1. 引言
《义务教育数学课程标准(2022年版)》明确指出：“数的运算重点在于理解算理、掌握算法，学生经历算理和算法的探索过程，感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，有助于形成运算能力和推理意识。”[1]“除数是两位数的除法”被称为整数四则运算的“收官之作”，其算理、算法与除数是一位数的除法相同，究其本质都是对计数单位的细分[2]。口算是估算、笔算的基础，在学生的计算学习中起着重要的作用。中低段学生思维正处于直观形象思维阶段，需要借助具体的事物来进行思考和表达。教学采用图片、小棒或者计数器等工具让口算的思维过程可视化地展现出来，数形结合，寓理于形。
在《除数是两位数的除法》单元中，基于平均分的口算除法教学是渗透笔算除法算理即“对计数单位细分”的关键铺垫，而教师在教学时往往更侧重于强调除法包含除的意义而非凸显平均分的重要性，缺乏对图片、小棒或者计数器等工具的有效使用，无法引导学生用可视化的学习素材自主探究理解口算的计算原理，尚未注重学生已有经验的正向迁移。由此可知，厘清口算除法的算理并运用口算技能迁移运算除数是两位数的笔算除法是本研究亟待解决的问题。
学习路径的概念则最早由Clements和Sarama在2004年提出，他们将学习路径定义为学生学习某一具体数学知识时，思维与学习过程的描述，以及一个相关的、设想的路径，这个路径就是一系列指向学习目标的学习任务，帮助学生实现“思维进阶”[3]。因此，本研究以学习路径为工具，旨在探索出一条基于技能迁移的学习路径，以此将除数是一位数的除法的口算技能迁移至除数是整十数且商为一位数的除法乃至除数是非整十数且商为一位数的除法。本文聚焦于“掌握口算技能”，主要围绕以下两个子问题展开：
1) 如何借助平均分的意义用乘法口诀口算除数是整十数的除法？
2) 如何设计学习路径，将除数是一位数“口算试商”的技能迁移估算除数是两位数(商是一位数)的除法？
2. 研究设计
2.1. 研究对象
选取杭州市YHSY小学四年级的两个平行班(分别记为甲班和乙班)作为研究对象，按照本研究设计的学习路径进行学习。
在实验前，对甲班和乙班进行前测。统计得分，进行独立样本t检验，结果表明，两班关于除数是两位数口算除法的预备知识不存在显著性差异(t = 0.452，P = 0.640)。
2.2. 研究流程
通过查阅文献、教材比较，初步拟定初构的“口算估商”的学习路径A1并在甲班开展实施，基于此，专家和一线教师指出了教学中可能存在的问题并给出了相应的修改建议。为探究得到完善的学习路径，本研究经历了多次教学设计、两次教学实践以及多次教学研讨，得到优化的学习路径A2，已在乙班开展教学，学习路径优化的具体流程如图1所示：
Figure 1. Research process
图1. 研究流程
2.3. 问卷及数据处理
授课后，及时对学生进行后测。后测问卷共2题：
第1题：计算540 ÷ 60时，可以把540看作( )个( )除以60，得到( )个( )，也就是( )，想到的口诀是( )。
本题考查学生对几百几十数除以整十数的除法的口算算法的掌握程度。
第2题：205 ÷ 40 ≈
本题考察学生对除数是两位数、商是一位数的除法的估算算法的经验水平。
第一题考查几百几十数除以整十数的口算除法，计分标准为答对得1分，答错得0分。例题如下：计算540 ÷ 60时，可以把540看作( )个( )除以60，得到( )个( )，也就是( )，想到的口诀是( )。第二题考察除数是两位数、商是一位数的除法估算(如：205 ÷ 40)，计分标准为答对得1分，答错得0分。针对问卷的信度，采用Alpha信度系数法，得出后测问卷的Alpha系数为0.729，说明问卷的信度较好。
