基于媒体报道的随机谣言传播模型

A Stochastic Rumor Spreading Model Based on Media Reports

摘要: 随着信息技术的发展，谣言传播的速度比过去更快，范围更广，而媒体发布信息可以在一定程度上阻止或控制谣言的传播。此外，由于个体间连接的变化，真实社交网络的拓扑结构会受到随机扰动。基于媒体报道和网络的连通性变化，本文通过引入媒体发布信息的透明度、媒体公信力参数，构建随机谣言传播模型。首先，对于同构网络上的模型，证明了解的全局存在唯一性。然后，通过对随机模型进行稳定性分析，推导了谣言消亡的充分条件，讨论了同构网络和异构网络上谣言的传播阈值。最后，在WS网络、BA网络和真实世界Facebook网络上进行数值模拟，验证了理论分析，并测试了相关参数对模型的影响。结果表明，随机噪声扰动加速了谣言传播消亡的过程，减小了同构网络上的传播阈值。此外，提高媒体的公信力和发布信息的透明度可以降低谣言的最大影响和最终规模。

Abstract: With the advancement of information technology, rumors propagate at a faster speed and broader scope than ever before, whereas the dissemination of information by media outlets can, to some extent, hinder or control the spread of rumors. Moreover, due to the variability of connections among individuals, the topological structure of real-world social networks is subject to random perturbations. Incorporating the transparency of media-released information and media credibility parameters, this paper constructs a stochastic rumor spreading model based on media reports and network connectivity changes. Firstly, for the model on a homogeneous network, the global existence and uniqueness of the solution are proved. Subsequently, through stability analysis of the stochastic model, sufficient conditions for rumor extinction are derived, and the rumor spreading thresholds on both homogeneous and heterogeneous networks are discussed. Finally, numerical simulations are conducted on WS networks, BA networks, and the real-world Facebook network to validate the theoretical analysis and examine the influence of relevant parameters on the model. The results indicate that random noise perturbations accelerate the process of rumor extinction and reduce the spreading threshold on homogeneous networks. Furthermore, enhancing media credibility and the transparency of released information can mitigate the maximum impact and final scale of rumors.

1. 引言

谣言，作为无事实依据的信息，借助现代社会与网络的飞速发展，展现出前所未有的传播特性：速度激增、范围广泛且隐蔽性增强。这些谣言不仅误导公众认知，还滋生了不良社会风气[1] [2]。鉴于此，深入探究谣言的传播规律，并寻求有效的谣言治理策略，对于维护社会稳定、保护公众福祉而言，具有不可替代的重要性。

谣言传播研究始于20世纪60年代，经历了从DK到MK模型的演进，后者引入双向传播概念[3] [4]。随着互联网等复杂网络的发展，越来越多的学者开始聚焦于网络拓扑结构对谣言传播的影响。Zanette [5]首先研究了小世界网络中谣言传播的动力学行为，发现类似于传染病模型，得到了传播阈值。Huo等人[6]考虑节点的活跃性、传染性和传播环境，修正了异构网络上的传播模型并讨论了平衡点处的稳定性。随着信息技术的进步，媒体报道在谣言传播过程中扮演着越来越重要的角色。媒体作为信息传播的重要渠道，不仅能够迅速传播信息，还能够通过报道和评论来影响公众对谣言的认知和态度。媒体报道先被应用到传染病模型中，学者们综合考虑了传播过程中的各种影响因素，并借助确定性模型来探究媒体报道对传播动力学的具体影响[7] [8]。随后，陈华[9]探讨了含媒体播报效应的谣言传播模型，通过稳定性理论分析平衡点的稳定性，并证明媒体播报对谣言传播规模有影响。潘文琪[10]将媒体中谣言的数量视为随时间变化的子类，综合考虑了媒体报道效应和媒体中谣言数量对谣言传播过程的影响。霍良安[11]基于系统动力学的思想，提出了考虑不实信息的动态传播模型，将政府科学普及教育以及媒体报道这两种因素加入到不实信息的传播过程中，分析了系统平衡点的存在性及局部渐进稳定性。

