随机环境中乘积受控分枝过程矩的存在性

Existence of Moments of Multiplicative Controlled Branching Processes in a Random Environment

摘要: 在深入研究经典分枝过程的基础上，进行模型的扩展与创新，进而推出随机环境中乘积受控分枝过程模型，探讨了序列$log{W}_n$ 的矩的存在性，且给出了相关证明，其中$W_n=Z_n/P_n$ ，$P_n$ 为规范化序列，$Z_n$ 为随机环境中乘积受控分枝过程。

Abstract: Based on the research of classical branching processes, the model is extended and innovated, leading to a multiplicative controlled branching process in a random environment. Moreover, we explore the existence of moments of the sequence $log{W}_n$ , and relevant proofs are given, where $W_n=Z_n/P_n$ , $P_n$ is the normalized sequence, $Z_n$ is the multiplicative controlled branching process in a random environment.

1. 引言

随机环境中乘积受控分枝过程(Multiplicative controlled branching process in random environments, MCBPRE)是经典分枝过程(G-W过程)一个既自然又关键的延伸，繁衍能力粒子数受特殊控制函数制约体现出优势，能够更有效地对现实生活中个体后代的繁衍过程进行模拟，由此也获得了学者们的重视与探究。1992年，Hambly [1]率先研究了随机环境中分支过程的淬火调和矩问题。此后，1995年，Dion和Essebbar [2]引入了乘积受控分枝过程(Multiplicative controlled branching process, MCBP)，为该领域增添了新的研究方向。接着，2012年，Huang C和Liu Q [3]计算了随机环境中分支过程W的调和矩存在的临界值，这一成果对于深入理解分支过程具有重要意义。2019年，Li Y和Liu Q [4]探究了随机环境中加权分支过程调和矩。本文在文献[5]的研究基础上，探讨了随机环境MCBPI中序列$\log W_n$ 的矩的存在性问题。

2. 模型的描述

在独立同分布的随机环境$\xi =\left({\xi }_0,{\xi }_1,{\xi }_2,\cdots \right)$ 中，${\xi }_n$ 的每个实现都对应于$N=\left\{0,1,2,\cdots \right\}$ 上的概率分布

$\left\{p_i\left({\xi }_n\right):i\in N\right\}$ ，其中$p_i\left({\xi }_n\right)\ge 0$ ，${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{p}_i\left({\xi }_n\right)}=1$ ，$0<{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }i{p}_i\left({\xi }_n\right)}<\infty$ 。乘积受控分枝过程可以通过下列关

系来定义：

$Z_0=1,Z_{n+1}={\displaystyle \sum _{i=1}^{{\alpha }_n{Z}_n}{X}_{n,i}},n=0,1,2,\cdots$ (1)

其中，$X_{n,i}$ 表示第n代第i个粒子在第$n+1$ 代产生的粒子总数，$\left\{{\alpha }_n:n\ge 0\right\}$ 是一列非负整数的随机变量，表示在第n代粒子繁衍后代的过程中期间对这些粒子展开(倍数)的约束，$Z_{n+1}$ 表示第$n+1$ 代的粒子总数。随机变量${\alpha }_n\left(n=0,1,2,\cdots \right)$ 和$X_{n,i}\left(n=0,1,2,\cdots ;i=1,2,\cdots \right)$ 相互独立。

令${ℱ}_0=\left\{\varnothing ,\Omega \right\}$ 且${ℱ}_n=\sigma \left(X_{k,i},{\alpha }_j:0\le k<n,0\le j<n,i\ge 1;\xi \right)$ ，使得$Z_n$ 关于${ℱ}_n$ 可测。

为了方便讨论，对$n\ge 0,p\ge 1$ ，我们记：

$m_n\left(p\right)={\mathbb{E}}_{\xi }{X}_{n,i}^p$ , $m_n=m_n\left(1\right)={\mathbb{E}}_{\xi }{X}_{n,i}$ ,

${\tau }_n\left(p\right)={\mathbb{E}}_{\xi }{\alpha }_n^p$ , ${\tau }_n={\tau }_n\left(1\right)={\mathbb{E}}_{\xi }{\alpha }_n$

$P_0=1$ , $P_n={\displaystyle \prod _{i=0}^{n-1}{\tau }_i}{m}_i$ ,$W_n=\frac{Z_n}{P_n}$ .

