基于响应面法的连续箱梁桥模型修正

Continuous Box Girder Bridge Model Correction Based on Response Surface Method

摘要: 针对基于响应面法的桥梁有限元模型修正方法进行研究，采用Midas软件，根据图纸建立简直转连续箱梁桥的初始有限元模型，将10、22、34、46、59单元的弹性模量降低40%，以单元刚度折减后的前五阶模态为目标响应，采用响应面法进行有限元模型修正。计算结果表明：基于响应面法的模型修正大幅提高计算效率，修正后的模态误差在0.3%以内，具有求解效率高，精度高的优点。

Abstract: In order to study the finite element model correction method of the bridge based on the response surface method, the initial finite element model of the simply rotating continuous box girder bridge was established according to the drawings by Midas software, and the elastic modulus of elements 10, 22, 34, 46 and 59 was reduced by 40%, and the first five modes after the element stiffness reduction were used as the target response, and the response surface method was used to modify the finite element model. The results show that the model correction based on the response surface method greatly improves the computational efficiency, and the modified modal error is within 0.3%, which has the advantages of high solution efficiency and high accuracy.

1. 引言

桥梁作为现代交通基础设施的重要组成部分，其安全性、耐久性和经济性一直是工程界关注的重点。随着有限元分析(FEA)技术的快速发展，桥梁设计、分析和评估中的数值模型已经成为工程师们不可或缺的工具。然而，尽管有限元模型能够在一定程度上模拟桥梁结构的实际响应，但由于材料特性、边界条件、施工误差等多种因素的影响，模型预测结果与实际观测数据之间往往存在一定的差异。因此，对桥梁有限元模型进行修正，以提高其预测精度和可靠性，具有重要的理论意义和工程应用价值。

有限元模型修正，又称模型更新或模型校准，是通过调整模型参数或引入修正项来减小模型预测与实验观测之间的差异的过程[1]-[3]。在桥梁工程中，模型修正的目标通常包括提高结构响应的预测精度、优化结构设计参数，以及为桥梁的维护、加固和改造提供更为准确的指导。近年来，随着计算机技术的不断进步和实验数据的日益丰富，桥梁有限元模型修正技术得到了快速发展，并在实际工程中得到了广泛应用。常用的有限元模型修正方法主要包括两大类：矩阵修正方法和设计参数修正方法。矩阵型有限元模型修正法是对有限元模型的刚度矩阵和质量矩阵进行直接修正，使修正后的有限元模型的分析结果与实测结果保持一致。这种方法的基本思想是，假定原始的动力模型与“真实”结构模型间存在差异，然后，在满足特征方程的条件下利用最小二乘法直接对有限元模型的质量、刚度矩阵等进行修正。然而，其缺点是修正后的系统矩阵没有明确的物理意义，这可能会破坏原系统矩阵的对称、带状特征，给后续计算带来困难[4]-[7]。设计参数型模型修正是对结构的设计参数，如材料的弹性模量、质量密度、截面积、弯曲、扭转惯量等参数进行修正，能够更直接地反映结构物理特性的变化，并且修正后的模型具有明确的物理意义。

响应面法是设计参数修正方法的一种，通过试验设计与回归分析，将响应值与设计参数间的隐式函数关系用显示函数进行表示，得到简化的结构模型，针对简化的结构模型，进行迭代计算修正参数，大大减小了在有限元模型内的计算量，具有很高的计算效率和精度。常用的响应面模型包括二次多项式、BP神经网络、高斯径向基函数、克里格模型和支持向量机等[8]-[11]。二次多项式响应面模型具有计算量小、拟合精度高、易于构造和求解以及良好的非线性表达能力等优点而被广泛采用。本文以三跨简直转连续箱梁桥为例，将单元刚度折减后得到的模态作为目标响应，采用二次多项式响应面进行模型修正，得到准确的有限元模型。

2. 桥梁有限元模型建立

本桥为3 × 30 m的简直转连续箱梁桥，荷载标准：公路一级。主梁采用C50混凝土，桥面现浇层采用C40混凝土，沥青混凝土厚度为0.11 m，容重为23 kN/m³。单幅主梁由4片小箱梁组成，取中间一片建立Midas模型进行研究，箱梁横断面如图1、图2所示。

