一类静电磁SchrÖdinger-Maxwell系统涡旋基态解的存在性

Existence of Vortex Ground State Solutions for a Class of Electromagnetostatic SchrOÖdinger-Maxwell System

摘要: 本文研究了一种新的静电磁Schrödinger-Maxwell系统，利用Nehari流形方法证明了涡旋柱对称基态解的存在性。

Abstract: In this paper, we study a new type of electromagnetostatic Schrödinger-Maxwell system, and the existence of vortex ground state solutions possessing cylindrically symmetry is established by using the Nehari manifold approach.

1. 引言

本文研究如下静电磁Schrödinger-Maxwell系统

(1)

涡旋基态解的存在性，其中 $3\le p<5,u:{ℝ}^3\to ℝ,\varphi :{ℝ}^3\to ℝ$ 和 $A:{ℝ}^3\to {ℝ}^3$ 。

在1998年，Benci和Fortunato在 [6] 中介绍了如下系统

$\{\begin{array}{l}-\Delta u+\left(\varphi +S_t+{\left|\nabla S-A\right|}^2\right)u=f\left(u\right),x\in {ℝ}^3,\hfill \\ \frac{\partial }{\partial t}{u}^2+2\text{div}\left[\left(\nabla S-A\right)u^2\right]=0,x\in {ℝ}^3,\hfill \\ -\text{div}\left(\nabla \varphi +\frac{\partial A}{\partial t}\right)=u^2,x\in {ℝ}^3,\hfill \\ \nabla \times \nabla \times A+\frac{\partial }{\partial t}\left(\nabla \varphi +\frac{\partial A}{\partial t}\right)=\left(\nabla S-A\right)u^2,x\in {ℝ}^3.\hfill \end{array}$ (2)

在 [1] [2] 和 [3] 中，选取

$u=u\left(x\right),S=\omega t,A=0,\varphi =\varphi \left(x\right),\omega \in ℝ,$

系统(2)退化为如下Schrödinger-Poisson系统

(3)

在过去的几十年里，许多学者对系统(3)或其更一般形式的基态、束缚态、变号解的存在性和多重性进行了大量的研究，在这里我们就不再一一列举。感兴趣的读者可以参考文献 [4] - [10] 及它们的参考文献。

在2009年，Benci和Fortunato在 [7] 中研究如下的Klein-Gordon-Maxwell系统

$\{\begin{array}{l}{\left({\partial }_t+i\varphi \right)}^2\psi -{\left(\nabla -iA\right)}^2\psi +W^{\prime }\left(\left|\psi \right|\right)\frac{\psi }{\left|\psi \right|}=0,\hfill \\ \nabla \cdot \left({\partial }_{t}A+\nabla \varphi \right)=\left(\text{Im}\frac{{\partial }_t\psi }{\psi }+\varphi \right){\left|\psi \right|}^2,\hfill \\ \nabla \times \left(\nabla \times A\right)+{\partial }_t\left({\partial }_{t}A+\nabla \varphi \right)=\left(\text{Im}\frac{\nabla \psi }{\psi }-A\right){\left|\psi \right|}^2.\hfill \end{array}$ (4)

系统(4)可能有三种类型解：静电解： $A=0,\varphi \ne 0$ ；静磁解： $A\ne 0,\varphi =0$ 和静电磁解： $A\ne 0,\varphi =0$ 。选取

$\psi \left(t,x\right)=u\left(x\right){\text{e}}^{i\left(k\theta \left(x\right)-\omega t\right)},A=A\left(x\right),\varphi =\varphi \left(x\right),\omega \in ℝ,k\in \mathbb{Z}\backslash \left\{0\right\},$

其中

$\Sigma =\left\{\left(x_1,x_2,x_3\right)\in {ℝ}^3:x_1=x_2=0\right\},$

$\theta :{ℝ}^3\backslash \Sigma \to ℝ/\left(2\pi \mathbb{Z}\right),\theta \left(x_1,x_2,x_3\right)=\text{Im}\log \left(x_1+i{x}_2\right).$ (5)

易得， $\nabla \theta \left(x\right)=\left(\frac{x_2}{r^2},-\frac{x_1}{r^2},0\right)$ ， $r^2=x_1^2+x_2^2$ 。

于是系统(4)退化为如下系统

(6)

在 [11] 中Benci和Fortunato利用山路引理证明了系统(6)解的存在性。

在2017年，Avenia等人在 [12] 中考虑了如下的静电磁Klein-Gordon-Maxwell-Proca系统

(7)

且利用Nehari流形方法证明了系统(7)圆柱对称基态解的存在性。

就目前现有的文献来看，众多学者都是在静电情况下( $A=0,\varphi \ne 0$ )研究的Schrödinger-Maxwell系统，也就是我们常说的Schrödinger-Poisson系统，关于Schrödinger-Maxwell系统的静电磁解的研究未见任何研究结果。

所以受文献 [11] 、 [13] 和 [14] 的启发，本文的主要目的是研究系统(2)涡旋静电磁解的存在性，也就是形如

$u=u\left(x\right),S=l\theta \left(x\right)+\omega t,A=A\left(x\right),\varphi =\varphi \left(x\right),$

的解，其中 $\omega \in ℝ,l\in \mathbb{Z}\backslash \left\{0\right\}$ 并且 $\theta$ 如(5)中所定义，那么系统(2)退化为如下系统

(8)

