分数阶金融混沌系统的自适应模糊滑模同步

Adaptive Fuzzy Sliding Mode Synchronization for Fractional-Order Financial Chaos Systems

摘要: 金融混沌系统因其非线性特性和不可预测性给市场分析和风险管理带来了巨大挑战。针对这一问题，提出了一种具有外界干扰以及未知参数的分数阶复金融混沌系统。首先分析分数阶复域金融混沌系统的基本特性。其次，基于自适应滑模控制理论设计具有较强鲁棒性的控制器，以使系统趋于稳定。为削弱抖振，利用模糊控制策略对传统控制器进一步优化，旨在实现对此类系统的高效同步控制，进而为金融风险评估和管理提供一种新的思维方式。

Abstract: Financial chaotic systems bring great challenges to market analysis and risk management because of its nonlinear characteristics and unpredictability. In order to solve this problem, a fractional complex financial chaos system with external interference and unknown parameters is proposed. Firstly, the basic characteristics of the fractional complex financial chaotic system are analyzed. Secondly, based on the adaptive sliding mode control theory, a controller with strong robustness is designed to make the system stable. In order to reduce the jitter, the fuzzy control strategy is used to further optimize the traditional controller, aiming to achieve efficient synchronous control of such systems, and then provide a new way of thinking for financial risk assessment and management.

1. 引言

金融市场的复杂动态行为对经济稳定与发展具有深远影响。宋银芳首次建立了金融系统模型，利用线性反馈控制策略使系统全局渐进稳定[1]。孙梅等提出了一种自适应控制策略[2]，实现了不同初始条件下金融系统的同步。段汉玉等人进一步提出了一类超混沌金融系统[3]。复混沌系统因状态变量具有虚部项，相较于实混沌系统，其动力学行为更复杂[4]-[10]。近年来，复混沌系统特性以及相关的控制研究受到了广泛关注。例如，Wang等人分析复Lorenz系统、复Chen系统动态特性[8] [9]。分数阶复T系统[10]、分数阶复Duffing系统[11]。分数阶复金融系统以及分数阶复Lv系统[12] [13]等也被相继提出。到目前为止，研究学者们提出了许多有效的同步方法。例如：滑模同步控制[13]、追踪控制[14]、H∞同步控制[15]、主动反馈控制[16]等。然而，上述许多控制方法不能考虑外部环境和不确定因素的影响。滑模控制具有较强鲁棒性，而且对参数变化不敏感。因此，在分数阶非线性系统的应用中，滑模控制具有更强的实际意义[17]。例如，在[18]中研究了基于滑模的高频鲁棒控制方法和高增益鲁棒控制方法。在[19]中，提出了两个新型分数阶混沌系的自适应滑模同步。在[20]中提出了一种新的单自适应滑模变结构控制器。以上都是在某些特殊条件下进行的，很少考虑基于未知参数、非线性输入、不确定性和外部干扰的研究。然而，在实践中，这些因素通常必须考虑。鉴于传统同步方法在处理此类系统时存在的局限性，如参数敏感性高、鲁棒性差等[21]。本文研究了具有未知参数的和外部干扰的分数阶复金融混沌系统的同步的问题。设计了一种新型的有较强鲁棒性的控制器。即通过设计一个自适应律来实时调整控制的参数，以适应系统状态的变化。同时，利用模糊逻辑控制器来优化滑模控制的切换函数，减少抖动现象并提高同步精度[22]-[24]。模糊控制可以削弱系统中的抖振现象，因此，它易于应用。与传统的SMC方法相比，该控制器更简单，更适合实际应用，并且具有更强的鲁棒性和更快的响应速度。

本文组织如下：第二节为预备知识，并引入分数阶复金融混沌系统。第三节，基于自适应滑模控制与模糊控制策略的结合，设计了一种用于同步分数阶复金融混沌系统的具有较强鲁棒性控制器。第四节，进行数值模拟，以验证所提出控制方案的有效性和可行性。结论在第五节中给出。