在本文中，我们研究通常的情况，其中$P_n\to \infty$ 且对$n\ge 0$ ，并存在常数M使得$1\le \underset{n\ge 0}{\inf }{\tau }_n\le \underset{n\ge 0}{\sup }{\tau }_n\le M$ 。由于

$\begin{array}{c}{\mathbb{E}}_{\xi }\left(Z_{n+1}\right)={\mathbb{E}}_{\xi }\left[{\mathbb{E}}_{\xi }\left({\displaystyle \sum _{i=1}^{{\alpha }_n{Z}_n}{X}_{n,i}}|Z_n,{\alpha }_n\right)\right]={\mathbb{E}}_{\xi }\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\alpha }_n{Z}_n}{\mathbb{E}}_{\xi }}\left(X_{n,i}|Z_n,{\alpha }_n\right)\right]\\ ={\mathbb{E}}_{\xi }\left({\displaystyle \sum _{i=1}^{{\alpha }_n{Z}_n}{m}_n}\right)={\mathbb{E}}_{\xi }\left({\alpha }_n{Z}_n{m}_n\right)=m_n{\tau }_n{\mathbb{E}}_{\xi }\left(Z_n\right)\end{array}$

由迭代，有

$\begin{array}{c}{\mathbb{E}}_{\xi }\left(Z_{n+1}\right)=m_n{\tau }_n\left[m_{n-1}{\tau }_{n-1}{\mathbb{E}}_{\xi }\left(Z_{n-1}\right)\right]\\ =m_n{\tau }_n\left\{m_{n-1}{\tau }_{n-1}\left[m_{n-2}{\tau }_{n-2}{\mathbb{E}}_{\xi }\left(Z_{n-2}\right)\right]\right\}=\cdots \\ =P_{n+1}\end{array}$

所以，$Z_n$ 的期望为

${\mathbb{E}}_{\xi }{Z}_{n+1}=P_{n+1}.$ (2)

假设

$\mathbb{P}\left(Z_1=1\right)=\mathbb{E}{p}_1\left({\xi }_0\right)<1.$ (3)

3. 主要结果及其证明

引理1 [6] 令${\left(X_i\right)}_{i\ge 1}$ 是一列独立同分布的随机变量。那么对于$p\in \left(1,\infty \right)$ ，

$\mathbb{E}{\left|{\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i}\right|}^p\le \{\begin{array}{ll}{\left(B_p\right)}^p\mathbb{E}\left({\left|X_i\right|}^p\right)n,\hfill & \text{if}1<p\le 2,\hfill \\ {\left(B_p\right)}^p\mathbb{E}\left({\left|X_i\right|}^p\right)n^{p/2},\hfill & \text{if }p>2,\hfill \end{array}$ (4)

其中，$B_p=2\min \left\{k^{1/2}:k\in N,k\ge p/2\right\}$ 是一个仅取决于p的常数(因此，如果$1<p\le 2$ 时，$B_p=2$ )。

定理2 设$\mathbb{E}{\left|\log m_0\right|}^{2p}<\infty$ ，对于$p>1$ 。那么，对于所有$q\in \left(0,p\right)$ ，$\mathbb{E}{\left|\log W\right|}^q<\infty$ 和$\underset{n\in N}{\sup }\mathbb{E}{\left|\log W_n\right|}^q<\infty$ 。

我们通过研究W的斯拉普拉变换的渐近行为来证明定理2.2。用${\varphi }_{\xi }\left(t\right)={\mathbb{E}}_{\xi }{e}^{-tW}$ 和$\varphi \left(t\right)=\mathbb{E}{\varphi }_{\xi }\left(t\right)=\mathbb{E}{e}^{-tW}$ 定义W的淬火和退火拉普拉斯变换，其中$t\ge 0$ 。那么根据马尔可夫不等式，对于$t>0$ ，我们有

$\mathbb{P}\left(W<t^{-1}\right)\le e\mathbb{E}{e}^{-tW}=e\varphi \left(t\right).$ (5)

