基于二型模糊神经网络的NOx排放预测

NOx Emission Prediction Based on Type-2 Fuzzy Neural Networks

摘要: 为提高柴油机NOx排放预测精度及减少试验成本，本文提出了二型模糊神经网络(Type-2 Fuzzy Neural Networks, T2FNNs)的柴油机NOx排放预测方法。首先利用随机森林算法进行了输入变量的重要性分析并约简优化了输入变量，然后对本文提出T2FNNs预测模型的参数分别采用梯度下降法和递推最小二乘进行训练寻优，基于寻优后的最优预测模型进行了训练和验证，并取得了较好的预测效果。在训练集和验证集上NOx的回归决定系数(R²)分别为0.985和0.962。最后对T2FNNs预测模型进行了泛化性测试，并与其他神经网络预测模型进行了对比。结果表明在测试集上其R²值为0.961，相较于训练集和验证集仅分别下降了2.4%和0.1%，说明T2FNNs预测模型具有极强的泛化能力。在与其他预测模型的对比中，T2FNNs预测模型也表现出了更好的性能特性。

Abstract: To improve the accuracy of diesel engine NOx emission prediction and reduce the cost of testing, a Type-2 Fuzzy Neural Networks (T2FNNs) method for predicting diesel engine emission characteristics was proposed. Firstly, the importance analysis of input variables was conducted using the random forest algorithm, and the input variables were reduced and optimized. Then, the parameters of the T2FNNs prediction model proposed in this paper were trained and optimized using gradient descent method and recursive least squares. Based on the optimized optimal prediction model, training and validation were conducted, and good prediction results were achieved. The regression determination coefficients (R²) of NOx on the training and validation sets are 0.985 and 0.962, respectively. Finally, a generalization test was conducted on the T2FNNs prediction model, and it was compared with other neural network prediction models. The results showed that the R² value on the test set was 0.961, which decreased by only 2.4% and 0.1% compared to the training and validation sets, respectively, indicating that the T2FNNs prediction model has strong generalization ability. In comparison with other prediction models, the T2FNNs prediction model also showed better performance characteristics.

1. 引言

柴油机具有热效率高、燃油经济好等优点，被广泛应用于道路运输和工程机械中[1]-[3]。但柴油机的广泛使用带来的NOx污染物排放对生态环境造成了极大的危害，已成为限制柴油机发展的主要因素，急需重点解决[4] [5]。为有效减少柴油机NOx排放，大多数厂商基本都采用机内净化 + 机外后处理的技术路线[6] [7]，其中准确预测柴油机的NOx排放特性不仅对柴油机的设计优化具有指导作用，也是后处理系统控制和诊断的基础[8] [9]。目前柴油机NOx排放特性的预测方法主要集中在三个方面：(1) 基于传感器的直接测量方法；(2) 基于MAP图的映射方法；(3) 基于物理化学机理的预测方法。对于传感器直接测量的方式，在实际测试过程中会存在价格昂贵，信号漂移等问题，而且NOx传感器对NH₃还存在交叉敏感特性，导致NOx传感器预测准确性降低[10] [11]。基于MAP图映射的方法多是基于台架测试数据去进行拟合，需要消耗大量的时间去进行标定以提高模型的准确性，同时MAP图多是基于稳态工况点进行线性拟合而成，因此在瞬态工况下其预测精度难以保证[12]。而基于物理化学机理的排放特性预测方法则涉及到复杂的物理化学反应路径先验知识与经验，并且模型的部分参数无法获得，导致该方法非常耗时且计算成本较高[13]，因此探索新的高精度低成本的柴油机排放特性预测方法显得极为重要。

对比以上方法，机器学习技术由于其计算时间相对较短，费用成本低，预测精度高，鲁棒性好等众多优点越发受到相关研究者的青睐，被广泛应用于汽车的各个方面[14]-[16]。在柴油机排放预测领域，各种机器学习方法被国内外研究学者大量研究。R. Rahimi等人[17]基于小波神经网络建立了柴油机性能预测模型，并研究了柴油纳米颗粒添加剂对柴油机排放的影响。Masoud等人[18]则利用支持向量机算法建立了面向控制的柴油机NOx排放和平均有效压力预测模型，并取得了较好的试验结果。Joseba等人[19]则将热力学柴油机仿真模型和人工神经网络预测模型进行了对比，结果表明ANN在保证高预测精度的同时其计算时间更短。然而柴油机的实际运行工况呈现多变复杂的特征，其排放特性会受到历史工况的影响，是典型的时序预测问题。因此研究针对瞬态工况的性能预测方法显得更加适应实际应用需求。