Figure 1. Mid-span cross-section

图1. 跨中横断面

Figure 2. Mid-span cross-section

图2. 支点横断面

桥梁有限元模型采用梁单元建立，整体坐标系X轴为纵桥向方向，横桥向为Y轴，Z轴竖直向上。模型总节点数77个，单元数68个，主梁与支座节点弹性连接。支座约束及初始有限元模型如图3所示。

Figure 3. Initial finite element model

图3. 初始有限元模型

采用单元刚度折减的方式模拟实际梁的损伤，假定边跨跨中10、59单元、中跨跨中22单元及支座处34、46单元的弹性模量降低40%，提取损伤梁前五阶特征频率作为目标响应，未损伤的梁作为初始有限元模型进行修正，得到的模态数据如表1所示，初始有限元模型频率用f₀表示，单元刚度折减后的模型频率用f_t表示。

Table 1. Comparison of initial mode and damage mode

表1. 初始模态与损伤模态对比

阶次	振型	f0/Hz	ft/Hz	误差
1	一阶竖弯	3.3981	3.2826	−3.52%
2	二阶竖弯	4.4737	4.3287	−3.35%
3	三阶竖弯	6.4314	6.2211	−3.38%
4	一阶横弯	8.3229	8.0209	−3.76%
5	二阶横弯	8.5320	8.2109	−3.91%

3. 响应面模型修正

基于响应面法的桥梁有限元模型修正基本原理：选择合适的设计参数(弹性模量、容重、惯性矩与支座刚度)及结构响应(位移、频率、应变)，根据试验设计将参数代入有限元模型得到样本点响应，由样本点数据进行回归分析剔除不显著的因素。在此基础上，拟合目标响应与设计参数之间的响应面模型，从而代替初始有限元模型进行迭代优化，获得修正后的参数值与最优有限元模型[12]。

3.1. 待修正参数选取

根据工程经验选择主梁C50混凝土的弹性模量E、泊松比$\mu$ 与容重$\gamma$ 作为待修正参数，修正范围为±20%，如表2所示。

Table 2. Parameter settings to be corrected

表2. 待修正参数设置

编号	参数		水平
			低水平	初始值	高水平
A		E (10^4/MPa)	2.76	3.45	4.14
B		$\mu$	0.16	0.2	0.24
C		$\gamma$ (kN/m^3)	20	25	30

3.2. 试验设计

响应面方法常用的试验设计方法有：全因子设计(Full-factorial design, FFD)、中心复合设计(Central Composite Experiment Design, CCD)、D-最优设计(D-optimality)、BBD (Box-Behnken Designs)设计、正交设计(Orthogonal Array-OA)和均匀设计(Uniform Design-UN)等[13]。其中中心复合设计能够以较少的实验次数获取较多的信息，特别是在响应面法中，它是一种常用的拟合二阶响应曲面模型的标准设计方法。相比其他实验设计方法，如均匀设计和正交设计，中心复合设计能够非线性拟合模型，具有较高的拟合相关系数，从而能更准确、有效地预测输出响应。故本文采用中心复合设计。由Design-Expert进行三因素两水平的中心复合试验设计，将各组样本代入初始有限元模型得到中心复合试验设计样本集，如表3所示。

