多波束测深中测线设计模型研究

Research on the Design Model of Survey Lines in Multi-Beam Bathymetry

摘要: 针对测量船多波束测深中如何设置测线间隔的问题，基于几何和方程思想，建立海底具有坡面、测线与坡面平行及不平行的情形下多波束测深覆盖宽度及相邻条带重叠率模型。通过已建立的模型，根据测线总距离最短，覆盖宽度最大，进一步建立在一定范围海域内最优测线方案模型。使用MATLAB软件计算出了不同测线点处的海深、覆盖宽度以及重叠率。

Abstract: Based on geometric and equation ideas, a model for the coverage width and adjacent strip overlap rate of multi-beam bathymetry under the scenarios of slope, parallel and non-parallel lines with the slope of the seabed is established to address the problem of how to set the line spacing in multi-beam bathymetry for survey ships. Through the established model, based on the shortest total distance and the largest coverage width of the survey line, an optimal survey line scheme model within a certain range of sea areas is further established. The depth, coverage width, and overlap rate at different survey line points were calculated using MATLAB software.

1. 引言

多波束测深系统是近年来广泛采用的水深测量系统，具有分辨率高、精度高、覆盖范围大、自动化成图、效率高等特点[1]。随着多波束探深技术的发展，探测过程前设计测线间隔问题是多波束测深中的重要研究课题。

单波束测深技术是一种基于水声传播特征的水深探测技术。由于单波束测深原理导致测线间无数据这个缺陷，发展了多波束测深系统。有关这两种波束测深技术的原理、数据、成果的比照分析以及二者之间的联系，已有一些研究[2]-[4]。而多条带技术是当今主流多波束测深声纳核心技术之一，可有效解决高航速探测作业海底覆盖不完善的问题[5]。

在测深条带相邻时，存在重叠区域。为保证数据较为精确和完整，控制重叠率在一定范围内。考虑到真实海底地形变化复杂，在满足重叠率要求情况下，水浅处会出现漏测现象，水深处会导致数据量庞大，勘测效率低。

为尽量避免漏测并提高勘测效率，基于在测线与海底坡面平行，建立测深的覆盖宽度模型和相邻条带间重叠率模型，以及计算海水深度、覆盖宽度、与前一条测线的重叠率的基本方法，研究测线与海底坡面不平行，即测线与海底坡面法向在水平面投影存在夹角情形下，如何建立测深覆盖宽度模型，并计算覆盖宽度。在此基础上设计一组测线，以保证总测量长度最短、覆盖海域最完全且满足一定要求的重叠率。

2. 测线与海底坡面平行下覆盖宽度、重叠率模型建立

先研究最简单情形，即在海底坡面坡度、换能器开角已知条件下，测线与海底坡面平行情形下，测深覆盖宽度模型和相邻条带间重叠率模型，如图1所示，C为测量船所在的点，显然C在测线上，因测线方向平行于海底坡面，所以与测线方向垂直的平面和海底坡面的交线与水平面的夹角即为海底坡面的坡度$\alpha$ ，于是多波束换能器发射的声波与海底坡面交线能形成三角形ΔABC，$\angle ACB$ 为换能器开角$\theta$ ，O为测量船在海底面的竖直投影。设$W_1=AO$ ，$W_2=OB$ ，$W=AB$ 为覆盖宽度，D为水深。

2.1. 覆盖宽度模型的建立型

覆盖宽度模型W随水深D和换能器开角$\theta$ 的变化而变化，是二者的函数，根据图1，由三角形正弦定理可得以下方程，

$\{\begin{array}{l}\frac{W_1}{\sin \frac{\theta }{2}}=\frac{D}{\sin \angle CAB}\\ \frac{W_2}{\sin \frac{\theta }{2}}=\frac{D}{\sin \angle CBA}\end{array}$ (2-1-1)

Figure 1. Depth surveying covered width schematic

图1. 测深覆盖宽度示意图

因为$\angle CAB=\frac{\pi }{2}-\frac{\theta }{2}-\alpha$ 、$\angle CBA=\frac{\pi }{2}-\frac{\theta }{2}+\alpha$ ，将其代入(2-1-1)得，

