模糊Riesz空间上序稠密集的研究

The Study of Order Dense Sets in Fuzzy Riesz Spaces

摘要: 本文主要讨论了模糊Riesz空间中的模糊序稠密集，模糊quasi序稠密集和模糊super序稠密集的一些基本性质。首先给出模糊理想A在模糊理想B中模糊quasi序稠密的等价条件和模糊理想A和模糊理想B的交是模糊quasi序稠密的必要条件以及A在B中模糊super序稠密的等价条件。其次用模糊quasi序稠密集刻画模糊Archimedean Riesz空间。最后给出Archimedean Riesz空间中模糊理想是模糊super序稠密的充要条件和模糊Archimedean Riesz空间中模糊Riesz子空间是模糊super序稠密的等价条件。

Abstract: This paper discusses some fundamental properties of fuzzy order dense sets, fuzzy quasi order dense sets, and fuzzy super order dense sets in fuzzy Riesz spaces. Firstly, it presents equivalent conditions for fuzzy ideals to be fuzzy quasi order dense in fuzzy ideals, necessary conditions for the intersection of fuzzy ideals to be fuzzy quasi order dense, and equivalent conditions for fuzzy super order density. Then, it characterizes fuzzy Archimedean Riesz spaces using fuzzy quasi order dense sets. Lastly, it provides necessary and sufficient conditions for fuzzy ideals to be fuzzy super order dense in Archimedean Riesz spaces and equivalent conditions for fuzzy Riesz subspaces to be fuzzy super order dense in fuzzy Archimedean Riesz spaces.

1. 引言

二十世纪六十年代Zadeh发表了名为《Fuzzy Sets》[1]的论文，从而宣告模糊数学的诞生，提出了模糊集的概念，创造了研究模糊性或不确定性问题的理论方法。模糊数学是研究众多不确定问题的数学工具，所以模糊数学的研究具有理论和现实意义。模糊集合的研究不仅在理论上有所发展，而且在实际应用中也展现出了广泛的适用性和实用性。随着科技的进步和数据科学的发展，模糊集合理论会在智能系统、机器学习、人工智能等领域得到更深入的研究和应用。随后他在文献[2]中，通过自反性、反对称性和传递性提出了模糊序关系的概念。1992年，P. Venugopalan [3]开始对模糊序集进行系统研究。随后，Beg和Islam [4] [5] [6] [7]研究了模糊Riesz空间、模糊序线性空间、s-完备模糊Riesz空间和模糊Archimedean空间。之后越来越的学者开始对模糊Riesz空间中的性质进行探索和研究。2015年，L. Hong [8]在参考文献[4] [5] [6]的基础上进一步定义了模糊理想、模糊带、模糊Riesz子空间、模糊投影带等概念。随后Iqbal [9]等人定义并研究了无界模糊序收敛及一些应用并证明了模糊Dedekind完备的存在性。2021年，N. Cheng [10]研究了模糊Riesz空间中的模糊Riesz同态，给出模糊Riesz同态与模糊商空间之间的关系。N. Cheng [11]给出当值域空间为模糊Dedekind完备Riesz空间时Hahn-Banach定理的推广。2022年，JJ. Zhao [12]讨论了模糊投影带，并给出模糊序基的定义。2023年，Shailendra [13]讨论了一般模糊算子的刻画，引入基于t-范数、t-余范数和蕴含算子的L-模糊算子，并建立它们的联系。模糊Riesz空间中的模糊序稠密集目前还有很多研究空白。本文的主要任务是探讨模糊Riesz空间中的模糊序稠密集的性质。首先给出模糊理想A在模糊理想B中模糊quasi序稠密的等价条件和模糊理想A和模糊理想B的交是模糊quasi序稠密的必要条件以及A在B中模糊super序稠密的等价条件。其次用模糊quasi序稠密集刻画模糊Archimedean Riesz空间。最后给出Archimedean Riesz空间中模糊理想是模糊super序稠密的充要条件和模糊Archimedean Riesz空间中模糊Riesz子空间是模糊super序稠密的等价条件。

2. 预备知识

定义2.1 [3]设X是论域，模糊关系$\mu :X\times X\to \left[0,1\right]$ 满足如下条件时：

(1) 假设$x\in X$ ，则$\mu \left(x,x\right)=1$ ；(自反性)

(2) 假设$x,y\in X$ ，当$\mu \left(x,y\right)+\mu \left(y,x\right)>1$ ，则$x=y$ ；(反对称性)

(3) 假设$x,z\in X$ ，则$\mu \left(x,z\right)\ge \vee \left(\mu \left(x,y\right)\wedge \mu \left(y,z\right)\right)$ 。(传递性)

则称$\mu$ 是模糊偏序关系，其中$\mu$ 是$X\times X$ 中模糊子集的隶属函数。若集合X中存在模糊偏序关系$\mu$ ，则称X是模糊偏序集，记为$\left(X,\mu \right)$ 。

定义2.2 [5]设$\left(X,\mu \right)$ 是模糊偏序集。若X的所有有限子集都有上确界和下确界，则称X是模糊格。若X的任意子集都有上确界和下确界，则X称为完备的模糊格。

