具有早期筛查的梅毒传染病模型的动力学分析

Dynamic Analysis of a Syphilis Infectious Disease Model with Early Screening

摘要: 本文根据梅毒传播机制，构建了一类具有早期筛查的梅毒传播模型。我们计算了模型的控制再生数，证明了无病平衡点和地方病平衡点的存在性和稳定性。通过数值模拟，分析了早期筛查和避孕套的使用对梅毒传播的影响，结果表明两种控制措施均会降低梅毒各个阶段的患病人数，且患病人数的峰值会随着筛查频率和避孕套使用依从性的增加而降低，从而有效控制疾病的传播。

Abstract: According to the transmission mechanism of syphilis, a kind of syphilis transmission model with early screening is constructed. The control reproduction number is calculated, and then we prove the existence and stability of both the disease-free equilibrium and the endemic equilibrium. Through numerical simulations, the effects of early screening and condom use on the transmission of syphilis are analyzed. The results show that both control measures can reduce the number of patients at all stages of syphilis, and the peak value of the infectious will decrease with the increase of screening frequency and condom use compliance, so as to effectively control the propagation of syphilis.

1. 引言

梅毒(Syphilis)是一种由梅毒螺旋体(Treponema pallidum, Tp)引起的传染病[1]。主要通过易感者不使用安全套进行性行为或与感染者共用性玩具在人与人之间传播，并且感染梅毒的孕妇也会传染胎儿，导致先天性梅毒[2] [3]。最新的流行病学数据显示，全球约1800万人感染梅毒，每年新发梅毒感染者高达560万例[4]。近年来，梅毒在我国的患病人数逐年增加，并且逐渐出现了同性化和低龄化。据中国疾病预防控制局的数据显示，我国2023年梅毒新发病例为616,933例，较前一年增加118,999例[5]。

梅毒是一种多阶段疾病，所以关于梅毒的模型大多以多阶段为主，但模型本质上是在SIR和SEIR的基础传染病模型上建立起来的。Garnett等人[6]较早考虑了梅毒的主要传播阶段来建立模型进行研究，为接下来几十年的研究奠定了良好基础。2016年，Saad-Roy等人[7]建立了一个具有多个阶段的梅毒传播模型，并考虑了梅毒不同阶段对应不同的免疫仓室。梅毒患者经过治疗痊愈后，并不能获得永久免疫力，因此，Iboi和Okuonghae等人[8]建立了一个梅毒传染病模型来定性评估暂时免疫的丧失对疾病传播过程的影响。梅毒不仅会引起多种并发症，还会促进对其他性传播疾病的感染。2018年，文献[9]评估了梅毒治疗对梅毒和艾滋病病毒双重感染动态的影响。2023年，Wang等人[10]将文献[9]中的模型进行了简化，并对模型的全局动力学性质进行了分析。

梅毒是世界三大慢性传染病之一，近年来，其感染人数又出现了大幅增长。易感者从感染梅毒到出现症状有一段时间，我们称为潜伏期，平均为三周。感染者在潜伏期阶段虽然无临床症状，但如果与之发生密切接触，尤其是性行为，也有可能被感染。因此在本文中，我们考虑了潜伏期感染者的传染性。梅毒传染性较强，会危害人类健康，因此需尽早筛查尽早治疗[11]，所以我们还考虑了早期筛查对梅毒传播的影响。

2. 模型建立

根据梅毒的传播机理，我们建立具有早期筛查和治疗等多种控制措施的模型。将总人口N分为六个不同的仓室：易感者(S)，潜伏期感染者(E)，一期梅毒感染者(I₁)，二期梅毒感染者(I₂)，三期梅毒感染者(I₃)和恢复者(R)。梅毒的传播流程图如图1：

