电子商务视角下集合优化问题的Levitin-Polyak良定性

Levitin-Polyak Well-Posedness of Set Optimization Problems from the Perspective of E-Commerce

摘要: 在许多经济模型中，决策者需要通过比较集值优化问题的目标函数来衡量支出以达到自身收益的最大。在电子商务视角下，本文讨论了有限理性下基于改进集的集合优化问题E-u-最小解集的Levitin-Polyak良定性和广义Levitin-Polyak良定性，并通过有限理性模型证明了该良定性的充分条件。此外，借助非线性分析的方法给出了集合优化问题(广义) Levitin-Polyak良定性的特征刻画。这些结果为电子商务在实际生活中的应用打下了夯实的理论基础。

Abstract: In many economic models, decision-makers need to measure expenditures by comparing the objective functions of set-valued optimization problems in order to achieve maximum benefit. Under the perspective of E-commerce, this paper studies the Levitin-Polyak well-posedness and generalized Levitin-Polyak well-posedness of E-u-minimal solution of set optimization problems under bounded rationality via improvement set. Furthermore, the sufficient condition of well-posedness is given by using a bounded rationality model. Besides, we obtain the characterization of (generalized) Levitin-Polyak well-posedness for the problem by utilizing nonlinear analysis method. These results have laid a solid theoretical foundation for the application of E-commerce in practical life.

1. 引言

随着互联网的逐渐普及和信息技术的持续发展，以互联网知识经济为核心的网络技术逐渐成为二十一世纪经济发展的主要动力，这也标志着全球经济的发展从此迈入了全新的电子商务时代[1]。电子商务是基于计算机技术和互联网技术，依托通信和互联网终端，为消费者提供的新型便利的交易或商务模式，这汇总模式节约了交易的中间环节，将不透明的商务操作变得清晰公开，大大缩减了交易花费的时间，使得交易双方的来往更高效便捷。电子商务的发展和崛起，是经济发展的必然结果，也是人们和企业的需求带来的产物，促进了整个社会的发展和进步，提高了人们的生活水平。

在电子商务的实际应用中，一些必要的数据往往是无法全部准确获得的，原因在于这些数据的多样性以及在测量或计算中产生的误差。由于不精确的数据对模型甚至计算结果有严重的影响，因此建立优化问题的模型时把不确定性纳入考虑的范围是非常有必要的。当不确定性在优化模型中被考虑时，目标函数值不止一个，有可能是多个值组成的集合，从而衍生出了集值优化问题。近年来，集值优化问题被广泛应用于经济学和金融学领域[2]。

众所周知，良定性是优化领域相关问题研究的一个重要课题，它被分为Hadamard良定性和Tykhonov良定性两种类型，其中Levitin-Polyak良定性针对的是渐近序列不一定在可行域内的优化问题。Levitin-Polyak良定性的研究不仅在电子商务的理论方面有重要的意义，而且在实际应用中的作用也不容忽视，有时微小的扰动可能导致原问题的最优解发生很大的变化。在1966年，Tikhonov [3]首次在标量优化问题中引入良定性的概念。随后，Levitin和Polyak [4]提出了Levitin-Polyak良定性，它是Tikhonov良定性的一种拓展。之后，学者们将良定性相继推广到向量优化问题和集值优化问题中。集值优化问题由于解的两种不同定义准则：向量准则和集合准则，被分为两类问题。第一种准则是寻找目标集值映射的图像并集的最小解，其对应于集值向量优化问题；集合准则是以目标函数的每个像集作为对象，通过建立对象间的优劣比较关系(序关系)来定义最优解，其对应于集合优化问题。然而，向量准则并不适用于所有的集值优化问题，因此在过去的二十年里，集合优化问题成为了热点并引起了大量学者的关注。进而，Zhang等[5]首次研究了集合优化问题的良定性，建立了基于下集序关系的集合优化问题三种良定性的充要条件，并利用标量化方法得到了这些问题的特征刻画。随后，Gutiérrez等[6]在锥恰当假设条件下推广了文献[5]的结果。

近年来，集合优化问题的LP良定性的研究也吸引了大量的学者。Khoshkhabar-Amiranloo和Khorram [7]引入了一类全局LP良定性和三类逐点LP良定性概念。Khoshkhabar-Amiranloo [8]介绍了[5]中良定性的拓展形式，并且利用Berge上半连续性和近似解的闭性，获得了广义LP良定性的相关性质。Vui等[9]建立了集合优化问题LP良定性的充分必要条件，同时运用Kuratowski非紧测度的方法得到了该概念的特征刻画。Gupta等[10]引入了集合优化问题LP良定性的概念，并根据Hausdorff上半连续性和近似解映射的紧性建立了该良定性的刻画。在Berge连续性假设下，Duy [11]获得了集合优化问题广义LP良定性的充分条件。不同于上述方法和模型，伍等[12]研究了集值向量优化问题弱极小解集的LP良定性和广义LP良定性，并通过有限理性模型得到了(广义) LP良定性的充分条件。