定义2.3 [5] 若X是线性空间，且X中存在模糊偏序关系$\mu$ 满足以下两个条件：

(1) 若$x_1,x_2\in X$ 且$\mu \left(x_1,x_2\right)>\frac{1}{2}$ ，对$x\in X$ ，有$\mu \left(x_1,x_2\right)\le \mu \left(x_1+x,x_2+x\right)$ ；

(2) 若$x_1,x_2\in X$ ，且$\mu \left(x_1,x_2\right)>\frac{1}{2}$ ，对$0<\alpha \in R$ ，有$\mu \left(x_1,x_2\right)\le \mu \left(\alpha x_1,\alpha x_2\right)$ 。

则称X是模糊序线性空间，记为$\left(X,\mu \right)$ 。

定义2.4 [4] $\left(E,\mu \right)$ 如果模糊序向量空间$\left(X,\mu \right)$ 是模糊格，则称其为模糊Riesz空间。

定义2.5 [4] 假设是模糊Riesz空间，D是E的向量子空间，若$x_1,x_2\in D$ ，有$x_1\vee x_2\in D$ 且$x_1\wedge x_2\in D$ ，称D是E的模糊Riesz子空间。

例2.6 [8]设线性空间$X=R^2$ ，定义模糊序$\mu :X\times X\to \left[0,1\right]$ 为

$\mu \left(x,y\right)=\{\begin{array}{l}1,若x=y\\ \frac{2}{3},若x_1\le y_1,x_2\le y_2,且x\ne y\\ 0,其他\end{array}$

其中$x=\left(x_1,x_2\right)$ ，$y=\left(y_1,y_2\right)$ 。$X=R^2$ 是关于模糊序$\mu$ 的模糊序线性空间，同时也是模糊Riesz空间。

定义2.7 [7]假设$\left(X,\mu \right)$ 是有向模糊序向量空间。如果对于任意非负元素$x\in X$ ，集合$\left\{\alpha x:0<\alpha \in R\right\}$ 是无上界的，则称X是模糊Archimedean空间。

定义2.8 [11]假设$\left(X,\mu \right)$ 是模糊偏序集，序列${\left\{x_n\right\}}_{n\in N}$ 属于X。若当$n\le m$ 时，有$\mu \left(x_n,x_m\right)>\frac{1}{2}$ ，则称序列${\left\{x_n\right\}}_{n\in N}$ 是递增的，记作$x_n\uparrow$ 。特别地，如果$x={\sup }_{n\in N}\left\{x_n\right\}$ 存在，就记作$x_n\uparrow x$ 。同样的，若当$n\le m$ 时，有$\mu \left(x_m,x_n\right)>\frac{1}{2}$ ，则称序列${\left\{x_n\right\}}_{n\in N}$ 是递减的，记作$x_n\downarrow$ 。特别地，如果$x={\inf }_{n\in N}\left\{x_n\right\}$ 存在，就记作$x_n\downarrow x$ 。

定义2.9 [8]假设$\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，D是E的子空间，如果它满足以下两个条件：

(1) $u\in D$ 当且仅当$\left|u\right|\in D$ ，$\mu \left(u,v\right)>\frac{1}{2}$ ；

(2) 对任意$v\in D$ ，且$\mu \left(u,v\right)>\frac{1}{2}$ ，有$u\in D$ 。

则称D是E的模糊理想。

例2.10 [8]设$X=C\left(R\right)$ 是R上所有具有坐标代数运算的连续函数的集合。定义隶属函数$\mu :X\times X\to \left[0,1\right]$ ：

$\mu \left(f,g\right)=\{\begin{array}{l}1,若f\left(t\right)=g\left(t\right);\\ \frac{2}{3},若f\left(t\right)\le g\left(t\right),t\in R且f\ne g;\\ 0,其他情况.\end{array}$

则X是模糊Riesz空间。令$I=L^1\left(R\right)$ ，即R上所有可积函数的集合，则I是X的模糊理想。

定义2.11 [8]假设$\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，D是E的子集，若E中存在包含D的最小模糊理想，即为由D生成的模糊理想，可记作$A_D$ 。

定义2.12 [8]假设$\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，$\left\{x_n\right\}\in \left(E,\mu \right)$ ，当$\left(E,\mu \right)$ 中存在另一序列${\left\{r_n\right\}}_{n\in N}$ 满足$\mu \left(\left|x_n-x\right|,r_n\right)>\frac{1}{2}$ 且$r_n\downarrow 0$ ，则称${\left\{x_n\right\}}_{n\in N}$ 模糊序收敛于x，且$x\in X$ ，记做$x_n\stackrel{fo}{\to }x$ ，同时也称x是序列${\left\{x_n\right\}}_{n\in N}$ 的模糊序极限。

定义2.13 [8]假设$\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，S是E的子集。

(1) 如果所有$x_n\stackrel{fo}{\to }x$ ($\left\{x_n\right\}\subseteq S$ )都有$x\in S$ ，则称S是模糊序闭的。

(2) 如果所有$x_n\stackrel{fo}{\to }x$ (${\left\{x_n\right\}}_{n\in N}\subseteq S$ )都有$x\in S$ ，则称S是模糊$\sigma$ -序闭的。