2. 问题描述

2.1. 预备知识

分数阶微分方程的定义有三种典型的方式，分别为R-L定义，Caputo定义，G-L定义。其中，Caputo定义在工程中应用较为广泛[2]。

定义1 Caputo分数阶微分定义：

${}_{a}D{}_t^{q}f\left(t\right)=\{\begin{array}{lll}\frac{1}{\Gamma \left(m-q\right)}{\displaystyle {\int }_0^t\frac{f^{\left(m\right)}\left(\tau \right)\text{d}\tau }{{\left(t-\tau \right)}^{q+1-m}}\text{d}\tau }\hfill & \hfill & m-1<q<m\hfill \\ \frac{{\text{d}}^m}{\text{d}{t}^m}f\left(t\right)\hfill & \hfill & q=m\hfill \end{array}$ (1)

其中，$\{\begin{array}{l}{}_{a}D{}_t^q=\frac{{\text{d}}^q}{\text{d}{t}^q}q>0\\ {}_{a}D{}_t^q=1q=0\\ {}_{a}D{}_t^q={\displaystyle {\int }_a^t{\left(\text{d}\tau \right)}^{-q}q<0}\end{array}$ 。

性质1 分数阶微分满足：

$D^q\left[\alpha f\left(t\right)+\beta g\left(t\right)\right]=\alpha D^{q}f\left(t\right)+\beta D^{q}g\left(t\right)$ (2)

$D^q{D}^{-q}=D^{0}f\left(t\right)=f\left(t\right)$ (3)

引理1 [4] 如果$\exists V\left(t\right)$ 为正定且连续，同时满足$\dot{V}\left(t\right)=-p{V}^{\eta }\left(t\right)$ ，$\forall t\ge t_0$ ，则$\forall t$ ，$V\left(t\right)$ 满足以下不等式：

$V^{1-\eta }\left(t\right)\le V^{1-\eta }\left(t_0\right)-p\left(1-\eta \right)\left(t-t_0\right)$ (4)

$t_0\le t\le T$ ，且$V\left(t\right)\equiv 0$ ，$t\ge T$ ，$T=t_0+\frac{V^{1-\eta }\left(t_0\right)}{p\left(1-\eta \right)}$ 。

引理2 [13] 詹森不等式：

${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{a}_i^{\tau }}\le {\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\left(a_i^2\right)}^{\frac{\tau }{2}}}\le {\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\left|a_i\right|}^2}$ (5)

其中$a_i$ 为实数，$0<\tau <2$ 。

2.2. 系统描述

文献[1] [2]中详细分析了在整数阶和分数阶金融混沌过程中的动态特征。并在此基础上得到：

$\{\begin{array}{l}{D}^{q_1}{z}_1\left(t\right)=z_2\left(t\right)z_3\left(t\right)-\left(a+1\right)z_1\left(t\right)\\ D^{q_2}{z}_2\left(t\right)=z_1\left(t\right)z_3\left(t\right)-\left(b+1\right)z_2\left(t\right)\\ D^{q_3}{z}_3\left(t\right)=\left(c-1\right)z_3\left(t\right)-\frac{1}{2}\overline{z_1\left(t\right)}{z}_2\left(t\right)+z_1\left(t\right)\overline{z_2\left(t\right)}\end{array}$ (6)

其中，$z_1\left(t\right)$ 表示金融资产的价格，$z_2\left(t\right)$ 表示投资需求，$z_3\left(t\right)$ 表示价格指数，且$z_i\left(t\right)\in ℂ$ ，$i=1,2,3$ 。$\overline{z_i\left(t\right)}$ 表示$z_i\left(t\right)$ 的共轭。不妨，选取$z_1\left(t\right)=x_1\left(t\right)+i{x}_2\left(t\right)$ ，$z_2\left(t\right)=x_3\left(t\right)+i{x}_4\left(t\right)$ ，$z_2\left(t\right)=x_5\left(t\right)$ ，$z_i\left(t\right)$ 是系统的复变量，$x_i\left(t\right)$ 表示系统的实状态变量。其中参数a表示风险程度，b表示单位投资成本，c为调控强度，$a,b,c\in {ℝ}^{+}$ 。