鉴于此，本文提出基于二型模糊神经网络(Type-2 Fuzzy Neural Networks, T2FNNs)建立柴油机NOx排放预测模型。T2FNNs结合了基于人工经验的模糊推理能力、二型模糊逻辑系统对不确定性建模的处理能力和神经网络的并行自学习能力[20] [21]，T2FNNs在文献[22]中已被证明对非线性函数的万能逼近能力，并成功地应用于不同领域[23]-[28]。为了满足柴油机NOx排放建模预测的要求，本文提出的T2FNNs从以下几个方面解决了二型模糊逻辑系统在建模预测方面的应用问题：(1) T2FNNs中模糊规则的个数取决于每个输入变量设计的二型模糊集合的个数，从而减少了模糊规则。此外，T2FNNs的模糊规则是由训练算法学习调整的，而不是由人工经验指定的；(2) 采用区间二型模糊集合降低了模型的复杂度和计算时间；(3) 在T2FNNs中引入NT降型法，避免了KM方法的迭代过程，加快了学习速度。因此，这些工作使得提出的T2FNNs在柴油机NOx排放建模方面具有很大的优势。基于随机森林算法对模型输入参数进行选择，并利用稳态和瞬态循环的试验数据对T2FNNs预测模型进行训练、验证和测试，最后通过多个模型评价指标以及与其他模型的对比结果对T2FNNs预测模型进行综合优化和评价，得出T2FNNs预测模型能够很好地应用于柴油机NOx排放预测。

2. 实验设备及方法

试验采用的是一台2.0 L，直列4缸，带涡轮增压的柴油发动机，其使用的燃油均为低含硫量(<10 ppm)商用柴油。其发动机详细参数如表1所示。

Table 1. Parameters of engine

表1. 发动机技术参数

参数	数值
气缸数	4
缸径/mm	104.2
活塞行程/mm	103.4
排量/L	2.0
压缩比	17.5:1
标定功率/kW	85 (2800 r·min^−^1)
最大扭矩/(N·m)	300 (2000 r·min^−1)
燃油喷射压力/MPa	180

Figure 1. Schematic diagram of diesel engine bench

图1. 柴油机台架示意图

发动机试验台架则如图1所示。发动机飞轮端与AVL电力测功机相连，由测功机控制平台控制发动机运转工况，并基于相关法规的试验规定进行了世界统一稳态循环(World Harmonized steady Cycle, WHSC)和世界统一瞬态循环(World Harmonized Transient Cycle, WHTC)以用于研究和建模。在试验过程中，数据采集系统将逐秒采集发动机的状态参数，包括转速、扭矩、燃油消耗量、进气流量、进气压力、进气温度、水温、机油压力、机油温度9个参数。AVL AMA i60排放测试系统则会同步测量NOx排放。

3. 数据预处理

3.1. 随机森林算法

在测试运行过程中，发动机将会产生众多的实时状态参数，而这些参数中包含了无用和对排放特性影响较小的冗余特征。因此有必要进行相应的参数选择以降低输入维度和避免冗余参数影响预测准确性，同时还能减少模型的运行时间，增加模型的可解释性。

作为基于集成学习的算法，随机森林是一种由众多决策树构成的集成学习模型，其核心就是利用群体智慧得到最终结果并在预测的同时给出输入变量的重要性评分[29] [30]。相比于其他方法，随机森林对异常值和噪音具有较强的鲁棒性且不需要进行特别的超参数设置。

随机森林进行参数选择的工作原理如图2所示。

Figure 2. Parameter selection based on random forest

图2. 基于随机森林的参数选择

每个决策树都会从原始训练集有放回的重复抽取i个样本数据以生成新的样本子集并将其作为每个决策树的输入数据集。同时在每个决策树的节点随机选择j个输入变量，然后从这j个变量中选择出能够使分枝后节点“不纯度”最小(即最具有回归能力)的变量作为分支变量进行节点分裂。分裂后的节点则不断重复以上过程直到树节点到达设置值。每个决策树都将按照这一准则使用不同样本子集进行生长，最终随机森林算法将组合所有决策树的结果并取其平均值作为最后的预测值，其如式1所示。