另外，在现实生活中，真实的社交网络经常受许多环境因素的影响，导致网络拓扑结构是时变的，相较于固定不变的确定性模型，采用随机模型来刻画这种网络状态，能够更为准确地反映实际网络的动态性和复杂性。学者们通过将常微分方程推广到随机微分方程来研究噪声干扰对谣言传播过程的影响[12]-[14]。

以上的研究成果对谣言传播机制做出了巨大贡献，上述研究大多忽略了在信息传播时，媒体的固有属性对传播过程的影响，包括媒体在发布信息时展现的透明度以及媒体自身的公信力。当媒体公信力高时，公众倾向于相信其发布的信息，谣言传播的可能性降低；反之，公众怀疑媒体的信息，谣言更容易传播。其次，透明度高的信息报道意味着媒体及时、准确、全面地公开信息，有助于减少误解疑虑，降低谣言传播的概率，透明度不足则可能导致信息不完整，引发公众猜测，为谣言传播提供机会。基于以上分析，本文在基本SIR模型基础上，加入媒体属性作为参数，分析这些参数如何影响谣言的传播速度、范围和持续时间。此外，为更贴近实际情况，考虑了噪声干扰因素，构建了随机SIR谣言传播模型。在同构网络上，通过分析该随机模型的动力学特性，证明了解的全局存在唯一性，进一步推导了谣言消亡的充分条件。进而，在同构和异构网络上分别探索谣言传播的关键阈值。最后，借助数值模拟，分析了噪声与媒体报道如何作用于谣言的传播过程。通过该模型，我们可以更深入地理解谣言传播的内在机制，为制定有效的谣言治理策略提供科学依据。

2. 有媒体报道的随机谣言传播模型

Figure 1. State transition diagram of random rumor propagation under media coverage

图1. 媒体报道下的随机谣言传播状态转移图

经典的SIR谣言传播模型包括以下三个状态：S未知者(指还未接触到谣言的个体，可能被感染，也可能被免疫)，I传播者(接触到并积极传播谣言的个体)，R免疫者(了解谣言但不参与传播的个体)。

借鉴媒体的属性对个体观点的演化有很大的影响[15] [16]，媒体的作用$\alpha$ 可由如下公式表示：

$\alpha \left(m,n\right)=m\times \left(1-{\text{e}}^{-n}\right),0\le m\le 1,0\le n\le 1$

其中m表示媒体发布信息的透明度，n表示媒体的公信力。透明度指媒介内容对特定传播对象的开放程度，其从开放的广度而言体现为信息点是否全面覆盖，从公开的深度而言体现为每个被公开的信息点是否足够详细[17]。公信力是指在公众与媒体的相互作用中，媒体赢得公众信任的能力，反映出媒体观点被个体接受的程度[18]，取值均在0到1之间，0表示提供的信息不清晰、详尽，没有说服力，不会被个体接受；1表示提供的信息清晰详尽，很有说服力，会被个体接受。

考虑媒体介入的随机SIR谣言传播模型的状态转移过程如图1，作如下几点说明：

(1) 当未知者与传播者接触时，一部分未知者以传播率$\lambda$ 转变为传播者，受媒体报道的影响，传播率以$\alpha \left(m,n\right)$ 的速率逐渐降低，$\beta$ 为媒体对传播过程的影响概率，$\beta \alpha$ 为媒体阻止不实信息传播的概率；另一部分以拒绝率$\gamma$ 转变为免疫者。

(2) 传播者与免疫者和其他传播者接触时，以$\mu$ 的免疫率转变为免疫者。

(3) 随着谣言传播时间和个体对谣言兴趣的变化，一部分传播者因为遗忘谣言，以$\delta$ 的概率自发的转变为免疫者。

2.1. 同构网络上的随机谣言传播模型

当真实网络受到噪声干扰时，其度的分布会发生变化，随后，网络上的动力学过程会根据度分布的变化做出响应，在t + 1时刻，谣言基于新的度分布扩散。将连通性的变化定义为噪声，并假设平均度受白噪声的影响，不再是个固定的值，因此添加一个随机扰动项：

