刻度平方误差损失下艾拉姆咖分布参数的Bayes估计

Bayesian Estimation of the Parameter of Эрлaнгa Distribution under Scale Squared Error Loss Function

摘要: 本文主要研究了在刻度平方误差损失函数下先验分布为伽马分布的艾拉姆咖分布参数的Bayes估计、多层Bayes估计和E-Bayes估计，并通过数值模拟说明了三种估计的稳健性和精确度，其中多层Bayes估计的稳健性和精确度都是最高的。

Abstract: In this paper, Bayesian estimation, Hierarchical Bayes estimation and E-Bayes estimation of Эрлaнгa distribution scale parameters with prior distribution as gamma distribution under the scale squared error loss function are studied; the robustness and accuracy of the three estimates are illustrated by numerical simulation, among which the robustness and accuracy of Hierarchical Bayes estimation are the highest.

1. 引言

艾拉姆咖分布在装备的维修理论中具有重要的作用，因此它被俄罗斯学者引入用来研究武器装备的维修时间。该分布具有重要的研究意义，所以众多学者对其进行了研究，吕佳等 [1] 研究了复合Linex损失下艾拉姆咖分布参数的贝叶斯估计；龙兵 [2] 研究了不同先验分布下艾拉姆咖分布参数的Bayes估计；范梓淼等 [3] 研究了艾拉姆咖分布参数变点的统计推断；于新龙等 [4] 研究了具有部分缺失数据混合艾拉姆咖分布参数的估计；王敏 [5] 研究了复合 损失下不同先验分布中参数的Bayes估计。

最近模型参数的Bayes估计经常应用到刻度平方误差损失函数。周慧 [6] 研究了刻度平方误差损失下逆指数分布的Bayes可靠性分析；芦凌飞 [7] 研究了刻度平方误差损失下Lomax分布形状参数的Bayes估计；谭玲等 [8] 研究了损失下二项分布参数的Bayes估计问题。

本文将刻度平方误差损失函数下对艾拉姆咖分布的参数进行研究。

设X为随机变量。假如它的密度函数为

$f\left(x|\theta \right)=4{\theta }^{2}x{\text{e}}^{-2\theta x},x>0,\theta >0,$ (1)

称X服从参数为θ的艾拉姆咖分布。

设 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 为来自总体X独立同分布的样本，则此样本的似然方程为

$L\left(x|\theta \right)=4^n{\theta }^{2n}\underset{i=1}{\overset{n}{{\displaystyle \prod }}}{x}_i{\text{e}}^{-2\theta T},$ (2)

其中 $T=\underset{i=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}{x}_i$ 。

刻度平方误差损失函数形式为

$L\left(\theta ,\hat{\theta }\right)=\frac{\left(\theta -\hat{\theta }\right)}{{\theta }^k}$ (3)

2. θ的Bayes估计

引理1 对任何的先验分布 $\pi \left(\theta \right)$ ，在刻度平方误差损失函数下，θ的Bayes估计为

${\delta }_B=\frac{E\left({\theta }^{1-k}|x\right)}{E\left({\theta }^{-k}|x\right)}.$ (4)

定理1 设 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 是艾拉姆咖分布的一组观察值，则在损失函数(3)，取 $\text{Γ}\left(\alpha ,\beta \right)$ 为其参数θ的先验分布，θ的Bayes估计为

${\delta }_B\left(x\right)=\frac{2n+\alpha -k}{2T+\beta },$

其中 $T=\underset{i=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}{x}_i$ 。

证明 由 $\text{Γ}\left(\alpha ,\beta \right)$ 为艾拉姆咖分布参数θ的先验分布，可得θ的先验密度函数为

$\pi \left(\theta \right)=\Gamma \left(\alpha ,\beta \right)=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\theta }^{\alpha -1}{\text{e}}^{-\beta \theta },\alpha >0,\beta >0,\theta >0$ (5)

