一类含有对数项的Kirchhoff-Choquard方程解的存在性

Existence of Solutions to the Kirchhoff-Choquard Equation with Logarithmic Term

摘要: 本文研究了一类具有对数非线性的Kirchhoff-Choquard方程解的存在性。利用经典山路引理，证明了相应的能量泛函具有山路结构，且满足PS条件，从而方程至少存在一个非平凡解。

Abstract: In this article, the existence of solutions to a Kirchhoff-Choquard equation with logarithmic nonlinearities is studied. By using the classical mountain pass lemma, we proved that the energy functional of the problem has a mountain pass structure and satisfies the PS condition, so the studies problem admits at least a nontrivial solution.

1. 研究现状

近年来，具有对数非线性项或Choquard项的偏微分方程在量子力学、量子光学、核物理、输运和扩散现象、开放系统、有效量子引力、超流体理论和玻色–爱因斯坦凝聚中得到了许多应用[1]-[3]，关于相应的偏微分方程的定性性质、解的存在性和多重性已有许多结果，如对数项偏微分方程的研究见[4]-[9]及其中参考文献，对含Choquard项偏微分方程的研究见[10]-[14]及其中参考文献。在文献[4]中，Tian考虑了如下方程：

$\{\begin{array}{l}-\Delta u=a\left(x\right)u\log \left|u\right|,x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega ,\end{array}$ (1)

其中$\Omega$ 是${ℝ}^N$ 中的有界光滑区域且$N\ge 1$ ，当

$\underset{\overline{\Omega }}{\max }\left|a\left(x\right)\right|<2\pi {\text{e}}^{2-\frac{4{\left|\Omega \right|}_N}{Ne}},$

其中${\left|\Omega \right|}_N$ 为$\Omega$ 在${ℝ}^N$ 中的体积，作者通过Nehari流形和对数Sobolev不等式证明了方程(1)至少存在两个非平凡解。

在文献[6]中，Squassina和Szulkin研究了下列方程解的存在性：

$\{\begin{array}{l}-\Delta u+V\left(x\right)u=Q\left(x\right)u\log \left|u\right|,x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega ,\end{array}$ (2)

其中$V\left(x\right),Q\left(x\right)\in C\left({ℝ}^N\right)$ 并且满足$\underset{\Omega }{\min }V\left(x\right)>0$ ，$\underset{\Omega }{\min }\left(V\left(x\right)+Q\left(x\right)\right)>0$ ，作者将泛函分解为一个$C^1$ 泛函和一个凸下半连续泛函的和，从而得到不同几何解的存在性。Avenia [15]利用非光滑临界点理论证明了问题(2)存在唯一正解。

Yang [16]研究了以下拟线性Choquard方程：

$-\Delta u+V\left(x\right)u-u\Delta \left(u^2\right)=\left({\left|x\right|}^{-\mu }\ast {\left|u\right|}^p\right){\left|u\right|}^{p-2}u,x\in {ℝ}^N,$ (3)

其中$\mu \in \left(0,\frac{N+2}{2}\right)$ ，$N\ge 3$ 和$p\in \left(2,\frac{4N+4\mu }{N-2}\right)$ ，势函数V满足$V\in C\left({ℝ}^N,ℝ\right)$ 和$0<V_0\le V\left(x\right)$ ，且$\underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }V\left(x\right)=\infty$ 。作者通过摄动法，得到了问题(3)正解、负解和高能解的存在性。

在文献[17]中，Wen和Tang利用约束变分方法、拓扑度理论和新的能量估计不等式分析了以下方程：

$\{\begin{array}{l}-\left(a+b{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)\Delta u+V\left(x\right)u={\left|u\right|}^{p-2}u\log \left|u\right|,x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega ,\end{array}$ (4)

