E-三角范畴中的(n, m)-强ξ-Gorenstein投射对象

(n, m)-Strongly ξ-Gorenstein Projective Objects in Extriangulated Categories

摘要: 设C是一个E-三角范畴，ξ是C中的一个E-三角真类。在C中引入(n, m)-强ξ-Gorenstein投射对象的概念，研究了C中的对象与其合冲的这种ξ-Gorenstein投射性质之间的联系。作为应用，证明了ξ中对象X的ξ-Gorenstein投射维数小于等于m当且仅当存在C中的ξ-Gorenstein投射对象G，使得是(1, m)-强ξ-Gorenstein投射的。

Abstract: Let C be an extriangulated category and ξ a proper class of E-triangles of C. The notion of (n, m)- strongly ξ-Gorenstein projective object in C is introduced and the relation of such ξ-Gorenstein projectivity of an object in C with that of its syzygies is investigated. As a consequence, it is shown that an object X of C has ξ-Gorenstein projective dimension at most m if and only if is (1, m)-strongly ξ-Gorenstein projective for some ξ-Gorenstein projective object of C.

1. 引言

正合范畴和三角范畴是代数和几何中两个基本的代数结构。Nakaoka和Palu在 [1] 中对E-三角范畴的结构特征进行了详细的描述，它是正合范畴也是三角范畴的非平凡推广，从而保证了E-三角范畴具有良好的同调性质，并在 [1] 中给出了E-三角范畴的基本概念。Enochs和Jenda于 [2] 中在一般环上引入了Gorenstein投射模的概念和模的同调维数。在Auslander和Bridger [3] ，Enochs和Jenda [4] ，Beliggiannis [5] 与Hu等人 [6] 工作的基础上，He在 [7] 中引入了ξ-Gorenstein投射对象及任意对象的ξ-Gorenstein投射分解的概念。此外，Hu等人在 [8] 中讨论了E-三角范畴中的Gorenstein同调维数并用导出函子给出了Gorenstein投射维数的一些等价刻画。

在模范畴中，Bennis和Mahdou在 [9] [10] 中引入了强Gorenstein投射模以及n-强Gorenstein投射模的概念。随后，Bennis在 [11] 中给出了(n, m)-强ξ-Gorenstein投射模的概念(n ≥ 1, m ≥ 0)，并且研究了这类模的合冲。三角范畴和正合范畴中的很多重要理论都可以推广到E-三角范畴 [1] [6] 。受常雯雯及高楠在 [12] 中工作的启发，在E-三角范畴中引入(n, m)-强ξ-Gorenstein投射对象的概念(n ≥ 1, m ≥ 0)，并且讨论了他们的合冲。注意到，任意(n, m)-强ξ-Gorenstein 投射对象X的ξ-Gorenstein投射维数都是小于等于m的。特别地，当1 ≤ i ≤ k时，X的第i个合冲是(n, m-i)-强ξ-Gorenstein投射对象；当i ≥ k时，X的第i个合冲是(n, 0)-强ξ-Gorenstein投射对象。对任意的对象X，证明了它的ξ-Gorenstein 投射维数小于m当且仅当存在某个ξ-Gorenstein投射对象G，使得 $X\oplus G$ 是(1, m)-强ξ-Gorenstein投射的。

2. 基础知识

设C是加法范畴，E: C^op × C → Ab是双加法函子，Ab是Abel群范畴。Nakaoka和Palu于 [1] 中引入了E-三角范畴的定义，相关概念详见文献 [1] 。

本文总假设C = (C, E, s)是有足够多投射对象和内射对象的E-三角范畴。

设C是一个E-三角范畴。称E-三角的真类ξ关于基变换封闭，如果对ξ中任意E-三角 $A\stackrel{x}{\to }B\stackrel{y}{\to }C\stackrel{\delta }{\cdots >}$ 和cÎ C $\left(C\text{'},C\right)$ ，都存在ξ中E-三角 $A\text{'}\stackrel{x\text{'}}{\to }B\text{'}\stackrel{y\text{'}}{\to }C\text{'}\stackrel{c^{*}\delta }{\cdots >}$ 。称E-三角真类ξ关于余基变换封闭，如果对ξ中任意E-三角 $A\stackrel{x}{\to }B\stackrel{y}{\to }C\stackrel{\delta }{\cdots >}$ 和aÎ C $\left(A\text{'},A\right)$ ，都存在ξ中E-三角 $A\text{'}\stackrel{x\text{'}}{\to }B\text{'}\stackrel{y\text{'}}{\to }C\text{'}\stackrel{a_{*}\delta }{\cdots >}$ 。

