具有媒体播报和早期筛查的HPV传播模型动力学分析

Dynamic Analysis of a Kind of HPV Transmission Model Incorporating Media Impact and Early Screening

摘要: 依据人乳头瘤病毒(Human papilloma virus，简称HPV)传播机理，本文构建了一类具有媒体播报和早期筛查的HPV传播动力学模型。计算了模型控制再生数，证明了当时无病平衡点的全局稳定性，并进行了敏感性分析。结合南非HPV感染者与宫颈癌患者的数据进行了数值模拟，结果表明：提高媒体播报率与早期筛查率能明显减少HPV感染者的数量，从而有效预防和控制HPV传播。

Abstract: Based on the transmission mechanism of Human papilloma virus (HPV), a kind of HPV transmission dynamic model incorporating media coverage and early screening is constructed. The control reproduction number is calculated, and then we prove the global stability of the disease-free equilibrium as . Furthermore, the sensitivity analysis is carried out. According to the data of HPV infection and cervical cancer in South Africa, numerical simulations are performed, and the results show that improving the media coverage rate and early screening rate can significantly reduce the number of HPV infected people, therefore effectively prevent and control HPV transmission.

1. 引言

人乳头瘤病毒(Human papilloma virus)简称HPV，是一种在人体表皮和黏膜鳞状上皮之间传播的病毒，可感染人体的口腔、咽喉、阴茎皮肤、外阴、肛门、阴道、宫颈和直肠等多个部位。HPV可通过性传播、母婴传播以及直接接触皮肤黏膜等途径进行传播，由性传播的HPV引起的宫颈癌是全球女性第四大常见癌症，也是中低收入国家女性第二大常见癌症[1]-[4]。

文献[5]研究表明中国25至45岁女性感染持续性高危HPV的概率为19.9%，其中常规体检者感染率为12.9%。文献[6]评估了有异性伴侣的女性感染HPV的概率为84.6%，男性为91.3%。HPV感染者中多数为低危型HPV感染，没有症状且大部分可自愈，少数为持续高危型HPV感染，若进一步发展可导致宫颈病变。致癌率最高的HPV类型为HPV-16型和HPV-18型[7]。

HPV引起的癌症可以通过媒体播报与早期筛查进行防控。媒体播报能够影响易感者的行为习惯，宣传力度的大小会降低传染病传播的有效接触率和提升人们的预防意识。随着近年媒体对HPV传播过程和疫苗接种的宣传，人们对HPV的预防与治疗意识均有提升，并通过接种疫苗、早期筛查并及时治疗、使用避孕套、减少服用避孕药、戒烟戒酒、减少性伴侣个数等方式降低感染HPV概率，但目前HPV感染仍是全世界最常见的性传播感染之一[8]-[10]。

为研究治疗措施对HPV传播的影响，文献[11]构建了一类SI_HPVI_HPVTI_HPVUI_CCTI_CCU的HPV模型，并结合美国非裔女性数据进行数值模拟，提出控制HPV传播的策略。媒体播报对HPV传播有着较大的影响，因此文献[12]在文献[11]的基础上进一步考虑媒体播报的影响。感染HPV后通常没有症状，从感染HPV到发展成宫颈癌，还需要持续型高危HPV感染这一阶段，因此文献[13]构建了一类具有无症状与持续感染HPV的SEI₁I₂AR模型，考虑了接触率对HPV传播的影响，得出了合适的治疗策略可以有效地减少HPV的传播。由于接种HPV疫苗会有一定保护作用，且HPV感染者与宫颈癌患者恢复后由于不完美保护等现实情况仍可再次感染HPV，因此文献[14]在文献[13]的基础上进一步考虑具有疫苗接种的SVEHPI₁I₂I₃AR传播模型并进行了动力学分析。HPV在不同性别下的传播过程不同，文献[15]考虑了性别异质性和疫苗接种，建立了一类关于HPV有潜伏期感染的S_fV_fE_fI_fP_fCR_fR_cS_mE_mI_mR_m动力学模型。因HPV传播过程中有使用避孕套、控制性伴侣个数、戒烟戒酒、避免服用避孕药物等预防措施，文献[16]构建了一类关于HPV传播的模型，研究了疫苗接种、使用避孕套与接受治疗对HPV传播的影响。

