二维预约当代数的Rota-Baxter算子

Rota-Baxter Operators on Two-Dimensional Pre-Jordan Algebras

摘要: 本文主要计算二维预约当代数的Rota-Baxter算子，得到二维预约当代数上Rota-Baxter算子的完全分类。确定二维预约当代数对应的特殊的四维预约当代数的代数运算，构造这些特殊的四维预约当代数上JP-方程的解。最后利用二维预约当代数的Rota-Baxter算子构造二维的J-dendriform代数。

Abstract: This paper mainly calculates the Rota-Baxter operators on two-dimensional pre-Jordan algebras and obtains the complete classification of the Rota-Baxter operators on two-dimensional pre-Jordan algebras. The algebraic operations of special four-dimensional pre-Jordan algebras corresponding to two-dimensional pre-Jordan algebras are determined, and the solutions of JP-equations on these special four-dimensional pre-Jordan algebras are constructed. Finally, two-dimensional J-dendriform algebras are constructed using the Rota-Baxter operator of two-dimensional pre-Jordan algebras.

1. 引言

二十世纪三十年代P. Jordan最早给出了约当代数的概念。约当代数是在量子力学中引入的一类非结合代数，在很多领域都有广泛的应用。最近几十年，约当代数得到了广泛的研究，并应用于微分几何、量子群、李理论等数学领域 [1] [2] [3] 。现阶段，约当代数作为独立的代数结构，发展迅速。在约当代数的基础上出现了一些其它的代数，比如预约当代数 [4] 、J-dendriform代数 [5] 等。其中侯冬平做了预约当双代数和Loday代数的约当代数 类似 [6] 。Y. Sun等人给出了低维预约当代数的完全分类 [4] 。本文在此基础上，研究了二维预约当代数的Rota-Baxter算子，并构造了一些特殊的J-dendriform代数，为预约当代数的研究提供一些基础。

2. 预备知识

定义1.1 ( [6] )在线性空间J上定义一个双线性的乘法“”，如果满足

$\begin{array}{l}\left(x·y\right)\cdot \left(z\cdot u\right)+\left(y·z\right)\cdot \left(x\cdot u\right)+\left(z·x\right)\cdot \left(y\cdot u\right)\\ =z\cdot \left[\left(x·y\right)\cdot u\right]+x\cdot \left[\left(y·z\right)\cdot u\right]+y\cdot \left[\left(z·x\right)\cdot u\right],\end{array}$

$\begin{array}{l}x\cdot \left[y\cdot \left(z\cdot u\right)\right]+z\cdot \left[y\cdot \left(x\cdot u\right)\right]+\left[\left(x·z\right)·y\right]\cdot u\\ =z\cdot \left[\left(x·y\right)\cdot u\right]+x\cdot \left[\left(y·z\right)\cdot u\right]+y\left[\left(z·x\right)\cdot u\right],\end{array}$

其中 $\forall x,y,z,u\in A$ ， $x·y=x\cdot y+y\cdot x$ ，则称 $\left(J,\cdot \right)$ 为预约当代数。

定义1.2 ( [6] )设 $\left(J,\cdot \right)$ 是一个预约当代数，V是一个线性空间，如果 $l,r:J\to gl\left(V\right)$ 两个线性映射满足

$\left[l\left(x·y\right),l\left(z\right)\right]+\left[l\left(y·z\right),l\left(x\right)\right]+\left[l\left(z·x\right),l\left(y\right)\right]=0;$

$\begin{array}{l}l\left(x·y\right)r\left(z\right)+r\left(x\cdot z\right)l\left(y\right)+r\left(y\cdot z\right)r\left(x\right)+r\left(x\cdot z\right)r\left(y\right)+r\left(y\cdot z\right)l\left(x\right)\\ =l\left(x\right)r\left(z\right)l\left(y\right)+l\left(y\right)r\left(z\right)r\left(x\right)+r\left[\left(x·y\right)z\right]+l\left(y\right)r\left(z\right)l\left(x\right)+l\left(x\right)r\left(z\right)r\left(y\right);\end{array}$

$l\left(x·y\right)l\left(z\right)+l\left(y·z\right)r\left(x\right)+l\left(z·x\right)r\left(y\right)=l\left(x\right)l\left(y\right)l\left(z\right)+l\left[y·\left(x·z\right)\right]+l\left(z\right)l\left(y\right)l\left(x\right);$

$\begin{array}{l}r\left(z\cdot y\right)l\left(z\right)+r\left(x\cdot y\right)r\left(z\right)+l\left(x·z\right)r\left(y\right)+r\left(x·y\right)l\left(z\right)+r\left(x\cdot y\right)l\left(z\right)+r\left(z\cdot y\right)r\left(x\right)\\ =l\left(x\right)r\left(z\cdot y\right)+r\left(y\right)r\left(x·z\right)+r\left(y\right)l\left(x·z\right)+l\left(z\right)r\left(x\cdot y\right);\end{array}$