其中参数$a,b$ 为两个正常数，$4<p<2^{*}$ ，$\Omega \subset {ℝ}^3$ 是一个光滑有界区域并且满足$V:\Omega \to ℝ$ ，作者得到了问题(4)具有两个基态解和基态变号解的存在性。

据我们所知，Kirchhoff方程为偏微分方程的经典问题，Choquard方程的理论和应用研究被广大学者所关注，己经逐渐成为了一个国际研究的前沿问题，但研究Kirchhoff-Choquard方程的文献还比较少。本文基于以上文献的分析，引发出一个很自然的问题：含有对数非线性问题的Kirchhoff-Choquard方程在$\Omega$ 中是否存在非平凡解？这对用非线性泛函分析去研究非线性偏微分方程具有实际意义。而问题中非线性对数项的出现使得能量泛函不满足单调性条件，Choquard项的处理也很关键。因此，本文考虑使用经典不等式和一些放缩技巧来解决这个问题。因此，我们考虑这个方程所对应的能量泛函是否会满足山路引理和Palais-Smale (PS)条件。

本文讨论如下含有对数非线性问题的Kirchhoff-Choquard方程：

$\{\begin{array}{l}-\left(a+b{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)\Delta u+V\left(x\right)u=\lambda u\log \left|u\right|+\beta \left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}y}\right){\left|u\right|}^{p-2}u,x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega ,\end{array}$ (5)

其中$\Omega \subset {ℝ}^N$ 是一个光滑有界区域，并且$a>0,b\ge 0,0<\mu <N，N\ge 3,\lambda ,\beta$ 是正实参数，$2<p<2_{\mu }^{*}$ ，此时$2_{\mu }^{*}=\frac{2N}{N-2}$ 。下面给出本文的主要结果：

定理1.1 如果$V\in L^{3/2}\left(\Omega \right)$ ，且$V_0=\underset{u\in \Omega }{\inf }V\left(x\right)>-\infty$ ，则问题(5)至少存在一个非平凡解。

2. 理论基础

本文对$H_0^1\left(\Omega \right)$ 空间的范数做出以下定义：

${\Vert u\Vert }_{H_0^1\left(\Omega \right)}=:\Vert u\Vert ={\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)}^{1/2}.$

定义$H_0^1\left(\Omega \right)$ 空间的内积为：

$\left(u,v\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\text{d}x}.$

$L^p\left(\Omega \right)\left(1\le p<\infty \right)$ 为具有范数的Lebesgue空间并有以下定义：

${\left|u\right|}_p={\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}.$

$C,C_i,i=1,2,\cdots$ 表示不同的正常数。

定理 2.1 假设E是一个实的Banach空间，$I\in C^1\left(E,ℝ\right)$ 满足PS条件且$I\left(0\right)=0$ 。若I满足山路结构，即

i) 存在常数$r,\eta >0$ ，当$\Vert u\Vert =r$ 时，有$I\left(u\right)\ge \eta$ 成立。

ii) 存在$e\in H_0^1\left(\Omega \right)$ ，当$\Vert e\Vert >r$ 时，有$I\left(e\right)<0$ 成立。

定义

$\Gamma =\left\{\gamma \in C\left[0,1\right],E:\gamma \left(0\right)=0,\gamma \left(1\right)=e\right\},$

那么，$c:={\inf }_{\gamma \in \text{}\Gamma }{\max }_{t\in \left[0,1\right]}I\left(\gamma \left(t\right)\right)$ 是I的一个临界值。

为了得到我们的结果满足定理2.1，问题(5)的能量泛函I可以定义为

$I\left(u\right)=\frac{a}{2}{\Vert u\Vert }^2-\frac{b}{4}{\Vert u\Vert }^4+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }V{u}^2\text{d}x}-\frac{\lambda }{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2\log \left|u\right|\text{d}x}+\frac{\lambda }{4}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2\text{d}x}-\frac{\beta }{2p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\text{}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^p{\left|u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}.$