3. 研究结果
3.1. 路径呈现
通过查阅文献、教材比较，初步拟定初构的“做除想乘、口算估商”的学习路径A1并在甲班开展实施，基于此，专家和一线教师指出了教学中可能存在的问题并给出了相应的修改建议。为探究得到完善的学习路径，本研究经历了多次教学设计、两次教学实践以及多次教学研讨，得到优化的学习路径A2，已在乙班开展教学，如图2所示。
Figure 2. Optimized learning path A2
图2. 优化的学习路径A2
任务1是核心任务，包含3个子任务：
任务1-1：出示前测，多元表征80 ÷ 20，唤醒口算经验
教师通过布置前置作业80 ÷ 20，为学生自主探究、深度思考留足时间。学生迁移之前积累的经验，采用多种表征方式(如包含除、平均分等)计算80 ÷ 20，教师收集更多具有代表性的作品如图3所示，集中展示，要求学生结合作品展开讨论，并能辨析作品的正误，结合除法的意义，更侧重于讲解小棒图所带来的直观理解算法的过程，学生通过理解多种算法，掌握口算技能。
Figure 3. Presentation of students’ work
图3. 学生作品展示
以下是教学实录(T是授课教师，S是学生)。其中，课堂呈现多种表征的目的是帮助学生从包含除的直观表征过渡到抽象、形式表征，最终掌握平均分的抽象表征。
T：同学们的办法很丰富，有画一画的，也有写一写的。你看懂了吗？请你选一幅来解释一下！
S：我看懂了作品1，用圈一圈的方法，把80根小棒按每20根圈为一份，发现可以分成4份，所以80 ÷ 20 = 4。
T：像这样的计算方法在作品集里还有吗？
S：作品3和作品6，都是求80里面有几个20。
T：也就是说都用除法的意义进行包含除。
S：作品4和作品7都是根据表内除法，通过口诀口算除法的。因为二四得八，8 ÷ 2 = 4，所以80 ÷ 20 = 4。
T：为什么，你可放心大胆地把80 ÷ 20两个数后面的0去掉？不怕改变大小吗？我们看作品5为什么这位同学前面的计算方式跟作品4一样，但最终结果加了0呢？(板书80 ÷ 20 = 4和80 ÷ 20 = 40)
T：你在图中找到80 ÷ 20了吗？
S：上来指80表示总共有80根小棒，20表示每20根小棒为1份。
T：那你们在图中找到8 ÷ 2了吗？
S：把这80根小棒10根10根一捆捆起来，就变成了8 ÷ 2，8只指8个十，2是指2个十，8捆小棒，每2捆一份，可以分成4捆。
S：作品5不正确，算式中的8代表8个十，2代表2个十，相除之后0应该抵消。
T：大家明白吗？我们不妨仔细观察作品6，这位同学就是把小棒按照一捆一捆来分的，谁能借助更加直观的小棒图来解释为什么80 ÷ 20 = 4而不是80 ÷ 20 = 40呢？
S：小棒一捆就是十根，80 ÷ 20可看成8 (十) ÷ 2 (十)，当计数单位一样时，可暂时省略计数单位，也就变成8 ÷ 2。
T：把10根小棒捆成一捆，一捆就是1个十，80根是8捆，20根是2捆，80 ÷ 20是不是可以看成8捆里面有几个2捆，也就是8 ÷ 2所以得4，在这里1捆就相当于计数单位“十”。
S：作品8通过先算乘法，再算除法，因为20 × 4 = 80，所以80 ÷ 20 = 4。
学生通过观察比较作品计算方法的异同，经历“包含除”和“等分除”两种平均分的过程，借助除法的意义，强化了商是一位数除法的运算技能。教师总结：不管什么算法都得出了80可以分成4个20，学生基于除数是一位数的除法的计算经验，倾向于选择“做除想乘，口诀试商”的算法。
T：大家刚才展示了好多方法，这些方法之间有没有相同点呢？