Table 3. Experimental design sample set

表3. 试验设计样本集

序号	E (10^4/MPa)	$\mu$	$\gamma$ (kN/m^3)	f1 (Hz)	f2 (Hz)	f3 (Hz)	f4 (Hz)	f5 (Hz)
1	3.45	0.20	16.59	3.8532	5.0702	7.2882	9.4144	9.6444
2	3.45	0.27	25.00	3.3961	4.4678	6.4163	8.2975	8.5020
3	3.45	0.20	25.00	3.3981	4.4737	6.4314	8.3229	8.5320
4	3.45	0.20	25.00	3.3981	4.4737	6.4314	8.3229	8.5320
5	3.45	0.20	25.00	3.3981	4.4737	6.4314	8.3229	8.5320
6	4.14	0.16	20.00	3.9625	5.2193	7.5119	9.7719	10.0207
7	4.14	0.24	20.00	3.9597	5.2113	7.4911	9.7360	9.9780
8	4.61	0.20	25.00	3.8761	5.1060	7.3468	9.5896	9.8366
9	3.45	0.20	25.00	3.3981	4.4737	6.4314	8.3229	8.5320
10	4.14	0.16	30.00	3.4693	4.5718	6.5807	8.5726	8.7963
11	2.76	0.24	30.00	2.8919	3.8042	5.4616	7.0121	7.1836
12	2.76	0.24	20.00	3.3030	4.3429	6.2345	7.9920	8.1820
13	3.45	0.20	25.00	3.3981	4.4737	6.4314	8.3229	8.5320
14	3.45	0.20	33.41	3.0737	4.0479	5.8197	7.5376	7.7303
15	4.14	0.24	30.00	3.4668	4.5648	6.5625	8.5419	8.7599
16	3.45	0.13	25.00	3.4002	4.4796	6.4467	8.3485	8.5624
17	2.76	0.16	20.00	3.3055	4.3499	6.2524	8.0218	8.2173
18	2.76	0.16	30.00	2.8941	3.8103	5.4774	7.0376	7.2137
19	2.29	0.20	25.00	2.8390	3.7336	5.3595	6.8250	6.9874
20	3.45	0.20	25.00	3.3981	4.4737	6.4314	8.3229	8.5320

3.3. 参数显著性检验

为了筛选出对系统响应有显著影响的参数，从而确保响应面拟合的精度和效率，本文采用方差分析中的F检验法对参数的显著性进行分析。其基本思想是将样本数据的总偏差平方和分解为各因素引起的偏差平方和SS_A及试验误差引起的偏差平方和SS_e，然后分别除以各自由度f_A和f_e得到均方回归(Mean-Square Regression, MSR)和均方残差(Mean-Square Error, MSE)，求出F值[14]-[16]。应用F检验法对设计参数A进行检验，统计量F_A为：

$F_A=\frac{S{S}_A/f_A}{S{S}_e/f_e}~F\left(J_A,J_e\right)$ (3-1)

在方差分析中，对于给定的阀值，F检验的一般法则为：假定显著水平临界值取0.05，当$F\ge F_{1-0.05}\left(f_A,f_e\right)$ ，即$P\le 0.05$ ，则称因素的影响显著；当$F<F_{1-0.05}\left(f_A,f_e\right)$ ，即$P>0.05$ ，则称因素的影响不显著[17]。各参数的显著性水平分析如图4所示。

图中A、B、C分别表示主梁C50混凝土的弹性模量E、泊松比$\mu$ 与容重$\gamma$ ，前五阶频率对应的响应函数分别为y₁~y₅。由图可知泊松比$\mu$ 对y₁的影响不显著，$\mu$ 的平方项及与其他因素的交叉项对y₂~y₅的影响不显著。

Figure 4. Significance analysis

图4. 显著性分析

3.4. 响应面模型拟合

本文采用二阶多项式响应面模型[18]，如式(3-2)所示。

$Y\left(x\right)={\beta }_0+{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\beta }_i}{x}_i+{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\displaystyle \sum _{j=1}^n{\beta }_{ij}}}{x}_i{x}_j$ (3-2)

式中Y为响应特征值；$x_i$ 、$x_j$ 为修正参数；${\beta }_0,{\beta }_i,{\beta }_{ij}$ 均为待定系数。

由显著性分析可知参数B与参数A、C的交互项对y₁~y₅均不显著，故本文只展示参数A、C对各阶频率的响应面拟合图，如图5~9所示。

Figure 5. y₁ and parameters A and C response surfaces

图5. y₁与参数A、C响应面

Figure 6. y₂ and parameters A and C response surfaces

图6. y₂与参数A、C响应面

Figure 7. y₃ and parameters A and C response surfaces

图7. y₃与参数A、C响应面

拟合响应面过程中通过逐步回归去除参数不显著项，得到前5阶频率的响应面方程如下式所示：

$\begin{array}{c}{y}_1=2.70438+8.03276\times {10}^{-8}A-0.071296C-5.92558\times {10}^{-10}AC\\ -3.02302\times {10}^{-16}{A}^2+0.000921C^2\end{array}$ (3-3)

