一个n分支$\mu$-Camassa-Holm系统解的局部适定性和爆破现象研究

Local Well-Posedness and Blow-Up Phenomena of Solutions of a n-Component $\mu$-Camassa-Holm System

摘要: 首先利用Kato理论，研究了一个具有多尖峰孤子解和满足$H^1$ 守恒的n分支$\mu$ -Camassa-Holm系统Cauchy问题解的局部适定性；然后利用守恒律和能量估计，研究了该系统解的爆破现象。

Abstract: By utilizing Kato theory, this paper first establishes the local well-posedness of the solutions of the Cauchy problem of a n-component $\mu$ -Camassa-Holm system with multi-peakons and $H^1$ -conservation law. Then, the blow-up phenomena of the solutions is studied by means of conservation law and energy estimations.

1. 引言

非线性发展方程是数学学科领域内重要研究分支之一，它是描述动力学的形态随时间而改变的非线性偏微分方程的总称，在流体力学、热传导、量子力学等方面具有重要应用，对于大部分非线性发展方程而言，得到它的精确解是非常困难的，因而可以研究其Cauchy问题解的若干定性性质，从而对其他学科的研究提供理论支持。本文主要考虑具有如下形式的n分支$\mu$ -Camassa-Holm系统Cauchy问题

$\{\begin{array}{l}{m}_{i,t}+2m_i{u}_{i,x}+m_{i,x}{u}_i+{\left(m_i{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{u}_j}\right)}_x+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{m}_j{u}_{j,x}}=0,\\ u_i\left(0,x\right)=u_{i,0}\left(x\right),x\in S,\end{array}$ (1.1)

解的局部适定性以及爆破现象，其中$m_i=\mu \left(u_i\right)-u_{i,xx}$ ，$\mu \left(u_i\right)={\displaystyle {\int }_S{u}_i\left(t,x\right)\text{d}x}$ ，$i=1,2,\cdots ,n$ ，$S=R/Z\cong \left(0,1\right)$ ，问题(1.1)中的系统是由李颖颖和闫璐[1]提出来的，该系统具有以弱解形式存在的多尖峰孤子解并且满足$H^1$ 守恒：

$E\left[{\left(u_i\right)}_{i=1}^n\right]=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_S\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}^2}\right)\text{d}x}$ 。

当$n=1$ 时，问题(1.1)中的系统可简化为$\mu$ -Camassa-Holm ($\mu$ -CH)方程

$m_t+u{m}_x+2u_{x}m=0$ ，$m=\mu \left(u\right)-u_{xx}$ ，$x\in S$ ， (1.2)

方程(1.2)是由Khesin，Lenells和Misiołek在文献[2]中提出来的，可作为描述具有自作用和外磁场作用的向列液晶的转子的演化模型。对于该方程Cauchy问题解的适定性、尖峰孤子解的存在性以及解的爆破现象等问题的讨论，具体可见文献[3] [4]。

当$n=2$ 时，问题(1.1)中的系统可简化为具有如下形式的两分支$\mu$ -Camassa-Holm ($\mu$ -CH)系统

$\{\begin{array}{l}{m}_t+2m{u}_x+m_{x}u+{\left(mv\right)}_x+n{v}_x=0,\text{}m=\mu \left(u\right)-u_{xx},x\in S,\\ n_t+2n{v}_x+n_{x}v+{\left(nu\right)}_x+m{u}_x=0,n=\mu \left(v\right)-v_{xx},\end{array}$ (1.3)

该系统是由李颖颖，付英和屈长征[5]在满足$H^1$ 守恒和具有多尖峰孤子解的前提下，对带有$\mu$ 形式且具有二次非线性的两分量CH型系统进行分类得到的，进一步他们还研究了系统(1.3) Cauchy问题解的局部适定性以及爆破现象。

解的爆破现象[6] (在有限时间段内，解本身是有界的，但解关于空间变量的导数是无界的)是CH型方程以及$\mu$ -CH型方程区别于著名的浅水波方程KdV方程最大的不同点之一。近二十年来，关于这两类方程解的爆破性质研究，已经取得非常丰富的成果，除了上述提到的$\mu$ -CH方程和两分支$\mu$ -CH系统，还有CH方程[6]-[8]，Novikov方程[9]，修正的CH方程[10] [11]，修正的$\mu$ -CH方程[12]，$\mu$ -Degasperis-Procesi方程[3]等，这些方程解的爆破现象都被不同学者进行了详细研究。本文所讨论的是一个n分支$\mu$ -Camassa-Holm系统，它的研究还处于初级阶段，与以往所研究的方程结构不同，它本身具有n ($n\ge 2$ )个分支，所以在讨论解的爆破性质时，需要考虑这n个分支之间的相互作用，这无疑给研究解的爆破性质带来了很大困难。另外它也是一个带有$\mu$ 形式的方程，是一种具有退化形式的方程即将算子$\left(1-{\partial }_x^2\right)u$ 退化为$\left(\mu -{\partial }_x^2\right)u$ ，因此对于该类型方程解的爆破性质的研究与非退化形式有很大的不同。本文首先利用Kato理论[13]研究问题(1.1)解的局部适定性，然后以解的局部适定性为基础，分别给出解在Sobolev空间中的爆破图景，爆破准则以及爆破结果。

本文结构如下：第二部分介绍了证明问题(1.1)解的爆破现象的一些引理；第三部分，利用Kato理论证明了该问题解的局部适定性；第四部分，依次给出了解的爆破图景、爆破准则以及爆破结果。

符号说明：本文考虑的所有函数的定义域都为$S$ ，其中$S=R/Z\cong \left(0,1\right)$ ，为了简便，在函数空间的标记中省略$S$ 。另外，${\left(\cdot |\cdot \right)}_s$ 表示空间$H^s\left(S\right)$ 中的内积运算，$s\in R^{+}$ 。且记$\Lambda =1-{\partial }_x^2$ ，${\rm A}=\mu -{\partial }_x^2$ 。

2. 预备知识

首先，为了估算方便，上述问题(1.1)可以化为如下非局部形式

$\{\begin{array}{l}{u}_{i,t}+{\displaystyle \sum _{j=1}^n{u}_j{u}_{i,x}}={\displaystyle \sum _{j\ne i}^n\mu \left(u_{i,x}{u}_j\right)}-{\partial }_x{{\rm A}}^{-1}[\mu \left(u_i\right)\left(2u_i+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{u}_j}\right)\\ +{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n\mu \left(u_j\right)u_j}+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{u}_{i,x}{u}_{j,x}}+\frac{1}{2}{u}_{i,x}^2-\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{u}_{j,x}^2}]\\ u_i\left(0,x\right)=u_{i,0}\left(x\right),x\in S,\end{array}$ (2.1)

