Morita环上模范畴的生成子

Generators of Module Categories over Morita Ring

摘要: 设是Morita环。本文给出了一个右Λ_(0,0)-模是右Λ_(0,0)-模范畴中的生成子和投射生成子的内部刻画。

Abstract: Let be a Morita ring. In this paper, an internal characterization for a right Λ_(0,0)-module to be a generator and a projective generatoris given in the category of all right Λ_(0,0)-module.

1. 引言

1976年，Goodearl在 [1] 中研究环论时得到一类重要的环，即Morita环。Morita环及其上的模在环模理论中扮演着重要的角色。近年来，众多学者对Morita环在环论、模论以及同调代数理论方面进行了广泛的研究。2000年，Haghany等人在 [2] [3] 中对Morita环的特殊形式(即形式三角矩阵环)进行了系统的研究，给出了形式三角矩阵环上一个模是投射模的条件以及形式三角矩阵环上一个模是生成子和投射生成子的等价刻画。2010年，Krylov等人在 [4] 中给出了Morita环上一个模是投射模的等价刻画。

受以上工作的启发，本文研究了Morita环上生成子和投射生成子的内部刻画。

2. 预备知识

设A，B是环，M是B-A-双模，N是A-B-双模， $\varphi :M{\otimes }_{A}N\to B$ 是B-B双模同态， $\psi :N{\otimes }_{B}M\to A$ 是A-A-双模同态，令

$\begin{array}{c}{\Lambda }_{\left(\varphi ,\psi \right)}=\left(\begin{array}{cc}A& {}_{A}N{}_B\\ {}_{B}M{}_A& B\end{array}\right)\\ =\left\{\left(\begin{array}{cc}a& n\\ m& b\end{array}\right)|a\in A,b\in B,m\in M,n\in N\right\},\end{array}$

则 ${\Lambda }_{\left(\varphi ,\psi \right)}$ 中元素的加法为矩阵的加法，乘法如下：

$\left(\begin{array}{cc}a& n\\ m& b\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& n^{\prime }\\ m^{\prime }& b^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a{a}^{\prime }+\psi \left(n\otimes m^{\prime }\right)& a{n}^{\prime }+n{b}^{\prime }\\ m{a}^{\prime }+b{m}^{\prime }& b{b}^{\prime }+\varphi \left(m\otimes n^{\prime }\right)\end{array}\right),$

称 ${\Lambda }_{\left(\varphi ,\psi \right)}$ 为Morita环。总假设 $\varphi \left(m\otimes n\right)m^{\prime }=m\psi \left(n\otimes m^{\prime }\right)$ ， $n\varphi \left(m\otimes n^{\prime }\right)=\psi \left(n\otimes m\right)n^{\prime }$ ，其中 $m,m^{\prime }\in M$ ， $n,n^{\prime }\in N$ ，这个条件保证了 ${\Lambda }_{\left(\varphi ,\psi \right)}$ 是一个结合环。方便起见，始终记一个Morita环为 ${\Lambda }_{\left(\varphi ,\psi \right)}$ 。

设X是右A-模，Y是右B-模， $f:X{\otimes }_{A}N\to Y$ 是B-模同态， $g:Y{\otimes }_{B}M\to X$ 是A-模同态，并且有以下交换图：

$\begin{array}{ccc}X{\otimes }_{A}N{\otimes }_{B}M& \stackrel{f\otimes I{d}_M}{\to }& Y{\otimes }_{B}M\\ {}^{I{d}_X\otimes \psi }\downarrow & & {\downarrow }^g\\ X{\otimes }_{A}A& \stackrel{\cong }{\to }& X\end{array}$ ,

$\begin{array}{ccc}Y{\otimes }_{B}M{\otimes }_{A}N& \stackrel{g\otimes I{d}_N}{\to }& X{\otimes }_{A}N\\ {}^{I{d}_Y\otimes \varphi }\downarrow & & {\downarrow }^f\\ Y{\otimes }_{B}B& \stackrel{\cong }{\to }& Y\end{array}$ ,