$y_{predict}^{RF}=\frac{1}{k}{\displaystyle \sum _{k=1}^k{y}_{predict}^k}$ (1)

式中：$y_{predict}^{RF}$ 表示随机森林的最终预测结果，$y_{predict}^k$ 表示第k棵决策树的预测结果，k表示决策树数量。

在完成决策树的生成过程后，使用未被选择的数据计算每棵决策树的预测误差。然后随机选择决策树中的输入变量并利用随机数对其值进行替换，使用替换后的样本数据再次计算对应的预测误差。最后将每棵树的两个错误率进行相减并且取其平均值即可得到该变量对输出的重要性，其如式2所示。若变量重要性较大，则在被置换后会对随机森林造成较大的预测错误率，而重要性较小的变量则不会影响随机森林的预测能力。

$VI{M}_j=\frac{1}{k}{\displaystyle \sum _{k=1}^k\left|er{r}_{OO{B}_1}^k-er{r}_{OO{B}_2}^k\right|}$ (2)

式中：$VI{M}_j$ 表示第j个输入变量的重要性，$er{r}_{OO{B}_1}^k$ 和$er{r}_{OO{B}_2}^k$ 则分别表示某变量值被替换前后的决策树预测误差。

3.2. 基于随机森林的输入参数选择

基于WHTC循环试验数据和随机森林算法对每个输入参数的重要性进行分析，其如图3所示。与温度相关的变量(进气温度、机油温度和冷却水温度)对NOx形成影响相对较小，但进气压力和进气流量对NOx的影响最大，这主要是与NOx生成机理中的进气富氧有关。

Figure 3. The proportion of importance of input parameters to NOx emissions

图3. 输入参数对NOx排放重要性占比

因此，为了有效减少模型的计算量，降低模型输入数据维度，基于重要性占比分布将重要性较高的6个变量作为最终的输入参数，分别是进气压力、进气流量、扭矩、转速、机油压力、燃油消耗量。

3.3. 数据归一化

为了避免模型输入参数论域范围对模型预测精度造成影响，所有数据都需进行归一化处理，使得所有输入变量均归一化到[0, 1]区间范围内，归一化后的数据如式3所示。

$x_{norm}=\frac{x-x_{\min }}{x_{\max }-x_{\min }}$ (3)

式中：$x_{norm}$ 表示归一化后的数据，x表示原始数据，$x_{\min }$ 和$x_{\max }$ 分别表示在所有样本中变量的最小值和最大值。

4. 基于二型模糊神经网络的柴油机排放特性预测模型

4.1. 二型模糊神经网络结构

本文中采用T2FNNs模型来建立柴油机NOx排放预测模型，它能够有效地处理建模的不确定性。柴油机NOx排放预测的动态特性可以用如下非线性外生输入自回归(Nonlinear AutoRegressive with eXogenous, NARX)模型来表示：

$\begin{array}{l}{r}_{out}\left(k\right)=ℱ\left[\theta \left(k-1\right)\right]+\zeta \left(k\right)\\ \theta \left(k-1\right)={\left[r_{out}\left(k-1\right),\cdots ,r_{out}\left(k-n_r\right),r_{in}\left(k-1\right),\cdots ,r_{in}\left(k-n_d\right)\right]}^T\end{array}$ (4)

式中：$n_r$ 是$r_{out}\left(k\right)$ 的阶次；$n_d$ 是$r_{in}\left(k\right)$ 的阶次；$\theta \left(k-1\right)\in R^n,n=n_r+n_d$ 是相关输入的向量；$ℱ[\cdot ]:R^n\to R$ 是柴油机NOx排放预测非线性函数；$\zeta \left(k\right)\in R$ 是零均值白噪声。

本文采用五层的T2FNNs来逼近$ℱ[\cdot ]$ 。T2FNNs的结构如图4所示。网络的输入向量是$X=\left[x_1,\cdots ,x_n\right]=\theta \left(k-1\right)\in R^n$ 。因此，柴油机NOx排放预测可以If-Then规则表示：