分离系统实部与虚部：

$\{\begin{array}{l}{D}^{q_1}{x}_1\left(t\right)=x_3\left(t\right)x_5\left(t\right)-\left(a+1\right)x_1\left(t\right)\\ D^{q_1}{x}_2\left(t\right)=x_4\left(t\right)x_5\left(t\right)-\left(a+1\right)x_2\left(t\right)\\ D^{q_2}{x}_3\left(t\right)=x_1\left(t\right)x_5\left(t\right)-\left(b+1\right)x_3\left(t\right)\\ D^{q_2}{x}_4\left(t\right)=x_2\left(t\right)x_5\left(t\right)-\left(b+1\right)x_4\left(t\right)\\ D^{q_3}{x}_5\left(t\right)=\left(c-1\right)x_5\left(t\right)-\left(b+1\right)x_4\left(t\right)\end{array}$ (7)

我们定义系统为驱动系统。

响应系统：

$\{\begin{array}{l}{D}_t^q{y}_1\left(t\right)=y_3\left(t\right)y_5\left(t\right)-\left(a+1\right)y_1\left(t\right)+\Delta f_1\left(y\right)+d_1\left(t\right)+u_1\left(t\right)\\ D_t^q{y}_2\left(t\right)=y_4\left(t\right)y_5\left(t\right)-\left(a+1\right)y_2\left(t\right)+\Delta f_2\left(y\right)+d_2\left(t\right)+u_2\left(t\right)\\ D_t^q{y}_3\left(t\right)=y_1\left(t\right)y_5\left(t\right)-\left(b+1\right)y_3\left(t\right)+\Delta f_3\left(y\right)+d_3\left(t\right)+u_3\left(t\right)\\ D_t^q{y}_4\left(t\right)=y_2\left(t\right)y_5\left(t\right)-\left(b+1\right)y_4\left(t\right)+\Delta f_4\left(y\right)+d_4\left(t\right)+u_4\left(t\right)\\ D_t^q{y}_5\left(t\right)=\left(c-1\right)y_5\left(t\right)-\left(b+1\right)y_4\left(t\right)+\Delta f_5\left(y\right)+d_5\left(t\right)+u_5\left(t\right)\end{array}$ (8)

其中，$\Delta f_i\left(y\right)$ 为不确定因素，$d_i\left(t\right)$ 为外界干扰，我们用高斯基函数的形式表示，即：

$E_i\left(t\right)=200\exp \left(-\frac{{\left(t-m_j\right)}^2}{2n_j}\right),m_j=5.0,n_j=0.50$ .

给出误差系统定义：$e_i\left(t\right)=y_i\left(t\right)-x_i\left(t\right),i=1,2,3,4,5$ 。由(8)减(7)式得到，即：

$\{\begin{array}{l}{D}_t^q{e}_1=y_3{y}_5-x_3{x}_5-\left(a+1\right)e_1+\Delta f_1\left(y\right)+d_1\left(t\right)+u_1\left(t\right)\\ D_t^q{e}_2=-\left(a+1\right)e_2+y_4{y}_5-x_4{x}_5+\Delta f_2\left(y\right)+d_2\left(t\right)+u_2\left(t\right)\\ D_t^q{e}_3=-\left(b+1\right)e_3+y_1{y}_5-x_1{x}_5+\Delta f_3\left(y\right)+d_3\left(t\right)+u_3\left(t\right)\\ D_t^q{e}_4=-\left(b+1\right)e_4+y_2{y}_5-x_2{x}_5+\Delta f_4\left(y\right)+d_4\left(t\right)+u_4\left(t\right)\\ D_t^q{e}_5=\left(c-1\right)e_5-\left(b+1\right)e_4+\Delta f_5\left(y\right)+d_5\left(t\right)+u_5\left(t\right)\end{array}$ (9)

当$q=0.96,a=3,b=0.1,c=0.6$ 时呈现混沌状态。

其中，假设$\left|D_t^{1-q}\Delta f_i\left(y\right)\right|<{\omega }_i$ $\left|D_t^{1-q}\Delta d_i\left(t\right)\right|<{\gamma }_i$ $\left({\omega }_i,{\gamma }_i>0\right)$ ，假设未知。

