“去方程”后解决分数除法应用题的三个视角

Three Perspectives for Solving Fraction Division Application Problems after “Removing the Equation”

摘要: 分数除法应用题是小学数学的难点，现有教材大量借助方程处理分数应用题中的复杂数量关系。《义务教育数学课程标准(2022年版)》将方程内容从小学移出后，需直面分数除法应用题的教学变革，即在不借助方程的情况下，如何帮助学生更好地解决分数除法应用题。通过文献梳理，发现存在三个视角，并分析其优劣：(1) 几何直观视角：明晰“量”“率”对应关系；(2) 单元整体教学视角：综合运用分数内涵；(3) 构建数量关系式视角：借助符号表示未知量。据此，提出以下教学建议：从学生认知角度出发，基于三个视角综合考量，相互融通，提升问题解决的效率。

Abstract: Fraction division application problems are a difficulty in primary school mathematics. Existing textbooks largely resort to equations to handle the complex quantitative relations in fraction application problems. After the equation content was removed from primary school in the Mathematics Curriculum Standards for Compulsory Education (2022 Edition), the teaching reform for fraction division application problems needs to be faced directly, that is, without resorting to equations, how to help students better solve fraction division application problems. Through a literature review, it is found that there are three perspectives, and their advantages and disadvantages are analyzed: (1) The geometric intuitive perspective: clarifying the correspondence between “quantity” and “rate”; (2) The unit-integrated teaching perspective: comprehensively applying the connotation of fractions; (3) The perspective of constructing quantitative relation formulas: using symbols to represent unknown quantities. Based on this, the following teaching suggestions are proposed: Starting from the students’ cognitive perspective, based on comprehensive consideration of the three perspectives, and integrating with each other, the efficiency of problem-solving can be improved.

1. 问题：“去方程”后，分数除法应用题的教学变革没有得到应有的重视

分数除法应用题是小学数学教学中的难点之一，方程作为其解决的重要抓手，在教学中起到了一定效用。《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《2022年版课标》)将方程内容从小学调整到初中学段。移除的原因有两点：一是小学阶段方程没有体现代数的本质；二是小学阶段没有体现方程的必要性[1]。随着方程内容在小学阶段中的调整，有关分数除法应用题内容的教学需紧随其变。于分数除法应用题而言，方程的运用存在一定的困境。例如，有研究表明现有教学中并未凸显方程解分数应用题的优越性，列方程解应用题要经历设列解答的过程，书写的步骤较多，形式上较为繁琐，由此带来的结果是，学生对方程法的接受程度不高[2]。此外，方程教学最重要的是其模型思想的渗透，但在分数应用题教学中，方程的模型思想的运用体现得不明显[3]。然而，考虑到方程具有从逆向思维转变为正向思维的价值，一线教师在分数除法应用题的教学中，仍然推崇方程的解题方法，坚持方程和算术并用[4]。

教材是连接教师与学生的纽带，在现有教材的编排中，分数加减法问题通常采用正向思维的方式来解决，主要以算术列式作为主要的解题工具。对于分数乘法问题，虽然以正向思维为主导，但同样依赖于算术列式来展示计算过程。在处理分数除法问题时，则更侧重于逆向思维。然而引导学生通过列方程的方式来解决问题，能够实现分数乘法和分数除法问题解题思路的统一，这也是方程的价值所在。方程从小学阶段教材中移除后，学生需直面算术法的逆向思维方式。教师则需直面不借助方程，如何突破分数应用题的教学难点的挑战：“去方程”后就不能够再“用”方程了吗？有哪些视角能够支持分数除法应用题的教学？

综上所述，“去方程”后，如何解决分数除法应用题是教学中需要关注的内容，但并未引起当下教师的重视，新教材的编写对也未对此及时做出回应，不能够较好地应对分数应用题的教学变革，因此，如何帮助学生更好地解决分数应用题，就成为亟待解决的问题。