根据样本的联合密度函数(2)和式(5)，得到θ的后验密度函数为

$\begin{array}{c}h\left(\theta |x\right)=\frac{L\left(x|\alpha ,\theta \right)\pi \left(\theta \right)}{{{\displaystyle \int }}_0^{+\infty }L\left(x|\alpha ,\theta \right)\pi \left(\theta \right)\text{d}\theta }=\frac{4^n{\theta }^{2n}{{\displaystyle \prod }}_{i=1}^n{x}_i{\text{e}}^{-2\theta T}\frac{{\beta }^{\alpha }}{\text{Γ}\left(\alpha \right)}{\theta }^{\alpha -1}{\text{e}}^{-\beta \theta }}{{{\displaystyle \int }}_0^{+\infty }{4}^n{\theta }^{2n}{{\displaystyle \prod }}_{i=1}^n{x}_i{\text{e}}^{-2\theta T}\frac{{\beta }^{\alpha }}{\text{Γ}\left(\alpha \right)}{\theta }^{\alpha -1}{\text{e}}^{-\beta \theta }\text{d}\theta }\\ =\frac{{\theta }^{2n+\alpha -1}{\text{e}}^{-\left(2T+\beta \right)\theta }}{{{\displaystyle \int }}_0^{+\infty }{\theta }^{2n+\alpha -1}{\text{e}}^{-\left(2T+\beta \right)\theta }\text{d}\theta }\\ =\frac{{\left(\beta +2T\right)}^{2n+\alpha }}{\Gamma \left(2n+\alpha \right)}{\theta }^{2n+\alpha -1}{\text{e}}^{-\left(2T+\beta \right)\theta }\end{array}$ (6)

其中 $T=\underset{i=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}{x}_i$ ，从而θ的后验分布为 $h\left(\theta |x\right)~\text{Γ}\left(2n+\alpha ,2T+\beta \right)$ 。那么

$\begin{array}{c}E\left({\theta }^{1-k}|x\right)={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\theta }^{1-k}\frac{{\left(\beta +2T\right)}^{2n+\alpha }}{\Gamma \left(2n+\alpha \right)}{\theta }^{2n+\alpha -1}{\text{e}}^{-\left(2T+\beta \right)\theta }\text{d}\theta }\\ =\frac{{\left(\beta +2T\right)}^{2n+\alpha }}{\Gamma \left(2n+\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\theta }^{2n+\alpha -k}{\text{e}}^{-\left(2T+\beta \right)\theta }\text{d}\theta }\\ =\frac{{\left(\beta +2T\right)}^{2n+\alpha }}{\Gamma \left(2n+\alpha \right)}\frac{\Gamma \left(2n+\alpha -k+1\right)}{{\left(\beta +2T\right)}^{2n+\alpha -k+1}}\\ =\frac{\Gamma \left(2n+\alpha -k+1\right){\left(\beta +2T\right)}^{k-1}}{\Gamma \left(2n+\alpha \right)}\end{array}$ (7)

$\begin{array}{c}E\left({\theta }^{-k}|x\right)={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\theta }^{-k}\frac{{\left(\beta +2T\right)}^{2n+\alpha }}{\Gamma \left(2n+\alpha \right)}{\theta }^{2n+\alpha -1}{\text{e}}^{-\left(2T+\beta \right)\theta }\text{d}\theta }\\ =\frac{{\left(\beta +2T\right)}^{2n+\alpha }}{\Gamma \left(2n+\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\theta }^{2n+\alpha -k-1}{\text{e}}^{-\left(2T+\beta \right)\theta }\text{d}\theta }\\ =\frac{{\left(\beta +2T\right)}^{2n+\alpha }}{\Gamma \left(2n+\alpha \right)}\frac{\Gamma \left(2n+\alpha -k\right)}{{\left(\beta +2T\right)}^{2n+\alpha -k}}\\ =\frac{\Gamma \left(2n+\alpha -k\right){\left(\beta +2T\right)}^k}{\Gamma \left(2n+\alpha \right)}\end{array}$ (8)

将(7)和(8)带入式(4)可得

${\delta }_B\left(x\right)=\frac{E\left({\theta }^{1-k}|x\right)}{E\left({\theta }^{-k}|x\right)}=\frac{\frac{\Gamma \left(2n+\alpha -k+1\right){\left(\beta +2T\right)}^{k-1}}{\Gamma \left(2n+\alpha \right)}}{\frac{\Gamma \left(2n+\alpha -k\right){\left(\beta +2T\right)}^k}{\Gamma \left(2n+\alpha \right)}}=\frac{2n+\alpha -k}{\beta +2T}.$

3. θ的多层Bayes估计

对 ${\delta }_B\left(x\right)$ 中的超参数α、β进行估计。设超参数α、β的先验分布为 $\pi \left(\alpha \right)=U\left(0,1\right)$ 和 $\pi \left(\beta \right)=U\left(0,c\right)$ ，若α、β的联合分布为均匀分布，即 $\pi \left(\alpha ,\beta \right)=\frac{1}{c}$ ，此时θ的多层先验密度函数为

