参数化一阶脉冲微分方程解的存在性

Existence of Solution of the Parameterized First-Order Impulsive Differential Equation

摘要: 文章利用Banach压缩不动点原理，分析了一类参数化一阶脉冲微分方程，分别在两类初始值条件下证明了这类方程存在唯一解的充分条件，并对其解进行了延拓，且得到了这些结果可以应用于二阶脉冲微分方程的结论。

Abstract: In this paper, by using the Banach contraction fixed-point theorem, a class of parameterized first-order impulsive differential equations are analyzed, the sufficient conditions for the existence and uniqueness of solution of the equations are proved under two kinds of initial value conditions, respectively, and the continuation theorem of these solutions are shown that these results can be applied to second-order impulsive differential equations.

1. 引言

脉冲微分方程，即涉及脉冲效应的微分方程，描述系统在不同时间点上受到突发事件或脉冲性变化的作用，如在自然现象中，种群的爆发性增长、病毒的突然传播、物理系统中的瞬时冲击等；在控制系统、电子工程、通信技术等领域，数字信号处理、脉冲宽度调制(PWM)等[1]。这些因素的存在使得系统的动力学行为更加复杂，可能产生振荡、稳定性改变等现象，但这是对现实世界中演化现象的自然描述[2] [3]。脉冲微分方程的研究不仅丰富了微分方程理论，而且为理解和解决实际问题提供了有力的数学工具。通过对脉冲微分方程的深入研究，可以更好地预测和控制系统在脉冲性变化下的行为，从而在多个领域中发挥重要作用。脉冲微分方程可以用来模拟种群动态，如捕食者–猎物模型中的周期性捕食行为，或者人类疾病模型中的疫苗接种和治疗策略。在自动控制领域，脉冲控制可以用来设计更高效的控制策略，如在机器人控制中实现快速响应和精确操作。在经济模型中，脉冲微分方程可以用来描述政策变化对经济系统的影响，如税收政策的突然调整或货币供应的瞬时变化。在流行病学中，脉冲微分方程可以用来模拟疫苗接种计划或药物治疗的效果，以及疾病的传播动态等[4]-[7]。

脉冲微分方程理论是微分方程的一个新的重要分支。这个理论的第一篇论文是Mil’Man和Mishkis [8]在1960年发表的论文。在一般情况下，系统的解并不容易获得，因此学者们致力于在合适的条件下，证明方程解的存在性、唯一性或多解性[9] [10]，还有学者关注解的稳定性，并研究系统随时间演化的行为(如周期性、混沌性等)，给出了各种数值方法和近似解法[11] [12]，以便有效地求解方程。在过去的几十年里，这一理论取得了重大进展[13]-[17]。脉冲微分方程一般由三个部分描述[18]：连续时间微分方程，它控制脉冲之间系统的状态；脉冲方程，它模拟脉冲跳跃，在脉冲发生的瞬间由跳跃函数定义；跳跃准则，它定义了一组跳跃事件，其中脉冲方程是属于主动作用的。从数学上讲，这个方程的形式是：

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right)\right),t\ne {\tau }_k,t\in J.\hfill \\ \Delta x\left({\tau }_k\right)=I_k\left(x\left({\tau }_k\right)\right),k=1,2,\cdots ,m.\hfill \end{array}$

本文研究脉冲微分方程的参数化问题，其方程形式是：

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right)\right),t\ne {\tau }_k,t\in J,\hfill \\ \begin{array}{l}x\left({\tau }_k^{-}\right)=\alpha x\left({\tau }_k^{+}\right)+\beta ,t={\tau }_k,k=1,2,\cdots ,m,\alpha ,\beta \in R,\alpha \ne 0,\\ x\left(0\right)=0.\end{array}\hfill \end{array}$ (1)

或者是：

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right)\right),t\ne {\tau }_k,t\in J,\hfill \\ x\left({\tau }_k^{-}\right)=\alpha x\left({\tau }_k^{+}\right)+\beta =x_0,t={\tau }_k,k=1,2,\cdots ,m,\alpha ,\beta \in R,\alpha \ne 0.\hfill \end{array}$ (2)