$\langle k\rangle \to \langle k\rangle +\theta \dot{B}\left(t\right)$ (1)

其中，噪声强度$\theta$ 用于描述度分布的稳定性，$B\left(t\right)$ 是服从独立同分布的标准布朗运动，且$B\left(0\right)=0$ 。构建同构网络上的随机SIR谣言传播模型动力学方程如下：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}S\left(t\right)}{\text{d}t}=-\left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)+\gamma \right)\left(\langle k\rangle +\theta \dot{B}\left(t\right)\right)S\left(t\right)I\left(t\right)\\ \frac{\text{d}I\left(t\right)}{\text{d}t}=\left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)\right)\left(\langle k\rangle +\theta \dot{B}\left(t\right)\right)S\left(t\right)I\left(t\right)-\mu \left(\langle k\rangle +\theta \dot{B}\left(t\right)\right)I\left(t\right)\left(I\left(t\right)+R\left(t\right)\right)-\delta I\left(t\right)\\ \frac{\text{d}R\left(t\right)}{\text{d}t}=\mu \left(\langle k\rangle +\theta \dot{B}\left(t\right)\right)I\left(t\right)\left(I\left(t\right)+R\left(t\right)\right)+\gamma \left(\langle k\rangle +\theta \dot{B}\left(t\right)\right)S\left(t\right)I\left(t\right)+\delta I\left(t\right)\end{array}$ (2)

其中初始条件为$S\left(0\right)=\left(N-1\right)/N\approx 1$ ，$I\left(0\right)=1/N\approx 0$ ，$R\left(0\right)=0$ 。N表示网络规模即个体总数。

2.2. 异构网络上的随机谣言传播模型

由于社交网络普遍展现出无标度网络的特性，为了更贴近实际情境，将环境噪声的概念引入到异构网络环境中，进而构建出适用于该环境的传播动力学模型方程。分别用$S_k\left(t\right)$ ，$I_k\left(t\right)$ ，$R_k\left(t\right)$ 表示t时刻度为k的未知者，传播者和免疫者密度，在任意时刻有$S\left(t\right)={\displaystyle {\sum }_k{S}_k\left(t\right)}$ ，$I\left(t\right)={\displaystyle {\sum }_k{I}_k\left(t\right)}$ ，$R\left(t\right)={\displaystyle {\sum }_k{R}_k\left(t\right)}$ ，构建异构网络上的随机SIR谣言传播模型动力学方程如下：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}{S}_{k^{\prime }}\left(t\right)}{\text{d}t}=-\left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)+\gamma \right)k^{\prime }{S}_{k^{\prime }}\left(t\right)\Theta \left(t\right)\\ \frac{\text{d}{I}_{k^{\prime }}\left(t\right)}{\text{d}t}=\left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)\right)k^{\prime }{S}_{k^{\prime }}\left(t\right)\Theta \left(t\right)-\mu k^{\prime }{I}_{k^{\prime }}\left(t\right)\Phi \left(t\right)-\delta I_{k^{\prime }}\left(t\right)\\ \frac{\text{d}{R}_{k^{\prime }}\left(t\right)}{\text{d}t}=\mu k^{\prime }{I}_{k^{\prime }}\left(t\right)\Phi \left(t\right)+\gamma k^{\prime }S\left(t\right)\Theta \left(t\right)+\delta I_{k^{\prime }}\left(t\right)\end{array}$ (3)