$\begin{array}{l}l\left(x\cdot y\right)r\left(z\right)+r\left(x\cdot z\right)l\left(y\right)+r\left(y\cdot z\right)r\left(x\right)+l\left(y\cdot x\right)r\left(z\right)+r\left(x\cdot z\right)r\left(y\right)+r\left(y\cdot z\right)l\left(x\right)\\ =l\left(x\right)l\left(y\right)r\left(z\right)+r\left(z\right)l\left(y\right)r\left(x\right)+r\left(z\right)r\left(y\right)r\left(x\right)+r\left(z\right)l\left(y\right)l\left(x\right)+r\left[y\cdot \left(x\cdot z\right)\right]+r\left(z\right)r\left(y\right)l\left(x\right).\end{array}$

其中 $\forall x,y,z,u\in A$ ， $x·y=x\cdot y+y\cdot x$ ，则称 $\left(l,r,V\right)$ 为 $\left(J,\cdot \right)$ 的一个双模。

设 $\left(J,\cdot \right)$ 是一个预约当代数，用L和R分别表示J上的左乘算子和右乘算子，即 $L\left(x\right)\left(y\right)=R\left(y\right)\left(x\right)=x\cdot y$ ，其中 $\forall x,y\in J$ 。

设 $\left(J,\cdot \right)$ 是预约当代数，V是线性空间，对于任何的线性映射 $\rho :J\to gl\left(V\right)$ ，定义映射 ${\rho }^{*}:J\to gl\left(V^{*}\right)$ ，其中

$\langle {\rho }^{*}\left(x\right)v^{*},u\rangle =\langle v^{*},\rho \left(x\right)u\rangle \left(\forall x\in J,u\in V,v^{*}\in V^{*}\right),$

则称 ${\rho }^{*}$ 是 $\rho$ 的一个对偶映射。

定理1.3 ( [6] )设 $\left(J,\cdot \right)$ 是预约当代数，且 $\left(l,r,V\right)$ 是 $\left(J,\cdot \right)$ 的双模，则 $\left(l^{*}+r^{*},-r^{*},V^{*}\right)$ 是 $\left(J,\cdot \right)$ 的双模。

定理1.4 ( [6] )设 $\left(J,\cdot \right)$ 是预约当代数， $l,r:A\to End\left(V\right)$ 是线性映射，则 $\left(l,r,V\right)$ 是预约当代数 $\left(J,\cdot \right)$ 的一个双模当且仅当直和空间 $A\oplus V$ 上定义

$\left(x+u\right)\ast \left(y+v\right)=x\cdot y+\left(l^{*}+r^{*}\right)\left(x\right)v-r^{*}\left(y\right)u\left(\forall x,y\in A,u,v\in V\right),$

时， $\left(A\oplus V,\ast \right)$ 为预约当代数。

定义1.5 ( [5] )设 $\left(J,\cdot \right)$ 是预约当代数， $\left(l,r,V\right)$ 是 $\left(J,\cdot \right)$ 的一个双模，如果线性映射 $T:V\to J$ 满足

$T\left(u\right)\cdot T\left(v\right)=T\left(l\left(T\left(u\right)\right)v+r\left(T\left(v\right)\right)u\right),$

其中 $\forall u,v\in J$ ，则称T为预约当代数 $\left(J,\cdot \right)$ 的O-算子。

定义1.6 ( [5] )设 $\left(J,\cdot \right)$ 是预约当代数，如果线性映射 $R:J\to J$ 满足

$R\left(x\right)R\left(y\right)=R\left(R\left(x\right)y+xR\left(y\right)\right),$ (2.1)

其中 $\forall x,y\in J$ ，则称R为预约当代数 $\left(J,\cdot \right)$ 的Rota-Baxter算子。

定理1.7 ( [6] )设V是线性空间， $\left(J,\cdot \right)$ 是预约当代数， $T:V\to J$ 是线性映射，则 $r=T+\sigma \left(T\right)$ 是预约

当代数 $J{⋉}_{l^{*}+r^{*},-r^{*}}{V}^{*}$ 上JP-方程的对称解当且仅当T是 $\left(J,\cdot \right)$ 上与双模 $\left(l,r,V\right)$ 相关的O-算子。

定义1.8 ( [5] )设A是一个线性空间， $\succ ,\prec :A\otimes A\to A$ 是A上的两个双线性的代数运算，如果满足

$\begin{array}{l}\left(x·y\right)\succ \left(z\succ u\right)+\left(y·z\right)\succ \left(x\succ u\right)+\left(z·x\right)\succ \left(y\succ u\right)\\ =x\succ \left[\left(y•z\right)\succ u\right]+y\succ \left[\left(z•x\right)\succ u\right]+z\succ \left[\left(x·y\right)\succ u\right],\end{array}$

$\begin{array}{l}\left(x·y\right)\succ \left(z\succ u\right)+\left(y·z\right)\succ \left(x\succ u\right)+\left(z·x\right)\succ \left(y\succ u\right)\\ =x\succ \left[y\succ \left(z\succ u\right)\right]+z\succ \left[y\succ \left(x\succ u\right)\right]+z\succ \left[y·\left(z·x\right)\succ u\right],\end{array}$

