鲁棒复合凸优化的松弛型Fenchel-Lagrange全对偶及最优性条件

Relaxed Total Fenchel-Lagrange Duality and Optimality Conditions for the Robust Composite Convex Optimization Problem

摘要: 该文在函数不一定下半连续，集合不一定是闭集的条件下，利用函数次微分性质，引进新的约束规范条件，等价刻画了鲁棒复合优化问题的最优性条件以及原问题与其松弛型Fenchel-Lagrange对偶问题之间的全对偶。

Abstract: In the case when the functions are not necessarily lower semicontinuous and the sets are not necessarily closed, by using the properties of subdifferential of functions, we introduce some new weaker constraint qualifications. Under those constraint qualifications, the total duality and optimality condition between the robust composite convex optimization problem and its relaxed Fenchel-Lagrange dual problem are established.

1. 引言

由于许多的优化问题，如凸优化问题、极小极大问题、最佳一致逼近问题、锥规划等，都可以看作复合优化问题的特例，因此复合凸优化问题引起了学者们的广泛关注

$\begin{array}{l}\inf f\left(\phi \left(x\right)\right)\\ \left(P\right)\text{ s}\text{.t}{h}_t\left(x\right)\le 0,t\in T,\\ x\in C,\end{array}$

其中X，Y是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间，C是X中的非空凸集，K是Y中的闭凸锥，Y是K所定义的序空间，T是一个非空(可能无限)指标集，$\phi :X\to Y^{•}:=Y\cup \left\{{\infty }_Y\right\}$ 是真K-凸函数，${\infty }_Y$ 是关于偏序${\le }_K$ 下的最大元，$f:Y^{•}\to \overline{ℝ}$ 是真凸K-增函数，$h_t:X\to \overline{ℝ}:=ℝ\cup \left\{+\infty \right\},t\in T$是真凸函数。特别地，当$X=Y$ 且$\phi$ 是单位算子时，问题(P)转化为经典凸约束优化问题。学者们通过引入约束规范条件，建立了复合优化问题的全对偶理论和最优性条件等(参看文[1]-[4])。

在实际生活中，由于测量误差或模型本身的缺陷，或者决策阶段信息缺乏等原因，许多优化问题的数据是受到干扰的或是不确定的，并且概率分布也无法预知。因此，许多学者研究了带有数据不确定性的鲁棒复合凸优化问题

$\begin{array}{l}\inf f\left(\phi \left(x\right)\right)\\ \left(RP\right)\text{s}\text{.t}\text{. }{h}_t\left(x,v_t\right)\le 0,\forall v_t\in V_t,t\in T,\\ x\in C,\end{array}$

其中W是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间，$V_t\left(t\in T\right)\subseteq W$ 是一个不确定集，$h_t\left(\cdot ,{\nu }_t\right):X\times V_t\to \overline{ℝ},{\nu }_t\in V_t,t\in T$是真凸函数。特别地，许多学者研究了鲁棒复合凸优化问题的对偶理论(参看文[5]-[7])。例如，文[5] [6]利用函数的次微分性质，建立了鲁棒复合优化问题与其两种Lagrange对偶问题之间的全对偶与稳定全对偶以及解的最优性条件；文[7]利用函数的次微分性质，给出了鲁棒优化问题的强Fenchel对偶和全Fenchel对偶。

近来，为推广和改进经典的Lagrange对偶理论，Dinh等人在$C=X$ 且f，$h_t\left(t=T\right)$ 均为下半连续函数的情形下，文[8] [9]引入了一种新的松弛型Lagrange对偶问题

$\left(D\right)\underset{H\in \mathscr{H},\mu \in {ℝ}_{+}^{\left(H\right)}}{\text{sup}}\underset{x\in C}{\text{inf}}\left\{f\left(x\right)+{\displaystyle \sum _{t\in H}{\mu }_t{h}_t\left(x\right)}\right\},$

其中$\mathscr{H}$ 是给定指标集T的非空有限子集族，$\mu ={\left({\mu }_t\right)}_{t\in H}\in {ℝ}_{+}^{\left(H\right)}$ 。显然，当$\mathscr{H}$ 是T的所有非空有限子集族$ℱ\left(T\right)$ ，即$\mathscr{H}=ℱ\left(T\right)$ 时，问题(D)转化为经典的Lagrange对偶问题。文[10] [11]利用函数的次微分性质，在f，$h_t\left(t\in T\right)$ 不一定下半连续的情形下，等价刻画了凸优化问题与其松弛型Lagrange对偶问题之间的全对偶及最优性条件；文[12] [13]利用函数的上图性质，建立了问题(RP)与其松弛型Fenchel-Lagrange对偶问题之间的Farkas引理，零对偶及强对偶等。