$\{\begin{array}{l}{W}_1=\frac{D\sin \frac{\theta }{2}}{\cos \left(\frac{\theta }{2}+\alpha \right)}\\ W_2=\frac{D\sin \frac{\theta }{2}}{\cos \left(\frac{\theta }{2}-\alpha \right)}\end{array}$ . (2-1-2)

所以多波束测深的覆盖宽度模型为，

$W=W_1+W_2=D\sin \frac{\theta }{2}\left(\frac{1}{\cos \left(\frac{\theta }{2}+\alpha \right)}+\frac{1}{\cos \left(\frac{\theta }{2}-\alpha \right)}\right)$ . (2-1-3)

2.2. 重叠率模型的建立

2.2.1. 重叠区域宽度求解

测量船沿不同航线进行测深，这些航线一般平行，即测线互相平行，如图2所示，$x_{n-1}$ 与$x_n$ 为两条相邻测线，其间距为d，这两条相邻测线的覆盖区域会出现重叠区域，记其长度为$\sigma$ ，即$\sigma$ 是覆盖宽度$W_{n-1}$ 与$W_n$ 的重叠区域宽度，下面先求$\sigma$ 。

在$\Delta AA\text{'}P$ 中，$AA\text{'}=d$ ，$\angle AA\text{'}P=\frac{\pi }{2}+\frac{\theta }{2}$ ，$\angle APA\text{'}=\frac{\pi }{2}-\alpha -\frac{\theta }{2}$ 。

由正弦定理得$\frac{AA\text{'}}{\sin \angle APA\text{'}}=\frac{AP}{\sin \angle AA\text{'}P}$ ，即$\frac{d}{\sin \left(\frac{\pi }{2}+\frac{\theta }{2}\right)}=\frac{AP}{\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha -\frac{\theta }{2}\right)}$ ，解得$AP=d\cdot \frac{\cos \theta }{\cos \left(\alpha +\frac{\theta }{2}\right)}$ ，从而求出重叠区域宽度，

$\sigma =W_{n-1}-AP=W_{n-1}-d\cdot \frac{\cos \frac{\theta }{2}}{\cos \left(\alpha +\frac{\theta }{2}\right)}$ . (2-2-1)

Figure 2. Relationship between coverage width, survey line spacing and overlap rate

图2. 覆盖宽度、测线间距和重叠率关系

2.2.2. 重叠率定义

定义重叠区域宽度与覆盖宽度的比值为重叠率，依据该定义，得到海底有坡度$\alpha$ 情形下的重叠率四种模型。

(1) ${\eta }_n=\frac{\sigma }{W_{n-1}}=1-\frac{d}{W_{n-1}}\cdot \frac{\cos \frac{\theta }{2}}{\cos \left(\frac{\theta }{2}+\alpha \right)}$ (2-2-2)

(2) ${\eta }_n=\frac{\sigma }{W_n}=1-\frac{d}{W_n}\cdot \frac{\cos \frac{\theta }{2}}{\cos \left(\frac{\theta }{2}-\alpha \right)}$ (2-2-3)

(3) ${\eta }_n=\frac{2\sigma }{W_{n-1}+W_n}$ (2-2-4)

(4) ${\eta }_n=\frac{\frac{\sigma }{W_{n-1}}+\frac{\sigma }{W_n}}{2}$ (2-2-5)

2.3. 模型应用

现有一片海域，中心点处的海水为70 m，过该中心点的测线为中轴测线，距离中轴测线两侧各有4条测线，间距200 m，利用已建立的覆盖宽度、重叠率模型计算各测线处的覆盖宽度及与前一条测线的重叠率。首先需要先计算各测线处的海水深度。

2.3.1. 海水深度模型

以海洋深度为70 m的中心点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图3所示。

$OC=70\text{m}$ ，过c作平行x轴直线，则其方程为$y=70$ ，坡面斜线方程为，

$y=\tan \alpha \cdot x$ (2-3-1)