其中$i=1,2,\cdots ,n$ 。

接下来介绍证明问题(2.1)爆破图景、爆破准则以及爆破结果所需要的一些引理。

引理2.1 [6] 如果$f\in H^3$ 且${\displaystyle {\int }_{S}f\left(x\right)\text{d}x}=\frac{a_0}{2}$ ，则对任意的$\epsilon >0$ ，有

$\underset{x\in S}{\max }{f}^2\left(x\right)\le \frac{\epsilon +2}{24}{\displaystyle {\int }_S{f}_x^2\left(x\right)\text{d}x}+\frac{\epsilon +2}{4\epsilon }{a}_0^2$ 。

注2.1：由于$H^3$ 连续稠密地嵌入$H^1$ ，上述引理对于任意的$f\in H^1$ 也成立。此外，如果${\displaystyle {\int }_{S}f\left(x\right)\text{d}x}=0$ ，则有

$\underset{x\in S}{\max }{f}^2\left(x\right)\le \frac{1}{12}{\displaystyle {\int }_S{f}_x^2\left(x\right)\text{d}x},f\in H^1$ 。

引理2.2 [7] 令$T>0$ ，$u\in C^1\left(\left[0,T\right);H^2\right)$ ，则对任意的$t\in \left[0,T\right)$ ，至少存在一点$\xi \left(t\right)\in S$ 使得

$\omega \left(t\right):=\underset{x\in S}{\inf }{u}_x\left(t,x\right)=u_x\left(t,\xi \left(t\right)\right)$ 。

此外，$\omega \left(t\right)$ 在$\left(0,T\right)$ 是绝对连续函数，并且有

$\frac{\text{d}\omega }{\text{d}t}=u_{xt}\left(t,\xi \left(t\right)\right),a.e.t\in \left(0,T\right)$ 。

引理2.3 [14] 若$r>0$ ，则$H^r\cap L^{\infty }$ 是一个代数，且存在一个仅依赖于r的常数C有

${\Vert f\text{}g\Vert }_{H^r}\le C\left({\Vert f\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert g\Vert }_{H^r}+{\Vert f\Vert }_{H^r}{\Vert g\Vert }_{L^{\infty }}\right)$ 。

引理2.4 [15] 若$r>0$ ，则存在一个仅依赖于r的常数C有

${\Vert \left[{\Lambda }^r,f\right]g\Vert }_{L^2}\le C\left({\Vert {\partial }_{x}f\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\Lambda }^{r-1}g\Vert }_{L^2}+{\Vert {\Lambda }^{r}f\Vert }_{L^2}{\Vert g\Vert }_{L^{\infty }}\right)$ 。

引理2.5 [16] 设$1\le q\le r\le p\le \infty$ ，且$\theta \in \left[0,1\right]$ 满足$\frac{1}{r}=\frac{\theta }{q}+\frac{1-\theta }{p}$ ，则对任意的$u\in L^p\left(\Omega \right)\cap L^q\left(\Omega \right)$ 有

${\Vert u\Vert }_{L^r\left(\Omega \right)}\le {\Vert u\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}^{\theta }{\Vert u\Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}^{1-\theta }$ 。

最后，证明n分支$\mu$ -Camassa-Holm 系统的一些先验估计。

由于该系统具有多尖峰孤子解以及满足$H^1$ 守恒，通过计算可知，$\mu \left(u_i\right)$ ，${\displaystyle {\int }_S{u}_{i,x}^2\left(t,x\right)\text{d}x}$ 在时间上守恒，则有

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\mu \left(u_i\right)=0$ ，

为了书写方便，记

${\mu }_{i,0}:=\mu \left(u_{i,0}\right)=\mu \left(u_i\right)$ ，${\mu }_{i,1}:={\left({\displaystyle {\int }_S{u}_{i,x}^2}\left(0,x\right)\text{d}x\right)}^{\frac{1}{2}}$ ，

其中$i=1,2,\cdots ,n$ 。

此外，利用引理2.1可得

$\underset{x\in S}{\max }{\left[u_i\left(t,x\right)-{\mu }_{i,0}\right]}^2\le \frac{1}{12}{\displaystyle {\int }_S{u}_{i,x}^2}\left(t,x\right)\text{d}x=\frac{1}{12}{\displaystyle {\int }_S{u}_{i,x}^2}\left(0,x\right)\text{d}x=\frac{1}{12}{\mu }_{i,1}^2$ ，

进一步有

${\Vert u_i\left(t,x\right)-{\mu }_{i,0}\Vert }_{L^{\infty }}\le \frac{\sqrt{3}}{6}{\mu }_{i,1}$ ， (2.2)

其中$i=1,2,\cdots ,n$ 。

算子${\rm A}=\mu -{\partial }_x^2$ 为$H^s$ 到$H^{s-2}$ 的同构映射，具有如下性质：

${\partial }_x{{\rm A}}^{-1}f\left(x\right)=\left(x-\frac{1}{2}\right){\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_0^{x}f\left(y\right)\text{d}y}+{\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle {\int }_0^{x}f\left(y\right)\text{d}y\text{d}x}}$ ，

${\partial }_x^2{{\rm A}}^{-1}f\left(x\right)=-f\left(x\right)+{\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\text{d}x}$ ， (2.3)

且有如下估计

$\begin{array}{l}{\Vert {\partial }_x{{\rm A}}^{-1}u\Vert }_{H^s}\le {\Vert {\partial }_x{{\rm A}}^{-1}u\Vert }_{L^2}+{\Vert {\partial }_x{{\rm A}}^{-1}{\partial }_{x}u\Vert }_{H^{s-1}}\\ \le C{\Vert u\Vert }_{L^2}+{\Vert -u+{\displaystyle {\int }_{S}u\text{d}x}\Vert }_{H^{s-1}}\\ \le C{\Vert u\Vert }_{H^{s-1}},\end{array}$ (2.4)