定义2.14 [8]假设$\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，I是E中的模糊理想。

(1) 如果I是模糊序闭的，则称I是E中的模糊带。

(2) 如果I是模糊$\sigma$ -序闭的，则称I是E中的模糊$\sigma$ -理想。$I_{\sigma }$ 表示包含I的最小的模糊$\sigma$ -理想。

定义2.15 [8]假设$\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，则：

(1) 如果任意元素$f,g\in E$ 满足$\left|f\right|\wedge \left|g\right|=0$ ，则称f与g不交，记作$f\perp g$ ；

(2) 假设S是E的子集，如果任意$f\in E$ ，存在$g\in S$ 使得$f\perp g$ ，则称f与S不交，记作$f\perp S$ ；

(3) 假设$S_1,S_2$ 是E的子集，如果任意$f_1\in S_1,f_2\in S_2$ 满足$f_1\perp f_2$ ，则称两个集合不交，记作$S_1\perp S_2$ 。

定义2.16 [4]假设$\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，。如果，则称是x的正部；如果，则称是x的负部；如果，则称是x的绝对值。

定义2.17 [4]假设$\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，且$D\subseteq E$ ，则称$D^d=\left\{x\in E|x\perp y,y\in D\right\}$ 是D的模糊不交补，$D^{dd}$ 是$D^d$ 的模糊不交补，且$D^{dd}={\left(D^d\right)}^d$ 。如果$D_1\subseteq D_2$ ，则$D_2^d\subseteq D_1^d$ 。

性质2.18 [4] 假设$\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，D是E的子集，则下式成立：

(1) $D\subseteq D^{dd}$ ；

(2) $D^d=D^{ddd}$ ；

(3) $D^d\cap D^{dd}=\left\{0\right\}$ ；

(4) 如果$D^d=\left\{0\right\}$ ，则$D^{dd}=E$ ；

(5) $D^d$ 是E的模糊理想；

(6) 如果D是E的模糊理想，则对任意非零$x\in D^{dd}$ 存在非零元素$y\in D$ 使得$\mu \left(\left|y\right|,\left|x\right|\right)>\frac{1}{2}$ 。

3. 模糊Riesz空间中模糊序稠密集的性质

本章首先讨论模糊Riesz空间中的模糊quasi序稠密集和模糊super序稠密集的一些基本性质。其次讨论模糊Archimedean Riesz空间中的模糊序稠密集的一些基本性质。

3.1. 模糊序稠密集的性质

本节首先给出模糊理想A在模糊理想B中模糊quasi序稠密的等价条件。其次给出模糊理想A和模糊理想B的交是模糊quasi序稠密的必要条件。最后给出A在B中模糊super序稠密的等价条件。

定义3.1.1假设$\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，A和B是E中的模糊理想，则：

若$B_A\supseteq B$ ($B_A$ 是由A生成的模糊带)，即对于所有满足$\mu \left(0,u\right)>\frac{1}{2}$ ，$u\in B$ 的元素u，在A中存在某个直集$u_{\tau }$ 满足

$u_{\tau }\uparrow u$ 且$\mu \left(0,u_{\tau }\right)>\frac{1}{2}$ ($u_{\tau }\in A$ )。

称A在B中是模糊序稠密的。

若$A^{dd}\supseteq B$ ，即对B中每个非零元x，在A中存在非零元y满足

$\mu \left(\left|y\right|,\left|x\right|\right)>\frac{1}{2}$ 。

称A在B中是模糊quasi序稠密的。

若$A_{\sigma }\supseteq B$ ，即对于所有满足$\mu \left(0,u\right)>\frac{1}{2}$ ，$u\in B$ 的元素u，在A中存在$u_n$ ($n=1,2,\cdots$ )满足

$u_n\uparrow u$ 且$\mu \left(0,u_n\right)>\frac{1}{2}$ 。

称A在B中是模糊super序稠密的。

例3.1.2假设$E=C\left[0,1\right]$ 是由$\left[0,1\right]$ 上所有的连续函数组成的集合，定义模糊偏序$\mu :E\times E\to \left[0,1\right]$ 为：

$\mu \left(x,y\right)=\{\begin{array}{l}1,若x=y;\\ \frac{2}{3},若x_1\le y_1,x_2\le y_2,且x\ne y\\ 0,其他.\end{array};$

则E是模糊Riesz空间。假设V是由$\left[0,1\right]$ 上所有实函数组成的集合，由于$B_V\supseteq E$ ，因此V在E中是模糊序稠密的。

定理3.1.3假设$\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，A是E中的模糊理想。若A在E中是模糊super序稠密的，则A是模糊序稠密的。若A是模糊序稠密的，则A是模糊quasi序稠密的。

证明：若A在E中是模糊super序稠密的，则$\forall u\in E^{+}$ ，在A中存在$u_n$ ($n=1,2\cdots$ )满足

$u_n\uparrow u$ 且$\mu \left(0,u_n\right)>\frac{1}{2}$ ，

因此A在E中是模糊序稠密的。因$u_n\uparrow u$ ，故

$\mu \left(\left|u_n\right|,\left|u\right|\right)>\frac{\text{1}}{\text{2}}$ ，

所以由定义3.1.1知A在E中是模糊quasi序稠密的。

定理3.1.4假设$\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，A和B是E中的模糊理想，则以下情况等价：

