复合函数求导法则定义域放大问题的原因探究与解决办法

Exploration and Solution to the Problem of Enlarging the Definition Domain of the Derivation Rule of Composite Functions

摘要: 复合函数求导法则是微积分学中非常重要和应用非常广泛的求导法则，是高等数学教材和高中数学教材中必学必教内容，复合函数求导法则的证明过程是没有问题的，但是在某一类一元函数求导应用中存在原函数和导函数定义域不一致的副作用，本文通过教材中实际存在的例题和构造的例题说明了，复合函数求导放大定义域这一问题，并且探讨了可能出现这一问题的原因，同时给出了严谨的复合函数使用的格式。

Abstract: Composite function derivation rule is a very important and widely used derivation rule in calculus, and is a must-learn in advanced mathematics textbooks and high school mathematics textbooks. The proof process of composite function derivation law is no problem, but in a certain class of univariate function derivation application, there are side effects of inconsistency between the original function and the derivative function definition domain. This paper through the actual examples and construction examples in the textbook to illustrate, composite function derivation amplified definition domain problem. The reasons for this problem are discussed, and the format used by rigorous composite functions is given.

1. 引言

复合函数求导法则是众多求导法则中最常用的法则之一，多应用于在一元函数求导，常见初等复合函数中和部分多元复合函数求导中。复合函数求导法则本身的证明是非常严谨的，但是在实际的应用中，复合函数会产生导函数的定义域比原函数定义域扩大的问题，这与导数的定义是违背的，根据导数定义的要求，需要原函数和导函数的定义域一致。

2. 复合函数求导法则

复合函数求导法则是求导中最常用的法则之一，其定义是，如果 $u=g\left(x\right)$ 在点x可导，而 $y=f\left(u\right)$ 在点 $u=g\left(x\right)$ 可导，则复合函数 $y=f\left[g\left(x\right)\right]$ 在点x可导，且其导数为

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f^{\prime }\left(u\right)g^{\prime }\left(x\right)$ ( [1] : p. 92)

按照定义的要求，可以推论原函数和求导出的函数可导点应该一致，也就是说，原函数和导函数的定义域应该是一致的，但是在复合函数求导的实际应用中会出现不一致的情况，下面分别举例说明复合函数求导正常使用和出现问题的情况。

3. 复合函数求导法则的正常使用

如例题1：设 $y={\sin }^{n}x$ 求导 $y^{\prime }$ ( [1] : p. 93)

利用复合函数求导规则可以得到 $y=n{\sin }^{n-1}x$ 可以看出求导后导函数和原函数的定义域一致都是整个实数集R。该题引用于同济大学第七版高等数学P93例15的一部分。这属于复合函数求导正常的一部分，下面主要举例复合函数求导运用中出现问题的部分。

4. 复合函数求导法则应用在一元函数求导中出现问题的一类函数

例题2： $y=\ln \sin x$ 求 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ ( [2] : p. 92; [3] )

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}={\left(\ln \sin x\right)}^{\prime }=\frac{1}{\sin x}{\left(\sin x\right)}^{\prime }=\frac{\cos x}{\sin x}$

该例题解答引用自同济第五版高等数学上册P92例题11和菲赫金哥尔茨的微积分教程高等教育出版社中文翻译版本p167公式6中。

原函数的定义域为 $k\pi <x<\left(k+1\right)\pi$ 而求出的导函数只要 $x\ne k\pi$ 导函数的定义域被放大了。

例题3： $y=\ln \cos {\text{e}}^x$ 求 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ ( [2] : p. 93)

求解过程省略最后结果 $y=\left(-\sin {\text{e}}^x\right)/\cos {\text{e}}^x{\text{e}}^x=-{\text{e}}^x\tan {\text{e}}^x$ 。