Figure 8. y₄ and parameters A and C response surfaces

图8. y₄与参数A、C响应面

Figure 9. y₅ and parameters A and C response surfaces

图9. y₅与参数A、C响应面

$\begin{array}{c}{y}_2=3.53254+1.06370\times {10}^{-7}A-0.093127C-7.81188\times {10}^{-10}AC\\ -4.02222\times {10}^{-16}{A}^2+0.001203C^2\end{array}$ (3-4)

$\begin{array}{c}{y}_3=5.08680+1.54106\times {10}^{-7}A-0.226724B-0.133472C-{1.13053}^{-9}AC\\ -5.83774\times {10}^{-16}{A}^2+0.001728C^2\end{array}$ (3-5)

$\begin{array}{c}{y}_4=6.03233+2.17176\times {10}^{-7}A-0.380280B-0.164485C-{1.55512}^{-9}AC\\ -8.60185\times {10}^{-16}{A}^2+0.002162C^2\end{array}$ (3-6)

$\begin{array}{c}{y}_5=6.12848+2.24145\times {10}^{-7}A-0.450617B-0.166746C-{1.59576}^{-9}AC\\ -8.93936\times {10}^{-16}{A}^2+0.002191C^2\end{array}$ (3-7)

3.5. 响应面模型精度检验

采用R²、Adjusted R²与Predicted R²对响应面模型精度进行检验[19]-[21]，结果如表4所示。

Table 4. Response surface model accuracy test table

表4. 响应面模型精度检验表

误差检验	y1	y2	y3	y4	y5
R^2	0.9999	0.9999	0.9999	1	1
Adjusted R^2	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999
Predicted R^2	0.9997	0.9997	0.9998	0.9998	0.9998

由上表可知各阶响应面模型的精度均接近于1，表明拟合精度较高，响应面模型能够较准确的反映待修正参数与目标响应之间的函数关系。

3.6. 模型修正

基于响应面方法的有限元模型修正是一个涉及多目标优化迭代的过程，其核心在于通过响应面模型来近似替代复杂的有限元模型，以实现更高效的模型修正。本文目标响应为前五阶自振频率，既有5个目标函数。将单元刚度折减后计算得到的各阶频率作为与各个目标函数对应的目标响应值，在待修正参数的取值范围对响应面模型进行优化求解，得到修正后的参数值，从而完成有限元模型修正。修正后的弹性模量为3.12 × 10¹⁰ Pa，泊松比为0.199，容重为24.06 kN/m³。最后将修正后的参数代入初始有限元模型，计算得到修正后模型的频率。修正后的前五阶频率f_q与目标值f_t的误差如表5所示。

Table 5. Comparison of response values before and after the correction

表5. 修正前后响应值对比

阶次	振型	fq/Hz	ft/Hz	误差/%
1	一阶竖弯	3.2902	3.2826	0.23
2	二阶竖弯	4.3304	4.3287	0.04
3	三阶竖弯	6.2235	6.2211	0.04
4	一阶横弯	8.0247	8.0209	0.05
5	二阶横弯	8.2238	8.2109	0.16

由表中数据可以看出，经过修正后的频率值与目标值高度吻合，最大误差控制在0.3%以内，这充分证明了修正过程的高精度。整个修正过程不需要反复调用有限元软件，从而显著提高了计算效率。表明响应面模型在捕捉设计参数与特征量之间复杂关系时的快速和准确性。因此，基于响应面法的有限元模型修正方法是可行的，为工程设计和优化提供了强有力的支持。

4. 结论

本文基于响应面法对一座三跨连续箱梁桥有限元模型进行修正。首先由单元刚度折减计算目标响应频率，采用中心复合设计得到样本集，通过参数显著性检验拟合出高精度响应面模型，最后由目标达到法计算出优化后的设计参数，并代入初始有限元模型计算得到相应频率。经修正后的频率与目标频率最大误差为0.23%，表明修正后的有限元模型能更好地反映结构特性，基于响应面法的有限元模型修正是一种高效且可行的方法。