(1) A在B中是模糊quasi序稠密的。

(2) $B^{dd}\subseteq A^{dd}$ 。

(3) $A^{dd}$ 在$B^{dd}$ 中是模糊quasi序稠密的。

证明：(1)$\Rightarrow$ (2)若A在B中是模糊quasi序稠密的，则$A^{dd}\supseteq B$ 。对于任意的$x\in A^{ddd}$ ，有

$x\perp A^{dd}$ ，$x\perp B$ ，

故

$x\in B^d$ ，$A^{ddd}\subseteq B^d$ 。

同理$A^{dddd}\supseteq B^{dd}$ ，因$A\subseteq A^{dd}$ ，故$A^d\subseteq A^{ddd}$ 。

由$A\subseteq A^{dd}$ ，有$A^d\supseteq A^{ddd}$ ，所以$A^d=A^{ddd}$ ，故$A^{dd}=A^{dddd}$ 。

因$B^{dd}\subseteq A^{dddd}$ ，故$B^{dd}\subseteq A^{dd}$ 。

(2)$\Rightarrow$ (3)若$B^{dd}\subseteq A^{dd}$ ，可得$B^{dddd}\subseteq {\left(A^{dd}\right)}^{dd}$ 。

又因$B^{dddd}=B^{dd}$ ，故$B^{dd}\subseteq {\left(A^{dd}\right)}^{dd}$ ，从而$A^{dd}$ 在$B^{dd}$ 中是模糊quasi序稠密的。

(3)$\Rightarrow$ (1)若$A^{dd}$ 在$B^{dd}$ 中是模糊quasi序稠密的，则$B^{dd}\subseteq {\left(A^{dd}\right)}^{dd}$ ，又$A^{dd}=A^{dddd}$ ，故$A^{dd}\supseteq B^{dd}$ 。因$B^{dd}\supseteq B$ ，故$A^{dd}\supseteq B$ ，即A在B中是模糊quasi序稠密的。

定理3.1.5假设$\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，A和B是E中的模糊理想。如果$A\subseteq B$ ，则A在B中是模糊quasi序稠密的充要条件是$A^{dd}=B^{dd}$ 。

证明：必要性：由定义知$A^{dd}\supseteq B$ ，由定理3.1.3的证明知$A^{dd}\supseteq B^{dd}$ 。又因为$A\subseteq B$ ，故$A^{dd}\subseteq B^{dd}$ ，即$A^{dd}=B^{dd}$ 。

充分性：由$A\subseteq B$ ，则$A^{dd}\subseteq B^{dd}$ ，又因为$A^{dd}=B^{dd}$ ，所以$A^{dd}=B^{dd}$ 。由定理3.1.3可知A在B中是模糊quasi序稠密的。

定理3.1.6 假设$\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，A和B是E中的模糊理想。若A和B在E中是模糊quasi序稠密的，则$A\cap B$ 在E中是模糊quasi序稠密的。

证明：若A和B在E中是模糊quasi序稠密的，则$A^{dd}\supseteq E$ ，$B^{dd}\supseteq E$ ，因此$A^{dd}\cap B^{dd}\supseteq E$ 。设

$x\ne 0$ 且$x\in A^{dd}\cap B^{dd}$ ，

则A中存在某个元素$y\ne 0$ ，满足

$\mu \left(\left|y\right|,\left|x\right|\right)>\frac{1}{2}$ ，故$y\in A\cap B^{dd}$ 。

同理，在B中存在某个元素，满足

$\mu \left(\left|z\right|,\left|y\right|\right)>\frac{\text{1}}{\text{2}}$ ，故$z\in A\cap B$ 。

所以对于$A^{dd}\cap B^{dd}$ 中任意的元素$x\ne 0$ ，在$A\cap B$ 中都能找到某个元素$z\ne 0$ 满足$\mu \left(\left|z\right|,\left|x\right|\right)>\frac{\text{1}}{\text{2}}$ 。

由参考文献[14]中定理8.5可知${\left(A\cap B\right)}^{dd}$ 是满足此性质的最大模糊理想，故

$A^{dd}\cap B^{dd}\subseteq {\left(A\cap B\right)}^{dd}$ 。

下证

$A^{dd}\cap B^{dd}\supseteq {\left(A\cap B\right)}^{dd}$ 。

对于${\left(A\cap B\right)}^{dd}$ 中的任意元素x，有$x\perp A^d$ ，故$x\in A^{dd}$ 。同理可证$x\in B^{dd}$ ，从而$x\in A^{dd}\cap B^{dd}$ ，故${\left(A\cap B\right)}^{dd}\subseteq A^{dd}\cap B^{dd}$ 。

而$A^{dd}\cap B^{dd}\subseteq {\left(A\cap B\right)}^{dd}$ ，于是${\left(A\cap B\right)}^{dd}=A^{dd}\cap B^{dd}$ ，因此${\left(A\cap B\right)}^{dd}\supseteq E$ 。即$A\cap B$ 在E中是模糊quasi序稠密的。

