工业固废处置供应链激励机制研究

Research on Incentive Mechanism of Industrial Solid Waste Disposal Supply Chain

摘要: 在当前固体废物污染环境防治坚持全链接担责要求下，为实现安全、高效处置目标，利用固废处置供应链动态激励机制促进链上企业合作、防范机会主义行为。本文基于产废企业和利废企业组成的单期和长期合作的委托代理模型，研究固废处置供应链动态激励及固废处置的安全高效问题，分别求解两种模型下的最优激励水平和努力水平，并进一步通过数值算例验证相关结论。研究表明：提高最低环境安全风险率、调整污染责任分担比例可以促进链上企业增强努力和激励；进一步地，动态激励机制不仅在固废处置供应链中发挥机会主义行为防范作用，而且能够为链上企业提供收入保障和实力认证，是固废处置供应链协调中的有效工具。

Abstract: Under the current requirements of full link responsibility for the prevention and control of solid waste pollution, in order to achieve the goal of safe and efficient disposal, the dynamic incentive mechanism of solid waste disposal supply chain is used to promote cooperation between enterprises on the chain and prevent opportunistic behaviors. Based on the single-phase and long-term cooperation principal-agent model composed of waste production enterprises and waste profit enterprises, this paper studies the dynamic incentive of solid waste disposal supply chain and the safety and efficiency of solid waste disposal, respectively solving the optimal incentive level and effort level under the two models, and further verifies the relevant conclusions through numerical examples. The results show that raising the minimum risk rate of environmental safety and adjusting the proportion of pollution responsibility sharing can promote the enterprises on the chain to enhance their efforts and incentives; Further, dynamic incentive mechanism not only plays the role of opportunist behavior prevention in the solid waste disposal supply chain, but also provides income security and strength certification for enterprises on the chain, and is an effective tool in the coordination of solid waste disposal supply chain.

1. 引言

随着我国工业规模的不断扩大，工业固体废物(以下简称固废)排放量也随之居高不下，2021年我国一般工业固体废物产生量为39.7亿吨，由此带来的固废处置问题也受到广泛关注 [1] 。例如，未经无害化处理的固废若随意堆放或倾倒，不仅会侵占大量土地，而且也会污染土壤、水体和空气，从而加剧环境污染的风险。为此，《中华人民共和国固体废物污染环境防治法》(以下简称新《固废法》)于2020年4月29日修订通过，并自2020年9月1日起正式实施，旨在从国家战略层面对固体废物污染环境防治工作进行规划和部署。不同于《水污染防治法》《大气污染防治法》等其他环保单行法，新《固废法》聚焦于一般性生产型企业运营的全过程，要求产废单位建立健全固废全过程环境污染防治责任制度，产废单位委托利废单位处理处置固废时，应当依法承担连带责任 [2] 。进一步地，2022年工业和信息化部、国家发展和改革委员会等八部门联合发布《关于加快推动工业资源综合利用的实施方案》，提出到2025年力争大宗工业固废综合利用率达到57%，各省市在该方案落地中更是提高了要求，如福建省要求2025年一般工业固体废物综合利用率超过80%。可见，对于产废企业而言，在当前新《固废法》要求下，不仅要安全、高效地处置固废，更要从供应链责任的角度出发，设计一种合理的激励机制，积极提高固废利用率。

目前，固体废物呈现出体量大、种类繁多、组分复杂、处理困难等新特点 [3] 。此外，吴婧和曹云梦 [4] 还指出由于各地产业结构不同，经济社会发展水平不同，所产生的固废种类、成分差异较大，分布不均。因此，固废处置问题备受国内外学者的关注。一方面为固废处置过程提供决策依据。如Rathore等 [5] 根据固体废物的分离和非分离情况，在激励、补贴和奖惩机制下研究了供应链的利润情况。Kollikkathara等 [6] 结合固废产生和管理过程的复杂性，使用系统动力学方法探讨了决策方案对不同固废处理方案实现的成本或效益的影响。Yang等 [7] 聚焦中国城市固体废物供应链的收集、运输和处置过程，建立了固废收集站的功能分配和车辆运输路径规划模型，以提高固废的处理效果。另一方面，固废的资源化利用也是固废处置过程中的重要决策。如席北斗等 [8] 通过简述我国固废现状，比较分析目前国内外常用固废处理处置技术的优劣，展望固废资源化技术的发展趋势。陈瑛等 [9] 分析了我国工业固废的资源化需求及潜力，提出了工业固废资源化发展的总体目标。然而上述研究仅考虑了单一行业或区域中的固废处置问题，基于此，陈宋璇等 [10] 通过分析京津冀地区工业、农业、城市等行业固体废物的特点和处理现状，提出了跨行业、跨区域协同利用固体废物的综合途径和解决方案。

由于固废处置供应链中各成员企业的自身利益与整体目标不一致，且参与固废处置的企业之间信息不对称，可能会导致整条供应链效率的降低。因此，有必要设计一种合理的激励机制，消除各方的利益冲突，从而确保供应链整体利益达到最优。众多学者对供应链的激励机制进行了深入探究，如Halati和He [11] 研究了在去中心化供应链中使用基于数量的固定激励来协调库存决策。在此基础上，Zhang等 [12] 研究了信息不对称下，去中心化供应链中的动态激励问题。进一步地，周建亨和毋博 [13] 在一个制造商和一个零售商组成的供应链中，探究了长期支付驱动下的多周期收益分配结构及动态激励问题。除此之外，田厚平和刘长贤 [14] 通过构建委托代理模型，研究了制造商如何设计相应契约来激励分销商提高服务水平进而最大化自身利益的问题。陈艳等 [15] 运用委托代理理论研究了闭环供应链风险分担契约协调问题。