证明：根据Holder不等式只需在$q\in \left(1,p\right)$ 时证明该引理的断言即可。利用不等式${\left|\log x\right|}^q{1}_{\left\{x>1\right\}}\le Cx$ ，显然存在一个常数$C>0$ ，使得$\mathbb{E}{\left|\log W\right|}^{q}1\left(W\ge 1\right)\le C\mathbb{E}W<\infty$ 。因此，还需要证明$\mathbb{E}{\left|\log W\right|}^{q}1\left(W\le 1\right)<\infty$ 。根据(5)以及

$\begin{array}{c}E{\left|\log W\right|}^q{1}_{\left(W\le 1\right)}=E{\left(-\log W\right)}^q{1}_{\left(W\le 1\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left(\log W^{-1}\right)}^q{1}_{\left(W\le 1\right)}\text{d}P}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_0^{\log W^{-1}}q{x}^{q-1}}{1}_{\left(W\le 1\right)}\text{d}x}\text{d}P\\ =q{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_1^{W^{-1}}{\left(\log t\right)}^{q-1}}{1}_{\left(W\le 1\right)}\text{d}\left(\log t\right)\text{d}P}\\ =q{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_1^{W^{-1}}\frac{1}{t}{\left(\log t\right)}^{q-1}}{1}_{\left(W\le 1\right)}\text{d}t}\text{d}P\\ =q{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_1^{+\infty }\frac{1}{t}{\left(\log t\right)}^{q-1}}{1}_{\left(W\le t^{-1}\right)}\text{d}t}\text{d}P\\ =q{\displaystyle {\int }_1^{+\infty }\frac{1}{t}{\left(\log t\right)}^{q-1}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{1}_{\left(W\le t^{-1}\right)}}\text{d}P\text{d}t\\ =q{\displaystyle {\int }_1^{+\infty }\frac{1}{t}{\left(\log t\right)}^{q-1}}E{1}_{\left(W\le t^{-1}\right)}\text{d}t\\ =q{\displaystyle {\int }_1^{+\infty }\frac{1}{t}}{\left(\log t\right)}^{q-1}P\left(W\le t^{-1}\right)\text{d}t.\end{array}$ (6)

只需证明，当$t\to \infty$ 时，

$\varphi \left(t\right)=O{\left(\log t\right)}^{-p}$ 。

令${\varphi }_n\left(t,\xi \right)={\mathbb{E}}_{\xi }{e}^{-t{W}_n}$ ，$f_0\left(s\right)=\mathbb{E}\left(s^{{\alpha }_1{Z}_1}|\xi \right)={\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }P}\left({\alpha }_1{Z}_1=i|{\xi }_0\right)s^i$ ，$s\in \left[0,1\right]$ ，我们有

$\begin{array}{c}{\varphi }_{n+1}\left(t,\xi \right)={\mathbb{E}}_{\xi }{e}^{-t{W}_{n+1}}={\mathbb{E}}_{\xi }{e}^{-t\frac{Z_{n+1}}{m_0{\tau }_0{m}_1{\tau }_1\cdots m_n{\tau }_n}}={\mathbb{E}}_{\xi }{e}^{-\frac{t}{m_0{\tau }_0}\frac{Z_{n+1}}{m_1{\tau }_1\cdots m_n{\tau }_n}}\\ ={\mathbb{E}}_{\xi }{e}^{-\frac{t}{m_0{\tau }_0}\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\alpha }_1{Z}_1}{Z}_n^{\left(1,i\right)}}}{m_1{\tau }_1\cdots m_n{\tau }_n}}={\mathbb{E}}_{\xi }{e}^{-\frac{t}{m_0{\tau }_0}{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\alpha }_1{Z}_1}{W}_n^{\left(1,i\right)}}}={\mathbb{E}}_{\xi }{\displaystyle \prod _{i=1}^{{\alpha }_1{Z}_1}{e}^{-\frac{t}{m_0{\tau }_0}{W}_n^{\left(1,i\right)}}}\\ ={\mathbb{E}}_{\xi }\left[\mathbb{E}\left({\displaystyle \prod _{i=1}^{{\alpha }_1{Z}_1}{e}^{-\frac{t}{m_0{\tau }_0}{W}_n^{\left(1,i\right)}}}|\xi ,{\alpha }_1,Z_1\right)\right]\\ ={\mathbb{E}}_{\xi }\left[{\displaystyle \prod _{i=1}^{{\alpha }_1{Z}_1}\mathbb{E}}\left(e^{-\frac{t}{m_0{\tau }_0}{W}_n^{\left(1,i\right)}}|\xi ,{\alpha }_1,Z_1\right)\right]\\ ={\mathbb{E}}_{\xi }\left[{\displaystyle \prod _{i=1}^{{\alpha }_1{Z}_1}\mathbb{E}}\left(e^{-\frac{t}{m_0{\tau }_0}{W}_n^{\left(1,i\right)}}|\xi \right)\right]\\ ={\mathbb{E}}_{\xi }\left({\displaystyle \prod _{i=1}^{{\alpha }_1{Z}_1}{\varphi }_n}\left(\frac{t}{m_0{\tau }_0},T\xi \right)\right)\\ ={\mathbb{E}}_{\xi }{\varphi }_n{\left(\frac{t}{m_0{\tau }_0},T\xi \right)}^{{\alpha }_1{Z}_1}\\ =f_0\left({\varphi }_n\left(\frac{t}{m_0{\tau }_0},T\xi \right)\right),\end{array}$ (7)