注意到， $\text{div}\left[\left(l\nabla \theta -A\right)u^2\right]=\text{div}\left[\nabla \times \left(\nabla \times A\right)\right]=0$ ，且选取 $f\left(u\right)={\left|u\right|}^{p-1}u$ ，则系统(8)就变成了系统(1)。

问题(1)所对应的能量泛函 $I:{\hat{H}}^1\times {\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right)\times {\left({\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right)\right)}^3\to ℝ$ 定义为

$I\left(u,\varphi ,A\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left({\left|\nabla u\right|}^2+\omega {\left|u\right|}^2+\varphi u^2+{\left|l\nabla \theta -A\right|}^2{u}^2+{\left|\nabla \times A\right|}^2\right)\text{d}x}-\frac{1}{4}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla \varphi \right|}^2\text{d}x}-\frac{1}{p+1}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{p+1}\text{d}x}$ . (9)

由于系统(1)中的旋度算子具有无限维的核空间，所以问题(1)的主要困难在于能量泛函I是强不定的。为了解决这个困难，我们在第二节中引入空间 $\mathcal{A}$ ，使得对于任意的 $A\in \mathcal{A}$ ，有

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla \times A\right|}^2\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla A\right|}^2\text{d}x}$ .

本文主要结果陈述如下：

定理1.1 假设 $\omega >0$ 并且 $3\le p<5$ ，那么系统(1)存在涡旋基态解 $\left(u,\varphi ,A\right)\in {\hat{H}}_{♯}^1\times {\left({\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right)\right)}_{♯}\times \mathcal{A}$ ，其满足：1) $u=u\left(r,x_3\right)$ 和 $\varphi =\varphi \left(r,x_3\right)$ ；

2) $A=b\left(r,x_3\right)\nabla \theta =b\left(r,x_3\right)\left(\frac{x_2}{r^2},\frac{-x_1}{r^2},0\right)$ 。

本文结构如下。在第2节中，我们给出了一些引理并通过约化方法将(9)化为单变量泛函。在第3节中，我们利用Nehari流形方法来证明系统(1)基态解的存在性。

2. 准备工作

在本节中，我们将使用以下符号：

$C_i\left(i=1,2,\cdots \right)$ 表示正数；

${\Vert \cdot \Vert }_p$ 表示勒贝格空间 $L^p\left({ℝ}^3\right)$ 的范数。

2.1. 工作空间

定义Sobolev空间

$H^1\left({ℝ}^3\right)=\left\{u:{ℝ}^3\to ℝ:u\in L^2\left({ℝ}^3\right),\nabla u\in L^2\left({ℝ}^3\right)\right\}$ ，

其对应范数为

${\Vert u\Vert }_{H^1\left({ℝ}^3\right)}={\left({\Vert u\Vert }_2^2+{\Vert \nabla u\Vert }_2^2\right)}^{\frac{1}{2}}$ .

空间 ${\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right)$ 是 $C_0^{\infty }\left({ℝ}^3\right)$ 的完备，其对应范数为

${\Vert u\Vert }_{{\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right)}={\left({\Vert \nabla u\Vert }_2^2\right)}^{\frac{1}{2}}$ .

空间 ${\hat{H}}^1$ 是 $C_0^{\infty }\left({ℝ}^3\backslash \Sigma \right)$ 的完备，其对应范数为

${\Vert u\Vert }_{{\hat{H}}^1}={\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2}+\omega {\left|u\right|}^2+l^2\frac{u^2}{r^2}\text{d}x\right)}^{\frac{1}{2}},r=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ ，

其中 $x=\left(x_1,x_2,x_3\right)\in {ℝ}^3$ 。事实上， ${\hat{H}}^1\subset H^1\left({ℝ}^3\right)$ ，并且 ${\hat{H}}^1\cap C_0^{\infty }\left({ℝ}^3\right)$ 在 ${\hat{H}}^1$ 中稠密。

2.2. 准备性引理

引理2.1 ( [2] 命题3.1)固定 $u\in {\hat{H}}^1$ ， $-\Delta \varphi =u^2$ 存在唯一解 ${\varphi }_u\in {\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right)$ 。

引理2.2 映射 $\Phi :u\in {\hat{H}}^1\mapsto {\varphi }_u\in {\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right)$ 是 $C^1$ 的并且对于任意的 $v\in {\hat{H}}^1$ ，有

${\Phi }^{\prime }\left(u\right)\left[v\right]=-2{\Delta }^{-1}\left[uv\right]$ (10)

证明：类似于文献 [15] 中命题2.1的证明，定义映射

$T:{\hat{H}}^1\times {\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right)\to {\mathcal{D}}^{1,2}(\; ℝ\; 3\; )$

满足 $T\left(u,\varphi \right)={\Delta }^{-1}\left[u^2\right]+\varphi$ 。经计算，易知

$\begin{array}{lll}{\partial }_{u}T\left(u,\varphi \right):\hfill & {\hat{H}}^1\to {\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right),\hfill & v\mapsto 2{\Delta }^{-1}\left[uv\right],\hfill \\ {\partial }_{\varphi }T\left(u,\varphi \right):\hfill & {\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right)\to {\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right),\hfill & w\mapsto w.\hfill \end{array}$

对于所有的 $\left(u,\varphi \right)\in {\hat{H}}^1\times {\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right)$ ， ${\partial }_{\varphi }T\left(u,\varphi \right)$ 是可逆的且 ${\left({\partial }_{\varphi }T\left(u,\varphi \right)\right)}^{-1}=I$ 。又由隐函数定理可知，对任意的 $u\in {\hat{H}}^1$ ，存在唯一解 ${\varphi }_u\in {\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right)$ ，使得

$T\left(u,{\varphi }_u\right)=0$ ， $\Phi \in C^1\left({\hat{H}}^1,{\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right)\right)$ ， ${\Phi }^{\prime }\left(u\right)\left[v\right]=-2{\Delta }^{-1}\left[uv\right]$ .