受上述启发，本文在函数不一定下半连续，集合不一定是闭集的条件下，利用函数的次微分性质，引入新的约束规范条件，建立了问题(RP)的最优性条件及原问题与其松弛型Fenchel-Lagrange全对偶理论，推广和改进了前人的相关结论。

2. 预备知识

设X，Y是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间，$X^{\ast }$ ，$Y^{\ast }$ 分别是X和Y的共轭空间，分别赋予弱${}^{\ast }$ 拓扑$w^{\ast }\left(X^{\ast },X\right)$ ，$w^{\ast }\left(Y^{\ast },Y\right)$ 。定义偏序关系${\le }_K$ 。若对任意的$x,y\in K,y-x\in -K$ ，则称$y{\le }_{K}x$ 。$\langle x^{\ast },x\rangle$ 表示泛函$x^{\ast }\in X^{\ast }$ 在$x\in X$ 处的值即$\langle x^{\ast },x\rangle =x^{\ast }\left(x\right)$ 。设Z是X中的非空子集，记Z的闭包和凸包分别为$\text{cl}Z$ ，$\text{co}Z$ 。Z在$z_0$ 点的法锥定义为

$N_Z\left(z_0\right):=\partial {\delta }_Z\left(z_0\right)=\left\{x^{\ast }\in X^{\ast }:\langle x^{\ast },z-z_0\rangle \le 0,\forall z\in Z\right\}.$

Z的对偶锥和示性函数分别定义为

$Z^{\oplus }:=\left\{x^{\ast }\in X^{\ast }:\langle x^{\ast },z\rangle \ge 0,\forall z\in Z\right\},$

${\delta }_Z\left(x\right):=\{\begin{array}{l}0,x\in Z,\\ +\infty ,其他.\end{array}$

设$\mathscr{H}$ 是给定指标集T的非空有限子集族且$H\in \mathscr{H}$ ，定义${ℝ}^{\left(H\right)}$ 的正极锥为

${ℝ}_{+}^{\left(H\right)}:=\left\{\mu ={\left({\mu }_t\right)}_{t\in H}\in {ℝ}^{\left(H\right)}:最多只有有限�{\mu }_t\ne 0\right\}.$

设$f:X\to \overline{ℝ}$ 是真函数，f的有效定义域和共轭函数分别定义为

$\text{dom}f:=\left\{x\in X:f\left(x\right)<+\infty \right\},$

$f^{\ast }\left(x^{\ast }\right):=\sup \left\{\langle x^{\ast },x\rangle -f\left(x\right):x\in X\right\},\forall x^{\ast }\in X^{\ast }.$

由共轭函数的定义可知Young-Fenchel不等式成立，即

$f^{\ast }\left(x^{\ast }\right)+f\left(x\right)\ge \langle x^{\ast },x\rangle ,\forall \left(x^{\ast },x\right)\in X\times X^{\ast }.$ (2.1)

定义f在$x\in \text{dom}f$ 处的次微分为

$\partial f\left(x\right):=\left\{x^{\ast }\in X^{\ast }:f\left(x\right)+\langle x^{\ast },y-x\rangle \le f\left(y\right),\forall y\in X\right\}.$

由文[15]中的定理2.4.2(i)可知，对于$\forall x\in \text{dom }f$ ，以下关系成立：

$x^{\ast }\in \partial f\left(x\right)\iff f\left(x\right)+f^{\ast }\left(x^{\ast }\right)=\langle x^{\ast },x\rangle .$ (2.2)

更多地，设$x_0\in X$ 。由文([15]，定理2.5.7)可知，

$f\left(x_0\right)=\underset{x\in X}{\text{min}}f\left(x\right)\iff 0\in \partial f\left(x_0\right).$ (2.3)

若$f,h:X\to \overline{ℝ}$ 为真凸函数且满足$\text{dom}f\cap \text{dom}h\ne \varnothing$ ，则

$\partial f\left(x\right)+\partial h\left(x\right)\subseteq \partial \left(f+h\right)\left(x\right),\forall x\in \text{dom}f\cap \text{dom}h.$ (2.4)

设函数$f:Y\to \overline{ℝ}$ ，对任意的$y_1,y_2\in Y$ ，若当$y_1{\le }_K{y}_2$ 时有$f\left(y_1\right)\le f\left(y_2\right)$ ，则称f是K-增函数。定义函数$h:X\to Y^{•}$ 的有效定义域$\text{dom}h=\left\{x\in X:h\left(x\right)\in Y\right\}$ 。若$\text{dom}h\ne \varnothing$ ，则称h是真函数。若对任意的$x_1,x_2\in X$ ，$t\in \left[0,1\right]$ ，有$h\left(t{x}_1+\left(1-t\right)x_2\right){\le }_{s}th\left(x_1\right)+\left(1-t\right)h\left(x_2\right)$ ，则称h是K-凸函数。定义函数$\left(f\circ \phi \right)(\cdot ):X\to \overline{ℝ}$ 为