则

${\varphi }_{\xi }\left(t\right)=f_0\left({\varphi }_{T\xi }\left(\frac{t}{m_0{\tau }_0}\right)\right).$ (8)

其中，$T^n$ 是移位算子，定义为在$n\ge 1$ 时，$T^n\left({\xi }_0,{\xi }_1,\cdots \right)=\left({\xi }_n,{\xi }_{n+1},\cdots \right)$ 。利用(7)以及对于所有$k\ge 2$ ，${\varphi }_{T\xi }^k\left(\frac{t}{m_0{\tau }_0}\right)\le {\varphi }_{T\xi }^2\left(\frac{t}{m_0{\tau }_0}\right)$ 的事实，我们得到${\varphi }_{\xi }\left(t\right)\le p_1\left({\xi }_0\right){\varphi }_{T\xi }\left(\frac{t}{m_0{\tau }_0}\right)+\left(1-p_1\left({\xi }_0\right)\right){\varphi }_{T\xi }^2\left(\frac{t}{m_0{\tau }_0}\right)={\varphi }_{T\xi }\left(\frac{t}{m_0{\tau }_0}\right)\left(p_1\left({\xi }_0\right)+\left(1-p_1\left({\xi }_0\right)\right){\varphi }_{T\xi }\left(\frac{t}{m_0{\tau }_0}\right)\right)$ ，通过迭代，考虑到${\varphi }_{\xi }\left(t\right)$ 是非递增的和${\varphi }_{\xi }\left(t\right)\le {\varphi }_{T\xi }\left(\frac{t}{m_0{\tau }_0}\right)$ ，可以得出

${\varphi }_{\xi }\left(t\right)\le {\varphi }_{T^n\xi }\left(\frac{t}{P_n}\right){\displaystyle \prod _{j=0}^{n-1}\left(p_1\left({\xi }_j\right)+\left(1-p_1\left({\xi }_j\right)\right){\varphi }_{T^n\xi }\left(\frac{t}{P_n}\right)\right)}.$ (9)

求期望值并利用${\varphi }_{T^n\xi }\left(t\right)\le 1$ 的事实，我们得到

$\varphi \left(t\right)\le \mathbb{E}\left[{\displaystyle \prod _{j=0}^{n-1}\left(p_1\left({\xi }_j\right)+\left(1-p_1\left({\xi }_j\right)\right){\varphi }_{T^n\xi }\left(\frac{t}{P_n}\right)\right)}\right]$ .

利用简单截断法和${\varphi }_{\xi }(\cdot )$ 非递增这一事实，对于所有$A>1$ ，我们可以得到

$\begin{array}{c}\varphi \left(t\right)\le \mathbb{E}\left[{\displaystyle \prod _{j=0}^{n-1}\left(p_1\left({\xi }_j\right)+\left(1-p_1\left({\xi }_j\right)\right){\varphi }_{T^n\xi }\left(\frac{t}{A^n}\right)\right)1\left(P_n\le A^n\right)}\right]+\mathbb{P}\left(P_n\ge A^n\right)\\ \le \mathbb{E}\left[{\displaystyle \prod _{j=0}^{n-1}\left(p_1\left({\xi }_j\right)+\left(1-p_1\left({\xi }_j\right)\right){\varphi }_{T^n\xi }\left(\frac{t}{A^n}\right)\right)}\right]+\mathbb{P}\left(P_n\ge A^n\right).\end{array}$