引理2.3 假设 $u\in H^1\left({ℝ}^3\right)$ ，则

， (11)

${\varphi }_u\ge 0$ ， (12)

并且存在 $C>0$ 使得

${\Vert \nabla {\varphi }_u\Vert }_2^2\le C{\Vert u\Vert }_{\frac{12}{5}}^4$ . (13)

此外， ${\psi }_u=\frac{{\Phi }^{\prime }\left(u\right)\left[u\right]}{2}$ 满足

$-\Delta {\psi }_u=u^2$ ， (14)

， (15)

$0\le {\psi }_u={\varphi }_u$ . (16)

证明：类似于 [12] 中引理2.1和 [16] 的引理2.2的证明，可证得引理2.3。

根据引理2.1和引理2.3，我们可考虑约化泛函

，(17)

其在 ${\hat{H}}^1\times {\left({\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right)\right)}^3$ 是 $C^1$ 的，并且若 $\left(u,A\right)$ 是J的临界点，那么 $\left(u,{\varphi }_u,A\right)$ 是I的临界点。

定义

${\hat{H}}_{♯}^1=\left\{u\in {\hat{H}}^1\left({ℝ}^3\right):u\left(x\right)=u\left(r,x_3\right)\right\}$ ，

其中 $r=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ ， ${\hat{H}}_{♯}^1$ 的范数与 ${\hat{H}}^1\left({ℝ}^3\right)$ 的范数等价。类似地，定义空间 ${\left({\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right)\right)}_{♯}$ 。

注意到，若 $u\in {\hat{H}}_{♯}^1$ ，则 ${\varphi }_u\in {\left({\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right)\right)}_{♯}$ 。令

${\mathcal{A}}_0^{\infty }=\left\{B\in C_0^{\infty }\left({ℝ}^3\backslash \Sigma ,{ℝ}^3\right)|B=b\left(r,x_3\right)\nabla \theta ,b\in C_0^{\infty }\left({ℝ}^3\backslash \Sigma ,ℝ\right)\right\}$

并且定义 $\mathcal{A}$ 是 ${\mathcal{A}}_0^{\infty }$ 的完备，其范数为 ${\left({\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right)\right)}^3$ 的范数，显然 $\mathcal{A}\subset {\left({\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right)\right)}^3$ 。

引理2.4 ( [13] 引理15)对任意的 $A\in \mathcal{A}$ ，有 $\text{div}A=\text{0},{\Vert \nabla \times A\Vert }_{\text{2}}={\Vert \nabla A\Vert }_{\text{2}}$ 和 $\nabla \times \nabla \times A=-\Delta A$ 。

因此，系统(1)中的最后一个方程可退化为

$-\Delta A=\left(l\nabla \theta -A\right)u^2$ . (18)

定义

$V={\hat{H}}_{♯}^1\times \mathcal{A}$ .

引理2.5 假设 $\left(u,A\right)\in V$ ，若对任意的 $v\in {\hat{H}}_{♯}^1$ 有 ${\partial }_{u}J\left(u,A\right)\left[v\right]=0$ ，则 ${\partial }_{u}J\left(u,A\right)=0$ 。若对任意的 $B\in \mathcal{A}$ 有 ${\partial }_{A}J\left(u,A\right)\left[B\right]=0$ ，则 ${\partial }_{A}J\left(u,A\right)=0$ 。

证明：类似于 [11] 中定理16的证明，若对任意的 $v\in {\hat{H}}_{♯}^1$ 有 ${\partial }_{u}J\left(u,A\right)\left[v\right]=0$ ，我们令

$\eta =-\Delta u+\left(\omega +\varphi \right)u+{\left|l\nabla \theta -A\right|}^{2}u-{\left|u\right|}^{p-1}u-{\left|u\right|}^{4}u$ .

选取任意的 $v\in {\hat{H}}^1$ ， $v=v_1+v_2$ ，其中 $v_1\in {\hat{H}}_{♯}^1$ 和 $v_2\in {\left({\hat{H}}_{♯}^1\right)}^{\perp }$ ，则

${\partial }_{u}J\left(u,A\right)\left[v\right]=\langle \eta ,v\rangle ={\partial }_{u}J\left(u,A\right)\left[v_1\right]+\langle \eta ,v_2\rangle =\langle \eta ,v_2\rangle$ .

因为 $u,{\varphi }_u,{\left|l\nabla \theta -A\right|}^2$ 和 ${\left|u\right|}^{p-1}u$ 是圆柱对称的，由稠密理论可知 $\eta \in {\left({\hat{H}}_{♯}^1\right)}^{\prime }$ ，故 ${\partial }_{u}J\left(u,A\right)=0$ 。

同理，假设对任意的 $B\in \mathcal{A}$ 有 ${\partial }_{A}J\left(u,A\right)\left[B\right]=0$ ，且令

$\xi =-\Delta A-\left(l\nabla \theta -A\right)u^2$ .