则 $\left(X,Y,f,g\right)$ 是右 ${\Lambda }_{\left(\varphi ,\psi \right)}$ -模。

设 $\left(X,Y,f,g\right)$ 与 $\left(X^{\prime },Y^{\prime },f^{\prime },g^{\prime }\right)$ 是右 ${\Lambda }_{\left(\varphi ,\psi \right)}$ -模， $a:X\to X^{\prime }$ 是右A-模同态， $b:Y\to Y^{\prime }$ 是右B-模同态，并且有以下交换图：

$\begin{array}{ccc}X{\otimes }_{A}N& \stackrel{f}{\to }& Y\\ {}^{a\otimes I{d}_N}\downarrow & & {\downarrow }^b\\ X^{\prime }{\otimes }_{A}N& \stackrel{f\text{'}}{\to }& Y^{\prime }\end{array}$ ,

$\begin{array}{ccc}Y{\otimes }_{B}M& \stackrel{g}{\to }& X\\ {}^{b\otimes I{d}_M}\downarrow & & {\downarrow }^a\\ Y^{\prime }{\otimes }_{B}M& \stackrel{g\text{'}}{\to }& X^{\prime }\end{array}$ ,

则 $\left(a,b\right)$ 是 $\left(X,Y,f,g\right)$ 到 $\left(X^{\prime },Y^{\prime },f^{\prime },g^{\prime }\right)$ 的右 ${\Lambda }_{\left(\varphi ,\psi \right)}$ -模同态。

以下介绍本文中的相关定义。

定义1 [5] 设R是环，M是右R-模，称M是右R-模范畴中的生成子，如果对每一个右R-模N，存在满同态 $\alpha :M^{\left(J\right)}\to N$ 。

引理1 [5] 设R是环，设M是右R-模，则M是右R-模范畴中的生成子当且仅当M生成 $R{}_R$ ，即有满同态 ${\alpha }^{\prime }:M^{\left(J\right)}\to R$ 。

定义2 [5] 设R是环，P是右R-模，称P是右R-模范畴的投射生成子，如果P是投射的并且是生成子。

本文中环指有单位元的结合环，模是酉模，Morita环 ${\Lambda }_{\left(\varphi ,\psi \right)}$ 中， $\varphi =\psi =0$ ，即 ${\Lambda }_{\left(0,0\right)}$ 环。

3. Morita环Λ_{(0, 0)}上模范畴的生成子和投射生成子

设 ${\Lambda }_{\left(0,0\right)}=\left(\begin{array}{cc}A& N\\ M& B\end{array}\right)$ 是Morita环。Krylov等人在 [4] 中给出了Morita环上一个模是投射模的等价刻画。

引理2.1 ( [4] ，定理7.3)设 $\left(X,Y,f,g\right)$ 是右 ${\Lambda }_{\left(0,0\right)}$ -模，则以下等价：

1) $\left(X,Y,f,g\right)$ 是投射模；

2) $X/g\left(Y{\otimes }_{B}M\right)$ 是投射右A-模， $Y/f\left(X{\otimes }_{A}N\right)$ 是投射右B-模，并且

$\left(X/g\left(Y{\otimes }_{B}M\right)\right){\otimes }_{A}N\cong f\left(X{\otimes }_{A}N\right)$ ,

$\left(Y/f\left(X{\otimes }_{A}N\right)\right){\otimes }_{B}M\cong g\left(Y{\otimes }_{B}M\right)$ ;

3) 存在投射右A-模P和投射右B-模Q，使得 $\left(X,Y\right)\cong \left(P\oplus g\left(Y{\otimes }_{B}M\right),f\left(X{\otimes }_{A}N\right)\oplus Q\right)$ ，其中 $f\left(X{\otimes }_{A}N\right)\cong P{\otimes }_{A}N$ ， $g\left(Y{\otimes }_{B}M\right)\cong Q{\otimes }_{B}M$ 。

