$\varphi$-压缩不动点理论在Lidstone边界条件下弹性梁方程中的应用

Application of $\varphi$-Compressed Fixed Point Theory to Elastic Beam Equations with Lidstone Boundary Conditions

摘要: 运用几乎$\varphi$ -压缩不动点理论讨论了带Lidstone边界条件的弹性梁方程$\{\begin{array}{l}{y}^{\left(4\right)}\left(x\right)+\left(k_1+k_2\right)y^{″}\left(x\right)+k_1{k}_{2}y\left(x\right)=f\left(x,y\left(x\right)\right),x\in \left[0,1\right],\\ y\left(0\right)=y\left(1\right)=y^{″}\left(0\right)=y^{″}\left(1\right)=0\end{array}$ 非平凡解的存在唯一性，其中$f:\left[0,1\right]\times \left[0,+\infty \right)\to \left[0,+\infty \right)$ 为连续函数，$k_1$ 和$k_2$ 均为常数。

Abstract: The existence and uniqueness of nontrivial solution to the elastic beam equation$\{\begin{array}{l}{y}^{\left(4\right)}\left(x\right)+\left(k_1+k_2\right)y^{″}\left(x\right)+k_1{k}_{2}y\left(x\right)=f\left(x,y\left(x\right)\right),x\in \left[0,1\right],\\ y\left(0\right)=y\left(1\right)=y^{″}\left(0\right)=y^{″}\left(1\right)=0\end{array}$ with Lidstone boundary conditions were obtained using almost $\varphi$ -compressed fixed point theory, where $f:\left[0,1\right]\times \left[0,+\infty \right)\to \left[0,+\infty \right)$ is a continuous function, $k_1$ and $k_2$ are constants.

1. 引言

弹性梁常见的应用场景主要包括建筑物、桥梁、隧道和管道等，例如当应用于建筑物时，可以通过增加地基的有效面积，分散建筑物的荷载，从而降低地基承载压力，较之于传统刚性基础导致建筑物的沉降或倾斜，其保障了建筑物的稳定性和安全性。因此，关于弹性梁的研究引起了众多学者的广泛兴趣[1] [2]。四阶常微分方程是描述弹性梁在外力作用下挠度的数学模型，也称弹性梁方程，根据弹性梁两端应力状态的多样性，已有许多学者对不同边界条件下弹性梁方程解的情形进行了研究并取得了一系列丰硕的成果，参见[3]-[9]及其参考文献等。

2018年，Saavedra [3]借助不动点理论在非线性项满足一些有界性限制的条件下证明了弹性梁方程$y^{\left(4\right)}\left(x\right)=f\left(x,y\left(x\right)\right),x\in \left[0,1\right]$ 在两端简单支撑条件

$\left(C\right):y\left(0\right)=y\left(1\right)=y^{″}\left(0\right)=y^{″}\left(1\right)=0$

下至少存在两个正解。2021年，Wei [4]运用Leray-Schauder不动点定理研究了一端固定一端简单支撑的弹性梁边值问题

$\{\begin{array}{l}{y}^{\left(4\right)}\left(x\right)=f\left(x,y,y^{\prime },y^{″},y^{‴}\right),x\in \left[0,1\right],\\ y\left(0\right)=y\left(1\right)=y^{\prime }\left(0\right)=y^{″}\left(1\right)=0\end{array}$

解的存在唯一性，其中非线性项$f:\left[0,1\right]\times R^4\to R$ 连续且满足线性增长条件。2023年，Abderrazek [5]又通过临界点理论探讨了弹性梁方程$y^{\left(4\right)}\left(x\right)+M{y}^{″}=\lambda f\left(x,y\right),x\in \left(0,1\right)$ 在边界条件(C)下多重变号解的存在性，其中$f\in C\left(\left[0,1\right]\times R,R\right)$ ，$M\in R$ ，$\lambda >0$ 。

2006年，Ma [6]运用分歧方法考虑了微分方程边值问题

$\{\begin{array}{l}{y}^{\left(4\right)}\left(x\right)+\eta y^{″}\left(x\right)-\zeta y\left(x\right)=\lambda h\left(x\right)f\left(y\left(x\right)\right),x\in \left[0,1\right],\\ y\left(0\right)=y\left(1\right)=y^{″}\left(0\right)=y^{″}\left(1\right)=0\end{array}$