S：都算出了80里包含了4个20。
T：是啊，不管是想乘法算除法，还是根据表内除法，这两种不同的算法都算出了80里包含了4个20。
任务1-2：迁移算法，沟通几百几十除以整十数(420 ÷ 70)与整十数除以整十数的除法
布置420 ÷ 70，迁移算法，沟通几百几十除以整十数(420 ÷ 70)与整十数除以整十数(80 ÷ 20)的除法。
T：经过大家踊跃的发言和激烈的讨论，我们已经学会两位数除以两位数的口算除法，如果将被除数变成三位数，你们还会口算吗？请口算420 ÷ 70。
S1：想乘法，算除法。
S2：可以借助表内除法口算。
S3：把420 ÷ 70看成42个十除以7个十，借助表内除法42 ÷ 7来口算。
T：与80 ÷ 20有什么不同点和相同点？
S1：从数的特点来看，80 ÷ 20是整十数除以整十数，420 ÷ 70是几百几十除以整十数。
S2：方法都是一样的。
T：我们都是看成几(十)除以几(十)，转化成表内除法，也就是想乘法口诀。
综上，通过任务1更加细化的3个子任务，学生能够充分感受除数是整十数、商是一位数的口算除法算理，从除法意义“被除数里包含几个除数”上想得数，用乘法去想“哪个数乘以除数得到被除数”，将几十除以几十看成几(十)除以几(十)，转化成表内除法，也就是想乘法口诀)最终统整算法为“做除想乘，口诀试商”。借助小棒图这一直观工具以实现从算理直观化过渡到算法抽象化，引导学生将一个数除整十数的除法或一个数除几百几十的数的除法转化为表内除法，在交流中掌握口算方法，并且培养迁移类推能力，同时引导学生通过计算与观察找规律，掌握简便的口算方法。
任务2：除数是整十数的除法估算
通过任务1的学习，学生对几十几百数除以整十数除法的算理和算法有了更深的理解。在此基础上，学生借助已掌握的除法算理和算法，估算商是一位数的除法，计算时将算式中不是整十数的数估算成整十数，并根据除数而不是被除数进行口诀试商，寻找估算技巧。
任务2-1：被除数不同、除数相同，且是除数整十数的除法估算
62 ÷ 20 ≈ 119 ÷ 20 ≈
T：第一列有什么共同点？
S：除数都是20。
T：我们在做的时候都想几的口诀？有共同点吗？
任务2-2：除数不同、被除数相同，且除数是整十数除法估算
420 ÷ 80 ≈ 420 ÷ 90 ≈
T：第二列又有什么共同点？
S：被除数都是420。
T：为什么被除数都是一样的，你们一会要估成400，一会要估成450？
S：因为除数不一样，80要用8的口诀，90要用9的乘法口诀。
T：我们都是根据除数想口诀！
教师设计除数不同、被除数相同，且除数是整十数的除法，要求学生独立估算，再次引导学生比较估算过程用到的口诀，总结出做除法要根据除数想口诀，并且想的是关于除数的乘法口诀。学生通过任务2-1和2-2加深了做出想乘是要“根据除数想乘法口诀”的印象，能够快速进行口诀试商，形成口算技能。
任务3包含3个子任务：
任务3-1：被除数是非整十数的除法估算
教师借助摘星闯关游戏，首先是一星关卡，学生做完后核对答案，并说明用了哪一句口诀。在二星关卡时要求学生说出把被除数估成了什么数，用了哪一句口诀。通过二星习题的设计让学生明白：当被除数一样时，仍需要根据除数来想口诀。
80 ÷ 40 = 154 ÷ 70 ≈
78 ÷ 40 ≈ 154 ÷ 30 ≈
90 ÷ 40 ≈ 154 ÷ 40 ≈
任务3-2：被除数或除数带星的除法估算
14☆ ÷ 20 ≈
14☆ ÷ 50 ≈
T：像我们刚才快速列的算式都用到了哪句口诀？
S：二七十四。
T：跟被除数没有多大关系，我们还是要根据除数来想口诀！
任务3-3：被除数是非整十数且除数带星的除法估算
148 ÷ 3☆ ≈