其中$k^{\prime }=k\left(t+1\right)=f\left(k\left(t\right),B_k\left(t\right)\right)=k\left(t\right)+\theta \dot{B}\left(t\right)$ 是度为k的节点受噪声干扰后的新度，$\Theta \left(t\right)=\left(1/\langle k^{\prime }\rangle \right){\displaystyle {\sum }_{k^{\prime }}{k}^{\prime }P\left(k^{\prime }\right)}{I}_{k^{\prime }}\left(t\right)$ 表示t时刻度为$k^{\prime }$ 的节点连接到传播者的条件概率，$\Phi \left(t\right)=\left(1/\langle k^{\prime }\rangle \right){\displaystyle {\sum }_{k^{\prime }}P\left(k^{\prime }\right)\left(I_{k^{\prime }}\left(t\right)+R_{k^{\prime }}\left(t\right)\right)}$ 表示t时刻度为$k^{\prime }$ 的节点连接到传播者、免疫者的条件概率。

3. 全局正解的存在唯一性

定理1：对于任意非负初始条件集合$\left(S_0,I_0,R_0\right)\in R_{+}^3$ ，当$t\ge 0$ 时，式(2)定义的随机微分方程模型能够保证其解$\left(S\left(t\right),I\left(t\right),R\left(t\right)\right)$ 在整个时间域上全局存在且唯一。

证明：根据式(2)中SDE的系数满足局部利普希茨连续条件，结合随机微分方程解的存在唯一性定理，可直接推断出对于任意给定的初值条件$\left(S_0,I_0,R_0\right)\in R_{+}^3$ ，存在局部唯一解$\left(S\left(t\right),I\left(t\right),R\left(t\right)\right)\in R_{+}^3$ ，$t\in \left[0,{\tau }_e\right]$ ，其中${\tau }_e$ 为爆发时刻。

为了证明解的全局性，需要证明解不会在某个有限的时间${\tau }_e$ 内爆炸，即${\tau }_e=\infty$ 。假设$k_0>0$ 为一足够大的常数且$\left(S_0,I_0,R_0\right)\in \left[1/k_0,k_0\right]$ 。对任意整数k满足$k\ge k_0$ ，定义终止时刻：

${\tau }_k=\inf \left\{t\in [0,{\tau }_e):x_i\left(t\right)\notin \left(1/k,k\right),\text{for some }i=1,2,3\right\}$

其中$\left(x_1\left(t\right),x_2\left(t\right),x_3\left(t\right)\right)=\left(S\left(t\right),I\left(t\right),R\left(t\right)\right)$ 。同时，约定$\inf \varnothing =\infty$ 。不难发现当$k\to \infty$ 时，${\tau }_k$ 不断增长。记${\tau }_{\infty }=\underset{k\to \infty }{\lim }{\tau }_k$ ，则有${\tau }_{\infty }\le {\tau }_e$ 成立。如果假设${\tau }_{\infty }=\infty$ 为真，即可得到${\tau }_e=\infty$ 。若假设${\tau }_{\infty }=\infty$ 为假，则存在一对系数$T>0$ 和$\epsilon \in \left(0,1\right)$ 使得$P\left\{{\tau }_{\infty }\le T\right\}>\epsilon$ 。因此存在一个整数$k_1\ge k_0:P\left\{{\tau }_{\infty }\le T\right\}>\epsilon ,\forall k\ge k_1$ 。

考虑一个Lyapunov函数$V\left(x\right):R_{+}^3\to R_{+}\left(R_{+}=\left\{V\ge 0,V\in R\right\}\right)$ ，则有

$V\left(S\left(t\right),I\left(t\right),R\left(t\right)\right)=\sqrt{S\left(t\right)}-\frac{1}{2}\ln S\left(t\right)+\sqrt{I\left(t\right)}-\frac{1}{2}\ln I\left(t\right)+\sqrt{R\left(t\right)}-\frac{1}{2}\ln R\left(t\right)-3$

对任意的$\left(S\left(t\right),I\left(t\right),R\left(t\right)\right)\in R_{+}^3$ ，V都是非负的，根据Itô定理有：