设 $\left(X,Y,f,g\right)$ 是右 ${\Lambda }_{\left(0,0\right)}$ -模，令 ${\eta }_X:X\to X/g\left(Y{\otimes }_{B}M\right)$ ， ${\eta }_Y:Y\to Y/f\left(X{\otimes }_{A}N\right)$ 是自然满同态， $h:B{\otimes }_{B}M\to M$ ， $b\otimes m\mapsto bm$ ， $h^{\prime }:A{\otimes }_{A}N\to N$ ， $a\otimes n\mapsto an$ 。

借助于环 ${\Lambda }_{\left(0,0\right)}$ 的乘法， ${\Lambda }_{\left(0,0\right)}$ 作为自身上的右 ${\Lambda }_{\left(0,0\right)}$ -正则模，同构于 $(A\oplus M,N\oplus B,f^{\prime },g^{\prime })$ ，其中 $f^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}{h}^{\prime }& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ ， $g^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& h\end{array}\right)$ 。

设 ${\Lambda }_{\left(0,0\right)}=\left(\begin{array}{cc}A& N\\ M& B\end{array}\right)$ 是Morita环。以下给出Morita环上的生成子和投射生成子的内部刻画。

定理2.2 设 $\left(X,Y,f,g\right)$ 是右 ${\Lambda }_{\left(\text{0,0}\right)}$ -模。则 $\left(X,Y,f,g\right)$ 是 $\text{Mod-}{\Lambda }_{\left(0,0\right)}$ 中的生成子当且仅当存在Mod-A中的满同态：

${\beta }_{\text{1}}:{\left(X/g\left(Y{\otimes }_{B}M\right)\right)}^{\left(J_1\right)}\to A$ ,

Mod-B中的满同态：

${\beta }_2:{\left(Y/f\left(X{\otimes }_{A}N\right)\right)}^{\left(J_2\right)}\to B$ ,

以及Mod-A中的同态 ${\varphi }_1:X^{\left(J_2\right)}\to M$ 和Mod-B中的同态 ${\varphi }_2:Y^{\left(J_1\right)}\to N$ ，满足：

${\varphi }_1\cdot g^{\left(J_2\right)}=h\cdot \left(\left({\beta }_2\cdot {\eta }_Y^{\left(J_2\right)}\right)\otimes I{d}_M\right)$ ,

${\varphi }_2\cdot f^{\left(J_1\right)}=h^{\prime }\cdot \left(\left({\beta }_1\cdot {\eta }_X^{\left(J_1\right)}\right)\otimes I{d}_N\right)$ .

证明 必要性。因为 $\left(X,Y,f,g\right)$ 是 $\text{Mod-}{\Lambda }_{\left(0,0\right)}$ 中的生成子，故存在满同态： $\left({\alpha }_1,{\alpha }_2\right):{\left(X,Y,f,g\right)}^{\left(J\right)}\to (A\oplus M,N\oplus B，f^{\prime },g^{\prime })$ ，使得下图交换，

$\begin{array}{ccc}{Y}^{\left(J\right)}{\otimes }_{B}M& \stackrel{{\alpha }_2\otimes I{d}_M}{\to }& \left(N\oplus B\right){\otimes }_{B}M\\ g^{\left(J\right)}\downarrow & & \downarrow g^{\prime }\\ X^{\left(J\right)}& \stackrel{{\alpha }_1}{\to }& A\oplus M\end{array}$ (1)

$\begin{array}{ccc}{X}^{\left(J\right)}{\otimes }_{A}N& \stackrel{{\alpha }_1\otimes I{d}_N}{\to }& \left(A\oplus M\right){\otimes }_{A}N\\ f^{\left(J\right)}\downarrow & & \downarrow f^{\prime }\\ Y^{\left(J\right)}& \stackrel{{\alpha }_2}{\to }& N\oplus B\end{array}$ (2)

