带有指数阻尼项的三维Navier-Stokes方程吸引子的存在性

Existence of Attractors for the Three-Dimensional Navier-Stokes Equations with Exponential Damping

摘要: 近些年，带有多项式阻尼项的Navier-Stokes方程被推导且得到研究，并且得出了很多重要结论。本文证明了带有指数阻尼项$\alpha \left(e^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u\left(\alpha >0,\beta >0\right)$ 的三维Navier-Stokes方程在有界区域上整体吸引子的存在性。

Abstract: In recent years, the Navier-Stokes equations with polynomial damping have been derived and studied, and many important conclusions have been drawn. In this paper, we show that the three-dimensional Navier-Stokes equations with exponential damping $\alpha \left(e^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u\left(\alpha >0,\beta >0\right)$ have global attractors in the bounded domain.

1. 引言

自1933年以来，经典的Navier-Stokes方程引起了很多学者的兴趣和研究，得到了很多重要结果。例如，Leray [1]与Hopf [2]分别构造了Navier-Stokes方程在全空间和有界域上的弱解，并证明了三维经典Navier-Stokes方程当$u_0\in L^2\left({ℝ}^3\right)$ 时存在一个弱解u，我们将这个弱解称为Leray-Hopf弱解。Fujita和Kato研究了经典Navier-Stokes方程的初值问题，并构造了三维Navier-Stokes方程在有界域上的温和解[3]等。

近期，又有很多学者对带有多项式阻尼项的Navier-Stokes方程进行了研究。2008年，蔡晓静和酒全森研究了阻尼项为$\alpha {\left|u\right|}^{\beta -1}u$ 的Navier-Stokes方程解的存在性和唯一性，证明了当实数$\beta \ge 1$ 且初值

$u_0\in L_{\sigma }^2\left({ℝ}^3\right)$ 时弱解具有整体存在性，当$\beta \ge \frac{7}{2}$ 时方程具有整体强解，特别地，当$\frac{7}{2}\le \beta \le 5$ 时强解唯一[4]。2012年，针对这一问题，周勇证明了当$\beta \ge 3$ 时强解的整体存在性，并且建立了两个正则性准则，还证明了当$\beta \ge 1$ 时强解和弱解存在的唯一性。2021年，J. Benameur构建了带有指数阻尼项$\alpha \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u$ 的Navier-Stokes方程，证明了弱解的整体存在性[5]；之后，J. Benameur和M. Ltifi证明了带有指数阻尼项的Navier-Stokes方程强解的存在性和唯一性[6]。2022年，M. Ltifi证明了带有对数阻尼项$\alpha \log \left(e+{\left|u\right|}^2\right){\left|u\right|}^{2}u$ 的Navier-Stokes方程强解的存在性和唯一性。

同时，学者们对Navier-Stokes方程吸引子的存在和性质也得到了很多研究。1991年，Ladyzhenskaya证明了半群吸引子的存在性[7]。1992年，A.V. Babin和M.I. Vishik提出了发展方程吸引子这一概念[8]。随后，数学家们对二维和三维Navier-Stokes方程的吸引子作了大量研究，并得出了很多重要结论。1998年，R. Rosa证明了二维Navier-Stokes流体在无界域上的整体吸引子[9]。2000年，E Feireisl证明了三维可压缩Navier-Stokes方程紧致的整体吸引子的存在性[10]。2011年，宋学力和侯延仁证明了阻尼项为$\alpha {\left|u\right|}^{\beta -1}u$ 的Navier-Stokes方程在有界域中整体吸引子的存在性[11]。

基于以上学者的研究，我们发现对于带有多项式阻尼项的Navier-Stokes方程吸引子的存在性的研究颇少，考虑到吸引子对于Navier-Stokes方程研究的重要意义，本文将对带有指数阻尼项的Navier-Stokes方程吸引子的存在性进行研究。

假设$\Omega \subset {ℝ}^3$ 是边界$\partial \Omega$ 足够光滑的有界区域，本文的主要研究目的是，带有指数阻尼项$\alpha \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u$ 的三维Navier-Stokes方程整体吸引子的存在性。为便于证明，本文构建了如下方程：

$\{\begin{array}{ll}{u}_t-\mu \Delta u+\left(u\cdot \nabla \right)u+\alpha \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u+\nabla p=0,\hfill & \left(x,t\right)\in \text{Ω}\times \left(0,T\right),\hfill \\ \text{div}u=0,\hfill & \left(x,t\right)\in \text{Ω}\times \left(0,T\right),\hfill \\ {u|}_{t=0}=u_0\hfill & x\in \text{Ω},\hfill \\ {u|}_{\partial \text{Ω}}=0,\hfill & x\in \text{Ω}.\hfill \end{array}$ (1)

其中$\mu >0$ 为流体的运动粘度，向量函数$u=\left(u_1,u_2,u_3\right)$ 和$p=p\left(x,t\right)$ 分别代表速度场和流体压力，阻尼项中$\beta >0$ 和$\alpha >0$ 是两个常数，函数$u_0=u_0\left(x\right)$ 为初速度。

首先根据[3]和[4]给出方程(1)弱解和强解的定义。

定义1.1 [3]设$\alpha >0$ ，$\beta >0$ ，如果对于$\forall T>0$ ，函数对$\langle u\left(x,t\right),p\left(x,t\right)\rangle$ 满足下列条件

i) $u\in L^{\infty }\left(0,T;{\text{L}}_{\sigma }^2\left(\Omega \right)\right)\cap L^2\left(0,T;{\text{W}}_{0,\sigma }^{1,2}\left(\Omega \right)\right)$ ，$\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|u\right|}^2\in L^1\left(\left(0,T\right)\times \Omega \right)$ ；

ii) $u_t-\mu \Delta u+\left(u\cdot \nabla \right)u+\alpha \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u+\nabla p=0$ 在$D^{\prime }\left(0,T;\Omega \right)$ 成立，u满足方程

$-{\displaystyle {\int }_0^T\langle u,{\phi }_t\rangle }+\mu {\displaystyle {\int }_0^T\langle \nabla u,\nabla \phi \rangle }-{\displaystyle {\int }_0^T\langle \left(u\cdot \nabla \right)u,\phi \rangle }+\alpha {\displaystyle {\int }_0^T\langle \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u,\phi \rangle }=\langle u_0,\phi \left(0\right)\rangle ,$

iii) $\text{div}u\left(x,t\right)=0$ ，a.e.$\left(x,t\right)\in \Omega \times \left(0,T\right)$ ，

则称函数对$\langle u\left(x,t\right),p\left(x,t\right)\rangle$ 是方程(1)的弱解，其中$\phi \in {\text{C}}_{0,\sigma }^{\infty }\left(0,T;\Omega \right)$ 且$\text{div}\phi \left(\cdot ,T\right)=0$ 。

定义1.2 [4]如果函数对$\langle u\left(x,t\right),p\left(x,t\right)\rangle$ 是方程(1)的弱解，$u_0\in {\text{W}}_{0,\sigma }^{1,2}\left(\Omega \right)$ ，且满足