设声波束与直线$l_1$ 交点分别为$x_{-4},x_{-3},\cdots ,x_4$ ，则$x_n$ 对应海水深度$h_n$ 为，

$h_n=70-\tan \alpha \cdot x_n$ . (2-3-2)

Figure 3. Sea depth at each sounding line

图3. 各测线处海水深度

2.3.2. 覆盖宽度及重叠率计算公式

由(2-1-3)、(2-3-2)得覆盖宽度计算公式，

$W_n=h_n\sin \frac{\theta }{2}\left(\frac{1}{\cos \left(\frac{\theta }{2}+\alpha \right)}+\frac{1}{\cos \left(\frac{\theta }{2}-\alpha \right)}\right)$ . (2-3-3)

2.3.3. 覆盖宽度及重叠率计算结果

由测线间距可知$x_{-4}=-800$ ，$x_{-3}=-600$ ，$x_{-2}=-400$ ，$x_{-1}=-200$ ，$x_0=0$ ，$x_1=200$ ，$x_2=400$ ，$x_3=600$ ，$x_4=800$ ，利用MATLAB软件，根据(1-3-3)及重叠率计算公式(1-2-2)~(1-2-5)计算出各测线处的覆盖宽度及与前一条测线的重叠率，见表1。

Table 1. Calculation results 1

表1. 计算结果1

测线距中心点处的距离/m	−800	−600	−400	−200	0	200	400	600	800
海水深度/m	90.9487	85.7116	80.4744	75.2372	70	64.7628	59.5256	54.2884	49.0513
覆盖宽度/m	315.8133	297.6276	279.4418	261.256	243.0703	224.8845	206.6987	188.513	170.3272
与前一条测线的重叠率/% (根据重叠率模型1-2-2)	-	33.64	29.5852	25.0027	19.7822	13.7805	6.8082	漏测	漏测
与前一条测线的重叠率/% (根据重叠率模型1-2-3)	-	35.6954	31.5106	26.7431	21.2622	14.8949	7.4072	−1.5252	−12.365
与前一条测线的重叠率/% (根据重叠率模型1-2-4)	-	34.6372	30.5175	25.8436	20.4955	14.3161	7.0951	−1.455	−11.7383
与前一条测线的重叠率/% (根据重叠率模型1-2-4)	-	34.6677	30.5479	25.8729	20.5222	14.3377	7.1077	−1.4581	−11.7685

3. 测线与海底坡面不平行时覆盖宽度模型建立

在测线方向与海底坡面不平行情形下，测线在水平面上投影与坡面法向在水平面上投影不垂直，所以要做垂直于测线的平面，使得该平面与海底坡面形成交线。该交线与其在水平面的角等同于测线与海底坡面平行情况下的海底坡面倾角$\alpha$ ，此时该问题转化为测线与海底坡面平行情况下求覆盖宽度模型。又因为沿测线方向上海水深度发生变化，所以通过构建测线在海底坡面和水平面的投影的夹角，以此建立求海水深度的函数方程，从而替代覆盖宽度模型中的海水深度。

3.1. 模型建立

3.1.1. 海水深度模型的建立

在测线与海底坡面不平行情况下测线及其投影与海底坡面位置关系示意图，见图4。

Figure 4. Measuring line is not parallel to the seabed slope surface

图4. 各测线处海水深度

其中AD是测线在海底坡面的投影，AF为测线在水平面上投影，EA延长线为海底坡面法线在水平面投影。令$\angle DAF=\gamma$ ，$\angle DBF=\alpha$ ，$\angle FAE\text{'}=\beta$ 。$\gamma$ 为测线在海底坡面上投影与测线在水平面上投影夹角，设$BF=a$ ，由边角关系得，

$\{\begin{array}{l}AF=\frac{a}{\sin \left(\beta -\frac{\pi }{2}\right)}=\frac{a}{-\cos \beta }\\ DF=a\cdot \tan \alpha \\ \frac{DF}{AF}=\tan \gamma \end{array}$ .