本文基于已有的研究成果，创新性地将媒体播报引入HPV传播模型的易感者人群中，并结合媒体播报将易感者分为有意识和无意识两类，综合考虑早期筛查、HPV恢复人群获得性免疫丧失等因素，深入探究其对HPV传播的影响，从而更准确地刻画HPV的传播变化趋势。

2. 模型建立

本文将媒体播报引入到HPV传播模型中，考虑部分易感者由于受到媒体宣传的影响能够自觉加强预防和控制等自我防范意识，因此将易感者分为无意识的易感者(S₁)和有意识的易感者(S₂)。将总人口(N)分为无意识的易感者(S₁)、有意识的易感者(S₂)、疫苗接种者(V)、无症状HPV感染者(E)、有症状HPV感染者(I)、持续型高危HPV感染者(P)、宫颈癌患者(C)、恢复者(R)。由此建立如下的HPV传播模型：

(1)

其中，无意识的易感者(S₁)与感染者(E、I、P)有效接触后，以的概率感染HPV，

(2)

有意识的易感者(S₂)与感染者(E、I、P)有效接触后，通过调节因子的影响，以的概率感染HPV，

(3)

HPV的传播流程图如下图1，模型(1)中相关参数见表1。

Figure 1. The flowchart of the spread of HPV

图1. HPV的传播流程图

记总人口为，由模型(1)得

，

根据常微分方程的基本定理[17]，可得到模型(1)的一个正向不变集为：

。

Table 1. Biological significance and values of the parameters of model (1)

表1. 模型(1)参数的生物意义及取值

变量参数	生物意义	取值	来源
$\Delta$	人口补充率	288,802	[16]
$\xi$	疫苗接种率	0.87	[14]
$\omega$	疫苗接种免疫失效率	0.1	[15]
$d$	自然死亡率	0.0162	[16]
$d_1$	宫颈癌因病死亡率	0.01	[18]
${\alpha }_1$	无意识易感者感染力
${\alpha }_2$	有意识易感者感染力
$\beta$	吸烟对HPV感染的副作用	1.509	[10]
$\alpha$	服用避孕药物对HPV感染的副作用	2.071	[9]
$c_n$	获得新性伴侣的概率	0.2	[16]
$c_k$	接触过程中被感染的概率	0.45	[16]
$c_c$	避孕套效用	0.92	[16]
$c_a$	避孕套应用率	0.3	[16]
$\phi$	再次感染中感染力的调节因子	0.3	[16]
$\psi$	$S_2$ 感染力的调节因子	0.3	假设
$e$	媒体宣传力度	0.5	假设
$c_p$	筛查效果	0.9	[14]
$c_q$	筛查率	0.4	[14]
${\alpha }_3$	感染者从E到I的转移率	0.5	[18]
${\alpha }_4$	感染者从I到P的转移率	0.005	[18]
${\alpha }_5$	感染者从P到C的转移率	3.5e−4	[16]
${\sigma }_1$	药物对E恢复的影响因子	1.5	[16]
${\sigma }_2$	药物对I恢复的影响因子	1.5	[16]
${\sigma }_3$	药物对P恢复的影响因子	1.2	[16]
${\gamma }_1$	感染者从E到R的恢复率	0.99	[18]
${\gamma }_2$	感染者从I到R的恢复率	9e−4	[16]
${\gamma }_3$	感染者从P到R的恢复率	0.5	[16]
${\gamma }_4$	感染者从C到R的恢复率	1.97e−7	[16]
${\theta }_1$	I相对于E传染性的调节因子	0.95	[14]
${\theta }_2$	P相对于E传染性的调节因子	0.8	[14]

3. 模型的稳定性分析

3.1. 无病平衡点

令模型(1)右端等于0，当$E=0$ 时，可得$P^0=\left(S_1^0,S_2^0,V^0,0,0,0,0,0\right)$ 为模型(1)的无病平衡点，记$h_1=d^2+\left(\omega +\xi \right)d$ ，$h_2=\omega +d$ ，其中

$S_1^0=\frac{\Delta }{e+d}$ ，$S_2^0=\frac{e\Delta h_2}{\left(e+d\right)h_1}$ ，$V^0=\frac{e\Delta \xi }{\left(e+d\right)h_1}$ 。

3.2. 控制再生数

控制再生数${\Re }_C$ 是反映传染病传播能力的一种指标，表示在一定的防控措施下，一个感染者在其感染期内产生的继发染病者的平均数量。一般情况下，当${\Re }_C<1$ 时疾病会得到有效的控制，当${\Re }_C>1$ 时会形成地方病。通过下一代矩阵法可以计算出控制再生数[19]，解得控制再生数为：

