一类具有时滞的反应扩散Lotka-Volterra合作系统行波解的存在性

Existence of Traveling Wave Solution for Reaction-Diffusion Lotka-Volterra Cooperative System with Time Delay

摘要: 本文研究了移动环境下一类具有时滞的Lotka-Volterra合作系统行波解的存在性。利用单调迭代方法，通过构造合适的上下解，证明了当环境运动速度$c>max\left\{c_1^{\ast },c_2^{\ast }\right\}$ 时，系统连接两边界平衡点的行波解的存在性。

Abstract: Existence of traveling wave front solutions is established for diffusive and cooperative Lotka-Volterra system with delays in a shifting environment. Using the method of monotone iteration and by constructing appropriate upper and lower solutions, it is proven that when the environmental movement speed is $c>max\left\{c_1^{\ast },c_2^{\ast }\right\}$ , there exist traveling wave solutions that connect the boundary equilibrium points of the system.

1. 引言

自从Fisher [1]和Kolmogorov等[2]把行波解的概念引入到反应扩散方程以来，由于其在数学理论、生态学和物理学反应扩散方程模型中的重要性，迅速引起广大学者的关注。

自然界中，生物为争夺生存资源或追求共同利益而展现的竞争与合作现象极为普遍[3]。在种群动力学中，Lotka-Volterra模型作为经典模型，广泛用于描述种群内以及不同种群间的作用关系[4] [5]。而具有空间扩散项的两个种群的Lotka-Volterra合作系统是生物数学研究领域中比较典型且比较重要的模型之一[6]-[8]，其模型为：

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u\left(t,x\right)}{\partial t}=d_1\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+u\left[r_1-a_{1}u+b_{1}v\right],\hfill \\ \frac{\partial v\left(t,x\right)}{\partial t}=d_2\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+v\left[r_2-a_{1}v+b_{2}u\right],\hfill \end{array}t\ge 0,x\in ℝ,$ (1.1)

其中，$u\left(t,x\right)$ 和$v\left(t,x\right)$ 为种群u和v在时刻t位置x处的种群密度，$d_i>0,i=1,2$ 为物种的扩散系数，$r_i,i=1,2$ 为物种的内禀增长率，$a_i,i=1,2$ 为物种的内部拥挤系数，$b_i,i=1,2$ 为物种的之间的合作系数．系统(1.1)中所有的系数均为正常数。许多学者对系统(1.1)作了大量的研究。

物种的繁殖由于受环境、妊娠及成熟过程等各方面因素的影响，物种密度在时间上的滞后是在所难免的，所以，具有时滞的Lotka-Volterra合作系统成为学者们关注的热点[9]-[12]。其中，Yang和Wu [13]研究了移动环境中时滞扩散Lotka-Volterra合作系统：

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u\left(t,x\right)}{\partial t}=d_1\frac{{\partial }^{2}u\left(t,x\right)}{\partial x^2}+u\left(t,x\right)\left[r_1\left(x-ct\right)-u\left(t,x\right)+a_{1}v\left(t,x\right)\right],\hfill \\ \frac{\partial v\left(t,x\right)}{\partial t}=d_2\frac{{\partial }^{2}v\left(t,x\right)}{\partial x^2}+v\left(t,x\right)\left[r_2\left(x-ct\right)-v\left(t,x\right)+a_{2}u\left(t,x\right)\right],\hfill \end{array}t\ge 0,x\in ℝ,$ (1.2)

利用单调迭代方法和上下解的技巧证明了系统(1.2)的行波解[14]-[16]。

受以上模型及文献的启发，本文研究如下移动环境下具有局部扩散和时滞的Lotka-Volterra合作模型

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u\left(t,x\right)}{\partial t}=d_1\frac{{\partial }^{2}u\left(t,x\right)}{\partial x^2}+u\left(t,x\right)\left[r_1\left(x+ct\right)-u\left(t,x\right)+a_{1}v\left(t-{\tau }_1,x\right)\right]\\ \frac{\partial v\left(t,x\right)}{\partial t}=d_2\frac{{\partial }^{2}v\left(t,x\right)}{\partial x^2}+v\left(t,x\right)\left[r_2\left(x+ct\right)-v\left(t,x\right)+a_{2}u\left(t-{\tau }_2,x\right)\right]\end{array}$ (1.3)

行波解的存在性，其中$u\left(t,x\right)$ 和$v\left(t,x\right)$ 为种群u和v在时刻t位置x处的种群密度，$x\in ℝ$ ，$c>0$ ，$d_i>0,i=1,2$ 为物种的扩散速率，$a_i,i=1,2$ 为种群间的合作强度，${\tau }_i>0,i=1,2$ 为种间合作时滞。

在本文的研究中，做如下假设：

(H1) $0<a_1{a}_2<1$ 。

(H2) $r_i(.)$ 是$ℝ$ 中的连续不增函数，$r_i\left(\pm \infty \right)$ 有限且$r_i\left(+\infty \right)<0<r_i\left(-\infty \right)$ 。