定理3.1.7假设$\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，A是E中的模糊理想，则$A\oplus A^d$ 在E中是模糊quasi序稠密的。

证明：反证法：若$A\oplus A^d$ 在E中不是模糊quasi序稠密的，则在E中存在某个非零元x，在$A\oplus A^d$ 中不存在非零元y满足$\mu \left(\left|y\right|,\left|x\right|\right)>\frac{1}{2}$ 。从而$A\oplus A^d$ 中的任意非零元f均满足$\mu \left(\left|x\right|,\left|f\right|\right)>\frac{1}{2}$ 。由定义2.9知，$\mu \left(\left|f\right|-\left|x\right|,\left|f\right|\right)>\frac{1}{2}$ ，故$\left|f\right|-\left|x\right|$ 属于$A\oplus A^d$ 。但$\mu \left(\left|x\right|,\left|f\right|-\left|x\right|\right)>\frac{1}{2}$ 显然是不成立的，因此与$A\oplus A^d$ 中的任意非零元f均满足产生矛盾。

但$\mu \left(\left|x\right|,\left|f\right|-\left|x\right|\right)>\frac{1}{2}$ 显然是不成立的，因此与$A\oplus A^d$ 中的任意非零元f均满足产生矛盾。

故在E中存在某个非零元x，在$A\oplus A^d$ 中存在非零元y满足$\mu \left(\left|y\right|,\left|x\right|\right)>\frac{1}{2}$ ，因此$A\oplus A^d$ 在E中是模糊quasi序稠密的。

定理3.1.8 假设$\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，A和B是E中的模糊理想，则以下结论等价：

(1) A在B中是模糊super序稠密的。

(2) A在$B_{\sigma }$ 中是模糊super序稠密的。

(3) $A_{\sigma }$ 在B中是模糊super序稠密的。

证明：(1)⇒(2)若A在B中是模糊super序稠密的，则对B中所有满足$\mu \left(0,u\right)>\frac{1}{2}$ 的元素u，在A中存在$u_n$ ($n=1,2,\cdots$ )满足$u_n\uparrow u$ 且$\mu \left(0,u_n\right)>\frac{1}{2}$ 。设$B_{\left(B\right)}$ 是由B生成的模糊带。因$B_{\left(B\right)}=\left\{x:x=\sup D,D\subseteq B\right\}$ ，故对$B_{\left(B\right)}$ 中满足$\mu \left(0,u_1\right)>\frac{1}{2}$ 的元素$u_1$ ，在A中存在$u_n$ ($n=1,2,\cdots$ )满足$u_n\uparrow u_1$ 且$\mu \left(0,u_n\right)>\frac{1}{2}$ 。又因$B_{\sigma }\subseteq B_{\left(B\right)}$ ，故A在$B_{\sigma }$ 中是模糊super序稠密的。

(2)⇒(3)若A在$B_{\sigma }$ 中是模糊强序稠密的，则${\left(A_{\sigma }\right)}_{\sigma }=A_{\sigma }\supseteq B_{\sigma }\supseteq B$ ，因此$A_{\sigma }$ 在B中是模糊super序稠密的。

(3)⇒(1)可直接推得。

定理3.1.9假设$\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，A和B是E中的模糊理想。若$A\subseteq B$ ，则A在B中模糊super序稠密的充要条件是$A_{\sigma }=B_{\sigma }$ 。

证明：必要性：若A在B中是模糊super序稠密的，则$A_{\sigma }\supseteq B$ ，故${\left(A_{\sigma }\right)}_{\sigma }=A_{\sigma }\supseteq B_{\sigma }$ 。又因$A\subseteq B$ ，故$A_{\sigma }\subseteq B_{\sigma }$ ，因此$A_{\sigma }=B_{\sigma }$ 。

充分性：若$A\subseteq B$ ，则$A_{\sigma }\subseteq B_{\sigma }$ ，又$A_{\sigma }=B_{\sigma }$ ，故$A_{\sigma }\supseteq B_{\sigma }$ ，因此A在B中是模糊super序稠密的。

定理3.1.10 假设$\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，A、B、C是E中的模糊理想。如果A在B中是模糊super序稠密的，B在C中是模糊super序稠密的，则A在C中是模糊super序稠密的。

证明：若A在B中是模糊super序稠密的，则对C中所有满足$\mu \left(0,u_1\right)>\frac{1}{2}$ 的元素u，在B中存在$m_n$ ($n=1,2,\cdots$ )满足$m_n\uparrow u$ 且$\mu \left(\text{0,}{m}_n\right)>\frac{1}{2}$ 。

因为$\mu \left(\text{0,}{m}_n\right)>\frac{1}{2}$ 且A在B中是模糊super序稠密的，故对于$m_n$ ($n=1,2,\cdots$ )中每个元素$m_i$ ，在A中均有一个$u_n$ 满足$u_n\uparrow m_i$ 且$\mu \left(0,u_n\right)>\frac{1}{2}$ 。

因此对C中所有满足$\mu \left(0,u_1\right)>\frac{1}{2}$ 的元素u，在A中存在某个$u_n$ 满足$u_n\uparrow u$ 且$\mu \left(0,u_n\right)>\frac{1}{2}$ ，即A在C

