}/v_{11}$ 且 ${\beta }_2^{\perp }$ 与 ${\beta }_1$ 正交。

Kruse (2011)的蒙特卡洛模拟结果显示，相较于 $KSS\left(t_{NL}\right)$ 统计量，Modified Wald统计量有更好的检验能力。

2、LSTAR非线性单位根检验方法。

Eklund (2003) [13] [14] 提出了两种在LSTAR模型下进行非线性单位根检验的F统计量—— $F_{d1}$ 和 $F_{d2}$ 。Eklund (2003) [13] 的模型设定如下：

$\Delta y_t={\theta }_0+{\theta }_1\Delta y_{t-1}+\Psi y_{t-1}+\left({\phi }_0+{\phi }_1\Delta y_{t-1}\right)F\left(\gamma ,c,y_{t-1}\right)+{\epsilon }_t$ (10)

其中，转换函数 $F(\cdot )\in \left[-0.5,0.5\right]$ ，

$F\left(\gamma ,c,y_{t-1}\right)={\left\{1+\exp \left[-\gamma \left(y_{t-1}-c\right)\right]\right\}}^{-1}-0.5$ (11)

利用泰勒展开式将上述模型展开，得到：

$y_t=\delta \Delta y_{t-1}+\varphi y_{t-1}\Delta y_{t-1}+\alpha +\rho y_{t-1}+{\epsilon }_t^{*}$ (11)

其中， $\rho =\varsigma +1$ 。

Eklund (2003) [13] 的检验统计量 $F_{d1}$ ，有：

$F_{d1}={\left(b_T-\beta \right)}^{\prime }{\left(R{\gamma }_T\right)}^{\prime }{\left[S_T^{2}R{\gamma }_T{\left({\displaystyle {\sum }_{t=1}^T{x}_t{x^{\prime }}_t}\right)}^{-1}{\gamma }_T{R}^{\prime }\right]}^{-1}R{\gamma }_T\left(b_T-\beta \right)/k$ (12)

其中， $b_T={\left(\hat{\delta },\hat{\varphi },\hat{\alpha },\hat{\rho }\right)}^{\prime }$ ， $\beta ={\left(\delta ,\varphi ,\alpha ,\rho \right)}^{\prime }$ ， $x_t={\left(\Delta y_{t-1},y_{t-1}\Delta y_{t-1},1,y_{t-1}\right)}^{\prime }$ ， $S_T^2$ 是残差平方和，k为限制条件的个数，此时k = 2。

Eklund (2003) [14] 的模型设定如下：

$\Delta y_t={\theta }_0+{\theta }_1\Delta y_{t-1}+{\Psi }_1{y}_{t-1}+\left({\phi }_0+{\phi }_1\Delta y_{t-1}+{\Psi }_2{y}_{t-1}\right)F\left(\gamma ,c_1,c_2,\Delta y_{t-1}\right)+{\epsilon }_t$ (13)

其中，转换函数 $F(\cdot )\in \left[-0.5,0.5\right]$ ，

$F\left(\gamma ,c_1,c_2,\Delta y_{t-1}\right)={\left\{1+\exp \left[-\gamma \left(\Delta y_{t-1}-c_1\right)\left(\Delta y_{t-1}-c_2\right)\right]\right\}}^{-1}-0.5$ (14)

利用泰勒展开式将上述模型展开，得到：

$y_t={\delta }_1\Delta y_{t-1}+{\delta }_2{\left(\Delta y_{t-1}\right)}^2+{\delta }_3{\left(\Delta y_{t-1}\right)}^3+{\varphi }_1{y}_{t-1}\Delta y_{t-1}+{\varphi }_2{y}_{t-1}{\left(\Delta y_{t-1}\right)}^2+\alpha +\rho y_{t-1}+{\epsilon }_t^{\ast }$ (15)

其中， $\rho =\varsigma +1$ 。

Eklund (2003) [14] 的检验统计量 $F_{d2}$ ，有：

$F_{d2}={\left(b_T-\beta \right)}^{\prime }{\left(R{\gamma }_T\right)}^{\prime }{\left[S_T^{2}R{\gamma }_T{\left({\displaystyle {\sum }_{t=1}^T{x}_t{x^{\prime }}_t}\right)}^{-1}{\gamma }_T{R}^{\prime }\right]}^{-1}R{\gamma }_T\left(b_T-\beta \right)/k$ ，(16)

