三个恒等式的坐标表示及应用

doi:10.12677/aam.2024.136269

期刊菜单

三个恒等式的坐标表示及应用
Coordinate Representation and Application of Three Identities

DOI: 10.12677/aam.2024.136269, PDF, HTML, XML,
作者: 李丽丽, 张群力^*：菏泽学院数学与统计学院，山东菏泽
关键词: 有向距离；行列式；坐标；Directed Distance； Determinant； Coordinate

摘要: 基于有向距离、行列式等理论，推导直线上、平面内、空间内三个恒等式的坐标表达式，从而使中学数学中几何内的求解和证明问题变成简捷、系统的代数问题，实例的应用展示所得结论的可靠性和实用价值。

Abstract: Based on the theory of directed distance and determinant, the coordinate expressions of three identities on a line, in a plane and in space are derived, thus, the problem of solving and proving in geometry in middle school mathematics becomes a simple and systematic algebra problem. The application of examples shows the reliability and practical value of the proposed conclusions.

文章引用：李丽丽, 张群力. 三个恒等式的坐标表示及应用[J]. 应用数学进展, 2024, 13(6): 2802-2814. https://doi.org/10.12677/aam.2024.136269

1. 简介

对抽象、复杂的空间几何问题的简化计算的研究已有了多种方法。[1]对空间几何问题转化为线性代数问题再求解进行了分析，同时举例进行了阐述，但是并没有对此转化所需的基础理论知识进行说明。[2]一文中，举例使用向量恒等式对抽象几何问题进行解决，优化解题过程。本文提出使用向量、行列式性质解决几何问题，是一种全新的方法。

文献[3] [4]中提到，对于直线AB上的点P，用向量表示 $O P = t O A + (1 - t) O B$ 或 $O P = \frac{x O A + y O B}{x + y}$ (在线性代数中，称 $O P$ 为 $O A$ 和 $O B$ 的线性组合)，两者实质一样， $O A$ 和 $O B$ 的系数和为1，但是其中的 $t, x, y$ 具体等于多少，没有明确给出，能否将这种直线上的度量关系拓展到平面、空间中去，均没有相应结果。

相当多的中学几何问题均可以用向量去证明、计算，使问题简捷化。向量法解决问题的关键是点的数值化，就是用点的坐标去量化、推理、演算等，从而将几何问题变成代数问题。

本文在文献[3] [4]内容的基础上，利用有向距离、行列式的性质得到直线上、平面内、空间内点坐标恒等式的坐标表示。

2. 基础知识及主要结论

设O为原点(记为 $O = 0$ )，向量 $O A, A B = O B - O A$ ，分别简记为 $A, B - A$ ；向量的内积 $O A \cdot O B$ 简记为 $A \cdot B$ 。

定义设点 $A, B$ 在平面内，点A指向点B的距离称为A到B的有向距离，记为 $δ (A, B)$ 。

注：根据有向距离的定义知， $δ (A, B) = - δ (B, A)$ 。

引理1 [5] [6]：在 $Δ A B C$ 中，设 $A (x_{0}, y_{0})$ ， $B (x_{1}, y_{1})$ ， $C (x_{2}, y_{2})$ ，令 $B - A = (x_{1} - x_{0}, y_{1} - y_{0}) = (a, b)$ ， $C - A = (x_{2} - x_{0}, y_{2} - y_{0}) = (c, d)$ ，则有 $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} | | \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | | = \frac{1}{2} | a d - b c |$ ，其中外层的 $| \cdot |$ 表示绝对值，内层的 $| \cdot |$ 表示行列式。

引理2 [7] [8]：行列式的性质：

1) 行列式D与其转置行列式 $D^{T}$ 相等。

2) 交换行列式两行(列)，行列式改变符号。

3) 把一个行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k，则等于用数k乘以这个行列式。

4) 若行列式的某一行(列)的所有元素都是两项之和，则该行列式可以表示成如下两个行列式的和，即

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{i 1} + c_{i 1} & b_{i 2} + c_{i 2} & \dots & b_{i n} + c_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{i 1} & b_{i 2} & \dots & b_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | + | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{i 1} & c_{i 2} & \dots & c_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | .$

5) 把一个行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后，加到另一行(列)的对应元素上，所得行列式与原行列式相等。

6) 行列式中两行(列)对应元素成比例，则该行列式的值为零。

7) 行列式按一行(列)展开定理：n阶行列式 $D_{n}$ 等于它的一行(列)元素与其相应的代数余子式乘积之和。

定理1 空间线段AB所在的直线上任意一点P，设 $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ ， $B (x_{B}, y_{B}, z_{B})$ ， $P (x_{P}, y_{P}, z_{P})$ ，则有 $P \cdot δ (A, B) = A \cdot δ (P, B) + B \cdot δ (A, P)$ 。

证明：1) 当线段AB平行于x轴时， $δ (A, B) = x_{B} - x_{A}$ ， $δ (A, P) = x_{P} - x_{A}$ ， $δ (P, B) = x_{B} - x_{P}$ ，如图1所示。

Figure 1. Line segment AB is parallel to the x-axis

图1. 线段AB平行于x轴

$y_{A} = y_{B} = y_{P}$ ， $z_{A} = z_{B} = z_{P}$ ，满足 $x_{P} \cdot (x_{B} - x_{A}) = x_{A} \cdot (x_{B} - x_{P}) + x_{B} \cdot (x_{P} - x_{A})$ ，

$y_{P} \cdot (x_{B} - x_{A}) = y_{A} \cdot (x_{B} - x_{P}) + y_{B} \cdot (x_{P} - x_{A})$ ， $z_{P} \cdot (x_{B} - x_{A}) = z_{A} \cdot (x_{B} - x_{P}) + z_{B} \cdot (x_{P} - x_{A})$ ，