其中，J是任意的一个实区间，$f:J\times R\to R$ 是给定的函数，$I_k:J\to R$ ，$\Delta x\left({\tau }_k\right)=x\left({\tau }_k^{+}\right)-x\left({\tau }_k^{-}\right)$ ($k=1,2,\cdots ,m$ )及$x_0\in R$ 。这些数${\tau }_k$ 称为脉冲瞬间(或瞬间)，$I_k$ 表示每个${\tau }_k$ 处的状态跳跃，$x\left(t_k^{+}\right)$ 、$x\left(t_k^{-}\right)$ 分别表示函数$x\left(t\right)$ 在状态$t={\tau }_k$ 的右极限、左极限。特别地，取$T>0$ ，$J=\left[0,T\right]$ ，$0={\tau }_0<{\tau }_1<\cdots <{\tau }_{m+1}=T$ 。

2. 基本概念和符号

在本节中，需要脉冲微分方程的一些基本定义和性质。$C\left[0,T\right]$ 表示由定义在区间$\left[0,T\right]$ 上的所有连续函数构成的Banach空间，空间中范数定义为：

${\Vert x\Vert }_C=\sup \left\{\left|x\left(t\right)\right|:t\in J\right\}.$

记$PC\left(J,R\right)=\{x\left(t\right):J\to R,x\left(t\right)$ 是定义在$t\in J$ $\left(t\ne t_k\right)$ 上的逐段连续函数，且$x\left(t_k^{+}\right)$ 、$x\left(t_k^{-}\right)$ 存在，及$x\left(t_k\right)=x\left(t_k^{-}\right)$ $\left(k=1,2,\cdots ,m\right)\}$ ，其范数为：

${\Vert x\Vert }_{PC\left(J,R\right)}=\sup \left\{\left|x\left(t\right)\right|:t\in J,t\ne {\tau }_k\right\}$ .

定义2.1 [2]假设$\Delta x\left({\tau }_k\right)=x\left({\tau }_k^{+}\right)-x\left({\tau }_k^{-}\right)=I_k\left(x\left({\tau }_k\right)\right)$ ，$I_k:J\to R$ $\left(k=1,2,\cdots ,m\right)$ 是连续的，则方程：

$x^{\prime }\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right)\right),t\ne {\tau }_k,$ (3)

称为定脉冲的脉冲微分方程。在初始条件$x\left(t_0^{+}\right)=x_0$ 下，方程(3)式的解有如下形式：

$x\left(t\right)=\{\begin{array}{l}{x}_0+{\displaystyle {\int }_{t_0}^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}+{\displaystyle \sum _{t_0\le {\tau }_k\le t}{I}_k}\left(x\left({\tau }_k\right)\right),t\in {\Omega }^{+},\\ x_0+{\displaystyle {\int }_{t_0}^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}-{\displaystyle \sum _{t\le {\tau }_k\le t_0}{I}_k}\left(x\left({\tau }_k\right)\right),t\in {\Omega }^{-}.\end{array}$

其中，${\Omega }^{+}$ 和${\Omega }^{-}$ 是最大的区间，在这个区间上方程(3)式可以分别延拓到点$t=t_0$ 的右边或左边。

定义2.2 [2]若$x\left(t\right)$ 满足下述条件，则称为系统(1)或(2)的解，

1) $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }x\left(t\right)=x\left(0^{+}\right)=x_0$ ；

2) 当$t\in \left(0,+\infty \right),t\ne {\tau }_k$ 时，$x\left(t\right)$ 是可微的，且$x^{\prime }\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right)\right)$ ；

3) 当$t\in \left(0,+\infty \right)$ 时，$x\left(t\right)$ 是左连续的，且当$t={\tau }_k$ 时，$x\left({\tau }_k^{-}\right)=\alpha x\left({\tau }_k^{+}\right)+\beta \left(\alpha \ne 1\right)$ 。

引理2.1 (Banach压缩不动点原理)设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点(就是说，方程$Tx=x$ 有且只有一个解)。

3. 主要结论

1) 初始问题(1)解的存在唯一性

定理3.1 设$f:J\times R\to R$ 是连续的，且满足Lipschitz条件，即存在常数$L>0$ 使得下式成立：

$\left|f\left(t,x\left(t\right)\right)-f\left(t,\overline{x}\left(t\right)\right)\right|\le L\left|x\left(t\right)-\overline{x}\left(t\right)\right|,\forall \left(t,x\left(t\right)\right),\left(t,\overline{x}\left(t\right)\right)\in J\times R.$ (4)