通过对以往文献的梳理和总结，不难发现，供应链激励机制的研究为解决固废处置的安全高效问题提供了新的思路，取得了较为丰硕的成果，也为本文研究固废处置供应链动态激励机制提供了重要的理论依据。综上所述，本文考虑由一个产废企业和一个利废企业组成的固废处置供应链系统，建立长期合作的委托代理模型，同时考虑到固废处置过程中，产废企业和利废企业为满足各自目标可能产生的机会主义行为，分别求解单期静态激励契约模型及长期动态激励契约模型下各主体的最优决策，以期为我国固废处理产业的发展提供决策建议，助力实现经济与环境的协调可持续发展。

2. 问题描述与条件假设

考虑由产废企业和利废企业组成的固废处置两级供应链系统，其中，产废企业为委托人，利废企业为代理人。首先，在产废企业实施固废处置决策时，政府通过经济与行政结合的手段，设定对固废堆积、随意倾倒的惩罚，以要求产废企业采取行动承担固废处置责任。此时，为避免受到政府巨额处罚，且受制于自身处置能力，产废企业往往通过委托利废企业开展固废处置工作，即将一段时间内生产正产品过程中产生的 $q\left(q>0\right)$ 单位固废交给利废企业开展无害化处置，并先给予利废企业一次性固定处置费用 $\alpha$ 。然后，利废企业以利润最大化为目标决定固废处置过程中的努力水平，包括为达到契约要求和政府规定的固废处置标准而付出的提高固废利用率努力水平 $e_1\ge 0$ 以及降低发生环境污染事件概率的努力水平 $e_2\ge 0$ ， $C\left(e_i\right)=e_i^2/2\left(i=1,2\right)$ 表示单一努力成本 [16] 。接着，产废企业在提高固废利用率活动和降低环境污染风险活动上，给予利废企业相应的激励性支付，同时由于固废环境污染风险产生的原因复杂，固废处置供应链上企业可能产生机会主义行为。最后，政府通过观测到的固废处置过程中的固废利用率和发生环境污染事件概率及其可能造成的损失，判定是否达到处置标准，分别对产废企业和利废企业实施奖惩。本文假设产废企业与利废企业是完全理性的，其中产废企业为风险中性，利废企业为风险规避且效用函数表现为Pratt-Arrow型效用函数 [17] ： $u\left({\pi }_r\right)=-{\text{e}}^{-\rho {\pi }_r}$ ， $\rho$ 和 ${\pi }_r$ 分别表示利废企业的绝对风险规避程度和实际货币总收入。

其它相关的假设如下：

(1) 经过利废企业处理处置后的固废可分为两类，一是可作为原材料投入其它生产的可利用固废(固废利用率 $0<\tau <1$ )，二是需进行无害化处理来降低发生环境污染风险的固废(环境污染风险 $0<\theta <1$ )。

(2) 为方便研究和对比，假定利废企业的努力程度 $e_1,e_2$ 之间相互独立 [18] ，分别影响固废利用率 $\tau$ 和发生环境污染风险的概率 $\theta$ ，即有 $\tau =k_1{e}_1+{\epsilon }_1$ ， $\theta =-k_2{e}_2+{\epsilon }_2$ ，其中 ${\epsilon }_i\left(i=1,2\right)$ 为固废处置过程中不受利废企业努力水平影响的随机因素，且 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2$ 相互独立， ${\epsilon }_1$ 服从 $N\left(0,{\sigma }_1^2\right)$ ， ${\epsilon }_2$ 服从 $N\left(0,{\sigma }_2^2\right)$ 。

(3) 产废企业通过销售正产品获得的收益为 $b{q}^2\left(b>0\right)$ ，委托利废企业处置固废给予的报酬为： $Z=\alpha q+{\beta }_1\tau -{\beta }_2\theta$ ，其中 ${\beta }_1$ 、 ${\beta }_2$ 分别为产废企业对利废企业在提高固废利用率和降低环境污染风险活动上的激励系数。

(4) 为便于模型的分析，本文假设政府设定的目标固废利用率为 ${\tau }_0$ ，政府对产废企业和利废企业在提高固废利用率方面的奖惩分别为 [19] ： ${\eta }_{CR}={\gamma }_{CR}\left(\tau -{\tau }_0\right)$ ， ${\eta }_{LR}={\gamma }_{LR}\left(\tau -{\tau }_0\right)$ ， ${\gamma }_{CR}>0$ 和 ${\gamma }_{LR}>0$ 为奖惩系数。设定最低环境安全风险率 ${\theta }_0$ 以降低环境污染风险，若政府通过监察发现固废处置环境污染概率 $\theta \le {\theta }_0$ ，则认为该固废处置供应链上企业在固废无害化处理活动上付出了努力，将可能发生的环境污染事件损失控制在可控范围内。由于固废环境污染风险产生的原因复杂，固废处置供应链上企业为节约成本可能会产生机会主义行为，导致 $\theta >{\theta }_0$ ，此时极易发生环境污染事件且造成损失 $\phi \left(\theta -{\theta }_0\right)$ ，其中 $\phi$ 为环境污染事件造成的最大损失。根据新《固废法》规定：造成环境污染和生态破坏的受托方承担连带责任，因而产废企业需要分担 $\phi \omega \left(\theta -{\theta }_0\right)$ 的损失。

3. 模型构建与分析

3.1. 单期静态激励契约模型

考虑到固废是产废企业在生产过程中产生的副产品，因而在产废企业生产经营过程中会长期存在着对固废处置的需求，因此本节将首先建立单期静态激励契约模型，随后拓展到长期动态激励契约模型。

根据上述假设可以得到，当 $\theta \le {\theta }_0$ 时固废处置供应链上企业的净收益如下：

作为委托人的产废企业单期净收益为： ${\pi }_s=b{q}^2-Z+{\gamma }_{CR}\left(\tau -{\tau }_0\right)$ ，由于产废企业为风险中性，则其单期净收益的期望为： $E\left({\pi }_s\right)=b{q}^2-\alpha q-{\beta }_1{k}_1{e}_1-{\beta }_2{k}_2{e}_2+{\gamma }_{CR}\left(k_1{e}_1-{\tau }_0\right)$ 。