解的存在性和多重性，其中$\eta \in \left(-\infty ,+\infty \right),\zeta \in \left[0,+\infty \right)$ 为常数且$\frac{\eta }{{\pi }^2}+\frac{\zeta }{{\pi }^4}<1$ 。2018年，Ma [7]借助上下解方法和非共轭理论获得了弹性梁方程

$y^{\left(4\right)}\left(x\right)+\left(k_1+k_2\right)y^{″}\left(x\right)+k_1{k}_{2}y\left(x\right)=f\left(x,y\left(x\right)\right),x\in \left[0,1\right]$

在边界条件(C)下解的存在性，其中参数$0<k_1<k_2<{\pi }^2$ 。

通过以上的文献发现：关于研究弹性梁方程边值问题解的工具非常广泛，例如单调迭代技巧、上下解方法、不动点指数、Leray-Schauder不动点定理、锥上的不动点定理及分歧方法等，但不论利用何种方法讨论问题(1)的解，对于非线性项的限制条件比较单一，自然地，如果引入(c)-comparison函数(见定义2)在现有基础上对非线性项加以额外的限定条件又会得到什么样的结果？特别地，1968年，Browder [10]在Banach压缩原理的基础上首次给出了$\varphi$ -压缩的概念；2004年，Berinde [11]又给出了几乎压缩的定义，直到2022年，Khan [12]在几乎压缩下证明了一些不动点结果；2023年，Algehyne [13] [14]又将$\varphi$ -压缩一般化到关系度量空间。受到文献[7] [13] [14]的启发，本文运用几乎$\varphi$ -压缩不动点理论研究带Lidstone边界条件的弹性梁边值问题

$\{\begin{array}{l}{y}^{\left(4\right)}\left(x\right)+\left(k_1+k_2\right)y^{″}\left(x\right)+k_1{k}_{2}y\left(x\right)=f\left(x,y\left(x\right)\right),x\in \left[0,1\right],\\ y\left(0\right)=y\left(1\right)=y^{″}\left(0\right)=y^{″}\left(1\right)=0\end{array}$ (1)

解的存在性，其中$f:\left[0,1\right]\times \left[0,+\infty \right)\to \left[0,+\infty \right)$ 为连续函数，$k_1,k_2$ 均为常数。

2. 预备知识

记N，R分别表示自然数集和实数集，P为R上的集合。

考虑边值问题(1)所对应的齐次边值问题

$\{\begin{array}{l}{y}^{\left(4\right)}\left(x\right)+\left(k_1+k_2\right)y^{″}\left(x\right)+k_1{k}_{2}y\left(x\right)=0,x\in \left[0,1\right],\\ y\left(0\right)=y\left(1\right)=y^{″}\left(0\right)=y^{″}\left(1\right)=0,\end{array}$ (2)

接下来，分不同的情形讨论齐次边值问题(2)的格林函数。

• 当$0<k_1<k_2<{\pi }^2$ 时，记$k_1=r^2$ ，$k_2=m^2$ ，其中$r>0$ ，$m>0$ ，上述问题可转化为如下边值问题

$\{\begin{array}{l}{y}^{\left(4\right)}\left(x\right)+\left(m^2+r^2\right)y^{″}\left(x\right)+r^2{m}^{2}y\left(x\right)=0,x\in \left[0,1\right],\\ y\left(0\right)=y\left(1\right)=y^{″}\left(0\right)=y^{″}\left(1\right)=0.\end{array}$ (3)

定义线性算子$L_1:D\left(L\right)\to P$ ，

$L_{1}y:=y^{\left(4\right)}\left(x\right)+\left(m^2+r^2\right)y^{″}\left(x\right)+r^2{m}^{2}y\left(x\right),x\in \left[0,1\right],y\in D\left(L\right),$

其中

$D\left(L\right):=\left\{y\in C^4\left[0,1\right],y\left(0\right)=y\left(1\right)=y^{″}\left(0\right)=y^{″}\left(1\right)=0\right\}.$

引理1 [7]设$m,r\in \left(0,\pi \right)$ ，则$L_{1}y$ 的格林函数

$G_1\left(x,s\right)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{m^2-r^2}\left[\frac{\sin r\left(s-1\right)\sin rx}{r\sin r}-\frac{\sin m\left(s-1\right)\sin mx}{m\sin m}\right],0\le x\le s\le 1,\hfill \\ \frac{1}{m^2-r^2}\left[\frac{\sin r\left(x-1\right)\sin rs}{r\sin r}-\frac{\sin m\left(x-1\right)\sin ms}{m\sin m}\right],0\le s\le x\le 1,\hfill \end{array}$ (4)

