1. 引言
常微分方程是本科院校数学类各专业的一门重要专业课，它在自然科学、社会科学等诸多领域有着广泛的应用。然而，传统的课堂教学方式常常偏重于理论和计算技巧，而忽视了常微分方程实际应用的价值和意义，往往给人以枯燥、抽象的感觉，使得部分学生感到难以理解和应用。然而，常微分方程本身蕴含着丰富的思政元素，例如，微分方程在物理、生物、经济等领域的应用，可以激发学生的爱国主义精神和社会责任感；微分方程的求解过程中，需要遵循逻辑推理和演算规则，可以培养学生的严谨态度和科学精神；通过与实际问题的结合，可以引导学生关注社会热点问题，提高他们的社会责任感和公民意识。为了提高常微分方程的教学效果，本文将探讨常微分方程和课程思政融合的教学方式，并借助混合式课堂这一新兴教学模式，提出具体实施策略，从而提高教学效果和学生学习的积极性。
实施课程思政是实现高等教育全面育人的重要手段。在高校教育中，各类课程都应具备思政教育的功能，协同专业课程一起承担起培养社会主义建设者和接班人的使命。常微分方程作为理工科专业的一门重要课程，不仅需要传授数学知识，还应融入思政教育，培养学生的综合素质和道德品质。通过在常微分方程课程中融入课程思政，可以更好地实现高校协同育人模式，促进学生的全面发展[1]。其次，从新时代社会发展的需求来看，实施课程思政是培养符合社会需要的高素质人才的必然要求。在新时代，社会对人才的需求已经从单纯的专业技能转向了更加注重人才的综合素质和道德品质。常微分方程作为一门重要的数学课程，不仅需要培养学生的数学知识和应用能力，还应融入课程思政，培养学生的社会主义核心价值观、家国情怀和社会责任感等。这样的培养方式可以更好地满足新时代社会发展的需求，为国家的建设和发展提供强有力的人才支持。
在具体实施步骤方面，可以考虑以下几点：
(1) 深入挖掘常微分方程课程中的思政教育元素。这包括在课程中引入相关的历史背景、数学家的故事、数学文化以及结合常微分方程的实际应用案例，引导学生理解数学的意义和价值[2]。
(2) 注重培养学生的批判思维和创新意识。在讲解常微分方程时，可以引导学生思考问题的本质和背后的意义，鼓励他们提出自己的见解和思路。同时，可以介绍一些数学家在解决常微分方程时的创新思路和批判思维，让学生受到启发。
(3) 引入多样化的教学方法和手段。除了传统的讲授式教学外，还可以采用小组讨论、合作项目、案例分析等多种教学方式让学生在学习过程中互相交流、互相帮助。
(4) 加强与高校其他部门的合作。实施课程思政需要与高校其他部门如学生处、团委等加强合作，共同推进课程思政的实施。可组织一些联合活动，如数学建模比赛、学术讲座等，将数学知识和思政教育有机结合起来。
(5) 建立完善的评价机制。实施课程思政需要建立完善的评价机制来评估其效果。可通过问卷调查、学生自评、教师评价等方式对课程思政的实施效果进行评价反馈，不断完善和优化课程思政的内容和方法。
总之，常微分方程作为一门重要的数学课程需要融入课程思政培养学生的综合素质和道德品质，以满足新时代社会发展的需求。为国家的建设和发展提供有力支持，具体实施步骤需要深入挖掘课程中的思政教育元素，注重培养学生的批判思维和创新意识，引入多样化的教学方法和手段，加强与其他部门的合作，建立完善的评价机制等来实现常微分方程课程思政的有效实施，从而培养出符合社会需要的高素质人才。
2. 基于混合式课堂的常微分方程与课程思政融合策略
传统课堂以面对面的方式进行教学，注重教师的讲解和学生的听讲，教学资源有限。而混合式课堂结合了传统课堂和在线学习，鼓励学生主动参与学习，提供丰富的教学资源，通过多种教学活动促进学生的主动学习和合作学习[3]。它将传统课堂教学和网络在线教学相结合，可以更好地实现常微分方程与课程思政的融合。线上课程可以从宽度上达成课程目标，而线下课堂可以从深度上达成课程目标，进而实现一门课程宽度与深度的平衡。以下是基于混合式课堂的常微分方程与课程思政融合策略。