称E-三角的真类ξ饱和，如果在( [1] ，命题3.15)中， $A_2\stackrel{x_2}{\to }{B}_2\stackrel{y_2}{\to }C\stackrel{{\delta }_2}{\cdots >}$ 和 $A_1\stackrel{m_1}{\to }M\stackrel{e_1}{\to }{B}_2\stackrel{y_2^{*}{\delta }_1}{\cdots >}$ 是ξ中E-三角。

定义1.1 ( [6] ，定义3.1)设ξ是关于同构封闭的E-三角类。称ξ是一个E-三角真类，如果满足下述条件：

1) ξ关于有限直和封闭，且 ${\Delta }_0\subseteq \xi$ ( ${\Delta }_0$ 表示由可裂E-三角组成的满子范畴)；

2) ξ关于基变换和余基变换封闭；

3) ξ是saturated。

假设C是E-三角范畴。ξ是C中E-三角真类。在 [6] 中，对象P Î C称为ξ-投射的，如果对ξ中任意E-三角 $A\stackrel{}{\to }B\stackrel{}{\to }C\stackrel{\delta }{\cdots >}$ ，Abel群的序列

$0\to$ C(P, A) $\to$ C(P, B) $\to$ C(P, C) $\to 0$

均正合。记C中所有ξ-投射对象构成的满子范畴为P(ξ)。

C中对象A的ξ-投射维数ξ-pd A，定义为：当A = 0时，定义ξ-pdA = −1；当A Î P(ξ)时，定义ξ-pdA = 0；设n为正整数，如果存在ξ中E-三角 $K\stackrel{}{\to }P\stackrel{}{\to }A\stackrel{\delta }{\cdots >}$ ，满足P Î P(ξ)，ξ-pdK ≤ n − 1，且n − 1 — ξ- pdA，定义ξ-pdA = n；如果对任意的整数n ≥ 0，都有ξ-pdA $\ne$ n，定义ξ-pdA = ∞。

以下假定C有足够多的投射对象。下面的概念见 [6] [7] [8] [12]

若 $K\stackrel{}{\to }P\stackrel{}{\to }C\stackrel{\delta }{\cdots >}$ 是ξ中的E-三角，其中P Î P(ξ)，则称K是C的第1个合冲。归纳地，可以定义C的第i个合冲，i ≥ 2。ξ中任意E-三角 $A\stackrel{}{\to }B\stackrel{}{\to }C\stackrel{\delta }{\cdots >}$ 称为C(—, P(ξ))-正合的，如果对任意ξ-投射对象Q，序列

$0\to$ C(C, Q) $\to$ C(B, Q) $\to$ C(A, Q) $\to 0$

正合。对C中复形

X: $\cdots \to X_1\stackrel{d_1}{\to }{X}_2\stackrel{d_2}{\to }{X}_{-1}\to \cdots$ ·，

若对任意整数n，都存在ξ中任意E-三角 $K_{n+1}\stackrel{g_n}{\to }{X}_{\text{n}}\stackrel{f_n}{\to }{K}_n\stackrel{{\delta }_n}{\cdots >}$ ，使得 $d_n=g_{n-1}{f}_n$ ，则称X是一个ξ-正合复形。设X是ξ-正合复形，满足对任意整数n，都有ξ中E-三角 $K_{n+1}\stackrel{g_n}{\to }{X}_n\stackrel{f_n}{\to }{K}_n\stackrel{{\delta }_n}{\cdots >}$ 是C(—, P(ξ))-正合的，并且 $d_n=g_{n-1}{f}_n$ ，则称X是完备ξ-正合复形。若C中完备ξ-正合复形

P: $\cdots \to P_1\stackrel{d_1}{\to }{P}_2\stackrel{d_2}{\to }{P}_{-1}\to \cdots$ ·，

满足对任意整数n，P_n都是ξ-投射的，则称P是一个完备ξ-投射分解。如果P是C中完备ξ-投射分解，则对任意整数n，都有ξ中E-三角 $K_{n+1}\stackrel{g_n}{\to }{X}_n\stackrel{f_n}{\to }{K}_n\stackrel{{\delta }_n}{\cdots >}$ 是C(—, P(ξ))-正合的，那么称对象K_n是ξ-Gorenstein投射对象。