$\begin{array}{l}\left(x·y\right)\succ \left(z\prec u\right)+\left(x\cdot z\right)\prec \left(y\diamond u\right)+\left(y\cdot z\right)\prec \left(x\diamond u\right)\\ =x\succ \left[(z\prec \left(y\diamond u\right)\right]+y\succ \left[z\prec \left(x\diamond u\right)\right]+z\succ \left[\left(x·y\right)\cdot z\right]\prec z,\end{array}$

$\begin{array}{l}\left(z\cdot y\right)\prec \left(x\diamond u\right)+\left(x\cdot y\right)\prec \left(z\diamond u\right)+\left(x·z\right)\succ \left(y\prec u\right)\\ =x\succ \left[\left(z\cdot y\right)\prec u\right]+z\succ \left[\left(x\cdot y\right)\prec u\right]+y\prec \left[\left(x·z\right)\diamond u\right],\end{array}$

$\begin{array}{l}\left(x·y\right)\succ \left(z\prec u\right)+\left(x\cdot z\right)\prec \left(y\diamond u\right)+\left(y\cdot z\right)\prec \left(x\diamond u\right)\\ =x\succ \left[y\succ \left(z\prec u\right)\right]+z\prec \left[y\diamond \left(x\diamond u\right)\right]+\left[y\cdot \left(x\cdot z\right)\right]\prec z,\end{array}$

其中 $\forall x,y,z,u\in A$ ， $x\cdot y=x\succ y+y\prec x$ ， $x\diamond y=x\succ y+x\prec y$ ， $x·y=x\cdot y+y\cdot x$ ，则称 $\left(A,\succ ,\prec \right)$ 为J-dendriform代数。

定理1.9 ( [5] ) $\left(J,\cdot \right)$ 是一个预约当代数，R是 $\left(J,\cdot \right)$ 的Rota-Baxter算子，在J上定义

$x\succ y=R\left(x\right)y,x\prec y=yR\left(x\right),$

其中 $\forall x,y\in J$ ，则 $\left(J,\succ ,\prec \right)$ 是J-dendriform代数。

3. 二维预约当代数上的算子

定理2.1 ( [4] ) $\left(J,\cdot \right)$ 是二维预约当代数， $e_1,e_2$ 是J的一组基，则 $\left(J,\cdot \right)$ 在同构意义下有以下几种(表1)。

Table 1. Classification of two-dimensional pre-Jordan algebra

表1. 二维预约当代数的分类

定理2.2令

$R_1=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ a& 0\end{array}\right),R_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ a& b\end{array}\right),R_3=\left(\begin{array}{cc}0& a\\ 0& 0\end{array}\right)\left(a\ne 0\right),$

$R_4=\left(\begin{array}{cc}b& a\\ -\frac{b^2}{a}& -b\end{array}\right)\left(a,b\ne 0\right),R_5=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ a& b\end{array}\right),R_6=\left(\begin{array}{cc}2b& 0\\ a& b\end{array}\right)\left(b\ne 0\right).$

设 $\left(J,\cdot \right)$ 是二维预约当代数， $e_1,e_2$ 是J的一组基，则J上的Rota-Baxter算子为：

1) 对于 $J_{1,1}$ 型的预约当代数，它的Rota-Baxter算子为O；

2) 对于 $J_{1,2}$ 型的预约当代数，它的Rota-Baxter算子为O；

3) 对于 $J_{2,1}$ 型的预约当代数，它的Rota-Baxter算子为R₁；

4) 对于 $J_{2,2}$ 型的预约当代数，它的Rota-Baxter算子为R₁；

5) 对于 $J_{3,1}$ 型的预约当代数，它的Rota-Baxter算子为R₂；

6) 对于 $J_{3,2}$ 型的预约当代数，它的Rota-Baxter算子为R₁；

7) 对于 $J_{4,1}$ 型的预约当代数，它的Rota-Baxter算子为R₁、R₃、R₄；

8) 对于 $J_{4,2}$ 型的预约当代数，它的Rota-Baxter算子为R₁、R₃、R₄；

9) 对于 $J_{4,3}$ 型的预约当代数，它的Rota-Baxter算子为R₁、R₃、R₄；

10) 对于 $J_{5,1}$ 型的预约当代数，它的Rota-Baxter算子在 $e_1,e_2$ 下的矩阵R₅、R₆；

11) 对于 $J_{6,1}$ 型的预约当代数，其上的任意线性变换都是它的Rota-Baxter算子。

证明：1) 设 $\left(J,\cdot \right)$ 是二维预约当代数，R是 $\left(J,\cdot \right)$ 上的Rota-Baxter算子，设R在 $e_1,e_2$ 下的矩阵为 ${\left(a_{ij}\right)}_{2\times 2}$ ，由于R满足(1.1)，则

$R\left(e_i\right)R\left(e_j\right)=R\left(R\left(e_i\right)e_j+e_{i}R\left(e_j\right)\right),i,j=1,2.$ (3.1)

对于 $J_{1,1}$ 型预约当代数，由(2.1)可得

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}^2=2a_{11}^2,\\ a_{21}^2=2a_{11}{a}_{21}\\ a_{11}{a}_{12}=a_{21}{a}_{12}+a_{12}{a}_{11}\\ a_{21}{a}_{22}=a_{21}{a}_{22}+a_{12}{a}_{21},\\ a_{12}{a}_{11}=a_{12}{a}_{11}+a_{21}{a}_{12},\\ a_{22}{a}_{21}=a_{12}{a}_{21}+a_{21}{a}_{22},\\ a_{12}^2=2a_{22}{a}_{12},\\ a_{22}^2=2a_{22}^2.\end{array}$ (3.2)