选取任意的 $B\in {\left({\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right)\right)}^3$ ， $B=B_1+B_2$ ，其中 $B_1\in \mathcal{A}$ 和 $B_2\in {\mathcal{A}}^{\perp }$ ，则

${\partial }_{A}J\left(u,A\right)\left[B\right]=\langle \xi ,B\rangle ={\partial }_{u}J\left(u,A\right)\left[B_1\right]+\langle \xi ,B_2\rangle =\langle \xi ,B_2\rangle$ .

由 [11] 中引理12知 $\xi \in {\mathcal{A}}^{\prime }$ ，故 ${\partial }_{A}J\left(u,A\right)=0$ 。

引理2.6 若 $u\in {\hat{H}}_{♯}^1$ ，那么方程(18)存在唯一解 $A_u\in \mathcal{A}$ 。

证明：固定 $u\in {\hat{H}}_{♯}^1$ ，考虑在 $\mathcal{A}\times \mathcal{A}$ 上的双线性映射：

.

显然有

.

根据Hölder不等式，有

.

此外，根据Sobolev嵌入定理，可得

因此，线性映射是连续的。再因Lax-Milgram定理可知，存在唯一的 $A_u\in \mathcal{A}$ ，满足

.

引理2.7 假设 $u\in {\hat{H}}_{♯}^1$ ，则 $A_u$ 满足

， (19)

， (20)

. (21)

证明：若 $u\in {\hat{H}}_{♯}^1$ ，在系统(1)的最后一个方程左右同时乘 $A_u$ 并在 ${ℝ}^3$ 上积分，我们很容易得到(19)。接下来，通过直接计算，可得

这蕴含了(20)和(21)成立。

引理2.8映射 $A:u\in {\hat{H}}_{♯}^1\mapsto A_u\in \mathcal{A}$ 是 $C^1$ 的且对于任意的 $v\in {\hat{H}}^1$ ，有

$A^{\prime }\left(u\right)\left[v\right]=-2{\left(\Delta -u^2\right)}^{-1}\left[\left(l\nabla \theta -A_u\right)uv\right]$ .

此外， ${\Psi }_u=\frac{A^{\prime }\left(u\right)\left[u\right]}{2}$ 满足

$-\Delta {\Psi }_u=\left(l\nabla \theta -A_u-{\Psi }_u\right)u^2$ ， (22)

， (23)

. (24)

证明：定义映射

$\mathcal{T}:{\hat{H}}_{♯}^1\times \mathcal{A}\to \mathcal{A}$ ，

满足 $\mathcal{T}\left(u,A\right)={\Delta }^{-1}\left[\left(l\nabla \theta -A\right)u^2\right]+A$ 。经计算，有

$\begin{array}{lll}{\partial }_u\mathcal{T}\left(u,A\right):\hfill & {\hat{H}}_{♯}^1\to \mathcal{A},\hfill & v\mapsto 2{\Delta }^{-1}\left[\left(l\nabla \theta -A\right)uv\right],\hfill \\ {\partial }_A\mathcal{T}\left(u,A\right):\hfill & \mathcal{A}\to \mathcal{A},\hfill & V\mapsto -{\Delta }^{-1}\left[V{u}^2\right]+V.\hfill \end{array}$

易知对于所有的 $\left(u,A\right)\in {\hat{H}}_{♯}^1\times \mathcal{A}$ ， ${\partial }_A\mathcal{T}\left(u,A\right)$ 是可逆的并且 ${\left({\partial }_A\mathcal{T}\left(u,A\right)\right)}^{-1}={\left(\Delta -u^2\right)}^{-1}\circ \Delta$ 。又由隐函数定理可知，对任意的 $u\in {\hat{H}}^1$ ，存在唯一的 $A_u\in \mathcal{A}$ 满足

$\mathcal{T}\left(u,A_u\right)=0$ ， $A\in C^1\left({\hat{H}}_{♯}^1,\mathcal{A}\right)$ ， $A^{\prime }\left(u\right)\left[v\right]=-2{\left(\Delta -u^2\right)}^{-1}\left[\left(l\nabla \theta -A\right)uv\right]$ .

因此， ${\Psi }_u=-{\left(\Delta -u^2\right)}^{-1}\left[\left(l\nabla \theta -A\right)u^2\right]$ ，即 ${\Psi }_u$ 满足式(22)。

此外，由于 $-\Delta A_u=\left(l\nabla \theta -A_u\right)u^2$ 和(22)，可得

，

故(24)成立。

根据引理2.2和引理2.8，我们可考虑如下的约化泛函

$\begin{array}{l}\mathcal{J}\left(u\right)=J\left(u,A_u\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}+\frac{\omega }{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^2\text{d}x}+\frac{l^2}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{u^2}{r^2}\text{d}x}+\frac{1}{4}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\varphi }_u}{u}^2\text{d}x\\ -\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}l\nabla \theta \cdot A_u{u}^2\text{d}x}-\frac{1}{p+1}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{p+1}\text{d}x},\end{array}$ (25)

其在 ${\hat{H}}_{♯}^1$ 上是 $C^1$ 的并且若 $\left(u,\varphi ,A\right)\in {\hat{H}}_{♯}^1\times {\left({\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right)\right)}_{♯}\times \mathcal{A}$ 是I的临界点当且仅当 $\left(u,A\right)\in {\hat{H}}_{♯}^1\times \mathcal{A}$ 是J的临界点， $\varphi ={\varphi }_u$ 当且仅当 $u\in {\hat{H}}_{♯}^1$ 是 $\mathcal{J}$ 的临界点， $\varphi ={\varphi }_u$ 和 $A=A_u$ 。因此，我们只需寻找泛函 $\mathcal{J}$ 的临界点。

3. 定理1.1的证明

定义Nehari流形

$\mathcal{N}=\left\{u\in {\hat{H}}_{♯}^1\backslash \left\{0\right\}:{\mathcal{J}}^{\prime }\left(u\right)\left[u\right]=0\right\}$ .