所以有 $P \cdot δ (A, B) = A \cdot δ (P, B) + B \cdot δ (A, P)$ 成立。

同理，当线段AB平行于 $y, z$ 轴时，也有 $P \cdot δ (A, B) = A \cdot δ (P, B) + B \cdot δ (A, P)$ 成立。

2) 当线段AB不平行于坐标轴时，如图2所示。

Figure 2. Line segment AB is not parallel to the axis

图2. 线段AB不平行于坐标轴

若线段AB在xOy平面内，过点 $A, B, P$ 向x轴作垂线，垂足分别为 $M, N, Q$ ，则由平行线分线段成比例定理知， $\frac{δ (A, B)}{δ (M, N)} = \frac{δ (P, B)}{δ (Q, N)} = \frac{δ (A, P)}{δ (M, Q)}$ ， $x_{A} = x_{M}$ ， $x_{B} = x_{N}$ ， $x_{P} = x_{Q}$ 。

由上述证明，得： $x_{Q} \cdot δ (M, N) = x_{M} \cdot δ (Q, N) + x_{N} \cdot δ (M, Q)$ 。

所以 $x_{P} \cdot δ (A, B) = x_{A} \cdot δ (P, B) + x_{B} \cdot δ (A, P)$ 。

同理，过点 $A, B, P$ 向y轴作垂线，得到 $y_{P} \cdot δ (A, B) = y_{A} \cdot δ (P, B) + y_{B} \cdot δ (A, P)$ 。 $z_{P} \cdot δ (A, B) = z_{A} \cdot δ (P, B) + z_{B} \cdot δ (A, P)$ 。

所以有 $P \cdot δ (A, B) = A \cdot δ (P, B) + B \cdot δ (A, P)$ 成立。

3) 当线段AB为空间直线时，将线段AB分别向 $x O y, y O z, z O x$ 面内作投影，仿照上述推理，可得到类似结论。如图3所示。

Figure 3. Line segment AB is a spatial straight line

图3. 线段AB为空间直线

说明：1) 当线段AB为平面线段时， $P \cdot δ (A, B) = A \cdot δ (P, B) + B \cdot δ (A, P)$ 两端同除以 $δ (A, B)$ 时，所得公式为高中课本《解析几何》中的定比分点坐标公式。

2) 当 $δ (A, B)$ ， $δ (P, B)$ ， $δ (A, P)$ 分别为点A和B、点P和B、点A和P之间的距离时，结论同样正确。

3) 利用本公式可以推导出文献[4]中的性质2~性质5。

定理2 在 $Δ A B C$ 中， $A, B, C$ 三点的坐标分别为 $A (x_{A}, y_{A}), B (x_{B}, y_{B}), C (x_{C}, y_{C})$ ， $A, B, C$ 确定的平面上任意一点P的坐标为 $P (x_{P}, y_{P})$ ，则有 $P \cdot ℏ = A \cdot ℏ_{1} + B \cdot ℏ_{2} + C \cdot ℏ_{3}$ ，其中 $ℏ = | \begin{matrix} x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} \\ x_{C} - x_{A} & y_{C} - y_{A} \end{matrix} |$ ， $ℏ_{1} = | \begin{matrix} x_{B} - x_{P} & y_{B} - y_{P} \\ x_{C} - x_{P} & y_{C} - y_{P} \end{matrix} |$ ， $ℏ_{2} = | \begin{matrix} x_{C} - x_{P} & y_{C} - y_{P} \\ x_{A} - x_{P} & y_{A} - y_{P} \end{matrix} |$ ， $ℏ_{3} = | \begin{matrix} x_{A} - x_{P} & y_{A} - y_{P} \\ x_{B} - x_{P} & y_{B} - y_{P} \end{matrix} |$ ， $ℏ, ℏ_{1}, ℏ_{2}, ℏ_{3}$ 中点的坐标排列依照逆时针顺序， $| \cdot |$ 表示行列式。如图4所示。

证明：由引理2知，

$\begin{array}{l} x_{A} \cdot ℏ_{1} + x_{B} \cdot ℏ_{2} + x_{C} \cdot ℏ_{3} \\ = | \begin{matrix} x_{A} & x_{A} - x_{P} & y_{A} - y_{P} \\ x_{B} & x_{B} - x_{P} & y_{B} - y_{P} \\ x_{C} & x_{C} - x_{P} & y_{C} - y_{P} \end{matrix} | = | \begin{matrix} x_{A} & x_{A} - x_{P} & y_{A} - y_{P} \\ x_{B} - x_{A} & x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} \\ x_{C} - x_{A} & x_{C} - x_{A} & y_{C} - y_{A} \end{matrix} | \\ = | \begin{matrix} x_{A} & - x_{P} & y_{A} - y_{P} \\ x_{B} - x_{A} & 0 & y_{B} - y_{A} \\ x_{C} - x_{A} & 0 & y_{C} - y_{A} \end{matrix} | = - x_{P} \cdot {(- 1)}^{1 + 2} | \begin{matrix} x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} \\ x_{C} - x_{A} & y_{C} - y_{A} \end{matrix} | = x_{P} \cdot ℏ, \end{array}$

同理有 $y_{A} \cdot ℏ_{1} + y_{B} \cdot ℏ_{2} + y_{C} \cdot ℏ_{3} = y_{P} \cdot ℏ$ 。