其中$C>0$ 为常数。

为了书写方便，以下证明中出现的i，如若没有特殊说明，均有$i=1,2,\cdots ,n$ 。

3. 解的局部适定性

在这一部分主要利用Kato理论[13]研究问题(2.1)解在Sobolev空间中的局部适定性，定理如下：

定理3.1 假设初值$z_0={\left(u_{1,0},u_{2,0},\cdots ,u_{n,0}\right)}^{\prime }\in {\left(H^s\right)}^n$ ，$s>3/2$ ，则存在某个时间$T>0$ 使得Cauchy问题(2.1)有唯一的解$z={\left(u_1,u_2,\cdots ,u_n\right)}^{\prime }$ ，且

$z\in C\left(\left[0,T\right);{\left(H^s\right)}^n\right)\cap C^1\left(\left[0,T\right);{\left(H^{s-1}\right)}^n\right)$ ，

其中T依赖于初值$z_0$ 。

注3.1 定理3.1中解的最大存在时间T不依赖于s。

证明 考虑如下形式的方程

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}z}{\text{d}t}+H\left(z\right)z=f\left(z\right),t>0,\\ z\left(0\right)=z_0,\end{array}$

其中$z={\left(u_1,u_2,\cdots ,u_n\right)}^{\prime }$ ，$H\left(z\right)=\left(\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_i}\right){\partial }_x\right)I_n$ ($I_n$ 表示n阶单位矩阵），且

$f\left(z\right)={\left(f_1\left(z\right),f_2\left(z\right),\cdots ,f_n\left(z\right)\right)}^{\prime }$ ，

其中

$f_i\left(z\right)={\displaystyle \sum _{j\ne i}^n\mu \left(u_{i,x}{u}_j\right)-{\partial }_x{{\rm A}}^{-1}\left(2{\mu }_{i,0}{u}_i+{\mu }_{i,0}{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{u}_j}+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{\mu }_{j,0}{u}_j}+u_{i,x}{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{u}_{j,x}}+\frac{1}{2}{u}_{i,x}^2-\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{u}_{j,x}^2}\right)}$ 。

令$X={\left(H^{s-1}\right)}^n$ ，$Y={\left(H^s\right)}^n$ ，$Q={\left(1-{\partial }_x^2\right)}^{1/2}{I}_n$ ，显然$Q:{\left(H^s\right)}^n\to {\left(H^{s-1}\right)}^n$ 为等距映射。为了证明定理3.1，需说明$H\left(z\right)$ 和$f\left(z\right)$ 满足Kato理论[13]中的三个条件，根据文献[17]中引理4.1~4.5，可以得到下面类似的引理：

引理3.1 算子$H\left(z\right)=\left(\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_i}\right){\partial }_x\right)I_n\in G\left({\left(L^2\right)}^n,1,\beta \right)$ ，其中$z\in {\left(H^s\right)}^n$ ，$s>3/2$ 。

引理3.2 算子$H\left(z\right)=\left(\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_i}\right){\partial }_x\right)I_n\in G\left({\left(H^{s-1}\right)}^n,1,\beta \right)$ ，其中$z\in {\left(H^s\right)}^n$ ，$s>3/2$ 。

引理3.3 令算子$H\left(z\right)=\left(\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_i}\right){\partial }_x\right)I_n$ ，其中$z\in {\left(H^s\right)}^n$ ，$s>3/2$ ，则$H\left(z\right)\in L\left({\left(H^s\right)}^n,{\left(H^{s-1}\right)}^n\right)$ ，且

${\Vert \left(H\left(y\right)-H\left(z\right)\right)\omega \Vert }_{{\left(H^{s-1}\right)}^n}\le C_1{\Vert y-z\Vert }_{{\left(H^{s-1}\right)}^n}{\Vert \omega \Vert }_{{\left(H^s\right)}^n},y,z,\omega \in {\left(H^s\right)}^n$ 。

引理3.4 令$B\left(z\right)=QH\left(z\right)Q^{-1}-H\left(z\right)$ ，其中$z\in {\left(H^s\right)}^n$ ，$s>3/2$ ，则$B\left(z\right)\in L\left({\left(H^{s-1}\right)}^n\right)$ 且

${\Vert \left(B\left(y\right)-B\left(z\right)\right)\omega \Vert }_{{\left(H^{s-1}\right)}^n}\le C_2{\Vert y-z\Vert }_{{\left(H^s\right)}^n}{\Vert \omega \Vert }_{{\left(H^{s-1}\right)}^n},y,z\in {\left(H^s\right)}^n,\omega \in {\left(H^{s-1}\right)}^n$ 。

引理3.5 令$z={\left(u_1,u_2,\cdots ,u_n\right)}^{\prime }\in {\left(H^s\right)}^n$ ，$s>3/2$ ，$f\left(z\right)={\left(f_1\left(z\right),f_2\left(z\right),\cdots ,f_n\left(z\right)\right)}^{\prime }$ ，则f在空间${\left(H^s\right)}^n$ 的有界子集上一致有界，且满足

${\Vert f\left(y\right)-f\left(z\right)\Vert }_{{\left(H^s\right)}^n}\le C_3{\Vert y-z\Vert }_{{\left(H^s\right)}^n},y,z\in {\left(H^s\right)}^n$ ，

${\Vert f\left(y\right)-f\left(z\right)\Vert }_{{\left(H^{s-1}\right)}^n}\le C_4{\Vert y-z\Vert }_{{\left(H^{s-1}\right)}^n},y,z\in {\left(H^s\right)}^n$ 。

注3.2上述引理3.3~3.5中出现的C₁，C₂，C₃，C₄均依赖于$\max \left({\Vert y\Vert }_{{\left(H^s\right)}^n},{\Vert z\Vert }_{{\left(H^s\right)}^n}\right)$ 。

最后，根据引理3.1~3.5，再结合Kato理论[13]，可以得到问题(2.1)解的局部适定性，即定理3.1。

4. 爆破现象

这一部分以局部适定性的结果为基础，研究问题(2.1)解在Sobolev空间中的爆破图景、爆破准则以及爆破结果，首先给出如下爆破图景：

定理4.1 假设初值$z_0={\left(u_{1,0},u_{2,0},\cdots ,u_{n,0}\right)}^{\prime }\in {\left(H^s\right)}^n$ ，$s>3/2$ ，$i=1,2,\cdots ,n$ ，且T是Cauchy问题(2.1)解的最大存在时间，则T是有限的使得

${\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\Vert u_{i,x}\left(\tau \right)\Vert }_{L^{\infty }}}\text{d}\tau =\infty }$ 。