如果

$\frac{1}{\left|\alpha \right|}+LT<1,$ (5)

那么初始问题(1)存在唯一解，且解可以表示为如下形式：

$x\left(t\right)=\{\begin{array}{l}{x}_0+{\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s},t\in \left[0,{\tau }_1\right),\\ x\left({\tau }_k^{+}\right)+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_k}^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s},t\in \left({\tau }_k,{\tau }_{k+1}\right].\end{array}$ ($k=1,2,\cdots ,m$ ) (6)

证明：当$t\in \left[0,{\tau }_1\right)$ 时，积分问题(1)中的第一个方程，利用初始条件，得到：

$x\left(t\right)=x_0+{\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}$ . (7)

因为$x\left({\tau }_1^{-}\right)=\alpha x\left({\tau }_1^{+}\right)+\beta$ ，所以$x\left({\tau }_1^{+}\right)=\frac{1}{\alpha }\left(x\left({\tau }_1^{-}\right)-\beta \right)$ ，且有${\tau }_1^{-}\in \left[0,{\tau }_1\right)$ ，则得到：

$x\left({\tau }_1^{-}\right)=\underset{t\to {\tau }_1^{-}}{\lim }x\left(t\right)=x_0+{\displaystyle {\int }_0^{{\tau }_1}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}$ ,

因此，有：

$x\left({\tau }_1^{+}\right)=\frac{1}{\alpha }\left[\left(x_0-\beta \right)+{\displaystyle {\int }_0^{{\tau }_1}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\right]$ . (8)

当$t\in \left({\tau }_1,{\tau }_2\right)$ 时，积分问题(1)中的第一个方程，得到：

$x\left(t\right)=x\left({\tau }_1^{+}\right)+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_1}^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}$ ,

那么由(8)式，有$x\left(t\right)=\frac{1}{\alpha }\left[\left(x_0-\beta \right)+{\displaystyle {\int }_0^{{\tau }_1}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\right]+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_1}^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}$ 。

又因为$x\left({\tau }_2^{-}\right)=\alpha x\left({\tau }_2^{+}\right)+\beta$ ，所以$x\left({\tau }_2^{+}\right)=\frac{1}{\alpha }\left(x\left({\tau }_2^{-}\right)-\beta \right)$ ，且有${\tau }_2^{-}\in \left({\tau }_1,{\tau }_2\right)$ ，则得到：

$x\left({\tau }_2^{-}\right)=\underset{t\to {\tau }_2^{-}}{\lim }x\left(t\right)=\frac{1}{\alpha }\left[\left(x_0-\beta \right)+{\displaystyle {\int }_0^{{\tau }_1}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\right]+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_1}^{{\tau }_2}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}$ ,

因此，有：

$x\left({\tau }_2^{+}\right)=\frac{1}{\alpha }\left[\frac{1}{\alpha }\left[\left(x_0-\beta \right)+{\displaystyle {\int }_0^{{\tau }_1}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\right]+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_1}^{{\tau }_2}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}-\beta \right]$ . (9)

重复这样的步骤，容易推理出：

$x\left(t\right)=x\left({\tau }_k^{+}\right)+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_k}^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s},t\in \left({\tau }_k,{\tau }_{k+1}\right],k=1,2,\cdots ,m.$ (10)

因为

$x\left({\tau }_k^{+}\right)=\frac{1}{\alpha }\left[x\left({\tau }_{k-1}^{+}\right)+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_{k-1}}^{{\tau }_k}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}-\beta \right]$ ,

结合(7)~(10)式，所以证明了结论(6)式。

现在这里证明问题(1)解的唯一性。设算子$F_{\alpha }:PC\left(J,R\right)\to PC\left(J,R\right)$ 定义如下：

$F_{\alpha }\left(x\left(t\right)\right)=\{\begin{array}{l}{F}_1\left(x\left(t\right)\right)=x_0+{\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s},t\in \left[0,{\tau }_1\right),\\ F_{\alpha \ne 0,1}\left(x\left(t\right)\right)=x\left({\tau }_k^{+}\right)+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_k}^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s},t\in \left({\tau }_k,{\tau }_{k+1}\right].\end{array}$ ($k=1,2,\cdots ,m$ ).