2. 预备知识

定义$C\left(ℝ,ℝ\right)$ 为$ℝ$ 上全体连续函数构成的空间。对任意的$u=\left(u_1,u_2\right),v=\left(v_1,v_2\right)\in C\times C$ ，若$u_i\le v_i,i=1,2$ ，则记$u\le v$ ；若$u\le v$ 且$u\ne v$ ，则记$u<v$ 。记

$B\subset \left(ℝ,ℝ\right)=\left\{u\in C\left(ℝ,ℝ\right)|\underset{\xi \in ℝ}{\sup }\left|u\left(\xi \right)\right|<\infty \right\}.$

模型(1.3)的行波解是具有如下特殊形式的平移不变解：

$\left(u,v\right)\left(t,x\right)=\left(U,V\right)\left(\xi \right),\xi :=x+ct.$ (2.1)

其中$\left(U,V\right)\in C\left(ℝ,ℝ\right)$ 是行波的轮廓，$c>0$ 是波速。

将式(2.1)代入式(1.3)，得到如下波剖系统：

$\{\begin{array}{cc}\begin{array}{l}c{U}^{\prime }\left(\xi \right)=d_1{U}^{″}\left(\xi \right)+U\left(\xi \right)\left[r_1\left(\xi \right)-U\left(\xi \right)+a_{1}V\left(\xi -c{\tau }_1\right)\right],\\ c{V}^{\prime }\left(\xi \right)=d_2{V}^{″}\left(\xi \right)+V\left(\xi \right)\left[r_2\left(\xi \right)-V\left(\xi \right)+a_{2}U\left(\xi -c{\tau }_2\right)\right],\end{array}& \xi \in ℝ.\end{array}$ (2.2)

经计算，式(2.2)的极限系统在负无穷远处存在唯一的正平衡点$E^{\star }=\left(k_1,k_2\right)$ ，其中

$k_1=\frac{r_1\left(-\infty \right)+a_1{r}_2\left(-\infty \right)}{1-a_1{a}_2},k_2=\frac{r_2\left(-\infty \right)+a_2{r}_1\left(-\infty \right)}{1-a_1{a}_2}.$

接下来，我们将证明连接平衡点$E^{\star }=\left(k_1,k_2\right)$ 和$E_0\left(0,0\right)$ 的行波解，并且满足边界条件

$\{\begin{array}{l}\underset{\xi \to -\infty }{\lim }\left(U\left(\xi \right),V\left(\xi \right)\right)=\left(k_1,k_2\right),\\ \underset{\xi \to +\infty }{\lim }\left(U\left(\xi \right),V\left(\xi \right)\right)=\left(0,0\right),\end{array}$ (2.3)

为此，还需做如下假设：(H3) $r_1\left(-\infty \right)<-a_1{k}_2$ ，$r_2\left(+\infty \right)<-a_2{k}_1$ 。

首先，给出上、下解的定义。

定义2.1. 若存在一列有限点列${\left\{{\xi }_j\right\}}_{j=1}^N$ 使得连续函数$\left(U\left(\xi \right),V\left(\xi \right)\right)$ 在$ℝ\backslash \left\{{\xi }_j\right\}$ 上满足

$\{\begin{array}{l}c{U}^{\prime }\left(\xi \right)\ge (\le )d_1{U}^{″}\left(\xi \right)+U\left(\xi \right)\left[r_1\left(\xi \right)-U\left(\xi \right)+a_{1}V\left(\xi -c{\tau }_1\right)\right],\\ c{V}^{\prime }\left(\xi \right)\ge (\le )d_2{V}^{″}\left(\xi \right)+V\left(\xi \right)\left[r_2\left(\xi \right)-V\left(\xi \right)+a_{2}U\left(\xi -c{\tau }_2\right)\right],\end{array}$

其中，$\xi \in ℝ$ ，$\left(U\left(\xi \right),V\left(\xi \right)\right)$ 在${\xi }_j$ 处连续，则称$\left(U\left(\xi \right),V\left(\xi \right)\right)$ 为系统(2.2)的上(下)解。

构造一对上、下解。

定义函数

${\Delta }_i\left(\lambda ,c\right):=d_i{\lambda }^2-c\lambda +r_i\left(-\infty \right),i=1,2.$ (2.4)

参数

$c_i^{*}\left(\infty \right):=2\sqrt{d_i{r}_i\left(-\infty \right)},i=1,2.$

利用凸函数的性质可得出以下结论.