作为代理人的利废企业单期净收益为： ${\pi }_r=Z+{\gamma }_{LR}\left(\tau -{\tau }_0\right)-e_1^2/2-e_2^2/2$ ，其单期净收益的期望为： $E\left({\pi }_r\right)=\alpha q+{\beta }_1{k}_1{e}_1+{\beta }_2{k}_2{e}_2+{\gamma }_{LR}\left(k_1{e}_1-{\tau }_0\right)-e_1^2/2-e_2^2/2$ ，因为利废企业是风险规避的，其效用函数表现为Pratt-Arrow型效用函数，因而利废企业的效用函数期望值为：

$E\left[u\left({\pi }_r\right)\right]=E\left(-{\text{e}}^{-\rho {\pi }_r}\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }-{\text{e}}^{-\rho {\pi }_r}}\cdot {\text{e}}^{-\frac{{({\pi }_r-E({\pi }_r))}^2}{2Var({\pi }_r)}}\text{d}{\pi }_r=-{\text{e}}^{-\rho [E({\pi }_r)-0.5\rho Var({\pi }_r)]}$

由确定性等价收入(CE)可知： $E\left[u\left({\pi }_r\right)\right]=u\left(CE\right)$ ，得到 $CE=E\left({\pi }_r\right)-0.5\rho Var\left({\pi }_r\right)$ 。因此，利废企业效用函数期望的确定性等价收入为：

$CE\left({\pi }_r\right)=\alpha q+{\beta }_1{k}_1{e}_1+{\beta }_2{k}_2{e}_2+{\gamma }_{LR}\left(k_1{e}_1-{\tau }_0\right)-e_1^2/2-e_2^2/2-\rho {\left({\beta }_1+{\gamma }_{LR}\right)}^2{\sigma }_1^2/2$

令S为利废企业的保留收益水平，当其确定性等价收益小于S时，利废企业将不会接受契约，因此利废企业的个人理性化约束即参与约束(IR)为：

$\alpha q+{\beta }_1{k}_1{e}_1+{\beta }_2{k}_2{e}_2+{\gamma }_{LR}\left(k_1{e}_1-{\tau }_0\right)-e_1^2/2-e_2^2/2-\rho {\left({\beta }_1+{\gamma }_{LR}\right)}^2{\sigma }_1^2/2\ge S$

在产废企业给定的激励契约下，利废企业会选择最优的努力水平来最大化自身的确定性等价收益。因此，还需要考虑利废企业的激励相容约束(IC)：

$\underset{e_1,e_2}{\max }\alpha q+{\beta }_1{k}_1{e}_1+{\beta }_2{k}_2{e}_2+{\gamma }_{LR}\left(k_1{e}_1-{\tau }_0\right)-e_1^2/2-e_2^2/2-\rho {\left({\beta }_1+{\gamma }_{LR}\right)}^2{\sigma }_1^2/2$

综上，当 $\theta \le {\theta }_0$ 时，建立固废处置供应链单期静态激励模型如下：

$\underset{{\beta }_1,{\beta }_2}{\max }b{q}^2-\alpha q-{\beta }_1{k}_1{e}_1-{\beta }_2{k}_2{e}_2+{\gamma }_{CR}\left(k_1{e}_1-{\tau }_0\right)$ (1)

$s.t.\left(IR\right)\alpha q+{\beta }_1{k}_1{e}_1+{\beta }_2{k}_2{e}_2+{\gamma }_{LR}\left(k_1{e}_1-{\tau }_0\right)-e_1^2/2-e_2^2/2-\rho {\left({\beta }_1+{\gamma }_{LR}\right)}^2{\sigma }_1^2/2\ge S$ (2)

$\left(IC\right)\underset{e_1,e_2}{\max }\alpha q+{\beta }_1{k}_1{e}_1+{\beta }_2{k}_2{e}_2+{\gamma }_{LR}\left(k_1{e}_1-{\tau }_0\right)-e_1^2/2-e_2^2/2-\rho {\left({\beta }_1+{\gamma }_{LR}\right)}^2{\sigma }_1^2/2$ (3)

对模型进行求解：

首先将式(3)对 $e_i$ 进行求导，并令其导数等于0得到：

$e_1{}^{\ast }=k_1\left({\beta }_1+{\gamma }_{LR}\right)$ (4)

$e_2{}^{\ast }=k_2{\beta }_2$ (5)

由(2)式解出

$\alpha =S/q-\left[{\beta }_1{k}_1{e}_1+{\beta }_2{k}_2{e}_2+{\gamma }_{LR}\left(k_1{e}_1-{\tau }_0\right)-e_1^2/2-e_2^2/2-\rho {\left({\beta }_1+{\gamma }_{LR}\right)}^2{\sigma }_1^2/2\right]/q$ (6)

将(4)式、(5)式、(6)式代入(1)式并对 ${\beta }_1$ 和 ${\beta }_2$ 进行求导，令导数等于0得：

${\beta }_1{}^{\ast }=\frac{k_1^2{\gamma }_{CR}-{\gamma }_{LR}\rho {\sigma }_1^2}{k_1^2+\rho {\sigma }_1^2}$ (7)

${\beta }_2^{*}=0$ (8)

由模型可以看出，在 $\theta \le {\theta }_0$ 的情形下，利废企业在提高固废利用率上的最优努力水平 $e_1^{*}$ 取决于产废企业的激励系数 ${\beta }_1$ 和政府的奖惩系数 ${\gamma }_{LR}$ ，利废企业在降低环境污染风险上的最优努力水平 $e_2^{*}$ 仅取决于产废企业的激励系数 ${\beta }_2$ ，而与损失无关；产废企业对利废企业在提高固废利用率活动上的最优激励系数 ${\beta }_1{}^{\ast }$ 取决于政府的奖惩系数 ${\gamma }_{CR}$ 、利废企业的风险规避度 $\rho$ 和利废企业在提高固废利用率活动中的随机因子 ${\sigma }_1$ ，而产废企业无需激励利废企业展开降低环境污染风险活动，即 ${\beta }_2^{*}=0$ 。