Figure 1. Syphilis model flow chart

图1. 梅毒模型流程图

根据梅毒传播流程图建立如下仓室模型：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}S}{\text{d}t}=\Lambda -{\lambda }_s\left(t\right)S-\mu S\left(t\right),\\ \frac{\text{d}E}{\text{d}t}={\lambda }_s\left(t\right)S\left(t\right)-\left(c_p{c}_f{\alpha }_1+r_1+\mu \right)E\left(t\right),\\ \frac{\text{d}{I}_1}{\text{d}t}=r_{1}E\left(t\right)-\left(r_2+{\alpha }_2+\mu \right)I_1\left(t\right),\\ \frac{\text{d}{I}_2}{\text{d}t}=r_2{I}_1\left(t\right)-\left(r_3+{\alpha }_3+\mu \right)I_2\left(t\right),\\ \frac{\text{d}{I}_3}{\text{d}t}=r_3{I}_2\left(t\right)-\left({\alpha }_4+\mu \right)I_3\left(t\right),\\ \frac{\text{d}R}{\text{d}t}=c_p{c}_f{\alpha }_{1}E\left(t\right)+{\alpha }_2{I}_1\left(t\right)+{\alpha }_3{I}_2\left(t\right)+{\alpha }_4{I}_3\left(t\right)-\mu R\left(t\right),\end{array}$ (1)

其中${\lambda }_s=\frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right)\left(E+{\theta }_1{I}_1+{\theta }_2{I}_2\right)}{N}$ 表示传染力。

t时刻的总人数$N\left(t\right)=S\left(t\right)+E\left(t\right)+I_1\left(t\right)+I_2\left(t\right)+I_3\left(t\right)+R\left(t\right)$ 。将模型(1)的所有方程相加可得

$\frac{\text{d}N}{\text{d}t}=\Lambda -\mu N$

解得$N\left(t\right)\le \frac{\Lambda }{\mu }$ ，故模型(1)的可行域为：

$\Omega =\left\{\left(S,E,I_1,I_2,I_3,R\right)\in R_6^{+}|N=S+E+I_1+I_2+I_3+R\le \frac{\Lambda }{\mu }\right\}$

且$\Omega$ 是模型(1)的正向不变集。

Table 1. Biological significance and value of model parameters

表1. 参数生物意义及取值

参数	生物意义	参数值	来源
$\Lambda$	出生率	1,977,809	[12]
$\beta$	有效接触率	7.8 × 10^−^7	[13]
$c_c$	安全套使用的依从性	0.6	假设
$c_e$	安全套的作用	0.8	假设
$c_p$	筛查效果	0.6	假设
$c_f$	筛查频率	0.8	假设
$\mu$	自然死亡率	0.0133	[12]
$r_1$	梅毒潜伏期到一期的进程率	6	[8]
$r_2$	梅毒一期到二期的进程率	4.18	[8]
$r_3$	梅毒二期到三期的进程率	0.033	[8]
${\alpha }_1$	梅毒潜伏期的治愈率	3.422	假设
${\alpha }_2$	梅毒一期的治愈率	3.422	[8]
${\alpha }_3$	梅毒二期的治愈率	1.469	[8]
${\alpha }_4$	梅毒三期的治愈率	0.021	[8]
${\theta }_1$	仅感染一期梅毒的感染者传染性的修正参数	1.2	假设
${\theta }_2$	仅感染二期梅毒的感染者传染性的修正参数	1.5	假设

3. 模型的稳定性分析

令模型(1)的右端均为0，即：

$\{\begin{array}{l}\Lambda -{\lambda }_s\left(t\right)S\left(t\right)-\mu S\left(t\right)=0\\ {\lambda }_s\left(t\right)S\left(t\right)-\left(c_p{c}_f{\alpha }_1+r_1+\mu \right)E\left(t\right)=0\\ r_{1}E\left(t\right)-\left(r_2+{\alpha }_2+\mu \right)I_1\left(t\right)=0\\ r_2{I}_1\left(t\right)-\left(r_3+{\alpha }_3+\mu \right)I_2\left(t\right)=0\\ r_3{I}_2\left(t\right)-\left({\alpha }_4+\mu \right)I_3\left(t\right)=0\\ c_p{c}_f{\alpha }_{1}E\left(t\right)+{\alpha }_2{I}_1\left(t\right)+{\alpha }_3{I}_2\left(t\right)+{\alpha }_4{I}_3\left(t\right)-\mu R\left(t\right)=0\end{array}$ (2)

当$E=0$ 时，可解得模型(1)存在无病平衡点$E^0=\left(S_0,0,0,0,0,0\right)$ ，其中$S_0=\frac{\Lambda }{\mu }$ 。