${\Re }_C=g_1\left(\frac{1}{M_1}+\frac{{\theta }_1{\alpha }_3}{M_1{M}_2}+\frac{{\theta }_2{\alpha }_3{\alpha }_4}{M_1{M}_2{M}_3}\right)$ 。

其中，

$g_1=\frac{\left(h_1+e\psi h_2\right)M}{h_1+e{h}_2+e\xi }$ ，$M=\beta \alpha c_n{c}_k\left(1-c_c{c}_a\right)$ ，$M_1={\alpha }_3+d+c_p{c}_q{\gamma }_1{\sigma }_1$ ，$M_2={\alpha }_4+d+{\gamma }_2{\sigma }_2$ ，$M_3={\alpha }_5+d+{\gamma }_3{\sigma }_3$ 。

3.3. 无病平衡点的稳定性

定理1 当${\Re }_c<1$ ，无病平衡点$P^0$ 是局部渐近稳定的。

证明：模型(1)的线性化系统在无病平衡点$P^0$ 处的Jacobian矩阵为：

$J\left(P^0\right)=\left(\begin{array}{cccccccc}-e-d& 0& 0& -u_1& -u_2& -u_3& 0& 0\\ e& -\xi -d& \omega & -u_4& -u_5& -u_6& 0& 0\\ 0& \xi & -h_2& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -M_1+u_1+u_4& u_2+u_5& u_3+u_6& 0& 0\\ 0& 0& 0& {\alpha }_3& -M_2& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& {\alpha }_4& -M_3& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& {\alpha }_5& -{\gamma }_4-\left(d+d_1\right)& 0\\ 0& 0& 0& c_p{c}_q{\gamma }_1{\sigma }_1& {\gamma }_2{\sigma }_2& {\gamma }_3{\sigma }_3& {\gamma }_4& -d\end{array}\right)$ ，

其中，$g_2=h_1+e{h}_2+e\xi$ ，$u_1=\frac{M{h}_1}{g_2}$ ，$u_2=\frac{M{h}_1{\theta }_1}{g_2}$ ，$u_3=\frac{M{h}_1{\theta }_2}{g_2}$ ，$u_4=\frac{\psi Me{h}_2}{g_2}$ ，$u_5=\frac{\psi Me{h}_2{\theta }_1}{g_2}$ ，$u_6=\frac{\psi Me{h}_2{\theta }_2}{g_2}$ 。

计算得到该矩阵的特征值为：${\lambda }_1=-d<0$ ，${\lambda }_2=-\left({\gamma }_4+d+d_1\right)<0$ 。且${\lambda }_3$ 、${\lambda }_4$ 、${\lambda }_5$ 满足如下的(4)式，${\lambda }_6$ 、${\lambda }_7$ 、${\lambda }_8$ 满足如下的(5)式。

$\left|\begin{array}{ccc}\lambda +\left(e+d\right)& 0& 0\\ -e& \lambda +\left(\xi +d\right)& -\omega \\ 0& -\xi & \lambda +h_2\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}\lambda +M_1-\left(u_1+u_4\right)& -\left(u_2+u_5\right)& -\left(u_3+u_6\right)\\ -{\alpha }_3& \lambda +M_2& 0\\ 0& -{\alpha }_4& \lambda +M_3\end{array}\right|=0$ ，

$\left[\lambda +\left(e+d\right)\right]\left\{\left[\lambda +\left(\xi +d\right)\right]\left(\lambda +h_2\right)-\omega \xi \right\}=0$ ， (4)

$\left[\lambda +M_1-\left(u_1+u_4\right)\right]\left(\lambda +M_2\right)\left(\lambda +M_3\right)-{\alpha }_3\left[\left(u_2+u_5\right)\left(\lambda +M_3\right)+{\alpha }_4\left(u_3+u_6\right)\right]=0$ ， (5)

假设$\lambda$ 具有非负实部。

由(4)式整理可得$1=\frac{\omega \xi }{\left[\lambda +\left(\xi +d\right)\right]\left(\lambda +h_2\right)}$ ，等式两端取模，则

$1=\left|\frac{\omega \xi }{\left[\lambda +\left(\xi +d\right)\right]\left(\lambda +h_2\right)}\right|\le \omega \xi \left|\frac{1}{\xi +d}\right|\left|\frac{1}{\omega +d}\right|=\frac{\omega \xi }{\omega \xi +\left(\omega +\xi \right)d+d^2}<1$ ，