证明 现假设初值$z_0={\left(u_{1,0},u_{2,0},\cdots ,u_{n,0}\right)}^{\prime }\in {\left(H^s\right)}^n$ ，$s>3/2$ ，根据定理3.1，假设$T>0$ 是问题(2.1)解的最大存在时间。

对系统(2.1)中第i个方程利用${\Lambda }^s$ ，两边同乘${\Lambda }^s{u}_i$ 并对x在$S$ 上积分有

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u_i\Vert }_{H^s}^2+{\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{u}_j}{u}_{i,x},u_i\right)}_s={\left(u_i,f_i\left(z\right)\right)}_s$ ， (4.1)

其中

$f_i\left(z\right)={\displaystyle \sum _{j\ne i}^n\mu \left(u_{i,x}{u}_j\right)}-{\partial }_x{{\rm A}}^{-1}\left(2{\mu }_{i,0}{u}_i+{\mu }_{i,0}{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{u}_j}+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{\mu }_{j,0}{u}_j}+u_{i,x}{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{u}_{j,x}}+\frac{1}{2}{u}_{i,x}^2-\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{u}_{j,x}^2}\right)$ 。

利用Hölder不等式以及引理2.4对(4.1)式左边第二项进行估计有

$\begin{array}{l}\left|{\left(u_{i,x}{\displaystyle \sum _{j=1}^n{u}_j,u_i}\right)}_s\right|=\left|{\left(\left[{\Lambda }^s,{\displaystyle \sum _{j=1}^n{u}_j}\right]u_{i,x},{\Lambda }^s{u}_i\right)}_0+{\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{u}_j}{\Lambda }^s{u}_{i,x},{\Lambda }^s{u}_i\right)}_0\right|\\ \le {\Vert \left[{\Lambda }^s,{\displaystyle \sum _{j=1}^n{u}_j}\right]u_{i,x}\Vert }_{L^2}{\Vert {\Lambda }^s{u}_i\Vert }_{L^2}+\frac{1}{2}\left|{\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{u}_{j,x}}{\Lambda }^s{u}_i,{\Lambda }^s{u}_i\right)}_0\right|\\ \le C\left({\Vert {\displaystyle \sum _{j=1}^n{u}_{j,x}}\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert u_i\Vert }_{H^s}+{\Vert u_{i,x}\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\displaystyle \sum _{j=1}^n{u}_j}\Vert }_{H^s}\right){\Vert u_i\Vert }_{H^s}+\frac{1}{2}{\Vert {\displaystyle \sum _{j=1}^n{u}_{j,x}}\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert u_i\Vert }_{H^s}^2\\ \le C\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{\Vert u_{j,x}\Vert }_{L^{\infty }}}\right)\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{\Vert u_j\Vert }_{H^s}^2}\right),\end{array}$ (4.2)

接下来根据(2.4)式、引理2.3以及$H^s$ 嵌入$L^{\infty }$ 对(4.1)式右边进行估计有

$\begin{array}{l}\left|{\left(u_i,f_i\left(z\right)\right)}_s\right|=\left|{\left({\displaystyle \sum _{j\ne i}^n\mu \left(u_{i,x}{u}_j\right)}-{\partial }_x{{\rm A}}^{-1}\left(2{\mu }_{i,0}{u}_i+{\mu }_{i,0}{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{u}_j}+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{\mu }_{j,0}{u}_j}+u_{i,x}{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{u}_{j,x}}+\frac{1}{2}{u}_{i,x}^2-\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{u}_{j,x}^2}\right),u_i\right)}_s\right|\\ \le {\displaystyle \sum _{j\ne i}^n\left|\mu \left(u_{i,x}{u}_j\right)\right|{\Vert u_i\Vert }_{H^s}}+C{\Vert u_i\Vert }_{H^s}\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{\Vert u_j^2\Vert }_{H^{s-1}}}+{\displaystyle \sum _{j=1}^n{\Vert u_{j,x}^2\Vert }_{H^{s-1}}}\right)\\ \le C{\Vert u_i\Vert }_{H^s}\left({\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{\Vert u_{i,x}\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert u_j\Vert }_{L^{\infty }}+{\displaystyle \sum _{j=1}^n{\Vert u_j\Vert }_{L^{\infty }}}{\Vert u_j\Vert }_{H^{s-1}}+{\displaystyle \sum _{j=1}^n{\Vert u_{j,x}\Vert }_{L^{\infty }}}{\Vert u_{j,x}\Vert }_{H^{s-1}}}\right)\\ \le C\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n\left({\Vert u_j\Vert }_{L^{\infty }}+{\Vert u_{j,x}\Vert }_{L^{\infty }}\right)}\right)\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{\Vert u_j\Vert }_{H^s}^2}\right),\end{array}$ (4.3)

因此，结合(4.1)式~(4.3)式，有

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\Vert u_i\Vert }_{H^s}^2}\right)\le C\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n\left({\Vert u_j\Vert }_{L^{\infty }}+{\Vert u_{j,x}\Vert }_{L^{\infty }}\right)}\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{\Vert u_j\Vert }_{H^s}^2}\right)\right)$ ，

对t在$\left[0,t\right]$ 上积分有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\Vert u_i\Vert }_{H^s}}\le {\displaystyle \sum _{i=1}^n{\Vert u_{i,0}\Vert }_{H^s}}+C{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\Vert u_i\Vert }_{H^s}}{\displaystyle \sum _{j=1}^n\left({\Vert u_j\Vert }_{L^{\infty }}+{\Vert u_{j,x}\Vert }_{L^{\infty }}\right)}}\text{d}\tau \\ \le {\displaystyle \sum _{i=1}^n{\Vert u_{i,0}\Vert }_{H^s}}+C{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\Vert u_i\Vert }_{H^s}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\Vert u_{i,x}\Vert }_{L^{\infty }}}}\text{d}\tau ,\end{array}$

最后利用Gronwall不等式可以得到

${\displaystyle \sum _{i=1}^n{\Vert u_i\Vert }_{H^s}}\le {\displaystyle \sum _{i=1}^n{\Vert u_{i,0}\Vert }_{H^s}\exp \left\{C{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\Vert u_{i,x}\Vert }_{L^{\infty }}}}\text{d}\tau \right\}}$ ， (4.4)