$\begin{array}{c}\text{d}V\left(S\left(t\right),I\left(t\right),R\left(t\right)\right)=A\left(t\right)\text{d}t+\frac{1}{2}\{\left[\left(S^{-1}-S^{-\frac{1}{2}}\right)+\left(I^{-\frac{1}{2}}-I^{-1}\right)\right]\theta \left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)\right)SI\\ +\left[\left(S^{-1}-S^{-\frac{1}{2}}\right)+\left(R^{-\frac{1}{2}}-R^{-1}\right)\right]\theta \gamma SI\\ \text{+}\left[\left(I^{-1}-I^{-\frac{1}{2}}\right)+\left(R^{-\frac{1}{2}}-R^{-1}\right)\right]\theta \mu I\left(I+R\right)\}\text{d}{B}_t\end{array}$

其中

$\begin{array}{l}A\left(t\right)=\frac{1}{2}\{\left(S^{-1}-S^{-\frac{1}{2}}\right)\left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)+\gamma \right)\langle k\rangle SI+\left(I^{-\frac{1}{2}}-I^{-1}\right)\left(\left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)\right)\langle k\rangle SI-\mu \langle k\rangle I\left(I+R\right)-\delta I\right)\\ \text{+}\left(R^{-\frac{1}{2}}-R^{-1}\right)\left(\mu \langle k\rangle I\left(I+R\right)+\gamma \langle k\rangle SI+\delta I\right)\}\\ \text{ +}\frac{1}{4}\{\left(-\frac{1}{2}{S}^{-\frac{3}{2}}+S^{-2}\right){\left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)+\gamma \right)}^2{\theta }^2{S}^2{I}^2+\left(-\frac{1}{2}{I}^{-\frac{3}{2}}+I^{-2}\right)\\ \times \left({\left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)\right)}^2{\theta }^2{S}^2{I}^2+{\mu }^2{\theta }^2{I}^2\left(I^2+R^2\right)\right)\\ \text{ +}\left(-\frac{1}{2}{R}^{-\frac{3}{2}}+R^{-2}\right)\left({\mu }^2{\theta }^2{I}^2\left(I^2+R^2\right)+{\gamma }^2{\theta }^2{S}^2{I}^2\right)\}\end{array}$

为一个有界函数，假定$A\left(t\right)\le K$ ，$K\in R_{+}$ ，对$\text{d}V\left(S\left(t\right),I\left(t\right),R\left(t\right)\right)$ 求积分：

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^{r_k\wedge T}\text{d}V\left(S\left(t\right),I\left(T\right),R\left(t\right)\right)\le }{\displaystyle {\int }_0^{r_k\wedge T}K\text{d}t+{\displaystyle {\int }_0^{r_k\wedge T}|\frac{1}{2}\{\left[\left(S^{-1}-S^{-\frac{1}{2}}\right)+\left(I^{-\frac{1}{2}}-I^{-1}\right)\right]\theta \left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)\right)SI}}\\ \text{ +}\left[\left(S^{-1}-S^{-\frac{1}{2}}\right)+\left(R^{-\frac{1}{2}}-R^{-1}\right)\right]\theta \gamma SI\\ \text{+}\left[\left(I^{-1}-I^{-\frac{1}{2}}\right)+\left(R^{-\frac{1}{2}}-R^{-1}\right)\right]\theta \mu I\left(I+R\right)\}|\text{d}{B}_t\end{array}$

其中${\tau }_k\wedge T$ 表示$\min \left\{{\tau }_k,T\right\}$ 。取数学期望，

$EV\left(S\left({\tau }_k\wedge T\right),I\left({\tau }_k\wedge T\right),R\left({\tau }_k\wedge T\right)\right)\le V\left(S_0,I_0,R_0\right)+KE\left({\tau }_k\wedge T\right)\le V\left(S_0,I_0,R_0\right)+KT$