且

$G_1\left(x,s\right)>0,\left(x,s\right)\in \left(0,1\right)\times \left(0,1\right).$

• 当$k_1<0<k_2<{\pi }^2$ 时，记$k_1=-r^2$ ，$k_2=m^2$ ，其中$r>0$ ，$m>0$ ，则边值问题(2)可以转化为

$\{\begin{array}{l}{y}^{\left(4\right)}\left(x\right)+\left(m^2-r^2\right)y^{″}\left(x\right)-r^2{m}^{2}y\left(x\right)=0,x\in \left(0,1\right),\\ y\left(0\right)=y\left(1\right)=y^{″}\left(0\right)=y^{″}\left(1\right)=0.\end{array}$ (5)

定义线性算子$L_2:D\left(L\right)\to P$ ，

$L_{2}y:=y^{\left(4\right)}\left(x\right)+\left(m^2-r^2\right)y^{″}\left(x\right)-r^2{m}^{2}y\left(x\right),x\in \left(0,1\right),y\in D\left(L\right),$

引理2 [8]设$m\in \left(0,\pi \right)$ ，$r\in \left(0,\infty \right)$ ，则$L_{2}y$ 的格林函数

$G_2\left(x,s\right)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{m^2+r^2}\left[\frac{\sin mx\sin m\left(s-1\right)}{m\sin m}-\frac{\sinh rx\sinh r\left(1-s\right)}{r\sinh r}\right],0\le x\le s\le 1,\hfill \\ \frac{1}{m^2+r^2}\left[\frac{\sin ms\sin m\left(x-1\right)}{m\sin m}-\frac{\sinh rs\sinh r\left(1-x\right)}{r\sinh r}\right],0\le s\le x\le 1,\hfill \end{array}$

且

$G_2\left(x,s\right)\ge 0,\left(x,s\right)\in \left[0,1\right]\times \left[0,1\right].$

• 当$k_1<k_2<0$ 时，记$k_1=-r^2$ ，$k_2=-m^2$ ，其中$r>m>0$ ，则边值问题(2)可转化为

$\{\begin{array}{l}{y}^{\left(4\right)}\left(x\right)-\left(m^2+r^2\right)y^{″}\left(x\right)+r^2{m}^{2}y\left(x\right)=0,x\in \left(0,1\right),\\ y\left(0\right)=y\left(1\right)=y^{″}\left(0\right)=y^{″}\left(1\right)=0.\end{array}$ (6)

定义线性算子$L_3:D\left(L\right)\to P$ ，

$L_{3}y:=y^{\left(4\right)}\left(x\right)-\left(m^2+r^2\right)y^{″}\left(x\right)+r^2{m}^{2}y\left(x\right),x\in \left(0,1\right),y\in D\left(L\right),$

引理3 [9]设$m,r\in \left(0,\infty \right)$ ，则$L_{3}y$ 的格林函数

$G_3\left(x,s\right)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{r^2-m^2}\left[\frac{\sinh r\left(s-1\right)\sinh rx}{r\sinh r}-\frac{\sinh m\left(s-1\right)\sinh mx}{m\sinh m}\right],0\le x\le s\le 1,\hfill \\ \frac{1}{r^2-m^2}\left[\frac{\sinh r\left(x-1\right)\sinh rs}{r\sinh r}-\frac{\sinh m\left(x-1\right)\sinh ms}{m\sinh m}\right],0\le s\le x\le 1,\hfill \end{array}$

且

$G_3\left(x,s\right)\ge 0,\left(x,s\right)\in \left[0,1\right]\times \left[0,1\right].$

不失一般性，本文讨论在$0<k_1<k_2\le {\pi }^2$ 情形下弹性梁边值问题(1)解的情形。

引理4设$g(\cdot )\in C\left[0,1\right]$ ，则边值问题

$\{\begin{array}{l}{y}^{\left(4\right)}\left(x\right)+\left(k_1+k_2\right)y^{″}\left(x\right)+k_1{k}_{2}y\left(x\right)=g\left(x\right),x\in \left[0,1\right],\\ y\left(0\right)=y\left(1\right)=y^{″}\left(0\right)=y^{″}\left(1\right)=0\end{array}$ (7)