若$T<\infty$ 满足${\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\Vert u_{i,x}\Vert }_{L^{\infty }}}\text{d}\tau <\infty }$ ，则根据(4.4)式有

$\underset{t\to T}{\lim }\underset{x\in S}{\sup }{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\Vert u_i\Vert }_{H^s}}<\infty$ ，

于是$T=\infty$ ，与假设$T<\infty$ 矛盾，这也就完成了定理4.1的证明。

其次，在给出爆破准则前先介绍如下定义：

设$q\left(t,x\right)$ 是随着解$z\left(t,x\right)$ 发展的例子轨迹，并且满足方程

$\{\begin{array}{l}{q}_t\left(t,x\right)=z\left(t,q\left(t,x\right)\right),\left(t,x\right)\in \left(0,T\right)\times S,\\ q\left(0,x\right)=x,x\in S,\end{array}$ (4.5)

其中$z={\left(u_1,u_2,\cdots ,u_n\right)}^{\prime }\in C^1\left(\left[0,T\right),{\left(H^{s-1}\right)}^n\right)$ 是Cauchy问题(2.1)的解，初值$z_0={\left(u_{1,0},u_{2,0},\cdots ,u_{n,0}\right)}^{\prime }\in {\left(H^s\right)}^n$ ，$s>3/2$ ，$i=1,2,\cdots ,n$ ，且T是Cauchy问题(2.1)解的最大存在时间。通过计算有

$q_{tx}\left(t,x\right)=z_x\left(t,q\left(t,x\right)\right)q_x\left(t,x\right)$ ，

于是对于$\left(t,x\right)\in \left[0,T\right)\times S$ 有

$q_x\left(t,x\right)=\exp \left\{{\displaystyle {\int }_0^t{z}_x\left(\tau ,q\left(\tau ,x\right)\right)\text{d}\tau }\right\}>0$ ，

因此对于任意的$t\in \left[0,T\right)$ ，$q\left(t,\cdot \right):S\to S$ 是微分同胚映射。

接着利用上述定义、守恒律以及定理4.1给出问题(2.1)解的爆破准则。

定理4.2 假设初值$z_0={\left(u_{1,0},u_{2,0},\cdots ,u_{n,0}\right)}^{\prime }\in {\left(H^s\right)}^n$ ，$s>3/2$ ，$i=1,2,\cdots ,n$ ，T是Cauchy问题(2.1)解的最大存在时间，则T是有限的当且仅当满足

$\underset{t\to T}{\lim \inf }\left\{\underset{x\in S}{\inf }\left[u_{i,x}\left(x,t\right)\right]\right\}=-\infty$ 。 (4.6)

证明 利用定理3.1以及稠密性定理，接下来考虑$s=3$ 的情况。将系统(2.1)中的前n个方程相加并通过整理可得

$\begin{array}{l}{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_i}\right)}_t+\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_i}\right)\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)\\ =-{\partial }_x{{\rm A}}^{-1}\left[\left(n+1\right){\displaystyle \sum _{i=1}^n\mu \left(u_i\right)u_i}+{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(\mu \left(u_i\right){\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{u}_j}\right)}+2{\displaystyle \sum _{1\le i<j\le n}{u}_{i,x}{u}_{j,x}}-\frac{n-2}{2}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}^2}\right)\right],\end{array}$

上述等式左右两边对x求偏导同时利用(2.3)式可以得到

$\begin{array}{l}{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)}_t+{\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}^2}+\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_i}\right)\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,xx}}\right)\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(\left(n+1\right){\mu }_{i,0}+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{\mu }_{j,0}}\right)\left(u_i-{\mu }_{i,0}\right)}-2{\displaystyle \sum _{1\le i<j\le n}\mu \left(u_{i,x}{u}_{j,x}\right)}-\frac{n-2}{2}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}^2}\right)+\frac{n-2}{2}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right),\end{array}$

通过整理有

$\begin{array}{l}{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)}_t+\frac{n}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}^2}+\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_i}\right)\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,xx}}\right)\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(\left(n+1\right){\mu }_{i,0}+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{\mu }_{j,0}}\right)\left(u_i-{\mu }_{i,0}\right)}-2{\displaystyle \sum _{1\le i<j\le n}\mu \left(u_{i,x}{u}_{j,x}\right)}+\frac{n-2}{2}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right),\end{array}$ (4.7)

令$m_i\left(t\right)=u_{i,x}\left(t,\alpha \left(t\right)\right)=\underset{x\in S}{\sup }\left(u_{i,x}\left(t,x\right)\right),t\in \left[0,T\right)$ ，于是

$u_{i,xx}\left(t,\alpha \left(t\right)\right)=0,a.e.t\in \left[0,T\right)$ 。

令$q\left(t,x\right)$ 为上述(4.5)式中定义的特征线，由于对于任意的$t\in \left[0,T\right)$ ，$q\left(t,\cdot \right):S\to S$ 是微分同胚映射，因此存在$x_1\left(t\right)\in S$ 使得

$q\left(t,x_1\left(t\right)\right)=\alpha \left(t\right),t\in \left[0,T\right)$ ，

令$M_i\left(t\right)=u_{i,x}\left(t,q\left(t,x_1\right)\right)$ ，于是上述(4.7)式可改写为如下形式

${\displaystyle \sum _{i=1}^n{M^{\prime }}_i\left(t\right)}=-\frac{n}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}^2}+f\left(t,q\left(t,x_1\right)\right)$ ， (4.8)

其中

$f={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(\left(n+1\right){\mu }_{i,0}+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{\mu }_{j,0}}\right)\left(u_i-{\mu }_{i,0}\right)}-2{\displaystyle \sum _{1\le i<j\le n}\mu \left(u_{i,x}{u}_{j,x}\right)}+\frac{n-2}{2}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)$ 。

下面假设$T<\infty$ ，且存在一个正数A，使得$\underset{x\in S}{\inf }\left(u_{i,x}\left(t,x\right)\right)\ge -A$ 。

结合

$2{\displaystyle \sum _{1\le i<j\le n}\mu \left(u_{i,x}{u}_{j,x}\right)}\le {\displaystyle \sum _{1\le i<j\le n}\left({\mu }_{i,1}^2+{\mu }_{j,1}^2\right)}=\left(n-1\right)\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)$