记C中所有ξ-Gorenstein投射对象构成的满子范畴为GP(ξ)。易知GP(ξ)对有限直和，直和项以及同构封闭。

设A Î C，则A的ξ-Gorenstein投射维数记为ξ-GpdA，定义为：当A = 0时，ξ-GpdA = −1；当A Î GP(ξ)

时，ξ-GpdA = 0；如果存在ξ中E-三角 $K\stackrel{}{\to }P\stackrel{}{\to }A\stackrel{\delta }{\cdots >}$ ，满足P Î GP(ξ)，ξ-GpdK ≤ n − 1，且n − 1 — ξ-pdA，那么ξ-GpdA = n，其中n是正整数；如果对任意的整数n ≥ 0，都有ξ-GpdA ≠ n，那么ξ-GpdA = ∞。

设n为正整数。C中对象X称为n-强ξ-Gorenstein投射对象，若存在完备ξ-正合复形

$0\to X\to P_{n-1}\stackrel{d_{n-1}}{\to }{P}_{n-2}\to \cdots \to P_1\stackrel{d_1}{\to }{P}_0\stackrel{d_0}{\to }X\to 0$ ，

其中对任意的0 ≤ i ≤ n − 1，P_i Î P(ξ)。特别地，称1-强ξ-Gorenstein投射对象为强ξ-Gorenstein投射对象。

注记1.2 ( [7] ，注记 4.4 (1)])对任意整数n ≥ 1，P(ξ) ⊆ SGP(ξ) ⊆ n-SGP(ξ) ⊆ GP(ξ)。

注记1.3 ( [7] ，定理 4.17])若C有可数直和，且ξ关于可数直和封闭，则X是ξ-Gorenstein投射对象当且仅当X是强ξ-Gorenstein投射对象的直和项。

注记1.4 ( [7] ，推论4.14]) X是C中的n-强ξ-Gorenstein投射对象，则

1) X的第i个合冲是n-强ξ-Gorenstein投射的；

2) 对X的任一完备ξ-投射分解P: $\cdots \to P_1\stackrel{d_1}{\to }{P}_2\stackrel{d_2}{\to }{P}_{-1}\to \cdots$ ·，每个K_i都是n-强ξ-Gorenstein投射的。

由 [4] 和 [5] 知，一个对象A的任意两个ξ-投射分解(ξ-内射余分解)是同伦等价的。

定义1.5 ( [8] ，定义3.2)设A，B Î C。

1) 如果P→A是A的一个ξ-投射分解，那么对任意整数n ≥ 0，ξ-上同调群 $\xi {\text{xt}}_{P\left(\xi \right)}^n\left(A,B\right)$ = Hⁿ(C(P, B))。

2) 如果B→I是B的一个ξ-内射余分解，那么对任意整数n ≥ 0，ξ-上同调群 $\xi {\text{xt}}_{I\left(\xi \right)}^n\left(A,B\right)$ = Hⁿ(C(A, I))。

由( [13] 定理7.8])知 $\xi {\text{xt}}_{P\left(\xi \right)}^n\left(A,B\right)\cong \xi {\text{xt}}_{I\left(\xi \right)}^n\left(A,B\right)$ 。将其定义为 $\xi {\text{xt}}_{\xi }^n\left(A,B\right)$ 。

3. 主要结果

本文主要讨论(n, m)-强ξ-Gorenstein投射对象，定义如下。

定义2.1 设整数n ≥ 1，m ≥ 0，对象X Î C称为(n, m)-强ξ-Gorenstein投射对象，若存在C中的ξ-正合复形

$0\to X\to Q_{n-1}\stackrel{d_{n-1}}{\to }{Q}_{n-2}\to \cdots \to Q_1\stackrel{d_1}{\to }{Q}_0\stackrel{d_0}{\to }X\to 0$ ，

满足如下两个条件：

1) 对任意的0 ≤ i ≤ n − 1，有ξ-pd(Q_i) ≤ m；

2) 对任意的ξ-投射对象Q且i> m， $\xi {\text{xt}}_{\xi }^i\left(X,Q\right)=0$ 。

注记2.2 (n, 0)-强ξ-Gorenstein投射对象就是 [7] 中的n-强ξ-Gorenstein投射对象。特别地，(1, 0)-强ξ- Gorenstein投射对象就是强ξ-Gorenstein投射对象。

