基于(G'/G)展开法求解(1 + 1)维积分微分Ito方程的新精确解

New Exact Solution for (1 + 1)-Dimensional Integro-Differential Ito Equation Based on Expansion (G'/G) Method

摘要: (G'/G)展开法可以有效的求解出非线性偏微分方程的精确解。本文利用(G'/G)展开法及齐次平衡原则，对(1 + 1)维积分微分Ito方程进行求解，得到该方程新的精确解，这些解包括双曲函数解、三角函数解以及有理函数解。根据待定参数之间的关系对参数进行取值，运用数学软件Maple画出精确解的图像。

Abstract: The (G'/G) expansion method can effectively solve the exact solution of nonlinear partial differential equations. In this paper, we use the (G'/G) expansion method and the homogeneous balance rule to solve the (1 + 1) -dimensional integro-differential Ito equation, and obtain its new exact solutions, which include hyperbolic, trigonometric and rational solutions. According to the relationship between the undetermined parameters, the parameters are valued. The image of the exact solution is obtained by Maple software.

1. 引言

非线性偏微分方程常用于描述物理、生物、化学等领域中的非线性现象，而精确解的表达形式能够很好地解释这些现象。因此求解非线性偏微分方程变得越来越重要。到目前为止，已经有许多有效的方法可以求解非线性偏微分方程的精确解，比如Hirota双线性法、F展开法、齐次平衡法、(G'/G)展开法、Darboux变换法、Jacobi椭圆函数展开法等[1]-[8]。其中(G'/G)展开法是基于齐次平衡原则的方法，由王明亮等人首次提出[9]，可以有效的求解非线性偏微分方程。

在1980年，物理学家Ito提出了(1 + 1)维积分微分Ito方程，其是KdV方程的推广，可以扩展成KdV方程的双线性形式。Ito是一类重要的非线性偏微分方程，可以描述客观世界中许多的非线性现象。(1 + 1)维积分微分Ito方程为：

$u_{tt}+u_{xxxt}+3\left(2u_x{u}_t+u{u}_{xt}\right)+3u_{xx}{\partial }^{-1}\left(u_t\right)=0$ (1)

其中$u=u\left(x,t\right)$ ，${\partial }^{-1}(\cdot )={\displaystyle {\int }_{-\infty }^x(\cdot )\text{d}x}$ 。

TahiraBatool等人通过各种变换得到积分微分Ito方程的周期交叉有理解、扭结交叉有理解等精确解[10]，Khaled A. Gepreel等人利用扩展的Kudryashov方法得到方程(1)的指数型行波解[11]。而本文将运用(G'/G)展开法得到(1 + 1)维积分微分Ito方程新的双曲函数解、三角函数角和有理函数解。

2. (G'/G)展开法简述

对于含独立变量$x,t$ 的非线性偏微分方程：

$F\left(u,u_t,u_x,u_{xt},u_{tt},u_{xx},\cdots \right)=0$ (2)

其中$u=u\left(x,t\right)$ 是未知函数，F是含u以及u关于$x,t$ 的各阶偏导数的多项式。(G'/G)展开法的主要步骤如下：

首先引入行波变换：

$u\left(x,t\right)=u\left(\xi \right),\xi =x-ct$ (3)

将独立变量$x,t$ 转化为行波变量$\xi$ 。因此可将方程(2)转变成只含行波变量$\xi$ 的常微分方程(ODE)：

$W\left(u,u^{\prime },u^{″},\cdots \right)=0$ (4)

其中$u^{\prime }=\frac{\text{d}u}{\text{d}\xi },u^{″}=\frac{{\text{d}}^{2}u}{\text{d}{\xi }^2},\cdots$ ，W是含u以及u关于$\xi$ 的各阶导数的多项式。

假设方程(4)的解可表示成(G'/G)的多项式形式：

$u\left(\xi \right)={{\displaystyle \sum _{i=0}^m{a}_i\left(\frac{G^{\prime }}{G}\right)}}^i$ (5)

其中$G\left(\xi \right)$ 满足二阶线性ODE：

${G^{\prime }}^{\prime }\left(\xi \right)+\lambda G^{\prime }\left(\xi \right)+\mu G\left(\xi \right)=0$ (6)

而式(5)和方程(6)中的$a_i\left(i=0,1,\cdots ,m\right)$ ，$\lambda$ 和$\mu$ 为待定常数，且$a_m\ne 0$ ，m由齐次平衡法确定。

由方程(6)可知：

${\left(\frac{G^{\prime }}{G}\right)}^{\prime }=-\mu -\lambda \left(\frac{G^{\prime }}{G}\right)-{\left(\frac{G^{\prime }}{G}\right)}^2$ (7)

其次，将式(5)代入方程(4)，再运用式(6)和式(7)来进行化简，将方程(4)的左端变成关于(G'/G)的多项式，令(G'/G)各次幂前的系数为零，得到关于$a_i\left(i=0,1,2,\cdots \right),c,\lambda ,\mu$ 的一组方程组。