存在解

$y\left(x\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(x,s\right)g\left(s\right)\text{d}s},0\le x\le 1,$

其中$G\left(x,s\right)=G_1\left(x,s\right)$ 是边值问题(7)对应的格林函数。

由引理1可知，$G\left(x,s\right)>0$ ，$\left(x,s\right)\in \left(0,1\right)\times \left(0,1\right)$ 。记

$\tilde{m}=\underset{0\le x,s\le 1}{\min }G\left(x,s\right),\tilde{M}=\underset{0\le x,s\le 1}{\max }G\left(x,s\right),$

则显然有$0<\tilde{m}<\tilde{M}<\infty$ 。

接下来给出本文用到的定义和研究工具。

给定集合P上的二元关系G，即P²上的一个子集，$\rho$ 是P上的度量，$J:P\to P$ 是一个映射。

定义1 [10]若存在函数$\varphi :\left[0,\infty \right)\to \left[0,\infty \right)$ ，使得

$\rho \left(Jp,Jq\right)\le \varphi \left(\rho \left(p,q\right)\right),\forall p,q\in P,$

则称度量空间$\left(P,\rho \right)$ 上的函数$J:P\to P$ 是$\varphi$ -压缩的。

定义2 [15]若

(i) $\varphi$ 单调递增；

(ii) ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\varphi }^i\left(a\right)}<\infty ,\forall a>0$ ；

则称函数$\varphi :\left[0,\infty \right)\to \left[0,\infty \right)$ 是(c)-comparison函数。

注记1 [15]对于任意的(c)-comparison函数$\varphi$ 有下列性质：

(i) $\varphi \left(a\right)<a,\forall a>0$ ；

(ii) $\varphi \left(0\right)=0$ ；

(iii) $\varphi$ 在0点右连续。

定义3 [16]若$\left(p,q\right)\in G$ 或$\left(q,p\right)\in G$ ，则称$p,q\in P$ 是G-比较的。

定义4 [16]若G满足

$\left(Jp,Jq\right)\in G$ ，$\forall p,q\in P$ 且$\left(p,q\right)\in G$ ，

则称G是J-闭的。

定义5 [16]若$\left(p_n,p_{n+1}\right)\in G$ ，$\forall n\in N$ ，则称序列$\left\{p_n\right\}\subset P$ 是G-保持的。

定义6 [17] G在集合$Q\subseteq P$ 上的限制即关系${G|}_Q:=G\cap Q^2$ 。

定义7 [18]若P上G-保持的Cauchy列均收敛，则称$\left(P,\rho \right)$ 是G-完备的。

定义8 [18]若对于任意G-保持且满足$p_n\stackrel{\rho }{\to }p$ 的序列$\left\{p_n\right\}\subset P$ ，有$J\left(p_n\right)\stackrel{\rho }{\to }J\left(p\right)$ ，则称J在$p\in P$ 处是G-连续的。如果J在P上每一点处都是G-连续的，那么J在P上是G-连续的。

定义9 [16]若对于P上任意G-保持的收敛列，存在以收敛极限为极限的子序列是G-比较的，则G是$\rho$ -自闭的。

接下来给出本文的研究工具：

引理5 [14] ($\varphi$ -压缩不动点定理)设集合P上具有二元关系G和度量$\rho ,J:P\to P$ 为函数，若满足

(i) $\left(P,\rho \right)$ 是G-完备度量空间；

(ii) $\left\{p\in P:\left(p,Jp\right)\in G\right\}\ne \varnothing$ ；

(iii) G是J-闭的；

(iv) J是G-连续的，或G是$\rho$ -自闭的；

(v) 存在(c)-comparison函数$\varphi$ 和常数$L\ge 0$ 满足

$\rho \left(Jp,Jq\right)\le \varphi \left(\rho \left(p,q\right)\right)+L\rho \left(p,Jp\right),\forall p,q\in P且\left(p,q\right)\in G$ ；

(vi) ${G|}_{J\left(P\right)}$ 完备；

则J存在唯一不动点。

3. 主要结果及其证明

定理1假设存在(c)-comparison函数$\varphi$ 和常数$L\ge 0$ 满足

$0\le f\left(x,\alpha \right)-f\left(x,\beta \right)\le \frac{1}{L}\varphi \left(\alpha -\beta \right),\forall x\in \left[0,1\right],\alpha ,\beta \in R且\alpha \ge \beta$ (8)