值得关注的是，集序关系下的集合优化问题的LP良定性的研究越来越活跃，但是对于有限理性模型下的LP良定性的探索相对较少。因此，受上述文献的启发，在改进集诱导的上集序关系下，本文考虑了集合优化问题的E-u-最小解集的LP良定性和广义LP良定性。本文所研究的结果以及方法是在电子商务视角下对集值优化问题Levitin-Polyak良定性的一种新的探索，不仅在优化理论方面扮演着重要的角色，而且在逼近算法的收敛性分析中也有不容忽视的作用，更进一步为电子商务的应用提供夯实的理论基础。

2. 预备知识

设$\mathcal{Y}$ 是实线性赋范空间，是一个集值映射。其中，为$\mathcal{Y}$ 中所有非空子集的集合。$C\subseteq \mathcal{Y}$ 是闭凸尖锥且$\mathrm{int}C\ne \varnothing$ 。记${\left(ℱ\left(x\right)\right)}^{\mathcal{Y}}$ 为$ℱ\left(x\right)$ 在$\mathcal{Y}$ 中的补集，即${\left(ℱ\left(x\right)\right)}^{\mathcal{Y}}=\left\{y\in \mathcal{Y}:y\notin ℱ\left(x\right)\right\}$ 。

定义2.1 [13]令$E\subseteq Y$ 是一个非空集合，称E相对于C是一个改进集当且仅当$0\notin E$ 且$E+C=E$ 。

令。2001年，Kuroiwa [14]提出了上集序关系“${\le }_C^u$ ”的概念；在2019年，Mao等[15]提出了由改进集诱导的上集序关系“${\le }_E^u$ ”的概念，其定义如下：

$P_1{\le }_C^u{P}_2\iff P_1\subseteq P_2-C$ ;

$P_1{\le }_E^u{P}_2\iff P_1\subseteq P_2-E$ .

定义2.2 [16]设$Q\in \mathcal{Y}$ 的所有最大点的集合为：

$MaxQ=\left\{q\in Q:\left(Q-q\right)\cap \left(C\backslash \left\{0\right\}\right)=\varnothing \right\}$ .

令是一个集值映射，其中$M\ne \varnothing$ 。集合优化问题(SOP)的模型如下：

(SOP) $\{\begin{array}{l}\min ℱ\left(x\right)\\ \text{s}\text{.t}\text{.}x\in M.\end{array}$

定义2.3 [14] (1) 若对于任意的$y\in M$ ，$ℱ\left(y\right){\le }_C^uℱ\left(x_0\right)\Rightarrow ℱ\left(x_0\right){\le }_C^uℱ\left(y\right)$ ，则称$x_0\in M$ 是(SOP)的C-u-最小解，记所有(SOP)的C-u-最小解的集合为$C_u\left(M\right)$ 。

• 若对于任意的$y\in M$ ，$ℱ\left(y\right){\le }_E^uℱ\left(x_0\right)\Rightarrow ℱ\left(x_0\right){\le }_E^uℱ\left(y\right)$ ，则称$x_0\in M$ 是(SOP)的E-u-最小解，记所有(SOP)的E-u-最小解的集合为$E_u\left(M\right)$ 。

引理2.1 [15]对于任意的$x_0\in M$ ，如果$ℱ\left(x_0\right)$ 是紧集，那么称x₀是(SOP)的E-u-最小解当且仅当不存在$y\in M$ 使得$ℱ\left(y\right){\le }_E^uℱ\left(x_0\right)$ 。

引理2.2 [16]若是一个紧集，那么$Maxℱ\left(x\right)\ne \varnothing$ ，此外，$ℱ\left(x\right)\cancel{\subset }ℱ\left(x\right)-C\backslash \left\{0\right\}$ 。

引理2.3 [17]令$M\subseteq \mathcal{X}$ 是非空紧集，若$ℱ$ 在M是下半连续的且是紧值的，那么$C_u\left(M\right)\ne \varnothing$ 。

定义2.4 [2]设是一个集值映射，令$x_0\in \mathcal{X}$ ，称

(1) $\mathcal{T}$ 在x₀处是上半连续的，如果对于$\mathcal{Y}$ 中满足$\mathcal{T}\left(x_0\right)\subseteq W$ 的开集W，存在x₀的邻域$N\left(x_0\right)$ ，$\forall x_n\in N\left(x_0\right)$ ，使得$\mathcal{T}\left(x_n\right)\subseteq W$ 成立。

(2) $\mathcal{T}$ 在x₀处是下半连续的，如果对于$\mathcal{Y}$ 中满足$\mathcal{T}\left(x_0\right)\cap W\ne \varnothing$ 的开集W，存在x₀的邻域$N\left(x_0\right)$ ，使得$\mathcal{T}\left(x_n\right)\cap W\ne \varnothing$ 成立。

(3) $\mathcal{T}$ 在$\mathcal{X}$ 是上半连续或下半连续的，$\mathcal{T}$ 在x处是上半连续或下半连续的，$\forall x\in \mathcal{X}$ ；如果$\mathcal{T}$ 在$\mathcal{X}$ 既是上半连续的又是下半连续的，则称$\mathcal{T}$ 在$\mathcal{X}$ 是连续的。