所以有 $P \cdot ℏ = A \cdot ℏ_{1} + B \cdot ℏ_{2} + C \cdot ℏ_{3}$ 成立。

Figure 4. Three points of A, B, C in the plane

图4. 平面中的A，B，C三点

说明：1) $ℏ, ℏ_{1}, ℏ_{2}, ℏ_{3}$ 中点的坐标排列也可以按照顺时针顺序；

2) 由行列式性质， $ℏ = | \begin{matrix} x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} \\ x_{C} - x_{A} & y_{C} - y_{A} \end{matrix} |$ 换成 $ℏ = | \begin{matrix} x_{C} - x_{B} & y_{C} - y_{B} \\ x_{A} - x_{B} & y_{A} - y_{B} \end{matrix} |$ ， $ℏ = | \begin{matrix} x_{A} - x_{C} & y_{A} - y_{C} \\ x_{B} - x_{C} & y_{B} - y_{C} \end{matrix} |$ 均可以。

3) 如果本定理采取如下证法：

$\begin{array}{l} x_{A} \cdot ℏ_{1} = x_{A} \cdot | \begin{matrix} x_{B} - x_{P} & y_{B} - y_{P} \\ x_{C} - x_{P} & y_{C} - y_{P} \end{matrix} | = x_{A} \cdot (| \begin{matrix} x_{B} & y_{B} - y_{P} \\ x_{C} & y_{C} - y_{P} \end{matrix} | - x_{P} | \begin{matrix} 1 & y_{B} - y_{P} \\ 1 & y_{C} - y_{P} \end{matrix} |) \\ = x_{A} \cdot (| \begin{matrix} x_{B} & y_{B} \\ x_{C} & y_{C} \end{matrix} | - y_{P} | \begin{matrix} x_{B} & 1 \\ x_{C} & 1 \end{matrix} | - x_{P} | \begin{matrix} 1 & y_{B} \\ 1 & y_{C} \end{matrix} | - x_{P} y_{P} | \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} |) \\ = x_{A} \cdot (| \begin{matrix} x_{B} & y_{B} \\ x_{C} & y_{C} \end{matrix} | - y_{P} | \begin{matrix} x_{B} & 1 \\ x_{C} & 1 \end{matrix} | - x_{P} | \begin{matrix} 1 & y_{B} \\ 1 & y_{C} \end{matrix} |), \end{array}$

$x_{B} \cdot ℏ_{2} = x_{B} \cdot (| \begin{matrix} x_{C} & y_{C} \\ x_{A} & y_{A} \end{matrix} | - y_{P} | \begin{matrix} x_{C} & 1 \\ x_{A} & 1 \end{matrix} | - x_{P} | \begin{matrix} 1 & y_{C} \\ 1 & y_{A} \end{matrix} |),$

$x_{C} \cdot ℏ_{3} = x_{C} \cdot (| \begin{matrix} x_{A} & y_{A} \\ x_{B} & y_{B} \end{matrix} | - y_{P} | \begin{matrix} x_{A} & 1 \\ x_{B} & 1 \end{matrix} | - x_{P} | \begin{matrix} 1 & y_{A} \\ 1 & y_{B} \end{matrix} |),$

所以

$\begin{array}{l} x_{A} \cdot ℏ_{1} + x_{B} \cdot ℏ_{2} + x_{C} \cdot ℏ_{3} \\ = x_{A} | \begin{matrix} x_{B} & y_{B} \\ x_{C} & y_{C} \end{matrix} | + x_{B} | \begin{matrix} x_{C} & y_{C} \\ x_{A} & y_{A} \end{matrix} | + x_{C} | \begin{matrix} x_{A} & y_{A} \\ x_{B} & y_{B} \end{matrix} | - y_{P} (x_{A} | \begin{matrix} x_{B} & 1 \\ x_{C} & 1 \end{matrix} | + x_{B} | \begin{matrix} x_{C} & 1 \\ x_{A} & 1 \end{matrix} | + x_{C} | \begin{matrix} x_{A} & 1 \\ x_{B} & 1 \end{matrix} |) \\ - x_{P} (x_{A} | \begin{matrix} 1 & y_{B} \\ 1 & y_{C} \end{matrix} | + x_{B} | \begin{matrix} 1 & y_{C} \\ 1 & y_{A} \end{matrix} | + x_{C} | \begin{matrix} 1 & y_{A} \\ 1 & y_{B} \end{matrix} |) \\ = | \begin{matrix} x_{A} & x_{A} & y_{A} \\ x_{B} & x_{B} & y_{B} \\ x_{C} & x_{C} & y_{C} \end{matrix} | - y_{P} | \begin{matrix} x_{A} & x_{A} & 1 \\ x_{B} & x_{B} & 1 \\ x_{C} & x_{C} & 1 \end{matrix} | - x_{P} | \begin{matrix} x_{A} & 1 & y_{A} \\ x_{B} & 1 & y_{B} \\ x_{C} & 1 & y_{C} \end{matrix} | \\ = - x_{P} | \begin{matrix} x_{A} & 1 & y_{A} \\ x_{B} & 1 & y_{B} \\ x_{C} & 1 & y_{C} \end{matrix} | = - x_{P} | \begin{matrix} x_{A} & 1 & y_{A} \\ x_{B} - x_{A} & 0 & y_{B} - y_{A} \\ x_{C} - x_{A} & 0 & y_{C} - y_{A} \end{matrix} | = x_{P} \cdot ℏ . \end{array}$

同理有 $y_{A} \cdot ℏ_{1} + y_{B} \cdot ℏ_{2} + y_{C} \cdot ℏ_{3} = y_{P} \cdot ℏ$ 。

从上述证明过程得知：

$x_{A} \cdot ℏ_{1} + x_{B} \cdot ℏ_{2} + x_{C} \cdot ℏ_{3} = x_{P} | \begin{matrix} 1 & x_{A} & y_{A} \\ 1 & x_{B} & y_{B} \\ 1 & x_{C} & y_{C} \end{matrix} |,$