以及(2.2)式对函数f进行估计有

$\begin{array}{l}\left|{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(\left(n+1\right){\mu }_{i,0}+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{\mu }_{j,0}}\right)\left(u_i-{\mu }_{i,0}\right)}-2{\displaystyle \sum _{1\le i<j\le n}\mu \left(u_{i,x}{u}_{j,x}\right)}+\frac{n-2}{2}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)\right|\\ \le \frac{\sqrt{3}}{6}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}\left|\left(n+1\right){\mu }_{i,0}+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{\mu }_{j,0}}\right|}+\frac{3n-4}{2}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)\\ :=\frac{1}{2}{N}^2\end{array}$ (4.9)

对于任意的$x\in S$ ，定义

$P_i\left(t\right)=M_i\left(t\right)-{\Vert {u^{\prime }}_{i,0}\Vert }_{L^{\infty }}-\frac{N}{n}$ ， (4.10)

满足

$P_i\left(0\right)={u^{\prime }}_{i,0}-{\Vert {u^{\prime }}_{i,0}\Vert }_{L^{\infty }}-\frac{N}{n}\le 0$ 。

现在说明$P_i\left(t\right)\le 0$ ，$t\in \left[0,T\right)$ ，若不成立，则存在一些$t_0\in \left[0,T\right)$ ，使得$P_i\left(t_0\right)>0$ ，令$t_1=\max \left\{t<t_0;P_i\left(t\right)=0\right\}$ ，则

$P_i\left(t_1\right)=0$ ，${P^{\prime }}_i\left(t_1\right)\ge 0$ ，

于是根据(4.10)式有

$M_i\left(t_1\right)={\Vert {u^{\prime }}_{i,0}\Vert }_{L^{\infty }}+\frac{N}{n}$ ， (4.11)

${M^{\prime }}_i\left(t_1\right)\ge 0$ ， (4.12)

另一方面，通过(4.8)式、(4.9)式以及(4.11)式有

$\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{M^{\prime }}_i\left(t_1\right)}=-\frac{n}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}^2}+f\left(t_1,q\left(t_1,x_1\right)\right)\\ \le -\frac{1}{2}{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{M}_i\left(t_1\right)}\right)}^2+\frac{1}{2}{N}^2=-\frac{1}{2}{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\Vert {u^{\prime }}_{i,0}\Vert }_{L^{\infty }}}+N\right)}^2+\frac{1}{2}{N}^2\\ =-\frac{1}{2}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\Vert {u^{\prime }}_{i,0}\Vert }_{L^{\infty }}^2}+2{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\Vert {u^{\prime }}_{i,0}\Vert }_{L^{\infty }}}N\right)<0,\end{array}$

与(4.12)式矛盾，因此对任意的$t\in \left[0,T\right)$ 有$P_i\left(t\right)\le 0$ ，所以

$\underset{x\in S}{\sup }{u}_{i,x}\left(t,x\right)\le {\Vert {u^{\prime }}_{i,0}\Vert }_{L^{\infty }}+\frac{N}{n}$ ，

又由于$\underset{x\in S}{\inf }{u}_{i,x}\left(t,x\right)\ge -A$ ，故${\Vert u_{i,x}\left(t,x\right)\Vert }_{L^{\infty }}<\infty$ ，根据定理4.1有$T=\infty$ ，这与假设$T<\infty$ 矛盾，充分性得证。

反之，如果(4.6)式成立，根据$H^s$ 嵌入$L^{\infty }$ ，$s>1/2$ 可知，解在有限时间内爆破，必要性得证。这就完成了定理4.2的证明。

最后，根据定理4.2给出问题(2.1)解的两个爆破结果。

定理4.3 假设初值$z_0={\left(u_{1,0},u_{2,0},\cdots ,u_{n,0}\right)}^{\prime }\in {\left(H^s\right)}^n$ ，$s>3/2$ ，$i=1,2,\cdots ,n$ ，n是偶数，$T_0>0$ 是Cauchy问题(1.1)解$z={\left(u_1,u_2,\cdots ,u_n\right)}^{\prime }$ 的最大存在时间，且${\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}$ 在$S$ 上不变号，如果

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_S\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u^{\prime }}_{i,0}}\right)\text{d}x}<-n\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right){\left[\frac{2\left(n+1\right)}{n-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{6}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}\left|\left(n+1\right){\mu }_{i,0}+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{\mu }_{j,0}}\right|}+\frac{3n-4}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)\right]}^{\frac{n-1}{2}}\\ :\equiv -K\end{array}$

则解在有限时间T内发生爆破，其中

$0<T\le -\frac{2n^{\frac{1}{n-1}}{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i.1}^2}\right)}^{\frac{1}{n-1}}}{{\left({\displaystyle {\int }_S{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u^{\prime }}_{i,0}}\right)}^{n+1}}\text{d}x\right)}^{\frac{1}{n-1}}+{\left[-K{\left({\displaystyle {\int }_S{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u^{\prime }}_{i,0}}\right)}^{n+1}\text{d}x}\right)}^{\frac{-n^2+2n+1}{{\left(n-1\right)}^2}}\right]}^{\frac{n-1}{2}}}$ ，

且有

$\underset{t\to T}{\lim \inf }\left\{\underset{x\in S}{\inf }\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}\left(x,t\right)}\right]\right\}=-\infty$ 。

证明 根据定理3.1，存在$T_0>0$ 使得Cauchy问题(2.1)存在唯一的解$z=\left(u_1,u_2,\cdots ,u_n\right)\in C\left(\left[0,T_0\right);{\left(H^s\right)}^n\right)$ 。

首先，将(4.7)式左右两边同乘$\left(n+1\right){\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)}^n$ 并对x在$S$ 上积分有

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_S{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)}^{n+1}\text{d}x+\frac{n\left(n+1\right)}{2}}{\displaystyle {\int }_S\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}^2}\right)}{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)}^n\text{d}x-{\displaystyle {\int }_S{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)}^{n+2}\text{d}x}\\ =\left(n+1\right){\displaystyle {\int }_S{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)}^n\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(\left(n+1\right){\mu }_{i,0}+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{\mu }_{j,0}}\right)\left(u_i-{\mu }_{i,0}\right)}-2{\displaystyle \sum _{1\le i<j\le n}\mu \left(u_{i,x}{u}_{j,x}\right)}+\frac{n-2}{2}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)\right]\text{d}x},\end{array}$

另外根据

${\displaystyle {\int }_S\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}^2}\right)}{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)}^n\text{d}x\ge \frac{1}{n}{\displaystyle {\int }_S{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)}^{n+2}\text{d}x}$ ，