为了方便，我们不妨定义

$G\left(u\right)=:{\displaystyle {\int }_{\Omega }\text{}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^p{\left|u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}.$

任给的$u\in H_0^1\left(\Omega \right)$ 是问题(5)的弱解，是指如下等式成立：

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(a\nabla u\cdot \nabla v+Vuv\right)\text{d}x}+b{\Vert u\Vert }^2\left(u,v\right)\\ =\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }uv\log \left|u\right|\text{d}x}+\beta {\displaystyle {\int }_{\Omega }\text{}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^p{\left|u\left(y\right)\right|}^{p-2}u\left(y\right)v\left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y},v\in H_0^1\left(\Omega \right).\end{array}$

为了证明本文的主要结论，需要如下几个引理。

引理2.2 (对数Sobolev不等式[18])设任意$u\in H_0^1\left(\Omega \right)$ ，c是任意正常数，那么有

$2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\left(x\right)\right|}^2\log \left(\frac{\left|u\right|}{{\left|u\right|}_2}\right)\text{d}x}+N\left(1+\log c\right){\left|u\right|}_2^2\le \frac{c^2}{\pi }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x},$

不妨定义当$x\in {ℝ}^N\backslash \Omega$ 时，都有$u\left(x\right)=0$ 成立。由对数Sobolev不等式，有

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\left(x\right)\right|}^2\log \left(\frac{\left|u\right|}{{\left|u\right|}_2}\right)\text{d}x}\le \frac{N}{2}\left(1+\log c\right){\left|u\right|}_2^2-\frac{c^2}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}.$ (6)

引理2.3 ([19]，引理2.13)设$N\ge 3$ ，$a\in L^{N/2}\left(\Omega \right)$ ，则泛函$\psi :H_0^1\left(\Omega \right)\to ℝ$ ，

$\psi \left(u\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }a{u}^2\text{d}x},u\in H_0^1\left(\Omega \right),$

是弱连续的。

引理2.4 ([20]，定理4.3)设$t,q>1,0<\mu <N$ 并且$\frac{1}{t}+\frac{1}{q}+\frac{\mu }{N}=2,f\left(x\right)\in L^t\left({ℝ}^N\right),h\left(x\right)\in L^q\left({ℝ}^N\right)$ ，则存在一个正常数$C\left(t,\mu ,N,q\right)$ 使得

$\left|{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\text{}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\frac{\left|f\left(x\right)\right|\left|h\left(x\right)\right|}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}\right|\le C\left(t,\mu ,N,q\right){\left|f\right|}_t{\left|h\right|}_q.$

令$f\left(x\right)={\left|u\left(x\right)\right|}^p,h\left(x\right)={\left|u\left(y\right)\right|}^p$ ，我们有

$\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }\text{}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^p{\left|u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}\right|\le C\left(t,\mu ,N,q\right){\left|u\left(x\right)\right|}_t^p{\left|u\left(y\right)\right|}_q^p.$ (7)

利用Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，存在一个常数$\tilde{C}\left(t,\mu ,N,q\right)>0$ 使得

$\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }\text{}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{*}}{\left|u\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{*}}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}\right|\le \tilde{C}\left(t,\mu ,N,q\right){\left|u\right|}_{2_{\mu }^{*}}^{{22}_{\mu }^{*}},\forall u\in H_0^1\left(\Omega \right).$

通过Sobolev嵌入定理，我们可以得到存在$C\left(t,\mu ,N,q\right)>0$ 使得

$\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }\text{}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{*}}{\left|u\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{*}}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}\right|\le C\left(t,\mu ,N,q\right){\left|u\right|}^{{22}_{\mu }^{*}}.$