最后，借助相关数学软件(如Maple)求解上述方程组，并由式(6)的通解可得(G'/G)对应的三种形式：

$\frac{G^{\prime }\left(\xi \right)}{G\left(\xi \right)}=\{\begin{array}{l}-\frac{\lambda }{2}+\frac{\sqrt{\phi }}{2}\frac{C_1\sinh \frac{\sqrt{\phi }}{2}\xi +C_2\cosh \frac{\sqrt{\phi }}{2}\xi }{C_1\cosh \frac{\sqrt{\phi }}{2}\xi +C_2\sinh \frac{\sqrt{\phi }}{2}\xi },\phi >0\\ -\frac{\lambda }{2}+\frac{C_2}{C_1+C_2\xi },\phi =0\\ -\frac{\lambda }{2}+\frac{\sqrt{-\phi }}{2}\frac{-C_1\sin \frac{\sqrt{-\phi }}{2}\xi +C_2\cos \frac{\sqrt{-\phi }}{2}\xi }{C_1\cos \frac{\sqrt{-\phi }}{2}\xi +C_2\sin \frac{\sqrt{-\phi }}{2}\xi },\phi <0\end{array}$ (8)

其中$\phi ={\lambda }^2-4\mu$ ，C₁，C₂为待定常数。

将$a_i\left(i=0,1,2,\cdots \right),c$ 和(G'/G)的三种情形代入式(5)，即可得到方程(2)的精确解列。

3. (1 + 1)维积分微分Ito方程的精确解

本部分主要讲述(1 + 1)维积分微分Ito方程(1)的求解。假设$u\left(x,t\right)=U_x\left(x,t\right)$ ，方程(1)可化简成：

$U_{xtt}+U_{xxxxt}+3\left(2U_{xx}{U}_{xt}+U_x{U}_{xxt}\right)+3U_t{U}_{xxx}=0$ (9)

再对方程(9)进行行波变换，令$U\left(x,t\right)=U\left(\xi \right);\xi =x-ct$ ，可得到方程：

$c^2{U}^{″}-c{U}^{\left(5\right)}-6c{\left(U^{″}\right)}^2-6c{U}^{\prime }{U}^{″}=0$ (10)

接着对方程(10)关于$\xi$ 积分两次，可得到方程：

$c{U}^{\prime }-U^{‴}-3{\left(U^{\prime }\right)}^2+k_1=0$ (11)

其中$k_1$ 为积分常数。由方程(11)中最高阶导数项$U^{‴}$ 与非线性项${\left(U^{\prime }\right)}^2$ 的齐次平衡，可得到式(5)中的$m=1$ ，因此可设方程(11)的解为如下形式：

$U\left(\xi \right)=a_0+a_1\left(\frac{G^{\prime }}{G}\right)$ (12)

其中$a_1\ne 0,a_0,a_1$ 为待定常数。由式(7)可得：

$U^{\prime }=-a_1\mu -a_1\lambda \left(\frac{G^{\prime }}{G}\right)-a_1{\left(\frac{G^{\prime }}{G}\right)}^2$ (13)

由方程(6)和式(7)可得：

$\begin{array}{c}{U}^{‴}=-6a_1{\left(\frac{G^{\prime }}{G}\right)}^4-12\lambda a_1{\left(\frac{G^{\prime }}{G}\right)}^3+\left(-7{\lambda }^2{a}_1-8\mu a_1\right){\left(\frac{G^{\prime }}{G}\right)}^2\\ +\left(-{\lambda }^3{a}_1-8\lambda \mu a_1\right)\left(\frac{G^{\prime }}{G}\right)-{\lambda }^2\mu a_1-2{\mu }^2{a}_1\end{array}$ (14)

将式(13)和式(14)代入方程(11)，合并${\left(\frac{G^{\prime }}{G}\right)}^i\left(i=0,1,2,3,4\right)$ 前的系数，并令其为零，可得如下方程组：

$\{\begin{array}{l}-3a_1^2+6a_1=0\\ -6\lambda a_1^2+12\lambda a_1=0\\ {\lambda }^3{a}_1-6\lambda \mu a_1^2-c\lambda a_1+8\lambda \mu a_1=0\\ -3{\lambda }^2{a}_1^2+7{\lambda }^2{a}_1-6\mu a_1^2-c{a}_1+8\mu a_1=0\\ a_1{\lambda }^2\mu -3a_1^2{\mu }^2-c{a}_1\mu +2a_1{\mu }^2+k_1=0\end{array}$ (15)

解方程组(15)可得：

$\{\begin{array}{l}c={\lambda }^2-4\mu \\ a_0=a_0\\ a_1=2\\ k_1=0\end{array}$ (16)

下面根据$\phi ={\lambda }^2-4\mu$ 的取值情况进行分类讨论。

情形1 当$\phi >0$ 时，由式(8)、(12)和(16)可知：

$U\left(\xi \right)=a_0+2\left(-\frac{\lambda }{2}+\frac{\sqrt{\phi }}{2}\frac{C_1\sinh \frac{\sqrt{\phi }}{2}\xi +C_2\cosh \frac{\sqrt{\phi }}{2}\xi }{C_1\cosh \frac{\sqrt{\phi }}{2}\xi +C_2\sinh \frac{\sqrt{\phi }}{2}\xi }\right)$ (17)