中是模糊super序稠密的。

定理3.1.11假设$\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，$A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 和B是E中的模糊理想。如果$A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 在B中是模糊super序稠密的，则${\displaystyle {\cap }_1^n{A}_i}$ 在A中也是模糊super序稠密的。

证明：先证明$A_1\cap A_2$ 在B中是模糊super序稠密的。

因A₁，A₂在B中是模糊super序稠密的，则${\left(A_1\right)}_{\sigma }\supseteq B$ ，${\left(A_2\right)}_{\sigma }\supseteq B$ ，故

${\left(A_1\right)}_{\sigma }\cap {\left(A_2\right)}_{\sigma }\supseteq B$ 。

由参考文献[15]中定理20.3知

${\left(A_1\right)}_{\sigma }\cap {\left(A_2\right)}_{\sigma }={\left(A_1\cap A_2\right)}_{\sigma }$ ，

因此${\left(A_1\cap A_2\right)}_{\sigma }\supseteq B$ ，故$A_1\cap A_2$ 在B中是模糊super序稠密的。以此类推，可知${\displaystyle {\cap }_1^n{A}_i}$ 在B中是模糊super序稠密的。

3.2. 模糊Archimedean Riesz空间中的序稠密集的性质

本节首先用模糊quasi序稠密集刻画模糊Archimedean Riesz空间。其次给出Archimedean Riesz空间中模糊理想是模糊super序稠密的充要条件。最后给出模糊Archimedean Riesz空间中模糊Riesz子空间是模糊super序稠密的等价条件。

性质3.2.1假设$\left(L,\mu \right)$ 是模糊Archimedean Riesz空间，D是L中的非空子集，$B_{\left(D\right)}$ 表示由D生成的模糊带。则有$B_{\left(D\right)}=D^{dd}$ 。

证明：可直接推得。

定义3.2.2假设$\left(L,\mu \right)$ 是Archimedean Riesz空间，D是L中的模糊理想。若D在L中模糊super序稠密，则对于任意的$u\in L^{+}$ ，有${\left\{u\right\}}^{dd}\cap D\ne \left\{0\right\}$ ，即存在$v\in D$ 满足$\mu \left(0,v\right)>\frac{1}{2}$ 且$\mu \left(v,u\right)>\frac{1}{2}$ 。

定理3.2.3假设$\left(L,\mu \right)$ 是模糊Archimedean Riesz空间，A是L中的模糊理想，则$A\oplus A^d$ 在L中是模糊序稠密的。

证明：假设$B=A\oplus A^d$ ，$B_{\left(B\right)}$ 是由B生成的模糊带。由性质3.2.1知$B_{\left(B\right)}=B^{dd}$ 。由于$B_{\left(B\right)}^d=B^{ddd}=B^d$ ，$B^d={\left(A\oplus A^d\right)}^d=\left\{0\right\}$ ，故$B^{dd}=L=B_{\left(B\right)}$ ，因此$A\oplus A^d$ 在L中是模糊序稠密的。

定理3.2.4假设$\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，A是E中的模糊理想。若A在E中是模糊quasi序稠密的有A在E中是模糊序稠密的，则E是模糊Archimedean Riesz空间。

证明：设$C=A\oplus A^d$ ，由定理3.1.7可知，$A\oplus A^d$ 在E中是quasi序稠密的，且设C在E中是模糊序稠密的，所以$B_C=L$ 。因对任意$u\in L^{+}$ 有：

。

因此$\mu \left(0,u\right)\ge \frac{1}{2}$ 且$u\in A^{dd}$ 。又因$\mu \left(0,w\right)>\frac{1}{2}$ ，$\mu \left(w,u\right)>\frac{1}{2}$ ，所以$w\in A^{dd}$ ，而$w\in A^d$ ，故$w=0$ 。所以

$u=\sup \left(v:\mu \left(0,v\right)>\frac{1}{2},v\in A,\mu \left(v,u\right)>\frac{1}{2}\right)$ ，

因此$u\in B_A$ ，即$A^{dd}\subseteq B_A$ 。又由$B_A\subseteq A^{dd}$ ，从而$B_A=A^{dd}$ ，根据性质3.2.1知E是模糊Archimedean Riesz空间。

定理3.2.5假设$\left(L,\mu \right)$ 是模糊Archimedean Riesz空间，D是L中的模糊Riesz子空间，且D₁是D中的模糊super序稠密Riesz子空间，则D₁是L中的模糊super序稠密Riesz子空间。

证明：假设$u_1\in D_1^{+}$ ，则在D中存在某个元素u₂，满足

$\mu \left(0,u_2\right)>\frac{1}{2}$ ，且$\mu \left(u_2,u_1\right)>\frac{1}{2}$ 。

对于u₂，在L中存在某个元素u，满足

$\mu \left(0,u\right)>\frac{1}{2}$ ，且$\mu \left(u,u_2\right)>\frac{1}{2}$ 。

因此$\mu \left(u,u_1\right)>\frac{1}{2}$ ，故D₁是L中的模糊super序稠密Riesz子空间。

定理3.2.6 假设$\left(L,\mu \right)$ 是模糊Archimedean Riesz空间，D是L中的模糊Riesz子空间，A是L中的模糊理想，则$A\cap D$ 在A中是模糊super序稠密的。