$\left(f\circ \phi \right)\left(x\right)=\{\begin{array}{l}f\left(\phi \left(x\right)\right),若x\in \text{dom}\phi ,\\ +\infty \text{, }其他.\end{array}$

显然，$f\circ \phi$ 是真凸函数。

引理2.1 [14] 设$f,h:X\to \overline{ℝ}$ 是真凸函数且满足$\text{dom}f\cap \text{dom}h\ne \varnothing$ 。若f或h在$\text{dom}f\cap \text{dom}h$ 上有连续点，则

$\partial f\left(a\right)+\partial h\left(a\right)=\partial \left(f+h\right)\left(a\right),\forall a\in \text{dom}f\cap \text{dom}h.$

引理2.2 [15] 设$g:X\to \overline{ℝ}$ 是真凸函数，$\phi :\text{dom}\phi \subseteq X\to Y^{•}$ 真K-凸函数，$f:Y^{•}\to \overline{ℝ}$ 是真凸K-增函数，若存在$x_0\in \text{dom}g+{\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)$ 使得f在$\phi \left(x_0\right)$ 处连续，则对任意的$x\in \text{dom}g+{\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)$ ，

$\partial \left(g+f\circ \phi \right)\left(x\right)=\underset{\beta \in \partial f\left(\phi \left(x\right)\right)}{\cup }\partial \left(g+\beta \phi \right)\left(x\right).$

3. 约束规范条件

定义$A:=\left\{x\in C;h_t\left(\cdot ,v_t\right)\le 0,v_t\in V_t,t\in T\right\}$ 为问题(RP)的可行集。若无特殊说明，本研究均假设$A\cap {\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)\ne \varnothing$ 。设$x\in {\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)$ 。为简便起见，记

$v_H:={\left(v_t\right)}_{t\in H}\in {\displaystyle \prod _{t\in H}{V}_t:=V_H},$

$\Phi \left(x\right):=\underset{\beta \in \partial f\left(\phi \left(x\right)\right)}{\cup }\partial \left(\beta \phi \right)\left(x\right)+N_C\left(x\right)+\underset{\begin{array}{l}H\in \mathscr{H},\mu \in {ℝ}_{+}^{\left(H\right)},v_H\in V_H\\ {\displaystyle \sum _{t\in H}{\mu }_t{h}_t\left(x,v_t\right)=0}\end{array}}{\cup }{\displaystyle \sum _{t\in H}{\mu }_t\partial h_t\left(\cdot ,v_t\right)}\left(x\right).$

命题3.1 设$x\in A\cap {\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)$ ，以下结论成立：

$\Phi \left(x\right)\subseteq \partial \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x\right).$ (3.1)

证明 设$x\in A\cap {\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)$ ，由(2.4)式知，

$\Phi \left(x\right)\subseteq \underset{\begin{array}{l}H\in \mathscr{H},\mu \in {ℝ}_{+}^{\left(H\right)},v_H\in V_H\\ {\displaystyle \sum _{t\in H}{\mu }_t{h}_t\left(x,v_t\right)}=0,\beta \in \partial f\left(\phi \left(x\right)\right)\end{array}}{\cup }\partial \left(\beta \phi +{\delta }_C+{\displaystyle \sum _{t\in H}{\mu }_t\partial h_t\left(\cdot ,v_t\right)\left(x\right)}\right)\left(x\right):={\Phi }_1\left(x\right).$

为证(3.1)式成立，现只需证

${\Phi }_1\left(x\right)\subseteq \partial \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x\right).$

为此，设$p\in {\Phi }_1\left(x\right)$ ，则存在$\overline{H}\in \mathscr{H},\overline{\mu }\in {ℝ}_{+}^{\left(\overline{H}\right)},{\overline{v}}_{\overline{H}}\in V_{\overline{H}},\overline{\beta }\in \partial f\left(\phi \left(x\right)\right)$使得${\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t{h}_t\left(x,{\overline{v}}_t\right)=0}$ ，

$p\in \partial \left(\overline{\beta }\phi +{\delta }_C+{\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t{h}_t\left(\cdot ,{\overline{v}}_t\right)}\right)\left(x\right).$

由次微分的定义知，

$\langle p,y-x\rangle \le \left(\overline{\beta }\phi +{\delta }_C+{\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t{h}_t\left(\cdot ,{\overline{v}}_t\right)}\right)\left(y\right)-\left(\overline{\beta }\phi +{\delta }_C\right)\left(x\right).$ (3.2)