对$\forall x\left(t\right),\overline{x}\left(t\right)\in PC\left(J,R\right)$，$t\in \left[0,{\tau }_1\right)$ ，得到：

$\begin{array}{c}\Vert F_1\left(x\left(t\right)\right)-F_1\left(\overline{x}\left(t\right)\right)\Vert \\ =\Vert {\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}-{\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(s,\overline{x}\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert \\ \le \Vert {\displaystyle {\int }_0^t\left|f\left(s,x\left(s\right)\right)-f\left(s,\overline{x}\left(s\right)\right)\right|\text{d}s}\Vert \\ \le \Vert L\left|x\left(t\right)-\overline{x}\left(t\right)\right|{\displaystyle {\int }_0^t\text{d}s}\Vert \le LT\Vert x\left(t\right)-\overline{x}\left(t\right)\Vert ,\end{array}$

类似地，对$\forall x\left(t\right),\overline{x}\left(t\right)\in PC\left(J,R\right)$，$t\in \left({\tau }_k,{\tau }_{k+1}\right]$ ，得到：

$\begin{array}{c}\Vert F_{\alpha \ne 0,1}\left(x\left(t\right)\right)-F_{\alpha \ne 0,1}\left(\overline{x}\left(t\right)\right)\Vert =\Vert x\left({\tau }_k^{+}\right)+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_k}^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}-\overline{x}\left({\tau }_k^{+}\right)-{\displaystyle {\int }_{{\tau }_k}^{t}f\left(s,\overline{x}\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert \\ \le \left|x\left({\tau }_k^{+}\right)-\overline{x}\left({\tau }_k^{+}\right)\right|+\Vert {\displaystyle {\int }_{{\tau }_k}^t\left|f\left(s,x\left(s\right)\right)-f\left(s,\overline{x}\left(s\right)\right)\right|\text{d}s}\Vert \\ \le \left|\frac{1}{\alpha }\left(x\left({\tau }_k\right)-\overline{x}\left({\tau }_k\right)\right)\right|+L\Vert x\left(t\right)-\overline{x}\left(t\right)\Vert {\displaystyle {\int }_{{\tau }_k}^t\text{d}s}\\ \le \frac{1}{\left|\alpha \right|}\Vert x\left(t\right)-\overline{x}\left(t\right)\Vert +LT\Vert x\left(t\right)-\overline{x}\left(t\right)\Vert =\left(\frac{1}{\left|\alpha \right|}+LT\right)\Vert x\left(t\right)-\overline{x}\left(t\right)\Vert ,\end{array}$

因此，算子$F_{\alpha }$ 是压缩映射，依据引理2.1，及已知条件(4)和(5)式下，那么显然算子$F_{\alpha }$ 有唯一解$x\left(t\right)\in PC\left(J,R\right)$ ，则初始问题(1)解是唯一的。

2) 初始问题(2)解的存在唯一性

定理3.2 设$f:J\times R\to R$ 是连续的，且满足Lipschitz条件，即存在常数$L>0$ 使得下式成立：

$\left|f\left(t,x\left(t\right)\right)-f\left(t,\overline{x}\left(t\right)\right)\right|\le L\left|x\left(t\right)-\overline{x}\left(t\right)\right|,\forall \left(t,x\left(t\right)\right),\left(t,\overline{x}\left(t\right)\right)\in J\times R.$

如果$LT<1$ ，那么初始问题(2)存在唯一解，且解可以表示为如下形式：

$x\left(t\right)=\{\begin{array}{l}{x}_0+{\displaystyle {\int }_t^{{\tau }_1}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s},t\in \left[0,{\tau }_1\right),\\ x\left({\tau }_k^{+}\right)+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_k}^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s},t\in \left({\tau }_k,{\tau }_{k+1}\right].\end{array}$ ($k=1,2,\cdots ,m$ ) (11)

证明：当$t\in \left[0,{\tau }_1\right)$ 时，积分问题(2)中的第一个方程，得到$x\left({\tau }_1\right)-x\left(t\right)={\displaystyle {\int }_t^{{\tau }_1}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}$ ，因为$x\left({\tau }_k^{-}\right)=\alpha x\left({\tau }_k^{+}\right)+\beta =x_0$ ，所以：

$x\left(t\right)=x_0-{\displaystyle {\int }_t^{{\tau }_1}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}$ . (12)