当 $\theta >{\theta }_0$ 时，固废处置供应链上企业的净收益如下：

其中，作为委托人的产废企业单期净收益为： ${\pi }_s=b{q}^2-Z+{\gamma }_{CR}\left(\tau -{\tau }_0\right)-\omega \phi \left(\theta -{\theta }_0\right)$ ，因为产废企业为风险中性，则其单期净收益的期望为： $E\left({\pi }_s\right)=b{q}^2-\alpha q-{\beta }_1{k}_1{e}_1-{\beta }_2{k}_2{e}_2+{\gamma }_{CR}\left(k_1{e}_1-{\tau }_0\right)+\omega \phi \left({\theta }_0+k_2{e}_2\right)$ 。

作为代理人的利废企业单期净收益为： ${\pi }_r=Z+{\gamma }_{LR}\left(\tau -{\tau }_0\right)+\phi \left(1-\omega \right)\left({\theta }_0+\theta \right)-e_1^2/2-e_2^2/2$ ，其单期净收益的期望为： $E\left({\pi }_r\right)=\alpha q+{\beta }_1{k}_1{e}_1+{\beta }_2{k}_2{e}_2+{\gamma }_{LR}\left(k_1{e}_1-{\tau }_0\right)+\phi \left(1-\omega \right)\left({\theta }_0+k_2{e}_2\right)-e_1^2/2-e_2^2/2$ 。此时，利废企业效用函数期望的确定性等价收入为：

$\begin{array}{c}CE\left({\pi }_r\right)=\alpha q+{\beta }_1{k}_1{e}_1+{\beta }_2{k}_2{e}_2-e_1^2/2-e_2^2/2+{\gamma }_{LR}\left(k_1{e}_1-{\tau }_0\right)\\ +\phi \left(1-\omega \right)\left({\theta }_0+k_2{e}_2\right)-\rho {\left({\beta }_1+{\gamma }_{LR}\right)}^2{\sigma }_1^2/2-\rho {\left[\phi \left(1-\omega \right)+{\beta }_2\right]}^2{\sigma }_2^2/2\end{array}$

综上，建立 $\theta >{\theta }_0$ 的固废处置供应链单期静态激励模型如下：

$\underset{{\beta }_1,{\beta }_2}{\max }b{q}^2-\alpha q-{\beta }_1{k}_1{e}_1-{\beta }_2{k}_2{e}_2+{\gamma }_{CR}\left(k_1{e}_1-{\tau }_0\right)+\omega \phi \left({\theta }_0+k_2{e}_2\right)$ (9)

$\begin{array}{l}s.t.\left(IR\right)\alpha q+{\beta }_1{k}_1{e}_1+{\beta }_2{k}_2{e}_2-e_1^2/2-e_2^2/2+{\gamma }_{LR}\left(k_1{e}_1-{\tau }_0\right)\\ +\phi \left(1-\omega \right)\left({\theta }_0+k_2{e}_2\right)-\rho {\left({\beta }_1+{\gamma }_{LR}\right)}^2{\sigma }_1^2/2-\rho {\left[\phi \left(1-\omega \right)+{\beta }_2\right]}^2{\sigma }_2^2/2\ge S\end{array}$ (10)

$\begin{array}{l}\left(IC\right)\underset{e_1,e_2}{\max }\alpha q+{\beta }_1{k}_1{e}_1+{\beta }_2{k}_2{e}_2-e_1^2/2-e_2^2/2+{\gamma }_{LR}\left(k_1{e}_1-{\tau }_0\right)\\ +\phi \left(1-\omega \right)\left({\theta }_0+k_2{e}_2\right)-\rho {\left({\beta }_1+{\gamma }_{LR}\right)}^2{\sigma }_1^2/2-\rho {\left[\phi \left(1-\omega \right)+{\beta }_2\right]}^2{\sigma }_2^2/2\end{array}$ (11)

对模型进行求解：

首先将式(11)对 $e_i$ 进行求导，并令导数等于0得到：

$e_1^{\ast }=k_1\left({\beta }_1+{\gamma }_{LR}\right)$ (12)

$e_2^{\ast }=k_2\left[{\beta }_2+\phi \left(1-\omega \right)\right]$ (13)

由(10)式解出：

$\begin{array}{c}\alpha =S/q-\frac{1}{q}\{{\beta }_1{k}_1{e}_1+{\beta }_2{k}_2{e}_2-e_1^2/2-e_2^2/2+{\gamma }_{LR}{\left(k_1{e}_1-{\tau }_0\right)}^{}\\ +\phi \left(1-\omega \right)\left({\theta }_0+k_2{e}_2\right)-\rho {\left({\beta }_1+{\gamma }_{LR}\right)}^2{\sigma }_1^2/2-\rho {\left[\phi \left(1-\omega \right)+{\beta }_2\right]}^2{\sigma }_2^2/2\}\end{array}$ (14)

将(12)式、(13)式、(14)式代入(9)式并对 ${\beta }_1$ 和 ${\beta }_2$ 进行求导，令导数等于0得：

${\beta }_1{}^{\ast }=\frac{k_1^2{\gamma }_{CR}-{\gamma }_{LR}\rho {\sigma }_1^2}{k_1^2+\rho {\sigma }_1^2}$ (15)

${\beta }_2^{\ast }=\phi \omega -\frac{\phi \rho {\sigma }_2^2}{k_2^2+\rho {\sigma }_2^2}$ (16)

由模型可以看出，式(12)与式(4)、式(15)与式(7)结果相同，即在 $\theta >{\theta }_0$ 的情形下，利废企业在提高固废利用率上的最优努力水平 $e_1^{*}$ 以及产废企业对利废企业在提高固废利用率活动上的最优激励系数 ${\beta }_1{}^{\ast }$ 均与 $\theta \le {\theta }_0$ 的情形一样。不同的是，对比式(13)与式(5)可知，当 $\theta >{\theta }_0$ 时，利废企业在降低环境污染风险上的最优努力水平 $e_2^{*}$ 不仅取决于产废企业的激励系数 ${\beta }_2$ ，还与环境污染风险损失 $\phi$ 及产废企业的损失分担比例 $\omega$ 相关；对比式(16)与式(8)可知，产废企业对利废企业在降低环境污染风险活动上的最优激励系数 ${\beta }_2^{*}$ 则取决于环境污染风险损失 $\phi$ 及产废企业的损失分担比例 $\omega$ 、利废企业的风险规避度 $\rho$ 及其在降低环境污染风险活动中的随机因子 ${\sigma }_2$ 。