引理2.2 对任意$c>\max \left\{c_1^{*},c_2^{*}\right\}$ ，${\Delta }_1\left(\lambda ,c\right)$ 有两个不同的正根${\lambda }_1,{\lambda }_2$ ，${\Delta }_2\left(\lambda ,c\right)$ 有两个不同的正根${\lambda }_3,{\lambda }_4$ ，且满足

${\Delta }_1\left(\lambda ,c\right)\{\begin{array}{l}>0,\lambda <{\lambda }_1,\\ <0,\lambda \in \left({\lambda }_1,{\lambda }_2\right),\\ >0,\lambda >{\lambda }_2,\end{array}{\Delta }_2\left(\lambda ,c\right)\{\begin{array}{l}>0,\lambda <{\lambda }_3,\\ <0,\lambda \in \left({\lambda }_3,{\lambda }_4\right),\\ >0,\lambda >{\lambda }_4,\end{array}$

先构造系统(2.2)的下解。令$l_1\left(\xi \right)={\text{e}}^{{\lambda }_1\xi }-q{\text{e}}^{\eta {\lambda }_1\xi }$ ，$l_2\left(\xi \right)={\text{e}}^{{\lambda }_3\xi }-q{\text{e}}^{\eta {\lambda }_3\xi }$ ，其中常数$\eta \in \left(1,\min \left\{2,\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1},\frac{{\lambda }_4}{{\lambda }_3}\right\}\right)$ ，$q>1$ 。记${\xi }_i=\frac{1}{{\lambda }_i\left(\eta -1\right)}\ln \frac{1}{q}<0$ ，易知$l_i\left({\xi }_i\right)=0,i=1,2$ 。选择$\eta$ 使得${\Delta }_1\left(\eta {\lambda }_1,c\right)<0$ 和${\Delta }_2\left(\eta {\lambda }_3,c\right)<0$ 。

综上所述，定义连续函数

$\underset{\_}{U}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{l}{k}_1\left({\text{e}}^{{\lambda }_1\xi }-q{\text{e}}^{\eta {\lambda }_1\xi }\right),\xi \le {\xi }_1,\\ 0,\xi >{\xi }_1,\end{array}\underset{\_}{V}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{l}{k}_2\left({\text{e}}^{{\lambda }_3\xi }-q{\text{e}}^{\eta {\lambda }_3\xi }\right),\xi \le {\xi }_2,\\ 0,\xi >{\xi }_2.\end{array}$

引理2.3 对任意$c>\max \left\{c_1^{*},c_2^{*}\right\}$ ，当$q>1$ 足够大时，$\left(\underset{\_}{U}\left(\xi \right),\underset{\_}{V}\left(\xi \right)\right)$ 是系统(2.2)的一个下解。

证明. 方便起见，令

$\begin{array}{l}{P}_1\left(\xi \right):=d_1{U}^{″}\left(\xi \right)-c{\underset{\_}{U}}^{\prime }\left(\xi \right)+\underset{\_}{U}\left(\xi \right)\left[r_1\left(\xi \right)-\underset{\_}{U}\left(\xi \right)+a_1\underset{\_}{V}\left(\xi -c{\tau }_1\right)\right],\\ P_2\left(\xi \right):=d_2{V}^{″}\left(\xi \right)-c{\underset{\_}{V}}^{\prime }\left(\xi \right)+\underset{\_}{V}\left(\xi \right)\left[r_2\left(\xi \right)-\underset{\_}{V}\left(\xi \right)+a_1\underset{\_}{U}\left(\xi -c{\tau }_2\right)\right].\end{array}$

要证$\left(\underset{\_}{U}\left(\xi \right),\underset{\_}{V}\left(\xi \right)\right)$ 是一个下解，只需证$P_1\left(\xi \right)\ge 0$ 和$P_2\left(\xi \right)\ge 0$ 。

首先证明$P_1\left(\xi \right)\ge 0$ 。

(i) 当$\xi >{\xi }_1$ 时，$\underset{\_}{U}\left(\xi \right)=0$ ，此时$P_1\left(\xi \right)=0$ 。

(ii) 当$\xi \le {\xi }_1$ 时，$\underset{\_}{U}\left(\xi \right)=k_1\left({\text{e}}^{{\lambda }_1\xi }-q{\text{e}}^{\eta {\lambda }_1\xi }\right)<k_1{\text{e}}^{{\lambda }_1\xi }$ ，$\underset{\_}{V}\left(\xi -c{\tau }_1\right)=k_2\left({\text{e}}^{{\lambda }_3\left(\xi -c{\tau }_1\right)}-q{\text{e}}^{\eta {\lambda }_3\left(\xi -c{\tau }_1\right)}\right)>0$ ，则有