$u\in L^{\infty }\left(0,T;{\text{H}}^1\left(\Omega \right)\right)\cap L^2\left(0,T;{}^{\dot{\text{H}}}\left(\Omega \right)\right),$

$\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|u\right|}^2,\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|\nabla u\right|}^2,{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}{\left|\nabla {\left|u\right|}^2\right|}^2\in L^1\left(\left(0,T\right)\times \Omega \right)$

则称函数对$\langle u\left(x,t\right),p\left(x,t\right)\rangle$ 是方程(1)的强解。

通过定义1.1可知，如果$u\in L^{\infty }\left(0,T;{\text{L}}_{\sigma }^2\left(\Omega \right)\right)\cap L^2\left(0,T;{\text{W}}_{0,\sigma }^{1,2}\left(\Omega \right)\right)$ 是方程(1)在$\left[0,T\right]$ 上的弱解，那么u满足

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(u,v\right)+\mu \left(\left(u,v\right)\right)+b\left(u,u,v\right)+\left(\alpha \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u,v\right)=0,\forall v\in V,\forall t>0,\\ u\left(0\right)=u_0.\end{array}$ (2)

方程(2)等价于函数方程

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}u}{\text{d}t}+\mu Au+B\left(u\right)+G\left(u\right)=0,\forall t>0,\forall T>0,\\ u\left(0\right)=u_0.\end{array}$ (3)

其中$Au=-\tilde{P}\Delta u$ 是Stokes算子，$\tilde{P}$ 是${\left(L^2\left(\Omega \right)\right)}^3$ 在H上的正交投影，定义为$\langle Au,v\rangle =\left(\left(u,v\right)\right)$ ，且$F\left(u\right)=\alpha \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u$ ，$G\left(u\right)=\tilde{P}F\left(u\right)$ 。$B:V\times V\to V^{\prime }$ 是双线性算子，定义为$\langle B\left(u,v\right),w\rangle =b\left(u,v,w\right)$ ，$B\left(u\right)=B\left(u,u\right)$ ，其中

$b\left(u,v,w\right)={\displaystyle \sum _{i,j=1}^3{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}_i\frac{\partial v_j}{\partial x_i}{w}_j\text{d}x}}$

$\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 是V与$V^{\prime }$ 的对偶积。

本文定义$Z={\text{W}}_{0,\sigma }^{1,2}\left(\Omega \right)\cap {\displaystyle {\cup }_{4\le p\le \infty }{L}^{\infty }\left(0,T;L^p\left(\Omega \right)\right)}$ ，下面将给出本文的主要结论：

定理1.3 假设$\alpha >0$ ，$\beta >0$ ，$u_0\in Z$ ，则方程(3)存在一个$\left(Z,{\text{H}}^2\right)$ 整体吸引子，且在${\text{H}}^2\left(\Omega \right)$ 中具有不变性和紧致性。

本文的结构如下：第二章将介绍本文所用到的基本符号和相关引理，第三章将给出多个命题的证明，为证明后文吸引子的整体存在性作铺垫，第四章将利用第三章的结论证明带有指数阻尼项$\alpha \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u$ 的三维Navier-Stokes方程整体吸引子的存在性。

2. 基本符号和相关引理

本章将介绍本文所用到的基本符号和定义，以及已经证明过的相关定理和引理。

2.1. 基本符号

本节将介绍本文所用到的基本符号：

${\text{C}}_{0,\sigma }^{\infty }\left(\Omega \right)$ 表示全体$C^{\infty }$ 实向量值函数的集合$u=\left(u_1,u_2,u_3\right)$ ，并在$\Omega$ 中具有紧支撑，使得$\text{div}u=0$ 。函数空间${\text{L}}_{\sigma }^p\left(\Omega \right)$ ，$1<p<\infty$ ，定义为${\text{L}}^p\left(\Omega \right)$ 中${\text{C}}_{0,\sigma }^{\infty }\left(\Omega \right)$ 的闭包，其中${\text{L}}^p\left(\Omega \right)={\left(L^p\left(\Omega \right)\right)}^3$ ，赋范数为${\left|\cdot \right|}_p$ 。${\text{W}}_{0,\sigma }^{k,p}\left(\Omega \right)$ 为${\text{W}}^{k,p}\left(\Omega \right)$ 中${\text{C}}_{0,\sigma }^{\infty }\left(\Omega \right)$ 的闭包，赋范数为${\Vert \cdot \Vert }_{k,p}$ ，当$p=2$ 时，定义${\text{H}}^k\left(\Omega \right)={\text{W}}^{k,2}\left(\Omega \right)$ ，${\text{H}}_{0,\sigma }^k\left(\Omega \right)={\text{W}}_{0,\sigma }^{k,2}\left(\Omega \right)$ 。${\text{H}}^{-k}\left(\Omega \right)$ 表示${\text{H}}_{0,\sigma }^k\left(\Omega \right)$ 的对偶空间，${}^{\dot{\text{H}}}\left(\Omega \right)$表示齐次Sobolev空间。

本文定义$\mathcal{V}=\left\{u\in {\left(C_0^{\infty }\left(\Omega \right)\right)}^3:\text{div}u=0\right\}$ ，$H$ 和$V$ 分别表示$\mathcal{V}$ 在${\left(L^2\left(\Omega \right)\right)}^3$ 和${\left(H_0^1\left(\Omega \right)\right)}^3$ 下的闭包。显然，$H$ 和$V$ 是可分的希尔伯特空间，$H^{\prime }$ 是$H$ 的对偶空间，存在连续嵌入$V$ ↪$H$ ↪$V^{\prime }$ ，且$V$ ↪$H$ 是紧嵌入。$H$ 和$V$ 的内积表示为：

$\left(u,v\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }u\cdot v\text{d}x},\forall u,v\in H,\left(\left(u,v\right)\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^3{\displaystyle {\int }_{\Omega }\nabla u_i\cdot \nabla v_i\text{d}x}},\forall u,v\in V,$

并且范数表示为${\left|\cdot \right|}_2={\left(\cdot ,\cdot \right)}^{\frac{1}{2}}$ ，$\Vert \cdot \Vert ={\left(\left(\cdot ,\cdot \right)\right)}^{\frac{1}{2}}$ 。因此，在本文中，$H={\text{L}}_{\sigma }^2\left(\Omega \right)$ ，$V={\text{W}}_{0,\sigma }^{1,2}\left(\Omega \right)$ ，$Z=V\cap {\displaystyle {\cup }_{4\le p\le \infty }{L}^{\infty }\left(0,T;L^p\left(\Omega \right)\right)}$ 。

由于$\partial \Omega$ 是足够正则的，$D\left(A\right)={\left(H^2\left(\Omega \right)\right)}^3\cap V$ 和${\left|Aw\right|}_2$ 在$D\left(A\right)$ 中定义了一个范数，它等价于${\left(H^2\left(\Omega \right)\right)}^3$ 中的范数，即存在一个仅依赖于$\Omega$ 的常数$c_1\left(\Omega \right)>0$ ，使得

${\Vert w\Vert }_{{\left(H^2\left(\Omega \right)\right)}^3}\le c_1\left(\Omega \right){\left|Aw\right|}_2$ ，$\forall w\in D\left(A\right)$ .