考虑有限理性模型$ℳ=\left\{\Gamma ,\mathcal{X},g,\Psi \right\}$ ，其中$\Gamma$ 是博弈空间，每个$\gamma \in \Gamma$ 表示一个博弈；$\mathcal{X}$ 是行为空间，任意的$x\in \mathcal{X}$ 表示一个策略；集值映射是一个行为映射，$\forall \gamma \in \Gamma$ ，$g\left(\gamma \right)$ 表示博弈$\gamma$ 的可行策略；$\Psi :Graph\left(g\right)\to ℝ$ 是理性函数，其中$Graph\left(g\right)=\left\{\left(\gamma ,x\right)\in \Gamma \times \mathcal{X}:x\in g\left(\gamma \right)\right\}$ 。$\forall \gamma \in \Gamma$ ，$\forall ϵ\ge 0$ ，定义$E\left(\gamma ,ϵ\right)=\left\{x\in g\left(\gamma \right):\Psi \left(\gamma ,x\right)\le ϵ\right\}$ 为博弈$\gamma$ 的$ϵ$ -平衡点集，$E\left(\gamma ,0\right)=E\left(\gamma \right)=\left\{x\in g\left(\gamma \right):\Psi \left(\gamma ,x\right)=0\right\}$ 为博弈$\gamma$ 的平衡点集。

定义2.5 [18]设$\Gamma$ 和$\mathcal{X}$ 是两个度量空间，$\gamma \in \Gamma$ 。

(1) 如果$E\left(\gamma \right)=\left\{x\right\}$ (单点集)，$\forall x_n\in \mathcal{X}$ ，$\left|\Psi \left(\gamma ,x_n\right)\right|\le {ϵ}_n$ ，其中${ϵ}_n\to 0$ ，且$\mathcal{X}$ 中的距离$d\left(x_n,g\left(\gamma \right)\right)\to 0$ ，必有$x_n\to x$ ，则称博弈$\gamma$ 是Levitin-Polyak良定的，简记为LP-wp。

(2) 如果$\forall x_n\in \mathcal{X}$ ，$\left|\Psi \left(\gamma ,x_n\right)\right|\le {ϵ}_n$ ，其中${ϵ}_n\to 0$ ，且$\mathcal{X}$ 中的距离$d\left(x_n,g\left(\gamma \right)\right)\to 0$ ，必存在$\left\{x_n\right\}$ 的子序列$\left\{x_{n_k}\right\}$ ，使$x_{n_k}\to x\in E\left(\gamma \right)$ ，则称博弈$\gamma$ 是广义Levitin-Polyak良定的，简记为GLP-wp。

引理2.4 [19]设$\mathcal{X}$ 是Hausdorff拓扑空间，$\mathcal{Y}$ 是度量空间，集值映射满足对任意的$x\in \mathcal{X}$ ，$\mathcal{T}\left(x\right)$ 是紧的，则

(1) $\mathcal{T}$ 在$x\in \mathcal{X}$ 是上半连续的当且仅当$\forall ϵ>0$ ，存在x的开邻域$\mathcal{O}\left(x\right)$ ，$\forall x^{\prime }\in \mathcal{O}\left(x\right)$ ，有$\mathcal{T}\left(x^{\prime }\right)\subset \cup \left(ϵ,\mathcal{T}\left(x\right)\right)$ 。

(2) $\mathcal{T}$ 在$x\in \mathcal{X}$ 是下半连续的当且仅当$\forall ϵ>0$ ，存在x的开邻域$\mathcal{O}\left(x\right)$ ，$\forall x^{\prime }\in \mathcal{O}\left(x\right)$ ，有$\mathcal{T}\left(x\right)\subset \cup \left(ϵ,\mathcal{T}\left(x^{\prime }\right)\right)$ 。

(3) $\mathcal{T}$ 在$x\in \mathcal{X}$ 是连续的当且仅当$\forall ϵ>0$ ，存在x的开邻域$\mathcal{O}\left(x\right)$ ，$\forall x^{\prime }\in \mathcal{O}\left(x\right)$ ，有$\mathscr{H}\left(\mathcal{T}\left(x^{\prime }\right),\mathcal{T}\left(x\right)\right)<ϵ$ ，其中$\mathscr{H}$ 是$\mathcal{Y}$ 中的Hausdorff距离。

引理2.5 [19]设$\mathcal{X},\mathcal{Y}$ 是两个Hausdorff拓扑空间，如果$\mathcal{G}:\mathcal{Y}\times \mathcal{X}\to ℝ$ 是下半连续的，在$x_0\in \mathcal{X}$ 是上半连续的，且$ℱ\left(x_0\right)$ 是紧集，则$D\left(x\right)=\underset{y\in ℱ\left(x\right)}{\inf }\mathcal{G}\left(y,x_0\right)$ 在x₀是下半连续的。

定义2.6 [20]设$\mathcal{X}$ 是完备度量空间，$G\subset \mathcal{X}$ 是有界集。集合G的直径表示为：$diam\left(G\right)=\underset{x,y\in G}{\sup }d\left(x,y\right)$ ，G的非紧测度表示为$\mu \left(G\right)=\inf \left\{\sigma >0:存在\mathcal{X}的有限个集\left\{G_n\right\},n=1,2,\cdots ,N,使得G\subset \underset{n}{\cup }{G}_n且diam\left(G_n\right)\le \sigma \right\}$ 。