下面研究(n, m)-强ξ-Gorenstein投射对象的一些性质。

命题2.3设整数n ≥ 1，m ≥ 0，X Î C。

1) 若X是(n, m)-强ξ-Gorenstein投射的，则对任意的 $m^{\prime }\ge m$ ，X也是(n, $m^{\prime }$ )-强ξ-Gorenstein投射的；

2) 若X是(n, m)-强ξ-Gorenstein投射的，则对任意的k ≥ 1，X也是(kn, m)-强ξ-Gorenstein投射的。特别地，每个(1, m)-强ξ-Gorenstein投射对象也是(n, m)-强ξ-Gorenstein投射的。

证明 (1) 根据(n, m)-强ξ-Gorenstein投射对象的定义即得。

设X是(n, m)-强ξ-Gorenstein投射的，则存在ξ-正合复形

$0\to X\to Q_{n-1}\stackrel{d_{n-1}}{\to }{Q}_{n-2}\to \cdots \to Q_1\stackrel{d_1}{\to }{Q}_0\stackrel{d_0}{\to }X\to 0$ ，

其中ξ-pd(Q_i) ≤ m，0 ≤ i ≤ n − 1，且对任意的ξ-投射对象Q和i > m有 $\xi {\text{xt}}_{\xi }^i\left(X,Q\right)=0$ 。把k个这样的正合列粘合在一起，即得X是(kn, m)-强ξ-Gorenstein投射的。 □

命题2.4 设 $X_1,X_2,\cdots ,X_k\left(k\ge 1\right)$ 是C中的(n_i, m_i)-强ξ-Gorenstein投射对象，则 ${\oplus }_{i=1}^k{X}_i$ 是(n, m)-强ξ-Gorenstein投射的，其中 $m=\max \left\{m_1,m_2,\cdots ,m_k\right\}$ ，n是 $n_1,n_2,\cdots ,n_k$ 的最小公倍数。特别地，(n, m)-强ξ-Gorenstein投射对象关于有限直和c封闭。

证明 由条件及命题2.3知，X_i是(n, m)-强ξ-Gorenstein投射的s。于是由定义知结论成立。 □

定理2.5 设整数n ≥ 1，m ≥ 0，X是(n, m)-强ξ-Gorenstein投射对象，则

1) 存在整数 k > 0，使得ξ-GpdX = k ≤ m；

2) 当1 ≤ i ≤ k时，X的第i个合冲K_i是(n, m-i)-强ξ-Gorenstein投射的；

3) 当i ≥ k 时，X的第i个合冲K_i是(n, 0)-强ξ-Gorenstein投射的。

证明 首先证明(1)和(2)。因为X是(n, m)-强ξ-Gorenstein投射的，所以存在ξ-正合复形

$0\to X\to Q_{n-1}\stackrel{d_{n-1}}{\to }{Q}_{n-2}\to \cdots \to Q_1\stackrel{d_1}{\to }{Q}_0\stackrel{d_0}{\to }X\to 0$ ，

其中，对任意的0 ≤ i ≤ n − 1，ξ-pd(Q_i) ≤ m，且对任意的ξ-投射对象Q及i > m，有 $\xi {\text{xt}}_{\xi }^i\left(X,Q\right)=0$ 。考虑ξ中E-三角 $K_1\stackrel{}{\to }{P}_0\stackrel{}{\to }X\cdots >$ ，其中P₀是ξ-投射的。由( [8] ，引理3.4)知，对任意的i > m − 1以及任意ξ-投射对象Q， $\xi {\text{xt}}_{\xi }^i\left(K_1,Q\right)=0$ 。由上述ξ-正合复形可得E三角 $H_i\stackrel{}{\to }{Q}_{\text{i}-1}\stackrel{}{\to }{H}_{i-1}\cdots >$ ，其中0 ≤ i ≤ n，H_n = X = H₀。对于 $i=0,1,\cdots ,n$ ，考虑ξ中E-三角 $K_{i,1}\stackrel{}{\to }{P}_{i,0}\stackrel{}{\to }{H}_i\cdots >$ ，其中P_i,0是ξ-投射的， $i=1,2,\cdots ,n-1$ 且 $P_{n,0}=P_{0,0}=P_0$ ， $K_{n,\text{1}}=K_{0,\text{1}}=K_{\text{1}}$ ，则对任意 $i=n,n-1,\cdots ,1$ ，可得交换图