可以得到

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_S{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)}^{n+1}\text{d}x}+\frac{n-1}{2}{\displaystyle {\int }_S{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)}^{n+2}\text{d}x}\\ \le \left(n+1\right){\displaystyle {\int }_S{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)}^n\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(\left(n+1\right){\mu }_{i,0}+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{\mu }_{j,0}}\right)\left(u_i-{\mu }_{i,0}\right)}-2{\displaystyle \sum _{1\le i<j\le n}\mu \left(u_{i,x}{u}_{j,x}\right)}+\frac{n-2}{2}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)\right]\text{d}x},\end{array}$ (4.13)

接下来对不等式(4.13)左边第二项进行估计。利用引理2.5有

${\Vert {\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\Vert }_{L^{n+1}}\le {\Vert {\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\Vert }_{L^2}^{\frac{2}{n\left(n+1\right)}}{\Vert {\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\Vert }_{L^{n+2}}^{\frac{\left(n-1\right)\left(n+2\right)}{n\left(n+1\right)}}$ ，

从而可以得到

${\displaystyle {\int }_S{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)}^{n+2}\text{d}x}\ge \frac{1}{{\left(n\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)\right)}^{\frac{1}{n-1}}}{\left({\displaystyle {\int }_S{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)}^{n+1}\text{d}x}\right)}^{\frac{n}{n-1}}$ 。 (4.14)

紧接着对(4.13)式右边进行估计。同样的方法，利用引理2.5有

${\Vert {\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\Vert }_{L^n}\le {\Vert {\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\Vert }_{L^2}^{\frac{2}{n\left(n-1\right)}}{\Vert {\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\Vert }_{L^{n+1}}^{\frac{\left(n+1\right)\left(n-2\right)}{n\left(n-1\right)}}$ ，

即

$\left|{\displaystyle {\int }_S{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)}^n\text{d}x}\right|\le {\displaystyle {\int }_S{\left|{\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right|}^n\text{d}x}\le n^{\frac{1}{n-1}}{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)}^{\frac{1}{n-1}}{\left({\displaystyle {\int }_S{\left|{\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right|}^{n+1}\text{d}x}\right)}^{\frac{n-2}{n-1}}$ ，

根据假设${\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}$ 在$S$ 上不变号，则可以得到

$\left|{\displaystyle {\int }_S{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)}^n\text{d}x}\right|\le n^{\frac{1}{n-1}}{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)}^{\frac{1}{n-1}}{\left({\displaystyle {\int }_S{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)}^{n+1}\text{d}x}\right)}^{\frac{n-2}{n-1}}$ 。 (4.15)

再结合(2.2)式以及

$2{\displaystyle \sum _{1\le i<j\le n}\mu \left(u_{i,x}{u}_{j,x}\right)}\le {\displaystyle \sum _{1\le i<j\le n}\left({\mu }_{i,1}^2+{\mu }_{j,1}^2\right)}=\left(n-1\right)\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)$

可以得到

$\begin{array}{l}\left|\left(n+1\right){\displaystyle {\int }_S{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)}^n}\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(\left(n+1\right){\mu }_{i,0}+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{\mu }_{j,0}}\right)\left(u_i-{\mu }_{i,0}\right)-2{\displaystyle \sum _{1\le i<j\le n}\mu \left(u_{i,x}{u}_{j,x}\right)}}+\frac{n-2}{2}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)\right]\text{d}x\right|\\ \le \left(n+1\right)n^{\frac{1}{n-1}}{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)}^{\frac{1}{n-1}}{\left({\displaystyle {\int }_S{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)}^{n+1}\text{d}x}\right)}^{\frac{n-2}{n-1}}\left[\frac{\sqrt{3}}{6}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}\left|\left(n+1\right){\mu }_{i,0}+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{\mu }_{j,0}}\right|+\frac{3n-4}{2}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)}\right],\end{array}$ (4.16)

最后，将(4.13)式~(4.16)式相结合可得

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_S{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)}^{n+1}\text{d}x}\le {\left({\displaystyle {\int }_S{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)}^{n+1}\text{d}x}\right)}^{\frac{n-2}{n-1}}[-\frac{n-1}{2}\frac{1}{n^{\frac{1}{n-1}}{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)}^{\frac{1}{n-1}}}{\left({\displaystyle {\int }_S{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)}^{n+1}\text{d}x}\right)}^{\frac{2}{n-1}}\\ \begin{array}{c}\\ \\ \\ \end{array}+\left(n+1\right)n^{\frac{1}{n-1}}{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)}^{\frac{1}{n-1}}\left[\frac{\sqrt{3}}{6}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}\left|\left(n+1\right){\mu }_{i,0}+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{\mu }_{j,0}}\right|+\frac{3n-4}{2}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)}\right]]\end{array}$ (4.17)

令$V\left(t\right)={\displaystyle {\int }_S{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)}^{n+1}\text{d}x}$ ，$t\in \left[0,T\right)$ ，

$K:=n\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right){\left[\frac{2\left(n+1\right)}{n-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{6}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}\left|\left(n+1\right){\mu }_{i,0}+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{\mu }_{j,0}}\right|}+\frac{3n-4}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)\right]}^{\frac{n-1}{2}}$ ，$c:=\frac{n^{\frac{1}{n-1}}}{n-1}{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)}^{\frac{1}{n-1}}$ ，

则(4.17)式可写为

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}V\left(t\right)\le {\left[V\left(t\right)\right]}^{\frac{n-2}{n-1}}\left(-\frac{1}{2c}{\left(V\left(t\right)\right)}^{\frac{2}{n-1}}+\frac{1}{2c}{K}^{\frac{2}{n-1}}\right)$ 。 (4.18)

根据假设条件$V\left(0\right)<-K$ ，则$V^{\prime }\left(0\right)<0$ ，且$V\left(t\right)$ 在$\left[0,T\right)$ 严格单调递减。令

$c\delta =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{\left(\frac{K}{-V\left(0\right)}\right)}^{\frac{n-1}{2}}\in \left(0,\frac{1}{2}\right)$ ，

则

${\left(V\left(0\right)\right)}^{\frac{2}{n-1}}=\frac{K^{\frac{2}{n-1}}}{{\left(1-2c\delta \right)}_{}^{{\left(\frac{2}{n-1}\right)}^2}}<{\left(V\left(t\right)\right)}^{\frac{2}{n-1}}$ ，