$y_{A} \cdot ℏ_{1} + y_{B} \cdot ℏ_{2} + y_{C} \cdot ℏ_{3} = y_{P} | \begin{matrix} 1 & x_{A} & y_{A} \\ 1 & x_{B} & y_{B} \\ 1 & x_{C} & y_{C} \end{matrix} | .$

4) 由文献[9]知：设三角形 $Δ A B C$ 的三个顶点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 和 $C (x_{3}, y_{3})$ ，那么三角形的面积为 $S_{Δ A B C} = | \frac{1}{2} | \begin{matrix} 1 & x_{1} & y_{1} \\ 1 & x_{2} & y_{2} \\ 1 & x_{3} & y_{3} \end{matrix} | |$ 。参考上述说明2可以得到：当P点在 $Δ A B C$ 内时，有

$P \cdot S_{Δ A B C} = A \cdot S_{Δ P B C} + B \cdot S_{Δ P A C} + C \cdot S_{Δ P A B}$ . (1)

5) 当P点在 $Δ A B C$ 的边上时，上述结论也成了，并且(1)式成立的充分必要条件为P点在 $Δ A B C$ 的内部或者边上。

定理3 在空间直角坐标系中， $A, B, C, P$ 四点不共面，坐标分别为 $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ ， $B (x_{B}, y_{B}, z_{B})$ ， $C (x_{C}, y_{C}, z_{C})$ ， $P (x_{P}, y_{P}, z_{P})$ ，空间任意一点Q的坐标为 $Q (x_{Q}, y_{Q}, z_{Q})$ ，则有

$Q \cdot ℏ = A \cdot ℏ_{1} + B \cdot ℏ_{2} + C \cdot ℏ_{3} + P \cdot ℏ_{4},$

其中 $ℏ = | \begin{matrix} x_{A} - x_{P} & y_{A} - y_{P} & z_{A} - z_{P} \\ x_{B} - x_{P} & y_{B} - y_{P} & z_{B} - z_{P} \\ x_{C} - x_{P} & y_{C} - y_{P} & z_{C} - z_{P} \end{matrix} |$ ， $ℏ_{1} = | \begin{matrix} x_{B} - x_{Q} & y_{B} - y_{Q} & z_{B} - z_{Q} \\ x_{P} - x_{Q} & y_{P} - y_{Q} & z_{P} - z_{Q} \\ x_{C} - x_{Q} & y_{C} - y_{Q} & z_{C} - z_{Q} \end{matrix} |$ ， $ℏ_{2} = | \begin{matrix} x_{A} - x_{Q} & y_{A} - y_{Q} & z_{A} - z_{Q} \\ x_{C} - x_{Q} & y_{C} - y_{Q} & z_{C} - z_{Q} \\ x_{P} - x_{Q} & y_{P} - y_{Q} & z_{P} - z_{Q} \end{matrix} |$ ， $ℏ_{3} = | \begin{matrix} x_{A} - x_{Q} & y_{A} - y_{Q} & z_{A} - z_{Q} \\ x_{P} - x_{Q} & y_{P} - y_{Q} & z_{P} - z_{Q} \\ x_{B} - x_{Q} & y_{B} - y_{Q} & z_{B} - z_{Q} \end{matrix} |$ ， $ℏ_{4} = | \begin{matrix} x_{A} - x_{Q} & y_{A} - y_{Q} & z_{A} - z_{Q} \\ x_{B} - x_{Q} & y_{B} - y_{Q} & z_{B} - z_{Q} \\ x_{C} - x_{Q} & y_{C} - y_{Q} & z_{C} - z_{Q} \end{matrix} |$ ， $ℏ, ℏ_{1}, ℏ_{2}, ℏ_{3}, ℏ_{4}$ 中点的坐标排列依照右手系顺序， $| \cdot |$ 表示行列式。如图5所示。

Figure 5. Right hand spatial four points

图5. 右手系空间四点

证明：由引理2知，

$\begin{array}{l} x_{A} \cdot ℏ_{1} + x_{B} \cdot ℏ_{2} + x_{C} \cdot ℏ_{3} + x_{P} \cdot ℏ_{4} \\ = | \begin{matrix} x_{A} & x_{A} - x_{Q} & y_{A} - y_{Q} & z_{A} - z_{Q} \\ x_{B} & x_{B} - x_{Q} & y_{B} - y_{Q} & z_{B} - z_{Q} \\ x_{P} & x_{P} - x_{Q} & y_{P} - y_{Q} & z_{P} - z_{Q} \\ x_{C} & x_{C} - x_{Q} & y_{C} - y_{Q} & z_{C} - z_{Q} \end{matrix} | = | \begin{matrix} x_{A} - x_{P} & x_{A} - x_{P} & y_{A} - y_{P} & z_{A} - z_{P} \\ x_{B} - x_{P} & x_{B} - x_{P} & y_{B} - y_{P} & z_{B} - z_{P} \\ x_{P} & x_{P} - x_{Q} & y_{P} - y_{Q} & z_{P} - z_{Q} \\ x_{C} - x_{P} & x_{C} - x_{P} & y_{C} - y_{P} & z_{C} - z_{P} \end{matrix} | \\ = | \begin{matrix} x_{A} - x_{P} & 0 & y_{A} - y_{P} & z_{A} - z_{P} \\ x_{B} - x_{P} & 0 & y_{B} - y_{P} & z_{B} - z_{P} \\ x_{P} & - x_{Q} & y_{P} - y_{Q} & z_{P} - z_{Q} \\ x_{C} - x_{P} & 0 & y_{C} - y_{P} & z_{C} - z_{P} \end{matrix} | = - x_{Q} \cdot {(- 1)}^{2 + 3} | \begin{matrix} x_{A} - x_{P} & y_{A} - y_{P} & z_{A} - z_{P} \\ x_{B} - x_{P} & y_{B} - y_{P} & z_{B} - z_{P} \\ x_{C} - x_{P} & y_{C} - y_{P} & z_{C} - z_{P} \end{matrix} | = x_{Q} \cdot ℏ . \end{array}$