不等式不成立，所以${\lambda }_3$ 、${\lambda }_4$ 和${\lambda }_5$ 具有负实部。

由(5)式整理可得$1=\frac{\left(u_1+u_4\right)}{\left(\lambda +M_1\right)}+{\alpha }_3\left[\frac{\left(u_2+u_5\right)}{\left(\lambda +M_1\right)\left(\lambda +M_2\right)}+\frac{{\alpha }_4\left(u_3+u_6\right)}{\left(\lambda +M_1\right)\left(\lambda +M_2\right)\left(\lambda +M_3\right)}\right]$ ，等式两端取模，则

$\begin{array}{l}1=\left|\frac{\left(u_1+u_4\right)}{\left(\lambda +M_1\right)}+{\alpha }_3\left[\frac{\left(u_2+u_5\right)}{\left(\lambda +M_1\right)\left(\lambda +M_2\right)}+\frac{{\alpha }_4\left(u_3+u_6\right)}{\left(\lambda +M_1\right)\left(\lambda +M_2\right)\left(\lambda +M_3\right)}\right]\right|\\ \le \frac{u_1+u_4}{M_1}+\frac{{\alpha }_3\left(u_2+u_5\right)}{M_1{M}_2}+\frac{{\alpha }_3{\alpha }_4\left(u_3+u_6\right)}{M_1{M}_2{M}_3}={\Re }_C\end{array}$ ， (6)

当${\Re }_c<1$ 时，显然(6)不等式不成立，所以${\lambda }_6$ 、${\lambda }_7$ 和${\lambda }_8$ 具有负实部。故矩阵$J\left(P^0\right)$ 的所有特征值都具有负实部，因此无病平衡点$P^0$ 在${\Re }_c<1$ 时是局部渐近稳定的。

引理1 [20]如果模型可表示为

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}X}{\text{d}t}=F\left(X,Z\right),\hfill \\ \frac{\text{d}Z}{\text{d}t}=G\left(X,Z\right),G\left(X,0\right)=0,\hfill \end{array}$ (7)

其中$X\in {ℝ}^m$ 表示未感染类，$Z\in {ℝ}^n$ 表示感染类，包括潜伏期感染者。$P=\left(X^{\text{*}},0\right)$ 为系统(7)的无病平衡点，设$\text{Ω}\in {ℝ}_{+}^{m+n}$ 是该模型的正向不变集，满足如下两个条件：

(1) 当$\frac{\text{d}X}{\text{d}t}=F\left(X,0\right)$ 时，$X^{\text{*}}$ 在$\sum =\left\{X:{\left(X,Z\right)}^T\in \Omega \right\}$ 中是全局渐近稳定的，其中$\sum$ 关于$\frac{\text{d}X}{\text{d}t}=F\left(X,0\right)$ 是正向不变的；

(2) $G\left(X,Z\right)=BZ-\widehat{G}\left(X,Z\right)$ ，$\widehat{G}\left(X,Z\right)\ge 0$ ，其中$\left(X,Z\right)\in \Omega$ ，$B=D_{Z}G\left(X^{*},0\right)$ ，且$-B$ 是一个非奇异的$M$ 矩阵。

则当${\Re }_C<1$ 时，无病平衡点$P=\left(X^{\text{*}},0\right)$ 在$\Omega$ 中是全局渐近稳定的。

定理2 当${\Re }_c<1$ 时，系统(1)的无病平衡点$P^0$ 是全局渐近稳定的。

证明：对于模型(1)，有

$F\left(X,0\right)=\left(\begin{array}{l}\Delta -e{S}_1-{\alpha }_1{S}_1-d{S}_1\\ e{S}_1-\xi S_2+\omega V-{\alpha }_2{S}_2-d{S}_2\\ \xi S_2-\omega V-dV\end{array}\right)$ 。

其中$X=\left(S_1,S_2,V\right)\in {ℝ}^3$ 。则在无病平衡点$P^0=\left(X^{\text{*}},0\right)$ 处，模型(1)可简化为：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}{S}_1}{\text{d}t}=\Delta -e{S}_1-{\alpha }_1{S}_1-d{S}_1,\hfill \\ \begin{array}{l}\frac{\text{d}{S}_2}{\text{d}t}=e{S}_1-\xi S_2+\omega V-{\alpha }_2{S}_2-d{S}_2,\\ \frac{\text{d}V}{\text{d}t}=\xi S_2-\omega V-dV.\end{array}\hfill \end{array}$ (8)