解得，$\gamma =\text{arc}\left(-\tan \alpha \cos \beta \right)$ 。 (3-1-1)

为了将问题转化测线与海底坡面平行的情形，如图5所示，作面ADF的垂直平面与海底坡面相交，交线为C'B，交线C'B在水平面的投影为BE'，令$\angle C\text{'}BE\text{'}=\phi$ ，作AF平行线段BG，设$BF=a$ ，

由边角关系得，$\{\begin{array}{l}\angle E\text{'}BF=\frac{\pi }{2}-\angle E\text{'}BA\\ \angle FAB=\beta -\frac{\pi }{2}\\ \angle E\text{'}BA=\frac{\pi }{2}-\angle FAB\end{array}$

解得$\angle EBF=\beta -\frac{\pi }{2}$ 。

根据三角函数和此时三棱柱棱长关系可得，$\{\begin{array}{l}DF=a\cdot \tan \alpha =C\text{'}E\text{'}\\ BE\text{'}=\frac{a}{\cos \left(\beta -\frac{\pi }{2}\right)}=\frac{a}{\sin \beta }\\ \tan \phi =\frac{C\text{'}E\text{'}}{E\text{'}B}=\tan \alpha \sin \beta \\ \phi =\text{arc}\left(\tan \alpha \sin \beta \right)\end{array}$ 。

解得，$\phi =\text{arc}\left(\tan \alpha \sin \beta \right)$ 。 (3-1-2)

Figure 5. The vertical plane and its position relationship with the measurement line direction

图5. 与测线方向垂直面及其位置关系

如图6所示，设测线为l，测线在海底坡面的投影直线为$l_1$ ，测线在水平面的投影线为$l_2$ ，以船行驶到海域中心点为原点建系，$x_n$ 为船测量点到海域中心点的距离，也记为第n个测量点。$h_0$ 为在海域中心点时水深，$h_n$ 为船在位置为$x_n$ 点时水深。$\gamma$ 为测线在海底坡面上投影与测线在水平面上投影夹角。

Figure 6. Sea depth at each sounding line

图6. 各测线处海水深度

由$\{\begin{array}{l}l:y=0\\ l_1:y=\tan \gamma \cdot x-120\end{array}$ 得$x_n$ 对应海水深度$h_n$ 的模型为，$h_n=\left|\tan \gamma \cdot x-120\right|$ 。 (3-1-3)

3.1.2. 覆盖宽度模型的建立

根据测线与海底坡面平行于不平行的关系，在不平行情况下的相当于平行情况下的，由此得到测线与海底坡面不平行情况下的覆盖宽度模型，

$\{\begin{array}{l}W=h_n\sin \frac{\theta }{2}\left(\frac{1}{\cos \left(\frac{\theta }{2}+\phi \right)}+\frac{1}{\cos \left(\frac{\theta }{2}-\phi \right)}\right)\\ h_n=\left|\tan \left[\text{arc}\left(-\tan \alpha \cos \beta \right)\right]\cdot x-120\right|\\ \phi =\text{arc}\left(\tan \alpha \sin \beta \right)\end{array}$ (3-1-4)

3.2. 模型应用

现有一片海域，海域中心点处的海水为120 m，多波束换能器的开角120度，坡度1.5度，距离中心点每间隔0.3海里处有一测线，共7条测线，现利用已建立的覆盖宽度模型，运用MATLAB计算在不同测线方向夹角下的覆盖宽度，见表2。

Table 2. Calculation results 2

表2. 计算结果2

覆盖宽度/m		测量船距海域中心点处的距离/海里
		0	0.3	0.6	0.9	1.2	1.5	1.8	2.1
测线方向夹角/˚	0	415.6922	466.0911	516.4899	566.8888	617.2876	667.6865	718.0854	768.4842
	45	416.1915	451.8717	487.5519	523.2321	558.9123	594.5924	630.2726	665.9528
	90	416.6919	416.6919	416.6919	416.6919	416.6919	416.6919	416.6919	416.6919
	135	416.1915	380.5113	344.8312	309.151	273.4708	237.7906	202.1104	166.4302
	180	415.6922	365.2933	314.8945	264.4956	214.0967	163.6979	113.299	62.9002
	225	416.1915	380.5113	344.8312	309.151	273.4708	237.7906	202.1104	166.4302
	270	416.6919	416.6919	416.6919	416.6919	416.6919	416.6919	416.6919	416.6919
	315	416.1915	451.8717	487.5519	523.2321	558.9123	594.5924	630.2726	665.9528