由于$T^n\xi$ 与$\sigma \left({\xi }_0,\cdots ,{\xi }_{n-1}\right)$ 是独立的，且随机变量$p_1\left({\xi }_i\right)$ ($i\ge 0$ )为独立同分布的，我们有，

$\varphi \left(t\right)\le {\left[\mathbb{E}{p}_1\left({\xi }_0\right)+\left(1-\mathbb{E}{p}_1\left({\xi }_0\right)\right)\varphi \left(\frac{t}{A^n}\right)\right]}^n+\mathbb{P}\left(P_n\ge A^n\right).$

根据控制收敛定理，我们有，$\underset{t\to \infty }{\lim }\varphi \left(t\right)=0$ 。因此，对于任意$\gamma \in \left(0,1\right)$ ，存在一个常数$K>0$ ，使得对于所有$t\ge K$ ，我们都有$\varphi \left(t\right)\le \gamma$ 。那么对于所有$t\ge K{A}^n$ ，我们有$\varphi \left(\frac{t}{A^n}\right)\le \gamma$ 。因此，对于$t\ge K{A}^n$ ，

$\varphi \left(t\right)\le {\alpha }^n+\mathbb{P}\left(P_n\ge A^n\right)$ (10)

其中，根据(3)，

$\alpha =\mathbb{E}{p}_1\left({\xi }_0\right)+\left(1-\mathbb{E}{p}_1\left({\xi }_0\right)\right)\gamma \in \left(0,1\right).$ (11)

回顾$\mu =\mathbb{E}X$ 和$S_n=\log P_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i}$ 。选择A使得$\log A>\mu$ 并让$\delta =\log A-\mu >0$ 。根据马尔可夫不等式和引理1，存在一个常数$C>0$ ，对于$n\in N$ ，使得

$\mathbb{P}\left(P_n\ge A^n\right)\le \mathbb{P}\left(\left|S_n-n\mu \right|\ge n\delta \right)\le \frac{\mathbb{E}{\left|{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(X_i-\mu \right)}\right|}^{2p}}{n^{2p}{\delta }^{2p}}\le \frac{C}{n^p}.$

那么，根据(10)对于n足够大且$t\ge K{A}^n$ ，我们可以得到

$\varphi \left(t\right)\le \frac{C}{n^p}.$ (12)

对于$t\ge K$ ，定义$n_0=n_0\left(t\right)=\left[\frac{\log \left(t/K\right)}{\log \left(A\right)}\right]\ge 0$ ，其中$\left[x\right]$ 代表x的整数部分，因此

$\frac{\log \left(t/K\right)}{\log \left(A\right)}-1\le n_0\le \frac{\log \left(t/K\right)}{\log \left(A\right)}$ 和$t\ge K{A}^{n_0}$ .

回到(12)，$n=n_0$ ，对于$t\ge K$ ，我们得到

$\varphi \left(t\right)\le \frac{C{\left(\log A\right)}^p}{{\left(\log \left(t/K\right)\right)}^p}\le C{\left(\log t\right)}^{-p}$ ,

证明了对于所有$q\in \left(1,p\right)$ ，$\mathbb{E}{\left|\log W\right|}^q<\infty$ (见(6))。

此外，对于$q\in \left(1,p\right)$ ，$x\mapsto \left|{\log }^q\left(x\right)\right|1\left(x\le 1\right)$ 是非负凸函数，根据[3]的引理2.1，我们有

$\underset{n\in N}{\sup }\mathbb{E}{\left|\log W_n\right|}^{q}1\left(W_n\le 1\right)=\mathbb{E}{\left|\log W\right|}^{q}1\left(W\le 1\right).$

通过标准截断法，我们得到

$\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }\mathbb{E}{\left|\log W_n\right|}^q\le C\mathbb{E}W+\mathbb{E}{\left|\log W\right|}^{q}1\left(W\le 1\right)<\infty ,$ (13)

这就结束了这一定理的证明。

基金项目

国家自然科学基金面上项目“随机矩阵乘积与随机环境中多型分枝过程”(12271062)。

NOTES

^*通讯作者。