由$\overline{\beta }\in \partial f\left(\phi \left(x\right)\right)$ 可得，

$\langle \overline{\beta },\phi \left(y\right)-\phi \left(x\right)\rangle \le f\left(\phi \left(y\right)\right)-f\left(\phi \left(x\right)\right),\forall y\in X.$

则由(3.2)式可得，对任意的$y\in X$ ，

$\begin{array}{l}\langle p,y-x\rangle \le \left(\overline{\beta }\phi +{\delta }_C+{\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t{h}_t\left(\cdot ,{\overline{v}}_t\right)}\right)\left(y\right)-\left(\overline{\beta }\phi \right)\left(x\right)\\ \le \left(f\circ \phi +{\delta }_C+{\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t{h}_t\left(\cdot ,{\overline{v}}_t\right)}\right)\left(y\right)-\left(f\circ \phi \right)\left(x\right).\end{array}$ (3.3)

由于对任意$y\in X$ ，${\delta }_A\left(y\right)\ge {\delta }_C\left(y\right)+{\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t{h}_t\left(\cdot ,{\overline{v}}_t\right)}\left(y\right)$ ，因此可得

$\left(f\circ \phi +{\delta }_C+{\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t{h}_t\left(\cdot ,{\overline{v}}_t\right)}\right)\left(y\right)-\left(f\circ \phi \right)\left(x\right)\le \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(y\right)-\left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x\right),\forall y\in X.$

从而由(3.3)式知，

$\langle p,y-x\rangle \le \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(y\right)-\left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x\right),\forall y\in X.$

于是$p\in \partial \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x\right)$ ，故${\Phi }_1\left(x\right)\subseteq \partial \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x\right)$ ，即(3.1)式成立。证毕。

为刻画问题(RP)与其松弛型Fenche-Lagrange对偶问题之间的全对偶以及问题(RP)的最优性条件，我们首先引入以下约束规范条件。

定义3.1 设$x_0\in A\cap {\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)$ 。若

$\partial \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x_0\right)=\Phi \left(x_0\right),$ (3.4)

则称系统$\left\{f,\phi ,{\delta }_C;h_t:t\in H\right\}$ 在$x_0$ 点满足松弛型${\left(BCQ\right)}_f$ 条件，若对任意的$x_0\in A\cap {\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)$ ，(3.4)式成立，则称系统$\left\{f,\phi ,{\delta }_C;h_t:t\in H\right\}$ 满足松弛型${\left(BCQ\right)}_f$ 条件。

注3.1 若对任意的$x\in A\cap {\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)$ ，由命题3.1知，系统$\left\{f,\phi ,{\delta }_C;h_t:t\in H\right\}$ 满足松弛型${\left(BCQ\right)}_f$ 条件当且仅当

$\partial \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x\right)\subseteq \Phi \left(x\right).$ (3.5)

4. 鲁棒复合优化问题的全对偶及稳定全对偶

设$p\in X^{\ast }$ 。考虑以下带线性扰动的鲁棒复合优化问题

$\begin{array}{l}\inf f\left(\phi \left(x\right)\right)-\langle p,x\rangle \\ \left(R{P}_p\right)\text{s}\text{.t}\text{.}{h}_t\left(x,v_t\right)\le 0,\forall v_t\in V_t,t\in T,\\ x\in C.\end{array}$

定义问题$\left(R{P}_p\right)$ 的松弛型Fenchel-Lagrang对偶问题为

$\left(R{D}_p\right)\underset{\begin{array}{l}H\in \mathscr{H},\mu \in {ℝ}_{+}^{\left(H\right)},v_H\in V_H,\\ \beta \in \text{dom }f,y^{\ast },z^{\ast }\in X^{\ast }\end{array}}{\sup }\left\{-f^{\ast }\left(\beta \right)-{\left(\beta \phi \right)}^{\ast }\left(y^{\ast }\right)-{\left({\displaystyle \sum _{t\in H}{\mu }_t\partial h_t\left(\cdot ,v_t\right)}\right)}^{\ast }\left(z^{\ast }\right)-{\delta }_C^{\ast }\left(p-y^{\ast }-z^{\ast }\right)\right\}.$

特别地，当$p=0$ 时，问题$\left(R{P}_p\right)$ 即为问题$\left(RP\right)$ ，其对偶问题$\left(R{D}_P\right)$ 转化为