$\begin{array}{l}{P}_1\left(\xi \right)=k_1{\text{e}}^{{\lambda }_1\xi }\left[d_1{\lambda }_1^2-c{\lambda }_1+r_1\left(\xi \right)\right]-k_{1}q{\text{e}}^{\eta {\lambda }_1\xi }\left[d_1{\left(\eta {\lambda }_1\right)}^2-c\eta {\lambda }_1+r_1\left(\xi \right)\right]+\underset{\_}{U}\left(\xi \right)\left[-\underset{\_}{U}\left(\xi \right)+a_1\underset{\_}{V}\left(\xi -c{\tau }_1\right)\right]\\ \ge k_1{\text{e}}^{{\lambda }_1\xi }\left[d_1{\lambda }_1^2-c{\lambda }_1+r_1\left(-\infty \right)-r_1\left(-\infty \right)+r_1\left(\xi \right)\right]\\ -k_{1}q{\text{e}}^{\eta {\lambda }_1\xi }\left[d_1{\left(\eta {\lambda }_1\right)}^2-c\eta {\lambda }_1+r_1\left(-\infty \right)-r_1\left(-\infty \right)+r_1\left(\xi \right)\right]-{\left(k_1{\text{e}}^{{\lambda }_1\xi }\right)}^2\\ \ge -k_1{\text{e}}^{{\lambda }_1\xi }\left[r_1\left(-\infty \right)-r_1\left(\xi \right)\right]+k_{1}q{\text{e}}^{\eta {\lambda }_1\xi }\left[r_1\left(-\infty \right)-r_1\left(\xi \right)\right]-k_{1}q{\text{e}}^{\eta {\lambda }_1\xi }\left[{\Delta }_1\left(\eta {\lambda }_1,c\right)\right]-k_1^2{\text{e}}^{2{\lambda }_1\xi }\\ \ge k_1\left[q{\text{e}}^{\eta {\lambda }_1\xi }-{\text{e}}^{{\lambda }_1\xi }\right]\left[r_1\left(-\infty \right)-r_1\left(\xi \right)\right]-k_1{\text{e}}^{\eta {\lambda }_1\xi }\left[q{\Delta }_1\left(\eta {\lambda }_1,c\right)+k_1{\text{e}}^{\left(2-\eta \right){\lambda }_1\xi }\right]\\ \ge 0.\end{array}$

当$q>1$ 足够大时，最后一个不等式成立。同理可得，对任意的$\xi \in ℝ$ ，都有$P_2\left(\xi \right)\ge 0$ 。

显然，$\left(\underset{\_}{U}\left(\xi \right),\underset{\_}{U}\left(\xi \right)\right)$ 是系统(2.2)的一个下解，证毕。

接下来构造上解。

由假设(H3)，可以选择${\xi }_i^0>0$ 足够大，其中$i=1,2$ 使得$r_1\left({\xi }_i^0\right)+a_1{k}_2<0$ ，$r_2\left({\xi }_i^0\right)+a_2{k}_1<0$ 。定义函数

$g_i\left(\mu \right)=d_i{\mu }^2+c\mu +r_i\left({\xi }_i^0\right)+a_i{k}_j,i\ne j\in \left\{1,2\right\}.$

易知$g_i\left(0\right)<0$ ，当$\mu \to \infty$ 时$g_i\left(\mu \right)\to +\infty$ 。这意味着存在${\mu }_i>0$ 使得$g_i\left({\mu }_i\right)=0$ 。

由此定义连续函数

$\overline{U}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{l}{k}_1{\text{e}}^{-{\mu }_1\left(\xi -{\xi }_1^0\right)},\xi \ge {\xi }_1^0,\\ k_1,\xi <{\xi }_1^0,\end{array}\overline{V}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{l}{k}_2{\text{e}}^{-{\mu }_2\left(\xi -{\xi }_2^0\right)},\xi \ge {\xi }_2^0,\\ k_2,\xi <{\xi }_2^0.\end{array}$

引理2.3 对任意$c>0$ ，$\left(\overline{U}\left(\xi \right),\overline{V}\left(\xi \right)\right)$ 是系统(2.2)的一个上解。

证明. 因为${\xi }_1^0\ge 0\ge {\xi }_i$ ，所以$\left(\overline{U}\left(\xi \right),\overline{V}\left(\xi \right)\right)\ge \left(\underset{\_}{U}\left(\xi \right),\underset{\_}{V}\left(\xi \right)\right)$ 。

要证$\left(\overline{U}\left(\xi \right),\overline{V}\left(\xi \right)\right)$ 是系统(2.2)的一个上解，只需证明：

$Q_1\left(\xi \right):=d_1{\overline{U}}^{″}\left(\xi \right)-c{\overline{U}}^{\prime }\left(\xi \right)+\overline{U}\left(\xi \right)\left[r_1\left(\xi \right)-\overline{U}\left(\xi \right)+a_1\overline{V}\left(\xi -c{\tau }_1\right)\right]\le 0,$

$Q_2\left(\xi \right):=d_2{\overline{V}}^{″}\left(\xi \right)-c{\overline{V}}^{\prime }\left(\xi \right)+\overline{V}\left(\xi \right)\left[r_2\left(\xi \right)-\overline{V}\left(\xi \right)+a_1\overline{U}\left(\xi -c{\tau }_2\right)\right]\le 0.$

首先证明$Q_1\left(\xi \right)\le 0$ 。

(i)当$\xi <{\xi }_1^0$ 时，$\overline{U}\left(\xi \right)=k_1,\overline{V}\left(\xi -c{\tau }_1\right)\le k_2$，有

$Q_1\left(\xi \right)=k_1\left[r_1\left(\xi \right)-k_1+a_1\overline{V}\left(\xi -c{\tau }_1\right)\right]\le k_1\left[r_1\left(-\infty \right)-k_1+a_1{k}_2\right]=0$

(ii)当$\xi \ge {\xi }_1^0$ 时，$\overline{U}\left(\xi \right)=k_1{\text{e}}^{-{\mu }_1\left(\xi -{\xi }_1^0\right)},\overline{V}\left(\xi -c{\tau }_1\right)\le k_2$，有