T：☆可能是多少呢？
S：0~9的数。
T：☆填0，结果是多少？
S：只用把148估成150，想三五十五的口诀，结果是5。
T：☆填1，结果又是多少？
S：把除数31估成30，被除数148估成150，还是想三五十五的口诀，结果是5。
T：那☆填9，结果还是5吗？
S：把除数39估成40，被除数148估成160，想四四十六的口诀，结果应该是4。
T：☆填8，怎么算？
S：也把除数38估成40，被除数148估成160，想四四十六的口诀，结果也是4。
综上，任务3通过题组练习，学生能熟练掌握通过除数想乘法口诀进行除法计算，并在“14☆ ÷ 20 ≈”教学中采取穷举法，让学生再次感受除数和被除数的作用，并新增“148 ÷ 3☆ ≈”，除数是非整十数，也为下一环节即“除数是非整十数的笔算除法”过渡。
3.2. 存在的问题与建议
3.2.1. 算法关联弱，直观表征重视程度低
从学生课前作业单的作答情况来看，很少有学生能够对算理进行直观表征，教师在课堂讲解时也并未充分重视直观表征算理的方式(如小棒图)。在辨析80 ÷ 20 = 4与80 ÷ 20 = 40时，学生虽然能判断结果正误，却无法用数学的语言说清楚错误的原因。
建议：在辨析学生的作品4 (80 ÷ 20 = 8 ÷ 2 = 4)和作品5 (补零：8 ÷ 2 = 4，80 ÷ 20 = 40)时，介入小棒图的表征方式。把两个算式(80 ÷ 20 = 4，80 ÷ 20 = 40)写在黑板上，并将小棒图放大。提问学生：在这幅图中你找到了80 ÷ 20吗？找到了8 ÷ 2 =吗？让学生来指一指。让学生感受80 ÷ 20 = 4是以根(一)为单位，8 ÷ 2 = 4是以捆(十)为单位，不是单纯地盖0，8是指8个十，2是指2个十，4是指4组，进而得到补零是错误的，理解算理。
3.2.2. 穷举法使用不当，弱化口算技巧
教学过程中频繁使用穷举法会限制学生的计算思维发散，任务序列的设计是循序渐进的，学生经历穷举计算题的答案的过程便可逐步掌握口算技巧，实活运用所学的知识实现举一反三。教师罗列从140 ÷ 20到149 ÷ 20的算式的教学过程中，学生一直处于机械性附和答案的状态，事实上学生已经掌握了口算技巧，此举乃无用功。
建议：学生掌握了要根据除数想口诀的方法后就不需要穷举14☆ ÷ 20。同时，路径设计应将穷举法用于其他算式，例如在教学时发现学生认为除数带星号的算式较有挑战性，计算过程较为繁琐，在计算148 ÷ 3☆时使用穷举法是锦上添花。
3.3. 教学效果
如前文所述，本研究首先在甲班开展了初构的学习路径A1的教学，结合专家建议与甲班后测情况后，继而在乙班开展了优化的学习路径A2的教学。以下将通过对甲、乙班的后测进行定量分析，验证学习路径得到了优化。甲、乙班得分情况见表1。
Table 1. Comparison of post-test scores between Class A and Class B
表1. 甲、乙班后测得分率比较
| 得分率 |
第1题 |
第2题 |
第3题 |
总得分率 |
| 甲班 |
93.50% |
87.86% |
45.42% |
70.55% |
| 乙班 |
96.02% |
93.42% |
55.23% |
85.33% |
从两个班的得分率上看，乙班相对于甲班，在各后测题上的表现都有进步，其中后测题4的进步较大，后测题2和后测题3的进步较小。对甲、乙班学生的后测各题得分进行独立样本t检验，结果表明：第1题得分(t = −0.460，P = 0.652)、第2题得分(t = −0.780，P = 0.352)不存在显著性差异；第3题得分(t = −3.428，P < 0.05)存在显著性差异；以下结合后测题目对学生除数是两位数的口算除法算法掌握情况做具体分析。