最后，通过计算可以得到

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\text{}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^p{\left|u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}={\displaystyle {\int }_{\Omega }\text{}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^p{\left|u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}_{}^{\mu \frac{p}{2_{\mu }^{*}}}}\frac{1}{{\left|x-y\right|}_{}^{\mu \left(1-\frac{p}{2_{\mu }^{*}}\right)}}\text{d}x\text{d}y}\\ \le C_1{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\text{}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{*}}{\left|u\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{*}}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}\right)}^{\frac{p}{2_{\mu }^{*}}}\\ \le C_2{\Vert u\Vert }^{2p},\end{array}$ (8)

其中$2<p<2_{\mu }^{*}$ 。

3. 主要结果的证明

在本节中，我们首先利用一些常用的不等式和一些分析技巧来证明泛函I满足山路结构和PS条件。

引理3.1 存在常数$r,\eta >0$ ，当$\Vert u\Vert =r$ 时，有$I\left(u\right)\ge \eta$ 成立。

证明

$\begin{array}{l}I\left(u\right)=\frac{a}{2}{\Vert u\Vert }^2-\frac{b}{4}{\Vert u\Vert }^4+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }V{u}^2\text{d}x}-\frac{\lambda }{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2\log \left|u\right|\text{d}x}+\frac{\lambda }{4}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2\text{d}x}-\frac{\beta }{2p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\text{}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^p{\left|u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}\\ =\frac{a}{2}{\Vert u\Vert }^2-\frac{b}{4}{\Vert u\Vert }^4+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }V{u}^2\text{d}x}-\frac{\lambda }{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2\log \frac{\left|u\right|}{{\left|u\right|}_2}\text{d}x}-\frac{\lambda }{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2\log {\left|u\right|}_2\text{d}x}+\frac{\lambda }{4}{\left|u\right|}_2-\frac{\beta }{2p}G\left(u\right)\\ \ge \frac{a}{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }V{u}^2\text{d}x}+\frac{\lambda }{4}{\left|u\right|}_2-\frac{\lambda c^2}{4\pi }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}+\frac{\lambda N}{4}\left(1+\log c\right){\left|u\right|}_2^2-\frac{\lambda }{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2\log {\left|u\right|}_2\text{d}x}-\frac{\beta }{2p}G\left(u\right)\\ =\frac{a}{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }V{u}^2\text{d}x}+\frac{\lambda }{4}{\left|u\right|}_2-\frac{\lambda c^2}{4\pi }{\Vert u\Vert }^2+\left[\frac{\lambda N}{4}\left(1+\log c\right)-\frac{\lambda \log {\left|u\right|}_2}{2}\right]{\left|u\right|}_2^2-\frac{\beta }{2p}G\left(u\right).\end{array}$

取$c=\sqrt{\frac{\pi a}{\lambda }}$ ，并利用(7)，我们有

$\begin{array}{l}I\left(u\right)\ge \frac{a}{4}{\Vert u\Vert }^2+\frac{1}{8}\left(8+4V_0+3\log \left(\pi a\right)-4\log {\left|u\right|}_2\right){\left|u\right|}_2^2-\frac{\beta }{2p}G\left(u\right)\\ \ge \frac{a}{4}{\Vert u\Vert }^2+\frac{1}{8}\left(8+4V_0+3\log \left(\pi a\right)-4\log {\left|u\right|}_2\right){\left|u\right|}_2^2-C_3{\left|u\left(x\right)\right|}_t^p{\left|u\left(y\right)\right|}_q^p\\ \ge \frac{a}{4}{\Vert u\Vert }^2-C_4{\Vert u\Vert }^{2p}.\end{array}$

只要正数r足够小且满足$\Vert u\Vert =r$ 和${\left|u\right|}_2^2\le C_5{\Vert u\Vert }^2\le {\left(\pi a\right)}^{\frac{2}{3}}{e}^{4+2V_0}$ 时，则存在$\eta >0$ 使得$I\left(u\right)\ge \eta$ 成立。

引理3.2 存在$e\in H_0^1\left(\Omega \right)$ ，当$\Vert e\Vert >r$ 时，有$I\left(e\right)<0$ 成立。