$\begin{array}{l}{Q}_1\left(\xi \right)=k_1{\text{e}}^{-{\mu }_1\left(\xi -{\xi }_1^0\right)}\left[d_1{\left({\mu }_1\right)}^2+c{\mu }_1+r_1(\xi )-k_1{\text{e}}^{-{\mu }_1\left(\xi -{\xi }_1^0\right)}+a_1\overline{V}\left(\xi -c{\tau }_1\right)\right]\\ \le k_1{\text{e}}^{-{\mu }_1\left(\xi -{\xi }_1^0\right)}\left[d_1{\left({\mu }_1\right)}^2+c{\mu }_1+r_1\left({\xi }_1^0\right)+a_1{k}_2\right]\\ =0.\end{array}$

同理可得，对任意的$\xi \in ℝ$ ，$Q_2\left(\xi \right)\le 0$ ，故$\left(\overline{U}\left(\xi \right),\overline{U}\left(\xi \right)\right)$ 是系统(2.2)的一个上解，证毕。

因为$\left(\overline{U}\left(\xi \right),\overline{U}\left(\xi \right)\right),\left(\underset{\_}{U}\left(\xi \right),\underset{\_}{U}\left(\xi \right)\right)$ 是系统(2.2)的一对上下解，现给出波廓集$\Gamma$ 的定义：

$\Gamma :\left\{\left(U,V\right)|U,V\in B\subset C\left(ℝ,ℝ\right),\left(\overline{U},\overline{V}\right)\ge \left(U,V\right)\ge \left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V}\right)\right\}$ (2.5)

令${\beta }_i=2k_i-r_i\left(+\infty \right),i=1,2$ ，则方程$-d_i{\lambda }^2+c\lambda +{\beta }_i=0,i=1,2$ 有两个实根：

${\lambda }_{i_1}=\frac{c-\sqrt{c^2+4d_i{\beta }_i}}{2d_i}<0,{\lambda }_{i_2}=\frac{c+\sqrt{c^2+4d_i{\beta }_i}}{2d_i}>0,$

定义二阶微分算子${\Delta }_i$ 和它们的逆${\Delta }_i^{-1}$ 分别为

$\begin{array}{l}{\Delta }_{i}h:=-d_i{h}^{″}+c{h}^{\prime }+{\beta }_{i}h,\\ {\Delta }_i^{-1}h\left(\xi \right):=\frac{1}{d_i\left({\lambda }_{i_2}-{\lambda }_{i_1}\right)}\left[{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\xi }{\text{e}}^{{\lambda }_{i_1}\left(\xi -\eta \right)}h\left(\eta \right)\text{d}\eta }+{\displaystyle {\int }_{\xi }^{+\infty }{\text{e}}^{{\lambda }_{i_2}\left(\xi -\eta \right)}h\left(\eta \right)\text{d}\eta }\right]\end{array}$

容易验证，对任意的$h\in B\subset \left(ℝ,ℝ\right)$ 都有${\Delta }_i\left({\Delta }_i^{-1}h\right)=h$ 。此外，若$h^{\prime },h^{″}\in B\subset \left(ℝ,ℝ\right)$ ，则${\Delta }_i^{-1}\left({\Delta }_{i}h\right)=h$ 。

对任意$\left(U,V\right)\in \Gamma$ ，定义算子：

$H_1\left(U,V\right)\left(\xi \right):={\beta }_{1}U\left(\xi \right)+U\left(\xi \right)\left[r_1\left(\xi \right)-U\left(\xi \right)+a_{1}V\left(\xi -c{\tau }_1\right)\right],$

$H_2\left(U,V\right)\left(\xi \right):={\beta }_{2}V\left(\xi \right)+V\left(\xi \right)\left[r_2\left(\xi \right)-V\left(\xi \right)+a_{2}U\left(\xi -c{\tau }_2\right)\right].$

定义算子$F=\left(F_1,F_2\right)$ ，其中$F_i={\Delta }_i^{-1}{H}_i,i=1,2$ 。由于

${\Delta }_1\left(U\left(\xi \right)\right)=-d_1{U}^{″}\left(\xi \right)+c{U}^{\prime }\left(\xi \right)+{\beta }_{1}U\left(\xi \right)=H_1\left(U,V\right)\left(\xi \right),$

${\Delta }_2\left(V\left(\xi \right)\right)=-d_2{V}^{″}\left(\xi \right)+c{V}^{\prime }\left(\xi \right)+{\beta }_{2}V\left(\xi \right)=H_2\left(U,V\right)\left(\xi \right).$

且

$\left(U\left(\xi \right),V\left(\xi \right)\right)\in \Gamma ,U^{\prime }\left(\xi \right),V^{\prime }\left(\xi \right),U^{″}\left(\xi \right),V^{″}\left(\xi \right)\in B\subset \left(ℝ,ℝ\right).$

所以

$U\left(\xi \right)=F_1\left(U,V\right)\left(\xi \right),V\left(\xi \right)=F_2\left(U,V\right)\left(\xi \right)$ .