2. “去方程”后如何解决分数除法应用题的三个视角

2.1. 几何直观视角：明晰“量”“率”对应关系

几何直观视角指借助几何图形中的形象关系，直观感知数量关系，即将图形和直观符号作为认知活动的要素，促进教学探究[5]。明晰分数除法应用题中的“量”“率”关系也可以借助几何直观来完成。

在分数除法应用题的学习中，“量”和“率”的对应关系是其核心难点与重点。分数的“量”是指分数所表示的具体数量或大小。例如，$\frac{3}{4}$ 可以表示一个具体的数量，如$\frac{3}{4}$ 个苹果或$\frac{3}{4}$ 米等；分数的“率”是指分数所表示的比例或比率。它描述的是两个数量之间的关系，而不是一个具体的数量。例如吃了一块蛋糕的$\frac{3}{5}$ ，$\frac{3}{5}$ 不是具体的重量，而是表示吃掉的部分与整体之间的关系。这种对应关系通常通过分数的加减法来实现，而这一过程通常在分数乘除法之前发生。因此在解决分数除法应用题之前，应先从量纲角度明晰问题中“量”与“率”的含义。

当“量”与“率”相结合时，便形成了更为复杂的分数四则混合运算问题。特别地，作为“率”的分数，其形成的基础实质上是某一数量与单位“1”之间的相对比较关系。因此，在解答分数应用题时，无论是采用乘法还是除法，其列式过程都必须建立在“量”与“率”精确对应的基础之上。以人教版教材“小东读一本课外读物，已经读了35页，还剩下$\frac{2}{7}$ 没有读，这本课外读物一共有多少页？”一题为例，见图1。

Figure 1. Mapping between quantity and rate

图1. “量”“率”对应关系

结合图形可以清楚呈现部分量在整体中所占的份额，“已经读了35页”并未和分率“$\frac{2}{7}$ ”相对应，两者并不能直接相除，“已经读了35页”的对应分率为“$1-\frac{2}{7}=\frac{5}{7}$ ”，对于这一类分数，其基本的数量关系式为“部分 ÷ 整体 = 对应的分率”，以该式为基础可以演绎出两个变式：① 整体 × 对应的分率= 部分，即知道整体求部分用分数乘法；② 部分 ÷ 对应的分率 = 整体，即知道部分求整体用分数除法[4]。因此可借助图形帮助学生理解数量关系，根据数量关系式列出算式$35÷\left(1-\frac{2}{7}\right)$ ，进一步通过计算求出结果。

因此，可以借助实物图形，呈现部分量在整体中所占的份额，相较文字描述，在教学时结合图形表示“量”“率”关系更加直观化和简单化[6]，帮助学生理解加减这一步骤的作用是分析“量”和“率”的对应关系，而除法的步骤则是在此基础上进一步求出对应量的大小。

2.2. 单元整体教学视角：综合运用分数内涵

分数作为小学数学相对抽象的核心概念之一，其难点在于分数包含许多子概念，且其子概念具有一定的抽象性和层次性，例如“份数”“商”“测量”“运算”以及“比”等不同层次[7]。而分数概念是运算及分数问题解决的基础，因此解决分数应用题前应先明确分数的概念，理解分数的本质[8]。

在过去的分数应用题教学中，往往偏重于份数的定义教学，而未能充分重视分数其他定义的融合应用。为适应分数应用题的教学变革，我们应当利用分数不同定义间的内在联系，在分数、除法和比这一更宏大的单元框架下，为学生提供更为多样化的解题方法。

以沟通分数与“份数”和“比”的联系理解分数应用题为例，在教学中，教师可以灵活运用“份数”与“比”的关系处理分数应用题。在分数中，分母代表整体被分割成的份数，分数中的分子表示取出的份数。例如，在分数$\frac{3}{5}$ 中，5即表示整体被分成了5份，3表示取出其中的3份。学生初次接触分数的概念时，一般都采用份数的定义，一个是整体，另一个是平均分；分数还具有两个整数的比的意义，比的定义是份数定义的延伸7，根据分数的份数定义，分数表面上是“一份或几份”，其实表示的是部分和整体之比。以北师大版数学教材分数除法例题为例：有6名同学在跳绳，是操场上参加活动总人数的$\frac{2}{9}$ ，操场上参加活动的总人数是多少？结合“份数”的定义，2份是6名同学，1份就是3名同学，再求9份就是27名同学；结合“比”的定义，6名同学是操场上参加活动总人数的$\frac{2}{9}$ ，转化成比的形式：跳绳人数:活动总人数 = 2:9，6名同学相当于是两份的人数，则操场上参加活动的总人数是6 ÷ 2 × 9 = 27 (名)。