同理有 $y_{A} \cdot ℏ_{1} + y_{B} \cdot ℏ_{2} + y_{C} \cdot ℏ_{3} + y_{P} \cdot ℏ_{4} = y_{Q} \cdot ℏ, z_{A} \cdot ℏ_{1} + z_{B} \cdot ℏ_{2} + z_{C} \cdot ℏ_{3} + z_{P} \cdot ℏ_{4} = z_{Q} \cdot ℏ$ 。

所以有 $Q \cdot ℏ = A \cdot ℏ_{1} + B \cdot ℏ_{2} + C \cdot ℏ_{3} + P \cdot ℏ_{4}$ 成立。

说明：1) 由行列式的性质知， $ℏ = | \begin{matrix} x_{A} - x_{P} & y_{A} - y_{P} & z_{A} - z_{P} \\ x_{B} - x_{P} & y_{B} - y_{P} & z_{B} - z_{P} \\ x_{C} - x_{P} & y_{C} - y_{P} & z_{C} - z_{P} \end{matrix} |$ 也可以换成其他的表示形式。

2) 如果本定理作如下证明：首先有 $x_{A} \cdot ℏ_{1} + x_{B} \cdot ℏ_{2} + x_{C} \cdot ℏ_{3} + x_{P} \cdot ℏ_{4} = x_{Q} \cdot ℏ$ 。

由引理2得，

$x_{B} \cdot ℏ_{2} = x_{B} \cdot (| \begin{matrix} x_{A} & y_{A} & z_{A} \\ x_{C} & y_{C} & z_{C} \\ x_{P} & y_{P} & z_{P} \end{matrix} | - z_{Q} \cdot | \begin{matrix} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \\ x_{P} & y_{P} & 1 \end{matrix} | - y_{Q} \cdot | \begin{matrix} x_{A} & 1 & z_{A} \\ x_{C} & 1 & z_{C} \\ x_{P} & 1 & z_{P} \end{matrix} | - x_{Q} \cdot | \begin{matrix} 1 & y_{A} & z_{A} \\ 1 & y_{C} & z_{C} \\ 1 & y_{P} & z_{P} \end{matrix} |) .$

$x_{C} \cdot ℏ_{3} = x_{C} \cdot (| \begin{matrix} x_{A} & y_{A} & z_{A} \\ x_{P} & y_{P} & z_{P} \\ x_{B} & y_{B} & z_{B} \end{matrix} | - z_{Q} \cdot | \begin{matrix} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{P} & y_{P} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \end{matrix} | - y_{Q} \cdot | \begin{matrix} x_{A} & 1 & z_{A} \\ x_{P} & 1 & z_{P} \\ x_{B} & 1 & z_{B} \end{matrix} | - x_{Q} \cdot | \begin{matrix} 1 & y_{A} & z_{A} \\ 1 & y_{P} & z_{P} \\ 1 & y_{B} & z_{B} \end{matrix} |) .$

$x_{P} \cdot ℏ_{4} = x_{P} \cdot (| \begin{matrix} x_{A} & y_{A} & z_{A} \\ x_{B} & y_{B} & z_{B} \\ x_{C} & y_{C} & z_{C} \end{matrix} | - z_{Q} \cdot | \begin{matrix} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \end{matrix} | - y_{Q} \cdot | \begin{matrix} x_{A} & 1 & z_{A} \\ x_{B} & 1 & z_{B} \\ x_{C} & 1 & z_{C} \end{matrix} | - x_{Q} \cdot | \begin{matrix} 1 & y_{A} & z_{A} \\ 1 & y_{B} & z_{B} \\ 1 & y_{C} & z_{C} \end{matrix} |) .$

于是有

同理有

$\begin{array}{l} y_{A} \cdot ℏ_{1} + y_{B} \cdot ℏ_{2} + y_{C} \cdot ℏ_{3} + y_{P} \cdot ℏ_{4} \\ = | \begin{matrix} y_{A} & x_{A} & y_{A} & z_{A} \\ y_{B} & x_{B} & y_{B} & z_{B} \\ y_{P} & x_{P} & y_{P} & z_{P} \\ y_{C} & x_{C} & y_{C} & z_{C} \end{matrix} | - z_{Q} \cdot | \begin{matrix} y_{A} & x_{A} & y_{A} & 1 \\ y_{B} & x_{B} & y_{B} & 1 \\ y_{P} & x_{P} & y_{P} & 1 \\ y_{C} & x_{C} & y_{C} & 1 \end{matrix} | - y_{Q} \cdot | \begin{matrix} y_{A} & x_{A} & 1 & z_{A} \\ y_{B} & x_{B} & 1 & z_{B} \\ y_{P} & x_{P} & 1 & z_{P} \\ y_{C} & x_{C} & 1 & z_{C} \end{matrix} | - x_{Q} \cdot | \begin{matrix} y_{A} & 1 & y_{A} & z_{A} \\ y_{B} & 1 & y_{B} & z_{B} \\ y_{P} & 1 & y_{P} & z_{P} \\ y_{C} & 1 & y_{C} & z_{C} \end{matrix} | \\ = - y_{Q} \cdot | \begin{matrix} y_{A} - y_{P} & x_{A} - x_{P} & 0 & z_{A} - z_{P} \\ y_{B} - y_{P} & x_{B} - x_{P} & 0 & z_{B} - z_{P} \\ y_{P} & x_{P} & 1 & z_{P} \\ y_{C} - y_{P} & x_{C} - x_{P} & 0 & z_{C} - z_{P} \end{matrix} | \\ = - y_{Q} \cdot {(- 1)}^{3 + 3} \cdot | \begin{matrix} y_{A} - y_{P} & x_{A} - x_{P} & z_{A} - z_{P} \\ y_{B} - y_{P} & x_{B} - x_{P} & z_{B} - z_{P} \\ y_{C} - y_{P} & x_{C} - x_{P} & z_{C} - z_{P} \end{matrix} | = y_{Q} \cdot ℏ . \end{array}$