证明

$\begin{array}{l}I\left(tu\right)=\frac{a{t}^2}{2}{\Vert u\Vert }^2-\frac{b{t}^4}{4}{\Vert u\Vert }^4+\frac{t^2}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }V{u}^2\text{d}x}-\frac{\lambda t^2}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2\log \left|u\right|\text{d}x}+\frac{\lambda t^2}{4}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2\text{d}x}-\frac{\beta t^2}{2p}G\left(u\right)\\ =\frac{a{t}^2}{2}{\Vert u\Vert }^2-\frac{b{t}^4}{4}{\Vert u\Vert }^4+\frac{t^2}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }V{u}^2\text{d}x}-\frac{\lambda t^2\log t}{2}{\left|u\right|}_2^2-\frac{\lambda t^2}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2\log \left|u\right|\text{d}x}+\frac{\lambda t^2}{4}{\left|u\right|}_2^2-\frac{\beta t^2}{2p}G\left(u\right)\end{array}$

当$p>2$ 且$t\to \infty$ 时，我们有$I\left(tu\right)\to -\infty$ 成立。当$t_0$ 足够大时，存在$\Vert t_{0}u\Vert >r$ 且$I\left(tu\right)<0$ 成立，显然存在$e=t_{0}u$ 使得$I\left(e\right)\to 0$ ，引理3.2的证明就完成了。

引理3.1和引理3.2的证明说明能量泛函I满足山路结构，接下来只要证明泛函I满足PS条件就完成了证明。

引理3.3 泛函I满足PS条件。

证明 假设$\left\{u_n\right\}\subset H_0^1\left(\Omega \right)$ 是I的一个PS序列，那么存在$z>0$ 使得对于所有的n，都有$I\left(u_n\right)\to z$ 成立，而且当$n\to \infty$ 时，$I\left(u_n\right)\to 0$ 。首先，我们证明$\left\{u_n\right\}$ 在$H_0^1\left(\Omega \right)$ 中有界。事实上，对所有的n，通过Sobolev嵌入定理和式(8)，可得

$\begin{array}{c}z+o\left(1\right)\Vert u_n\Vert \ge I\left(u_n\right)-\frac{1}{p}\left(I\left(u_n\right),u_n\right)\\ \ge \left(\frac{a}{2}-\frac{a}{p}\right){\Vert u_n\Vert }^2-\left(\frac{b}{4}-\frac{b}{p}\right){\Vert u_n\Vert }^4+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{p}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }V{u}_n^2\text{d}x}\\ -\left(\frac{\lambda }{2}-\frac{\lambda }{p}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}_n^2\log \left|u_n\right|\text{d}x}+\frac{\lambda }{4}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}_n^2\text{d}x}-\frac{\beta }{2p}G\left(u_n\right)\\ \ge \left(\frac{a}{2}-\frac{a}{p}\right){\Vert u_n\Vert }^2-\left(\frac{b}{4}-\frac{b}{p}\right){\Vert u_n\Vert }^4+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{p}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }V{u}_n^2\text{d}x}-\left(\frac{\lambda }{2}-\frac{\lambda }{p}\right){\left|u_n\right|}_3^3-\frac{\beta }{2p}G\left(u_n\right)\\ \ge \left(\frac{a}{2}-\frac{a}{p}-C_6\right){\Vert u_n\Vert }^2-\left(\frac{b}{4}-\frac{b}{p}\right){\Vert u_n\Vert }^4+C_7{\Vert u_n\Vert }^3-C_8{\Vert u_n\Vert }^{2p}.\end{array}$

所以$\left\{u_n\right\}$ 在$H_0^1\left(\Omega \right)$ 中有界。其次，我们证明$\left\{u_n\right\}$ 在$H_0^1\left(\Omega \right)$ 中有收敛子列. 因为$\left\{u_n\right\}$ 在$H_0^1\left(\Omega \right)$ 中有界，所以不妨设子列$u_n\to u,n\to \infty$ 。于是有