此时，系统(2.2)解的存在性问题转化为算子F的不动点的存在性问题。

下面证明F的一些性质。

引理2.4 当$c>\max \left\{c_1^{*},c_2^{*}\right\}$ ，则F是一个非减算子且$F\left(\Gamma \right)\subset \Gamma$ 。如果$\left(U,V\right)\in \Gamma$ 关于$\xi$ 是非增的，那么$F\left(U,V\right)\left(\xi \right)$ 关于$\xi \in ℝ$ 也是非增的。

证明. 首先证F是一个非减算子。

对任意$\left(U_1,V_1\right),\left(U_2,V_2\right)\in \Gamma$ 且$\left(U_1,V_1\right)\ge \left(U_2,V_2\right)$ ，则有

$\begin{array}{l}{H}_1\left(U_1,V_1\right)\left(\xi \right)-H_1\left(U_2,V_2\right)\left(\xi \right)\\ =\left(U_1\left(\xi \right)-U_2\left(\xi \right)\right)\left({\beta }_1+r_1\left(\xi \right)\right)+a_1\left[U_1\left(\xi \right)V_1\left(\xi -c{\tau }_1\right)-U_2\left(\xi \right)V_2\left(\xi -c{\tau }_1\right)\right]-\left[U_1{\left(\xi \right)}^2-U_2{\left(\xi \right)}^2\right]\\ \ge \left(U_1\left(\xi \right)-U_2\left(\xi \right)\right)\left[{\beta }_1+r_1\left(\xi \right)-U_1\left(\xi \right)-U_2\left(\xi \right)\right]\\ \ge 0.\end{array}$

同理可得，$H_2\left(U_1,V_1\right)\left(\xi \right)-H_2\left(U_2,V_2\right)\left(\xi \right)\ge 0$ 。

由F₁和F₂的定义可知$F_i\left(U_1,V_1\right)\left(\xi \right)-F_i\left(U_2,V_2\right)\left(\xi \right)\ge 0,i=1,2$ ，这表明F是一个非减算子。

若$\left(U,V\right)\in \Gamma$ 关于$\xi$ 是非增函数，则对任意$s\ge 0,\xi \in ℝ$ ，有

$\begin{array}{l}{H}_1\left(U,V\right)\left(\xi +s\right)-H_1\left(U,V\right)\left(\xi \right)\\ =\left(U\left(\xi +s\right)-U\left(\xi \right)\right){\beta }_1+U\left(\xi +s\right)r_1\left(\xi +s\right)-U\left(\xi \right)r_1\left(\xi \right)\\ +a_1\left[U\left(\xi +s\right)V\left(\xi +s-c{\tau }_1\right)-U\left(\xi \right)V\left(\xi -c{\tau }_1\right)\right]-\left[U{\left(\xi +s\right)}^2-U{\left(\xi \right)}^2\right]\\ \le \left(U\left(\xi +s\right)-U\left(\xi \right)\right)\left({\beta }_1-U\left(\xi +s\right)-U\left(\xi \right)\right)+U\left(\xi +s\right)r_1\left(\xi +s\right)-U\left(\xi \right)r_1\left(\xi +s\right)\\ =\left(U\left(\xi +s\right)-U\left(\xi \right)\right)\left({\beta }_1+r_1\left(\xi +s\right)-U\left(\xi +s\right)-U\left(\xi \right)\right)\\ \le 0.\end{array}$

类似可证$H_2\left(U,V\right)\left(\xi +s\right)-H_2\left(U,V\right)\left(\xi \right)\le 0$ 。

对任意$\zeta \in ℝ$ ，当$h\in \Gamma \subset B\subset \left(ℝ,ℝ\right)$ 时，有

$\left({\Delta }_i^{-1}h\left(\xi +s\right)\right)\left(\zeta \right)=\left({\Delta }_i^{-1}h\left(\xi \right)\right)\left(\zeta +s\right)$

则

$\begin{array}{l}{F}_i\left(U,V\right)\left(\zeta +s\right)=\left[{\Delta }_i^{-1}{H}_i\left(U,V\right)\left(\xi \right)\right]\left(\zeta +s\right)\\ =\left[{\Delta }_i^{-1}{H}_i\left(U,V\right)\left(\xi +s\right)\right]\left(\zeta \right)\\ \le \left[{\Delta }_i^{-1}{H}_i\left(U,V\right)\left(\xi \right)\right]\left(\zeta \right)\\ =F_i\left(U,V\right)\left(\zeta \right)\end{array}$

故对任意$\xi \in ℝ$ ，有$F_i\left(U,V\right)\left(\xi +s\right)\le F_i\left(U,V\right)\left(\xi \right),i=1,2$ ，即$F\left(U,V\right)\left(\xi \right)$ 关于$\xi$ 也是非增的。

下面证$F\left(\Gamma \right)\subset \Gamma$ 。

由$\Gamma$ 的定义可知，要证$F\left(\Gamma \right)\subset \Gamma$ ，即证对所有的$\left(U,V\right)\in \Gamma$ 都有$\left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V}\right)\le F\left(U,V\right)\le \left(\overline{U},\overline{V}\right)$ 。