把这n个交换图结合在一起，可得如下ξ-正合序列交换图

因为对任意的0 ≤ i ≤ n − 1，有 $\xi \text{-pd}\left({Q^{\prime }}_i\right)\le m-1$ ，所以由该交换图最上面一行的ξ-正合序列可得K₁是(n, m − 1)-强ξ-Gorenstein投射的。进一步，归纳地可得，当1 ≤ i ≤ m时，K_i是(n, m − i)-强ξ-Gorenstein投射的。特别地，K_m是(n, 0)-强ξ-Gorenstein投射的。由注记1.2和注记2.2得，K_m也是ξ-Gorenstein投射的。因此，存在k ≤ m，使得ξ-GpdX = k。

再证明(3)，即证对任意i ≥ k，X的第i个合冲是(n, 0)-强ξ-Gorenstein投射的。考虑X的第k个合冲K_k。因为K_k是ξ-Gorenstein投射的，所以可选K_k的一个完备ξ-投射分解的左半部分，则存在如下完备ξ-正合复形

$0\to {K^{\prime }}_{m-k}\to F_{m-k-1}\stackrel{}{\to }\cdots \stackrel{}{\to }{F}_1\stackrel{}{\to }{F}_0\stackrel{{}_{}}{\to }{K}_k\to 0$ 。

由第一部分的证明可知， ${K^{\prime }}_{m-k}$ 是(n, 0)-强ξ-Gorenstein投射的(它是X的第m个合冲)，从而对偶于第一部分的证明可得如下的ξ-正合复形

$0\to K_k\to L_{n-1}\stackrel{}{\to }\cdots \stackrel{}{\to }{L}_1\stackrel{}{\to }{L}_0\stackrel{{}_{}}{\to }{K}_k\to 0$ ，

其中L_i(0 ≤ i ≤ n − 1)是ξ-投射的。因为K_k是ξ-Gorenstein投射的，所以对i > 0和任意的ξ-投射对象Q， $\xi {\text{xt}}_{\xi }^i\left(K_k,Q\right)=0$ 。因此，K_k是(n, 0)-强ξ-Gorenstein投射的。故由注记1.4知对任意的i ≥ k，X的第i个合冲K_i是(n, 0)-强ξ-Gorenstein投射的。 □

下面考虑定理2.5的逆是否成立，即如果对象X的第i个合冲K_i是(n, m)-强ξ-Gorenstein投射的，那么X是否为(n, m + i)-强ξ-Gorenstein投射的？当n = 1时，问题是肯定的。为证明这个结论，先引入下面两个引理。

引理2.6 设X，Y ÎC，且存在C中ξ-投射维数有限的对象P和Q，使得 $X\oplus P\cong Y\oplus Q$ ，则对任意正整数n ≥ 1和m ≥ max{ξ-pdP, ξ-pdQ}，X是(n, m)-强ξ-Gorenstein投射的当且仅当Y是(n, m)-强ξ-Gorenstein投射的。

证明 设X是(n, m)-强ξ-Gorenstein投射的，则由命题2.4知 $X\oplus P\cong Y\oplus Q$ 也是(n, m)-强ξ- Gorenstein投射的。令 $H=Y\oplus Q$ ，则存在ξ-正合复形

$0\to H\to Q_{n-1}\stackrel{}{\to }{Q}_{n-2}\to \cdots \to Q_1\stackrel{}{\to }{Q}_0\stackrel{}{\to }H\to 0$ ，

其中ξ-pd(Q_i) ≤m， $i=0,1,\cdots ,n-1$ ，且对任意的ξ-投射对象L，都有 $\xi {\text{xt}}_{\xi }^i\left(H,L\right)=0$ (∀i> m)。因此，对任意投射对象L， $\xi {\text{xt}}_{\xi }^i\left(Y,L\right)=0$ (∀i > m)。把上面的ξ-正合复形分解成如下ξ-正合复形和ξ中E-三角：

$0\to E\to Q_{n-2}\stackrel{}{\to }{Q}_{n-3}\to \cdots \to Q_2\stackrel{}{\to }{Q}_1\stackrel{}{\to }F\to 0$

$H\stackrel{}{\to }{Q}_{n-1}\stackrel{}{\to }E\cdots >$ ， $F\stackrel{}{\to }{Q}_0\stackrel{}{\to }H\cdots >$ 。