$\left(RD\right)\underset{\begin{array}{l}H\in \mathscr{H},\mu \in {ℝ}_{+}^{\left(H\right)},v_H\in V_H,\\ \beta \in \text{dom }f,y^{\ast },z^{\ast }\in X^{\ast }\end{array}}{\sup }\left\{-f^{\ast }\left(\beta \right)-{\left(\beta \phi \right)}^{\ast }\left(y^{\ast }\right)-{\left({\displaystyle \sum _{t\in H}{\mu }_t\partial h_t\left(\cdot ,v_t\right)}\right)}^{\ast }\left(z^{\ast }\right)-{\delta }_C^{\ast }\left(-y^{\ast }-z^{\ast }\right)\right\}.$

令$v\left(R{P}_p\right)$ 和$v\left(R{D}_p\right)$ 分别表示问题$\left(R{P}_p\right)$ 和问题$\left(R{D}_p\right)$ 的最优值，$S\left(R{P}_P\right)$ 表示问题$\left(R{P}_p\right)$ 的最优解集，定义为

$S\left(R{P}_P\right):=\left\{x\in A\cap {\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right):f\left(\phi \left(x\right)\right)-\langle p,x\rangle =v\left(R{P}_P\right)\right\}.$

易证问题$\left(RP\right)$ 与问题$\left(RD\right)$ 之间的Fonchel-Lagrange稳定弱对偶成立，即

$v\left(R{D}_p\right)\le v\left(R{P}_p\right).$ (4.1)

下面研究问题$\left(RP\right)$ 和问题$\left(RD\right)$ 之间的稳定全对偶，为此，先给出如下定义。

定义4.1 (a)若$S\left(RP\right)\ne \varnothing$ 时，有$v\left(RP\right)=v\left(RD\right)$ 且问题$\left(RD\right)$ 有最优解，则称问题$\left(RP\right)$ 与问题$\left(RD\right)$ 之间的Fenchel-Lagrange全对偶成立；

(b)若对任意的$p\in X^{\ast }$ ，问题$\left(R{P}_P\right)$ 与问题$\left(R{D}_P\right)$ 之间的Fenchel-Lagrange全对偶成立，则称问题$\left(RP\right)$ 与$\left(RD\right)$ 之间的Fenchel-Lagrange稳定全对偶成立。

下列定理刻画了问题$\left(RP\right)$ 与其对偶问题$\left(RD\right)$ 之间的Fenchel-Lagrange稳定全对偶。

定理4.1 以下命题等价：

(i) 系统$\left\{f,\phi ,{\delta }_C;h_t:t\in H\right\}$ 满足松弛型${\left(BCQ\right)}_f$ 条件。

(ii) 问题$\left(RP\right)$ 与问题$\left(RD\right)$ 之间的Fenchel-Lagrange稳定全对偶成立。

证明 (i)$\Rightarrow$ (ii) 假设(i)成立。设$p\in X^{\ast }$ 且$S\left(R{P}_P\right)\ne \varnothing$ 。任取$x_0\in S\left(R{P}_P\right)$ ，则由(2.3)式得，$p\in \partial \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x_0\right)$ 。由于系统$\left\{f,\phi ,{\delta }_C;h_t:t\in H\right\}$ 满足松弛型${\left(BCQ\right)}_f$ 条件，故有$p\in \Phi$ ，于是存在$\overline{H}\in \mathscr{H}$ ，

$\overline{\mu }\in {ℝ}_{+}^{\left(\overline{H}\right)}$ ，${\overline{v}}_{\overline{H}}\in V_{\overline{H}}$ ，$\overline{\beta }\in \partial f\left(\phi \left(x_0\right)\right)$ 使得${\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\overline{v}}_t\right)=0}$ ，

$p\in \partial \left(\overline{\beta }\phi \right)\left(x_0\right)+\partial {\delta }_C\left(x_0\right)+{\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t\partial h_t\left(\cdot ,{\overline{v}}_t\right)}\left(x_0\right).$

因此，存在${\overline{y}}^{\ast }\in \partial \left(\overline{\beta }\phi \right)\left(x_0\right)$ ，${\overline{z}}^{\ast }\in {\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t\partial h_t\left(\cdot ,{\overline{v}}_t\right)\left(x_0\right)}$ ，使得$p-{\overline{y}}^{\ast }-{\overline{z}}^{\ast }\in \partial {\delta }_C\left(x_0\right)$ 。由Young等式(2.2)式可知，

$\left(\overline{\beta }\phi \right)\left(x_0\right)+{\left(\overline{\beta }\phi \right)}^{\ast }\left({\overline{y}}^{\ast }\right)=\langle {\overline{y}}^{\ast },x_0\rangle ,$ (4.2)

${\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\overline{v}}_t\right)}+{\left({\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\overline{v}}_t\right)}\right)}^{\ast }\left({\overline{z}}^{\ast }\right)=\langle {\overline{z}}^{\ast },x_0\rangle ,$ (4.3)