本文中的c表示常数，c的值可能会随其依赖值的变化而变化。

2.2. 相关引理

在本节中，我们将根据[3]和[4]给出方程(1)的弱解和强解的存在性以及相关引理。

首先给出方程(1)弱解的存在性。

引理2.1 [3]设$\alpha >0$ ，$\beta >0$ ，$u_0\in H$ ，对于给定的$T>0$ ，方程(1)存在一个弱解$u\in L^{\infty }\left(0,T;{\text{L}}^2\left(\Omega \right)\right)\cap C\left(0,T;{\text{H}}^{-2}\left(\Omega \right)\right)\cap L^2\left(0,T;{}^{\dot{\text{H}}}\left(\Omega \right)\right)\cap {ℰ}_{\beta }$，且对于任何$t\ge 0$ 有

${\Vert u\left(t\right)\Vert }_2^2+2{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert \nabla u\left(z\right)\Vert }_2^2\text{d}z}+2\alpha {\displaystyle {\int }_0^t{\Vert \left({\text{e}}^{\beta {\left|z\right|}^2}-1\right){\left|u\left(z\right)\right|}^2\Vert }_{L^1}\text{d}z}\le {\Vert u_0\Vert }_2^2.$

其中${ℰ}_{\beta }=\left\{f:\left(0,T\right)\times \Omega \to \Omega ;\left({\text{e}}^{\beta {\left|f\right|}^2}-1\right){\left|f\right|}^2\in L^1\left(\left(0,T\right)\times \Omega \right)\right\}$ 。

下面引理将介绍方程(1)强解的存在性和唯一性。

引理2.2 [4]设$\alpha >0$ ，$\beta >0$ ，$u_0\in V$ ，则方程(1)存在唯一强解$u\in L^{\infty }\left(0,T;V\right)\cap C\left(0,T;{\text{H}}^{-2}\left(\Omega \right)\right)$ $\cap L^2\left(0,T;{}^{\dot{\text{H}}}\left(\Omega \right)\right)\cap {\mathscr{H}}_{\beta }$，且对于任何$t\ge 0$ 有

${\Vert u\left(t\right)\Vert }_2^2+2{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert \nabla u\Vert }_2^2}+2\alpha {\displaystyle {\int }_0^t{\Vert \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|u\right|}^2\Vert }_{L^1}}\le {\Vert u_0\Vert }_2^2;$

${\Vert \nabla u\left(t\right)\Vert }_2^2+{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert \Delta u\Vert }_2^2}+\alpha \beta {\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}{\left|\nabla \left({\left|u\right|}^2\right)\right|}^2\Vert }_{L^1}}+\alpha {\displaystyle {\int }_0^t{\Vert \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|\nabla u\right|}^2\Vert }_{L^1}}\le {\Vert \nabla u_0\Vert }_2^2{\text{e}}^{\frac{t}{\alpha {\beta }^2}};$

${\Vert \nabla u\left(t\right)\Vert }_2^2+{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert \Delta u\Vert }_2^2}+\alpha \beta {\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}{\left|\nabla \left({\left|u\right|}^2\right)\right|}^2\Vert }_{L^1}}+\alpha {\displaystyle {\int }_0^t{\Vert \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|\nabla u\right|}^2\Vert }_{L^1}}\le M_{\alpha ,\beta }\left(u_0\right),$

其中$M_{\alpha ,\beta }\left(u_0\right)={\Vert \nabla u_0\Vert }_2^2+\frac{{\Vert u_0\Vert }_2^2}{\alpha {\beta }^2}$ ，

${\mathscr{H}}_{\beta }=\left\{f:\left(0,T\right)\times \Omega \to \Omega ;\left({\text{e}}^{\beta {\left|f\right|}^2}-1\right){\left|f\right|}^2,\left({\text{e}}^{\beta {\left|f\right|}^2}-1\right){\left|\nabla f\right|}^2,{\text{e}}^{\beta {\left|f\right|}^2}{\left|\nabla {\left|f\right|}^2\right|}^2\in L^1\left(\left(0,T\right)\times \Omega \right)\right\}$ .

下面将介绍方程(1)的高正则解及其存在性的证明。

定义2.3 如果函数对$\langle u\left(x,t\right),p\left(x,t\right)\rangle$ 是方程(1)的弱解，$u_0\in Z$ ，且满足

$u\in L^{\infty }\left(0,T;V\right)\cap L^2\left(0,T;{}^{\dot{\text{H}}}\left(\Omega \right)\right),\frac{1}{\beta }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-{\left|u\right|}^2\in L^{\infty }\left(0,T;L^1\left(\Omega \right)\right),$

则称函数对$\langle u\left(x,t\right),p\left(x,t\right)\rangle$ 是方程(1)的高正则解。

引理2.4 设$\alpha >0$ ，$\beta >0$ ，$u_0\in Z$ ，则对于$\forall t\ge 0$ ，方程(1)存在整体强解：

$u\in L^{\infty }\left(0,T;V\right)\cap C\left(0,T;{\text{H}}^{-2}\left(\Omega \right)\right)\cap L^2\left(0,T;{}^{\dot{\text{H}}}\left(\Omega \right)\right)\cap {\mathscr{H}}_{\beta },\frac{1}{\beta }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-{\left|u\right|}^2\in L^{\infty }\left(0,T;L^1\left(\Omega \right)\right),$

满足

$\begin{array}{l}\underset{0\le t\le T}{\sup }\left({\Vert u\Vert }^2+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{1}{\beta }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-{\left|u\right|}^2\right)\text{d}x}\right)+\alpha {\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x\text{d}t}}\\ +\frac{\alpha \beta }{2}{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}{\left|\nabla {\left|u\right|}^2\right|}^2\text{d}x\text{d}t}}+{\displaystyle {\int }_0^T{\left|u_t\right|}_2^2\text{d}t}+\frac{\mu }{2}{\displaystyle {\int }_0^T{\left|\Delta u\right|}_2^2\text{d}t}\le C.\end{array}$

引理2.5将介绍方程(3)中$F\left(u\right)$ 的性质，便于后续吸引子的研究。

引理2.5 设$F\left(u\right)=\alpha \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u$ ，则

1) 设$\alpha >0$ ，$\beta >0$ ，F在${ℝ}^3$ 中连续可微，对于${ℝ}^3$ 中$u=\left(u_1,u_2,u_3\right)$ 的雅可比矩阵为：

$F^{\prime }\left(u\right)=\alpha \left(\begin{array}{ccc}{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}\left(1+2\beta u_1^2\right)-1& 2\beta {\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}{u}_1{u}_2& 2\beta {\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}{u}_1{u}_3\\ 2\beta {\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}{u}_1{u}_2& {\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}\left(1+2\beta u_2^2\right)-1& 2\beta {\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}{u}_2{u}_3\\ 2\beta {\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}{u}_1{u}_3& 2\beta {\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}{u}_2{u}_3& {\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}\left(1+2\beta u_3^2\right)-1\end{array}\right)$

进而$F^{\prime }\left(u\right)$ 是正定的，且对于任意$u,v,w\in {ℝ}^3$ 有：

$\left|\left(F^{\prime }\left(u\right)v\right)\cdot w\right|\le c{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}{\left|u\right|}^2\left|v\right|\left|w\right|,$

其中，c是取决于$\beta$ 和$\alpha$ 的大于零的常数。

2) F在${ℝ}^3$ 中单调，即对任意$u,v\in {ℝ}^3$ 有：

$\left(F\left(u\right)-F\left(v\right),u-v\right)\ge 0$ [1].