此外，若存在$h\in C\left[0,1\right]$ ，使得

${\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(x,s\right)f\left(s,h\left(s\right)\right)\text{d}s}\le h\left(x\right),\forall x\in \left[0,1\right]$ (9)

成立，其中$G\left(x,s\right)=G_1\left(x,s\right)$ 由式(4)给出，则边值问题(1)存在唯一非平凡解。

证明：边值问题(1)等价于积分方程

$y\left(x\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(x,s\right)f\left(s,y\left(s\right)\right)\text{d}s},\forall x\in \left[0,1\right]$ ，

由引理1可知，$G\left(x,s\right)>0$ ，$\forall \left(x,s\right)\in \left(0,1\right)\times \left(0,1\right)$ 。

记$P:=C\left[0,1\right]$ 中度量

$\rho \left(u,v\right)=\underset{x\in \left[0,1\right]}{\max }\left|u\left(x\right)-v\left(x\right)\right|,\forall u,v\in P$ 。

考虑P中的二元关系G，

$\left(u,v\right)\in G\left(u,v\right)\in G\iff u\left(x\right)\ge v\left(x\right),\forall u,v\in P,\forall x\in \left[0,1\right]$ 。

易知$\left(P,\rho \right)$ 是G-完备的且G是$\rho$ -自闭的，即引理5(i)-(ii)、(iv)满足。

定义$J:P\to P$ ，

$J\left(u\right)\left(x\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(x,s\right)f\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}s},\forall x\in \left[0,1\right],\forall u\in P$ 。

根据式(8)可得，$\left(Ju,Jv\right)\in G$ ，$\forall \left(u,v\right)\in G$ ，即G是J-闭的且${G|}_{J\left(P\right)}$ 是完备的，引理5(iii)、(vi)成立。

由式(9)，有$J\left(h\right)\left(x\right)\le h\left(x\right)$ ，从而$h\in \left\{p\in P:\left(p,Jp\right)\in G\right\}$ 。取常数$L=\tilde{M}$ ，故

$\begin{array}{c}\left|J\left(u\right)\left(x\right)-J\left(v\right)\left(x\right)\right|=\left|{\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(x,s\right)\left[f\left(s,u\left(s\right)\right)-f\left(s,v\left(s\right)\right)\right]\text{d}s}\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(x,s\right)\frac{1}{\tilde{M}}\varphi \left(u\left(s\right)-v\left(s\right)\right)\text{d}s}\\ \le {\displaystyle {\int }_0^1\tilde{M}\frac{G\left(x,s\right)}{\tilde{M}}\frac{1}{\tilde{M}}\varphi \left(u\left(s\right)-v\left(s\right)\right)\text{d}s}\\ \le \varphi \left(\rho \left(u,v\right)\right)\\ \le \varphi \left(\rho \left(u,v\right)\right)+L\rho \left(u,Jv\right),\end{array}$

即

$\rho \left(Ju,Jv\right)\le \varphi \left(\rho \left(u,v\right)\right)+L\rho \left(u,Ju\right)$ ，

引理5(v)成立。

因此，由引理5可知，存在唯一解$y\in C\left[0,1\right]$ 满足$J\left(y\right)=y$ ，进而边值问题(1)存在唯一的非平凡解。

注记2当$k_1<k_2<0$ 及$k_1<0<k_2\le {\pi }^2$ 时，格林函数的具体形式本文已给出，通过类似的讨论可得边值问题(1)非平凡解的存在唯一性结果。

注记3 定理1的结果也适用于问题(1)的方程在其它几类弹性梁边界条件下的微分方程边值问题，典型的有Neumann边界条件$y^{\prime }\left(0\right)=y^{\prime }\left(1\right)=y^{‴}\left(0\right)=y^{‴}\left(1\right)=0$ ，一端固定一端滑动支撑下的边界条件$y\left(0\right)=y^{\prime }\left(1\right)=y^{″}\left(0\right)=y^{‴}\left(1\right)=0$ 及$y\left(0\right)=y\left(1\right)=y^{\prime }\left(0\right)=y^{\prime }\left(1\right)=0$ 等。

基金项目

陕西省自然科学基础研究计划资助项目(2024JC-YBMS-075)，商洛市科技计划项目(23SKJRK007)，商洛学院自然科学科研项目(22SKY007, 23KYPY05)，商洛学院教育教学改革研究项目(24jyjx109)。