2.1. 构建完善的网络平台
混合式课堂教学需要借助网络平台来实现线上教学和线下教学的有效衔接。因此，需要构建完善的网络平台，提供丰富的教学资源和学习工具，教师可以利用在线教学平台，如超星学习通、钉钉等，发布常微分方程的教学资源。同时还可以设置一些与常微分方程和课程思政相关的拓展知识和互动环节，引导学生进行自主学习和思考。
2.2. 强化线下实践教学
混合式课堂教学不仅需要线上教学的理论指导，更需要线下实践教学的支持。可以通过以下几个方面强化线下实践教学：
(1) 案例分。结合常微分方程在实际生活中的应用和课程思政中的道德品质、人生哲理等内容，设置一些具体的案例，引导学生进行分析和讨论，加深对常微分方程的理解和应用。
(2) 小组讨论。可以组织学生进行小组讨论，探讨常微分方程中的解题技巧和思路，以及课程思政中的人生道理和价值观等问题，通过互相交流和分享来提升学生思考问题的能力和语言表达水平。
(3) 数学建模。结合实际应用和课程内容，引导学生自主进行数学建模活动。例如，利用常微分方程研究经济增长模型、人口预测等问题，不仅可以增强学生对数学应用的理解能力，还可以培养其创新意识和团队合作精神。
2.3. 采用多元评价方式
传统课堂评价学生学习能力主要包括平时表现和期末成绩，其中平时表现分为考勤和完成作业情况。那么混合式课堂可以通过过程性评价与成果性评价相结合的方式进行评价。过程性评价包括：成绩展示、学习质量及效果、学生出勤、沟通讨论、日常工作等多方面。成果性评价方法：通过期末考试的方式来评估学生的学习情况，进而判断学生的成绩是否与教学目标要求相符合。
3. 混合模式的常微分方程课程思政教学设计
3.1. 混合式教学模式
混合式教学过程主要分为三个部分[4]：(如下表1~3)
(1) 课前(线上)
Table 1. Online teaching preparation before class
表1. 课前线上教学准备
| 教师 |
学生 |
1. 准备教学内容和资源：教师需要准备好相应的教学
内容，包括课程资料、PPT、教学视频等，并上传到
在线学习平台或共享文件夹中供学生下载和学习。2. 布置预习任务：教师需要提前布置预习任务，引导
学生了解课程内容和背景知识，为课堂学习做好准备。3. 了解学生学习情况：通过在线学习平台或课前小测验
等方式，教师了解学生的学习情况，以便在课中阶段
进行针对性的教学。 |
1. 预习教学内容：学生需要提前预习教师布置的教学内容，了解课程知识点和相关背景知识。2. 完成预习任务：学生需要完成教师布置的预习任务，
如阅读教材、观看教学视频、完成小测验等。3. 提出问题：学生在预习过程中遇到问题可以在在线
学习平台班级论坛中提出，与教师或其他同学进行
交流和讨论。 |
(2) 课中(线下)
Table 2. Offline teaching during class
表2. 课中线下教学
| 教师 |
学生 |
1. 讲解重难点知识。在课堂上，教师需要针对课程重难点知识进行讲解，帮助学生深入理解课程内容。2. 组织讨论和互动。教师可以组织学生进行小组讨论、
案例分析等互动活动，鼓励学生积极参与课堂，
提高学生的学习效果。3. 解答学生问题。在课堂上，教师需要回答学生的问题，帮助学生解决疑惑。 |
1. 听讲并做好笔记。学生需要认真听讲做好笔记，
以便课后复习巩固。2. 参与讨论和互动。学生可以积极参与课堂讨论和
互动活动，与其他同学合作解决问题。3. 提出问题。学生在听讲过程中遇到问题，可以在课堂上提出，寻求教师或其他同学的帮助。 |
(3) 课后(线上 + 线下)
Table 3. Combination of online and offline teaching after class