引理3.1 $\mathcal{N}$ 是非空的。

证明：对于任意的 $t\in ℝ$ ，固定 $u\in {\hat{H}}_{♯}^1\backslash \left\{0\right\}$ ，定义

$j\left(t\right)={\mathcal{J}}^{\prime }\left(tu\right)\left[tu\right]=t^2\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2}+\left(\omega +{\varphi }_{tu}\right)u^2+{\left|l\nabla \theta -A_{tu}\right|}^2{u}^2\text{d}x\right)-t^{p+1}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{p+1}\text{d}x}.$

显然， $j\left(0\right)=0$ 。对于充分小的 $t>0$ ，有 $j\left(t\right)>0$ 且 $\underset{t\to \infty }{\lim }j\left(t\right)=-\infty$ 。因此，根据连续函数的介值性定理可知，存在 $\bar{t}>0$ ，使得 $j\left(\bar{t}\right)={\mathcal{J}}^{\prime }\left(\bar{t}u\right)\left[\bar{t}u\right]=0$ ，即 $\bar{t}u\in \mathcal{N}$ 。

引理3.2 对任意的 $u\in \mathcal{N}$ ，有 ${\Vert u\Vert }_{p+1}\ge C$ 。

证明：假设 $u\in \mathcal{N}$ ，通过计算，可得

，

这蕴含着

(26)

由(12)可推出。因此，。

又由Sobolev嵌入定理易知， ${\Vert u\Vert }_{p+1}^2\le C\left({\Vert \nabla u\Vert }_2^2+\omega {\Vert u\Vert }_2^2\right)\le C{\Vert u\Vert }_{p+1}^{p+1}$ 。

引理3.3 $\mathcal{N}$ 是自然约束。

证明：假设 $u\in \mathcal{N}$ 是 ${\mathcal{J}|}_{\mathcal{N}}$ 的临界点，由拉格朗日乘子定理知，存在 $\lambda \in ℝ$ ，使得 ${\mathcal{J}}^{\prime }\left(u\right)=\lambda {\partial }_u\left({\mathcal{J}}^{\prime }\left(u\right)\left[u\right]\right)$ 。

下证 $\lambda =0$ 。因为 $0={\mathcal{J}}^{\prime }\left(u\right)\left[u\right]=\lambda {\partial }_u\left({\mathcal{J}}^{\prime }\left(u\right)\left[u\right]\right)\left[u\right]$ ，故只需证明 ${\partial }_u\left({\mathcal{J}}^{\prime }\left(u\right)\left[u\right]\right)\left[u\right]\ne 0$ 。

结合(16)，(23)和(26)，有

由于 $p\in \left[3,5\right)$ 和 ${\psi }_u\ge 0$ ，故， 因此 $\lambda =0$ 。

引理3.4 泛函 ${\mathcal{J}|}_{\mathcal{N}}$ 有正下界。

证明：假设 $u\in \mathcal{N}$ ，结合(16)，(21)和(26)，有

$\begin{array}{c}\mathcal{J}\left(u\right)=\frac{1}{2}{\Vert \nabla u\Vert }_2^2+\frac{\omega }{2}{\Vert u\Vert }_2^2+\frac{l^2}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{u^2}{r^2}\text{d}x}+\frac{1}{4}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\varphi }_u}{u}^2\text{d}x-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}l\nabla \theta \cdot A_u{u}^2\text{d}x}-\frac{1}{p+1}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{p+1}\text{d}x}\\ =\frac{p-1}{2\left(p+1\right)}\left({\Vert \nabla u\Vert }_2^2+\omega {\Vert u\Vert }_2^2\right)+\frac{p-3}{4\left(p+1\right)}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\varphi }_u}{u}^2\text{d}x+\frac{p-1}{2\left(p+1\right)}\left(l^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{u^2}{r^2}\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}l\nabla \theta \cdot A_u{u}^2\text{d}x}\right)\\ +\frac{1}{p+1}\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}l\nabla \theta A_u{u}^2\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|A_u\right|}^2{u}^2\text{d}x}\right)\\ \ge \frac{p-1}{2\left(p+1\right)}\left({\Vert \nabla u\Vert }_2^2+\omega {\Vert u\Vert }_2^2\right),\end{array}$

故存在常数 $C>0$ ，使得对于任意的 $u\in \mathcal{N}$ 有 $\mathcal{J}\left(u\right)\ge C$ 。

引理3.5 假设 $\left\{u_n\right\}\in \mathcal{N}$ 是极小化序列，那么 $\left\{u_n\right\}$ 在 ${\hat{H}}_{♯}^1$ 上有界。

证明：假设 $\left\{u_n\right\}\in \mathcal{N}$ 是极小化序列，即

$\underset{n}{\lim }\mathcal{J}\left(u_n\right)=\underset{u\in \mathcal{N}}{\inf }\mathcal{J}\left(u\right)=c$ .