${\delta }_C\left(x_0\right)+{\delta }_C^{\ast }\left(p-{\overline{y}}^{\ast }-{\overline{z}}^{\ast }\right)=\langle p-{\overline{y}}^{\ast }-{\overline{z}}^{\ast },x_0\rangle .$ (4.4)

注意到${\delta }_A\left(x_0\right)={\delta }_C\left(x_0\right)={\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\overline{v}}_t\right)=0}$ ，结合(4.2)式，(4.3)式和(4.4)式可得

${\delta }_A\left(x_0\right)+\left(\overline{\beta }\phi \right)\left(x_0\right)+{\left(\overline{\beta }\phi \right)}^{\ast }\left({\overline{y}}^{\ast }\right)+{\left({\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\overline{v}}_t\right)}\right)}^{\ast }\left({\overline{z}}^{\ast }\right)+{\delta }_C^{\ast }\left(p-{\overline{y}}^{\ast }-{\overline{z}}^{\ast }\right)=\langle p,x_0\rangle .$ (4.5)

由(2.2)式及$\overline{\beta }\in \partial f\left(\phi \left(x_0\right)\right)$ 有，

$f\left(\phi \left(x_0\right)\right)=\langle \overline{\beta },\phi \left(x_0\right)\rangle -f^{\ast }\left(\overline{\beta }\right).$

将(4.5)式与上式相加，化简可得

$\left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x_0\right)+f^{\ast }\left(\overline{\beta }\right)+{\left(\overline{\beta }\phi \right)}^{\ast }\left({\overline{y}}^{\ast }\right)+{\left({\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\overline{v}}_t\right)}\right)}^{\ast }\left({\overline{z}}^{\ast }\right)+{\delta }_C^{\ast }\left(p-{\overline{y}}^{\ast }-{\overline{z}}^{\ast }\right)=\langle p,x_0\rangle .$ (4.6)

由$x_0\in S\left(R{P}_P\right)$ 知，$x_0$ 是原问题$\left(R{P}_P\right)$ 的最优解，即

$\left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x_0\right)-\langle p,x_0\rangle =v\left(R{P}_P\right).$ (4.7)

将上式代入(4.6)式可得，

$\begin{array}{c}v\left(R{P}_P\right)=-f^{\ast }\left(\overline{\beta }\right)-{\left(\overline{\beta }\phi \right)}^{\ast }\left({\overline{y}}^{\ast }\right)-{\left({\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\overline{v}}_t\right)}\right)}^{\ast }\left({\overline{z}}^{\ast }\right)-{\delta }_C^{\ast }\left(p-{\overline{y}}^{\ast }-{\overline{z}}^{\ast }\right)\\ \le \underset{\begin{array}{l}H\in \mathscr{H},\mu \in {ℝ}_{+}^{\left(H\right)},v_H\in V_H,\\ \beta \in \partial f\left(\phi \left(x_0\right)\right),y^{\ast },z^{\ast }\in X^{\ast }\end{array}}{\sup }\left\{-f^{\ast }\left(\beta \right)-{\left(\beta \phi \right)}^{\ast }\left(y^{\ast }\right)-{\left({\displaystyle \sum _{t\in H}{\mu }_t{h}_t\left(\cdot ,v_t\right)}\right)}^{\ast }\left(z^{\ast }\right)-{\delta }_C^{\ast }\left(p-{\overline{y}}^{\ast }-{\overline{z}}^{\ast }\right)\right\},\end{array}$

即$v\left(R{D}_P\right)\ge v\left(R{P}_P\right)$ ，从而，由式可得$v\left(R{D}_P\right)=v\left(R{P}_P\right)$ 且$\left(\overline{H},\overline{\mu },{\overline{v}}_{\overline{H}},\overline{\beta },{\overline{y}}^{\ast },{\overline{z}}^{\ast }\right)\in \mathscr{H}\times {ℝ}_{+}^{\left(\overline{H}\right)}\times V_{\overline{H}}\times \text{dom}{f}^{\ast }\times X^{\ast }\times X^{\ast }$是对偶问题$\left(R{D}_P\right)$ 的最优解。因此，问题$\left(RP\right)$ 与问题$\left(RD\right)$ 之间的Fenchel-Lagrange稳定全对偶成立。

(ii)$\Rightarrow$ (i) 假设(ii)成立。设$x_0\in A\cap {\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)$ ，由注3.1可知，欲证(i)，只需证(3.5)式成立。为此，设$p\in \partial \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x_0\right)$ ，则由(2.3)式可得，$x_0\in S\left(R{P}_P\right)$ ，故(4.7)式成立。由于(ii)成立，则存在$\overline{H}\in \mathscr{H}$ ，$\overline{\mu }\in {ℝ}_{+}^{\left(\overline{H}\right)}$ ，${\overline{v}}_{\overline{H}}\in V_{\overline{H}}$ ，$\overline{\beta }\in \partial f\left(\phi \left(x_0\right)\right)$ ，$y^{\ast },z^{\ast }\in X^{\ast }$ 使得