当$t\in \left({\tau }_1,{\tau }_2\right)$ 时，积分问题(2)中的第一个方程，得到：

$x\left(t\right)=x\left({\tau }_1^{+}\right)+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_1}^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}$ ,

从条件(2)中的第二个方程，有$x\left({\tau }_1^{+}\right)=\frac{1}{\alpha }\left(x_0-\beta \right)$ 。所以$x\left(t\right)=\frac{1}{\alpha }\left(x_0-\beta \right)+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_1}^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}$ 。同样地，有$x\left({\tau }_2^{+}\right)=\frac{1}{\alpha }\left(x_0-\beta \right)$ ，及$x\left(t\right)=\frac{1}{\alpha }\left(x_0-\beta \right)+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_2}^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}$ 。重复这样的步骤，容易推理出：

$x\left(t\right)=x\left({\tau }_k^{+}\right)+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_k}^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s},t\in \left({\tau }_k,{\tau }_{k+1}\right],k=1,2,\cdots ,m.$ (13)

因为$x\left({\tau }_k^{+}\right)=\frac{1}{\alpha }\left(x_0-\beta \right)$ ，结合(12)和(13)式，则证明了结论(11)式。

现在这里证明问题(2)解的唯一性。设算子$F_{\alpha }:PC\left(J,R\right)\to PC\left(J,R\right)$ 定义如下：

$F_{\alpha }\left(x\left(t\right)\right)=\{\begin{array}{l}{F}_1\left(x\left(t\right)\right)=x_0-{\displaystyle {\int }_t^{{\tau }_1}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s},t\in \left[0,{\tau }_1\right),\\ F_{\alpha \ne 0,1}\left(x\left(t\right)\right)=x\left({\tau }_k^{+}\right)+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_k}^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s},t\in \left({\tau }_k,{\tau }_{k+1}\right].\end{array}$ ($k=1,2,\cdots ,m$ ).

类似定理3.1中解的唯一性证明，依据Banach压缩不动点定理，及已知条件$LT<1$ ，则显然算子$F_{\alpha }$ 有唯一解$x\left(t\right)\in PC\left(J,R\right)$ ，则初始问题(2)解是唯一的。

3) 初始问题(1)和(2)的延拓定理

定理3.3 假设$\alpha \to 1$ 及$\beta \to 0$ ，那么初始问题(1)与下面的初始问题同解：

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right)\right),t\in J,\hfill \\ x\left(0\right)=x_0.\hfill \end{array}$

定理3.4 假设$\alpha \to 1$ 及$\beta \to 0$ ，那么初始问题(2)与下面的Cauchy问题同解：

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right)\right),t\in J,\hfill \\ x\left(\tau \right)=x_0,\tau \in \left(0,T\right].\hfill \end{array}$

4) 初始问题(1)和(2)的推广

一阶脉冲微分方程的结果可以推广到二阶脉冲微分方程：

$\{\begin{array}{l}{x}^{″}\left(t\right)=f\left(t,x^{\prime }\left(t\right)\right),t\ne {\tau }_k,t\in J,\hfill \\ \begin{array}{l}x\left({\tau }_k^{-}\right)={\alpha }_{1}x\left({\tau }_k^{+}\right)+{\beta }_1,x^{\prime }\left({\tau }_k^{-}\right)={\alpha }_2{x}^{\prime }\left({\tau }_k^{+}\right)+{\beta }_2,t={\tau }_k,k=1,2,\cdots ,m,{\alpha }_i,{\beta }_i\in R,{\alpha }_i\ne 0,i=1,2,\\ x\left(0\right)={\gamma }_1,x^{\prime }\left(0\right)={\gamma }_2.\end{array}\hfill \end{array}$

记$x^{\prime }\left(t\right)=p\left(t\right)$ ，上述方程可以重写为：

$\{\begin{array}{l}{p}^{\prime }\left(t\right)=f\left(t,p\left(t\right)\right),t\ne {\tau }_k,t\in J,\hfill \\ \begin{array}{l}p\left({\tau }_k^{-}\right)={\alpha }_{2}p\left({\tau }_k^{+}\right)+{\beta }_2,t={\tau }_k,k=1,2,\cdots ,m,{\alpha }_2,{\beta }_2\in R,{\alpha }_2\ne 0,i=1,2,\\ p\left(0\right)={\gamma }_2.\end{array}\hfill \end{array}$