3.3.1. 口算算法掌握情况
后测题1通过对300 ÷ 50、540 ÷ 60等整十数除几百几十数除法算理的填空考察，唤醒学生除数是一位数除法的经验，以验证乙班是否更好地理解了除数是整十数的口算算法，将学生划分为2个水平层次，其中，水平0：结果错误；水平1：口诀试商结果正确。分析习题作答得分情况，甲、乙班水平层次对应人数如表2。
Table 2. Number of people at level 1 after Class A and B are completed
表2. 甲、乙班完成后测题1的水平层次人数
| 表现 |
甲班 |
乙班 |
| 水平0 |
3 |
1 |
| 水平1 |
26 |
28 |
3.3.2. 估算技巧掌握情况
后测题2通过设计估一估205 ÷ 40 ≈、209 ÷ 30 ≈、450 ÷ 53 ≈、173 ÷ 19 ≈等习题，并要求学生能将被除数和除数都估成最合适的整十整百数，以验证乙班是否更好地掌握了当被除数、除数不是整十数的估算技巧，每题回答正确得1分，合计共4分。分析习题作答得分情况如表3：
Table 3. The number of different scorers in question 2 after the completion of classes A and B
表3. 甲、乙班完成后测题2的不同得分人数
| 得分数 |
甲班 |
乙班 |
| 1 |
2 |
0 |
| 2 |
0 |
0 |
| 3 |
9 |
7 |
| 4 |
18 |
22 |
两班绝大部分学生都能正确估一估205 ÷ 40 ≈、450 ÷ 53 ≈、209 ÷ 30 ≈，错误集中在估算173 ÷ 19的任务中。甲班仍有不少学生对173应估成什么数最合适无法把控，如表3，少部分的学生能将被除数看作是几个计数单位的构成；而乙班大多数学生能正确地将173估成最接近的数并能计算正确，如表3。可见甲班仍有不少学生对于估算的步骤不明晰，即首先应将除数估成整十数，进而能够根据除数想乘法口诀(二八十六、二九十八)，由此甄别正确的估算是将173估成180，结果更接近正确答案。
4. 结论与建议
4.1. 结论
总体而言，本文通过教学实验探寻得到了“除数是两位数口算除法”的学习路径(如图2)。具体而言，得到以下结论：
将“做除想乘，口诀找商”的算法贯穿口算除法教学始终。学生在凭借经验就能求得正确结果的基础上，通过建立不同算法间的关联以简化计算的道理，从根本上避免了“用直觉代替思考”和“只会想乘算除”的片面做法。通过小棒图的直观演示，有效帮助学生摆脱了对“视觉表象”的依赖，深入理解了“同一级别计数单位的两个数相除(0除外)，可以忽略计数单位直接用单位的‘个数’相除”这一本质。同时，在估算教学中，在探究尝试中对估算方法进行归纳，注重对估算结果的评估与反思，为后续笔算除法试商过程中的“调商”奠定基础，为学生在后续学习中的“试商”和“估算策略选择”奠定了坚实的基础。
4.2. 建议：强化口算技能，唤醒估算经验
教师在教学时，要精心设计活动任务，层层递进、步步深入地引导学生经历除数是两位数的除法的不同表征方式间的联系，建立不同算法间的关联，引导学生将一个数除整十数的除法或一个数除几百几十的数的除法转化为表内除法，根据除数想乘法口诀。尤其是要重视引导学生不断熟练口算技巧，从而掌握根据除数进行口诀估商的技巧。其中，除数是两位数的除法的运算本质是单位细分，口算除法这节课凭借小棒平均分的方法简单渗透了单位细分的思想，那么在后续学习笔算除法时，能对运算的一致性有更深的认识。