3. 解的一致估计

本章将构建方程(3)解的一致估计($t\to \infty$ )，共有7个命题证明，这些命题在第四节中证明吸引子的存在性是十分必要的。我们从$H$ 中的估计开始，在下面的命题中为便于估计，我们取$\mu =1$ 。

命题3.1 假设$\alpha >0$ ，$\beta >0$ ，$u_0\in Z$ ，则存在常数${\rho }_1$ 、$I_1$ 和$I_2$ ，使得

${\left|u\left(t\right)\right|}_2\le {\rho }_1,\forall t\ge 0;$

${\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\Vert u\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}\le I_1,{\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\left|\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\left(s\right)\right|}^2}-1\right){\left|u\left(s\right)\right|}^2\right|}_{L^1}\text{d}s}<I_2,\forall t\ge 0.$

证明：将方程(1)与u作内积可得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\left|u\right|}_2^2+2{\Vert u\Vert }_2^2+2\alpha {\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|u\right|}^2\text{d}x}=0,$ (4)

由Poincare不等式知，存在${\lambda }_1$ ，使得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\left|u\right|}_2^2+2{\lambda }_1{\left|u\right|}_2^2\le 0,$

由Gronwall不等式，可得

${\left|u\right|}_2^2\le {\left|u_0\right|}_2^2{\text{e}}^{-2{\lambda }_{1}t},\forall t\ge 0,$

则有

${\left|u\right|}_2^2\le {\left|u_0\right|}_2^2\equiv {\rho }_1^2,\forall t\ge 0,$ (5)

将(13)在t到$t+1$ 上积分得到

${\left|u\left(t+1\right)\right|}_2^2+2{\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\Vert u\Vert }^2\text{d}s}+2\alpha {\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\left|\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|u\right|}^2\right|}_{L^1}\text{d}s}\le {\left|u\left(t\right)\right|}_2^2$

则有

$2{\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\Vert u\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}\le {\left|u\left(t\right)\right|}_2^2,$

由(14)可知

${\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\Vert u\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}\le \frac{1}{2}{\left|u\left(t\right)\right|}_2^2=\frac{1}{2}{\rho }_1^2\le I_1,$

同理可证

${\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\left|\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|u\right|}^2\right|}_{L^1}\text{d}s}\le I_2,$

其中${\rho }_1$ 、$I_1$ 、$I_2$ 均为常数。证毕。

命题3.2 假设$\alpha >0$ ，$\beta >0$ ，$u_0\in Z$ ，则存在时间$t_1$ 和$t_2$ ，常数${\rho }_2$ 和${\rho }_3$ 使得

$\Vert u\left(t\right)\Vert \le {\rho }_2,\forall t\ge t_1$ ;

${\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{1}{\beta }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-{\left|u\right|}^2\right)\text{d}x}\le {\rho }_3,\forall t\ge t_2.$

证明：(1) 首先，由引理2.4可知对于任意${\Vert u_0\Vert }^2\le M$ ，$\Vert u\Vert$ 都是一致有界的，即对于每一个$T>0$ ，都有

$\underset{t\in \left[0,T\right]}{\sup }\underset{\Vert u_0\Vert \le M}{\sup }\Vert u\left(t\right)\Vert \le K_T,$

其中对于每一个$T>0$ ，$K_T$ 都是有限的。

因此，对于任意序列$\left\{u_{0n}\right\}$ 和$\left\{t_n\right\}$ ，其中$u_{0n}\in Z$ ，$\Vert u_{0n}\Vert \le M$ 和$t_n\in \left[0,T\right]$ ，

$\Vert S\left(t_n\right)u_{0n}\Vert \to \infty \left(n\to \infty \right),$ (6)

是不存在的。为证明$Z$ 中吸收集的存在性，必须排除当$T\to \infty$ 时，$K_T\to \infty$ 。也就是说，必须证明

$\underset{t\in \left[0,T\right]}{\text{sup}}\underset{\Vert u_0\Vert \le M}{\sup }\Vert u\left(t\right)\Vert \le K_T<\infty ,\forall T>0,$

成立。

由命题3.1可知

${\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\Vert u\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}\le I_1,\forall t\ge 0,$

现在考虑$\left[t,t+1\right]$ 中所有关于s的集合，其中${\Vert u\left(s\right)\Vert }^2>2I_1$ ，并且设$\sigma$ 为这个集合的测度，则有

$2I_1\sigma \le {\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\Vert u\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}\le I_1,$

因此可得$\sigma \le \frac{1}{2}$ ，那么在任意区间$\left[t,t+1\right]$ 中，当点的测度$\sigma >\frac{1}{2}$ 时，有

${\Vert u\left(s\right)\Vert }^2\le 2I_1,$ (7)

特别地，在区间$\left[t,t+1\right]$ 中至少存在一个点使得(16)成立。

设$\sigma =\sqrt{2I_1}$ ，我们将证明

$\underset{t\ge 0}{\sup }\underset{\Vert u_0\Vert \le \sigma }{\sup }\Vert u\left(t\right)\Vert <\infty ,$

成立。反之，存在一个序列$t_n\to \infty$ 和指数$u_{0n}$ 且$\Vert u_{0n}\Vert \le \sigma$ ，使得

$\Vert S\left(t_n\right)u_{0n}\Vert \to \infty \left(n\to \infty \right).$ (8)

现在考虑区间$\left[t_n-1,t_n\right]$ ，已知一定存在一个$s_n\in \left[t_n-1,t_n\right]$ ，使得

$\Vert u_n\left(s_n\right)\Vert \le \sigma ,$

现在引入一个关于时间的平移解$v_n\left(t\right)=u_n\left(t+s_n\right)$ ，其中$v_n\left(t\right)$ 是三维方程的解，且有$v_n\left(0\right)=v_{0n}$ ，且$\Vert v_{0n}\Vert \le \sigma$ ，由(17)可知存在$a_n=t_n-s_n<1$ 使得

$\Vert v_n\left(a_n\right)\Vert \to \infty$ ，即$\Vert S\left(a_n\right)v_{0n}\Vert \to \infty$ .

