1. 引言
在高等数学中微分中值定理的重要性是不言而喻的，它们是沟通函数与其导数关系的桥梁，是讨论导数应用的理论基础。但微分中值定理中只肯定了中值点的存在性，没有给出中值点的数量、位置等信息。当然，这并不影响其重要的应用价值。关于微分中值定理的中值点的渐近性始于1982年AlfonsoG. Azpeitia在文献 [1] 中对带有拉格朗日型余项的泰勒定理中的中值点的渐近性的研究。此后，有许多学者对该问题进行了改进和推广，如文献 [2] - [7] 考虑了柯西中值定理的中值点的渐近性，文献 [8] [9] 讨论了高阶拉格朗日中值定理的中值点的渐近性问题。现将文献中与本文有关的结论列举如下：
泰勒定理 [1] [10] [11] [12] 若在点r的某邻域内有n阶导数，则，介于r与x之间，使得
定理1 [1] 设在点r的某邻域内存在且在r点连续，，，则对于泰勒定理中的有
(1)
记：，则且与x有关，即，此时(1)式可改为
(2)
众所周知，拉格朗日中值定理是泰勒定理当时的特殊情况：
拉格朗日中值定理 [10] [11] [12] 设函数在上连续，在内可导，则存在，使得
(3)
推论1 [1] [2] [3] 当时，则(2)式化为
(4)
上式表明，随着区间长度无限地缩短，中值点越来越接近于区间的中点 [2] 。
定理2 [4] [5] [6] [7] [13] [14] 设函数在点r的某邻域内具有直到n阶导数，在r点连续，且，，则(3)式中的中值点满足
(5)
特别需要强调：条件是不可缺少的 [1] [2] [3] 。文献 [1] [2] [3] 中均有实例表明当条件不成立时，该定理的结论不一定成立。本文旨在考虑三类基本初等函数——幂函数、指数函数、对数函数的拉格朗日中值点的渐近性问题，其中仅有幂函数在区间左端点为零时满足定理2条件，其余情形并不满足该定理条件，而指数函数和对数函数在任何区间上均不满足定理2的条件，说明定理2的条件仅是充分条件，而非必要条件。
2. 主要结论
2.1. 幂函数
(一) 幂指数且
定理3 设，幂函数，。
1) 若，则的拉格朗日中值定理中的满足
2) 若，则的拉格朗日中值定理中的满足
证明 不妨设，由拉格朗日中值定理得
类似于文献 [13] 有
1) 若，显然有
2) 若，因为是考虑x趋向于r时的极限，故此不妨设，由幂级数展开式及洛必达法则可得
对于时，类似可得结论，在此省略其证明。证毕
注 ① 当时，由可知，此时与x无关，仅与幂函数的指数有关。特别地，当时，，此时，即无论x取何值，中值点均为区间的中点；当取大于1的正整数n时，，此时与(5)式的结论相同，且满足定理2条件；但当不取正整数时，例如，则，并不满足定理2条件，此时不存在 [3] 。
由与幂指数的函数关系，再利用取整函数的性质可得。事实上，由，有
再由
故
由幂函数在第一象限的单调性知道，此时的中值点是唯一的。随着的增大而单调递增趋于1，即是的增函数。由于此时有，故此，即随着幂指数的增加，单调递增趋向于区间右端点x。
② 若，此时，并不满足推论1中的条件，但此时仍有(4)式成立。
(二) 幂指数
推论2设，幂函数，则的拉格朗日中值定理中的满足
2.2. 指数函数
定理4 设，指数函数，，则的拉格朗日中值定理中的满足
证明 由拉格朗日中值定理有
再由对数运算性质及洛必达法则可得
证毕
注 指数函数在任何区间上均不满足推论1或者定理2的条件，但随着x趋向于r，中值点依然趋向于区间中点。
2.3. 对数函数
定理5 设，对数函数，，则的拉格朗日中值定理中的满足
再由洛必达法则可得
注 对数函数在任何区间上均不满足推论1或者定理2的条件，但随着区间左端点x趋向于区间右端点r时，中值点依然趋向于区间中点。
3. 结束语
本文讨论了三种基本初等函数——幂函数、指数函数、对数函数的拉格朗日中值点的渐近性问题。除幂函数当左端点为0时，中值取定值外，其余情形的幂函数、指数函数、对数函数中值点的渐近性结果均相似，即随着区间右端点x趋向于左端点r时，拉格朗日中值点趋向于区间的中点。这一结果也与文献中的结果类似，但除幂函数中当幂指数取正整数且左端点为0时满足文献中的定理条件外，其余情形的幂函数、指数函数、对数函数均不满足文献中定理要求的条件，可见文献中的定理条件仅是充分条件，而非必要条件。
致谢
在此对参考文献给予的启发与思考以及审稿人提出的宝贵意见表示衷心感谢！
基金项目
1) 国家自然基金项目编号：11961037。
2) 广东石油化工学院科研基金人才引进项目，项目编号：2019rc101。
参考文献