由ξ中E-三角 $H\stackrel{}{\to }{Q}_{n-1}\stackrel{}{\to }E\cdots >$ 和 $Q\stackrel{}{\to }H\stackrel{}{\to }Y\cdots >$ ，可得如下余基变换交换图

又由ξ中E-三角 $F\stackrel{}{\to }{Q}_0\stackrel{}{\to }H\cdots >$ 和 $Y\stackrel{}{\to }H\stackrel{}{\to }Q\cdots >$ ，可得如下基变换交换图

由定理2.5知H，E和F的ξ-Gorenstein投射维数均小于等于m，所以由上述两个交换图知，G_n−1和G₀的ξ-Gorenstein投射维数小于等于m。另一方面，由上面两个图的中间行可知，G_n−1与G₀的ξ-投射维数均有限。因此，由( [6] ，命题5.4)知，ξ-pdG₀ = ξ-GpdG₀ ≤m，ξ-pdG_n−1 = ξ-GpdG_n−1 ≤m。最后，由ξ-正合复形

$0\to E\to Q_{n-2}\stackrel{}{\to }{Q}_{n-3}\to \cdots \to Q_2\stackrel{}{\to }{Q}_1\stackrel{}{\to }F\to 0$ ，

和ξ中E-三角

$Y\stackrel{}{\to }{G}_{n-1}\stackrel{}{\to }E\cdots >$ ， $F\stackrel{}{\to }{G}_0\stackrel{}{\to }Y\cdots >$

可得ξ-正合复形

$0\to Y\stackrel{}{\to }{G}_{n-1}\stackrel{}{\to }{Q}_{n-2}\stackrel{}{\to }{Q}_{n-3}\to \cdots \to Q_1\stackrel{}{\to }{G}_0\stackrel{}{\to }Y\to 0$ 。

因此，Y是(n, m)-强ξ-Gorenstein投射的。反之，显然。 □

引理2.7 设X ÎC，整数n ≥ 1，m ≥ 0。

1) 若X既是ξ-Gorenstein投射的又是(n, m)-强ξ-Gorenstein投射的，则它是n-强ξ-Gorenstein投射的；

2) 若存在整数d ≥ 1，使得X的第d个合冲是(n, m)-强ξ-Gorenstein投射的，则存在正整数k，使得ξ-GpdX = k ≤ d + m并且对任意的i ≥ k，X的第i个合冲是n-强ξ-Gorenstein投射的。

证明 (1) 类似于定理2.5的最后一部分的证明可得。

设d ≥ 1，使得X的第d个合冲是(n, m)-强ξ-Gorenstein投射的，则由定理2.5知，存在正整数k，使得ξ-GpdX = k ≤ d + m。于是存在ξ-正合复形

$0\to K_k\stackrel{}{\to }{P}_{k-1}\stackrel{}{\to }{P}_{k-2}\stackrel{}{\to }{P}_{k-3}\to \cdots \to P_1\stackrel{}{\to }{P}_0\stackrel{}{\to }X\to 0$ ，

其中P_i(0≤ i ≤ k − 1)是ξ-投射的，K_k是ξ-Gorenstein投射的。因为K_k是ξ-Gorenstein投射的，所以存在ξ-正合复形

$0\to K_d\stackrel{}{\to }{Q}_{d-1}\stackrel{}{\to }{Q}_{d-2}\stackrel{}{\to }{Q}_{d-3}\to \cdots \to Q_{k+1}\stackrel{}{\to }{Q}_k\stackrel{}{\to }{K}_k\to 0$ ，

其中Q_k+i(0 ≤ i ≤ d – k – 1)是ξ-投射的，K_d是ξ-Gorenstein投射的。注意到K_d是X的第d个合冲，所以由条件及引理2.6知，K_d是(n, m)-强ξ-Gorenstein投射的。从而由(1)知，K_d是n-强ξ-Gorenstein投射的。故由注记1.4知，对任意i ≥ k，K_i是n-强ξ-Gorenstein投射的。 □

下面给出本文的第二个主要结果。

定理2.8 设整数d ≥ 1，m ≥ 0。若X的第d个合冲是(1, m)-强ξ-Gorenstein投射的，则存在整数k > 0，使得ξ-GpdX = k ≤ d + m，并且X是(1, k)-强ξ-Gorenstein投射的。

证明 由推论2.7(2)，存在整数k > 0，使得ξ-GpdX = k ≤ d + m，并且对任意的i ≥ k，X的第i个合冲是(1, 0)-强ξ-Gorenstein投射的。特别地，存在ξ-正合复形