$\begin{array}{l} z_{A} \cdot ℏ_{1} + z_{B} \cdot ℏ_{2} + z_{C} \cdot ℏ_{3} + z_{P} \cdot ℏ_{4} \\ = | \begin{matrix} z_{A} & x_{A} & y_{A} & z_{A} \\ z_{B} & x_{B} & y_{B} & z_{B} \\ z_{P} & x_{P} & y_{P} & z_{P} \\ z_{C} & x_{C} & y_{C} & z_{C} \end{matrix} | - z_{Q} \cdot | \begin{matrix} z_{A} & x_{A} & y_{A} & 1 \\ z_{B} & x_{B} & y_{B} & 1 \\ z_{P} & x_{P} & y_{P} & 1 \\ z_{C} & x_{C} & y_{C} & 1 \end{matrix} | - y_{Q} \cdot | \begin{matrix} z_{A} & x_{A} & 1 & z_{A} \\ z_{B} & x_{B} & 1 & z_{B} \\ z_{P} & x_{P} & 1 & z_{P} \\ z_{C} & x_{C} & 1 & z_{C} \end{matrix} | - x_{Q} \cdot | \begin{matrix} z_{A} & 1 & y_{A} & z_{A} \\ z_{B} & 1 & y_{B} & z_{B} \\ z_{P} & 1 & y_{P} & z_{P} \\ z_{C} & 1 & y_{C} & z_{C} \end{matrix} | \\ = - z_{Q} \cdot | \begin{matrix} z_{A} - z_{P} & x_{A} - x_{P} & y_{A} - y_{P} & 0 \\ z_{B} - z_{P} & x_{B} - x_{P} & y_{B} y_{P} & 0 \\ z_{P} & x_{P} & y_{P} & 1 \\ z_{C} - z_{P} & x_{C} - x_{P} & y_{C} y_{P} & 0 \end{matrix} | = z_{Q} \cdot ℏ . \end{array}$

所以有 $Q \cdot ℏ = A \cdot ℏ_{1} + B \cdot ℏ_{2} + C \cdot ℏ_{3} + P \cdot ℏ_{4}$ 成立。

我们能得到：

$x_{A} \cdot ℏ_{1} + x_{B} \cdot ℏ_{2} + x_{C} \cdot ℏ_{3} + x_{P} \cdot ℏ_{4} = x_{Q} \cdot | \begin{matrix} 1 & x_{A} & y_{A} & z_{A} \\ 1 & x_{B} & y_{B} & z_{B} \\ 1 & x_{P} & y_{P} & z_{P} \\ 1 & x_{C} & y_{C} & z_{C} \end{matrix} |,$

$y_{A} \cdot ℏ_{1} + y_{B} \cdot ℏ_{2} + y_{C} \cdot ℏ_{3} + y_{P} \cdot ℏ_{4} = y_{Q} \cdot | \begin{matrix} 1 & x_{A} & y_{A} & z_{A} \\ 1 & x_{B} & y_{B} & z_{B} \\ 1 & x_{P} & y_{P} & z_{P} \\ 1 & x_{C} & y_{C} & z_{C} \end{matrix} |,$

$z_{A} \cdot ℏ_{1} + z_{B} \cdot ℏ_{2} + z_{C} \cdot ℏ_{3} + z_{P} \cdot ℏ_{4} = z_{Q} \cdot | \begin{matrix} 1 & x_{A} & y_{A} & z_{A} \\ 1 & x_{B} & y_{B} & z_{B} \\ 1 & x_{P} & y_{P} & z_{P} \\ 1 & x_{C} & y_{C} & z_{C} \end{matrix} | .$

3) 与定理2的说明4类似，设 $A, B, C, P$ 四点不共面，坐标分别为 $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ ， $B (x_{B}, y_{B}, z_{B})$ ， $C (x_{C}, y_{C}, z_{C})$ ， $P (x_{P}, y_{P}, z_{P})$ ，则三棱锥P-ABC的体积(见文献[10] [11])为： $V_{P - A B C} = | \frac{1}{6} | \begin{matrix} 1 & x_{A} & y_{A} & z_{A} \\ 1 & x_{B} & y_{B} & z_{B} \\ 1 & x_{P} & y_{P} & z_{P} \\ 1 & x_{C} & y_{C} & z_{C} \end{matrix} | |$ 。

点Q在三棱锥P-ABC的内部或者棱上的充分必要条件为 $Q \cdot V_{P - A B C} = A \cdot V_{Q - P B C} + B \cdot V_{Q - P A C} + C \cdot V_{Q - P A B} + P \cdot V_{Q - A B C}$ 。

3. 应用

例1 (2021年全国高考一卷)如图6所示，在三棱锥A-BCD，平面ABD $⊥$ 平面BCD， $A B = A D$ ，O为BD的中点，1) 证明 $O A ⊥ C D$ ；2) 若 $Δ O C D$ 是边长为1的等边三角形，E在棱AD上， $D E = 2 E A$ ，且二面角E-BC-D的大小为45˚，求棱锥A-BCD的体积。