但是，由(15)知这种情况是不可能出现的。

综上所述，存在一个时间s，$s\in \left[0,1\right]$ ，使得

$u\left(s\right)\le \sigma ,$

则一定存在某个${\rho }_2$ 使得

$u\left(t\right)\le {\rho }_2,$

因此，当$t_1\ge 0$ 时，则有

$\Vert u\left(t\right)\Vert \le {\rho }_2,\forall t\ge t_1,$

即$Z$ 中存在吸收集。

(2) 由命题3.1知

${\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\left|\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\left(s\right)\right|}^2}-1\right){\left|u\left(s\right)\right|}^2\right|}_{L^1}\text{d}s}={\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|u\right|}^2\text{d}x\text{d}s}}\le {\displaystyle {\int }_t^{t+1}\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^2{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^2\text{d}x}\right)\text{d}s}\le I_2,$

因此有

${\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^2{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}\text{d}x\text{d}s}}\le I_2+{\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^2\text{d}x\text{d}s}}\le C,$

从而有

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^2{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}\text{d}x\text{d}s}}\le {\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^6\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{3}}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\text{e}}^{\frac{3}{2}\beta {\left|u\right|}^2}\text{d}x}\right)}^{\frac{2}{3}}\text{d}s}\\ \le {\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\left|u\right|}_6^2{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\text{e}}^{\frac{3}{2}\beta {\left|u\right|}^2}\text{d}x}\right)}^{\frac{2}{3}}\text{d}s}\le {\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\Vert u\Vert }^2{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\text{e}}^{\frac{3}{2}\beta {\left|u\right|}^2}\text{d}x}\right)}^{\frac{2}{3}}\text{d}s}\\ \le {\rho }_2^2{\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\text{e}}^{\frac{3}{2}\beta {\left|u\right|}^2}\text{d}x}\right)}^{\frac{2}{3}}\text{d}s}\le c{\rho }_2^2{\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\text{e}}^{\frac{3}{2}\beta {\left|u\right|}^2}\text{d}x\text{d}s}}\le C,\end{array}$

由(1)同理可得

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}\text{d}x}\le c,$

因此存在时间$t_2\ge t_1$ ，使得

${\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{1}{\beta }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-{\left|u\right|}^2\right)\text{d}x}\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{1}{\beta }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^2\text{d}x}\le {\rho }_3,\forall t\ge t_2.$

证毕。

命题3.3 假设$\alpha >0$ ，$\beta >0$ ，$u_0\in Z$ ，则存在时间$t_3$ 和常数$I_3$ 使得

${\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\left|\Delta u\right|}_2^2\text{d}s}\le I_3,\forall t\ge t_3.$

证明：将方程(1)与$-\Delta u$ 作内积可得

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u\Vert }^2+{\left|\Delta u\right|}_2^2+\frac{\alpha \beta }{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}{\left|\nabla {\left|u\right|}^2\right|}^2\text{d}x}+\alpha {\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(u\cdot \nabla \right)u\cdot \Delta u\text{d}x}\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|u\right|\left|\nabla u\right|\left|\Delta u\right|\text{d}x}\\ \le {\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^2{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}\cdot {\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u\right|}^2\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}\\ \le \frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^2{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u\right|}^2\text{d}x},\end{array}$

整理得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u\Vert }^2+{\left|\Delta u\right|}_2^2+\alpha \beta {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}{\left|\nabla {\left|u\right|}^2\right|}^2\text{d}x}+2\alpha {\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^2{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}$ (9)

由初等不等式可知

$\alpha \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)\ge \frac{\alpha {\beta }^2{\left|u\right|}^4}{2!},$

则有

${\left|u\right|}^2=\frac{\sqrt{\alpha }\beta {\left|u\right|}^2}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\alpha }\beta }\le \frac{\alpha {\beta }^2{\left|u\right|}^4}{2}+\frac{1}{\alpha {\beta }^2},$

代入(18)中整理得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u\Vert }^2+{\left|\Delta u\right|}_2^2+\alpha \beta {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}{\left|\nabla {\left|u\right|}^2\right|}^2\text{d}x}+\alpha {\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\le \frac{2}{\alpha {\beta }^2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}$

将上式在t到$t+1$ 上积分可得

${\Vert u\left(t+1\right)\Vert }^2+{\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\left|\Delta u\right|}_2^2\text{d}t}+\alpha \beta {\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\left|{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}{\left|\nabla {\left|u\right|}^2\right|}^2\right|}_{L^1}\text{d}t}+\alpha {\displaystyle {\int }_t^{t+1}\left[\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|\nabla u\right|}^2\right]\text{d}t}\le \frac{2}{\alpha {\beta }^2}{\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\Vert u\Vert }^2\text{d}t}+{\Vert u\left(t\right)\Vert }^2.$

由命题3.2可知一定存在一个时间$t_3=\text{max}\left\{t_1,t_2\right\}$ ，使得当$t\ge t_3$ 时，

${\Vert u\left(t\right)\Vert }^2\le {\rho }_2^2,{\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\Vert u\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}\le I_1,$

因此

${\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\left|\Delta u\right|}_2^2\text{d}t}\le I_3,\forall t\ge t_3,$

其中$I_3$ 是一个常量。

命题3.4 假设$\alpha >0$ ，$\beta >0$ ，$u_0\in Z$ ，则存在时间$t_4$ 和常数${\rho }_4$ 使得

${\left|u_t\left(s\right)\right|}_2\le {\rho }_4,\forall s\ge t_4.$

证明：将方程(1)与$u_t$ 作内积可得

${\left|u_t\right|}_2^2+\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u\Vert }^2+\frac{\alpha }{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{1}{\beta }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-u^2\right)=-{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(u\cdot \nabla \right)u\cdot u_t\text{d}x}\le c{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\cdot \nabla u\right|}^2\text{d}x}+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_t\right|}^2\text{d}x}$

整理得

$\begin{array}{l}{\left|u_t\right|}_2^2+\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u\Vert }^2+\alpha \frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{1}{\beta }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-{\left|u\right|}^2\right)\text{d}x}\\ \le 2c{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\cdot \nabla u\right|}^2\text{d}x}\le \frac{1}{2}{\left|\Delta u\right|}_2^2+C{\left|u\right|}_6^6\le \frac{1}{2}{\left|\Delta u\right|}_2^2+C{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{1}{\beta }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-{\left|u\right|}^2\right)},\end{array}$

将上式在t到$t+1$ 上积分可得

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\left|u_t\right|}_2^2\text{d}s}+u{\left(t+1\right)}^2+\alpha {\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{1}{\beta }{\text{e}}^{\beta {\left|u\left(t+1\right)\right|}^2}-{\left|u\left(t+1\right)\right|}^2\right)\text{d}x}\\ \le \frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\left|\Delta u\right|}_2^2\text{d}s}+C{\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{1}{\beta }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-{\left|u\right|}^2\right)\text{d}x\text{d}s}}+{\Vert u\left(t\right)\Vert }^2+\alpha {\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{1}{\beta }{\text{e}}^{\beta {\left|u\left(t\right)\right|}^2}-{\left|u\left(t\right)\right|}^2\right)\text{d}x}\\ \le c\left(I_3,{\rho }_3,{\rho }_2\right),\end{array}$

再将方程(1)先对t求微分，再与$u_t$ 作内积可得

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\left|u_t\right|}_2^2+{\Vert u_t\Vert }^2+\langle \left(u_t\cdot \nabla \right)u,u_t\rangle +\langle \left(u\cdot \nabla \right)u_t,u_t\rangle +\langle F^{\prime }\left(u\right)u_t,u_t\rangle =0$