$\text{Rule}i:\text{IF}{x}_1\text{is}{\tilde{F}}_1^i\text{AND}\cdots \text{AND}{x}_n\text{is}{\tilde{F}}_n^i,\text{THEN}{\widehat{r}}_{out}\left(k\right)\text{is}{\widehat{r}}_{out}^i\left(k\right)$ (5)

Figure 4. Structure of T2FNNs

图4. T2FNNs结构

第一层：该层执行模糊化操作。在第一层中有$n\times M$ 节点，它们作为前件部分。对于每个清晰的输入变量$x_j,j=1,\cdots ,n$ ，高斯区间二型模糊集IT2FSs ${\tilde{F}}_j^i,i=1,\cdots ,M$ ，其均值$m_j^i$ ，标准差${\tilde{\sigma }}_j^i$ ，如图5所示。

Figure 5. Gaussian interval type-2 fuzzy sets

图5. 高斯区间二型模糊集

模糊隶属度的计算方法如下：

$\begin{array}{l}{\mu }_{{\tilde{F}}_j^i}\left(x_j\right)=\text{exp}\left[-\frac{1}{2}\frac{{\left(x_j-m_j^i\right)}^2}{{\left({\tilde{\sigma }}_j^i\right)}^2}\right]\\ {\tilde{\sigma }}_j^i=\left[{\sigma }_j^i-{\delta }_j^i,{\sigma }_j^i+{\delta }_j^i\right]\end{array}$ (6)

区间二型模糊集${\tilde{F}}_j^i$ 的不确定域(FOU)能够表示为下隶属度函数(LMF) ${\underset{\_}{\mu }}_{{\tilde{F}}_j^i}$ 和上隶属度函数(UMF) ${\overline{\mu }}_{{\tilde{F}}_j^i}$ 组成的有界区间，LMF和UMF的表达式如下：

$\{\begin{array}{l}{\underset{\_}{\mu }}_{{\tilde{F}}_j^i}\left(x_j\right)=\text{LMF}\left({\tilde{F}}_j^i\right)=\text{exp}\left[-\frac{1}{2}\frac{{\left(x_j-m_j^i\right)}^2}{{\left({\sigma }_j^i-{\delta }_j^i\right)}^2}\right]\\ {\overline{\mu }}_{{\tilde{F}}_j^i}\left(x_j\right)=\text{UMF}\left({\tilde{F}}_j^i\right)=\text{exp}\left[-\frac{1}{2}\frac{{\left(x_j-m_j^i\right)}^2}{{\left({\sigma }_j^i+{\delta }_j^i\right)}^2}\right]\end{array}$ (7)

第二层：该层执行区间二型模糊集的交运算。第二层有M个节点。该层中的每个节点表示一条规则的激活强度$F^i,i=1,\cdots ,M$ 。规则的激活强度$F^i$ 可以用以下表达式计算。

$\{\begin{array}{l}{F}^i=\left[{\underset{\_}{f}}^i,{\overline{f}}^i\right]\\ {\underset{\_}{f}}^i={\underset{\_}{\mu }}_{{\tilde{F}}_1^i}\left(x_1\right)\star \cdots \star {\underset{\_}{\mu }}_{{\tilde{F}}_n^i}\left(x_n\right)\\ {\overline{f}}^i={\overline{\mu }}_{{\tilde{F}}_1^i}\left(x_1\right)\star \cdots \star {\overline{\mu }}_{{\tilde{F}}_n^i}\left(x_n\right)\end{array}$ (8)

式中：$\star$ 是t范式；${\underset{\_}{f}}^i$ 是下激活强度；${\overline{f}}^i$ 是上激活强度。

t范式可以采用最小t-范式和乘积t-范式，本文采用乘积t-范式，可以表示为：

$\{\begin{array}{l}{\underset{\_}{f}}^i={\underset{\_}{\mu }}_{{\tilde{F}}_1^i}\left(x_1\right)\times \cdots \times {\underset{\_}{\mu }}_{{\tilde{F}}_n^i}\left(x_n\right)\\ {\overline{f}}^i={\overline{\mu }}_{{\tilde{F}}_1^i}\left(x_1\right)\times \cdots \times {\overline{\mu }}_{{\tilde{F}}_n^i}\left(x_n\right)\end{array}$ (9)