3. 控制器的设计

根据滑模理论，设计非奇异滑模面[14]：

$s_i\left(t\right)=e_i\left(t\right)+{\lambda }_i{D}_t^{-1}{\left(e_i\left(t\right)\right)}^r\mathrm{sgn}\left(e_i\left(t\right)\right)$ (10)

定理1误差系统(9)在非奇异滑模面上，在有限时间$t_{\delta }$ 内达到平衡点。其中

$t_{\delta }\le \frac{{\left(\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^3{e}_i^2\left(0\right)}\right)}^{\frac{1-r}{2}}}{\left(1-r\right)\xi 2^{\frac{1-r}{2}}},\xi =\min {\lambda }_i,i=1,2,3$ 。

证明：由于$s_i\left(t\right)=0$ ，所以${\dot{s}}_i\left(t\right)=0$ ，易得出$D_t^q{s}_i\left(t\right)=0$ ，进而$D_t^q{e}_i\left(t\right)=-{\lambda }_i{D}_t^{q-1}{\left|e_i\left(t\right)\right|}^r\mathrm{sgn}\left(e_i\left(t\right)\right)$ 。

选取Lyapunov函数

$V\left(t\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^5{e}_i^2}$ (11)

对Lyapunov函数求导：

$\begin{array}{c}\dot{V}\left(t\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^5{e}_i}{D}_t^{1-q}{D}_t^q{e}_i=e_1{\dot{e}}_1+e_2{\dot{e}}_2+e_3{\dot{e}}_3+e_4{\dot{e}}_4+e_5{\dot{e}}_5\\ =-{\displaystyle \sum _{i=1}^5{\lambda }_i}{e}_i{D}_t^{1-q}{D}_t^{q-1}{\left|e_i\right|}^r\mathrm{sgn}\left(e_i\right)=-{\displaystyle \sum _{i=1}^5{\lambda }_i}{\left|e_i\right|}^{r+1}\\ \le -\xi {\displaystyle \sum _{i=1}^5{\left|e_i\right|}^{\frac{r+1}{2}}}\le -2^{\frac{1+r}{2}}\xi V^{\frac{1+r}{2}}\end{array}$

根据(10)设计出相应达到条件的控制器：

$\{\begin{array}{l}{u}_1=\left(a+1\right)e_1-y_3{y}_5+x_3{x}_5-{\lambda }_1{\left|e_1\right|}^r\mathrm{sgn}\left(e_1\right)-D_t^{q-1}\left[\left({\widehat{\omega }}_1+{\widehat{\gamma }}_1\right)\mathrm{sgn}\left(s_1\right)+k_1\mathrm{sgn}\left(s_1\right)\right]\\ u_2=\left(a+1\right)e_2-y_4{y}_5+x_4{x}_5-{\lambda }_2{\left|e_2\right|}^r\mathrm{sgn}\left(e_2\right)-D_t^{q-1}\left[\left({\widehat{\omega }}_2+{\widehat{\gamma }}_2\right)\mathrm{sgn}\left(s_2\right)+k_2\mathrm{sgn}\left(s_2\right)\right]\\ u_3=\left(b+1\right)e_3-y_1{y}_5+x_1{x}_5-{\lambda }_3{\left|e_3\right|}^r\mathrm{sgn}\left(e_3\right)-D_t^{q-1}\left[\left({\widehat{\omega }}_3+{\widehat{\gamma }}_3\right)\mathrm{sgn}\left(s_3\right)+k_3\mathrm{sgn}\left(s_3\right)\right]\\ u_4=\left(b+1\right)e_4-y_2{y}_5+x_2{x}_5-{\lambda }_4{\left|e_4\right|}^r\mathrm{sgn}\left(e_4\right)-D_t^{q-1}\left[\left({\widehat{\omega }}_4+{\widehat{\gamma }}_4\right)\mathrm{sgn}\left(s_4\right)+k_4\mathrm{sgn}\left(s_4\right)\right]\\ u_5=-\left(c-1\right)e_5+\left(b+1\right)e_4-{\lambda }_5{\left|e_5\right|}^r\mathrm{sgn}\left(e_5\right)-D_t^{q-1}\left[\left({\widehat{\omega }}_5+{\widehat{\gamma }}_5\right)\mathrm{sgn}\left(s_5\right)+k_5\mathrm{sgn}\left(s_5\right)\right]\end{array}$ (12)