解方程可得 $a_{11}=a_{12}=a_{21}=a_{22}=0$ 。因此， $J_{1,1}$ 型预约当代数的Rota-Baxter算子为0。

2) 对于 $J_{1,2}$ 型预约当代数，由(2.1)可得

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}^2=2a_{11}^2,\\ a_{21}^2=2a_{11}{a}_{21},\\ a_{11}{a}_{12}=2a_{11}{a}_{12}+a_{21}{a}_{12}+a_{22}{a}_{12},\\ a_{11}{a}_{22}-a_{21}{a}_{12}+a_{21}{a}_{22}=a_{11}{a}_{22}+a_{21}{a}_{22}+a_{12}{a}_{21}+a_{22}^2,\\ a_{12}{a}_{11}=a_{12}{a}_{11}+a_{21}{a}_{12},\\ a_{22}{a}_{21}=a_{12}{a}_{21}+a_{21}{a}_{22},\\ a_{12}^2=2a_{22}{a}_{12},\\ a_{22}^2=2a_{22}^2.\end{array}$

解方程可得 $a_{11}=a_{12}=a_{21}=a_{22}=0$ 。因此， $J_{1,2}$ 型预约当代数的Rota-Baxter算子为0。

3) 对于 $J_{2,1}$ 型预约当代数，由(2.1)可得

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}^2=2a_{11}^2,\\ a_{21}^2=2a_{11}{a}_{21},\\ a_{11}{a}_{12}=2a_{11}{a}_{12}+a_{21}{a}_{12}+a_{22}{a}_{12},\\ a_{11}{a}_{22}-a_{21}{a}_{12}+a_{21}{a}_{22}=a_{11}{a}_{22}+a_{21}{a}_{22}+a_{12}{a}_{21}+a_{22}^2,\\ a_{12}{a}_{11}=a_{12}{a}_{11}+a_{21}{a}_{12},\\ a_{22}{a}_{21}=a_{12}{a}_{21}+a_{21}{a}_{22},\\ a_{12}^2=2a_{22}{a}_{12},\\ a_{22}^2=2a_{22}^2.\end{array}$

解方程可得 $a_{11}=a_{12}=a_{22}=0,a_{21}=a_{21}$ 。因此， $J_{2,1}$ 型预约当代数的Rota-Baxter算子为R₁。

4) 对于 $J_{2,2}$ 型预约当代数，由(2.1)可得

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}^2=2a_{11}^2,\\ 2a_{11}{a}_{21}=2a_{11}{a}_{21}+2a_{21}{a}_{22},\\ a_{11}{a}_{12}=3a_{11}{a}_{12}+2a_{22}{a}_{12},\\ 2a_{11}{a}_{22}=2a_{11}{a}_{22}+a_{12}{a}_{21}+2a_{22}^2,\\ a_{12}{a}_{11}=a_{12}{a}_{11},\\ 2a_{12}{a}_{21}=a_{12}{a}_{21},\\ a_{12}^2=2a_{12}^2,\\ 2a_{12}{a}_{22}=2a_{12}{a}_{22}.\end{array}$

解方程可得 $a_{11}=a_{12}=a_{22}=0,a_{21}=a_{21}$ 。因此， $J_{2,2}$ 型预约当代数的Rota-Baxter算子为R₁。

5) 对于 $J_{3,1}$ 型预约当代数，由(2.1)可得

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}^2=2a_{11}^2,\\ 2a_{11}{a}_{21}=0,\\ a_{11}{a}_{12}=a_{12}{a}_{11},\\ a_{12}{a}_{21}=0,\\ a_{12}{a}_{11}=a_{12}{a}_{11},\\ a_{12}{a}_{21}=0,\\ a_{12}^2=0.\end{array}$

解方程可得 $a_{11}=a_{12}=0,a_{21}=a_{21},a_{22}=a_{22}$ 。因此， $J_{3,1}$ 型预约当代数的Rota-Baxter算子为R₂。

6) 对于 $J_{3,2}$ 型预约当代数，由(2.1)可得

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}^2=2a_{11}^2,\\ 2a_{11}{a}_{21}=0,\\ a_{11}{a}_{12}=2a_{11}{a}_{12}+a_{22}{a}_{12},\\ a_{11}{a}_{22}-a_{21}{a}_{12}=a_{11}{a}_{22}+a_{12}{a}_{21}+a_{22}^2,\\ a_{12}{a}_{11}=-a_{22}{a}_{12},\\ a_{12}{a}_{21}-a_{22}{a}_{11}=a_{12}{a}_{21}-a_{22}^2-a_{11}{a}_{22},\\ a_{12}^2=0.\end{array}$

解方程可得 $a_{11}=a_{12}=a_{22}=0,a_{21}=a_{21}$ 。因此， $J_{3,2}$ 型预约当代数的Rota-Baxter算子为R₁。