由$\xi =x-ct$ 可得：

$U\left(x,t\right)=a_0+2\left(-\frac{\lambda }{2}+\frac{\sqrt{\phi }}{2}\frac{C_1\sinh \frac{\sqrt{\phi }}{2}\left(x-ct\right)+C_2\cosh \frac{\sqrt{\phi }}{2}\left(x-ct\right)}{C_1\cosh \frac{\sqrt{\phi }}{2}\left(x-ct\right)+C_2\sinh \frac{\sqrt{\phi }}{2}\left(x-ct\right)}\right)$ (18)

对式(18)两边关于x求导可得：

$U_x\left(x,t\right)=\frac{c\left(C_1^2-C_2^2\right)}{2{\left(C_2\sinh \left(\frac{\left(ct-x\right)\sqrt{\phi }}{2}\right)-C_1\cosh \left(\frac{\left(ct-x\right)\sqrt{\phi }}{2}\right)\right)}^2}$ (19)

再由$u\left(x,t\right)=U_x\left(x,t\right)$ 可得(1 + 1)维积分微分Ito方程(1)的一个精确解：

$u_1\left(x,t\right)=\frac{c\left(C_1^2-C_2^2\right)}{2{\left(C_2\sinh \left(\frac{\left(ct-x\right)\sqrt{\phi }}{2}\right)-C_1\cosh \left(\frac{\left(ct-x\right)\sqrt{\phi }}{2}\right)\right)}^2}$ (20)

其中$c={\lambda }^2-4\mu$ 。

情形2 当$\phi <0$ 时，由式(8)、(12)和(16)可知方程(11)的解为：

$U\left(\xi \right)=a_0+2\left(-\frac{\lambda }{2}+\frac{\sqrt{-\phi }}{2}\frac{-C_1\sin \frac{\sqrt{-\phi }}{2}\xi +C_2\cos \frac{\sqrt{-\phi }}{2}\xi }{C_1\cos \frac{\sqrt{-\phi }}{2}\xi +C_2\sin \frac{\sqrt{-\phi }}{2}\xi }\right)$ (21)

将$\xi =x-ct$ 代入式(21)可得：

$U\left(x,t\right)=a_0+2\left(-\frac{\lambda }{2}+\frac{\sqrt{-\phi }}{2}\frac{-C_1\sin \frac{\sqrt{-\phi }}{2}\left(x-ct\right)+C_2\cos \frac{\sqrt{-\phi }}{2}\left(x-ct\right)}{C_1\cos \frac{\sqrt{-\phi }}{2}\left(x-ct\right)+C_2\sin \frac{\sqrt{-\phi }}{2}\left(x-ct\right)}\right)$ (22)

对式(22)关于x求导，并由$u\left(x,t\right)=U_x\left(x,t\right)$ 可得(1 + 1)维积分微分Ito方程(1)的精确解：

$u_2\left(x,t\right)=\frac{c\left(C_1^2+C_2^2\right)}{2{\left(C_1\cos \left(\frac{\left(ct-x\right)\sqrt{-\phi }}{2}\right)-C_2\sin \left(\frac{\left(ct-x\right)\sqrt{-\phi }}{2}\right)\right)}^2}$ (23)

其中$c={\lambda }^2-4\mu$

情形3 当$\phi =0$ 时，由式(8)、(12)、(16)、行波先换$\xi =x-ct$ 、关系式$u\left(x,t\right)=U_x\left(x,t\right)$ 可得方程(1)的精确解：

$u_3\left(x,t\right)=-\frac{2C_2^2}{{\left(C_{2}x+C_1\right)}^2}$ (24)

通过数学软件Maple，可得到$u_1\left(x,t\right)-u_3\left(x,t\right)$ 的波形图(图1~3)：

Figure 1. The waveform of $u_1\left(x,t\right)$ with the values $\lambda =4,\mu =1,C_1=1,C_2=-2$

图1. $u_1\left(x,t\right)$ 的波形图($\lambda =4,\mu =1,C_1=1,C_2=-2$ )

Figure 2. The waveform of $u_2\left(x,t\right)$ with the values $\lambda =2,\mu =3,C_1=2,C_2=-1$

图2. $u_2\left(x,t\right)$ 的波形图($\lambda =2,\mu =3,C_1=2,C_2=-1$ )

Figure 3. The waveform of $u_3\left(x,t\right)$ with the values $\lambda =4,\mu =4,C_1=1,C_2=1$

图3. $u_3\left(x,t\right)$ 的波形图($\lambda =4,\mu =4,C_1=1,C_2=1$ )

4. 结论

本文运用了(G'/G)展开法求解(1 + 1)维积分微分Ito方程，得到双曲函数解、三角函数解和有理函数解，再取定待定参数的值，借助Maple得到这些解的波形图。从(G'/G)展开法求解方程的过程可以看出，该方法在求解非线性偏微分方程上具有简洁、直接的特点。