Figure 6. Diagram of example one

图6. 例1图示

Figure 7. Right-hand coordinate system of example one

图7. 建立右手系坐标后的例1

证明：以O为坐标原点，射线OB为x轴正半轴，按照右手法则建立如图7所示的坐标系，则 $O (0, 0, 0)$ 。

1) 设 $A (0, 0, b), B (a, 0, 0), D (- a, 0, 0), C (x, y, 0)$ ，则 $A = O A = (0, 0, b)$ ， $C - D = C D = (- a - x, - y, 0)$ 。又 $(0, 0, b) \cdot (- a - x, - y, 0) = 0 \cdot (- a - x) + 0 \cdot (- y) + b \cdot 0 = 0$ ，所以 $O A ⊥ C D$ ，所以 $O A ⊥ C D$ 。

2) 由(1)得， $B (1, 0, 0), D (- 1, 0, 0), C (- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ 。设 $A (0, 0, b)$ ，则由定理1知： $E (- \frac{1}{3}, 0, \frac{2}{3} b)$ 。过点E在 $Δ A B D$ 内作 $E F ⊥ B D$ ，垂足为F，则 $F (- \frac{1}{3}, 0, 0)$ ， $Δ B F C$ 是 $Δ B E C$ 在平面BCD上的射影三角形。

所以 $B - F = (\frac{4}{3}, 0, 0)$ ， $C - F = (- \frac{1}{6}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ ， $B - E = (\frac{4}{3}, 0, - \frac{2}{3} b)$ ， $C - E = (- \frac{1}{6}, \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{2}{3} b)$ ，

所以 $S_{Δ B F C} = \frac{1}{2} | | \begin{matrix} i & j & k \\ \frac{4}{3} & 0 & 0 \\ - \frac{1}{6} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \end{matrix} | | = \frac{1}{2} | | \begin{matrix} \frac{4}{3} & 0 \\ - \frac{1}{6} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix} | k | = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，

$S_{Δ B E C} = \frac{1}{2} | | \begin{matrix} i & j & k \\ \frac{4}{3} & 0 & - \frac{2}{3} b \\ - \frac{1}{6} & \frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{2}{3} b \end{matrix} | | = \frac{1}{2} | | \begin{matrix} 0 & - \frac{2}{3} b \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{2}{3} b \end{matrix} | i + | \begin{matrix} - \frac{2}{3} b & \frac{4}{3} \\ - \frac{2}{3} b & - \frac{1}{6} \end{matrix} | j + | \begin{matrix} \frac{4}{3} & 0 \\ - \frac{1}{6} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix} | k | = \sqrt{\frac{1}{3} (b^{2} + 1)},$

其中 $i, j, k$ 分别为 $x, y, z$ 正半轴上的单位向量。

所以 $\cos 45^{\circ} = \frac{S_{Δ B F C}}{S_{Δ B E C}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{\frac{1}{3} (b^{2} + 1)}}$ ，所以 $b = \pm 1$ 。

不妨取 $b = 1$ ，则 $A (0, 0, 1)$ ， $B - A = (1, 0, - 1)$ ， $C - A = (- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, - 1)$ ， $D - A = (- 1, 0, - 1)$ 。

由引理得 $V_{A - B C D} = \frac{1}{6} | | \begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} | | = \frac{\sqrt{3}}{6}$ 。

例2 [1] [12] (《步步高大一轮复习讲义》配套《课时作业》(文科)第244页第14题)

在等腰直角 $Δ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B = B C = 2$ ， $M, N$ (不与 $A, C$ 重合)为AC边上的两个动点，且满足 $| M N | = \sqrt{2}$ ，则 $B M \cdot B N$ 的取值范围为( )

(A) $[\frac{3}{2}, 2]$ (B) $(\frac{3}{2}, 2)$ (C) $[\frac{3}{2}, 2)$ (D) $[\frac{3}{2}, + \infty)$

解：以点B为坐标原点，向量 $\vec{B A}$ 正方向为x轴正方向，过点B与BA垂直的直线为y轴建系，如图8所示，则 $B (0, 0)$ ， $A (2, 0)$ ， $C (0, 2)$ 。

Figure 8. Diagram of example two

图8. 例2图示

设 $| C M | = λ, | A N | = μ$ ，则有 $λ + μ = \sqrt{2}$ ， $(λ + \sqrt{2}) M = λ N + \sqrt{2} C$ ， $(μ + \sqrt{2}) N = μ M + \sqrt{2} A$ 。

所以有 $(λ + \sqrt{2}) M - λ N = \sqrt{2} C$ ， $(μ + \sqrt{2}) N - μ M = \sqrt{2} A$ 。

于是得到： $(\sqrt{2} (λ + μ) + 2) M = \sqrt{2} (μ + \sqrt{2}) C + \sqrt{2} λ A$ ， $(\sqrt{2} (λ + μ) + 2) N = \sqrt{2} (λ + \sqrt{2}) A + \sqrt{2} μ C$ ，

所以 ${(\sqrt{2} (λ + μ) + 2)}^{2} M \cdot N = 2 [(λ + \sqrt{2}) (μ + \sqrt{2}) + λ μ] A \cdot C + 2 λ (λ + \sqrt{2}) A^{2} + 2 μ (μ + \sqrt{2}) C^{2}$ 。

又 $A \cdot C = 0$ ，所以 $16 M \cdot N = 2 λ (λ + \sqrt{2}) A^{2} + 2 μ (μ + \sqrt{2}) C^{2}$ 。