7) 对于 $J_{4,1}$ 型预约当代数，由(2.1)可得

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}^2+a_{21}{a}_{12}=0,\\ a_{21}\left(a_{11}+a_{22}\right)=0,\\ a_{12}\left(a_{11}+a_{22}\right)=0,\\ a_{22}^2+a_{12}{a}_{21}=0.\end{array}$

分情况讨论：

① 若 $a_{12}=0$ ，则 $a_{11}=0,a_{22}=0,a_{12}=a_{12}$ ，此时 $J_{4,1}$ 的Rota-Baxter算子为R₁。

② 若 $a_{12}\ne 0$ ，则 $a_{11}=-a_{22}$ ，

i) 若 $a_{11}=-a_{22}=0$ ，则 $a_{21}=0$ ，此时 $J_{4,1}$ 的Rota-Baxter算子为R₃，

ii) 若 $a_{11}=-a_{22}\ne 0$ ，则 $a_{11}^2+a_{21}{a}_{12}=0,a_{22}^2+a_{12}{a}_{21}=0$ ，此时 $J_{4,1}$ 的Rota-Baxter算子为R₄。因此， $J_{4,1}$ 型预约当代数的Rota-Baxter算子为R₁、R₃、R₄。

8) 对于 $J_{4,2}$ 型预约当代数，证明方法与(7)相同，得到了 $J_{4,2}$ 型预约当代数的Rota-Baxter算子为R₁、R₃、R₄。

9) 对于 $J_{4,3}$ 型预约当代数，证明方法与(7)相同，得到了 $J_{4,3}$ 型预约当代数的Rota-Baxter算子为R₁、R₃、R₄。

10) 对于 $J_{5,1}$ 型的预约当代数，由(2.1)可得

$\{\begin{array}{l}{a}_{12}=0,\\ a_{11}\left(a_{11}-2a_{22}\right)=0,\\ a_{21}=a_{21}.\end{array}$

分情况讨论：

① 若 $a_{11}=0$ ，则 $a_{11}=a_{12}=0,a_{21}=a_{21},a_{22}=a_{22}$ ，此时 $J_{5,1}$ 的Rota-Baxter算子为R₅。

② 若 $a_{11}\ne 0$ ，则 $a_{12}=0,a_{11}=2a_{22},a_{21}=a_{21}$ ，此时 $J_{5,1}$ 的Rota-Baxter算子为R₆。

因此， $J_{5,1}$ 型预约当代数的Rota-Baxter算子为R₅、R₆。

11) 对于 $J_{6,1}$ 型的预约当代数， $J_{6,1}$ 上的任意线性变换都是它的Rota-Baxter算子。

4. 特殊四维预约当代数上的JP-方程的解

定理3.1设 $\left(J,\cdot \right)$ 是二维预约当代数，则由定理1.7对应的四维预约当代数 $J{⋉}_{L^{*}+R^{*},-R^{*}}{J}^{*}$ 的特征矩阵为：

1) $J_{1,1}{⋉}_{L^{*}+R^{*},-R^{*}}{J}_{1,1}^{*}$ 的特征矩阵为

$\left(\begin{array}{cccc}{e}_1& 0& 2e_1^{*}& 0\\ 0& e_2& 0& 2e_2^{*}\\ -e_1^{*}& 0& 0& 0\\ 0& -e_2^{*}& 0& 0\end{array}\right).$

2) $J_{1,2}{⋉}_{L^{*}+R^{*},-R^{*}}{J}_{1,2}^{*}$ 的特征矩阵为

$\left(\begin{array}{cccc}{e}_1& e_2& 2e_1^{*}& 0\\ -e_2& e_2& 0& 2e_2^{*}\\ -e_1^{*}& 0& 0& 0\\ e_2^{*}& -e_1^{*}-e_2^{*}& 0& 0\end{array}\right).$

3) $J_{2,1}{⋉}_{L^{*}+R^{*},-R^{*}}{J}_{2,1}^{*}$ 的特征矩阵为

$\left(\begin{array}{cccc}{e}_1& e_2& 2e_1^{*}& 2e_2^{*}\\ e_2& 0& 0& 2e_1^{*}\\ -e_1^{*}& 0& 0& 0\\ -e_2^{*}& -e_1^{*}& 0& 0\end{array}\right).$

4) $J_{2,2}{⋉}_{L^{*}+R^{*},-R^{*}}{J}_{2,2}^{*}$ 的特征矩阵为

$\left(\begin{array}{cccc}{e}_1& 2e_2& 2e_1^{*}& 2e_2^{*}\\ 0& 0& 0& 2e_1^{*}\\ -e_1^{*}& 0& 0& 0\\ 0& -2e_1^{*}& 0& 0\end{array}\right).$

5) $J_{3,1}{⋉}_{L^{*}+R^{*},-R^{*}}{J}_{3,1}^{*}$ 的特征矩阵为

$\left(\begin{array}{cccc}{e}_1& 0& 2e_1^{*}& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ -e_1^{*}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$