由于$\left(\overline{U},\overline{V}\right)$ ，$\left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V}\right)$ 是一对上下解，则

$\begin{array}{l}{F}_1\left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V}\right)={\Delta }_1^{-1}{H}_1\left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V}\right)\ge {\Delta }_1^{-1}{\Delta }_1\left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V}\right)=\underset{\_}{U},\\ F_2\left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V}\right)={\Delta }_2^{-1}{H}_2\left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V}\right)\ge {\Delta }_2^{-1}{\Delta }_2\left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V}\right)=\underset{\_}{V},\\ F_1\left(\overline{U},\overline{V}\right)={\Delta }_1^{-1}{H}_1\left(\overline{U},\overline{V}\right)\le {\Delta }_1^{-1}{\Delta }_1\left(\overline{U},\overline{V}\right)=\overline{U},\\ F_2\left(\overline{U},\overline{V}\right)={\Delta }_2^{-1}{H}_2\left(\overline{U},\overline{V}\right)\le {\Delta }_2^{-1}{\Delta }_2\left(\overline{U},\overline{V}\right)=\overline{V}.\end{array}$

即

$F\left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V}\right)\ge \left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V}\right),F\left(\overline{U},\overline{V}\right)\le \left(\overline{U},\overline{V}\right)$ (2.6)

又因为F是一个非减算子，所以对任意$\left(U,V\right)\in \Gamma$ ，有

$F\left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V}\right)\le F\left(U,V\right)\le F\left(\overline{U},\overline{V}\right)$ (2.7)

由式(2.6)和式(2.7)可得，$F\left(\Gamma \right)\subset \Gamma$ 。证毕。

3. 行波解的存在性

定理3.1 假设(H1)~(H3)成立，则对于任意给定的$c>\max \left\{c_1^{*},c_2^{*}\right\}$ ，系统(2.2)存在连接$E^{*}\left(k_1,k_2\right)$ 和$E_0\left(0,0\right)$ 的行波解$\left(U\left(\xi \right),V\left(\xi \right)\right)$ ，且满足边界条件(2.3)。

证明. 考虑以下迭代

$U_{n+1}=F_1\left(U_n,V_n\right),V_{n+1}=F_2\left(U_n,V_n\right),n\ge 1,$

选取初始迭代

$U_1=F_1\left(\overline{U},\overline{V}\right),V_1=F_2\left(\overline{U},\overline{V}\right).$

因为$\overline{U}\left(\xi \right),\overline{V}\left(\xi \right)$ 是非增函数，由引理(2.4)可知，对于每个给定的n，$\left(U_n\left(\xi \right),V_n\left(\xi \right)\right)$ 关于$\xi \in ℝ$ 是非增的。

令

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(U_n\left(\xi \right),V_n\left(\xi \right)\right)=\left(U\left(\xi \right),V\left(\xi \right)\right).$

显然，$\left(U\left(\xi \right),V\left(\xi \right)\right)$ 是一个非增函数且$\left(\underset{\_}{U}\left(\xi \right),\underset{\_}{V}\left(\xi \right)\right)\le \left(U\left(\xi \right),V\left(\xi \right)\right)\le \left(\overline{U}\left(\xi \right),\overline{V}\left(\xi \right)\right)$ 。

此外，$H_i\left(U_n\left(\xi \right),V_n\left(\xi \right)\right)$ 逐点收敛到$H_i\left(U\left(\xi \right),V\left(\xi \right)\right)$ ，其中$i=1,2$ 。

由于

$\begin{array}{l}{H}_1\left(U_n\left(\xi \right),V_n\left(\xi \right)\right)\le k_1\left[r_1\left(+\infty \right)+{\beta }_1+k_1+a_1{k}_2\right],\\ H_2\left(U_n\left(\xi \right),V_n\left(\xi \right)\right)\le k_2\left[r_2\left(+\infty \right)+{\beta }_2+k_2+a_2{k}_1\right].\end{array}$

根据Lebesgue控制收敛定理，可以得到

$\begin{array}{l}U\left(\xi \right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{U}_n\left(\xi \right)\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }{F}_1\left(U_{n-1},V_{n-1}\right)\left(\xi \right)\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\left({\Delta }_1^{-1}{H}_1\left(U_{n-1},V_{n-1}\right)\left(\xi \right)\right)\\ =\frac{1}{d_1\left({\lambda }_{12}-{\lambda }_{11}\right)}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\xi }{\text{e}}^{{\lambda }_{11}\left(\xi -\eta \right)}{H}_1\left(U,V\right)\left(\eta \right)\text{d}\eta }+{\displaystyle {\int }_{\xi }^{+\infty }{\text{e}}^{{\lambda }_{12}\left(\xi -\eta \right)}{H}_1\left(U,V\right)\left(\eta \right)\text{d}\eta }\\ =F_1\left(U,V\right)\left(\xi \right).\end{array}$

类似可得$V\left(\xi \right)=F_2\left(U,V\right)\left(\xi \right)$ 。容易看出，$\left(U\left(\xi \right),V\left(\xi \right)\right)$ 满足系统(2.2)，即为模型(1.1)的行波解。