4. 测线优化模型建立与求解

现有一个南北长2海里，东西宽4海里的矩形海域，海域中心点处的海水为110 m，西深东浅，坡度1.5度多，波束换能器的开角120度，要设计一组测量长度最短、可覆盖整个待测海域的测线，且要求相邻条带间的宽度在10%~20%。

4.1. 模型建立

经前面的分析可见，当$\beta$ 为90˚时，覆盖宽度最大，这样使得在$\eta$ 一定时，在保证测量长度最短的要求下，确定$\beta$ 应为90˚，因为$\eta$ 需要保证在10%~20%，当$\eta$ 为10%时，覆盖区域达到最大，该情况下航线测量长度最短，综上，最优选择参数应为：$\beta$ 为90˚、$\eta$ 为10%，此时选择测线方向为南北方向。此时南北方向测线布局有两种情况，一是波束覆盖区域边缘与海底坡面西边缘重合，二是与海底坡面东边缘重合。如图作以测线为法向的垂直平面，形成剖视图，如图7、图8所示。

Figure 7. Overlapping cross-sectional view of the edge of the coverage area and the western edge of the seabed slope

图7. 覆盖区域边缘与海底坡面西边缘重合剖视图

Figure 8. Overlapping sectional view of the edge of the coverage area and the eastern edge of the seabed slope

图8. 覆盖区域边缘与海底坡面东边缘重合剖视图

对第一种情况，如图7：假设第一条测线从西开始，且其波束形成三角形的左侧边界与海底西边界重合。l为海底坡面与垂直平面交线，其与水平面夹角为$\alpha$ 。$l_{辅}$ 为平行于水平面的辅助线，$h_0$ 为海域中心点出海水深度，$h_{\min }$ 为待测海域最浅深度，$W_{\left(n\right)}$ 为第n条测线形成的覆盖宽度。从西至东，形成三角形依次记为1、2、3......、n，从第n个三角形的3个顶点作$l_{辅}$ 垂线段，计垂线段依次为$h_{1\left(n\right)}$ 、$h_{2\left(n\right)}$ 、$h_{3\left(n\right)}$ 。根据假设，令$\eta =10\%$ ，根据正弦定理和几何关系得测线优化模型：

$\{\begin{array}{l}{h}_{1\left(1\right)}=h_0+3.704\tan \alpha \\ h_{2\left(1\right)}=h_{1\left(1\right)}\left(1-\tan \frac{\theta }{2}\tan \partial \right)\\ W_{\left(1\right)}=h_{2\left(1\right)}\cdot \left[\frac{1}{\cos \left(\frac{\theta }{2}+\alpha \right)}+\frac{1}{\cos \left(\frac{\theta }{2}-\alpha \right)}\right]\cdot \sin \frac{\theta }{2}\\ h_{3\left(1\right)}=h_{1\left(1\right)}+W_{\left(1\right)}\sin \alpha \end{array}$ (4-1-1)

其中，$h_{\min }=h_0-3.704\tan \alpha$ ，$h_0=110$ 。经过计算可得，

$\{\begin{array}{l}{h}_{1\left(n\right)}=h_{1\left(n-1\right)}-\left(1-\eta \right)\cdot W_{\left(n-1\right)}\sin \alpha \\ h_{2\left(n\right)}=h_{1\left(n\right)}\left(1-\tan \frac{\theta }{2}\tan \partial \right)\\ W_{\left(n\right)}=h_{2\left(n\right)}\cdot \left[\frac{1}{\cos \left(\frac{\theta }{2}+\alpha \right)}+\frac{1}{\cos \left(\frac{\theta }{2}-\alpha \right)}\right]\cdot \sin \frac{\theta }{2}\\ h_{3\left(n\right)}=h_{1\left(n\right)}-W_{\left(n\right)}\sin \alpha \end{array}$ (4-1-2)