可以发现在原函数中需要 $\cos {\text{e}}^x>0$ ，可以知道 $-\frac{k+1}{2}\pi <{\text{e}}^x<\frac{k+1}{2}\pi$ ，而求出的导函数只需要 ${\text{e}}^x\ne \frac{k+1}{2}\pi$ ，这导致了导函数和原函数定义域不一致。

例题4： $y=\lg {\left(1-x^2\right)}^{1/2}$ 求 $y^{\prime }$ [4]

最终求解过程省略，结果是 $x\lg \text{e}/\left(x^2-1\right)$ 。会发现原函数的定义域是，x < −1或x > 1，而导函数的定义域是 $x\ne -1$ 或 $x\ne +1$ ，原函数和导函数的定义域不一致，而且多数情况是通过复合函数求导把原函数的定义域给放大。

例题5： $y=\arctan \frac{1}{x}$ 求导数 $y^{\prime }$ [5]

根据复合函数求导法则，将 $\frac{1}{x}$ 看成u，原函数变成arctanu，代入求导公式可得

$\arctan u=1u^{\prime }/\left(1+u^2\right)$

回代 $u=\frac{1}{x}$ ，最终得到原函数 $y=\arctan \frac{1}{x}$ 的导函数为 $y^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$ 。

其中原函数的定义域应该是 $\left\{x|x\ne 0,x=R\right\}$ ，而导函数的定义域是R整个实数集，显然导函数比原函数的定义域扩大了。

例题6：同理，可以构造函数 $y=\text{arccot}\frac{1}{x}$ ，求导函数 $y^{\prime }$

根据复合函数求导法则，将 $\frac{1}{x}$ 看成u，原函数变成arccotu，代入求导公式可得

$\text{arccot}u=-1u^{\prime }/\left(1+u^2\right)$

回代 $u=\frac{1}{x}$ ，最终得到原函数 $y=\text{arccot}\frac{1}{x}$ 的导函数为 $y^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$ 。

在这个构造的例子中，原函数的定义域应该是 $\left\{x|x\ne 0,x=R\right\}$ ，而导函数的定义域是R整个实数集，显然导函数比原函数的定义域扩大了。

根据导数的定义( [1] : p. 75)可知，导函数和原函数的定义域应该是一致的，而根据例题2，例题3，例题4，例题5和构造的例题6的求解结果发现原函数和导函数的定义域不一致，一般都是导函数的定义域相比原函数扩大了。这样的结果不符合导数定义，导数定义要求导函数的定义域要和原函数完全一致。这是复合函数求导法则的应用过程中存在的一个问题，需要被重视和解决。

5. 原因探究

复合函数求导法则在求导过程中，出现了导函数放大原函数定义域的这一现象，目前看是因为在通常的微积分求导公式中关于lnx的求导公式要求x > 0 ( [6] : p. 56)，而在复合函数求导的过程中忽视了这一要求，而在严谨的数学分析的教材中对应的是ln|x| [7] 的求导公式考虑了x > 0和x < 0两种情况。

如例题2中就是忽略了这个问题，导致原函数的定义域从 $k\pi <x<\left(k+1\right)\pi$ 被放大到导函数定义域 $x\ne k\pi$ 。

再如例题3中也是同样的问题，放大了函数e^x的值域，从而放大了原函数的定义域。

再如例题4中也是此类问题，原函数的定义域是，x < −1或x > 1，而导函数的定义域是 $x\ne -1$ 或 $x\ne +1$ ，从而在导函数中放大了原函数的定义域。

此类问题可以归结为lnx求导公式的问题。

此外在存在 $\frac{1}{x}$ 的复合函数中，有时候会忽略 $x\ne 0$ 的情况，从而放大导函数的定义域。

例题5和例题6就反应了该类问题，其原因可能是最后的导函数表达式在化简过程中将 $\frac{1}{x}$ 约去，导致 $\frac{1}{x}$ 在导函数中不在被体现，从而放大定义域的问题。比如在即将出现例题7中，就不存在这样的问题。