6) $J_{3,2}{⋉}_{L^{*}+R^{*},-R^{*}}{J}_{3,2}^{*}$ 的特征矩阵为

$\left(\begin{array}{cccc}{e}_1& e_2& 2e_1^{*}& 0\\ -e_2& 0& 0& 0\\ -e_1^{*}& 0& 0& 0\\ e_2^{*}& -e_1^{*}& 0& 0\end{array}\right).$

7) $J_{4,1}{⋉}_{L^{*}+R^{*},-R^{*}}{J}_{4,1}^{*}$ 的特征矩阵为

$\left(\begin{array}{cccc}{e}_1& 0& 2e_1^{*}& e_2^{*}\\ e_2& 0& 0& e_1^{*}\\ -e_1^{*}& 0& 0& 0\\ -e_2^{*}& 0& 0& 0\end{array}\right).$

8) $J_{4,2}{⋉}_{L^{*}+R^{*},-R^{*}}{J}_{4,2}^{*}$ 的特征矩阵为

$\left(\begin{array}{cccc}{e}_1& e_2& 2e_1^{*}& e_2^{*}\\ 0& 0& 0& e_1^{*}\\ -e_1^{*}& 0& 0& 0\\ 0& -e_1^{*}& 0& 0\end{array}\right).$

9) $J_{4,3}{⋉}_{L^{*}+R^{*},-R^{*}}{J}_{4,3}^{*}$ 的特征矩阵为

$\left(\begin{array}{cccc}{e}_1& 2e_2& 2e_1^{*}& e_2^{*}\\ -e_2& 0& 0& e_1^{*}\\ -e_1^{*}& 0& 0& 0\\ e_2^{*}& -2e_1^{*}& 0& 0\end{array}\right).$

10) $J_{5,1}{⋉}_{L^{*}+R^{*},-R^{*}}{J}_{5,1}^{*}$ 的特征矩阵为

$\left(\begin{array}{cccc}{e}_2& 0& 0& 2e_1^{*}\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ -e_1^{*}& 0& 0& 0\end{array}\right).$

11) $J_{6,1}{⋉}_{L^{*}+R^{*},-R^{*}}{J}_{6,1}^{*}$ 的特征矩阵为

$\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$

证明：对于二维预约当代数 $J_{1,1}$ ，设 $e_1,e_2$ 是 $J_{1,1}$ 的一组基， $e_1^{*},e_2^{*}$ 是 $e_1,e_2$ 的对偶基。根据定理1.7，在

$J_{1,1}{⋉}_{L^{*}+R^{*},-R^{*}}{J}_{1,1}^{*}$ 上

$e_1\ast e_1=e_1,e_1\ast e_2=0,e_2\ast e_1=e_2{e}_1=0,e_2\ast e_2=e_2,e_i^{*}\ast e_j^{*}=0,\left(i,j=1,2\right).$

$\begin{array}{c}\left\{\left(\left(L^{*}+R^{*}\right)e_1\right)e_1^{*}\right\}{e}_1=\langle L^{*}\left(e_1\right)e_1^{*},e_1\rangle +\langle R^{*}\left(e_1\right)e_1^{*},e_1\rangle =\langle e_1^{*},L\left(e_1\right)e_1\rangle +\langle e_1^{*},R\left(e_1\right)e_1\rangle \\ =\langle e_1^{*},e_1{e}_1\rangle +\langle e_1^{*},e_1{e}_1\rangle =\langle e_1^{*},e_1\rangle +\langle e_1^{*},e_1\rangle =2,\end{array}$

$\begin{array}{c}\left\{\left(\left(L^{*}+R^{*}\right)e_1\right)e_1^{*}\right\}{e}_2=\langle L^{*}\left(e_1\right)e_1^{*},e_2\rangle +\langle R^{*}\left(e_1\right)e_1^{*},e_2\rangle =\langle e_1^{*},L\left(e_1\right)e_2\rangle +\langle e_1^{*},R\left(e_1\right)e_2\rangle \\ =\langle e_1^{*},e_1{e}_2\rangle +\langle e_1^{*},e_2{e}_1\rangle =0,\end{array}$

则 $e_1\ast e_1^{*}=e_1\ast e_1^{*}=\left(\left(L^{*}+R^{*}\right)e_1\right)e_1^{*}=2e_1^{*}$ 。同理可得 $e_1\ast e_2^{*}=0,e_2\ast e_1^{*}=0,e_2\ast e_2^{*}=2e_2^{*}$ 。

由于

$\left(-R^{*}\left(e_1\right)e_1^{*}\right)\left(e_1\right)=\langle -R^{*}\left(e_1\right)e_1^{*},e_1\rangle =-\langle e_1^{*},R\left(e_1\right)e_1\rangle =-\langle e_1^{*},e_1{e}_1\rangle =-\langle e_1^{*},e_1\rangle =-1,$

$\left(-R^{*}\left(e_1\right)e_1^{*}\right)\left(e_2\right)=\langle -R^{*}\left(e_1\right)e_1^{*},e_2\rangle =-\langle e_1^{*},R\left(e_1\right)e_2\rangle =-\langle e_1^{*},e_2{e}_1\rangle =0,$

则 $e_1^{*}\ast e_1=-R^{*}\left(e_1\right)e_1^{*}=-e_1^{*}$ 。同理可得 $e_1^{*}\ast e_2=0,e_2^{*}\ast e_1=0,e_2^{*}\ast e_2=-e_2^{*}$ 。