令 ${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1^1\\ {\alpha }_1^2\end{array}\right)$ ， ${\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_2^1\\ {\alpha }_2^2\end{array}\right)$ ，其中 ${\alpha }_1^1:X^{\left(J\right)}\to A$ ， ${\alpha }_1^2:X^{\left(J\right)}\to M$ ， ${\alpha }_2^1:Y^{\left(J\right)}\to N$ ， ${\alpha }_2^2:Y^{\left(J\right)}\to B$ ，由交换图(1)，可得 ${\alpha }_{\text{1}}^{\text{1}}\cdot g^{\left(J\right)}=0$ ， ${\alpha }_{\text{1}}^2\cdot g^{\left(J\right)}=h\cdot \left({\alpha }_2^2\otimes I{d}_M\right)$ ，故存在同态 ${\beta }_1:{(X/g\left(Y{\otimes }_{B}M\right))}^{\left(J\right)}\to A$ ，使得下图可交换：

$\begin{array}{ccc}{X}^{\left(J\right)}& \stackrel{{\eta }_X^{\left(J\right)}}{\to }& {\left(X/g\left(Y{\otimes }_{B}M\right)\right)}^{\left(J\right)}\\ {\alpha }_1^1\downarrow & \swarrow {\beta }_{\text{1}}& \\ A& & \end{array},$

因为 ${\alpha }_1$ 为满同态，所以 ${\alpha }_1^1$ 为满同态，从而 ${\beta }_1$ 为满同态。由交换图(2)，可得 ${\alpha }_2^2\cdot f^{\left(J\right)}=0$ ， ${\alpha }_{\text{2}}^{\text{1}}\cdot f^{\left(J\right)}=h^{\prime }\cdot \left({\alpha }_1^1\otimes I{d}_N\right)$ ，故存在同态 ${\beta }_2:{\left(Y/f\left(X{\otimes }_{A}N\right)\right)}^{\left(J\right)}\to B$ ，使得下图可交换：

$\begin{array}{ccc}{Y}^{\left(J\right)}& \stackrel{{\eta }_Y^{\left(J\right)}}{\to }& {\left(Y/f\left(X{\otimes }_{A}N\right)\right)}^{\left(J\right)}\\ {\alpha }_2^2\downarrow & \swarrow {\beta }_2& \\ B& & \end{array},$

又因为 ${\alpha }_{\text{2}}$ 为满同态，所以 ${\alpha }_{\text{2}}^{\text{2}}$ 为满同态，从而 ${\beta }_{\text{2}}$ 为满同态。

令 ${\varphi }_1={\alpha }_1^2$ ， ${\varphi }_2={\alpha }_2^1$ ，则

${\varphi }_1\cdot g^{\left(J\right)}={\alpha }_1^2\cdot g^{\left(J\right)}=h\cdot \left({\alpha }_2^2\otimes I{d}_M\right)=h\cdot \left(\left({\beta }_2\cdot {\eta }_Y^{\left(J\right)}\right)\otimes I{d}_M\right)\text{,}$

${\varphi }_2\cdot f^{\left(J\right)}={\alpha }_2^1\cdot f^{\left(J\right)}=h^{\prime }\cdot \left({\alpha }_1^1\otimes I{d}_N\right)=h^{\prime }\cdot \left(\left({\beta }_1\cdot {\eta }_X^{\left(J\right)}\right)\otimes I{d}_N\right)\text{.}$

充分性。记集合 $J=J_1\stackrel{\dot{}}{\cup }{J}_2$ ，设

${\alpha }_1=\left(\begin{array}{cc}{\beta }_1\cdot {\eta }_X^{\left(J_1\right)}& 0\\ 0& {\varphi }_1\end{array}\right):X^{\left(J\right)}=X^{\left(J_1\right)}\oplus X^{\left(J_2\right)}\to A\oplus M,$