令$u\left(t\right)=\left(u_1\left(t\right),u_2\left(t\right),u_3\left(t\right),u_4\left(t\right),u_5\left(t\right)\right)$ ；其中，$K_i\left(t\right)$ 为切换增益，$K_i\left(t\right)=\max \left|E_i\left(t\right)\right|+\eta$ 。${\widehat{\omega }}_i,{\widehat{\gamma }}_i$ 为自适应率，且满足：

${\widehat{\omega }}_i=s_i\mathrm{sgn}\left(s_i\right),{\widehat{\omega }}_i\left(0\right)={\omega }_{i0},{\widehat{\gamma }}_i\left(0\right)={\gamma }_{i0},{\widehat{\gamma }}_i=\left|s_i\right|,\eta =1.0$ (13)

因此，误差系统(9)在上述自适应终端滑模控制器$u_i\left(t\right)$ 下，达到滑模面。

证明：选取Lyapunov函数：

$V\left(t\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^5{s}_i^2}+\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^5\left[{\left({\widehat{\omega }}_i-{\omega }_i\right)}^2+{\left({\widehat{\gamma }}_i-{\gamma }_i\right)}^2\right]}$ (14)

求导

$\dot{V}\left(t\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^5{s}_i\left[D_t^{1-q}\left(D_t^q{e}_i+{\lambda }_i{\left|e_i\right|}^r\mathrm{sgn}\left(e_i\right)\right)\right]}+{\displaystyle \sum _{i=1}^5\left[\left({\widehat{\omega }}_i-{\omega }_i\right)\left|s_i\right|+\left({\widehat{\gamma }}_i-{\gamma }_i\right)\left|s_i\right|\right]}$

$\begin{array}{c}\dot{V}\left(t\right)=s_1{D}_t^{1-q}\left[y_3{y}_5-x_3{x}_5-\left(a+1\right)e_1+\Delta f_1(y)+d_1\left(t\right)+u_1\left(t\right)+{\lambda }_1{\left|e_1\right|}^r\mathrm{sgn}\left(e_1\right)\right]\\ +s_2{D}_t^{1-q}\left[-\left(a+1\right)e_2+y_4{y}_5-x_4{x}_5+\Delta f_2\left(y\right)+d_2\left(t\right)+u_2\left(t\right)+{\lambda }_2{\left|e_2\right|}^r\mathrm{sgn}\left(e_2\right)\right]\\ +s_3{D}_t^{1-q}\left[-\left(b+1\right)e_3+y_1{y}_5-x_1{x}_5+\Delta f_3\left(y\right)+d_3\left(t\right)+u_3\left(t\right)+{\lambda }_3{\left|e_3\right|}^r\mathrm{sgn}\left(e_3\right)\right]\\ +s_4{D}_t^{1-q}\left[-\left(b+1\right)e_4+y_2{y}_5-x_2{x}_5+\Delta f_4\left(y\right)+d_4\left(t\right)+u_4\left(t\right)+{\lambda }_4{\left|e_4\right|}^r\mathrm{sgn}\left(e_4\right)\right]\\ +s_5{D}_t^{1-q}\left[\left(c-1\right)e_5-\left(b+1\right)e_4+\Delta f_5\left(y\right)+d_5\left(t\right)+u_5\left(t\right)+{\lambda }_5{\left|e_5\right|}^r\mathrm{sgn}\left(e_5\right)\right]\\ +{\displaystyle \sum _{i=1}^5\left[\left({\widehat{\omega }}_i-{\omega }_i\right)\left|s_i\right|+\left({\widehat{\gamma }}_i-{\gamma }_i\right)\left|s_i\right|\right]}\\ <\left[\left({\omega }_1+{\gamma }_1\right)\left|s_1\right|-\left|s_1\right|\left({\widehat{\omega }}_1+{\widehat{\gamma }}_1+k_1\right)\right]+\left[\left({\omega }_2+{\gamma }_2\right)\left|s_2\right|-\left|s_2\right|\left({\widehat{\omega }}_2+{\widehat{\gamma }}_2+k_2\right)\right]\\ +\left[\left({\omega }_3+{\gamma }_3\right)\left|s_3\right|-\left|s_3\right|\left({\widehat{\omega }}_3+{\widehat{\gamma }}_3+k_3\right)\right]+\left[\left({\omega }_4+{\gamma }_4\right)\left|s_4\right|-\left|s_4\right|\left({\widehat{\omega }}_4+{\widehat{\gamma }}_4+k_4\right)\right]\end{array}$