引理2.6 [20]设$G\subset \mathcal{X}$ 是有界集，$\mu \left(G\right)=0$ 当且仅当$\overline{G}$ (G的闭包)是紧集。

引理2.7 [21]设$\left(\mathcal{X},d\right)$ 是一个完备度量空间，$\left\{F_n\right\}$ 是$\mathcal{X}$ 中的一列非空闭集，满足$F_1\supset F_2\supset F_3\supset \cdots$ ，且直径$diam\left(F_n\right)\to 0$ ，则${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\cap }}{F}_n}=\left\{x\right\}$ (单点集)，其中。

3. LP-wp和GLP-wp的充分条件

设$\mathcal{X}$ 是Hausdorff线性拓扑空间E中的非空紧集，$\mathcal{Y}$ 是紧赋范线性空间，令$C\subseteq \mathcal{Y}$ 是一个闭凸尖锥且$intC\ne \varnothing$ 。

.

$\forall {\gamma }_1={ℱ}_1,{\gamma }_2={ℱ}_2\in \Gamma$ ，定义距离：

$\rho \left({\gamma }_1,{\gamma }_2\right)=\underset{x\in \mathcal{X}}{\sup }\mathscr{H}\left({ℱ}_1\left(x\right),{ℱ}_2\left(x\right)\right)$ ,

其中$\mathscr{H}$ 是$\mathcal{Y}$ 上的Hausdorff距离。

引理3.1 $\left(\Gamma ,\rho \right)$ 是一个完备度量空间。

证显然$\left(\Gamma ,\rho \right)$ 是一个度量空间，故只需证明其是完备的。设$\left\{{\gamma }_n={ℱ}_n\right\}$ 是$\Gamma$ 中任意一个Cauchy序列，即：对任意的$ϵ>0$ ，存在正整数$N\left(ϵ\right)$ ，当$m,n\ge N\left(ϵ\right)$ 时，有$\rho \left({\gamma }_m,{\gamma }_n\right)=\underset{x\in \mathcal{X}}{\sup }\mathscr{H}\left({ℱ}_m\left(x\right),{ℱ}_n\left(x\right)\right)\le ϵ$ 。易知存在一个集值映射使得$\underset{m\to \infty }{\lim }{ℱ}_m\left(x\right)=ℱ\left(x\right)$ ，且当$n\ge N\left(ϵ\right)$ 时，有$\underset{x\in \mathcal{X}}{\sup }\mathscr{H}\left(ℱ\left(x\right),{ℱ}_n\left(x\right)\right)\le ϵ$ 。易证：$ℱ$ 是连续的，且对任意的$x\in \mathcal{X}$ ，$ℱ\left(x\right)$ 都是非空紧集。由引理2.3可知集值映射$ℱ$ 所对应的(SOP)的解集非空，假设$\overline{x}$ 是$ℱ$ 所对应的(SOP)的一个解。

下面证明集值映射$ℱ$ 满足第三个条件，用反证法，假设存在$y\in \mathcal{X}$ ，使得$ℱ\left(y\right){\le }_E^uℱ\left(\overline{x}\right)$ ，即：$ℱ\left(y\right)\subset ℱ\left(\overline{x}\right)-E$ 。由$\overline{x}$ 是$ℱ$ 所对应的(SOP)的一个解，有$ℱ\left(\overline{x}\right){\le }_E^uℱ\left(y\right)$ 。因此得到

$ℱ\left(\overline{x}\right)\subseteq ℱ\left(y\right)-E\subseteq ℱ\left(\overline{x}\right)-E-C\subseteq ℱ\left(\overline{x}\right)-E$ . (3.1)

由引理2.2可知$Maxℱ\left(\overline{x}\right)\ne \varnothing$ ，令$\overline{y}\in Maxℱ\left(\overline{x}\right)$ ，有

$\left(ℱ\left(\overline{x}\right)-\overline{y}\right)\cap C\backslash \left\{0\right\}=\varnothing$ . (3.2)

由式(3.1)可知，存在$y_0\in ℱ\left(\overline{x}\right)$ 以及$c\in C\backslash \left\{0\right\}$ 使得$\overline{y}=y_0-c$ ，因此$c=y_0-\overline{y}$ ，与(3.2)式矛盾。

综上所述，，即$\left(\Gamma ,\rho \right)$ 是一个完备度量空间。证毕。

对每一个集值映射$\gamma =ℱ\in \Gamma$ ，它都对应一个集合优化问题，定义其基于改进集的解集映射如下：

$S\left(\gamma \right)=\left\{x\in \mathcal{X}:\forall y\in \mathcal{X},ℱ\left(y\right){\le }_E^uℱ\left(x\right)不成立\right\}$ ，

由$\Gamma$ 的定义可知$S\left(\gamma \right)\ne \varnothing$ 。

下面是对集合优化问题建立的有限理性模型$ℳ=\left\{\Gamma ,\mathcal{X},g,\Psi \right\}$ 。

$\forall \gamma \in \Gamma$ ，定义：$g\left(\gamma \right)=\mathcal{X}$ ，则是连续的，且对任意的$\gamma \in \Gamma$ ，$g\left(\gamma \right)$ 是非空紧集。$\forall \overline{x}\in g\left(\gamma \right)$，定义理性函数如下：

$\Psi \left(\gamma ,\overline{x}\right)=\underset{b\in {\left(ℱ\left(\overline{x}\right)-E\right)}^{\mathcal{Y}}}{\inf }\underset{y\in ℱ\left(x\right)}{\inf }\Vert b-y\Vert$ .