其余情况与(1)的证明方法类似。

定理3.2 设 $\left(J,\cdot \right)$ 是二维预约当代数，则由定理1.7构造的预约当代数 $J{⋉}_{L^{*}+R^{*},-R^{*}}{J}^{*}$ 上JP-方程的解为：

1) 令 $r_1=a{e}_2\otimes e_1^{*}+a{e}_1^{*}\otimes e_2$ ，则 $r_1$ 是 $J_{2,1}{⋉}_{L^{*}+R^{*},-R^{*}}{J}_{2,1}^{*}$ 上的JP-方程的解；

2) 令 $r_2=a{e}_2\otimes e_1^{*}+a{e}_1^{*}\otimes e_2$ ，则 $r_2$ 是 $J_{2,2}{⋉}_{L^{*}+R^{*},-R^{*}}{J}_{2,2}^{*}$ 上的JP-方程的解；

3) 令 $r_3=a{e}_2\otimes e_1^{*}+b{e}_2\otimes e_2^{*}+a{e}_1^{*}\otimes e_2+b{e}_2^{*}\otimes e_2$ ，则 $r_3$ 是 $J_{3,1}{⋉}_{L^{*}+R^{*},-R^{*}}{J}_{3,1}^{*}$ 上的JP-方程的解；

4) 令 $r_4=a{e}_2\otimes e_1^{*}+a{e}_1^{*}\otimes e_2$ ，则 $r_4$ 是 $J_{3,2}{⋉}_{L^{*}+R^{*},-R^{*}}{J}_{3,2}^{*}$ 上的JP-方程的解；

5) 令

$r_5=a{e}_2\otimes e_1^{*}+a{e}_1^{*}\otimes e_2,r_6=a{e}_1\otimes e_2^{*}+a{e}_2^{*}\otimes e_1,$

$r_7=b{e}_1\otimes e_1^{*}-\frac{b^2}{a}{e}_2\otimes e_1^{*}+a{e}_1\otimes e_2^{*}-b{e}_2\otimes e_2^{*}+b{e}_1^{*}\otimes e_1-\frac{b^2}{a}{e}_1^{*}\otimes e_2+a{e}_2^{*}\otimes e_1-b{e}_2^{*}\otimes e_2,$

则 $r_5,r_6,r_7$ 是 $J_{4,1}{⋉}_{L^{*}+R^{*},-R^{*}}{J}_{4,1}^{*}$ 上的JP-方程的解；

6) 令

$r_8=a{e}_2\otimes e_1^{*}+a{e}_1^{*}\otimes e_2,r_9=a{e}_1\otimes e_2^{*}+a{e}_2^{*}\otimes e_1,$

$r_{10}=b{e}_1\otimes e_1^{*}-\frac{b^2}{a}{e}_2\otimes e_1^{*}+a{e}_1\otimes e_2^{*}-b{e}_2\otimes e_2^{*}+b{e}_1^{*}\otimes e_1-\frac{b^2}{a}{e}_1^{*}\otimes e_2+a{e}_2^{*}\otimes e_1-b{e}_2^{*}\otimes e_2,$

则 $r_8,r_9,r_{10}$ 是 $J_{4,2}{⋉}_{L^{*}+R^{*},-R^{*}}{J}_{4,2}^{*}$ 上的JP-方程的解；

7) 令

$r_{11}=a{e}_2\otimes e_1^{*}+a{e}_1^{*}\otimes e_2,r_{12}=a{e}_1\otimes e_2^{*}+a{e}_2^{*}\otimes e_1,$

$r_{13}=b{e}_1\otimes e_1^{*}-\frac{b^2}{a}{e}_2\otimes e_1^{*}+a{e}_1\otimes e_2^{*}-b{e}_2\otimes e_2^{*}+b{e}_1^{*}\otimes e_1-\frac{b^2}{a}{e}_1^{*}\otimes e_2+a{e}_2^{*}\otimes e_1-b{e}_2^{*}\otimes e_2,$

则 $r_{11},r_{12},r_{13}$ 是 $J_{4,3}{⋉}_{L^{*}+R^{*},-R^{*}}{J}_{4,3}^{*}$ 上的JP-方程的解；

8) 令 $r_{14}=2b{e}_1\otimes e_1^{*}+a{e}_2\otimes e_1^{*}+b{e}_2\otimes e_2^{*}+2b{e}_1^{*}\otimes e_1+a{e}_1^{*}\otimes e_2+b{e}_2^{*}\otimes e_2$ ，则是 $J_{5,1}{⋉}_{L^{*}+R^{*},-R^{*}}{J}_{5,1}^{*}$ 上的

JP-方程的解。

证明：对于 $J_{2,1}$ 型预约当代数，由定理2.2知R₁是 $J_{2,1}$ 的Rota-Baxter算子，因此

$R\left(e_1\right)=a{e}_2,R{e}_2=0.$

由定理1.7可知， $r_3=T+\sigma \left(T\right)=a{e}_2\otimes e_1^{*}+a{e}_1^{*}\otimes e_2$ 是 $J_{2,1}{⋉}_{L^{*}+R^{*},-R^{*}}{J}_{2,1}^{*}$ 上的JP-方程的解。