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\left|u_t\right|}_2^2+{\Vert u_t\Vert }^2\le \left|\langle \left(u_t\cdot \nabla \right)u,u_t\rangle \right|-{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(F^{\prime }\left(u\right)u_t\right)u_t\text{d}x},$

由引理2.5知$\left(F^{\prime }\left(u\right)u_t\right)\cdot u_t$ 是正定的，因此有

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\left|u_t\right|}_2^2+{\Vert u_t\Vert }^2\le \left|\langle \left(u_t\cdot \nabla \right)u,u_t\rangle \right|\le c{\Vert u\Vert }^{\frac{3}{2}}{\left|u_t\right|}^{\frac{1}{2}}\Vert u\Vert \le \frac{1}{2}{\Vert u_t\Vert }^2+c{\left|u_t\right|}_2^2{\Vert u\Vert }^4,$ (10)

整理得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\left|u_t\right|}_2^2+{\Vert u_t\Vert }^2\le c{\left|u_t\right|}_2^2{\Vert u\Vert }^4,\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\left|u_t\right|}_2^2\le c{\rho }_2^4{\left|u_t\right|}_2^2,$

将上式先在s到$t+1$ 上积分，其中$t<s<t+1$ ，可得

${\left|u_t\left(t+1\right)\right|}_2^2\le {\left|u_t\left(s\right)\right|}_2^2+c{\rho }_2^4{\displaystyle {\int }_s^{t+1}{\left|u_t\left(\tau \right)\right|}_2^2\text{d}\tau },$

再对s在t到$t+1$ 上积分，有

$\begin{array}{c}{\left|u_t\left(t+1\right)\right|}_2^2\le {\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\left|u_t\left(s\right)\right|}_2^2\text{d}s}+c{\rho }_2^4{\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\left|u_t\left(\tau \right)\right|}_2^2\text{d}\tau }\le \left(1+c{\rho }_2^4\right){\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\left|u_t\left(s\right)\right|}_2^2\text{d}s}\\ \le \left(1+c{\rho }_2^4\right)\le c\left(I_3,{\rho }_3,{\rho }_2\right)\equiv {\rho }_2^3,\forall s\ge t_4.\end{array}$

证毕。

命题3.5 假设$\alpha >0$ ，$\beta >0$ ，$u_0\in Z$ ，则存在常数${\rho }_5$ 使得

${\left|Au\left(t\right)\right|}_2\le {\rho }_5,t\ge t_4.$

证明：对方程(3)使用Minkowski不等式可得

${\left|Au\right|}_2\le {\left|u_t\right|}_2+{\left|B\left(u\right)\right|}_2+\alpha {\left|\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u\right|}_2,$ (11)

当$u\in Z$ ，$v\in D\left(A\right)$ 和$w\in H$ 时，有

$\left|b\left(u,v,w\right)\right|={\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|\left(u\cdot \nabla \right)v\cdot w\right|\text{d}x}\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|u\right|\left|\nabla v\right|\left|w\right|\text{d}x}\le c{\left|u\right|}_6{\left|\nabla v\right|}_2^{\frac{1}{2}}{\left|Av\right|}_2^{\frac{1}{2}}{\left|w\right|}_2\le c\Vert u\Vert {\Vert v\Vert }_{ }^{\frac{1}{2}}{\left|Av\right|}_2^{\frac{1}{2}}{\left|w\right|}_2,$

显然，如果$u\in D\left(A\right)$ ，则有$B\left(u\right)\in H$ ，且

${\left|B\left(u\right)\right|}_2^2=\langle \left(u\cdot \nabla \right)u,\left(u\cdot \nabla \right)u\rangle \le c\Vert u\Vert {\Vert u\Vert }^{\frac{1}{2}}{\left|Au\right|}_2^{\frac{1}{2}}{\left|\left(u\cdot \nabla \right)u\right|}_2,$

整理得

${\left|B\left(u\right)\right|}_2^{ }\le c{\Vert u\Vert }^{\frac{3}{2}}{\left|Au\right|}_2^{\frac{1}{2}}\le \frac{1}{2}{\left|Au\right|}_2+c{\Vert u\Vert }^3,$ (12)

又因

$\begin{array}{c}\alpha {\left|\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u\right|}_2^2=\alpha {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)}^2{\left|u\right|}^2\text{d}x}=\alpha {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\text{e}}^{2\beta {\left|u\right|}^2}{\left|u\right|}^2\text{d}x}-2\alpha {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}{\left|u\right|}^2\text{d}x}+\alpha {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^2\text{d}x}\\ \le \alpha {\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\text{e}}^{4\beta {\left|u\right|}^2}\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^4\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}-2\alpha {\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\text{e}}^{2\beta {\left|u\right|}^2}\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^4\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}+\alpha {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^2\text{d}x}\le \alpha \left(c,{\rho }_1\right),\end{array}$ (13)

将(21)、(22)代入到(20)中可得

${\left|Au\right|}_2\le 2{\left|u_t\right|}_2+c{\Vert u\Vert }^3+c\le 2{\rho }_4+c{\rho }_2^3+c\equiv {\rho }_5,t\ge t_4,$

证毕。

命题3.6 假设$\alpha >0$ ，$\beta >0$ ，$u_0\in Z$ ，则存在时间$t_5$ 、常数$I_4$ 和${\rho }_6$ 使得

${\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\Vert u_t\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}\le I_4,t\ge t_4;$

$\Vert u\Vert \le {\rho }_6,t\ge t_5.$

证明：由(19)可知

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\left|u_t\right|}_2^2+{\Vert u_t\Vert }^2\le c{\left|u_t\right|}_2^2{\Vert u\Vert }^4,$

将上式在t到$t+1$ 上积分，并根据命题3.4可知存在一个常数$I_4$ 使得

${\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\Vert u_t\Vert }^2\text{d}s}\le c{\displaystyle {\int }_t^{t+1}{\left|u_t\right|}_2^2{\Vert u\Vert }^4\text{d}s}+{\left|u_t\left(t\right)\right|}_2^2\le c\left({\rho }_2,{\rho }_4\right)\equiv I_4,t\ge t_4,$ (14)

根据命题3.5可知

${\Vert u\left(t\right)\Vert }_{D\left(A\right)}\le {\rho }_5,\forall t\ge t_4,$

使用Agmon’s不等式可知

${\Vert u\left(t\right)\Vert }_{\infty }\le c,\forall t\ge t_4.$

现将方程(3)₁先对t求微分，再与$A{u}_t$ 作内积可得

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u_t\Vert }^2+{\left|A{u}_t\right|}_2^2\le \left|b\left(u_t,u,A{u}_t\right)\right|+\left|b\left(u,u_t,A{u}_t\right)\right|+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(F^{\prime }\left(u\right)u_t\right)\cdot A{u}_t\text{d}x}$ (15)

并通过引理2.5存在以下估计：

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(F^{\prime }\left(u\right)u_t\right)\cdot A{u}_t\text{d}x}\le c{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}{\left|u\right|}^2\left|u_t\right|\left|A{u}_t\right|\text{d}x}\le {\Vert u\Vert }_{L^{\infty }}^2{\left|A{u}_t\right|}_2{\Vert u_t\Vert }_{L^4}{\Vert {\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}\Vert }_{L^4}\\ \le c{\left|A{u}_t\right|}_{L^2}\Vert u_t\Vert \le c{\Vert u_t\Vert }^2+\frac{1}{4}{\left|A{u}_t\right|}_2^2,\end{array}$ (16)