其中， $b_T={\left({\hat{\delta }}_1,{\hat{\delta }}_2,{\hat{\delta }}_3,{\hat{\varphi }}_1,{\hat{\varphi }}_2,\hat{\alpha },\hat{\rho }\right)}^{\prime }$ ， $\beta ={\left({\delta }_1,{\delta }_2,{\delta }_3,{\varphi }_1,{\varphi }_2,\alpha ,\rho \right)}^{\prime }$ ， $x_t={\left(\Delta y_{t-1},{\left(\Delta y_{t-1}\right)}^2,{\left(\Delta y_{t-1}\right)}^3,y_{t-1}\Delta y_{t-1},y_{t-1}{\left(\Delta y_{t-1}\right)}^2,1,y_{t-1}\right)}^{\prime }$ ， $S_T^2$ 是残差平方和，k为限制条件的个数，此时k = 5。

刘雪燕和张晓峒(2009)基于LSTAR模型构建了统计量 $t_L$ 用于非线性单位根检验，其模型设定如下：

$\Delta y_t=\mu y_{t-1}+\theta y_{t-1}\left\{{\left[1+\exp \left(-\gamma y_{t-1}\right)\right]}^{-1}-0.5\right\}+{\epsilon }_t$ ， (17)

只要 $\gamma >0$ ，且 $\left|\mu +1+\theta \right|<1$ 就能得到平稳的LSTAR模型。假设 $\mu =0$ ，此时模型变为：

$\Delta y_t=\theta y_{t-1}\left\{{\left[1+\exp \left(-\gamma y_{t-1}\right)\right]}^{-1}-0.5\right\}+{\epsilon }_t$ (18)

利用泰勒展开式将上述表达式写为：

$\Delta y_t=\lambda y_{t-1}^2+error$ (19)

其中， $\lambda =\theta \gamma /4$ 。

刘雪燕和张晓峒(2009)的检验统计量表示为 $t_L=\hat{\lambda }/s.e.\left(\hat{\lambda }\right)$ 。

单位根检验结果如下表1所示。可见，在5%的显著性水平下，无论是线性单位根检验还是非线性单位根检验结果都拒绝了存在单位根的原假设，同时KPSS单位根检验无法拒绝序列整体平稳的原假设，同样证明了CCPI时间序列数据具有整体平稳性，因此本文将在水平序列对CCPI序列 $y_t$ 进行建模。

Table 1. Unit root test results of CCPI time series

表1. CCPI时间序列的单位根检验结果

(二) 拟合线性模型

首先根据Box-Jenkins建模程序拟合一个p阶的线性自回归过程，由AIC、BIC等准则确定了最优滞后阶数p = 4，故拟合一个4阶的线性自回归过程，如式(20)，估计时去掉了不显著的滞后项。其中，估计系数下方的括号中数字表示估计系数的标准差，所有统计量值括号内的值均为其所对应的p值，LB(q)为Ljung-Box Q统计量值，原假设为残差序列不存在q阶自相关，LB(1) = 0.137 (0.906)，LB(4) = 0.139 (0.997)，即式(20)的线性模型残差序列不存在自相关，可近似看作一个白噪声过程；ARCH(m)为McLeod-Li Q统计量值，原假设为残差序列户村镇m阶ARCH效应，ARCH(1) = 19.657 (0.00)，ARCH(4) = 34.391 (0.00)，即残差序列存在显著的ARCH效应，说明建模过程中可能忽略了时间序列的非线性特征，故对式(20)进行线性检验，方便进一步确实拟合非线性模型。

$\begin{array}{l}{y}_t=0.573y_{t-1}-0.221y_{t-3}+0.102y_{t-4}+{\hat{\epsilon }}_t\\ \left(0.0453\right)\left(0.0630\right)\left(0.0744\right)\end{array}$ (20)