引理3.2 对任意的$\gamma \in \Gamma$ 和$\overline{x}\in g\left(\gamma \right)$ ，都有$\Psi \left(\gamma ,\overline{x}\right)\ge 0$ ；特别地，$\overline{x}\in S\left(\gamma \right)$ 当且仅当$\Psi \left(\gamma ,\overline{x}\right)=0$ 。

证显然，对任意的$\gamma \in \Gamma$ 和$\overline{x}\in g\left(\gamma \right)$ ，$\Psi \left(\gamma ,\overline{x}\right)\ge 0$ 都成立。

若$\overline{x}\in S\left(\gamma \right)$ ，那么对所有的$x\in \mathcal{X}$ ，$ℱ\left(x\right){\le }_E^uℱ\left(\overline{x}\right)$ 不成立，即$ℱ\left(x\right)\cancel{\subset }ℱ\left(\overline{x}\right)-E$ ，则$\exists \overline{y}\in ℱ\left(x\right)$，$\overline{b}\in {\left(ℱ\left(\overline{x}\right)-E\right)}^{\mathcal{Y}}$ ，使得$\overline{y}=\overline{b}$ ，即$\Vert \overline{b}-\overline{y}\Vert =0$ 。因此有：$0=\Vert \overline{b}-\overline{y}\Vert \ge \underset{y\in ℱ\left(x\right)}{\inf }\Vert \overline{b}-y\Vert \ge \underset{b\in {\left(ℱ\left(\overline{x}\right)-E\right)}^{\mathcal{Y}}}{\inf }\underset{y\in ℱ\left(x\right)}{\inf }\Vert b-y\Vert \ge 0$ ，所以$\underset{b\in {\left(ℱ\left(\overline{x}\right)-E\right)}^{\mathcal{Y}}}{\inf }\underset{y\in ℱ\left(x\right)}{\inf }\Vert b-y\Vert =0$ ，即$\Psi \left(\gamma ,\overline{x}\right)=0$ 。

若$\Psi \left(\gamma ,\overline{x}\right)=0$ ，即：$\underset{b\in {\left(ℱ\left(\overline{x}\right)-E\right)}^{\mathcal{Y}}}{\inf }\underset{y\in ℱ\left(x\right)}{\inf }\Vert b-y\Vert =0$ 。由下确界的定义：对任意的$\epsilon >0$ ，存在$\overline{b}\in {\left(ℱ\left(\overline{x}\right)-E\right)}^{\mathcal{Y}}$ ，使得$\underset{b\in {\left(ℱ\left(\overline{x}\right)-E\right)}^{\mathcal{Y}}}{\inf }\underset{y\in ℱ\left(x\right)}{\inf }\Vert b-y\Vert >\underset{y\in ℱ\left(x\right)}{\inf }\Vert \overline{b}-y\Vert -\epsilon$ ，由$\epsilon$ 的任意性可知$\underset{y\in ℱ\left(x\right)}{\inf }\Vert \overline{b}-y\Vert =0$ 。根据范数的连续性以及$ℱ\left(x\right)$ 的紧性，必存在一个$\overline{y}\in ℱ\left(x\right)$ ，使得$\Vert \overline{b}-\overline{y}\Vert =0$ ，即$\overline{y}=\overline{b}$ 。由$\overline{b}\in {\left(ℱ\left(\overline{x}\right)-E\right)}^{\mathcal{Y}}$ 可知$\overline{y}\notin \left(ℱ\left(\overline{x}\right)-E\right)$ ，故$ℱ\left(x\right)\cancel{\subset }ℱ\left(\overline{x}\right)-E$ ，即：$\forall x\in \mathcal{X}$ ，$ℱ\left(x\right){\le }_E^uℱ\left(\overline{x}\right)$ 不成立，因此$\overline{x}\in S\left(\gamma \right)$ 。证毕。

引理3.3 $\Psi \left(\gamma ,x\right)$ 在$\left(\gamma ,x\right)$ 是下半连续的。

证要证$\Psi \left(\gamma ,x\right)$ 在$\left(\gamma ,x\right)$ 是下半连续的，只需证$\forall ϵ>0$ ，$\forall {\gamma }_n={ℱ}_n\in \Gamma$ ，${\gamma }_n\to \gamma =ℱ$ ，$x_n\to x$ ，存在正整数N，使得$\forall n\ge N$ ，有$\Psi \left({\gamma }_n,x_n\right)>\Psi \left(\gamma ,x\right)-ϵ$ ，即

$\underset{b\in {\left({ℱ}_n\left(x_n\right)-E\right)}^{\mathcal{Y}}}{\inf }\underset{y\in {ℱ}_n\left(x_n\right)}{\inf }\Vert b-y\Vert >\underset{b\in {\left(ℱ\left(x\right)-E\right)}^{\mathcal{Y}}}{\inf }\underset{y\in ℱ\left(x\right)}{\inf }\Vert b-y\Vert -ϵ$ .