证明：假设$u\in A^{+}$ ，由于D在L中是强序稠密的，因此在D中存在某个元素v满足$\mu \left(0,v\right)>\frac{1}{2}$ ，$\mu \left(v,u\right)>\frac{1}{2}$ 。

又因为A是L中的模糊理想，故$v\in A$ ，因此$v\in A\cap D$ 。

即$A\cap D$ 在A中是模糊super序稠密的。

定理3.2.7 假设$\left(L,\mu \right)$ 是模糊Archimedean Riesz空间，D是L中的模糊理想。若D在L中是模糊super序稠密的当且仅当D在L中是模糊序稠密的。

证明：假设D在L中是模糊super序稠密的，则对于任意的$u\in L^{+}$ ，有${\left\{u\right\}}^{dd}\cap D\ne \left\{0\right\}$ 。若$D^{dd}\ne L$ ，则$D^d\ne \left\{0\right\}$ ，故在L中存在某个元素u满足$\mu \left(0,u\right)>\frac{1}{2}$ 且$u\in D^d$ 。因${\left\{u\right\}}^{dd}\subseteq D^d$ ，则${\left\{u\right\}}^{dd}\cap D=\left\{0\right\}$ ，与${\left\{u\right\}}^{dd}\cap D\ne \left\{0\right\}$ 矛盾，故$D^{dd}=L$ ，因此D在L中是序稠密的。

若D在L中是模糊序稠密的，设$\mu \left(0,u\right)>\frac{1}{2}$ 且$u\in L$ 。因为D是模糊理想，且$u\in D^{dd}=L$ ，则在D中存在一个元素v满足

$\mu \left(0,v\right)>\frac{1}{2}$ 且$\mu \left(u,v\right)>\frac{1}{2}$ ，

故$v\in {\left\{u\right\}}^{dd}\cap D$ ，因此${\left\{u\right\}}^{dd}\cap D\ne \left\{0\right\}$ ，故D是模糊super序稠密的。

定理3.2.8 设$\left(L,\mu \right)$ 是模糊Archimedean Riesz空间，D是L中的模糊Riesz子空间。则以下情况等价：

(1) D在L中是模糊super序稠密的。

(2) 对任给的$u\in L^{+}$ ，在D中存在某个元素v，满足$\mu \left(0,v\right)>\frac{1}{2}$ ，$\mu \left(v,u\right)>\frac{1}{2}$ 。

(3) 对任给的$u\in L^{+}$ ，满足$u=\sup \left(v:\mu \left(0,v\right)>\frac{1}{2},\mu \left(v,u\right)>\frac{1}{2},v\in D\right)$ 。

(4) 对任给的$u\in L^{+}$ ，满足$A_u\cap D\ne \left\{0\right\}$ ($A_u$ 是由u生成的模糊理想)。

证明：(1)⇒(2)假设$u\in L^{+}$ ，则${\left\{u\right\}}^{dd}\cap I\ne \left\{0\right\}$ 。设$p\in {\left\{u\right\}}^{dd}\cap L$ 且$\mu \left(0,p\right)>\frac{1}{2}$ ，则

$\mu \left(0,\inf \left(u,p\right)\right)>\frac{1}{2}$ 。

因为L是Archimedean Riesz空间，故存在某个自然数n使得$\mu \left(n\inf \left(u,p\right),p\right)>\frac{1}{2}$ 不成立。设

$z={\left(n\inf \left(u,p\right)-p\right)}^{+}$ ，

则有

$\mu \left(0,{\left(n\inf \left(u,p\right)-p\right)}^{+}\right)>\frac{1}{2}$ 。

所以

$z^{dd}\cap L\ne \left\{0\right\}$ 。

再设$w\in z^{dd}\cap L$ ，$\mu \left(0,w\right)>\frac{1}{2}$ ，$q=\inf \left(w,p\right)$ ，则$\mu \left(0,q\right)>\frac{1}{2}$ 。

若

$\mu \left(0,\inf \left(w,z\right)\right)>\frac{1}{2}$ ，$\mu \left(\inf \left(w,z\right),\inf \left(w,np\right)\right)>\frac{1}{2}$ ，$\mu \left(\inf \left(w,np\right),\inf \left(nw,np\right)\right)>\frac{1}{2}$ ，

则$\mu \left(\inf \left(w,np\right),nq=0\right)>\frac{1}{2}$ ，故$w\in z^d$ ，与$w\in z^{dd}$ 矛盾。因为$q=\inf \left(w,p\right)$ ，且$w,p\in D$ ，故$q\in D$ 。注意到

$\mu \left(0,{\left(q-n\inf \left(u,p\right)\right)}^{+}\right)>\frac{1}{2}$ ，$\mu \left({\left(q-n\inf \left(u,p\right)\right)}^{+},{\left(p-n\inf \left(u,p\right)\right)}^{+}\right)>\frac{1}{2}$ ，

则${\left(p-n\inf \left(u,p\right)\right)}^{+}={\left(n\inf \left(u,p\right)-p\right)}^{-}\in z^d$ 。