其余情况与(1)的证明方法类似。

5. J-Dendriform代数的构造

定理4.1设 $\left(J,\cdot \right)$ 是二维预约当代数， $e_1,e_2$ 是J的一组基，则由定理1.9构造的J-dendriform代数为：

1) $J_{2,1}$ 上由R₁构造的J-dendriform代数为 $e_1\succ e_1=a{e}_2$ ， $e_1\prec e_1=a{e}_2$ ，其余全部为0；

2) $J_{2,2}$ 上由R₁构造的J-dendriform代数为 $e_1\prec e_1=2a{e}_2$ ，其余全部为0；

3) $J_{3,1}$ 上由R₂由构造的J-dendriform代数为 $e_i\succ e_j=0$ ， $e_i\prec e_j=0\left(i,j=1,2\right)$ ；

4) $J_{3,2}$ 上由R₁构造的J-dendriform代数为 $e_1\succ e_1=-a{e}_2$ ， $e_1\prec e_1=a{e}_2$ ，其余全部为0；

5) $J_{4,1}$ 上由R₁构造的J-dendriform代数为 $e_1\prec e_1=a{e}_2$ ，其余全部为0；由R₃构造的J-dendriform代数为 $e_2\succ e_1=a{e}_1$ ， $e_2\prec e_1=a{e}_1$ ， $e_2\prec e_2=a{e}_2$ ，其余全部为0；由R₄构造的J-dendriform代数为

$e_1\succ e_1=b{e}_1-\frac{b^2}{a}{e}_2$ ， $e_2\succ e_1=a{e}_1-b{e}^2$ ， $e_1\prec e_1=b{e}_1$ ， $e_1\prec e_2=b{e}_2$ ， $e_2\prec e_1=a{e}_1$ ， $e_2\prec e_2=a{e}_2$ ，其余全

部为0；

6) $J_{4,2}$ 上由R₁构造的J-dendriform代数为 $e_1\prec e_1=a{e}_2$ ，其余全部为0；由R₃构造的J-dendriform代数为 $e_2\succ e_1=a{e}_1$ ， $e_2\succ e_2=a{e}_2$ ， $e_2\prec e_1=a{e}_1$ ，其余全部为0；由R₄构造的J-dendriform代数为

$e_1\succ e_1=b{e}_1$ ， $e_2\succ e_1=a{e}_1$ ， $e_2\succ e_2=a{e}_2$ ， $e_1\prec e_1=b{e}_1-\frac{b^2}{a}{e}_2$ ， $e_1\prec e_2=b{e}_2$ ， $e_2\prec e_1=a{e}_1-b{e}_2$ ，其余全

部为0；

7) $J_{4,3}$ 上由R₁构造的J-dendriform代数为 $e_1\succ e_1=-a{e}_2$ ， $e_1\prec e_1=2a{e}_2$ ，其余全部为0；由R₃构造的J-dendriform代数为 $e_2\succ e_1=a{e}_1$ ， $e_2\succ e_2=2a{e}_2$ ， $e_2\prec e_1=a{e}_1$ ， $e_2\prec e_2=-a{e}_2$ ，其余全部为0；由R₄

构造的J-dendriform代数为 $e_1\succ e_1=b{e}_1+\frac{b^2}{a}{e}_2$ ， $e_1\succ e_2=2b{e}_2$ ， $e_2\succ e_1=a{e}_1+b{e}_2$ ， $e_2\succ e_2=2a{e}_2$ ， $e_1\prec e_1=b{e}_1-\frac{2b^2}{a}{e}_2$ ， $e_1\prec e_2=-b{e}_2$ ， $e_2\prec e_1=a{e}_1-2b{e}_2$ ， $e_2\prec e_2=-a{e}_2$ ；

8) $J_{5,1}$ 上由R₅构造的J-dendriform代数为 $e_i\succ e_j=0$ ， $e_i\prec e_j=0\left(i,j=1,2\right)$ ，由R₆构造的J-dendriform代数为 $e_1\succ e_1=2b{e}_2$ ， $e_1\prec e_1=2b{e}_2$ ，其余全部为0。

证明：根据定理1.9，对于 $J_{2,1}$ 型二维预约当代数，它的Rota-Baxter算子为R₁，则 $R_1\left(e_1\right)=a{e}_2$ ， $R_1\left(e_2\right)=0$ 。故

$e_1\succ e_1=a{e}_2,e_1\succ e_2=0,e_2\succ e_1=0,e_2\succ e_2=0,$

$e_1\prec e_1=a{e}_2,e_1\prec e_2=0,e_2\prec e_1=0,e_2\prec e_2=0.$

其余情况与(1)的证明方法类似。

6. 结论

本文主要研究了二维预约当代数的Rota-Baxter算子的全部分类，并得到了特殊的四维预约当代数上JP-方程的解，并构造了一些特殊的J-dendriform代数。此外，还可以继续研究三维预约当代数上的Rota-Baxter算子，或者考虑其它形式的低维预约当代数上的JP-方程的解，这些问题都可以继续深入研究。