交换群的子群包含图的一些性质

Some Properties of Subgroup Inclusion Graph of an Abelian Group

摘要: 有限群G的子群包含图In(G)是指下列无向简单图：In(G)的顶点集是G的所有非平凡的子群组成的集合，而G的两个非平凡的子群H和K在In(G)中有边相连当且仅当H⊂K或H⊃K。本文将给出交换群的子群包含图的一些性质；特别地，本文将决定子群包含图是完美图(或三角图，或强三角图)的有限交换群。

Abstract: The subgroup inclusion graph In(G) of a finite group G is an undirected simple graph defined as follows: the vertex set of In(G) is consisting of all nontrivial subgroups of G, and for two nontrivial subgroups H and K of G, there is an edge adjoining them in In(G) if and only if H⊂K or H⊃K. In this paper, we will give some properties of the subgroup inclusion graph of Abelian groups; specially, we will determine the Abelian groups whose subgroup inclusion graph is a perfect graph (triangular graph, or strong triangular graph).

1. 引言

本文所涉及的群均是有限群，图是有限简单图。关于群论和图论的相关基本概念请参考文 [1] 和 [2] 。

对于给定的群，可用多种方式定义图，比如Cayley图、交图、交换图和素图等(见文 [3] [4] [5] [6] )。设G是群，则G的子群包含图In(G)是指下列无向简单图：In(G)的顶点集是G的所有非平凡的子群组成的集合，而G的两个非平凡的子群H和K在In(G)中有边相连(即 $H~K$ )当且仅当 $H\subset K$ 或 $H\supset K$ 。Devi和Rajkumar在文 [7] 中给出子群包含图的定义，决定了子群包含图是某类图(比如，完全图、二部图、树、星或平面图)的群，确定了子群包含图的团数、色数和围长，并讨论了交换群的子群包含图的直径。近来，偶世坤等 [8] 确定了幂零群的子群包含图的直径，并刻画了循环群的子群包含图的独立支配集和自同构群；偶世坤等 [9] 找出了子群包含图是平面图的所有幂零群，并计算了循环群的子群包含图的固定数。如果G是初等交换群，本文将看到In(G)实际上是向量空间的子空间包含图(见定理2.1)。

设V是有限维向量空间，则V的子空间包含图In(V)是指下列无向简单图：In(V)的顶点集是V的所有非平凡的子空间组成的集合，而V的两个非平凡的子空间U和W在In(V)中有边相连当且仅当 $U\subset W$ 或 $U\supset W$ 。2016年，Das [10] 确定了In(V)的直径、围长和团数，证明了两个向量空间的子空间包含图同构当且仅当这两个向量空间同构。记V_n是n维向量空间。2018年，Das [11] 考虑了In(V)的完美性和平面性，并给出了In(V₃)的支配数的界。同一年，Ma和Wang [12] 研究了In(V)的独立数；Wong等 [13] 证明了In(V₃)是距离正则的，并计算了In(V₃)的支配数。2019年，Wang和Wong [14] 刻画了In(V)的自同构。此外，Cameron等 [15] 证明了In(V₃)既是凯莱图也是汉密尔顿图。

受上述文献的影响，我们将给出交换群的子群包含图的一些性质；特别地，我们将决定子群包含图是完美图(或三角图，或强三角图)的有限交换群。

2. 初等交换群的子群包含图

为了考虑初等交换群的包含图的性质，我们先介绍一个重要结论。

定理2.1设G是初等交换p-群，其中p是素数，则存在正整数n使得In(G)与In(V_n)是同构的。

证明设 $G=F_p^n$ 。定义F_p对G的数乘运算为：

$k\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)=\left(k{a}_1,k{a}_2,\cdots ,k{a}_n\right),k\in F_p,\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)\in F_p^n,$

这里的 $k{a}_i$ ( $1\le i\le n$ )是k个 $a_i$ 的和。易知，G关于加法运算和上述数乘运算成为F_p上n维向量空间，故而G与V_n作为向量空间同构。由于G的子群均可看成G的子空间，故In(G)与In(V_n)是同构的。证毕。

下面将由定理2.1得到初等交换群的包含图的一些性质。首先，计算图的直径、围长、团数和色数。

推论2.2设G是初等交换p-群，其中p是素数。若G的阶 $\left|G\right|$ 至少含3个素因数，则

1) In(G)的直径是3；

2) In(G)的围长 $girth\left(In\left(G\right)\right)$ 是3，6或无穷；

3) In(G)的团数和色数是 $n-1$ ，其中n是G作为F_p上向量空间的维数。

证明由定理2.1和文 [10] 的定理4.1、定理4.2、定理5.1、定理5.2立刻得到结论。

记 $\gamma \left(In\left(G\right)\right)$ 为群G的包含图In(G)的支配数。当G是循环群且In(G)是连通图时，偶世坤等证明了 $\gamma \left(In\left(G\right)\right)=2$ (见文 [8] 的引理4.1)。现在我们考虑In(G)的独立数和支配数。