可见，固废处置供应链上企业间的损失分担比例不仅会影响利废企业在降低环境污染风险上的最优努力水平 $e_2^{*}$ ，也会影响产废企业对其在降低环境污染风险活动上的最优激励系数 ${\beta }_2^{*}$ ，这是新《固废法》要求“造成环境污染和生态破坏的受托方承担连带责任”带来的供应链激励机制变化情况。

3.2. 长期动态激励契约模型

为保证固废处置供应链的稳定性和安全性，产废企业和利废企业之间要产生“合力”、保持长期的战略伙伴关系，才能实现共同发展、达到共赢，此时需要建立有效的长期动态激励机制。因此，本节模型参数设置与单期模型相同，设合作期数为 $t$ ，折现率为 $\delta$ ，构建 $\theta \le {\theta }_0$ 的固废处置供应链长期动态激励模型如下：

$\underset{{\beta }_1,{\beta }_2}{\max }{\displaystyle \underset{t=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\delta }^t}\left[b{q}^2-\alpha q-{\beta }_1{k}_1{e}_1-{\beta }_2{k}_2{e}_2+{\gamma }_{CR}\left(k_1{e}_1-{\tau }_0\right)\right]$ (17)

$s.t.\left(IR\right){\displaystyle \underset{t=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\delta }^t}\left[\alpha q+{\beta }_1{k}_1{e}_1+{\beta }_2{k}_2{e}_2+{\gamma }_{LR}\left(k_1{e}_1-{\tau }_0\right)-e_1^2/2-e_2^2/2-\rho {\left({\beta }_1+{\gamma }_{LR}\right)}^2{\sigma }_1^2/2\right]\ge S$ (18)

$\left(IC\right)\underset{e_1,e_2}{\max }{\displaystyle \underset{t=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\delta }^t}\left[\alpha q+{\beta }_1{k}_1{e}_1+{\beta }_2{k}_2{e}_2+{\gamma }_{LR}\left(k_1{e}_1-{\tau }_0\right)-e_1^2/2-e_2^2/2-\rho {\left({\beta }_1+{\gamma }_{LR}\right)}^2{\sigma }_1^2/2\right]$ (19)

对模型进行求解，首先将式(19)对 $e_i$ 进行求导，并令导数等于0得到：

$e_1^{**}=k_1\left({\beta }_1+{\gamma }_{LR}\right)$ (20)

$e_2^{**}=k_2{\beta }_2$ (21)

由(18)式解出：

$\alpha =S\left(1-\delta \right)/q\delta -\left[{\beta }_1{k}_1{e}_1+{\beta }_2{k}_2{e}_2-e_1^2/2-e_2^2/2+{\gamma }_{LR}\left(k_1{e}_1-{\tau }_0\right)-\rho {\left({\beta }_1+{\gamma }_{LR}\right)}^2{\sigma }_1^2/2\right]/q$ (22)

将式(20)、式(21)、式(22)代入式(17)并对 ${\beta }_1$ 和 ${\beta }_2$ 进行求导，令导数等于0得：

${\beta }_1{}^{**}=\frac{{\gamma }_{CR}{k}_1^2-{\gamma }_{LR}\rho {\sigma }_1^2}{k_1^2+\rho {\sigma }_1^2}$ (23)

${\beta }_2^{**}=0$ (24)

当 $\theta >{\theta }_0$ 时，固废处置供应链长期动态激励模型如下：

$\underset{{\beta }_1,{\beta }_2}{\max }{\displaystyle \underset{t=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\delta }^t}\left[b{q}^2-\alpha q-{\beta }_1{k}_1{e}_1-{\beta }_2{k}_2{e}_2+{\gamma }_{CR}\left(k_1{e}_1-{\tau }_0\right)+\omega \phi \left({\theta }_0+k_2{e}_2\right)\right]$ (25)

$\begin{array}{l}s.t.\left(IR\right){\displaystyle \underset{t=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\delta }^t}\{\alpha q+{\beta }_1{k}_1{e}_1+{\beta }_2{k}_2{e}_2-e_1^2/2-e_2^2/2+{\gamma }_{LR}{\left(k_1{e}_1-{\tau }_0\right)}^{}\\ +\phi \left(1-\omega \right)\left({\theta }_0+k_2{e}_2\right)-\rho {\left({\beta }_1+{\gamma }_{LR}\right)}^2{\sigma }_1^2/2-\rho {\left[\phi \left(1-\omega \right)+{\beta }_2\right]}^2{\sigma }_2^2/2\}\ge S\end{array}$ (26)

$\begin{array}{l}\left(IC\right)\underset{e_1,e_2}{\max }{\displaystyle \underset{t=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\delta }^t}\{\alpha q+{\beta }_1{k}_1{e}_1+{\beta }_2{k}_2{e}_2-e_1^2/2-e_2^2/2+{\gamma }_{LR}{\left(k_1{e}_1-{\tau }_0\right)}^{}\\ +\phi \left(1-\omega \right)\left({\theta }_0+k_2{e}_2\right)-\rho {\left({\beta }_1+{\gamma }_{LR}\right)}^2{\sigma }_1^2/2-\rho {\left[\phi \left(1-\omega \right)+{\beta }_2\right]}^2{\sigma }_2^2/2\}\end{array}$ (27)

对模型进行求解，首先将式(27)对 $e_i$ 进行求导，并令导数等于0得到：

$e_1^{**}=k_1\left({\beta }_1+{\gamma }_{LR}\right)$ (28)

$e_2^{**}=k_2\left[{\beta }_2+\phi \left(1-\omega \right)\right]$ (29)