第三层：该层为T2FNNs模型的后件。该层有M个节点。其中的第i个节点采用ARX多项式${\widehat{r}}_{out}^i\left(k\right),i=1,\cdots ,M$ ，可以用以下形式表示：

${\widehat{r}}_{out}^i\left(k\right)=\text{}{\widehat{A}}^i\left(z^{-1}\right)r_{out}\left(k-1\right)+{\widehat{D}}^i\left(z^{-1}\right)r_{in}\left(k-1\right)$ (10)

式中：${\widehat{A}}^i\left(z^{-1}\right)$ 和${\widehat{D}}^i\left(z^{-1}\right)$ 为多项式系数，定义如下：

$\{\begin{array}{l}{\widehat{A}}^i\left(z^{-1}\right)={\widehat{a}}_l^i+{\widehat{a}}_2^i{z}^{-1}+\cdots +{\widehat{a}}_{n_r}^i{z}^{-\left(n_r-1\right)}\\ {\widehat{D}}^i\left(z^{-1}\right)={\widehat{d}}_1^i+{\widehat{d}}_2^i{z}^{-1}+\cdots +{\widehat{d}}_{n_d}^i{z}^{-\left(n_d-1\right)}\end{array}$ (11)

第四层：该层采用模糊降型TR运算。为了避免KM降型方法的迭代过程，降低计算复杂程度，本文采用NT降型方法。第四层包含M个节点。因此，一条规则的TR操作通过计算${\underset{\_}{f}}^i$ 和${\overline{f}}^i$ 的平均值来实现，即，

$f^i=\frac{1}{2}\left({\underset{\_}{f}}^i+{\overline{f}}^i\right)$ (12)

第四层中每个节点的输出${\omega }^i$ 表示第i规则的归一化激活强度：

${\omega }^i=\frac{f^i}{{\displaystyle \sum _{i=1}^M{f}^i}}=\frac{{\overline{f}}^i+{\underset{\_}{f}}^i}{{\displaystyle \sum _{i=1}^M\left({\overline{f}}^i+{\underset{\_}{f}}^i\right)}}$ (13)

由式(12)和式(13)可以看出NT降型方法由${\underset{\_}{f}}^i$ 和${\overline{f}}^i$ 的均值计算得到。相比于KM降型方法，NT降型方法不再需要通过迭代过程来确定要使用哪个上激活强度和下激活强度，模糊降型的计算成本会大大降低。另一个优点是NT降型方法是一个封闭形式的表达式。这一性质可以方便地导出T2FNNs中参数的训练优化算法，而不必考虑KM迭代过程引起的规则排序问题。

第五层：该层执行解模糊操作。第五层只有一个节点，连接着第三层和第四层的输出。柴油机NOx排放预测模型的解模糊输出是：

${\widehat{r}}_{out}\left(k\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^M{\omega }^i}{\widehat{r}}_{out}^i\left(k\right)$ (14)

在介绍了所提出的T2FNNs的结构之后，下一部分需要进行的工作是推导前件参数和后件参数的训练寻优算法。通过参数的迭代寻优，柴油机NOx排放预测模型的最优参数可以得到获得。

4.2. 基于梯度下降法的前件参数更新

为了推导T2FNNs前件可调参数$m_j^i$ ，${\sigma }_j^i$ 和${\delta }_j^i$ 的梯度下降学习算法，参数训练成本函数$ϵ\left(k\right)$ 定义如下：

$ϵ\left(k\right)=\frac{1}{2}\epsilon {\left(k\right)}^2=\frac{1}{2}{\left(r_{out}\left(k\right)-{\widehat{r}}_{out}\left(k\right)\right)}^2$ (15)

式中：$r_{out}\left(k\right)$ 是实时测量的柴油机出口NOx排放浓度；${\widehat{r}}_{out}\left(k\right)$ 是T2FNNs模型预测的柴油机NOx排放浓度；$\epsilon \left(k\right)$ 是建模误差，$\epsilon \left(k\right)=r_{out}\left(k\right)-{\widehat{r}}_{out}\left(k\right)$ 。