$v\left(R{P}_P\right)=-f^{\ast }\left(\overline{\beta }\right)-{\left(\overline{\beta }\phi \right)}^{\ast }\left({\overline{y}}^{\ast }\right)-{\left({\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\overline{v}}_t\right)}\right)}^{\ast }\left({\overline{z}}^{\ast }\right)-{\delta }_C^{\ast }\left(p-{\overline{z}}^{\ast }-{\overline{y}}^{\ast }\right).$

注意到${\delta }_A\left(x_0\right)=0$ ，结合(4.7)式及上式可得，

$\left(f\circ \phi \right)\left(x_0\right)-\langle p,x_0\rangle =-f^{\ast }\left(\overline{\beta }\right)-{\left(\overline{\beta }\phi \right)}^{\ast }\left({\overline{y}}^{\ast }\right)-{\left({\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\overline{v}}_t\right)}\right)}^{\ast }\left({\overline{z}}^{\ast }\right)-{\delta }_C{}^{\ast }\left(p-{\overline{y}}^{\ast }-{\overline{z}}^{\ast }\right).$ (4.8)

再结合(2.1)式和(4.8)式可得，

$\left(f\circ \phi \right)\left(x_0\right)-\langle p,x_0\rangle \le \left(f\circ \phi \right)\left(x_0\right)+{\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\overline{v}}_t\right)}+{\delta }_C\left(x_0\right)-\langle p,x_0\rangle .$

由于${\delta }_C\left(x_0\right)=0$ ，所以有${\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\overline{v}}_t\right)}\ge 0$ 。又因$x_0\in A$ ，有${\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\overline{v}}_t\right)}\le 0$ ，故${\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\overline{v}}_t\right)}=0$ 。因此，

$\begin{array}{l}\left(\left(\overline{\beta }\phi \right)\left(x_0\right)+{\left(\overline{\beta }\phi \right)}^{\ast }\left({\overline{y}}^{\ast }\right)-\langle {\overline{y}}^{\ast },x_0\rangle \right)+\left({\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\overline{v}}_t\right)}+{\left({\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\overline{v}}_t\right)}\right)}^{\ast }\left({\overline{z}}^{\ast }\right)-\langle {\overline{z}}^{\ast },x_0\rangle \right)\\ +\left({\delta }_C\left(x_0\right)+{\delta }_C^{\ast }\left(p-{\overline{y}}^{\ast }-{\overline{z}}^{\ast }\right)-\langle p-{\overline{y}}^{\ast }-{\overline{z}}^{\ast },x_0\rangle \right)=0.\end{array}$

由(2.2)式可得${\overline{y}}^{\ast }\in \partial \left(\overline{\beta }\phi \right)\left(x_0\right)$ ，${\overline{z}}^{\ast }\in {\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t\partial h_t\left(\cdot ,{\overline{v}}_t\right)\left(x_0\right)}$ ，$p-{\overline{y}}^{\ast }-{\overline{z}}^{\ast }\in \partial {\delta }_C\left(x_0\right)$ 。因此，(3.5)式成立。证毕。

5. 鲁棒复合优化问题的最优性条件

定理5.1 设$x_0\in A\cap {\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)$ ，则以下命题等价：

(i) 系统$\left\{f,\phi ,{\delta }_C;h_t:t\in H\right\}$ 在$x_0$ 点满足松弛型${\left(BCQ\right)}_f$ 条件。

(ii) 对任意的$p\in X^{\ast }$ ，$x_0$ 是问题$\left(R{P}_P\right)$ 的最优解当且仅当存在$\overline{H}\in \mathscr{H}$ ，$\overline{\mu }\in {ℝ}_{+}^{\left(\overline{H}\right)}$ ，${\overline{v}}_{\overline{H}}\in V_{\overline{H}}$ ，$\overline{\beta }\in \partial f\left(\phi \left(x_0\right)\right)$ 使得${\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t\partial h_t\left(x_0,{\overline{v}}_t\right)}=0$ 且

$p\in \partial \left(\overline{\beta }\phi \right)\left(x_0\right)+\partial {\delta }_C\left(x_0\right)+{\displaystyle \sum _{t\in \overline{H}}{\overline{\mu }}_t\partial h_t\left(\cdot ,{\overline{v}}_t\right)}\left(x_0\right).$