由

$\mu \left(0,{\left(q-n\inf \left(u,p\right)\right)}^{+}\right)>\frac{1}{2}$ ，$\mu \left({\left(q-n\inf \left(u,p\right)\right)}^{+},p\right)>\frac{1}{2}$ ，$\mu \left(q,w\right)>\frac{1}{2}$ ，

因此

${\left(q-n\inf \left(u,p\right)\right)}^{+}=0$ 。

从而

$\mu \left(q,n\inf \left(u,p\right)\right)>\frac{1}{2}$ ，$\mu \left(n\inf \left(u,p\right),nu\right)>\frac{1}{2}$ ，

故$v=n^{-1}q$ 且$v\in L$ ，$\mu \left(0,v\right)>\frac{1}{2}$ 且$\mu \left(v,u\right)>\frac{1}{2}$ 。

(2)⇒(3)：假设$u\in L^{+}$ ，则D中存在某个元素v，满足

$\mu \left(0,v\right)>\frac{1}{2}$ ，$\mu \left(v,u\right)>\frac{1}{2}$ 。

u是非空集$M_u=\left(v:v\in D,v\le u\right)$ 的一个上界。如果u不是$M_u$ 的上确界，则存在$M_u$ 的一个上界$u_1$ ，满足$\mu \left(u_1,u\right)>\frac{1}{2}$ ，所以在D中存在一个元素$v_1$ 满足

$\mu \left(0,v_1\right)>\frac{1}{2}$ ，$\mu \left(v_1,u-u_1\right)>\frac{1}{2}$ 。

因此对每个$v\in M_u$ 来说，$v+v_1\in M_u$ 。故由归纳法$v+n{v}_1\in M_u$ ($n=1,2,\cdots$ )，得到$\mu \left(0,n{v}_1\right)>\frac{1}{2}$ ，$\mu \left(n{v}_1,u\right)>\frac{1}{2}$ ($n=1,2,\cdots$ )。

因L是Archimedean的，故

$u=\sup M_u=\sup \left(v:v\in D,\mu \left(0,v\right)>\frac{1}{2},\mu \left(v,u\right)>\frac{1}{2}\right)$ .

(3)⇒(4)：假设$u\in L^{+}$ ，由(3)可得在D中存在一个元素v满足$\mu \left(0,v\right)>\frac{1}{2}$ ，$\mu \left(v,u\right)>\frac{1}{2}$ ，因此$A_u\cap L\ne \left\{0\right\}$ 。

(4)⇒(1)：假设$u\in L^{+}$ ，则$A_u\subseteq {\left\{u\right\}}^{dd}$ ，由$A_u\cap L\ne \left\{0\right\}$ 可得${\left\{u\right\}}^{dd}\cap L\ne \left\{0\right\}$ ，故D在中是模糊super序稠密的。

定义3.2.9假设$\left(L,\mu \right)$ 是模糊Archimedean Riesz空间，D是L中的模糊Riesz子空间。如果对于D中的每个带B，在L中都存在唯一的带$B^{\prime }$ 满足$B^{\prime }\cap D=B$ ，则称D具有对L的唯一带拓展性。

定理3.2.10假设$\left(L,\mu \right)$ 是模糊Archimedean Riesz空间，D是L中的模糊Riesz子空间。则D具有对L的唯一带拓展性的充分必要条件是D在L中是模糊super序稠密的。

证明：必要性：假设D具有对L的唯一带拓展性，令$B_{\left\{0\right\}}$ 表示由$\left\{0\right\}$ 生成的带。则D中的带$B_{\left\{0\right\}}$ 在L中有唯一的拓展$B_{\left\{0\right\}}$ 。因此，当L中的带B满足$B\ne B_{\left\{0\right\}}$ 时，一定有$B\cap D\ne B_{\left\{0\right\}}$ ，否则B也会是$B_{\left\{0\right\}}$ 的拓展，与唯一性矛盾。设$u\in L^{+}$ ，L中的带${\left\{u\right\}}^{dd}$ 满足${\left\{u\right\}}^{dd}\ne \left\{0\right\}$ ，因此${\left\{u\right\}}^{dd}\cap D\ne \left\{0\right\}$ ，故D在L中是模糊super序稠密的。

充分性：设D在L中是模糊super序稠密的，由定理3.2.8和定义3.2.9可知，D具有对L的唯一带拓展性，且D中的带B在L中的唯一拓展为$B^{dd}$ 。

4. 结论

本文主要讨论了模糊Riesz空间中模糊序稠密集的相关性质，给出了模糊序稠密、quasi序稠密、super序稠密的定义并讨论了在模糊Riesz空间中满足模糊序稠密的模糊理想的某些特殊性质。首先讨论模糊理想A在模糊理想B中模糊quasi序稠密的等价条件和模糊理想A和模糊理想B的交是模糊quasi序稠密的必要条件以及A在B中模糊super序稠密的等价条件。其次用模糊quasi序稠密集刻画模糊Archimedean Riesz空间。最后给出Archimedean Riesz空间中模糊理想是模糊super序稠密的充要条件和模糊Archimedean Riesz空间中模糊Riesz子空间是模糊super序稠密的等价条件。