由下确界的定义可知：存在$\overline{b}\in {\left({ℱ}_n\left(x_n\right)-E\right)}^{\mathcal{Y}}$ 使得$\underset{b\in {\left({ℱ}_n\left(x_n\right)-E\right)}^{\mathcal{Y}}}{\inf }\underset{y\in {ℱ}_n\left(x_n\right)}{\inf }\Vert b-y\Vert >\underset{y\in {ℱ}_n\left(x_n\right)}{\inf }\Vert \overline{b}-y\Vert -\frac{ϵ}{3}$ 。

由于${ℱ}_n\left(x_n\right)$ 是紧集，则存在$\overline{y}\in {ℱ}_n\left(x_n\right)$ ，使$\Vert \overline{b}-\overline{y}\Vert =\underset{y\in {ℱ}_n\left(x_n\right)}{\inf }\Vert \overline{b}-y\Vert$ 成立。由$\mathscr{H}\left({ℱ}_n\left(x_n\right),ℱ\left(x_n\right)\right)<ϵ$ 可得$\overline{y}\in ℱ\left(x_n\right)$ ，故有$\Vert \overline{b}-\overline{y}\Vert \ge \underset{y\in ℱ\left(x_n\right)}{\inf }\Vert \overline{b}-y\Vert$ 。由引理2.5可得$\underset{y\in ℱ\left(x_n\right)}{\inf }\Vert \overline{b}-y\Vert$ 是下半连续的，且$x_n\to x$ ，则存在正整数N，当$n\ge N$ 时，有$\underset{y\in ℱ\left(x_n\right)}{\inf }\Vert \overline{b}-y\Vert >\underset{y\in ℱ\left(x\right)}{\inf }\Vert \overline{b}-y\Vert -\frac{ϵ}{3}$ 。

由于$\overline{b}\in {\left({ℱ}_n\left(x_n\right)-E\right)}^{\mathcal{Y}}$ 以及$\mathscr{H}\left({ℱ}_n\left(x_n\right),ℱ\left(x_n\right)\right)<ϵ$ 可得$\overline{b}\in {\left(ℱ\left(x_n\right)-E\right)}^{\mathcal{Y}}$ ，故$\underset{y\in ℱ\left(x\right)}{\inf }\Vert \overline{b}-y\Vert \ge \underset{b\in {\left(ℱ\left(x_n\right)-E\right)}^{\mathcal{Y}}}{\inf }\underset{y\in ℱ\left(x\right)}{\inf }\Vert b-y\Vert$ 。根据下确界的定义可知：存在$b_0\in {\left(ℱ\left(x_n\right)-E\right)}^{\mathcal{Y}}$ 使得$\underset{b\in {\left(ℱ\left(x_n\right)-E\right)}^{\mathcal{Y}}}{\inf }\underset{y\in ℱ\left(x\right)}{\inf }\Vert b-y\Vert >\underset{y\in ℱ\left(x\right)}{\inf }\Vert b_0-y\Vert -\frac{ϵ}{3}$ 。再由$ℱ$ 的连续性和引理2.4可得$b_0\in {\left(ℱ\left(x\right)-E\right)}^{\mathcal{Y}}$ ，从而有$\underset{y\in ℱ\left(x\right)}{\inf }\Vert b_0-y\Vert \ge \underset{b\in {\left(ℱ\left(x\right)-E\right)}^{\mathcal{Y}}}{\inf }\underset{y\in ℱ\left(x\right)}{\inf }\Vert b-y\Vert$ 。

因此，得到$\underset{b\in {\left({ℱ}_n\left(x_n\right)-E\right)}^{\mathcal{Y}}}{\inf }\underset{y\in {ℱ}_n\left(x\right)}{\inf }\Vert b-y\Vert >\underset{b\in {\left(ℱ\left(x\right)-E\right)}^{\mathcal{Y}}}{\inf }\underset{y\in ℱ\left(x\right)}{\inf }\Vert b-y\Vert -ϵ$ ，即：$\Psi \left(\gamma ,x\right)$ 在$\left(\gamma ,x\right)$ 是下半连续的。证毕。

定理3.1 (1) $\forall \gamma \in \Gamma$ ，$\gamma$ 是GLP-wp的；

(2) 如果$E\left(\gamma \right)=\left\{x\right\}$ (单点集)，那么$\gamma$ 是LP-wp的。

证 (1) 对任意的$x_n\in \mathcal{X}$ ，若$\left|\Psi \left(\gamma ,x_n\right)\right|\le {ϵ}_n$ ，其中${ϵ}_n\to 0$ ，且$\mathcal{X}$ 中的距离$d\left(x_n,g\left(\gamma \right)\right)\to 0$ ，则存在${x^{\prime }}_n\in g\left(\gamma \right)$ ，使得$d\left(x_n,{x^{\prime }}_n\right)\to 0$ 。因为$g\left(\gamma \right)$ 是紧集，所以必存在$\left\{{x^{\prime }}_n\right\}$ 的子序列$\left\{{x^{\prime }}_{n_k}\right\}$ ，使${x^{\prime }}_{n_k}\to x\in g\left(\gamma \right)$ 。由$d\left(x_{n_k},x\right)\le d\left(x_{n_k},{x^{\prime }}_{n_k}\right)+d\left({x^{\prime }}_{n_k},x\right)\to 0$ 可得$x_{n_k}\to x\in g\left(\gamma \right)$ 。再根据$\Psi \left(\gamma ,x\right)\ge 0$ 以及$\Psi$ 在x是下半连续的可得：

$0\le \Psi \left(\gamma ,x\right)\le \underset{n_k\to \infty }{\underset{\_}{\lim }}\Psi \left(\gamma ,x_{n_k}\right)\le \underset{n_k\to \infty }{\underset{\_}{\lim }}{ϵ}_{n_k}=0$ .