${\alpha }_2=\left(\begin{array}{cc}{\varphi }_2& 0\\ 0& {\beta }_2\cdot {\eta }_Y^{\left(J_2\right)}\end{array}\right):Y^{\left(J\right)}=Y^{\left(J_1\right)}\oplus Y^{\left(J_2\right)}\to N\oplus B,$

因为 ${\beta }_{\text{2}}$ ， ${\eta }_Y^{\left(J_2\right)}$ 是满同态， ${\varphi }_1\cdot g^{\left(J_2\right)}=h\cdot \left(\left({\beta }_2\cdot {\eta }_Y^{\left(J_2\right)}\right)\otimes I{d}_M\right)$ 可得 ${\varphi }_{\text{1}}$ 是满同态。因为 ${\beta }_{\text{1}}$ ， ${\eta }_X^{\left(J_1\right)}$ 是满同态，所以 ${\alpha }_1$ 是满同态。同理可得 ${\alpha }_{\text{2}}$ 是满同态。下证 $\left({\alpha }_{\text{1}},{\alpha }_2\right)$ 是 $\text{Mod-}{\Lambda }_{\left(0，0\right)}$ 中的同态，即证下图交换：

$\begin{array}{ccc}\left(Y^{\left(J_1\right)}\oplus Y^{\left(J_2\right)}\right){\otimes }_{B}M& \stackrel{{\alpha }_2\otimes I{d}_M}{\to }& \left(N\oplus B\right){\otimes }_{B}M\\ \left(\begin{array}{cc}{g}^{\left(J_1\right)}& 0\\ 0& g^{\left(J_2\right)}\end{array}\right)\downarrow & & \downarrow g^{\prime }\\ X^{\left(J_1\right)}\oplus X^{\left(J_2\right)}& \stackrel{{\alpha }_1}{\to }& A\oplus M\end{array},$

$\begin{array}{ccc}\left(X^{\left(J_1\right)}\oplus X^{\left(J_2\right)}\right){\otimes }_{A}N& \stackrel{{\alpha }_1\otimes I{d}_N}{\to }& \left(A\oplus M\right){\otimes }_{A}N\\ \left(\begin{array}{cc}{f}^{\left(J_1\right)}& 0\\ 0& f^{\left(J_2\right)}\end{array}\right)\downarrow & & \downarrow f^{\prime }\\ Y^{\left(J_1\right)}\oplus Y^{\left(J_2\right)}& \stackrel{{\alpha }_2}{\to }& N\oplus B\end{array},$

因为

${\varphi }_1\cdot g^{\left(J_2\right)}=h\cdot \left(\left({\beta }_2\cdot {\eta }_Y^{\left(J_2\right)}\right)\otimes I{d}_M\right),$

${\varphi }_2\cdot f^{\left(J_1\right)}=h\text{'}\cdot \left(\left({\beta }_1\cdot {\eta }_X^{\left(J_1\right)}\right)\otimes I{d}_N\right),$

${\beta }_2\cdot {\eta }_Y^{\left(J_2\right)}\cdot f^{\left(J_2\right)}=0$ ， ${\beta }_{\text{1}}\cdot {\eta }_X^{\left(J_1\right)}\cdot g^{\left(J_1\right)}=0$ ，所以上图可交换，则 $\left({\alpha }_1,{\alpha }_2\right):{\left(X,Y,f,g\right)}^{\left(J\right)}\to \left(A\oplus M,N\oplus B,f^{\prime },g^{\prime }\right)$ 是 $\text{Mod-}{\Lambda }_{\left(0,0\right)}$ 上的满同态。

由引理1知， $\left(X,Y,f,g\right)$ 是 $\text{Mod-}{\Lambda }_{\left(0,0\right)}$ 中的生成子。 □

命题2.3 设 $\left(X,Y,f,g\right)$ 是投射右 ${\Lambda }_{\left(0,0\right)}$ -模。则 $\left(X,Y,f,g\right)$ 是 $\text{Mod-}{\Lambda }_{\left(0,0\right)}$ 中的生成子当且仅当 $X/g\left(Y{\otimes }_{B}M\right)$ 是Mod-A中的生成子， $Y/f\left(X{\otimes }_{A}N\right)$ 是Mod-B中的生成子。