$\begin{array}{c}+\left[\left({\omega }_5+{\gamma }_5\right)\left|s_5\right|-\left|s_5\right|\left({\widehat{\omega }}_5+{\widehat{\gamma }}_5+k_5\right)\right]+\left[\left({\widehat{\omega }}_1-{\omega }_1\right)\left|s_1\right|+\left({\widehat{\gamma }}_1-{\gamma }_1\right)\left|s_1\right|\right]\\ +\left[\left({\widehat{\omega }}_2-{\omega }_2\right)\left|s_2\right|+\left({\widehat{\gamma }}_2-{\gamma }_2\right)\left|s_2\right|\right]+\left[\left({\widehat{\omega }}_3-{\omega }_3\right)\left|s_3\right|+\left({\widehat{\gamma }}_3-{\gamma }_3\right)\left|s_3\right|\right]\\ +\left[\left({\widehat{\omega }}_4-{\omega }_4\right)\left|s_4\right|+\left({\widehat{\gamma }}_4-{\gamma }_4\right)\left|s_4\right|\right]+\left[\left({\widehat{\omega }}_5-{\omega }_5\right)\left|s_5\right|+\left({\widehat{\gamma }}_5-{\gamma }_5\right)\left|s_5\right|\right]\\ =-{\displaystyle \sum _{i=1}^5{k}_i}\left(t\right)\left|s_i\left(t\right)\right|<-{\displaystyle \sum _{i=1}^5{\eta }_i}\left(t\right)\left|s_i\left(t\right)\right|\end{array}$

可知Lyapunov函数全局渐近稳定。

其中，增益$K_i\left(t\right)$ 的值用于补偿不确定项$d_i\left(t\right)$ ，来保证控制系统满足达到条件($s\dot{s}<0$ )。但切换增益$K_i\left(t\right)$ 以及sgn函数造成了抖振现象。为了使驱动系统和响应系统更平稳地同步，将自适应终端滑模控制与模糊控制规则结合。

(1) 模糊化：

根据专家长期积累的操作经验，进行模糊控制策略设计[23]。规定$S\dot{S}$ 为Input，$K_i\left(t\right)$ 为Output。

如果$s\dot{s}<0$ ，那么$K_i\left(t\right)$ 应减小

如果$s\dot{s}<0$ ，那么$K_i\left(t\right)$ 应增大 (15)

根据式(15)设计$s\dot{s}$ 与$K_i\left(t\right)$ 之间的模糊系统，利用七级模糊集，其定义分别如下[25]：

$s\dot{s}=\left\{\begin{array}{cccc}\text{NB}& \text{NM}& \text{NS}& \begin{array}{cccc}\text{ZO}& \text{PS}& \text{PM}& \text{PB}\end{array}\end{array}\right\}$

$\Delta k_i\left(t\right)=\begin{array}{ccccccc}\{\text{NB}& \text{NM}& \text{NS}& \text{ZO}& \text{PS}& \text{PM}& \text{PB}\}\end{array}$ .