为了方便计算，我们定义如下参数：$h_1=c_p{c}_f{\alpha }_1+r_1+\mu$ 、$h_2={\alpha }_2+r_2+\mu$ 、$h_3={\alpha }_3+r_3+\mu$ 。由

$F\left(E^0\right)=\left(\begin{array}{ccc}\beta \left(1-c_c{c}_e\right)& \beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_1& \beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_2\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ ，$V\left(E^0\right)=\left(\begin{array}{ccc}{h}_1& 0& 0\\ -r_1& h_2& 0\\ 0& -r_2& h_3\end{array}\right)$ ，

$V^{-1}\left(E^0\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{h_1}& 0& 0\\ \frac{r_1}{h_1{h}_2}& \frac{1}{h_2}& 0\\ \frac{r_1}{h_1{h}_2}& \frac{r_2}{h_2{h}_3}& \frac{1}{h_3}\end{array}\right)$ ，

通过再生矩阵法[14]计算可得模型(1)的控制再生数为：

$R_c=\rho \left(F{V}^{-1}\right)=\frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right)}{h_1}\left(1+\frac{r_1{\theta }_1}{h_2}+\frac{r_1{r}_2{\theta }_2}{h_2{h}_3}\right)$ 。

定理1 当$R_c>1$ 时，模型(1)存在唯一的地方病平衡点$E^{\ast }$ 。

证明：当$E\ne 0$ 时，由模型(2)可得：

$I_1^{\ast }=\frac{r_1}{h_2}{E}^{*}$ ，$I_2^{\ast }=\frac{r_1{r}_2}{h_2{h}_3}{E}^{*}$ ，$I_3^{\ast }=\frac{r_1{r}_2{r}_3}{h_2{h}_3{h}_4}{E}^{*}$ ，$R^{\ast }=\frac{1}{\mu }\left(c_p{c}_f{\alpha }_1+\frac{{\alpha }_2{r}_1}{h_2}+\frac{{\alpha }_3{r}_1{r}_2}{h_2{h}_3}+\frac{{\alpha }_4{r}_1{r}_2{r}_3}{h_2{h}_3{h}_4}\right)E^{*}$ (3)

将模型(2)的前两个方程相加得到

$S^{\ast }=\frac{\Lambda -h_1{E}^{*}}{\mu }$ 。 (4)

从式(3)和(4)可知，当$0<E^{*}<\frac{\Lambda }{h_1}$ 时，模型(2)存在唯一的地方病平衡点$E^{\ast }=\left(S^{*},E^{*},I_1^{\ast },I_2^{\ast },I_3^{\ast },R^{*}\right)\gg 0$ 。由$N\left(t\right)=S\left(t\right)+E\left(t\right)+I_1\left(t\right)+I_2\left(t\right)+I_3\left(t\right)+R\left(t\right)$ ，将其代入模型(2)的第一个方程得到

$\Lambda -\frac{R_c{h}_1{E}^{*}}{S^{*}+m{E}^{*}}{S}^{*}-h_1{S}^{*}=0$ ， (5)

其中$m=1+\frac{r_1}{h_2}+\frac{r_1{r}_2}{h_2{h}_3}+\frac{r_1{r}_2{r}_3}{h_2{h}_3{h}_4}+\frac{1}{\mu }\left(c_p{c}_f{\alpha }_1+\frac{{\alpha }_2{r}_1}{h_2}+\frac{{\alpha }_3{r}_1{r}_2}{h_2{h}_3}+\frac{{\alpha }_4{r}_1{r}_2{r}_3}{h_2{h}_3{h}_4}\right)$ 。将式(4)代入式(5)并化简得

$\left[\left(R_c-1\right)S^{*}-m{E}^{*}\right]E^{*}=0$ 。 (6)

根据式(4)和式(6)有

$\left[\left(h_1{E}^{*}-\Lambda \right)\left(R_c-1\right)+\mu m{E}^{*}\right]E^{*}=\left\{\left[h_1\left(R_c-1\right)+\mu m\right]E^{*}-\Lambda \left(R_c-1\right)\right\}{E}^{*}=0$ ， (7)