由定理3.4可知

$c\ge \underset{n}{\lim }\mathcal{J}\left(u_n\right)\ge \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{p-1}{2\left(p+1\right)}\left({\Vert \nabla u_n\Vert }_2^2+\omega {\Vert u_n\Vert }_2^2\right)$ ，

这蕴含了 $\left\{u_n\right\}$ 在 $H^1\left({ℝ}^3\right)$ 上有界。经计算，有

$\mathcal{J}\left(u_n\right)\ge \frac{1}{2}{\Vert \nabla u_n\Vert }_2^2+\frac{\omega }{2}{\Vert u_n\Vert }_2^2+\frac{l^2}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{u_n^2}{r^2}\text{d}x}-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}l\nabla \theta \cdot A_{u_n}{u}_n^2\text{d}x}-\frac{1}{p+1}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u_n\right|}^{p+1}\text{d}x}.$ (27)

故可推出 $\left\{A_{u_n}\right\}$ 在 $\mathcal{A}$ 上有界。由基本不等式和Hölder不等式可得

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{{ℝ}^3}{\int }l\nabla \theta \cdot A_{u_n}{u}_n^2\text{d}x}\le {\displaystyle \underset{{ℝ}^3}{\int }\left|l\nabla \theta \cdot A_{u_n}{u}_n^2\right|\text{d}x}\le {\displaystyle \underset{{ℝ}^3}{\int }\frac{l}{r}}\left|A_{u_n}\right|u_n^2\text{d}x\le \frac{1}{2}{\displaystyle \underset{{ℝ}^3}{\int }{\left|A_{u_n}\right|}^2{u}_n^2\text{d}x}+\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{{ℝ}^3}{\int }\frac{l^2}{r^2}{u}_n^2\text{d}x}\\ \le C{\Vert A_{u_n}\Vert }_6^2{\Vert u_{u_n}\Vert }_3^2+\frac{l^2}{2}{\displaystyle \underset{{ℝ}^3}{\int }\frac{u_n^2}{r^2}\text{d}x}\le C+\frac{l^2}{2}{\displaystyle \underset{{ℝ}^3}{\int }\frac{u_n^2}{r^2}\text{d}x}.\end{array}$ (28)

结合(27)和(28)，有

$\begin{array}{c}\mathcal{J}\left(u_n\right)\ge \frac{1}{2}{\Vert \nabla u_n\Vert }_2^2+\frac{\omega }{2}{\Vert u_n\Vert }_2^2+\frac{l^2}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{u_n^2}{r^2}\text{d}x}-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}l\nabla \theta \cdot A_{u_n}{u}_n^2\text{d}x}-\frac{1}{p+1}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u_n\right|}^{p+1}\text{d}x}\\ \ge \frac{1}{2}{\Vert \nabla u_n\Vert }_2^2+\frac{\omega }{2}{\Vert u_n\Vert }_2^2+\frac{l^2}{4}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{u_n^2}{r^2}\text{d}x}-\frac{1}{p+1}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u_n\right|}^{p+1}\text{d}x}-\frac{C}{2}.\end{array}$

因此， $\frac{1}{2}{\Vert \nabla u_n\Vert }_2^2+\frac{\omega }{2}{\Vert u_n\Vert }_2^2+\frac{l^2}{4}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{u_n^2}{r^2}\text{d}x}\le \mathcal{J}\left(u_n\right)+\frac{1}{p+1}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u_n\right|}^{p+1}\text{d}x}+\frac{C}{2}$ ，故 $\left\{u_n\right\}$ 在 ${\hat{H}}_{♯}^1$ 上有界。

引理3.6 任意的有界序列 $\left\{u_n\right\}\subset \mathcal{N}$ 是非消失的。

证明：假设序列 $\left\{u_n\right\}\subset \mathcal{N}$ 消失，即

$\underset{n}{\lim }\underset{\xi \in {ℝ}^3}{\sup }{\displaystyle {\int }_{B_{\bar{r}}\left(\xi \right)}{u}_n^2\text{d}x}=0$ .

由Lions的消失引理(可见 [17] 的引理1.1)可知，当 $2<s<6$ 时， $u_n\to 0$ 在 $L^s\left({ℝ}^3\right)$ ，这与引理3.2矛盾，证毕。

引理3.7 若 $u_n\rightharpoonup u_0$ 在 ${\hat{H}}_{♯}^1\backslash \left\{0\right\}$ ，那么通过选取子列，则 ${\varphi }_{u_n}\rightharpoonup {\varphi }_{u_0}$ 在 ${\left({\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right)\right)}_{♯}$ 和 $A_{u_n}\rightharpoonup A_{u_0}$ 在 $\mathcal{A}$ 。因此， ${\mathcal{J}}^{\prime }\left(u_n\right)\to {\mathcal{J}}^{\prime }\left(u_0\right)$ 。

证明：根据引理3.5，通过选取子列仍记为 $\left\{u_n\right\}$ ，那么存在 $u_0\in {\hat{H}}_{♯}^1\backslash \left\{0\right\}$ ，使得

$u_n\rightharpoonup u_0$ 在 ${\hat{H}}_{♯}^1\backslash \left\{0\right\}$ 中， (29)

$u_n\rightharpoonup u_0$ 在 $L^s\left({ℝ}^3\right)$ 中，其中 $2\le s\le 6$ ， (30)

$u_n\rightharpoonup u_0$ 在 $L_{loc}^s\left({ℝ}^3\right)$ 中，其中 $1\le s<6$ . (31)