即

$K^{\frac{2}{n-1}}<{\left(1-2c\delta \right)}_{}^{{\left(\frac{2}{n-1}\right)}^2}{\left(V\left(t\right)\right)}^{\frac{2}{n-1}}$ ， (4.19)

将(4.19)式代入到(4.18)式，可以得到

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}V\left(t\right)\le -\frac{1}{2c}{\left[V\left(t\right)\right]}^{\frac{n}{n-1}}\left(1-{\left(1-2c\delta \right)}_{}^{\frac{4}{{\left(n-1\right)}^2}}\right)\le -\delta {\left[V\left(t\right)\right]}^{\frac{n}{n-1}}$ ，$t\in \left[0,T\right)$ ，

不等式两边对t在$\left[0,t\right)$ 上积分可得

$V\left(t\right)\le \frac{V\left(0\right)}{{\left(1+\frac{\delta }{n-1}t{\left(V\left(0\right)\right)}^{\frac{1}{n-1}}\right)}^{n-1}}$ ，

这也就是说

$T\le -\frac{1}{\frac{\delta }{n-1}{\left(V\left(0\right)\right)}^{\frac{1}{n-1}}}<+\infty$ ，

根据定理4.2有

$\underset{t\to T}{\lim \inf }\left\{\underset{x\in S}{\inf }\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}\left(x,t\right)}\right]\right\}=-\infty$ ，

这也就完成了定理4.3的证明。

定理4.4 假设初值$z_0={\left(u_{1,0},u_{2,0},\cdots ,u_{n,0}\right)}^{\prime }\in {\left(H^s\right)}^n$ ，$s>3/2$ ，$i=1,2,\cdots ,n$ ，$T_0>0$ 是Cauchy问题(2.1)解的最大存在时间，如果

$\begin{array}{l}\underset{x\in S}{\inf }\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u^{\prime }}_{i,0}\left(x\right)}\right)<-\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{\sqrt{3}}{3}{\mu }_{i,1}\left|\left(n+1\right){\mu }_{i,0}+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{\mu }_{j,0}}\right|}+\left(3n-4\right)\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)}\\ :\equiv -Q\end{array}$

则解在有限时间T内发生爆破，其中

$0<T\le -\frac{2}{\underset{x\in S}{\inf }\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u^{\prime }}_{i,0}\left(x\right)}\right)+\sqrt{-Q\underset{x\in S}{\inf }\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u^{\prime }}_{i,0}\left(x\right)}\right)}}$ ，

且有

$\underset{t\to T}{\lim \inf }\left\{\underset{x\in S}{\inf }\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}\left(x,t\right)}\right]\right\}=-\infty$ 。

证明 利用定理3.1以及稠密性定理，接下来考虑$s=2$ 的情况。令$\omega ={\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_i}$ ，则(4.7)式可写为

${\omega }_{x,t}+\omega {\omega }_{xx}+\frac{n}{2}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}^2}\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(\left(\left(n+1\right){\mu }_{i,0}+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{\mu }_{j,0}}\right)\left(u_i-{\mu }_{i,0}\right)\right)}-2{\displaystyle \sum _{1\le i<j\le n}\mu \left(u_{i,x}{u}_{j,x}\right)}+\frac{n-2}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}$ ，

根据引理2.2，现定义$l\left(t\right)={\omega }_x\left(t,\xi \left(t\right)\right)=\underset{x\in S}{\inf }\left[{\omega }_x\left(t,x\right)\right]$ ，则对任意的$t\in \left[0,T\right)$ 有${\omega }_{xx}\left(t,\xi \left(t\right)\right)=0$ ，于是有

$l^{\prime }\left(t\right)+\frac{n}{2}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}^2}\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(\left(\left(n+1\right){\mu }_{i,0}+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{\mu }_{j,0}}\right)\left(u_i-{\mu }_{i,0}\right)\right)}-2{\displaystyle \sum _{1\le i<j\le n}\mu \left(u_{i,x}{u}_{j,x}\right)}+\frac{n-2}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2},a.e.t\in \left[0,T\right)$ 。 (4.20)

利用(2.2)式以及

$2{\displaystyle \sum _{1\le i<j\le n}\mu \left(u_{i,x}{u}_{j,x}\right)}\le {\displaystyle \sum _{1\le i<j\le n}\left({\mu }_{i,1}^2+{\mu }_{j,1}^2\right)}=\left(n-1\right)\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)$ ，

对等式(4.20)右边进行估计有

$\begin{array}{l}\left|{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(\left(n+1\right){\mu }_{i,0}+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{\mu }_{j,0}}\right)}\left(u_i-{\mu }_{i,0}\right)-2{\displaystyle \sum _{1\le i<j\le n}\mu \left(u_{i,x}{u}_{j,x}\right)}+\frac{n-2}{2}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)\right|\\ \le {\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{\sqrt{3}}{6}{\mu }_{i,1}\left|\left(n+1\right){\mu }_{i,0}+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{\mu }_{j,0}}\right|}+\frac{3n-4}{2}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)\\ :=\frac{1}{2}{Q}^2,\end{array}$ (4.21)

再根据

${\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}^2}\ge \frac{1}{n}{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{u}_{i,x}}\right)}^2$ ，

以及(4.20)式、(4.21)式可以推出

$l^{\prime }\left(t\right)\le -\frac{1}{2}{l}^2\left(t\right)+\frac{1}{2}{Q}^2$ ，

其中

$Q=\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{\sqrt{3}}{3}{\mu }_{i,1}\left|\left(n+1\right){\mu }_{i,0}+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{\mu }_{j,0}}\right|}+\left(3n-4\right)\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)}$ ，

重复上述定理4.3的证明可知，如果

$l\left(0\right)<-\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{\sqrt{3}}{3}{\mu }_{i,1}\left|\left(n+1\right){\mu }_{i,0}+{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n{\mu }_{j,0}}\right|}+\left(3n-4\right)\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mu }_{i,1}^2}\right)}$ ，

则T是有限的，且有

$0<T\le -\frac{2}{l\left(0\right)+\sqrt{-Ql\left(0\right)}}$ ，

以及

$\underset{t\to T}{\lim }l\left(t\right)=-\infty$ ，

这就完成了定理4.4的证明。

基金项目

山西省基础研究计划项目(20210302124259)。

NOTES

^*通讯作者。