可以看出当$R_c>1$ 时，式(7)具有一个正根

$E^{*}=\frac{\Lambda \left(R_c-1\right)}{h_1\left(R_c-1\right)+\mu m}<\frac{\Lambda }{h_1}$ 。

因此，当$R_c>1$ 时，将其代入式(3)和式(4)可知，模型(1)存在唯一的地方病平衡点$E^{\ast }=\left(S^{*},E^{*},I_1^{\ast },I_2^{\ast },I_3^{\ast },R^{*}\right)$ ，其中

$S^{\ast }=\frac{\Lambda m}{h_1\left(R_c-1\right)+\mu m}$ ，$E^{*}=\frac{\Lambda \left(R_c-1\right)}{h_1\left(R_c-1\right)+\mu m}$ ，$I_1^{\ast }=\frac{r_1\Lambda \left(R_c-1\right)}{h_2\left[h_1\left(R_c-1\right)+\mu m\right]}$ ，$I_2^{\ast }=\frac{r_1{r}_2\Lambda \left(R_c-1\right)}{h_2{h}_3\left[h_1\left(R_c-1\right)+\mu m\right]}$ ，

$I_3^{\ast }=\frac{r_1{r}_2{r}_3\Lambda \left(R_c-1\right)}{h_2{h}_3{h}_4\left[h_1\left(R_c-1\right)+\mu m\right]}$ ，$R^{\ast }=\frac{\Lambda \left(R_c-1\right)}{\mu \left[h_1\left(R_c-1\right)+\mu m\right]}\left(c_p{c}_f{\alpha }_1+\frac{{\alpha }_2{r}_1}{h_2}+\frac{{\alpha }_3{r}_1{r}_2}{h_2{h}_3}+\frac{{\alpha }_4{r}_1{r}_2{r}_3}{h_2{h}_3{h}_4}\right)$ 。

定理2 当$R_c<1$ 时，系统(1)的无病平衡点$E^0=\left(S_0,0,0,0,0,0\right)$ 是局部渐近稳定的；当$R_c>1$ 时，不稳定。

证明：模型(1)在无病平衡点$E^0$ 处线性化系统的系数矩阵对应的特征方程为：

${\left(\lambda +\mu \right)}^2\left(\lambda +h_4\right)N\left(\lambda \right)=0$ ， (8)

其中

$\begin{array}{c}N\left(\lambda \right)=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -\beta \left(1-c_c{c}_e\right)+h_1& -\beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_1& -\beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_2\\ -r_1& \lambda +h_2& 0\\ 0& -r_2& \lambda +h_3\end{array}\right|\\ =\left(\lambda +h_1\right)\left(\lambda +h_2\right)\left(\lambda +h_3\right)-\beta \left(1-c_c{c}_e\right)\left[\left(\lambda +h_2\right)\left(\lambda +h_3\right)+r_1{\theta }_1\left(\lambda +h_3\right)+r_1{r}_2{\theta }_2\right]\end{array}$

从方程(8)可看出$-\mu ,-\mu ,-h_4$ 为特征方程的3个负特征值，其余特征值满足$N\left(\lambda \right)=0$ 。接下来，我们证明$N\left(\lambda \right)=0$ 的所有根均有负实部。通过反证法，假设$\lambda$ 具有非负实部，根据$N\left(\lambda \right)=0$ 可得

$\lambda +h_1=\beta \left(1-c_c{c}_e\right)\left[1+\frac{r_1{\theta }_1}{\lambda +h_2}+\frac{r_1{r}_2{\theta }_2}{\left(\lambda +h_2\right)\left(\lambda +h_3\right)}\right]$

两边取模可得：

$\left|\lambda +h_1\right|>h_1$ ，

和

$\begin{array}{l}\left|\beta \left(1-c_c{c}_e\right)+\beta \left(1-c_c{c}_e\right)\frac{r_1{\theta }_1}{\lambda +h_2}+\beta \left(1-c_c{c}_e\right)\frac{r_1{r}_2{\theta }_2}{\left(\lambda +h_2\right)\left(\lambda +h_3\right)}\right|\\ \le \left|\beta \left(1-c_c{c}_e\right)\right|+\left|\beta \left(1-c_c{c}_e\right)\frac{r_1{\theta }_1}{\lambda +h_2}\right|+\left|\beta \left(1-c_c{c}_e\right)\frac{r_1{r}_2{\theta }_2}{\left(\lambda +h_2\right)\left(\lambda +h_3\right)}\right|\\ \le \beta \left(1-c_c{c}_e\right)+\beta \left(1-c_c{c}_e\right)\frac{r_1{\theta }_1}{h_2}+\beta \left(1-c_c{c}_e\right)\frac{r_1{r}_2{\theta }_2}{h_2{h}_3}\\ =h_1{R}_c<h_1\end{array}$