采用梯度下降法对前件可调参数进行递归更新，$m_j^i$ ，${\sigma }_j^i$ 和${\delta }_j^i$ 的递归更新算法推导如下：

$\begin{array}{l}{m}_j^i\left(k+1\right)=m_j^i\left(k\right)-\eta \frac{\partial ϵ\left(k\right)}{\partial m_j^i\left(k\right)}=m_j^i\left(k\right)+\eta \epsilon \left(k\right)\frac{\partial {\widehat{r}}_{out}\left(k\right)}{\partial m_j^i\left(k\right)}\\ {\sigma }_j^i\left(k+1\right)={\sigma }_j^i\left(k\right)-\eta \frac{\partial ϵ\left(k\right)}{\partial {\sigma }_j^i\left(k\right)}={\sigma }_j^i\left(k\right)+\eta \epsilon \left(k\right)\frac{\partial {\widehat{r}}_{out}\left(k\right)}{\partial {\sigma }_j^i\left(k\right)}\\ {\delta }_j^i\left(k+1\right)={\delta }_j^i\left(k\right)-\eta \frac{\partial ϵ\left(k\right)}{\partial {\delta }_j^i\left(k\right)}={\delta }_j^i\left(k\right)+\eta \epsilon \left(k\right)\frac{\partial {\widehat{r}}_{out}\left(k\right)}{\partial {\delta }_j^i\left(k\right)}\end{array}$ (16)

式中：$\eta$ 是正向的学习率。式(16)中的导数项$\partial {\widehat{r}}_{out}\left(k\right)/\partial m_j^i\left(k\right)$ ，$\partial {\widehat{r}}_{out}\left(k\right)/\partial {\sigma }_j^i\left(k\right)$ 和$\partial {\widehat{r}}_{out}\left(k\right)/\partial {\delta }_j^i\left(k\right)$ 采用链式法则推导。

学习率$\eta$ 采用如下的形式：

$\begin{array}{l}\eta =\frac{\beta }{{\displaystyle \sum _{j=1}^n\text{}}{\displaystyle \sum _{i=1}^M\text{}}\left[{\left(\frac{\partial {\widehat{r}}_{out}\left(k\right)}{\partial m_j^i\left(k\right)}\right)}^2+{\left(\frac{\partial {\widehat{r}}_{out}\left(k\right)}{\partial {\sigma }_j^i\left(k\right)}\right)}^2+{\left(\frac{\partial {\widehat{r}}_{out}\left(k\right)}{\partial {\delta }_j^i\left(k\right)}\right)}^2\right]}\\ 0<\beta <2\end{array}$ (17)

4.3. 基于递推最小二乘的后件参数更新

为了推导T2FNNs后件可调参数的递推最小二乘更新算法，${\widehat{r}}_{out}\left(k\right)$ 可以重写为如下的参数向量$\Theta \left(k\right)$ 与后件未辨识向量$\Gamma \left(k\right)$ 的乘积形式：

${\widehat{r}}_{out}\left(k\right)={\Theta }^{\text{T}}\left(k\right)\Gamma \left(k\right)$ (18)

式中：

$\begin{array}{l}\Theta \left(k\right)={\left[{\Theta }^1\left(k\right),{\Theta }^2\left(k\right),\cdots ,{\Theta }^M\left(k\right)\right]}^{\text{T}}\in R^{nM\times 1}\\ \Gamma \left(k\right)={\left[{\gamma }^1\left(k\right),{\gamma }^2\left(k\right),\cdots ,{\gamma }^M\left(k\right)\right]}^{\text{T}}\in R^{nM\times 1}\\ {\Theta }^i\left(k\right)={\omega }^i\left(k\right)\theta {\left(k-1\right)}^{\text{T}}\in R^{1\times n}\\ {\gamma }^i\left(k\right)=\left[{\widehat{a}}_1^i,\cdots ,{\widehat{a}}_{n_r}^i,{\widehat{d}}_1^i,\cdots ,{\widehat{d}}_{n_d}^i\right]\in R^{1\times n}\end{array}$

后件未辨识向量$\Gamma \left(k\right)$ 可用如下推导的递推最小二乘更新：

$\begin{array}{l}\Gamma \left(k\right)=\Gamma \left(k-1\right)+K\left(k\right)\left[r_{out}\left(k\right)-{\Theta }^{\text{T}}\left(k\right)\Gamma \left(k-1\right)\right]\\ K\left(k\right)=\frac{P\left(k-1\right)\Theta \left(k\right)}{1+{\Theta }^{\text{T}}\left(k\right)P\left(k-1\right)\Theta \left(k\right)}\\ P\left(k\right)=\left[I-K\left(k\right){\Theta }^{\text{T}}\left(k\right)\right]P\left(k-1\right)\end{array}$ (19)