表3. 课后线上线下教学结合
| 教师 |
学生 |
1. 布置课后作业。教师可以布置课后作业，帮助学生巩固课堂所学知识。2. 批改作业并给予反馈。教师需要批改学生的作业，
指出存在的问题和不足之处，并给予指导和建议。3. 总结反思。教师需要对课堂教学进行总结反思，
评估教学效果和学生的学习效果，以便改进教学方法
和策略。 |
1. 完成课后作业。学生需要按时完成课后作业，
巩固所学知识。2. 复习课堂所学知识。学生需要对课堂所学知识进行复习巩固，加深对课程内容的理解和掌握。3. 与教师或其他同学进行交流。学生可以在在线学习平台或班级论坛中与教师或其他同学进行交流讨论，分享学习心得和体会。 |
3.2. 教学案例设计
以“伯努利方程”为例进行融入思政元素的教学设计(可进行单元教学)。
(1) 学情分析
大多数本科数学专业一年级学生对于微分方程的概念和应用还不太熟悉，同时对于思政教育的关注度也有所差异。有些学生对于将数学原理与社会发展相结合的教学方式持有积极态度，而另一部分学生则对此不太了解或者不感兴趣。因此，在教学设计中需要综合考虑学生的前置知识、兴趣和意愿，提出合理的教学目标和相应的教学内容，以保证教学效果的全面提升。
(2) 教学目标
基于以上的学情分析，教学目标的设定应具有以下几个方面。首先，引导学生了解伯努利方程的基本概念和表达形式，掌握其解法的基本步骤和技巧。其次，通过融入课程思政元素，使学生了解伯努利方程在现实生活中的应用背景，培养他们将课程知识与社会问题相结合的想象力和分析能力。最后，通过教学过程中的互动和实践，激发学生的学习兴趣和参与度，培养他们的创新思维和解决问题的能力。
(3) 教学过程
1) 线上教学
首先，教师需先在班级群内发布有关伯努利方程的相关视频，该视频从慕课中获取，教师提前认真观看，是否符合本班学生，选择合适的课程视频发布在班级的超星学习通软件上，让学生在规定的时间内完成课程视频的学习。引导学生通过课前预习，了解伯努利方程的基本概念和表达形式。教师可以提供相关的教材和参考书籍，同时建议学生自主查找相关的学习资源。在预习环节，学生需要明确理解伯努利方程的特征和解法思路，为后续的教学活动做好准备。
教师布置完任务之后，学生则要打开超星学习通进行学习，完成视频的学习之后，学生有不懂的地方可以随时与老师在平台内进行交流，也可以自行上网查阅资料。最终还需完成课前学习任务单中的练习题，教师根据学生的完成情况来设计如何进行线下教学。
2) 线下教学
课堂上，教师组织小组讨论和展示，将课前的预习内容再拿到课堂中让学生进行巩固。教师可以进行系统的教学讲解，介绍伯努利方程的定义、一阶和高阶伯努利方程的一般解法，以及其在实际问题中的应用。通过理论知识的讲解，学生可以逐步建立对伯努利方程的理解和掌握。在小组讨论中，教师应鼓励学生发表自己的观点和想法，提高他们的思辨和表达能力。然后，让学生探讨伯努利方程与课程思政相结合的意义和可能性，学生可以选择一个与伯努利方程相关的社会问题，例如环境污染、经济发展等，此时我们可提出一个与环境保护相关的问题，引导学生思考如何运用伯努利方程来分析和解决问题。通过这样的引入，可以引发学生对伯努利方程与社会问题的联系和价值的思考。为了使学生更好地理解伯努利方程的意义和思政价值，教师可以设计一些案例分析和讨论活动。教师可设计一系列的探究活动，引导学生主动思考和解决问题。例如，通过给定具体的实际案例，要求学生分析并应用伯努利方程求解相关的问题。在解题过程中，教师可以提供适当的指导和提示，引导学生运用数学知识解决实际问题，同时让他们思考伯努利方程与社会问题的联系和培养他们的综合分析能力。
最后，教师可以组织课堂演讲和总结，让学生分享他们的思考和解决方案。通过展示和讨论，学生可以提高自己的表达和沟通能力，增强他们对伯努利方程融入课程思政的理解和认识。同时，教师可以根据学生的表现和课堂反馈，进行评价和总结，及时调整教学策略，提高教学效果。