由上式可以推出矛盾，因此，当$R_c<1$ 时，方程(8)的根均具有负实部，无病平衡点$E^0$ 是局部渐近稳定的。

定理3 当$R_c<1$ 时，系统(1)的无病平衡点$E^0=\left(S_0,0,0,0,0,0\right)$ 是全局渐近稳定的。

证明：根据定理2可知，当$R_c<1$ 时，无病平衡点$E^0$ 是局部稳定的。因此，我们只需证明当$R_c<1$ 时，无病平衡点全局吸引即可。设$U\left(t\right)={\left(S\left(t\right),E\left(t\right),I_1\left(t\right),I_2\left(t\right),I_3\left(t\right),R\left(t\right)\right)}^{\text{T}}$ 是模型(1)过任意$\phi \in \Omega$ 的解。记$\omega \left(\phi \right)$ 是$\phi$ 的$\omega$ 极限集，因此，我们只需验证$\omega \left(\phi \right)=\left\{E^0\right\}$ 。

我们定义$\Omega$ 上的V函数：

$V\left(\phi \right)=h_2{\phi }_2+\left[\beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_1+\frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_2{r}_2}{h_3}\right]{\phi }_3+\frac{h_2\beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_2}{h_3}{\phi }_4$ ，

容易看出，V是$\Omega$ 上的连续函数，且V沿解$U\left(t\right)$ 的导数为：

$\begin{array}{c}\dot{V}\left(U\left(t\right)\right)=h_2\left[\frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right)\left(E+{\theta }_1{I}_1+{\theta }_2{I}_2\right)}{N}S-h_{1}E\right]+\left[\beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_1+\frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_2{r}_2}{h_3}\right]\left(r_{1}E-h_2{I}_1\right)\\ +\frac{h_2\beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_2}{h_3}\left(r_2{I}_1-h_3{I}_3\right)\\ \le h_2\left[\beta \left(1-c_c{c}_e\right)\left(E+{\theta }_1{I}_1+{\theta }_2{I}_2\right)-h_{1}E\right]+\left[\beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_1+\frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_2{r}_2}{h_3}\right]\left(r_{1}E-h_2{I}_1\right)\\ +\frac{h_2\beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_2}{h_3}\left(r_2{I}_1-h_3{I}_3\right)\\ =h_1{h}_2\beta \left(1-c_c{c}_e\right)\left(\frac{1}{h_1}+\frac{r_1{\theta }_1}{h_1{h}_2}+\frac{r_1{r}_2{\theta }_2}{h_1{h}_2{h}_3}\right)E-h_1{h}_{2}E\\ =h_1{h}_2\left(R_c-1\right)E\end{array}$ (9)

显然，当$R_c<1$ 时，$\dot{V}\left(U\left(t\right)\right)\le 0$ ，且函数V是$\Omega$ 上的一个Lyapunov函数。由文献[15]中推论2.1可知，对于任意$\varphi \in \omega \left(\phi \right)$ ，有$\dot{V}\left(\varphi \right)=0$ 。

对于任意的$\psi \in \omega \left(\phi \right)$ ，假设$U\left(t\right)={\left(S\left(t\right),E\left(t\right),I_1\left(t\right),I_2\left(t\right),I_3\left(t\right),R\left(t\right)\right)}^{\text{T}}$ 是模型(1)通过$\psi$ 的解。由于$\omega \left(\phi \right)$ 是一个紧的不变集，则当$t\in ℝ$ 时，有$U\left(t\right)\in \omega \left(\phi \right)$ 。再根据$\dot{V}\left(U\left(t\right)\right)=0$ 和式(9)可得，对$\forall t\in ℝ$ ，