$\begin{array}{l}{o}_n=\left(I^{\prime }\left(u_n\right)-I^{\prime }\left(u\right),u_n-u\right)\\ =a\Vert u_n-u\Vert +{\displaystyle {\int }_{\Omega }V{\left(u_n-u\right)}^2\text{d}x}+b\left[{\Vert u_n\Vert }^4-{\Vert u_n\Vert }^2\left(u_n,u\right)+{\Vert u\Vert }^2\left(u_n,u\right)+{\Vert u\Vert }^4\right]\\ -{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(u_n\log \left|u_n\right|-u\log \left|u\right|\right)\left(u_n-u\right)\text{d}x}-G_n\left(x,y\right),\end{array}$

其中

$G_n\left(x,y\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }\text{}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{\left({\left|u_n\left(x\right)\right|}^p{\left|u_n\left(y\right)\right|}^{p-2}{u}_n\left(y\right)-{\left|u\left(x\right)\right|}^p{\left|u\left(y\right)\right|}^{p-2}u\left(y\right)\right)\left(u_n\left(y\right)-u\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}.$

当$2\le \frac{2Np}{2N-\mu }<{22}^{*}$ 时，在空间$L^{\frac{2Np}{2N-\mu }}$ 中有$u_n\to u$ ，那么我们可以得到存在函数$Q\in L^{\frac{2Np}{2N-\mu }}\left(\Omega \right)$ 使得$\left|u_n\left(x\right)\right|,\left|u\left(x\right)\right|\le Q\left(x\right)$ 成立。通过文献[19]中的定理A.1和Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，有

$\left|G_n\left(x,y\right)\right|\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }\text{}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{2{\left|Q\left(x\right)\right|}^p{\left|Q\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}\in L^1\left(\Omega \times \Omega \right).$

事实上$G_n\left(x,y\right)$ 在$\left(x,y\right)\in \Omega \times \Omega$ 几乎处处都为0，这意味着

$G_n\left(x,y\right)=o_n\left(1\right).$ (9)

通过Hölder不等式，我们有

$\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(u_n\log \left|u_n\right|-u\log \left|u\right|\right)\left(u_n-u\right)\text{d}x}\right|\le {\left|u_n\log \left|u_n\right|-u\log \left|u\right|\right|}_2{\left|u_n-u\right|}_2\to 0,$ (10)

并且

$\begin{array}{c}{\Vert u_n\Vert }^4-{\Vert u_n\Vert }^2\left(u_n,u\right)+{\Vert u\Vert }^2\left(u_n,u\right)+{\Vert u\Vert }^4\ge {\Vert u_n\Vert }^4-{\Vert u_n\Vert }^3\Vert u\Vert +{\Vert u\Vert }^3\Vert u_n\Vert +{\Vert u\Vert }^4\\ =\left({\Vert u_n\Vert }^3-{\Vert u\Vert }^3\right)\left(\Vert u_n\Vert -\Vert u\Vert \right)\ge 0.\end{array}$ (11)

因为$V\in L^{3/2}\left(\Omega \right)$ ，由命题2.2，我们有

${\displaystyle {\int }_{\Omega }V{\left(u_n-u\right)}^2\text{d}x}\to 0.$ (12)

根据(9)~(11)，我们得到$\Vert u_n-u\Vert \to 0$ ，这样我们就找到了一个收敛子列，即$H_0^1\left(\Omega \right)$ 中任意PS序列都存在收敛子列。证毕。

引理3.1、引理3.2和引理3.3表明，能量泛函I满足山路结构和PS条件。根据定理2.1，泛函I在$H_0^1\left(\Omega \right)$ 内至少有一个非平凡临界点，也就是方程(5)至少存在一个非平凡解。因此，定理1.1的结论成立。