对第二种情况，如图8：假设第一条测线从东开始，且其波束形成三角形的右侧边界与海底最浅边界重合。l为海底坡面与垂直平面交线，其与水平面夹角为$\alpha$ 。$l_{辅}$ 为平行于水平面的辅助线，$h_0$ 为海域中心点出海水深度，$h_{\max }$ 为待测海域最深深度，$W_{\left(n\right)}$ 为第n条测线形成的覆盖宽度。从东至西，形成三角形依次记为1、2、3......、n，从第n个三角形的3个顶点作$l_{辅}$ 垂线段，计垂线段依次为$h_{3\left(n\right)}$ 、$h_{2\left(n\right)}$ 、$h_{1\left(n\right)}$ 。根据假设，令$\eta =10\%$ ，同理得测线优化模型，

$\{\begin{array}{l}{h}_{3\left(1\right)}=h_0-3.704\tan \alpha \\ h_{2\left(1\right)}=h_{3\left(1\right)}\left(1+\tan \frac{\theta }{2}\tan \partial \right)\\ W_{\left(1\right)}=h_{2\left(1\right)}\cdot \left[\frac{1}{\cos \left(\frac{\theta }{2}+\alpha \right)}+\frac{1}{\cos \left(\frac{\theta }{2}-\alpha \right)}\right]\cdot \sin \frac{\theta }{2}\\ h_{1\left(1\right)}=h_{3\left(1\right)}+W_{\left(1\right)}\sin \alpha \end{array}$ (4-1-3)

其中：$h_{\max }=h_0+3.704\tan \alpha$ ，$h_0=110$ 。经过计算可得，

$\{\begin{array}{l}{h}_{3\left(n\right)}=h_{3\left(n-1\right)}+\left(1-\eta \right)\cdot W_{\left(n-1\right)}\sin \alpha \\ h_{2\left(n\right)}=h_{3\left(n\right)}\left(1+\tan \frac{\theta }{2}\tan \partial \right)\\ W_{\left(n\right)}=h_{2\left(n\right)}\cdot \left[\frac{1}{\cos \left(\frac{\theta }{2}+\alpha \right)}+\frac{1}{\cos \left(\frac{\theta }{2}-\alpha \right)}\right]\cdot \sin \frac{\theta }{2}\\ h_{1\left(n\right)}=h_{3\left(n\right)}+W_{\left(n\right)}\sin \alpha \end{array}$ (4-1-4)

当$h_{1\left(n\right)}<h_{\max }$ 时，输出n；当$h_{3\left(n\right)}>h_{\min }$ 时，输出n。

4.2. 标模型求解

第一种情况即为第一条测线由西开始，经过MATLAB计算，得出在测线南北方向上平行排列时，共31条测线；第二种情况即为第一条测线由东开始，经过MATLAB计算，得出在测线南北方向上排列时，共34条测线。

5. 总结与展望

结合实际，根据影响问题的重要因素，运用几何和函数思想，合理设置参数，用简单的几何模型表达复杂的海洋测深问题，解决了测线与海底坡面法线不垂直时的覆盖宽度模型和最优测线布局设计模型，输出结果符合解决实际问题的需求，得到的测线布局设计具有总长度最短，覆盖宽度大等特点贴合实际，具有较高的应用价值，可以推广到无人机在农业的应用，也可以用到无人机扫描地形成景深地图，能够有效提高无人机运行效率，使无人机运行成本下降，提高生产效率。但在实际应用中，海洋多普勒混响和声波折射、散射可能也是重要的因素，本文未能考虑到这些因素的影响，一定程度上影响了模型的准确性。

基金项目

山东省研究生教育质量提升计划项目：SDYKC17100。