$\begin{array}{c}\pi \left(\theta \right)={\displaystyle \underset{D}{\iint }\pi \left(\theta |\alpha ,\beta \right)\pi \left(\alpha ,\beta \right)\text{d}\alpha \text{d}\beta }={\displaystyle {\int }_0^c{\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{c}\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\theta }^{\alpha -1}{\text{e}}^{-\beta \theta }\text{d}\alpha \text{d}\beta }}\\ =\frac{1}{c}{\displaystyle {\int }_0^c{\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\theta }^{\alpha -1}{\text{e}}^{-\beta \theta }\text{d}\alpha \text{d}\beta }}\end{array}$ (9)

定理2 在刻度平方误差损失函数下，对于艾拉姆咖分布(1)，若参数θ的先验分布为 $\Gamma \left(\alpha ,\beta \right)$ ，超参数α和β的先验分布为D上的均匀分布，则参数θ的多层Bayes估计为

${\delta }_{HB}\left(x\right)=\frac{{\displaystyle {\int }_0^c{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\Gamma \left(2n+\alpha +1-k\right){\beta }^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right){\left(\beta +2T\right)}^{2n+\alpha +1-k}}\text{d}\alpha \text{d}\beta }}}{{\displaystyle {\int }_0^c{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\Gamma \left(2n+\alpha -k\right){\beta }^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right){\left(\beta +2T\right)}^{2n+\alpha -k}}\text{d}\alpha \text{d}\beta }}}$ (10)

其中 $T=\underset{i=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}{x}_i$ 。

证明 根据Bayes定理，θ的多层后验密度为

$\begin{array}{c}h\left(\theta |x\right)=\frac{L\left(x|\theta \right)\pi \left(\theta \right)}{{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }L\left(x|\theta \right)\pi \left(\theta \right)\text{d}\theta }}=\frac{{\displaystyle {\int }_0^c{\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\theta }^{2n+\alpha -1}{\text{e}}^{-\left(\beta +2T\right)\theta }\text{d}\alpha \text{d}\beta }}}{{\displaystyle {\int }_0^c{\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\theta }^{2n+\alpha -1}{\text{e}}^{-\left(\beta +2T\right)\theta }\text{d}\theta \text{d}\alpha \text{d}\beta }}}}\\ =\frac{{\displaystyle {\int }_0^c{\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\theta }^{2n+\alpha -1}{\text{e}}^{-\left(\beta +2T\right)\theta }\text{d}\alpha \text{d}\beta }}}{{\displaystyle {\int }_0^c{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\Gamma \left(2n+\alpha \right){\beta }^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right){\left(\beta +2T\right)}^{2n+\alpha }}\text{d}\alpha \text{d}\beta }}}.\end{array}$

从而有

$\begin{array}{c}E\left({\theta }^{1-k}|x\right)={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\theta }^{1-k}h\left(\theta |x\right)\text{d}\theta }=\frac{{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\theta }^{1-k}{{\displaystyle \int }}_0^c{{\displaystyle \int }}_0^1\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\theta }^{2n+\alpha -1}{\text{e}}^{-\left(\beta +2T\right)\theta }\text{d}\alpha \text{d}\beta \text{d}\theta }}{{\displaystyle {\int }_0^c{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\Gamma \left(2n+\alpha \right){\beta }^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right){\left(\beta +2T\right)}^{2n+\alpha }}\text{d}\alpha \text{d}\beta }}}\\ =\frac{{\displaystyle {\int }_0^c{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\Gamma \left(2n+\alpha +1-k\right){\beta }^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right){\left(\beta +2T\right)}^{2n+\alpha +1-k}}\text{d}\alpha \text{d}\beta }}}{{\displaystyle {\int }_0^c{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\Gamma \left(2n+\alpha \right){\beta }^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right){\left(\beta +2T\right)}^{2n+\alpha }}\text{d}\alpha \text{d}\beta }}}.\end{array}$

$\begin{array}{c}E\left({\theta }^{-k}|x\right)={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\theta }^{-k}h\left(\theta |x\right)\text{d}\theta }=\frac{{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\theta }^{-k}{\displaystyle {\int }_0^c{\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\theta }^{2n+\alpha -1}{\text{e}}^{-\left(\beta +2T\right)\theta }\text{d}\alpha \text{d}\beta \text{d}\theta }}}}{{\displaystyle {\int }_0^c{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\Gamma \left(2n+\alpha \right){\beta }^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right){\left(\beta +2T\right)}^{2n+\alpha }}\text{d}\alpha \text{d}\beta }}}\\ =\frac{{\displaystyle {\int }_0^c{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\Gamma \left(2n+\alpha -k\right){\beta }^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right){\left(\beta +2T\right)}^{2n+\alpha -k}}\text{d}\alpha \text{d}\beta }}}{{\displaystyle {\int }_0^c{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\Gamma \left(2n+\alpha \right){\beta }^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right){\left(\beta +2T\right)}^{2n+\alpha }}\text{d}\alpha \text{d}\beta }}}.\end{array}$