例题7： $y=\sin {\text{e}}^{\frac{1}{x}}$ 求 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\left(\cos {\text{e}}^{\frac{1}{x}}\right)/{\left({\text{e}}^{\frac{1}{x}}\right)}^{\prime }=-\frac{{\text{e}}^{\frac{1}{x}}\cos {\text{e}}^{\frac{1}{x}}}{x^2}$

从最后结果可以看出由于最终的导函数中仍然有 $\frac{1}{x}$ ，所以导函数与原函数的定义域一致。

此外在多元函数的偏导数求导中，应用复合函数求导法则也会出现定义域放大的问题，如例题8 ( [6] :p. 194)就很好地反应了该问题。

例题8：若 $w=x+2y+z^2$ ， $x=r/s$ ， $y=r^2+\ln s$ ， $z=2r$ 用r，s表示 $\partial w/\partial r$ 和 $\partial w/\partial s$ 。

解：自变量是r和s，有三个中间变量：

$\frac{\partial w}{\partial r}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial w}{\partial r}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial w}{\partial r}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial w}{\partial r}=\left(1\right)\left(\frac{1}{s}\right)+\left(2\right)\left(2r\right)+\left(2z\right)\left(2\right)=\frac{1}{s}+12r$

$\frac{\partial w}{\partial s}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial w}{\partial s}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial w}{\partial s}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial w}{\partial s}=\left(1\right)\left(-\frac{1}{s^2}\right)+\left(2\right)\left(\frac{1}{s}\right)+\left(2z\right)\left(0\right)=\frac{1}{s}-\frac{r}{s^2}$

在 $y=r^2+\ln s$ 中需要s > 0，而从解答的结果中可以看到无论是 $\frac{1}{s}$ 还是 $\frac{r}{s^2}$ 都仅仅需要s不等于0就可以了，这就等于s这个自变量的范围在求导后被放大了，因此在多元函数求偏导数的问题中复合函数求导法则也是存在放大定义域的瑕疵，而原因很多也是对于对数的复合函数中。

对于复合函数求导有可能在导函数中放大原函数定义域的现象的更深层次原因需要更加专业的数学人士从原理上推导证明。

6. 结论和解决办法

通过例题2，例题3，例题4，例题5和构造的例题6可知复合函数求导法则在实际应用过程中有放大导函数定义域的副作用，因此在使用复合函数求导过程中需要先将原函数定义域求出来，然后使用复合函数求导，等求出导数后再把导函数的定义域求出来，看导函数和原函数的定义域是否一致，如果不一致要以原函数的定义域为准，保证原函数和导函数的定义域一致。例如，重新写例题4和例题5应该如下所示：

例题4： $y=\lg {\left(1-x^2\right)}^{1/2}$ 求 $y^{\prime }$ [4]

先求原函数定义域： $\left\{x|x<-1或x>1\right\}$ 。

然后求得导函数： $y^{\prime }=x\lg \text{e}/\left(x^2-1\right)$ 。

注明导函数定义域也是 $\left\{x|x<-1或x>1\right\}$ 。

例题5： $y=\arctan \frac{1}{x}$ 求导数 $y^{\prime }$

先求函数定义域为： $\left\{x|x\ne 0,x=R\right\}$

根据复合函数求导法则，将 $\frac{1}{x}$ 看成u，原函数变成arctanu，代入求导公式可得

$\arctan u=1u^{\prime }/\left(1+u^2\right)$

回代 $u=\frac{1}{x}$ ，最终得到原函数 $y=\arctan \frac{1}{x}$ 的导函数为 $y^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$ 并注明导函数定义域为 $\left\{x|x\ne 0,x=R\right\}$ 。

这样在使用复合函数求导法则前先求一下原函数定义域就可以保证不会出现导函数放大原函数定义域的情况。

基金项目

教育厅自然科学研究项目：微电网分布式优化控制策略研究(项目编号：2020XJZR02)；校级课程思政示范课程大数据可视化分析(项目编号：2022kcsf13)。