推论2.3设G是初等交换p-群。若 $\left|G\right|$ 至少含3个素因数，则

1) In(G)的支配数 $\gamma \left(In\left(G\right)\right)\ge 2p$ ，且等式成立的充要条件是 $n=3$ ；

2) In(G)的独立数为 $\alpha \left(In\left(G\right)\right)=\frac{\left(p^n-1\right)\left(p^{n-1}-1\right)\cdots \left(p^{n-k+1}-1\right)}{\left(p^k-1\right)\left(p^{k-1}-1\right)\cdots \left(p-1\right)}$ ，其中 $k=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ 。

证明由定理2.1、文 [12] 的定理2.5和文 [13] 的定理2.2立刻得证。

当初等交换群的阶是3个素数的乘积时，可得下面的结论。

推论2.4设G是初等交换群。若 $\left|G\right|$ 是3个素数的乘积，则

1) In(G)是顶点传递的；

2) In(G)是距离传递的；

3) In(G)是距离正则的；

4) In(G)是凯莱图；

5) In(G)是哈密尔顿图。

证明由定理2.1、文 [11] 的定理6.5、文 [13] 的定理3.1和推论3.2、以及文 [15] 的定理2.1和定理2.2立刻可得。

图 $\Gamma$ 被称为完美的(也称 $\Gamma$ 为完美图)，如果它的任一子图 ${\Gamma }_0$ 的团数等于 ${\Gamma }_0$ 的色数。文 [7] 给出了有限群的包含图是弱完美的。本节的最后我们考虑初等交换群的包含图的完美性。

推论2.5设G是初等交换群。若 $\left|G\right|$ 至少含3个素因数，则In(G)是完美图。

证明由定理2.1和 [10] 的定理5.2可得证。

3. 交换群的子群包含图

当G是有限交换群时，若k是 $\left|G\right|$ 的因数，则G必有k阶子群。设H和K是G的两个非平凡子群，若在In(G)中 $H~K$ ，则 $H\subset K$ 或 $H\supset K$ ，故而 $\left|H\right|$ 整除 $\left|K\right|$ ，或者 $\left|K\right|$ 整除 $\left|H\right|$ 。

首先，我们介绍一个引理。

引理3.1设G是有限交换群，若 $\left|G\right|$ 是3个素数的乘积，则In(G)是不含4圈的二部图。进而，G的围长 $girth\left(In\left(G\right)\right)\ge 6$ 。

证明 如果In(G)是树，结论显然成立。如果In(G)不是树，则In(G)中有圈。不妨设 $girth\left(In\left(G\right)\right)=n$ ，且令 $G_1~G_2~\cdots ~G_n~G_1$ 是In(G)中的n圈。显然， $\left|G_i\right|$ 至多2个素因数， $1\le i\le n$ 。如果 $\left|G_1\right|$ 是素数，则由 $\left|G_1\right|$ 整除 $\left|G_2\right|$ (因为 $G_1~G_2$ )得知 $\left|G_2\right|$ 是2个素数的乘积，再由 $\left|G_3\right|$ 整除 $\left|G_2\right|$ (因为 $G_2~G_3$ )得知 $\left|G_3\right|$ 是素数。于是由归纳法可得 $\left|G_{2j-1}\right|$ 是素数，且 $\left|G_{2j}\right|$ 是2个素数的乘积， $1\le j\le 2^{-1}\left(n+1\right)$ 。如果 $\left|G_1\right|$ 是2个素数的乘积，同理可得 $\left|G_{2j-1}\right|$ 是2个素数的乘积，且 $\left|G_{2j}\right|$ 是素数， $1\le j\le 2^{-1}\left(n+1\right)$ 。不妨设 $\left|G_{2j-1}\right|$ 是素数，且 $\left|G_{2j}\right|$ 是2个素数的乘积， $1\le j\le 2^{-1}\left(n+1\right)$ 。现证：n不是奇数。否则，若n是奇数，则由 $\left|G_1\right|$ 和 $\left|G_n\right|$ 均是素数可知 $G_1$ 和 $G_n$ 没有真包含关系，即 $G_1$ 和 $G_n$ 不相连，矛盾。所以，In(G)是二部图。