$0\to K_k\stackrel{}{\to }{P}_{k-1}\stackrel{}{\to }{P}_{k-2}\stackrel{}{\to }{P}_{k-3}\to \cdots \to P_1\stackrel{}{\to }{P}_0\stackrel{}{\to }X\to 0$ ，

其中P_i(0 ≤ i ≤ k − 1)是ξ-投射的，K_k是(1, 0)-强ξ-Gorenstein投射的。因此存在ξ中E-三角 $K_k\stackrel{}{\to }P\stackrel{}{\to }{K}_k\cdots >$ ，其中P是ξ-投射的。由注记1.2和注记2.2知，K_k是(k, 0)-强ξ-Gorenstein投射的。由( [6] ，命题5.5)可得ξ-正合复形

$0\stackrel{}{\to }{Q}_k\stackrel{}{\to }{Q}_{k-1}\stackrel{}{\to }{Q}_{k-2}\to \cdots \to Q_1\stackrel{}{\to }G\stackrel{}{\to }X\to 0$ ，

其中Q_k= P， $G=K_k\oplus P_0$ ， $Q_i=P\oplus P_{i-1}$ ， $i=1,2,\cdots ,k-1$ 。由ξ中E-三角 $G\stackrel{}{\to }Q\stackrel{}{\to }G\stackrel{}{\cdots >}$ 可知， $G=K_k\oplus P_0$ 是(1, 0)-强ξ-Gorenstein投射的，其中 $Q=P\oplus P_0\oplus P_0$ 。于是由马蹄引理( [7] ，引理3.21)可得如下交换图

因为Q_k是ξ-投射的，所以 ${Q^{\prime }}_k$ 也是ξ-投射的。由上述交换图中间复形是ξ-正合复形知，存在ξ中E-三角 $X\stackrel{}{\to }P\text{'}\stackrel{}{\to }X\cdots >$ ，其中 $\xi \text{-pd}P\text{'}\le k$ 。因此，X是(1, k)-强ξ-Gorenstein投射的。 □

设C有可数直和，ξ关于可数直和封闭，则由( [7] ，定理4.17)知，X是ξ-Gorenstein投射的当且仅当X是某个强ξ-Gorenstein投射对象的直和项。这里我们有

定理2.9 设C有可数直和，ξ关于可数直和封闭，X ÎC，整数m ≥ 0。则ξ-GpdX ≤ m当且仅当存在ξ-Gorenstein投射对象G，使得 $X\oplus G$ 是(1, m)-强ξ-Gorenstein投射的。

证明 充分性) 由定理2.5(1)和( [5] ，引理5.1)可得。

必要性) 设ξ-GpdX ≤ m，则存在ξ-正合复形

$0\to K_m\stackrel{}{\to }{P}_{m-1}\stackrel{}{\to }{P}_{m-2}\to \cdots \to P_1\stackrel{}{\to }{P}_0\stackrel{}{\to }X\to 0$ ， (1)

其中P_i是ξ-投射的，，K_m是ξ-Gorenstein投射的。由( [7] ，定理4.17)和注记2.2知，存在ξ-Gorenstein投射对象 $G\text{'}$ ，使得 $K_m\oplus G\text{'}$ 是(1, 0)-强ξ-Gorenstein投射的。对 $G\text{'}$ ，存在ξ-正合复形

$0\to G\text{'}\stackrel{}{\to }{Q}_{m-1}\stackrel{}{\to }{Q}_{m-2}\to \cdots \to Q_1\stackrel{}{\to }{Q}_0\stackrel{}{\to }G\to 0$ ， (2)

其中Q_i是ξ-投射的， $i=0,1,\cdots ,m-1$ ，G是ξ-Gorenstein投射的。将(1)和(2)做直和可得ξ-正合复形

$0\to K_m\oplus G\text{'}\stackrel{}{\to }{P}_{m-1}\oplus Q_{m-1}\to \cdots \to P_1\oplus Q_1\stackrel{}{\to }{P}_0\oplus Q_0\stackrel{}{\to }X\oplus G\to 0$ 。

故 $X\oplus G$ 的第m个合冲 $K_m\oplus G\text{'}$ 是(1, 0)-强ξ-Gorenstein投射的。因此，由命题2.3和定理2.8知， $X\oplus G$ 是(1, m)-强ξ-Gorenstein投射的。 □