由(26)式解出：

$\begin{array}{l}\alpha =S\left(1-\delta \right)/q\delta -\frac{1}{q}\{{\beta }_1{k}_1{e}_1+{\beta }_2{k}_2{e}_2-e_1^2/2-e_2^2/2+{\gamma }_{LR}{\left(k_1{e}_1-{\tau }_0\right)}^{}\\ +\phi \left(1-\omega \right)\left({\theta }_0+k_2{e}_2\right)-\rho {\left({\beta }_1+{\gamma }_{LR}\right)}^2{\sigma }_1^2/2-\rho {\left[\phi \left(1-\omega \right)+{\beta }_2\right]}^2{\sigma }_2^2/2\}\end{array}$ (30)

将式(28)、式(29)、式(30)代入式(25)并对 ${\beta }_1$ 和 ${\beta }_2$ 进行求导，令导数等于0得：

${\beta }_1{}^{**}=\frac{k_1^2{\gamma }_{CR}-{\gamma }_{LR}\rho {\sigma }_1^2}{k_1^2+\rho {\sigma }_1^2}$ (31)

${\beta }_2^{**}=\phi \omega -\frac{\phi \rho {\sigma }_2^2}{k_2^2+\rho {\sigma }_2^2}$ (32)

与单期激励契约模型结果对比，长期合作下的产废企业对利废企业提高固废利用率和降低环境污染风险活动上的最优激励系数与单期合作时保持一致，且利废企业的努力水平也相同。可见，固废处置供应链上，企业间的长期合作效果等同于单期合作效果的叠加。这是因为固废处置供应链上，企业间的当期合作未考虑到前一期合作的影响。

命题1 当 $\theta \le {\theta }_0$ 时，在固废处置供应链长期动态激励契约模型中，产废企业对利废企业提高固废利用率努力的最优激励系数 ${\beta }_1{}^{**}$ ，随着政府对产废企业在提高固废利用率活动上的奖惩系数 ${\gamma }_{CR}$ 增加而增加，随着政府对利废企业在提高固废利用率活动上的奖惩系数 ${\gamma }_{LR}$ 、利废企业的风险规避度 $\rho$ 以及在利废企业提高固废利用率活动中随机因子 ${\sigma }_1^2$ 的增加而减少；产废企业对利废企业降低环境污染风险努力的最优激励系数 ${\beta }_2^{**}$ 为0。

证明求解产废企业对利废企业提高固废利用率努力的最优激励系数 ${\beta }_1{}^{**}$ 关于 ${\gamma }_{CR}$ ， ${\gamma }_{LR}$ ， $\rho$ ， ${\sigma }_1^2$ 的一阶导，得到： $\frac{\partial {\beta }_1^{**}}{\partial {\gamma }_{CR}}=\frac{k_1^2}{k_1^2+\rho {\sigma }_1^2}>0$ ， $\frac{\partial {\beta }_1^{**}}{\partial {\gamma }_{LR}}=-\frac{\rho {\sigma }_1^2}{k_1^2+\rho {\sigma }_1^2}<0$ ， $\frac{\partial {\beta }_1^{**}}{\partial \rho }=-\frac{\left({\gamma }_{CR}+{\gamma }_{LR}\right)k_1^2{\sigma }_1^2}{{\left(k_1^2+\rho {\sigma }_1^2\right)}^2}<0$ ， $\frac{\partial {\beta }_1^{**}}{\partial {\sigma }_1^2}=-\frac{\left({\gamma }_{CR}+{\gamma }_{LR}\right)\rho k_1^2}{{\left(k_1^2+\rho {\sigma }_1^2\right)}^2}<0$ 。证毕。

命题1表明，在 $\theta \le {\theta }_0$ 时，1) 政府对产废企业的奖惩系数越高，产废企业就必须加强对利废企业在提高固废利用率活动上的激励，以提升固废处置过程中固废利用率，从而避免受到政府的惩罚并获得更多的奖励；而政府对利废企业在提高固废利用率活动上的奖惩系数越高，利废企业在固废处置过程中提高固废利用率的积极性也就越高，鉴于此，产废企业就不必对利废企业采取更积极的激励措施，因而其对利废企业在提高固废利用率活动上的激励会降低；2) 利废企业的风险承受能力越弱、在提高固废利用率过程中外界环境的不确定因素越大，其努力提高固废利用率的意愿将大大降低，此时产废企业对利废企业高效处置固废的激励意愿也会降低，可能导致最终没有达到政府对固废处置的要求而受到惩罚，因此产废企业在选择利废企业对固废进行处理处置时，应充分了解利废企业的固废处置能力；3) 因利废企业发生环境污染概率已经达到政府设定的标准，此时产废企业也无需积极激励利废企业，进一步降低环境污染风险。

命题2 当 $\theta >{\theta }_0$ 时，在固废处置供应链长期动态激励契约模型中，产废企业对利废企业提高固废利用率努力的最优激励系数 ${\beta }_1^{**}$ 跟 $\theta \le {\theta }_0$ 时的最优激励系数 ${\beta }_1^{**}$ 相同；产废企业对利废企业降低环境污染风险努力的最优激励系数 ${\beta }_2^{**}$ 随着产废企业为利废企业分担损失比例 $\omega$ 的增加而增加，随着利废企业的风险规避度 $\rho$ 以及在利废企业降低环境污染风险活动中随机因子 ${\sigma }_2^2$ 的增加而减少。

证明求解产废企业对利废企业降低环境污染风险努力的最优激励系数 ${\beta }_2^{**}$ 关于 $\omega$ ， $\rho$ ， ${\sigma }_2^2$ 的一阶导，得到： $\frac{\partial {\beta }_2^{**}}{\partial \omega }=\phi >0$ ， $\frac{\partial {\beta }_2^{**}}{\partial \rho }=-\frac{\phi k_2^2{\sigma }_2^2}{{\left(k_2^2+\rho {\sigma }_2^2\right)}^2}<0$ ， $\frac{\partial {\beta }_2^{**}}{\partial {\sigma }_2^2}=-\frac{\phi \rho k_2^2}{{\left(k_2^2+\rho {\sigma }_2^2\right)}^2}<0$ 。证毕。