证明 必要性。设 $\left(X,Y,f,g\right)$ 是 $\text{Mod-}{\Lambda }_{\left(0,0\right)}$ 中的生成子，则由定理2.2得 $X/g\left(Y{\otimes }_{B}M\right)$ 是Mod-A中的生成子， $Y/f\left(X{\otimes }_{A}N\right)$ 是Mod-B中的生成子。

充分性。因为 $\left(X,Y,f,g\right)$ 是投射右 ${\Lambda }_{\left(0,0\right)}$ -模，由引理2.1可知：

$\left(X,Y,f,g\right)\cong \left(P\oplus Q{\otimes }_{B}M,P{\otimes }_{A}N\oplus Q,\alpha ,\beta \right)$ 其中P是投射右A-模，Q是投射右B-模，并且 $\alpha =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ ， $\beta =\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ ， $\left(P\oplus \left(Q{\otimes }_{B}M\right)\right)/\mathrm{Im}\beta \cong P$ ， $\left(\left(P{\otimes }_{A}N\right)\oplus Q\right)/\mathrm{Im}\alpha \cong Q$ ，由已知P是Mod-A中的生成子，Q

是Mod-B中的生成子，所以存在Mod-A中的满同态 ${\delta }_{\text{1}}:P^{\left(J_1\right)}\to A$ 和Mod-B中的满同态 ${\delta }_{\text{2}}:Q^{\left(J_2\right)}\to B$ ，则有

${\left(P\oplus \left(Q\otimes M\right)\right)}^{\left(J_2\right)}\cong P^{\left(J_2\right)}\oplus Q^{\left(J_2\right)}\otimes M\stackrel{{\left(0,1\right)}^{\left(J_2\right)}}{\to }{Q}^{\left(J_2\right)}\otimes M\stackrel{{\delta }_2\otimes I{d}_M}{\to }B{\otimes }_{B}M\stackrel{h}{\to }M,$

${\left(P\otimes \left(N\oplus Q\right)\right)}^{\left(J_1\right)}\cong P^{\left(J_1\right)}\otimes N\oplus Q^{\left(J_1\right)}\stackrel{{\left(1,0\right)}^{\left(J_1\right)}}{\to }{P}^{\left(J_1\right)}\otimes N\stackrel{{\delta }_1\otimes I{d}_N}{\to }A{\otimes }_{A}N\stackrel{h\text{'}}{\to }N,$

令

${\varphi }_1=h\cdot \left({\delta }_2\otimes I{d}_M\right)\cdot {\left(0,1\right)}^{\left(J_2\right)}$ ,

${\varphi }_2=h^{\prime }\cdot \left({\delta }_{\text{1}}\otimes I{d}_N\right)\cdot {\left(1,0\right)}^{\left(J_1\right)}$ ,

易得

${\varphi }_1\cdot {\beta }^{\left(J_2\right)}=h\cdot \left(\left({\delta }_2\cdot {\left(0,1\right)}^{\left(J_2\right)}\right)\otimes I{d}_M\right),$

${\varphi }_2\cdot {\alpha }^{\left(J_1\right)}=h^{\prime }\cdot \left(\left({\delta }_1\cdot {\left(1,0\right)}^{\left(J_1\right)}\right)\otimes I{d}_N\right),$

由定理2.2，可得 $(P\oplus Q{\otimes }_{B}M,P{\otimes }_{A}N\oplus Q,\alpha ,\beta )$ 是 $\text{Mod-}{\Lambda }_{\left(0,0\right)}$ 中的生成子，所以 $\left(X,Y,f,g\right)$ 是 $\text{Mod-}{\Lambda }_{\left(0,0\right)}$ 中的生成子，命题得证。 □