有$E\left(t\right)=0$ 。由模型(1)及$\omega \left(\phi \right)$ 的不变性知，当$t\in ℝ$ 时，有$S\left(t\right)=\frac{\Lambda }{\mu }$ ，$I_1\left(t\right)=I_2\left(t\right)=I_3\left(3\right)=0$ 。因此，

$\omega \left(\phi \right)=\left\{E^0\right\}$ 。

定理4 当$R_c>1$ 时，系统(1)的地方病平衡点$E^{*}$ 是局部渐近稳定的。

证明：模型(1)在$E^{*}$ 处线性化系统的系数矩阵对应的特征方程为：

$\left(\lambda +\mu \right)\left(\lambda +h_4\right)M\left(\lambda \right)=0$ ， (10)

其中

$\begin{array}{c}M(\lambda )=\left|\begin{array}{cccc}\lambda +{\lambda }_s^{*}+\mu & \frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right)}{R_c}& \frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_1}{R_c}& \frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_2}{R_c}\\ -{\lambda }_s^{*}& \lambda -\frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right)}{R_c}+h_1& -\frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_1}{R_c}& -\frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_2}{R_c}\\ 0& -r_1& \lambda +h_2& 0\\ 0& 0& -r_2& \lambda +h_3\end{array}\right|\\ =\left(\lambda +\mu \right)\left(\lambda -\frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right)}{R_c}+h_1\right)\left(\lambda +h_2\right)\left(\lambda +h_3\right)+{\lambda }_s^{*}\left(\lambda +h_1\right)\left(\lambda +h_2\right)\left(\lambda +h_3\right)\\ -\left(\lambda +\mu \right)r_1{r}_2\frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_2}{R_c}-\left(\lambda +\mu \right)\left(\lambda +h_3\right)r_1\frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_1}{R_c}\end{array}$

显然，式(10)存在$-\mu$ 和$-h_4$ 两个负特征值。其余特征值满足$M\left(\lambda \right)=0$ 。接下来，我们证明$M\left(\lambda \right)=0$ 的所有根均有负实部。通过反证法，假设$\lambda$ 具有非负实部，根据$M\left(\lambda \right)=0$ 可得

$\begin{array}{l}\left(\lambda +\mu \right)\left(\lambda +h_1\right)\left(\lambda +h_2\right)\left(\lambda +h_3\right)+{\lambda }_s^{*}\left(\lambda +h_1\right)\left(\lambda +h_2\right)\left(\lambda +h_3\right)\\ =\left(\lambda +\mu \right)\left[r_1{r}_2\frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_2}{R_c}+\left(\lambda +h_3\right)r_1\frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_1}{R_c}+\frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right)}{R_c}\left(\lambda +h_2\right)\left(\lambda +h_3\right)\right]\end{array}$

根据复数模的性质及$R_c>1$ 可得

$\left|\lambda +\mu +\frac{\Lambda \left(R_c-1\right)h_1}{h_1\left(R_c-1\right)+\mu m}\right|>\mu$ ，

和

$\begin{array}{l}\left|\left(\lambda +\mu \right)r_1{r}_2\frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_2}{R_c\left(\lambda +h_1\right)\left(\lambda +h_2\right)\left(\lambda +h_3\right)}+r_1\frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_1}{R_c\left(\lambda +h_1\right)\left(\lambda +h_2\right)}+\frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right)}{R_c\left(\lambda +h_1\right)}\right|\\ \le \left|\lambda +\mu \right|\left[\left|r_1{r}_2\frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_2}{R_c\left(\lambda +h_1\right)\left(\lambda +h_2\right)\left(\lambda +h_3\right)}\right|+\left|r_1\frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right){\theta }_1}{R_c\left(\lambda +h_1\right)\left(\lambda +h_2\right)}\right|+\left|\frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right)}{R_c\left(\lambda +h_1\right)}\right|\right]\\ \le \frac{\mu }{R_c}\frac{\beta \left(1-c_c{c}_e\right)}{h_1}\left(1+\frac{r_1{\theta }_1}{h_2}+\frac{r_1{r}_2{\theta }_2}{h_2{h}_3}\right)\\ =\mu \end{array}$