模型(8)的特征方程${\lambda }_1=-\left(e+d\right)$ ，且${\lambda }_2$ 与${\lambda }_3$ 满足：

${\lambda }^2+\left(\xi +d+h_2\right)\lambda +h_1=0$ 。

再由韦达定理${\lambda }_2{\lambda }_3>0$ ，${\lambda }_2+{\lambda }_3<0$ 得${\lambda }_2<0$ ，${\lambda }_3<0$ ，则所有特征值都具有负实部，因此$X^{\text{*}}$ 是全局渐近稳定的。

由模型(8)可知

${S^{\prime }}_1+{S^{\prime }}_2+V^{\prime }=\Delta -d\left(S_1+S_2+V\right)-{\alpha }_1{S}_1-{\alpha }_2{S}_2\le \Delta -d\left(S_1+S_2+V\right)$ ，

对${S^{\prime }}_1+{S^{\prime }}_2+V^{\prime }\le \Delta -d\left(S_1+S_2+V\right)$ 应用比较原理得$S_1\left(t\right)+S_2\left(t\right)+V\left(t\right)\le \frac{\Delta }{d}+C{e}^{-dt}$ ，故$S_1+S_2+V\to \frac{\Delta }{d}\left(t\to +\infty \right)$ ，因此$S_1$ ，$S_2$ ，$V$ 有界。令

$S_1^{\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }\sup S_1\left(t\right)$ ，$S_{1\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }\inf S_1\left(t\right)$ ，

$S_2^{\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }\sup S_2\left(t\right)$ ，$S_{2\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }\inf S_2\left(t\right)$ ，

$V^{\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }\sup V\left(t\right)$ ，$V_{\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }\inf V\left(t\right)$ 。

由文献[21]中的引理5.1可知，一个序列$\left\{t_n\right\}$ 存在并使得

$S_1\left(t_n\right)\to S_1^{\infty }$ ，${S^{\prime }}_1\left(t_n\right)\to 0$ ，$t_n\to \infty \left(n\to \infty \right)$ ，

再由模型(8)的第一个方程，

${S^{\prime }}_1\left(t_n\right)=\Delta -e{S}_1\left(t_n\right)-{\alpha }_1{S}_1\left(t_n\right)-d{S}_1\left(t_n\right)\stackrel{n\to \infty }{=}\Delta -\left(e+{\alpha }_1+d\right)S_1^{\infty }$ ，

则

$S_1^{\infty }=\frac{\Delta }{e+{\alpha }_1+d}$ 。

同样存在一个序列$\left\{{\tau }_n\right\}$ 使得$S_1\left({\tau }_n\right)\to S_{1\infty }$ ，${S^{\prime }}_1\left({\tau }_n\right)\to 0$ ，${\tau }_n\to \infty \left(n\to \infty \right)$ ，由模型(8)的第一个方程有

$S_{1\infty }=\frac{\Delta }{e+{\alpha }_1+d}$ ，故$S_{1\infty }=S_1^{\infty }=\frac{\Delta }{e+{\alpha }_1+d}$ 。

同理，由模型(8)的第二和三个方程可得

$S_{2\infty }=S_2^{\infty }=\frac{e\Delta h_2}{\left(e+d+{\alpha }_1\right)\left(h_1+{\alpha }_2\left(\omega +d\right)\right)}$ ，$V_{\infty }=V^{\infty }=\frac{e\xi \Delta }{\left(e+d+{\alpha }_1\right)\left(h_1+{\alpha }_2\left(\omega +d\right)\right)}$ ，