NB为负大，NM为负中，NS为负小，ZO为零，PS为负小，PM为正中，PB为正大。

模糊系统的隶属函数图如下图1：

(a) (b)

(c)

Figure 1. (a) Membership function diagram of the fuzzy input s; (b) Membership function diagram of the fuzzy input ds; (c) Membership function diagram of the fuzzy input dk

图1. (a) 模糊输入s隶属函数图；(b) 模糊输入ds隶属函数图；(c) 模糊输出dk隶属函数图

(2) 模糊规则建立：

R₁: If $s\dot{s}$ is PB Then $\Delta k_i\left(t\right)$ is PB.

R₂: If $s\dot{s}$ is PM Then $\Delta k_i\left(t\right)$ is PM.

R₃: If $s\dot{s}$ is PS Then $\Delta k_i\left(t\right)$ is PS.

R₄: If $s\dot{s}$ is ZO Then $\Delta k_i\left(t\right)$ is ZO.

R₅: If $s\dot{s}$ is NS Then $\Delta k_i\left(t\right)$ is NS.

R₆: If $s\dot{s}$ is NM Then $\Delta k_i\left(t\right)$ is NM.

R₄: If $s\dot{s}$ is NB Then $\Delta k_i\left(t\right)$ is NB.

利用积分法对估计切换增益值${\widehat{k}}_i\left(t\right)$ 进行上界估计，即：${\widehat{k}}_i\left(t\right)=G{\displaystyle {\int }_0^t\Delta k_i\left(t\right)\text{d}t}$。其中，G为比例系数。

所以得出模糊化之后的自适应终端滑模控制器：

$\{\begin{array}{l}{u}_1=\left(a+1\right)e_1-y_3{y}_5+x_3{x}_5-{\lambda }_1{\left|e_1\right|}^r\mathrm{sgn}\left(e_1\right)-D_t^{q-1}\left[\left({\widehat{\omega }}_1+{\widehat{\gamma }}_1\right)\mathrm{sgn}\left(s_1\right)+{\widehat{k}}_1\mathrm{sgn}\left(s_1\right)\right]\\ u_2=\left(a+1\right)e_2-y_4{y}_5+x_4{x}_5-{\lambda }_2{\left|e_2\right|}^r\mathrm{sgn}\left(e_2\right)-D_t^{q-1}\left[\left({\widehat{\omega }}_2+{\widehat{\gamma }}_2\right)\mathrm{sgn}\left(s_2\right)+{\widehat{k}}_2\mathrm{sgn}\left(s_2\right)\right]\\ u_3=\left(b+1\right)e_3-y_1{y}_5+x_1{x}_5-{\lambda }_3{\left|e_3\right|}^r\mathrm{sgn}\left(e_3\right)-D_t^{q-1}\left[\left({\widehat{\omega }}_3+{\widehat{\gamma }}_3\right)\mathrm{sgn}\left(s_3\right)+{\widehat{k}}_3\mathrm{sgn}\left(s_3\right)\right]\\ u_4=\left(b+1\right)e_4-y_2{y}_5+x_2{x}_5-{\lambda }_4{\left|e_4\right|}^r\mathrm{sgn}\left(e_4\right)-D_t^{q-1}\left[\left({\widehat{\omega }}_4+{\widehat{\gamma }}_4\right)\mathrm{sgn}\left(s_4\right)+{\widehat{k}}_4\mathrm{sgn}\left(s_4\right)\right]\\ u_5=-\left(c-1\right)e_5+\left(b+1\right)e_4-{\lambda }_5{\left|e_5\right|}^r\mathrm{sgn}\left(e_5\right)-D_t^{q-1}\left[\left({\widehat{\omega }}_5+{\widehat{\gamma }}_5\right)\mathrm{sgn}\left(s_5\right)+{\widehat{k}}_5\mathrm{sgn}\left(s_5\right)\right]\end{array}$ (16)

4. 数值仿真

为了说明文中所给方法有效性，通过Matlab程序以及Simulink工具箱对方法进行检验[26] [27]。

系统参数$\left(a,b,c\right)=\left(\begin{array}{ccc}0.9& 0.2& 1.2\end{array}\right)$ ；$\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,{\lambda }_4,{\lambda }_5\right)=\left(\begin{array}{ccccc}2& 3& 5& 1& 2\end{array}\right)$ ；系统初始值为