因此，基于单元整体教学的视角沟通分数的多重概念，有助于学生以更直观的方式解决分数除法应用题。但将“比”的概念引入分数乘除法的学习之前，学生首先以“份数”概念接触分数，因此在教学中教师在采用该视角进行教学之前，用通俗易懂的语言将“份数”关系引入分数应用题的教学，帮助学生理解“比”这一概念。

2.3. 构建数量关系式视角：借助符号表示未知量

解决分数除法应用题的一大关键是构建数量关系式，小学阶段“去方程”并不意味着不能够再“用”方程，而是仍然能够运用方程中的模型思想来解决问题。同时，史宁中老师指出，小学阶段将坐实用字母表示数[9]，用字母表示数为构建分数除法应用题中的数量关系式打下了坚实的基础。因此，在构建分数除法的数量关系式时，可以沿用方程的思想，借助符号表示数量关系式中的未知量，但不必出现方程的概念和设列解答的形式，正向建立数量关系后，可利用乘除互逆的关系求出结果，即将正向思维与逆向思维在分数除法应用题中同时体现，正向思维建立数量关系式，逆向思维求解未知数，双向融通，活跃思维；较为复杂的分数除法应用题涉及到分数混合运算，在求出结果时计算步骤较为繁琐，可以利用等式的性质进行求解。

同样以北师大版数学教材分数除法例题为例：有6名同学在跳绳，是操场上参加活动总人数的$\frac{2}{9}$ ，操场上参加活动的总人数是多少？首先，识别单位“1”是“活动总人数”，其次，根据分数除法的基本原理，将除法问题转化为乘法问题，根据乘法的数量关系模型可得数量关系式：总人数 × $\frac{2}{9}$ = 6人，再用“□”这一符号代表要求的总人数，即“□” × $\frac{2}{9}$ = 6，再利用乘除互逆的关系得到“□”代表的未知量，即$6÷\frac{2}{9}=$ “□”，进一步通过“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”求解未知数。

因此，在构建数量关系式时，首先要确保学生理解分数除法的基本原理，即分数除法可以转化为分数乘法，其次要确定单位“1”，通常单位“1”是题目中作为比较标准的量，最后根据分数除法的基本原理，将除法问题转化为乘法问题构建数量关系式，再用符号表示数量关系式中的未知量，最后进行求解。

3. 结论与建议

虽然现行数学教材编排时充分发挥了方程在分数应用问题中的优势，《2022年版课标》把方程内容从小学调整至初中后，分数除法应用题的教学变革需要教师和教材及时作出回应。本文提出三个视角可供新课标修订下的教师教学参考。(1) 几何直观视角能够帮助学生更加直观地明晰分数除法应用题中“量”“率”对应关系；(2) 单元整体教学视角能通过综合运用分数内涵，沟通分数多层含义，帮助学生从分数意义本身出发，多角度解决分数除法应用题；(3) 构建数量关系式视角能够借助符号表示未知量，帮助学生表征分数除法应用题中的数量关系式。在教学中，要从学生的认知角度出发，将三个视角相互融通，提升问题解决的效率，共同促进分数除法应用题的教学。

同时，教师在教学中还要再根据学生的思维水平以及所指向的核心素养对三个视角进行综合考量，恰当选择，帮助学生透过繁杂表象，深刻把握解决分数应用题的方法，同时，教材也要与时俱进，除去方程法外，选择更合适的解题视角，采用更多元的方法帮助学生解决问题。