利用定理3.1的证明方法可以得到上述问题的解$p\left(t\right)$ ，那么如下初始问题有解$x\left(t\right)$ ：

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }\left(t\right)=p\left(t\right),t\ne {\tau }_k,t\in J,\hfill \\ \begin{array}{l}x\left({\tau }_k^{-}\right)={\alpha }_{1}x\left({\tau }_k^{+}\right)+{\beta }_1,t={\tau }_k,k=1,2,\cdots ,m,{\alpha }_1,{\beta }_1\in R,{\alpha }_1\ne 0,i=1,2,\\ x\left(0\right)={\gamma }_1.\end{array}\hfill \end{array}$

则$x\left(t\right)$ 就是原二阶脉冲微分方程的解。

4. 例子

例1 考虑下面的一阶脉冲微分方程：

$\{\begin{array}{l}\csc \left(t\right)x^{\prime }\left(t\right)=1,t\ne \frac{\pi }{2},t\in \left[0,6\right],\hfill \\ \begin{array}{l}x\left({\frac{\pi }{2}}^{-}\right)=\alpha x\left({\frac{\pi }{2}}^{+}\right)+\beta ,t=\frac{\pi }{2},\\ x\left(0\right)=0.\end{array}\hfill \end{array}$

解：容易得到微分方程的通解为$x\left(t\right)=c-\cos t$ ，其中$\forall c\in R$ ，因此满足初始条件的解为$x\left(t\right)=1-\cos t$ ，在脉冲条件下，其方程解为：

$x\left(t\right)=\{\begin{array}{l}1-\cos t=x_0+{\displaystyle {\int }_0^t\sin s\text{d}s,}t\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right),\hfill \\ \begin{array}{l}\frac{1}{\alpha }\left(1-\beta \right)-\cos t=x\left({\frac{\pi }{2}}^{+}\right)+{\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{2}}^t\sin s\text{d}s,}t\in \left(\frac{\pi }{2},6\right],\\ x\left({\frac{\pi }{2}}^{-}\right)=\alpha x\left({\frac{\pi }{2}}^{+}\right)+\beta ,t=\frac{\pi }{2}.\end{array}\hfill \end{array}$

从中可知，加入脉冲条件，使得脉冲时刻之后的解发生变化，脉冲时刻之前的解不变。当$\alpha \to 1,\beta \to 0$ ，即$x\left({\frac{\pi }{2}}^{-}\right),x\left({\frac{\pi }{2}}^{+}\right)$ 的值近似相等，函数$x\left(t\right)$ 接近连续，脉冲微分方程的解无限趋近没有脉冲条件的解，从方程的解中也能推出这样的结论。

例2 考虑下面的二阶脉冲微分方程：

$\{\begin{array}{l}\csc \left(t\right)x^{″}\left(t\right)=1,t\ne \frac{\pi }{2},t\in \left[0,6\right],\hfill \\ \begin{array}{l}x\left({\frac{\pi }{2}}^{-}\right)={\alpha }_{1}x\left({\frac{\pi }{2}}^{+}\right)+{\beta }_1,x^{\prime }\left({\frac{\pi }{2}}^{-}\right)={\alpha }_2{x}^{\prime }\left({\frac{\pi }{2}}^{+}\right)+{\beta }_2,t=\frac{\pi }{2},\\ x\left(0\right)=0,x^{\prime }\left(0\right)=-1.\end{array}\hfill \end{array}$

解：容易得到微分方程通解为$x\left(t\right)=c_1+c_{2}t-\sin t$ ，其中$\forall c_1,c_2\in R$ ，因此满足初始条件的解为$x\left(t\right)=-\sin t$ ，在脉冲条件下，当${\alpha }_1={\alpha }_2=0.9$ ，${\beta }_1={\beta }_2=0.001$ 及${\alpha }_1={\alpha }_2=0.95$ ，${\beta }_1={\beta }_2=0.0001$ 的解如图1所示，同时也得到$\alpha \to 1,\beta \to 0$ 时的解的图示。

Figure 1. Illustration of the solution in Example 1

图1. 例1解的图示

基金项目

铜仁学院博士科研启动基金项目(trxyDH2220)；铜市科研[2023] 42号。