接下来证明$\left(U\left(\xi \right),V\left(\xi \right)\right)$ 满足边界条件(2.3)。

我们注意到

$\underset{\xi \to +\infty }{\lim }\left(\overline{U}\left(\xi \right),\overline{V}\left(\xi \right)\right)=\underset{\xi \to +\infty }{\lim }\left(\underset{\_}{U}\left(\xi \right),\underset{\_}{V}\left(\xi \right)\right)=\left(0,0\right).$

即$\underset{\xi \to +\infty }{\lim }\left(U\left(\xi \right),V\left(\xi \right)\right)=\left(0,0\right)$ 。由于$\left(U\left(\xi \right),V\left(\xi \right)\right)$ 是非增有界的，因此存在常数$A_1\in \left[0,k_1\right]$ ，$A_2\in \left[0,k_2\right]$ ，使得$\underset{\xi \to -\infty }{\lim }\left(U\left(\xi \right),V\left(\xi \right)\right)=\left(A_1,A_2\right)$ ，

则有

$\begin{array}{l}\underset{\xi \to -\infty }{\lim }{H}_1\left(U,V\right)\left(\xi \right)={\beta }_1{A}_1+A_1\left[r_1\left(-\infty \right)-A_1+a_1{A}_2\right],\\ \underset{\xi \to -\infty }{\lim }{H}_2\left(U,V\right)\left(\xi \right)={\beta }_2{A}_2+A_2\left[r_2\left(-\infty \right)-A_2+a_2{A}_1\right].\end{array}$

根据L’Hopital法则可得，

$\begin{array}{l}{A}_1=\underset{\xi \to -\infty }{\lim }U\left(\xi \right)\\ =\underset{\xi \to -\infty }{\lim }\left({\Delta }_1^{-1}{H}_1\left(U,V\right)\left(\xi \right)\right)\\ =\underset{\xi \to -\infty }{\lim }\frac{1}{d_1\left({\lambda }_{12}-{\lambda }_{11}\right)}\left[{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\xi }{\text{e}}^{{\lambda }_{11}\left(\xi -\eta \right)}{H}_1\left(U,V\right)\left(\eta \right)\text{d}\eta }+{\displaystyle {\int }_{\xi }^{+\infty }{\text{e}}^{{\lambda }_{12}\left(\xi -\eta \right)}{H}_2\left(U,V\right)\left(\eta \right)\text{d}\eta }\right]\\ =\underset{\xi \to -\infty }{\lim }\frac{1}{d_1\left({\lambda }_{12}-{\lambda }_{11}\right)}\left(\frac{H_1\left(U,V\right)\left(\xi \right)}{-{\lambda }_{11}}+\frac{H_1\left(U,V\right)\left(\xi \right)}{{\lambda }_{12}}\right)\\ =A_1+\frac{A_1\left[r_1\left(-\infty \right)-A_1+a_1{A}_2\right]}{{\beta }_1},\end{array}$

同理

$A_2=A_2+\frac{A_2\left[r_2\left(-\infty \right)-A_2+a_2{A}_1\right]}{{\beta }_2}.$

故

$\{\begin{array}{l}{A}_1\left[r_1\left(-\infty \right)-A_1+a_1{A}_2\right]=0,\hfill \\ A_2\left[r_2\left(-\infty \right)-A_2+a_2{A}_1\right]=0.\hfill \end{array}$

上述公式计算可得

$\{\begin{array}{l}{A}_1=0,\hfill \\ A_2=0,\hfill \end{array}$ 或$\{\begin{array}{l}{A}_1=\frac{r_1\left(-\infty \right)+a_1{r}_2\left(-\infty \right)}{1-a_1{a}_2},\hfill \\ A_2=\frac{r_2\left(-\infty \right)+a_2{r}_1\left(-\infty \right)}{1-a_1{a}_2}.\hfill \end{array}$

当$A_1=0$ 且$A_2=0$ 时，因为$\left(U,V\right)$ 非增且$\left(U,V\right)\left(\pm \infty \right)=0$ ，那么$\xi \in ℝ$ 时，$\left(U,V\right)\left(\xi \right)\equiv \left(0,0\right)$ ，这与当$\xi \in ℝ$ 时$\left(U,V\right)\left(\xi \right)\ge \left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V}\right)\left(\xi \right)\ne \left(0,0\right)$ 矛盾。

因此

$\{\begin{array}{l}{A}_1=\frac{r_1\left(-\infty \right)+a_1{r}_2\left(-\infty \right)}{1-a_1{a}_2},\hfill \\ A_2=\frac{r_2\left(-\infty \right)+a_2{r}_1\left(-\infty \right)}{1-a_1{a}_2}.\hfill \end{array}$

即$\underset{\xi \to -\infty }{\lim }\left(U\left(\xi \right),V\left(\xi \right)\right)=\left(k_1,k_2\right)$ ，所以$\left(U\left(\xi \right),V\left(\xi \right)\right)$ 满足边界条件(2.3)。证毕。