(三) 线性检验并确定转移变量 $s_t$ 和转换函数 $F\left(s_t;\gamma ;c\right)$ 的形式

如表2所示，是线性检验与序贯检验的结果。根据对辅助回归模型的线性假设，在式(20)的基础上进行线性检验，根据线性检验的统计量对应的p值表明，当 $\Delta y_{t-2}$ 为转移变量时，H₀检验所对应的p值最小，为0.0000，说明我国大宗商品指数CCPI时间序列不应该只是一个线性过程，而是具有STAR模型所描述的非线性动态结构，同时三个序贯检验的结果显示， $\Delta y_{t-2}$ 为转移变量时H₀₂检验所对应的p值最小，故转换函数应该选择指数形式，即应该建立一个ESTAR模型。

Table 2. Linearity test and selection of transfer variables

表2. 线性检验与转移变量的选择

(四) 拟合ESTAR模型

本文采用NLS(非线性最小二乘估计)方法估计了两区制的ESTAR模型，估计结果为式(21)~(22)。其中， $s_t=\Delta y_{t-2}$ ，剔除了不显著的滞后变量，估计系数下方的括号中数字表示估计系数的标准差。

$\begin{array}{l}{y}_t=\left(0.589y_{t-1}-0.483y_{t-4}\right)\ast \left[1-F\left(\Delta y_{t-2}\right)\right]+\left(0.564y_{t-1}-0.210y_{t-3}+0.134y_{t-4}\right)F\left(\Delta y_{t-2}\right)+{\hat{\epsilon }}_t\\ \left(0.196\right)\left(0.416\right)\left(0.069\right)\left(0.081\right)\left(0.082\right)\end{array}$ (21)

转换函数：

$\begin{array}{l}F\left(\Delta y_{t-2}\right)=1-\exp \left\{20.176/12.063\ast {\left[\Delta y_{t-2}+1.248\right]}^2\right\}\\ \left(24.478\right)\left(0.313\right)\end{array}$ (22)

上述模型的建立说明我国大宗商品价格指数CCPI的波动具有ESTAR模型的特征，价格的波动甚至受到滞后4期的负向影响，其中转换速率γ = 20.176，这说明大宗商品价格在两个不同的机制转换速度较为平缓，转换发生时间是滞后2期，门限值c = −1.248。当转换变量 $\Delta y_{t-2}$ 大于门限值−1.248时，大宗商品价格指数开始向上行区制平滑转移，反之当转换变量 $\Delta y_{t-2}$ 小于门限值−1.248时，大宗商品价格指数呈现向下行区制平滑转移的趋势。

拟合模型的过程中可以发现总体来说大宗商品价格指数时间序列趋于平稳，因此可以在水平序列下建模，最优滞后阶数的选择也能看出当期价格指数最大可能受到滞后四期的影响。拟合线性模型的过程中发现线性模型的残差序列存在着显著的ARCH效应，表明残差中还有非线性的部分被忽略，说明了非线性特征存在的充分性，进一步为拟合非线性的STAR模型提供了充分的依据。最后根据对前述的拟合基础及选择的转换变量，拟合了能表现大宗商品价格指数波动特征的ESTAR模型，能够较线性模型更充分地表现大宗商品价格指数随时间变化波动的调整特征。

4. 结论

现实层面上，随着全球经济一体化进程，国内外众多因素都将导致国内大宗商品价格的剧烈波动，且大宗商品又关系着我国宏观经济的命脉，是企业生产的重要原料也是金融市场稳定的重要因素，因此深入了解大宗商品价格调整的动态特征有利于及时对大宗商品市场实施政策调控，建立分区制的价格调控机制，更有效稳定市场价格，保障企业正常生产，金融市场健康发展，助力产业结构转型和升级。

本文通过构建ESTAR模型刻画了我国大宗商品价格指数CCPI的非线性动态调整过程，检验了大宗商品价格的非线性波动特征，阐述了大宗商品价格在不同机制之间的转换过程，并且有效地估计了机制转换发生的时间与门限值。进一步说明大宗商品价格的波动由于影响因素的多样性和差异性呈现非线性的调整特征，进一步说明了对大宗商品价格的波动必要时进行干预，密切关注国际大宗商品价格的变动向内传递的影响以及国内大宗商品重要种类价格波动造成的起伏，可以参考门限值观测价格是否大幅度波动，同时考虑到大宗商品种类繁多，需要着重关注农产品、对外依存度较高的大宗商品等波动幅度较大的种类在必要时进行干预，保障市场价格的稳定。

NOTES

¹资料来源：中国国际电子商务网(https://www.ec.com.cn/index.shtml)。