由(13)可得 $\left\{{\varphi }_{u_n}\right\}$ 在 ${\left({\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right)\right)}_{♯}$ 中有界，则存在 ${\varphi }_0\in {\left({\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right)\right)}_{♯}$ ，使得

${\varphi }_{u_n}\rightharpoonup {\varphi }_0$ 在 ${\left({\mathcal{D}}^{1,2}\left({ℝ}^3\right)\right)}_{♯}$ 中， (32)

${\varphi }_{u_n}\rightharpoonup {\varphi }_0$ 在 $L^6\left({ℝ}^3\right)$ 中， (33)

${\varphi }_{u_n}\to {\varphi }_0$ 在 $L_{loc}^s\left({ℝ}^3\right)$ 中，其中 $1\le s<6$ . (34)

又因为 $\left\{A_{u_n}\right\}$ 在 $\mathcal{A}$ 中有界，则存在 $A_0\in \mathcal{A}$ ，使得

$A_{u_n}\rightharpoonup A_0$ 在 $\mathcal{A}$ 中， (35)

$A_{u_n}\rightharpoonup A_0$ 在 ${\left(L^6\left({ℝ}^3\right)\right)}^3$ 中， (36)

$A_{u_n}\to A_0$ 在 ${\left(L_{loc}^s\left({ℝ}^3\right)\right)}^3$ 中，其中 $1\le s<6$ . (37)

下证 ${\varphi }_0={\varphi }_{u_0}$ 和 $A_0=A_{u_0}$ 。由于系统(1)后两个方程解的唯一性，故只需证明

$-\Delta {\varphi }_0=u_0^2$ ， (38)

$-\Delta A_0=\left(l\nabla \theta -A_0\right)u_0^2$ . (39)

记 ${\varphi }_n={\varphi }_{u_n}$ ，因为 $-\Delta {\varphi }_n=u_n^2$ ，对 $w\in C_0^{\infty }\left({ℝ}^3\right)$ ，由(31)和(32)，有

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{u}_n^2}w\text{d}x\to {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{u}_0^2}w\text{d}x,\\ {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\nabla }{\varphi }_n\nabla w\text{d}x\to {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\nabla }{\varphi }_0\nabla w\text{d}x.\end{array}$

因此，(38)成立。

令 $V\in {\mathcal{A}}_0^{\infty }$ 和 $K=suppV$ ，记 $A_n=A_{u_n}$ ，因为 $-\Delta A_n=\left(l\nabla \theta -A_n\right)u_n^2$ ，只需证明

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\nabla }{A}_n\cdot \nabla V\text{d}x\to {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\nabla }{A}_0\cdot \nabla V\text{d}x$ ， (40)

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}l}\nabla \theta \cdot V{u}_n^2\text{d}x\to {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}l}\nabla \theta \cdot V{u}_0^2\text{d}x$ ， (41)

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}l}\nabla \theta \cdot V{u}_n^2\text{d}x\to {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}l}\nabla \theta \cdot V{u}_0^2\text{d}x$ ， (42)

由(35)，(40)显然成立。注意到， ${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left(l\nabla \theta \cdot V\right)}^2\text{d}x}\le l^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{V^2}{r^2}\text{d}x}\le l^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{{\left|b\right|}^2{r}^2}{r^2}}\le l^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|b\right|}^2\text{d}x}<\infty$ ，并结合(30)，于是(41)成立。

根据Hölder不等式，有

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(u_n^2{A}_n-u_0^2{A}_0\right)V\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(u_n^2-u_0^2\right)A_{n}V\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{u}_0^2}\left(A_n-A_0\right)V\text{d}x={\displaystyle {\int }_K\left(u_n^2-u_0^2\right)A_{n}V\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_K{u}_0^2}\left(A_n-A_0\right)V\text{d}x\\ \le {\left({\displaystyle {\int }_K{\left|u_n^2-u_0^2\right|}^{\frac{3}{2}}\text{d}x}\right)}^{\frac{2}{3}}{\left({\displaystyle {\int }_K{\left|A_n\right|}^6\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{6}}{\left({\displaystyle {\int }_K{\left|V\right|}^6\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{6}}+{\left({\displaystyle {\int }_K{\left|u_0^2\right|}^3\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{3}}{\left({\displaystyle {\int }_K{\left|A_n-A_0\right|}^3\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{3}}{\left({\displaystyle {\int }_K{\left|V\right|}^6\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{6}}\\ \le {\left({\displaystyle {\int }_K\left|{\left|u_n\right|}^3-{\left|u_0\right|}^3\right|\text{d}x}\right)}^{\frac{2}{3}}{\left({\displaystyle {\int }_K{\left|A_n\right|}^6\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{6}}{\left({\displaystyle {\int }_K{\left|V\right|}^6\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{6}}+{\left({\displaystyle {\int }_K{\left|u_0\right|}^6\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{3}}{\left({\displaystyle {\int }_K{\left|A_n-A_0\right|}^3\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{3}}{\left({\displaystyle {\int }_K{\left|V\right|}^6\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{6}},\end{array}$