则$X^{\text{*}}$ 全局吸引，证得$X^{\text{*}}$ 是全局渐近稳定的。

此外

$\begin{array}{c}G\left(X,Z\right)=BZ-\widehat{G}\left(X,Z\right)\\ =\left(\begin{array}{lllll}\frac{M}{N}\left(S_1^0+\psi S_2^0\right)-M_1\hfill & \frac{{\theta }_{1}M}{N}\left(S_1^0+\psi S_2^0\right)\hfill & \frac{{\theta }_{2}M}{N}\left(S_1^0+\psi S_2^0\right)\hfill & 0\hfill & \phi {\alpha }_1\hfill \\ {\alpha }_3\hfill & -M_2\hfill & 0\hfill & 0\hfill & 0\hfill \\ 0\hfill & {\alpha }_4\hfill & -M_3\hfill & 0\hfill & 0\hfill \\ 0\hfill & 0\hfill & {\alpha }_5\hfill & -\left({\gamma }_4+d+d_1\right)\hfill & 0\hfill \\ c_p{c}_q{\gamma }_1{\sigma }_1\hfill & {\gamma }_2{\sigma }_2\hfill & {\gamma }_3{\sigma }_3\hfill & {\gamma }_4\hfill & \begin{array}{c}\begin{array}{c}-(\phi {\alpha }_1+d)\end{array}\end{array}\hfill \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}E\\ I\end{array}\\ P\\ C\\ R\end{array}\right)\\ -\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}\frac{M}{N}\left(S_1^0+\psi S_2^0\right)E+\frac{{\theta }_{1}M}{N}\left(S_1^0+\psi S_2^0\right)I+\frac{{\theta }_{2}M}{N}\left(S_1^0+\psi S_2^0\right)P-\left({\alpha }_1{S}_1+{\alpha }_2{S}_2\right)\\ 0\end{array}\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right).\end{array}$

其中，$Z=\left(E,I,P,C,R\right)\in {ℝ}^5$ ，由于

$\frac{M}{N}\left(S_1^0+\psi S_2^0\right)E+\frac{{\theta }_{1}M}{N}\left(S_1^0+\psi S_2^0\right)I+\frac{{\theta }_{2}M}{N}\left(S_1^0+\psi S_2^0\right)P-\left({\alpha }_1{S}_1+{\alpha }_2{S}_2\right)={\alpha }_1\left[\left(S_1^0+\psi S_2^0\right)-\left(S_1+\psi S_2\right)\right]$ ，

且$\left(S_1^0+\psi S_2^0\right)-\left(S_1+\psi S_2\right)>\frac{\Delta }{e+{\alpha }_1+d}>0$ ，则$-B$ 是一个$M$ 矩阵，且$\widehat{G}\left(X,Z\right)\ge 0$ 。因此，由引理1可得无病平衡点$P^0$ 在正向不变集M中是全局渐近稳定的。

4. 敏感性分析

敏感性分析是通过敏感性指数来确定影响HPV传染病传播的重要因素。敏感性指数刻画一个状态变量在参数变化时的相对变化[17]。变量$m$ 关于$n$ 的敏感性指数定义为：

${\Upsilon }_n^m=\frac{\partial m}{\partial n}\times \frac{n}{m}$ 。

下文将依据上式求出${\Re }_C$ 关于部分参数的敏感性指数。

由计算可得，媒体播报率$e$ 对${\Re }_C$ 的敏感性指数：

$\frac{\partial {\Re }_C}{\partial e}=\frac{\psi h_{2}M}{g_2}\left(\frac{1}{M_1}+\frac{{\theta }_1{\alpha }_3}{M_1{M}_2}+\frac{{\theta }_2{\alpha }_3{\alpha }_4}{M_1{M}_2{M}_3}\right)>0$ ，${\Upsilon }_e^{{\Re }_C}=\frac{\partial {\Re }_C}{\partial e}\times \frac{e}{{\Re }_C}=\frac{e\psi h_2}{h_1+e\psi h_2}<1$ 。

同理可得，

${\Upsilon }_{\psi }^{{\Re }_C}=\frac{e{h}_2\psi }{h_1+e{h}_2\psi }<1$ ，$\left|{\Upsilon }_{\xi }^{{\Re }_C}\right|=\frac{e\xi }{g_2}-\frac{d\xi }{\left(h_1+e\psi h_2\right)}<1$ ，$\left|{\Upsilon }_{\left(c_p{c}_q\right)}^{{\Re }_C}\right|=\frac{{\gamma }_1{\sigma }_1{c}_p{c}_q}{M_1}<1$ ，$\left|{\Upsilon }_{{\sigma }_1}^{{\Re }_C}\right|=\frac{c_p{c}_q{\gamma }_1{\sigma }_1}{M_1}<1$ ，$\left|{\Upsilon }_{{\sigma }_2}^{{\Re }_C}\right|=\frac{{\gamma }_2{\sigma }_2\left({\theta }_2{\alpha }_3{\alpha }_4+{\theta }_1{\alpha }_3{M}_3\right)}{M_2\left(M_2{M}_3+{\theta }_1{\alpha }_3{M}_3+{\theta }_2{\alpha }_3{\alpha }_4\right)}<1$ ，$\left|{\Upsilon }_{{\sigma }_3}^{{\Re }_C}\right|=\frac{{\gamma }_3{\sigma }_3{\theta }_2{\alpha }_3{\alpha }_4}{M_3\left(M_2{M}_3+{\theta }_1{\alpha }_3{M}_3+{\theta }_2{\alpha }_3{\alpha }_4\right)}<1$ ，$\left|{\Upsilon }_{\left(c_c{c}_a\right)}^{{\Re }_C}\right|=\frac{\beta \alpha c_n{c}_k{c}_c{c}_a}{M}<1$ ，${\Upsilon }_{\left(c_n{c}_k\right)}^{{\Re }_C}=1$ ，${\Upsilon }_{\beta }^{{\Re }_C}=1$ ，${\Upsilon }_{\alpha }^{{\Re }_C}=1$ 。