命题2 表明，在 $\theta >{\theta }_0$ 时，1) 产废企业为利废企业分担的损失比例越高，意味着产废企业必须加强对利废企业在降低环境污染风险活动上的激励，以降低环境污染概率，从而避免分摊更多的损失；2) 利废企业的风险承受能力越弱、在降低环境污染风险过程中外界环境的不确定因素越大，其努力降低环境污染风险的意愿将大大降低，此时产废企业对利废企业安全处置固废的激励意愿也会降低，可能导致双方都要承担因发生环境污染而造成的巨大损失，因此产废企业在选择利废企业委托固废处理处置活动时，不仅要了解利废企业的固废处置能力，更应充分评估利废企业应对环境污染风险的能力。

为进一步探究各因素的变化对利废企业努力水平的影响，当 $\theta \le {\theta }_0$ 时，将产废企业最优激励系数 ${\beta }_1{}^{**}$ ， ${\beta }_2^{**}$ 代入利废企业最优努力水平 $e_1^{**}$ ， $e_2^{**}$ 中得：

$e_1^{**}=\frac{k_1^3\left({\gamma }_{CR}+{\gamma }_{LR}\right)}{k_1^2+\rho {\sigma }_1^2}$ (33)

$e_2^{**}=0$ (34)

命题3 当 $\theta \le {\theta }_0$ 时，在长期动态激励契约模型中，利废企业提高固废利用率的最优努力水平 $e_1^{**}$ 随着政府对其奖惩系数 ${\gamma }_{LR}$ 及对产废企业奖惩系数 ${\gamma }_{CR}$ 的增加而增加，但随着风险规避度 $\rho$ 以及在利废企业提高固废利用率活动中随机因子 ${\sigma }_1^2$ 的增加而减少；利废企业降低环境污染风险的最优努力水平 $e_2^{**}$ 为0。

证明求解利废企业最优努力水平 $e_1^{**}$ 关于 ${\gamma }_{CR}$ ， ${\gamma }_{LR}$ ， $\rho$ ， ${\sigma }_1^2$ 的一阶导，得到： $\frac{\partial e_1^{**}}{\partial {\gamma }_{CR}}=\frac{k_1^3}{k_1^2+\rho {\sigma }_1^2}>0$ ， $\frac{\partial e_1^{**}}{\partial {\gamma }_{LR}}=\frac{k_1^3}{k_1^2+\rho {\sigma }_1^2}>0$ ， $\frac{\partial e_1^{**}}{\partial \rho }=-\frac{\left({\gamma }_{CR}+{\gamma }_{LR}\right)k_1^3{\sigma }_1^2}{{\left(k_1^2+\rho {\sigma }_1^2\right)}^2}<0$ ， $\frac{\partial e_1^{**}}{\partial {\sigma }_1^2}=-\frac{\left({\gamma }_{CR}+{\gamma }_{LR}\right)\rho k_1^3}{{\left(k_1^2+\rho {\sigma }_1^2\right)}^2}<0$ 。证毕。

命题3表明，在 $\theta \le {\theta }_0$ 时，1) 政府对利废企业的奖惩系数越高，利废企业就必须在提高固废利用率活动上付出更多的努力才能避免受到政府的惩罚并获取更高的奖励。此外，政府对产废企业的奖惩系数越大，产废企业就越希望利废企业能够高效地处置固废，因此愿意提升对利废企业在提高固废利用率活动上的激励强度，从而使得利废企业能够在处理处置固废过程中付出更多的努力；2) 利废企业承受风险的能力越弱、在提高固废利用率过程中外界环境的不确定因素越大，其将会失去努力提高固废利用率的积极性；3) 利废企业应对发生环境污染的风险能力已经达到地方标准，因此不需要再付出努力来降低发生环境污染概率。

而当 $\theta >{\theta }_0$ 时，将产废企业最优激励系数 ${\beta }_1^{**}$ ， ${\beta }_2^{**}$ 代入利废企业最优努力水平 $e_1^{**}$ ， $e_2^{**}$ 中得：

$e_1^{**}=\frac{k_1^3\left({\gamma }_{CR}+{\gamma }_{LR}\right)}{k_1^2+\rho {\sigma }_1^2}$ (35)

$e_2^{**}=\frac{\phi k_2^3}{k_2^2+\rho {\sigma }_2^2}$ (36)

命题4 当 $\theta >{\theta }_0$ 时，在固废处置供应链长期动态激励契约模型中，利废企业提高固废利用率的最优努力水平 $e_1^{**}$ 与 $\theta \le {\theta }_0$ 时的最优努力水平 $e_1^{**}$ 相同；利废企业降低环境污染风险的最优努力水平 $e_2^{**}$ 随着风险规避度 $\rho$ 以及在利废企业降低环境污染风险活动中随机因子 ${\sigma }_2^2$ 的增加而减少。

证明求解利废企业降低环境污染风险的最优努力水平 $e_2^{**}$ 关于 $\rho$ ， ${\sigma }_2^2$ 的一阶导，得到： $\frac{\partial e_2^{**}}{\partial \rho }=-\frac{\left({\gamma }_{CF}+{\gamma }_{LF}\right)k_2^3{\sigma }_2^2}{{\left(k_2^2+\rho {\sigma }_2^2\right)}^2}<0$ ， $\frac{\partial e_2^{**}}{\partial {\sigma }_2^2}=-\frac{\left({\gamma }_{CF}+{\gamma }_{LF}\right)\rho k_2^3}{{\left(k_2^2+\rho {\sigma }_2^2\right)}^2}<0$ 。证毕。

命题4表明，在 $\theta >{\theta }_0$ 时，利废企业承受风险的能力越弱、在降低环境污染风险活动中，其将会失去在降低环境污染风险活动上的积极性。