以及

$\begin{array}{c}\left|b\left(u_t,u,A{u}_t\right)\right|\le c\Vert u_t\Vert {\Vert u\Vert }^{\frac{1}{2}}{\left|Au\right|}_2^{\frac{1}{2}}{\left|A{u}_t\right|}_2\le \frac{1}{4}{\left|A{u}_t\right|}_2^2+c{\Vert u_t\Vert }^2\Vert u\Vert {\left|Au\right|}_2\\ \le \frac{1}{4}{\left|A{u}_t\right|}_2^2+c{\Vert u_t\Vert }^2,\forall t\ge t_4,\end{array}$ (17)

$\left|b\left(u,u_t,A{u}_t\right)\right|\le c\Vert u\Vert {\Vert u_t\Vert }^{\frac{1}{2}}\le \frac{1}{4}{\left|A{u}_t\right|}_2^2+c{\Vert u\Vert }^4{\Vert u_t\Vert }^2\le \frac{1}{4}{\left|A{u}_t\right|}_2^2+c{\Vert u_t\Vert }^2,\forall t\ge t_4,$ (18)

将(25)、(26)和(27)代入到(24)中可得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u_t\Vert }^2\le c{\Vert u_t\Vert }^2,$

再将(23)使用Gronwall不等式得：

${\Vert u_t\Vert }^2\le {\rho }_6^2,\forall t\ge t_5=t_4+1,$

证毕。

命题3.7 $S\left(t\right):Z\mapsto Z$ 是$t\ge 0$ 时$Z$ 上的一个Lipschitz连续映射。

证明：假设u、v分别是$Z$ 中初值为$u_0$ 、$v_0$ 的两个解，设$w=u-v$ ，且$w_0=u_0-v_0$ ，则有

$\frac{\text{d}w}{\text{d}t}+Aw=-B\left(u\right)+B\left(v\right)-\tilde{P}F\left(u\right)+\tilde{P}F\left(v\right),$(19)

将(28)和Aw做内积可得

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert w\Vert }^2+{\left|Aw\right|}_2^2=-b\left(u,u,Aw\right)+b\left(v,v,Aw\right)-\langle F\left(u\right)-F\left(v\right),Aw\rangle \\ \le b\left(w,Aw,u\right)+b\left(v,Aw,w\right)-\langle F\left(u\right)-F\left(v\right),Aw\rangle \\ \le c\Vert w\Vert {\Vert u\Vert }_{ }^{\frac{1}{2}}{\left|Au\right|}_2^{\frac{1}{2}}{\left|Aw\right|}_2+c\Vert v\Vert {\Vert w\Vert }^{\frac{1}{2}}{\left|Aw\right|}_2^{\frac{3}{2}}+{\left|F\left(u\right)-F\left(v\right)\right|}_2{\left|Aw\right|}_2\\ \le \frac{3}{4}{\left|Aw\right|}_2^2+c{\Vert w\Vert }^2\left(\Vert u\Vert {\left|Au\right|}_2+{\Vert v\Vert }^4\right)+c{\left|F\left(u\right)-F\left(v\right)\right|}_2^2,\end{array}$ (20)

因为

$\begin{array}{c}{\left|F\left(u\right)-F\left(v\right)\right|}_2^2=\alpha {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u-\left({\text{e}}^{\beta {\left|v\right|}^2}-1\right)v\right|}^2\text{d}x}\\ \le c{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)w\right|}^2\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\left[\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)-\left({\text{e}}^{\beta {\left|v\right|}^2}-1\right)\right]v\right|}^2\text{d}x}\\ \le c{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)w\right|}^2\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-{\text{e}}^{\beta {\left|v\right|}^2}\right)v\right|}^2\text{d}x},\end{array}$

由中值定理知

${\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-{\text{e}}^{\beta {\left|v\right|}^2}=2\beta {\text{e}}^{\beta {\left[\left(1-\theta \right)u+\theta y\right]}^2}\left|\left(1-\theta \right)u+\theta y\right|\cdot \left|u-v\right|\le 2\beta {\text{e}}^{\beta \left(u^2+v^2\right)}\left|u+v\right|\cdot \left|u-v\right|,$

其中$\theta \in \left(0,1\right)$ ，因此有

$\begin{array}{c}{\left|F\left(u\right)-F\left(v\right)\right|}_2^2\le c{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)w\right|}^2\text{d}x}+c{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|{\text{e}}^{2\beta \left(u^2+v^2\right)}\left|u+v\right|wv\right|}^2\text{d}x}\\ \le c{\left|\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)\right|}_3^2{\left|w\right|}_6^2+c{\left|{\text{e}}^{4\beta \left(u^2+v^2\right)}\right|}_3{\left|u\right|}_{12}^4{\left|w\right|}_6^2+c{\left|{\text{e}}^{4\beta \left(u^2+v^2\right)}\right|}_3{\left|v\right|}_{12}^4{\left|w\right|}_6^2\\ \le c{\left|\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)\right|}_3^2{\Vert w\Vert }_{ }^2+c{\Vert w\Vert }_{ }^2.\end{array}$ (21)

将(30)代入(29)中可得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert w\Vert }^2\le c{\Vert w\Vert }^2\left[\Vert u\Vert {\left|Au\right|}_2+{\Vert v\Vert }^4+{\left|{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right|}_3^2+1\right],$

使用Gronwall不等式得

${\Vert w\Vert }^2\le {\Vert w_0\Vert }^2{\text{e}}^{c{\displaystyle {\int }_0^t\left[\Vert u\Vert {\left|Au\right|}_2+{\Vert v\Vert }^4+{\left|{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right|}_3^2+1\right]\text{d}x}},$

其中

${\left({\left|{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right|}_3^2\right)}^{\frac{3}{2}}={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right|}^3\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\text{e}}^{3\beta {\left|u\right|}^2}-3{\text{e}}^{2\beta {\left|u\right|}^2}+3{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)\text{d}x}\le c,$

整理得

${\Vert w\Vert }^2\le {\Vert w_0\Vert }^{2}c\left({\rho }_2,{\rho }_4,c\right).$

证毕。

4. 整体吸引子

在本节中，我们证明${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 整体吸引子的存在性。首先回顾一下整体吸引子的概念。

定义4.1 设$\mathcal{A}$ 是${\text{H}}^2\left(\Omega \right)$ 的子集，如果满足以下条件，则称$\mathcal{A}$ 为$\left(Z,{\text{H}}^2\right)$ 整体吸引子：

1) $\mathcal{A}$ 在${\text{H}}^2\left(\Omega \right)$ 中紧致；

2) $\mathcal{A}$ 是不变的，即$S\left(t\right)\mathcal{A}=\mathcal{A}$ ，$\forall t\ge 0$ ；

3) $\mathcal{A}$ 相对于${\text{H}}^2\left(\Omega \right)$ 的范数吸引$Z$ 的每个有界子集，即如果B在$Z$ 中有界，则有