对于${\Re }_C$ 关于$e$ ，$\psi$ ，$c_p{c}_q$ ，$\xi$ ，${\sigma }_1$ ，${\sigma }_2$ ，${\sigma }_3$ ，$c_c{c}_a$ ，$c_n{c}_k$ ，$\beta$ ，$\alpha$ 的敏感性指数代入参数值并总结如下表2：

Table 2. The sensitivity index of ${\Re }_C$ to $e$ , $\psi$ , $c_p{c}_q$ , $\xi$ , ${\sigma }_1$ , ${\sigma }_2$ , ${\sigma }_3$ , $c_c{c}_a$ , $c_n{c}_k$ , $\beta$ , $\alpha$ and their values

表2. ${\Re }_C$ 关于$e$ ，$\psi$ ，$c_p{c}_q$ ，$\xi$ ，${\sigma }_1$ ，${\sigma }_2$ ，${\sigma }_3$ ，$c_c{c}_a$ ，$c_n{c}_k$ ，$\beta$ ，$\alpha$ 的敏感性指数及其取值

敏感性指数	表达式	取值
${\Upsilon }_e^{{\Re }_C}$ ，${\Upsilon }_{\psi }^{{\Re }_C}$	$\frac{e\psi h_2}{h_1+e\psi h_2}$	0.8904
${\Upsilon }_{\xi }^{{\Re }_C}$	$\frac{d\xi }{\left(h_1+e\psi h_2\right)}-\frac{e\xi }{g_2}$	−0.1583
${\Upsilon }_{\left(c_p{c}_q\right)}^{{\Re }_C}$ ，${\Upsilon }_{{\sigma }_1}^{{\Re }_C}$	$-\frac{c_p{c}_q{\gamma }_1{\sigma }_1}{M_1}$	−0.5088
${\Upsilon }_{{\sigma }_2}^{{\Re }_C}$	$-\frac{{\gamma }_2{\sigma }_2\left({\theta }_2{\alpha }_3{\alpha }_4+{\theta }_1{\alpha }_3{M}_3\right)}{M_2\left(M_2{M}_3+{\theta }_1{\alpha }_3{M}_3+{\theta }_2{\alpha }_3{\alpha }_4\right)}$	−0.0572
${\Upsilon }_{{\sigma }_3}^{{\Re }_C}$	$-\frac{{\gamma }_3{\sigma }_3{\theta }_2{\alpha }_3{\alpha }_4}{M_3\left(M_2{M}_3+{\theta }_1{\alpha }_3{M}_3+{\theta }_2{\alpha }_3{\alpha }_4\right)}$	−0.0063
${\Upsilon }_{\left(c_c{c}_a\right)}^{{\Re }_C}$	$-\frac{\beta \alpha c_n{c}_k{c}_c{c}_a}{M}$	−0.3812
${\Upsilon }_{c_n{c}_k}^{{\Re }_C}$ ，${\Upsilon }_{\beta }^{{\Re }_C}$ ，${\Upsilon }_{\alpha }^{{\Re }_C}$	1	1