式中：$P\left(k\right)$ 是协方差矩阵；$K\left(k\right)$ 是增益矩阵。

5. 仿真结果分析与讨论

5.1. T2FNNs预测结果分析

基于T2FNNs的预测模型其预测结果和回归分析分别如图6和图7所示。在训练集上T2FNNs预测模型的预测值与真实值具有较好吻合性。NOx排放的均方根误差RMSE为23.35 ppm，绝对误差MAE为15.61 ppm，证明在训练过程中T2FNNs预测模型已经较好的掌握到了输入输出之间的映射关系。在验证集上，NOx排放的均方根误差RMSE为36.19 ppm，绝对误差MAE为22.38 ppm。不管是在训练集还是验证集上，T2FNNs预测模型均保持了较高的回归决定系数，其训练集和验证集的R²分别为0.985和0.962。总体来说T2FNNs预测模型具有较高的非线性拟合能力，能够较好预测柴油机排放特性。

Figure 6. Prediction results of T2FNNs on training set and validation set

图6. T2FNNs预测模型训练集和验证集预测结果

为了评估T2FNNs预测模型的泛化能力，测试模型在面对未知数据输入时的预测性能，本文基于训练后的T2FNNs预测模型对WHSC循环下的柴油机NOx排放特性进行了预测，其结果如图8所示。在WHSC循环中，NOx排放的均方根误差RMSE为31.12 ppm，绝对误差MAE则分别为20.21 ppm，表明模型在测试集上仍保持着较高的预测精度，但也存在部分误差较大的点。尽管预测精度有所下降，但其R²分别为0.932，相比于训练集和验证集仅下降了5.9%和4.4%，说明T2FNNs预测模型面对未知输入时能够很好的进行相关预测，具有较好的泛化能力和鲁棒性。

Figure 7. Regression analysis and prediction error of T2FNNs prediction model

图7. T2FNNs预测模型回归分析及预测误差

Figure 8. T2FNNs prediction model predictions corresponding to the WHSC test set

图8. WHSC测试集对应的T2FNNs预测模型预测值

5.2. T2FNNs预测模型与各算法比较

(a) R²

(b) RMSE

(c) MAE

Figure 9. Comparison between T2FNNs prediction model and other algorithm models

图9. T2FNNs预测模型与其他算法模型的对比

除了在WHSC循环上验证模型的泛化性以外，本文还基于文献建立了BP神经网络和RNN循环神经网络排放预测模型并与T2FNNs预测模型进行了对比。其中BP和RNN模型的相关超参数均由粒子群优化算法进行了寻优以保证所有模型均拥有最优性能。基于WHTC循环数据对三种模型进行了训练和验证。验证集的预测误差如图9所示。BP神经网络由于没有时序记忆能力，无法捕捉到过去历史信息带来的影响，所以RMSE和MAE均相对较高而R²相对较低。T2FNNs预测模型的R²远高于RNN，且RMSE和MAE更低。

6. 结论

(1) 基于随机森林对柴油机各个状态变量进行重要性计算，分析了各状态变量对T2FNNs预测模型的影响程度，并确定了NOx预测模型的输入变量。

(2) 本文提出的T2FNNs预测模型结合了人工经验的模糊推理能力、二型模糊逻辑系统对不确定性建模的处理能力和神经网络的并行自学习能力。在柴油车NOx排放预测中实现了较高的预测精度。

(3) 基于WHSC循环测试集对T2FNNs预测模型进行了泛化性验证，并与BP神经网络和RNN循环神经网络预测模型进行了对比。在面对测试集未知输入时T2FNNs预测模型表现出了较好的预测能力，其R²值为0.961，相较于训练集和验证集仅分别下降了2.3%和0.1%。并且在三种模型对比中T2FNNs模型表现出了更好的预测性能。

基金项目

1、中汽中心青年科技优秀人才项目(2325631800)；2、先进内燃动力全国重点实验室重点开放课题(K2024-02)；3、天津检验中心科研项目(TJKY2324001，TJKY2426004，TJKY2425021)。