从而$\Psi \left(\gamma ,x\right)=0,x\in S\left(\gamma \right)$ ，因此问题$\gamma$ 必是GLP-wp的。

(2) 反证法，如果$\left\{x_n\right\}$ 不收敛于x，则存在x的开邻域$\mathcal{O}\left(x\right)$ 及$\left\{x_n\right\}$ 的子序列$\left\{x_{n_k}\right\}$ ，使$x_{n_k}\notin \mathcal{O}$ 。因$E\left(\gamma \right)=\left\{x\right\}$ (单点集)，由(1)可推出存在$\left\{x_{n_k}\right\}$ 的子序列收敛于x，这与$\mathcal{O}\left(x\right)$ 是开集且$x_{n_k}\notin \mathcal{O}$ 矛盾。故$\gamma$ 是LP-wp的。证毕。

4. GLP-wp和LP-wp的特征刻画

本节给出集合优化问题$\gamma$ 是GLP-wp和LP-wp的特征刻画。

给定有限理性模型$ℳ=\left\{\Gamma ,\mathcal{X},g,\Psi \right\}$ ，其中$\Gamma$ 是度量空间，$\mathcal{X}$ 是完备度量空间，，$\Psi :\Gamma \times \mathcal{X}\to ℝ$ ，且对任意的$\gamma \in \Gamma$ 和$x\in g\left(\gamma \right)$ ，满足$\Psi \left(\gamma ,x\right)$ 在x是下半连续的且$\Psi \left(\gamma ,x\right)\ge 0$ 。

$\forall ϵ>0$ ，记

$L\left(\gamma ,ϵ\right)=\left\{x\in X:d\left(x,g\left(\gamma \right)\right)\le ϵ,\left|\Psi \left(\gamma ,x\right)\right|\le ϵ\right\}$ .

定理4.1 (1) 若问题$\gamma$ 是GLP-wp的，则当$ϵ\to 0$ 时，非紧测度$\mu \left(L\left(\gamma ,ϵ\right)\right)\to 0$ ；

(2) 若$g\left(\gamma \right)$ 是非空闭集且当$ϵ\to 0$ 时，非紧测度$\mu \left(L\left(\gamma ,ϵ\right)\right)\to 0$ ，则问题$\gamma$ 是GLP-wp的。

证 (1) 对$\mathcal{X}$ 中任意序列$\left\{x_n\right\}\subset E\left(\gamma \right)$ ，则$x_n\in L\left(\gamma ,{ϵ}_n\right)$ ，其中${ϵ}_n\to 0$ 。因问题$\gamma$ 是GLP-wp的，必存在$\left\{x_n\right\}$ 的子序列$\left\{x_{n_k}\right\}$ ，使得$x_{n_k}\to x\in E\left(\gamma \right)$ ，因此$E\left(\gamma \right)$ 必是紧集。$\forall \sigma >0$ ，存在$E\left(\gamma \right)$ 的开覆盖$G_{\sigma }$ ，其中$G_{\sigma }$ 由有限个直径小于或等于$\sigma$ 的开集组成。接下来证明当$ϵ>0$ 充分小时，必有$\mu \left(L\left(\gamma ,ϵ\right)\right)\le \sigma$ ，从而必有$\mu \left(L\left(\gamma ,ϵ\right)\right)\to 0\left(ϵ\to 0\right)$ 。

用反证法，如果以上结论不成立，那么存在${ϵ}_n>0$ ，${ϵ}_n\to 0$ 及序列$\left\{x_n\right\}$ ，$x_n\in L\left(\gamma ,{ϵ}_n\right)$ ，而$x_n\notin G_{\sigma }$ 。因问题$\gamma$ 是GLP-wp的，必存在$\left\{x_n\right\}$ 的子序列$\left\{x_{n_k}\right\}$ ，使得$x_{n_k}\to x\in E\left(\gamma \right)\subset G_{\sigma }\left\{x_{n_k}\right\}$ ，这与$G_{\sigma }$ 是开集而$x_{n_k}\notin G_{\sigma }$ 矛盾。