所以，${\Re }_C$ 随着性伴侣个数$c_n{c}_k$ 、吸烟对HPV感染的副作用$\beta$ 、服用避孕药物对HPV感染的副作用$\alpha$ 、媒体播报率$e$ 、有意识感染者$S_2$ 接触率的调节因子$\psi$ 的增大而增大，且对$c_n{c}_k$ 、$\beta$ 、$\alpha$ 敏感性最高为1，对$e$ 、$\psi$ 的敏感性也较高为0.8904。此外${\Re }_C$ 随着疫苗接种$\xi$ 、早期筛查率$c_p{c}_q$ 、药物对恢复的影响因子${\sigma }_1$ 、${\sigma }_2$ 、${\sigma }_3$ 、避孕套的使用$c_c{c}_a$ 的增大而减小，且对$c_p{c}_q$ 和${\sigma }_1$ 的敏感性最高为−0.5088，其次为$c_c{c}_a$ 和$\xi$ 。

5. 数值模拟

本节首先依据南非的HPV感染者与宫颈癌患者数据，给出各仓室的时间序列图，然后通过数值模拟分析了媒体播报、早期筛查措施对防控HPV传播的有效性，最后给出了随着媒体播报率$e$ 、早期筛查率$c_p{c}_q$ 的变化，感染者仓室$E$ ，$I$ ，$P$ ，$C$ 的变化趋势。

图2为各仓室$S_1$ ，$S_2$ ，$V$ ，$E$ ，$I$ ，$P$ ，$C$ ，$R$ 的时间序列图。

Figure 2. The time series diagrams of $S_1$ , $S_2$ , $V$ , $E$ , $I$ , $P$ , $C$ , $R$

图2. 各仓室$S_1$ ，$S_2$ ，$V$ ，$E$ ，$I$ ，$P$ ，$C$ ，$R$ 的时间序列图

图2所示为各仓室$S_1$ ，$S_2$ ，$V$ ，$E$ ，$I$ ，$P$ ，$C$ ，$R$ 在${\Re }_C<1$ 时的时间序列图，无病平衡点$P^0$ 是全局渐近稳定的，$C$ 最终均趋向于0，疾病最终消除。

Figure 3. Effect of media impact rate $e$ on $E$ , $I$ , $P$ , $C$

图3. 媒体播报率$e$ 对仓室$E$ ，$I$ ，$P$ ，$C$ 的影响

图3表明了随着媒体播报率$e$ 的增大，感染HPV和患宫颈癌的人数逐渐减少，因此适当加大对HPV媒体播报的力度以及增加媒体播报的途径可降低HPV感染者规模。

Figure 4. Effect of early screening rate $c_p{c}_q$ on $E$ , $I$ , $P$ , $C$

图4. 早期筛查率$c_p{c}_q$ 对仓室$E$ ，$I$ ，$P$ ，$C$ 的影响

图4展示了随着早期筛查率$c_p{c}_q$ 的增大，感染HPV和患宫颈癌的人数逐渐减少，因此提高对HPV的早期筛查率以便及时地进行治疗可有效控制HPV的传播。

6. 结论

本文综合考虑了媒体播报和早期筛查对HPV传播的影响，并将易感者分为无意识易感者$S_1$ 和有意识易感者$S_2$ 两种人群，构建了一类S₁S₂ VEIPCR的HPV传播模型。计算出模型的无病平衡点，并推导出控制再生数${\Re }_C$ ，进而证明了无病平衡点的全局稳定性。

敏感性分析的结果表明控制再生数${\Re }_C$ 随着性伴侣个数$c_n{c}_k$ 、吸烟$\beta$ 、服用避孕药$\alpha$ 、媒体播报率$e$ 、有意识感染者$S_2$ 接触率的调节因子$\psi$ 的增大而增大；随着疫苗接种$\xi$ 、早期筛查率$c_p{c}_q$ 、药物对恢复的影响因子${\sigma }_1$ 、${\sigma }_2$ 、${\sigma }_3$ 、避孕套的使用$c_c{c}_a$ 的增大而减小。其中，控制再生数${\Re }_C$ 对$c_n{c}_k$ ，$\beta$ ，$\alpha$ 最敏感，其次是$e$ ，$\psi$ ，$c_p{c}_q$ 。

最后，通过数值模拟验证了提高媒体播报率$e$ 以及早期筛查率$c_p{c}_q$ ，可减少HPV感染者的数量，从而有效地控制HPV传播。因此，通过媒体播报HPV接种疫苗与病毒传播相关知识可提高人们的防范意识，同时加大早期筛查的比例并及时地进行治疗，对控制HPV传播也有积极作用。

基金项目

北京建筑大学研究生教育教学质量提升项目(No. J2023021)。

NOTES

^*通讯作者。