$dis{t}_{{\text{H}}^2}\left(S\left(t\right)B,\mathcal{A}\right)\to 0,t\to \infty .$

下面的命题给出了证明${\text{H}}^2\left(\Omega \right)$ 中整体吸引子的存在性的必要条件。

命题4.2 设$\mathcal{A}$ 是${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 的$\left(Z,Z\right)$ 整体吸引子，则$\mathcal{A}$ 也是$\left(Z,{\text{H}}^2\right)$ 整体吸引子，当且仅当：

1) ${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 有一个有界的$\left(Z,{\text{H}}^2\right)$ 吸引集；

2) ${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 是$\left(Z,{\text{H}}^2\right)$ 渐近紧致的。

在接下来的内容中，我们首先证明${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 有一个$\left(Z,Z\right)$ 整体吸引子，然后通过命题4.2证明这个吸引子是$\left(Z,{\text{H}}^2\right)$ 整体吸引子。

我们定义

$B_1=\left\{u\in Z:\Vert u\Vert \le {\rho }_2\right\},B_2=\left\{u\in D\left(A\right):{\left|Au\right|}_2\le {\rho }_5\right\},$

由命题3.2和命题3.5可知，$B_1$ 和$B_2$ 分别是${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 的有界$\left(Z,Z\right)$ 和$\left(Z,{\text{H}}^2\right)$ 吸引集。

通过嵌入$D\left(A\right)$ ↪$V$ 和命题3.5的紧致性，我们发现${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 是$\left(Z,Z\right)$ 渐近紧致的。因此，根据标准吸引子理论([12])，${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 有一个$\left(Z,Z\right)$ 整体吸引子$\mathcal{A}$ 。

下面将证明$\mathcal{A}$ 是$\left(Z,{\text{H}}^2\right)$ 整体吸引子，即证明${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 是$\left(Z,{\text{H}}^2\right)$ 渐近紧致的。

引理4.3 假设$\alpha >0$ ，$\beta >0$ ，$u_0\in Z$ ，则${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 是$\left(Z,{\text{H}}^2\right)$ 渐近紧致的。

证明：设${\left\{u_{0n}\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 在$Z$ 中有界，且$t_n\to \infty$ 。我们要证明${\left\{S\left(t_n\right)u_{0n}\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 在${\text{H}}^2\left(\Omega \right)$ 中有收敛子序列。定义

$u_n\left(t\right)=S\left(t\right)u_{0n},w_n\left(t_n\right)={\frac{\text{d}{u}_n}{\text{d}t}|}_{t=t_n},$

通过公式(3)有：

$\mu A{u}_n\left(t_n\right)=-w_n\left(t_n\right)-B\left(u_n\left(t_n\right)\right)-G\left(u_n\left(t_n\right)\right),$

并且根据命题3.5和3.6，存在$T>0$ 使得对于所有$t\ge T$ 有

$\Vert \frac{\text{d}{u}_n}{\text{d}t}\left(t\right)\Vert \le {\rho }_6,$ (22)

${\left|A{u}_n\left(t\right)\right|}_2\le {\rho }_5,\forall n=1,2,\cdots ,$

其中${\rho }_5$ 和${\rho }_6$ 分别是命题3.5和3.6中的常数。由于$t_n\to \infty$ ，存在$N>0$ 使得对于所有$n\ge N$ ，都有$t_n\ge T$ 。因此，通过(31)有，对于所有$n\ge N$

$\Vert w_n\left(t_n\right)\Vert \le {\rho }_6$ 且${\left|A{u}_n\left(t\right)\right|}_2\le {\rho }_5$ ，$\forall n=1,2,\cdots$ (23)

通过紧致嵌入$Z$ ↪$H$ 和$D\left(A\right)$ ↪$Z$ ，我们从(32)中发现存在$w\in Z$ 和$v\in D\left(A\right)$ 使得子序列

$w_n\left(t_n\right)\to w$ 在$H$ 中强收敛，(24)

$u_n\left(t_n\right)\to v$ 在$Z$ 中强收敛。(25)

通过公式(31)和Agmon不等式有

${\Vert u_n\left(t_n\right)\Vert }_{\infty }\le c$ ，$\forall n\ge N$ .

因此，通过(34)可以得到

从而得知

$G\left(u_n\left(t_n\right)\right)\to G\left(v\right)$ 在$H$ 中强收敛。(26)

又因

$\left|b\left(u,v,w\right)\right|\le c\Vert u\Vert {\Vert v\Vert }^{\frac{1}{2}}{\left|Av\right|}_2^{\frac{1}{2}}{\left|w\right|}_2$ ，$\forall u\in Z$ ，$v\in D\left(A\right)$ ，$w\in H$ ，

所以，

${\left|B\left(u,v\right)\right|}_2\le c\Vert u\Vert {\Vert v\Vert }^{\frac{1}{2}}{\left|Av\right|}_2^{\frac{1}{2}},$

因此，

$\begin{array}{c}{\left|B\left(u_n\left(t_n\right)\right)-B\left(v\right)\right|}_2^2={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left[B\left(u_n\left(t_n\right),u_n\left(t_n\right)-v\right)+B\left(u_n\left(t_n\right)-v,v\right)\right]}^2\text{d}x}\\ \le 2\left({\left|B\left(u_n\left(t_n\right),u_n\left(t_n\right)-v\right)\right|}_2^2+{\left|B\left(u_n\left(t_n\right)-v,v\right)\right|}_2^2\right)\\ \le c\left({\Vert u_n\left(t_n\right)\Vert }^2\Vert u_n\left(t_n\right)-v\Vert {\left|A\left(u_n\left(t_n\right)-v\right)\right|}_2+{\Vert u_n\left(t_n\right)-v\Vert }^2\Vert v\Vert {\left|Au\right|}_2\right)\to 0\end{array}$

从而得知

$B\left(u_n\left(t_n\right)\right)\to B\left(v\right)$ 在$H$ 中强收敛。(27)

通过(33)、(35)和(36)得

当$n\to \infty$ 时，$\mu A{u}_n\left(t_n\right)\to -w-B\left(v\right)-G\left(v\right)$ 在$H$ 中强收敛，这直接表明${\left\{u_n\left(t_n\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 在${\text{H}}^2\left(\Omega \right)$ 中收敛于$\frac{1}{\mu }{A}^{-1}\left(-w-B\left(v\right)-G\left(v\right)\right)$ 。

下面利用上文得到的结论给出定理1.3的证明。

定理1.3的证明：由上文得知${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 有一个$\left(Z,Z\right)$ 整体吸引子$\mathcal{A}$ 。通过命题3.5得知，有界集合$B_2=\left\{u\in D\left(A\right):{\left|Au\right|}_2\le {\rho }_4\right\}$ 是${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 的有界$\left(Z,{\text{H}}^2\right)$ 吸引集。此外，引理4.3表明${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 是$\left(Z,{\text{H}}^2\right)$ 渐近紧致的。因此，由命题4.2可知，$\mathcal{A}$ 实际上是${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 的$\left(Z,{\text{H}}^2\right)$ 整体吸引子。