证明 由(2.3)式知，(ii)等价于

$0\in \partial \left(f\circ \phi +{\delta }_A-p\right)\left(x_0\right)\iff p\in \Phi \left(x_0\right),\forall p\in X^{\ast },$

即

$p\in \partial \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x_0\right)\iff p\in \Phi \left(x_0\right),\forall p\in X^{\ast }.$

显然，上式与(3.4)式等价，因此，(i)$\iff$ (ii)。证毕。

定理5.2 以下命题等价。

(i)

$N_A\left(x\right)=N_C\left(x\right)+\underset{\begin{array}{l}H\in \mathscr{H},\mu \in {ℝ}_{+}^{\left(H\right)},v_H\in V_H\\ {\displaystyle \sum _{t\in H}{\mu }_t{h}_t\left(x,v_t\right)=0}\end{array}}{\cup }{\displaystyle \sum _{t\in H}{\mu }_t\partial h_t\left(\cdot ,v_t\right)}\left(x\right),\forall x\in X.$ (5.1)

(ii) 若存在$x\in X$ 使得f和$\phi$ 分别在$\phi \left(x\right)$ 和x处连续且$x_0\in A$ 为问题(RP)的最优解，则

$\left(f\circ \phi \right)\left(x_0\right)=\underset{\begin{array}{l}\left(H,\mu ,v_H,\beta ,y^{\ast },z^{\ast }\right)\in \mathscr{H}\times {ℝ}_{+}^{\left(H\right)}\\ \times V_H\times \text{dom }{f}^{\ast }\times X^{\ast }\times X^{\ast }\end{array}}{\max }\left\{-f^{\ast }\left(\beta \right)-{\left(\beta \phi \right)}^{\ast }\left(y^{\ast }\right)-{\left({\displaystyle \sum _{t\in H}{\mu }_t{h}_t\left(\cdot ,v_t\right)}\right)}^{\ast }\left(z^{\ast }\right)-{\delta }_C{}^{\ast }\left(-y^{\ast }-z^{\ast }\right)\right\}.$ (5.2)

(iii) 对任意的$p\in X^{\ast }$ ，若$x_0\in A$ 为$p(\cdot )$ 在集合A上的最小值点，则

$p\left(x_0\right)=\underset{\left(H,\mu ,v_H,z^{\ast }\right)\in \mathscr{H}\times {ℝ}_{+}^{\left(H\right)}\times V_H\times X^{\ast }}{\max }\left\{-{\delta }_C^{\ast }\left(p-z^{\ast }\right)-{\left({\displaystyle \sum _{t\in H}{\mu }_t{h}_t\left(\cdot ,v_t\right)}\right)}^{\ast }\left(z^{\ast }\right)\right\}.$ (5.3)

证明 (i)$\Rightarrow$ (ii) 假设(i)成立且设$\overline{x}\in X$ 使得f和$\phi$ 分别在$\phi \left(\overline{x}\right)$ 和$\overline{x}$ 处连续，则由引理2.1知，对任意的$x\in A\cap {\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)$ ，

$\partial \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x\right)=\partial \left(f\circ \phi \right)\left(x\right)+N_A\left(x\right)=\underset{\beta \in \partial f\left(\phi \left(x\right)\right)}{\cup }\partial \left(\beta \phi \right)\left(x\right)+N_A\left(x\right).$

由式可得，对任意的$x\in A\cap {\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)$ ，

$\partial \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x\right)=\underset{\beta \in \partial f\left(\phi \left(x\right)\right)}{\cup }\partial \left(\beta \phi \right)\left(x\right)+N_C\left(x\right)+\underset{\begin{array}{l}H\in \mathscr{H},\mu \in {ℝ}_{+}^{\left(H\right)},v_H\in V_H\\ {\displaystyle \sum _{t\in H}{\mu }_t{h}_t\left(x,v_t\right)=0}\end{array}}{\cup }{\displaystyle \sum _{t\in H}{\mu }_t\partial h_t\left(\cdot ,v_t\right)}\left(x\right),$

再由注3.1得，松弛型${\left(BCQ\right)}_f$ 条件成立。于是，由定理4.1可得(5.2)式成立。

(ii)$\Rightarrow$ (iii) 假设命题(ii)成立。设$p\in X^{\ast }$ ，则$\text{dom}{p}^{\ast }=\left\{p\right\}$ 。从而由定理4.1的命题(ii) ($\left\{p,{\text{Id}}_X\right\}$ 替代$\left\{f,\phi \right\}$ )易知(5.3)式成立。

(iii)$\Rightarrow$ (i) 假设命题(iii)成立，则由定理4.1的(ii)$\Rightarrow$ (i) $\left(f=\phi =0\right)$ 可得(5.1)式成立。证毕。

NOTES

^*通讯作者。