$x_1\left(0\right)=2,x_2\left(0\right)=1,x_3\left(0\right)=3;x_4\left(0\right)=1;x_5\left(0\right)=3;$

$y_1\left(0\right)=1,y_2\left(0\right)=2,y_3\left(0\right)=2;y_4\left(0\right)=1;y_5\left(0\right)=3;$

自适应率$\left({\widehat{\omega }}_1,{\widehat{\omega }}_2,{\widehat{\omega }}_3,{\widehat{\omega }}_4,{\widehat{\omega }}_5\right)=\left(\begin{array}{ccccc}0.2& 0.1& 0.5& 1& 1\end{array}\right)$ ；外部扰动为

$\Delta f\left(y\right)={\left[\begin{array}{ccccc}0.02\sin \left(\pi y\right)& 0.02\sin \left(2\pi y\right)& 0.02\sin \left(3\pi y\right)& 0.02\sin \left(4\pi y\right)& 0.02\sin \left(5\pi y\right)\end{array}\right]}^{\text{T}}$

在没有加入模糊规则下的控制器见图2；可以看到利用自适应终端滑模控制器，驱动系统与响应系统可以在一段时间之后逐步达到同步状态，进而误差系统达到稳定。但是无法规避地受到切换增益导致的抖振。通过加入模糊规则，利用(16)式模糊控制器，得到改进控制器以及切换增益函数时间历程图，见图3驱动系统与响应系统的演化图，见图4~8；可以看出通过采用模糊逻辑控制，减小抖振，在带有外部干扰和系统不确定性约束的情况下，模糊滑模控制保证误差系统快速稳定，实现驱动系统与响应系统的同步。

Figure 2. Time history diagram of traditional controller and switching gain function

图2. 传统控制器及切换增益函数时间历程图

根据仿真结果，传统控制器因切换增益项而存在抖振，从而使系统的同步效果差强人意。

Figure 3. Time history diagram of improved controller and switching gain function

图3. 改进控制器及切换增益函数时间历程图

根据仿真结果，通过引入模糊控制策略改进传统控制器，增强系统在有外界干扰和不确定项下的适应性。

Figure 4. The synchronous time history diagram of state variables $x_1,y_1$

图4. 状态变量$x_1,y_1$ 同步时间历程图

Figure 5. The synchronous time history diagram of state variables $x_2,y_2$

图5. 状态变量$x_2,y_2$ 同步时间历程图

Figure 6. The synchronous time history diagram of state variables $x_3,y_3$

图6. 状态变量$x_3,y_3$ 同步时间历程图

Figure 7. The synchronous time history diagram of state variables $x_4,y_4$

图7. 状态变量$x_4,y_4$ 同步时间历程图

Figure 8. The synchronous time history diagram of state variables $x_5,y_5$

图8. 状态变量$x_5,y_5$ 同步时间历程图

结果表明，驱动系统与响应系统从任意初始条件出发，在控制器的作用下达到逐步渐进稳定状态，进而实现同步。

5. 结论

针对分数阶复数域金融混沌系统，在考虑外部扰动以及不确定性因素二者同时存在的情况下，将自适应滑模控制机制与模糊逻辑相结合，设计出具有较强鲁棒性性能的控制器，从而实现对分数阶复金融混沌系统的有效同步。通过研究发现，与传统的滑模控制系统相比，自适应模糊滑模控制系统能够有效削弱抖振，使驱动系统与响应系统在有限时间内达到同步状态。为投资者和决策者提供更为可靠的信息，从而在不稳定的市场中做出更加灵活的决策。但是，引入的模糊策略主要依据专家经验。因此，创建适合一般规律的自适应模糊滑模理论值得进一步研究。

基金项目

河北省科学研究项目(ZC2023095)、承德市应用技术研究与开发项目(202205B031)、承德市科技成果转化项目(202205B089)。