又 $A^{2} = 4$ ， $C^{2} = 4$ ， $λ + μ = \sqrt{2}$ ，所以 $M \cdot N = \frac{1}{2} (λ^{2} + μ^{2}) + 1 = {(λ - \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + \frac{3}{2}$ 。

又 $0 < λ < \sqrt{2}$ ，所以 $\frac{3}{2} \leq M \cdot N < 2$ 。

即 $B M \cdot B N$ 的取值范围为 $[\frac{3}{2}, 2)$ 。

例3 已知三棱锥D-ABC的顶点坐标分别为： $A (- 1, 3, 1)$ ， $B (1, - 1, 2)$ ， $C (2, - 2, - 1)$ ， $D (3, 1, - 3)$ ，点P在三棱锥D-ABC的内部，且三棱锥P-DBC、三棱锥P-ADC、三棱锥P-ABD和三棱锥P-ABC的体积比为 $1 : 2 : 3 : 4$ ，求点P到 $Δ A B C$ 所在平面的距离。

解由题意知，三棱锥D-ABC的体积[10] [11]为

$V_{D - A B C} = \frac{1}{6} | | \begin{matrix} 1 & - 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & - 2 & - 1 \\ 1 & 3 & 1 & - 3 \end{matrix} | | = \frac{1}{6} \times 30 = 5,$

所以 $V_{P - D B C} = \frac{1}{2}$ ， $V_{P - A D C} = 1$ ， $V_{P - A B D} = \frac{3}{2}$ ， $V_{P - A B C} = 2$ 。

设点P的坐标为 $(x, y, z)$ ，则有

$5 \cdot P = \frac{1}{2} \cdot A + 1 \cdot B + \frac{3}{2} \cdot C + 2 \cdot D,$

即 $5 \cdot (x, y, z) = \frac{1}{2} \cdot (- 1, 3, 1) + 1 \cdot (1, - 1, 2) + \frac{3}{2} \cdot (2, - 2, - 1) + 2 \cdot (3, 1, - 3)$ ， $(10 x, 10 y, 10 z) = (19, - 1, - 10)$ ，

所以点P的坐标为 $(\frac{19}{10}, \frac{- 1}{10}, - 1)$ 。

由题意知， $A B = (2, - 4, 1), A C = (3, - 5, - 2)$ 。

设 $Δ A B C$ 所在平面的法向量为 $α = (m, n, r)$ ，则有 $α ⊥ A B, α ⊥ A C$ ，即

${\begin{cases} 2 m - 4 n + r = 0, \\ 3 m - 5 n - 2 r = 0. \end{cases}$

取 $m = 13$ ， $n = 7$ ， $r = 2$ ，得到 $α = (13, 7, 2)$ ，所以 $Δ A B C$ 所在平面的方程为

$13 (x + 1) + 7 (y - 3) + 2 (z - 1) = 0,$

于是点P到 $Δ A B C$ 所在平面的距离为 $\frac{| 13 (\frac{19}{10} + 1) + 7 (\frac{- 1}{10} - 3) + 2 (- 1 - 1) |}{\sqrt{13^{2} + 7^{2} + 2^{2}}} = \frac{6 \sqrt{222}}{111}$ 。

4. 结论

文中提出的基于有向距离、行列式等理论基础，对直线上、平面内和空间内的点坐标恒等式进行转化，可以很好地将抽象的几何问题转化为代数问题，进而进行求解。此时，要求学生具有较好的行列式基础知识、知识转移能力，这对于大多数中学生来说是有一定难度的。同时，对中学教师的教学方法和教学知识的储备也有了更高的要求。文中只是列举了部分例题，并没有对空间几何问题进行全面地分析和分类，因此应继续对空间几何问题进行归纳、总结、分类，能够、对空间几何问题转化为可用行列式知识解决进行更全面的分析、研究和阐述。

NOTES

^*通讯作者Email:qunli-zhang@126.com

参考文献

[1]	陈晓明. 极化恒等式在平面向量中的应用举例[J]. 数理化学习(高中版), 2021(12): 3-5.
[2]	钱伟密, 张启兆. 三个向量恒等式在解题中的应用[J]. 中学生数理化(高一使用), 2022(6): 13+20.
[3]	张景中, 彭翕成. 点几何的解题应用:计算篇[J]. 数学通报, 2019, 58(3): 1-5+58.
[4]	邓云春, 张传军, 左羽, 等. 点几何的线性运算及应用[J]. 高等数学研究, 2022, 25(1): 74-79+115.
[5]	朱天龙, 郭美玉. 拉普拉斯三角形面积公式探索与几何解释[J]. 中学生数学, 2022(9): 21-23.
[6]	朱天龙, 邢璐雪. 拉普拉斯二维化与三角形面积公式[J]. 中学生数学, 2021(21): 26-27.
[7]	北京大学数学系前代数小组, 编. 高等代数[M]. 第5版. 王萼芳, 石生明, 修订. 北京: 高等教育出版社, 2021: 40-54.
[8]	黄廷祝, 成孝予. 线性代数[M]. 第3版. 北京: 高等教育出版社, 2009: 40-48.
[9]	唐盼盼, 曾小平, 郭焕玲. 三角形面积公式的多种形式[J]. 数学之友, 2021(4): 84-85+88.
[10]	李国望, 卞革, 付芳芳. 向量混合积与四面体体积公式的教学探究[J]. 高等数学研究, 2021, 24(3): 57-59+33.
[11]	何朝葵, 郑苏娟, 孙中喜. 行列式的几何意义及多面体体积的计算[J]. 大学数学, 2021, 37(3): 105-109.
[12]	陈晓明. 极化恒等式在平面向量中的应用[J]. 数理天地(高中版), 2021(12): 5-7.

为你推荐

友情链接