下面只需证：In(G)不含4圈。反证。若 $n=4$ ，即 $G_1~G_2~G_3~G_4~G_1$ ，则由 $G_4~G_1~G_2$ 可知 $G_1=G_2\cap G_4$ ；由 $G_2~G_3~G_4$ 得到 $G_3=G_2\cap G_4$ 。于是 $G_1=G_3$ ，这说明In(G)中存在3圈(即三角形)，矛盾。因此，In(G)不含4圈。得证。

实际上，直接计算立得下面的结论。

引理3.2设G是交换群。若 $\left|G\right|$ 是3个素数的乘积，则

1) 当G是p³阶循环群时，In(G)是长为2的路；

2) 当G是一个p²阶循环群和一个p阶群的直积时，In(G)是树；

3) 当G是一个p²阶循环群和一个q阶群的直积时，In(G)是长为4的路；

4) 当G是两个p阶群和一个q阶群的直积时，In(G)是围长为6的连通图；

5) 当 $\left|G\right|$ 是三个不同素数的乘积时，In(G)是长为6的圈。

如果图 $\Gamma$ 中4阶以上的圈必有弦(即连接两个不相邻顶点的边)，则称 $\Gamma$ 为三角图；如果 $\Gamma$ 中的点均在某个三角形(即3圈)中，则称 $\Gamma$ 为强三角图。显然，强三角图是三角图；强三角图的围长为3；而三角图的围长为3或无穷。但是三角图未必是强三角图。例如，无圈图是三角图，但不是强三角图。

现在我们给出刻画包含图是三角图的一个结论。

定理3.3设G是有限交换群，但不是初等交换群。若 $\left|G\right|$ 是3个素数的乘积，但不是三个不同素数的乘积，则In(G)是三角图当且仅当G不是两个p阶群和一个q阶群的直积。

证明由有限交换群基本定理可知，G是一些有限循环群的直积。再由条件得知G为p³阶循环群，或为一个p²阶循环群和一个p阶群的直积，或为两个p阶群和一个q阶群的直积。于是由引理3.2得证。

设G是有限交换群，而H是G的一个非平凡子群。若 $\left|G\right|/\left|H\right|$ 不是素数，即H不是G的极大子群，则在G中存在极大子群M包含H (即在In(G)中存在 $M~H$ )；若H不是素数阶子群，因为H也是交换群，故而H必有非平凡的子群L (即在In(G)中存在 $L~H$ )。

下面我们刻画强三角的包含图。

定理3.4设G是有限交换群，且 $\left|G\right|$ 至少含3个素因数，则In(G)是强三角图当且仅当 $\left|G\right|$ 至少含4个素因数。

证明 若 $\left|G\right|$ 是3个素数的乘积，则由引理3.1立知In(G)不是强三角图。下设 $\left|G\right|$ 至少含4个素因数。

任取H为G的非平凡的子群。若 $\left|H\right|$ 是素数，因为 $\left|G\right|/\left|H\right|$ 不是素数，所以可取M为G中含H的极大子群，则 $\left|M\right|$ 至少含3个素因数。再令K是M中含H的极大子群，则 $H\subset K\subset M$ ，故 $H~K~M~H$ 形成三角形。若 $\left|H\right|$ 是2个素数的乘积，令L是H的素数阶子群，而M是G中含H的极大子群，则 $L\subset H\subset M$ ，故 $H~L~M~H$ 形成三角形。若 $\left|H\right|$ 至少含3个素因数，令N是H中极大子群，而L是N中素数阶子群，则 $L\subset N\subset H$ ，故 $H~L~N~H$ 形成三角形。因此，In(G)是强三角图。

由定理3.4立得下一推论。

推论3.5设G是有限交换群，且 $\left|G\right|$ 至少含4个素因数，则In(G)是三角图，且 $girth\left(In\left(G\right)\right)=3$ 。

最后，我们考虑有限交换群的包含图的完美性。

定理3.6设G是有限交换群。若 $\left|G\right|$ 至少含3个素因数，则In(G)是完美图。

证明 若 $\left|G\right|$ 是3个素数的乘积，由推论2.5和引理3.2得知In(G)是完美的。若 $\left|G\right|$ 至少含4个素因数，则由推论3.5知道In(G)是三角图。而三角图是完美的(见 [16] 的定理9.3.11)，故而In(G)是完美的。得证。

致谢

感谢审稿专家提出的宝贵意见。

基金项目

江西省教育厅基金项目GJJ2200841。

NOTES

^*通讯作者。