4. 算例分析

根据上一节模型分析可知，固废处置供应链上企业间的长期合作效果等同于单期合作效果的叠加，因此，在上一节数理模型研究的基础上，本节将进一步分析在长期动态激励契约模型下，利废企业的绝对风险规避程度以及外部随机因素对各主体决策与收益的影响。在下面的数值分析中，参考已有文献的设置，令 $k_1=1$ ， $k_2=1$ ， ${\epsilon }_1=0.5$ ， ${\epsilon }_2=0.5$ ， ${\sigma }_1=1$ ， ${\sigma }_2=1$ ， $b=3$ ， $q=5$ ， $S=24$ ， ${\tau }_0=0.7$ ， ${\theta }_0=0.5$ ， $\phi =10$ ， $\omega =0.5$ ， ${\gamma }_{CR}=2$ ， ${\gamma }_{LR}=2$ ， $\delta =0.8$ ， $\omega =0.5$ 。

图1、图2分别为 $\theta \le {\theta }_0$ 、 $\theta >{\theta }_0$ 时产废企业和利废企业最优决策策略与收益随着利废企业风险规避系数 $\rho$ 变化而变化的趋势图。

由图1、图2可以看出：利废企业风险规避度的增加，意味着其应对外界不确定风险的能力变弱。此时，利废企业为避免过高的风险成本，将降低自身努力水平，不仅固废的利用率难以得到提升，而且在固废处置过程中发生环境污染的风险也很难被控制，进而导致产废企业对利废企业安全、高效处置固废的激励意愿降低，产废企业给予利废企业的报酬减少，产废企业付出的成本降低，收益增加，而利废企业的收益则降低。因此，利废企业想要实现自身收益最大化，就需要投入更多的努力来提高自身应对风险的能力。

图3、图4分别为 $\theta \le {\theta }_0$ 、 $\theta >{\theta }_0$ 时产废企业和利废企业最优收益随着利废企业在固废处置过程中的外部随机因素 ${\epsilon }_1$ ， ${\epsilon }_2$ 方差变化而变化的趋势图。

Figure 1. The relationship between the risk aversion degree $\rho$ of recycling enterprise and the decision-making and income of each subject when $\theta \le {\theta }_0$

图1. $\theta \le {\theta }_0$ 时利废企业风险规避度 $\rho$ 与各主体决策及收益的关系图

Figure 2. The relationship between the risk aversion degree $\rho$ of recycling enterprise and the decision-making and income of each subject when $\theta >{\theta }_0$

图2. $\theta >{\theta }_0$ 时利废企业风险规避度 $\rho$ 与各主体决策及收益的关系图

Figure 3. When $\theta \le {\theta }_0$ , the relationship between the variance of external random factors ${\epsilon }_1$ , ${\epsilon }_2$ and the income of each subject in the solid waste disposal process of recycling enterprise

图3. $\theta \le {\theta }_0$ 时利废企业在固废处置过程中外部随机因素 ${\epsilon }_1$ ， ${\epsilon }_2$ 的方差与各主体收益的关系图

Figure 4. When $\theta >{\theta }_0$ , the relationship between the variance of external random factors ${\epsilon }_1$ , ${\epsilon }_2$ and the income of each subject in the solid waste disposal process of recycling enterprise

图4. $\theta >{\theta }_0$ 时利废企业在固废处置过程中外部随机因素 ${\epsilon }_1$ ， ${\epsilon }_2$ 的方差与各主体收益的关系图

由图3、图4可以看出：1) 在 $\theta \le {\theta }_0$ 与 $\theta >{\theta }_0$ 时，随着提高固废利用率过程中外部随机因素 ${\epsilon }_1$ 的方差 ${\sigma }_1^2$ 增加，利废企业所获得的报酬与政府奖惩表现出的随机性更大，更容易出现消极怠工情绪，因此，产废企业会降低对利废企业在提高固废利用率活动上的激励水平，导致利废企业收益减少，产废企业收益增加。2) 当 $\theta \le {\theta }_0$ 时，由于产废企业与利废企业发生环境污染概率达到政府设定的最低环境安全风险率，因此，降低环境污染风险过程中外部随机因素 ${\epsilon }_2$ 的方差 ${\sigma }_2^2$ 的增加并不会影响两方企业的收益。3) 当 $\theta >{\theta }_0$ 时，在降低环境污染风险活动中，固废处置供应链企业存在机会主义行为，导致发生环境污染概率超过政府设定的最低环境安全风险率，此时，随着降低环境污染风险过程中外部随机因素 ${\epsilon }_2$ 的方差 ${\sigma }_2^2$ 的增加，产废企业会降低对利废企业在降低环境污染风险活动上的激励水平，导致利废企业收益减少，产废企业收益增加。

5. 结语

本文考虑了由产废企业和利废企业构成的固废处置供应链系统，针对固废处置的安全高效问题，建立长期合作的委托代理模型，同时考虑到固废处置过程中，产废企业和利废企业为满足各自目标可能产生的机会主义行为，分别求解单期静态激励契约模型及长期动态激励契约模型下各主体的最优决策和收益，并将结果进行比较，得出以下结论：

1) 在单期和长期激励契约模型下，利废企业提高固废利用率的最优努力水平相同，相应地，产废企业对利废企业提高固废利用率的最优激励系数也相同；而利废企业为降低环境污染的最优努力水平和产废企业对利废企业降低环境污染风险活动上的最优激励系数则因 $\theta >{\theta }_0$ 和 $\theta \le {\theta }_0$ 而异，即固废处置供应链上企业间的长期合作效果等同于单期合作效果的叠加。

2) 在污染全链接担责要求下，固废处置供应链上企业间的损失分担比例不仅会影响利废企业在降低环境污染风险上的最优努力水平，也会影响产废企业对其在降低环境污染风险活动上的最优激励系数。

本文研究的是一个产废企业与一个利废企业组成的固废处置供应链激励机制，在今后的研究中会考虑同时存在多个利废企业竞争的情形和其它固废处置供应链模式，针对多样化激励机制设计展开进一步的研究。