由上式可以推出矛盾，因此式(10)的任意根均具有负实部，当$R_c>1$ 时$E^{*}$ 是局部渐近稳定的。

4. 数值模拟

我们选取了2023年巴西的人口数据，巴西总人口估计为213,445,417，其中性活跃人口(15~64岁)

$\frac{\Lambda }{\mu }=148707422$ ，巴西人预期的平均寿命为75岁。因此，自然死亡率$\mu =0.0133$ ，人口输入率$\Lambda =1977809$ 。

图2表示当参数取表1中的值时，潜伏期患者$E\left(t\right)$ 、一期感染者$I_1\left(t\right)$ 、二期感染者$I_2\left(t\right)$ 、三期感染者$I_3\left(t\right)$ 、恢复者人数$R\left(t\right)$ 随时间的变化图。我们构建的六维梅毒传染病模型主要考虑避孕套的使用和早期筛查对梅毒传播的影响，并且考虑了潜伏期梅毒的传染性。从图2(a)和图2(a)均可以看出，对进行过高危性行为者进行早期筛查或在进行性行为前使用避孕套会降低潜伏期梅毒和一期梅毒感染者的数量，对控制梅毒疫情有非常重要的作用。

(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figure 2. The time series diagrams of $E\left(t\right)$ , $I_1\left(t\right)$ , $I_2\left(t\right)$ , $I_3\left(t\right)$ , $R\left(t\right)$ , respectively

图2. $E\left(t\right)$ ，$I_1\left(t\right)$ ，$I_2\left(t\right)$ ，$I_3\left(t\right)$ ，$R\left(t\right)$ 的时间序列图

由图3表明固定其他参数值，当$c_p$ 从0.2增加到0.8时，潜伏期、一期、二期梅毒感染者峰值会随着筛查频率$c_p$ 的增大而降低，因此可以通过增加筛查频率来降低梅毒感染者的患病人数，即通过提高对潜伏期梅毒的筛查率，可在早期阶段有效控制梅毒传播。

(a) (b)

(c)

Figure 3. The effect of screening frequency $c_p$ on $E\left(t\right),I_1\left(t\right),I_2\left(t\right)$

图3. 筛查频率$c_p$ 对$E\left(t\right),I_1\left(t\right),I_2\left(t\right)$ 的影响

图4揭示了安全套的使用对潜伏期梅毒的影响，发现当安全套使用的依从性为0.6时，相比于不使用安全套，潜伏期梅毒感染者人数有一个大幅度的下降，因此使用安全套对梅毒传播会起到很好的控制作用。

Figure 4. The effect of condom use on $E\left(t\right)$

图4. 安全套使用对$E\left(t\right)$ 的影响

5. 结论

在本文中，我们构建了一类六维的梅毒传播模型，综合研究了早期筛查、避孕套的使用及潜伏期传染性的影响，计算了模型的控制再生数并进行了数值模拟。通过对模型进行动力学分析，得到当控制再生数$R_c<1$ 时，模型(1)的无病平衡点是全局渐近稳定的；当控制再生数$R_c>1$ 时，模型存在唯一的地方病平衡点，并且地方病平衡点是局部渐近稳定的。通过数值模拟，发现早期筛查和避孕套的使用会减少梅毒感染者总人数，能够有效控制疾病的传播。

梅毒是一类性传播疾病，避免高危性行为或在进行性行为时使用安全套，可以从根源上控制梅毒传染病的传播。易感者一旦感染，不会立即出现一期梅毒的症状，其在潜伏期期间无临床症状，但却可以被检测。对感染风险较高的人群进行梅毒筛查，及早发现并接受治疗，能够有效降低疾病的发病率和死亡率。加强对性活跃人群的媒体教育，进而提高他们对性传播疾病的认识，能够使其在发生性行为前采取正确的措施。因此，在未来的研究中，我们可以考虑媒体播报对梅毒传播的影响。由于每个年龄阶段感染梅毒的数量以及发病率不同，我们还可以考虑具有年龄结构的梅毒传播模型，并针对不同年龄阶段采取不同的控制措施。

基金项目

北京建筑大学研究生教育教学质量提升项目(J2023021, J2024014)。

NOTES

^*通讯作者。