(2) 对任意的$x_n\in L\left(\gamma ,{ϵ}_n\right),n=1,2,3,\cdots$ ，其中${ϵ}_n\to 0$ ，不妨设${ϵ}_{n+1}\le {ϵ}_n$ ，故$L\left(\gamma ,{ϵ}_n\right)\supset L\left(\gamma ,{ϵ}_{n+1}\right)$ 。记$G_n=\left\{x_i:i\ge n\right\}$ ，则$G_n\subset L\left(\gamma ,{ϵ}_n\right)$ 。由$\mu \left(G_1\right)=\mu \left(G_n\right)$ (因为它们只相差有限个点)，$n=2,3,4,\cdots$ ，$\mu \left(G_n\right)\le \mu \left(L\left(\gamma ,{ϵ}_n\right)\right)$ 以及$\mu \left(L\left(\gamma ,{ϵ}_n\right)\right)\to 0$ 可得$\mu \left(G_1\right)=0$ 。又根据$\mathcal{X}$ 完备和引理2.6可知$\overline{G_1}$ 是紧集。由于$\left\{x_n\right\}\subset \overline{G_1}$ ，则$\left\{x_n\right\}$ 必有收敛子序列$\left\{x_{n_k}\right\}$ ，使$x_{n_k}\to x$ 成立。因$\left\{x_{n_k}\right\}\subseteq L\left(\gamma ,{ϵ}_{n_k}\right)$ ，故$d\left(x_{n_k},g\left(\gamma \right)\right)\le {ϵ}_{n_k}$ ，令$n_k\to \infty$ 可得$x\in g\left(\gamma \right)$ 。

下证$x\in E\left(\gamma \right)$ 。用反证法，如果$x\notin E\left(\gamma \right)$ ，则$\Psi \left(\gamma ,x\right)>0$ 。因$E\left(\gamma \right)\ne \varnothing$ ，则存在$x_0\in E\left(\gamma \right)$ ，进而有$\Psi \left(\gamma ,x_0\right)=0<\Psi \left(\gamma ,x\right)$ 。根据$\Psi$ 在x是下半连续的，从而有

$0=\Psi \left(\gamma ,x_0\right)<\underset{n_k\to \infty }{\underset{\_}{\lim }}\Psi \left(\gamma ,x_{n_k}\right)\le \underset{n_k\to \infty }{\underset{\_}{\lim }}{ϵ}_{n_k}=0$ ,

矛盾。因此，$x\in E\left(\gamma \right)$ ，问题$\gamma$ 必是GLP-wp的。证毕。

定理4.2 (1) 如果问题$\gamma$ 是LP-wp的，那么当$ϵ\to 0$ 时，直径$diam\left(L\left(\gamma ,ϵ\right)\right)\to 0$ ；

(2) 若$g\left(\gamma \right)$ 是非空闭集且当$ϵ\to 0$ 时，直径$diam\left(L\left(\gamma ,ϵ\right)\right)\to 0$ ，则问题$\gamma$ 是LP-wp的。

证 (1) 用反证法，若结论不成立，则存在$\sigma >0$ 及序列$\left\{{ϵ}_n\right\}$ ，使得$diam\left(L\left(\gamma ,{ϵ}_n\right)\right)\ge \sigma$ ，其中${ϵ}_n>0$ 且${ϵ}_n\to 0$ 。于是存在两个序列$\left\{a_n\right\}$ 和$\left\{b_n\right\}$ ，使$a_n,b_n\in L\left(\gamma ,{ϵ}_n\right)$ 且满足$d\left(a_n,b_n\right)>\frac{\sigma }{2}$ 。因问题$\gamma$ 是LP-wp的，则$E\left(\gamma \right)=\left\{x\right\}$ (单点集)，且$a_n\to x,b_n\to x$ ，故$d\left(a_n,b_n\right)\to 0$ ，这与$d\left(a_n,b_n\right)>\frac{\sigma }{2}$ 矛盾。

(2) 首先证明$L\left(\gamma ,ϵ\right)$ 是闭集。对任意的$y_n\in L\left(\gamma ,ϵ\right)$ 及$ϵ>0$ ，假设，则。由于是闭集，则。再根据及$\Psi$ 在y是下半连续的可得，即。因此是闭集。

，其中且。不妨设，故，从而有。因$\mathcal{X}$ 是完备度量空间，故有，且当时，直径，由引理2.7，存在唯一的，使得。从而有及。又，故，令可得。再根据是非空闭集可知。

下证。用反证法，如果，则。因，则存在，进而有。根据$\Psi$ 在x是下半连续的，从而有

,

矛盾。因此，，问题$\gamma$ 必是LP-wp的。证毕。

注4.1：由定理4.1和定理4.2，通过构造具有抽象理性函数的有限理性模型，得到集合优化问题的GLP-wp和LP-wp的特征刻画，本质上是得到了该问题GLP-wp和LP-wp的充分必要条件。这为电子商务机制设计提供了一定的理论支撑。

5. 结论

本文在理论意义上，考虑了电子商务视角下集合优化问题的LP良定性。在有限理性模型下，通过构建完备的集合优化问题度量空间以及适当的理性函数得到了该问题的E-u-最小解集LP良定性和广义LP良定性的充分条件，并从非紧测度和距离两个不同的角度分别对该优化问题的广义LP良定性和LP良定性进行特征刻画。通过研究集合优化问题解序列的LP良定性，为电子商务背景下的许多应用模型(如物流运输问题，企业经营管理问题，市场营销问题等)考虑了最优策略的稳定性以及抗扰动性，提高了资源的整体利用率，对促进我国电商平台等众多领域的发展具有重要的作用。