3) 课后作业布置
在布置伯努利方程这节课的课后作业时，我们需要设计开放型题目和基础型题目，以促进差生和优生的全面发展。开放型题目可以要求学生通过变换或其他方法将伯努利方程转化为线性方程，并求解得到解集。这样的题目能够锻炼学生的分析和推理能力，培养他们解决实际问题的能力。而基础型题目可以要求学生计算伯努利方程的特解或者研究伯努利方程的性质，巩固他们对常微分方程基本概念和术语的理解。
通过恰当设计课后作业的题目，我们可以有效地帮助学生深入理解伯努利方程以及常微分方程的相关知识。培养学生的问题解决能力和分析思维，是教学的核心目标之一。因此，我们需要根据学生的水平和兴趣，合理安排课后作业的难度和题型，让每一个学生都能得到发展和进步。
(4) 教学重难点
“伯努利方程”的教学重点是使学生熟练掌握伯努利方程的类型及解法，了解“伯努利方程”在一阶非线性微分方程理论中的重要地位，能应用伯努利微分方程分析和解决一些简单实际问题。
“伯努利方程”的教学难点位在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉运用这些数学思想方法去分析、思考其它类型的微分方程的求解问题。在内容讲授过程中能够有效融入思政元素，达到育才育人的良好效果。
4. 混合式教学评价
在混合式教学的实施过程中，采取过程性评价和成果性评价，其中需要注意以下几点：
(1) 评价标准要公正、客观。制定评价标准时要充分考虑学生的实际情况和学习需求，确保评价结果能够真实反映学生的学习成果。
(2) 评价方式要多元化。采用多种评价方式相结合的方法，以便全面了解学生的学习情况。同时，多元化的评价方式还可以激发学生的学习兴趣和积极性。
(3) 及时反馈与调整。在过程性评价中要及时给予学生反馈，帮助他们发现问题并改进学习策略。同时，要根据评价结果及时调整教学策略，以满足学生的实际需求。
(4) 重视团队合作。在混合式教学中，团队合作是一项重要的能力。因此，在过程性评价中要重视对学生的团队协作能力的评价，并通过小组合作项目等方式培养学生的团队协作能力。
(5) 利用教学辅助工具。在教学中，可以充分利用在线学习平台、教学管理系统等教学辅助工具进行过程性评价和成果性评价，提高评价的效率和准确性。
(6) 不断改进和完善。混合式教学是一种新兴的教学方式，其评价方式也需要不断改进和完善。因此，在教学过程中要根据实际情况不断调整和优化评价方式，以提高混合式教学的效果和质量。
总之，基于“常微分方程”的混合式教学评价需要同时关注过程性评价和成果性评价两个方面。通过制定公正、客观的评价标准、采用多元化的评价方式、及时反馈与调整、重视团队合作、利用教学辅助工具以及不断改进和完善等方式，可以有效地实施混合式教学评价，提高教学质量和学生学习效果。
5. 结语
本文介绍了混合式课堂模式下常微分方程与课程思政融合的实践与效果评价。在混合式课堂模式中，常微分方程与课程思政可以相互促进，为学生提供更加综合全面的学习体验。在教学中，教师需要注重方法的灵活运用，通过设计实际案例和激发学生的思辨能力，使学生能够在学科知识的同时培养批判思维和社会责任感[5]。混合式课堂模式下的常微分方程与课程思政融合，有助于培养学生的综合素质和创新能力，为他们未来的发展打下坚实的基础。
这种现代化教育理念，不仅可以提高教学效果和理解深度，还可以培养学生的综合素质和创新能力。因此，应该关注常微分方程在课程思政中的应用，积极探索融合策略和方式，为培养具有国际视野、创新能力和社会责任感的优秀人才做出贡献。
基金项目
新疆维吾尔自治区高校本科教育教学研究和改革项目：基于课程思政背景的常微分方程教学改革研究(XJGXPTJG-202257)。
NOTES
*通讯作者。