那么由(31)，(37)及 $\left\{A_n\right\}$ 的有界性，(42)成立。

若 $v\in {\hat{H}}^1\cap C_0^{\infty }\left({ℝ}^3\right)$ 且令 $M=suppv$ ，则有

$\begin{array}{l}{\mathcal{J}}^{\prime }\left(u_n\right)\left[v\right]={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\nabla }{u}_n\nabla v+\omega u_{n}v+l^2\frac{u_n}{r^2}v-2l\nabla \theta \cdot A_n{u}_{n}v\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\varphi }_n}{u}_{n}v+{\left|A_n\right|}^2{u}_{n}v-{\left|u_n\right|}^{p-1}{u}_{n}v\text{d}x,\\ {\mathcal{J}}^{\prime }\left(u_0\right)\left[v\right]={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\nabla }{u}_0\nabla v+\omega u_{0}v+l^2\frac{u_0}{r^2}v-2l\nabla \theta \cdot A_0{u}_{n}v\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\varphi }_0}{u}_{0}v+{\left|A_0\right|}^2{u}_{0}v-{\left|u_0\right|}^{p-1}{u}_{0}v\text{d}x.\end{array}$

根据(31)，(34)和 $\left\{{\varphi }_n\right\}$ 的有界性，可推出

由(31)，(37)和 $\left\{A_n\right\}$ 的有界性可得

故当 $n\to \infty$ 时， ${\mathcal{J}}^{\prime }\left(u_n\right)\left[v\right]\to {\mathcal{J}}^{\prime }\left(u_0\right)\left[v\right]$ 。

因为 $\mathcal{N}$ 是自然约束，由 [18] 中定理8.5知，可假设 $\left\{u_n\right\}$ 是 $\mathcal{J}$ 的PS序列，即 $\mathcal{J}\left(u_n\right)\to c$ 以及对于任意的 $v\in {\hat{H}}_{♯}^1$ ， ${\mathcal{J}}^{\prime }\left(u_n\right)\left[v\right]\to 0$ 。

定理1.1的证明 根据引理3.6，可知存在 $R,\sigma >0$ ，序列 $\left\{x_n=\left(x_{1n},x_{2n},x_{3n}\right)\right\}\subset {ℝ}^3$ ，使得

${\displaystyle {\int }_{B_R\left(x_n\right)}{\left|u_n\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}\ge \sigma$ .

断言： $r_n^2:={\left(x_{1n}\right)}^2+{\left(x_{2n}\right)}^2$ 有界。由于 $u_n\left(x\right)$ 具有柱对称性，则

${\displaystyle {\int }_{B_R\left(x_n\right)}{\left|u_n\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{B_R\left({\tilde{x}}_n\right)}{\left|u_n\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}$ ，

其中 $x_{3n}={\tilde{x}}_{3n}$ 和 ${\left(x_{1n}\right)}^2+{\left(x_{2n}\right)}^2={\left({\tilde{x}}_{1n}\right)}^2+{\left({\tilde{x}}_{2n}\right)}^2$ 。注意到，若 $\left|r_n\right|\to \infty$ ，则有

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u_n\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}\ge {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle {\int }_{B_R\left({\tilde{x}}_n\right)}{\left|u_n\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}}\ge {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\sigma }=+\infty$ ，

这与 $\left\{u_n\right\}$ 的 $L^2$ 范数有界矛盾。故断言成立。定义 $r_0=R+\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }\left|r_n\right|$ ，则有

${\displaystyle {\int }_{B_{r_0}\left({\bar{x}}_n\right)}{\left|u_n\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}\ge \sigma$ ， ${\bar{x}}_n=\left(0,0,x_{3n}\right)$ .

令 ${\bar{u}}_n\left(x\right)=u_n\left(x+{\bar{x}}_n\right)$ ，那么

${\displaystyle {\int }_{B_{r_0}\left(0\right)}{\left|{\bar{u}}_n\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}\ge \sigma$ . (43)

根据(43)可知存在 $u\in {\hat{H}}_{♯}^1\backslash \left\{0\right\}$ ，使得 ${\bar{u}}_n\rightharpoonup u$ 。此外， $\left\{{\bar{u}}_n\right\}\subset \mathcal{N}$ 满足

$\mathcal{J}\left(u_n\right)=\mathcal{J}\left({\bar{u}}_n\right)\to c$ 和 ${\mathcal{J}}^{\prime }\left(u_n\right)={\mathcal{J}}^{\prime }\left({\bar{u}}_n\right)\to 0$ .

由引理3.7可知 ${\mathcal{J}}^{\prime }\left({\bar{u}}_n\right)\to {\mathcal{J}}^{\prime }\left(u\right)$ ，故 ${\mathcal{J}}^{\prime }\left(u\right)=0$ 。即u是 $\mathcal{J}$ 的临界点。结合(17)和(25)可得

$\mathcal{J}\left(u\right)=J\left(u,A_u\right)=I\left(u,{\varphi }_u,A_u\right)$ .

因此， $\left(u,{\varphi }_u,A_u\right)$ 是系统(1)的非平凡解且 $u\in \mathcal{N}$ 。

最后我们证明u是基态解。

，

根据Fatou引理和范数函数的弱下半连续性可知

$\underset{\mathcal{N}}{\inf }\mathcal{J}\left(u\right)\le \mathcal{J}\left(u\right)\le \underset{n}{\lim \inf }\mathcal{J}\left(u_n\right)=\underset{\mathcal{N}}{\inf }\mathcal{J}\left(u\right)$ .

4. 结论

本文研究了一类静电磁Schrödinger-Maxwell系统涡旋基态解的存在性。通过柱对称处理旋度算子，把强不定问题约化为定的问题，最后利用Nehari流形方法证明基态解的存在性。

基金项目

山西省自然科学基金面上项目( 202303021211056)。

NOTES

^*通讯作者。