故在刻度平方误差损失函数下θ的多层Bayes估计为

${\delta }_{HB}\left(x\right)=\frac{E\left({\theta }^{1-k}|x\right)}{E\left({\theta }^{-k}|x\right)}=\frac{{\displaystyle {\int }_0^c{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\Gamma \left(2n+\alpha +1-k\right){\beta }^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right){\left(\beta +2T\right)}^{2n+\alpha +1-k}}\text{d}\alpha \text{d}\beta }}}{{\displaystyle {\int }_0^c{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\Gamma \left(2n+\alpha -k\right){\beta }^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right){\left(\beta +2T\right)}^{2n+\alpha -k}}\text{d}\alpha \text{d}\beta }}}.$

4. θ的E-Bayes估计

定理3 在刻度平方误差损失函数下，对于艾拉姆咖分布(1)，若参数θ的先验分布为 $\Gamma \left(\alpha ,\beta \right)$ ，超参数α和β的先验分布为D上的均匀分布，则参数θ的E-Bayes估计为

${\delta }_{EB}\left(x\right)=\frac{4n-2k+1}{2c}\ln \left(1+\frac{c}{4T}\right),$ (11)

其中 $T=\underset{i=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}{x}_i$ 。

证明 根据E-Bayes的定义得

$\begin{array}{c}{\delta }_{EB}\left(x\right)={\displaystyle \underset{D}{\iint }{\delta }_B\left(x\right)\pi \left(\alpha ,\beta \right)\text{d}\alpha \text{d}\beta }\\ =\frac{1}{c}{\displaystyle {\int }_0^c{\displaystyle {\int }_0^1\frac{2n+\alpha -k}{\beta +2T}\text{d}\alpha \text{d}\beta }}\\ =\frac{1}{c}{\displaystyle {\int }_0^c\frac{2n-k+\frac{1}{2}}{\beta +2T}\text{d}\beta }\\ =\frac{4n-2k+1}{2c}\ln \left(1+\frac{c}{4T}\right).\end{array}$

5. 数值模拟

利用R语言进行数值模拟，生成一组n = 30，θ真值为1的艾拉姆咖分布随机样本，并根据定理1中参数θ的Bayes估计 ${\delta }_B$ ，在参数β = 1时，对参数α和k取不同的值时θ的估计值，模拟结果如表1。

利用相同的随机样本，根据定理2中参数θ的多层Bayes估计 ${\delta }_{HB}$ 和定理3中参数θ的E-Bayes估计的表达式 ${\delta }_{EB}$ 在参数c = 10时求估计值，结果分别为表2与表3。

稳健性：

由表1，表2，表3可以看出当 $0.5\le k\le 1$ 且适当选择参数α，β以及c的值时， ${\delta }_B$ ， ${\delta }_{HB}$ ， ${\delta }_{EB}$ 的极差都非常小。从统计决策中稳健性角度考虑，参数θ的三种Bayes估计都很稳健，其中多层Bayes估计最稳健，符合统计决策中稳健性。

Table 1. Estimated values of δ B

表1. ${\delta }_B$ 的估计值

Table 2. Estimated values of δ H B

表2. ${\delta }_{HB}$ 的估计值

Table 3. Estimated values of δ E B

表3. ${\delta }_{EB}$ 的估计值

精确度：

由表1、表2、表3可以看出 $0.5\le k\le 1$ 时，容易求出 ${\delta }_B$ ， ${\delta }_{HB}$ ， ${\delta }_{EB}$ 的偏差( $\Delta \delta =\left|\delta -{\delta }_0\right|$ ，其中δ为参数θ的估计量， ${\delta }_0$ 为参数θ的真值)，区间分别为[0.0006, 0.0122017]，[0.0030145, 0.0087457]，[0.0005136, 0.0042132]。可见偏差非常小，所以其精确度也很高，其中多层Bayes估计的精确度最高，符合统计决策的要求。

基金项目

国家自然科学基金(11801488)；新疆师范大学教学研究与改革(SDJG2020-30)；新疆师范大学科研发展专项(XJNUZX202001)。

NOTES

^*通讯作者。