设${\Omega }_k=\left\{{\tau }_k\le T\right\}$ ，对$\forall k\ge k_1$ 及$P\left\{{\tau }_k\le T\right\}\ge \epsilon$ ，有$P\left({\Omega }_k\right)\ge \epsilon$ 。则对$\forall \epsilon \in {\Omega }_k$ ，由终止时刻的定义可知$S\left(\omega \wedge {\tau }_k\right),I\left(\omega \wedge {\tau }_k\right),R\left(\omega \wedge {\tau }_k\right)$ 中至少有一项取值为$1/k$ 或$k$ 。可得：

$\begin{array}{l}V\left(S_0,I_0,R_0\right)+KT\ge E\left[1_{{\Omega }_k}\left(\omega \right)V\left(S_{{\tau }_k\wedge \omega },I_{{\tau }_k\wedge \omega },R_{{\tau }_k\wedge \omega }\right)\right]\\ \ge \epsilon \left(\left(\sqrt{\frac{1}{k}}-\frac{1}{2}\ln \frac{1}{k}-1\right)\wedge \left(\sqrt{k}-\frac{1}{2}\ln k-1\right)\right)\end{array}$

其中$1_{{\Omega }_k}$ 为${\Omega }_k$ 的示性函数，令$k\to \infty$ ，$V\left(S_0,I_0,R_0\right)+KT=\infty$ 。

因为$V\left(S_0,I_0,R_0\right)$ 和K有界，所以须满足$T=\infty$ ，与假设相矛盾，因此有${\tau }_e=\infty$ ，证得解是全局存在且唯一的。

4. 随机模型的稳态分析

4.1. 谣言消亡的充分条件

定理2：对于任意给定的初值条件$\left(S_0,I_0,R_0\right)\in R_{+}^3$ ，方程(2)具有以下性质：

$\underset{t\to \infty }{\lim }\sup \frac{InI\left(t\right)}{t}\le \frac{3{\langle k\rangle }^2}{2{\theta }^2}-\delta <0$ (4)

这意味着当时间$t\to \infty$ 时，谣言将依概率1在网络中消亡。

证明：$V\left(I\left(t\right)\right)=InI\left(t\right)$ ，则$V\left(I\left(t\right)\right)$ 关于t二阶可微，由Itô公式可得：

$\begin{array}{l}\text{d}V=[\left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)\right)\langle k\rangle S_t-\mu \langle k\rangle \left(I_t+R_t\right)-\delta \\ -\frac{1}{2}\left({\left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)\right)}^2{\theta }^2{S}_t{}^2+{\mu }^2{\theta }^2{I}_t{}^2+{\mu }^2{\theta }^2{R}_t{}^2\right)]\text{d}t\\ +\left(\left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)\right)\theta S_t-\mu \theta \left(I_t+R_t\right)\right)\text{d}{B}_t\\ \le \left(\frac{3{\langle k\rangle }^2}{2{\theta }^2}-\delta \right)\text{d}t+\left(\left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)\right)\theta S_t-\mu \theta \left(I_t+R_t\right)\right)\text{d}{B}_t\end{array}$

不等式两边求定积分：

$In{I}_t-In{I}_0\le {\displaystyle {\int }_0^t\left(\frac{3{\langle k\rangle }^2}{2{\theta }^2}-\delta \right)\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_0^t\left(\left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)\right)\theta S_t-\mu \theta \left(I_t+R_t\right)\right)\text{d}{B}_t}$

两边取极限，可得：

$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{InI\left(t\right)}{t}\le \underset{t\to \infty }{\lim }\frac{InI\left(0\right)}{t}+\left(\frac{3{\langle k\rangle }^2}{2{\theta }^2}-\delta \right)+\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle {\int }_0^t\left(\left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)\right)\theta S_t-\mu \theta \left(I_t+R_t\right)\right)\text{d}{B}_t}}{t}$

结合标准布朗运动$B_t$ 和鞅的大数定律，与$B_t$ 相关的项取极限后会消失：

$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t{S}_t\text{d}{B}_t=0}$ ，$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t{I}_t\text{d}{B}_t=0}$ ，$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t{R}_t\text{d}{B}_t=0}$

因此，

$\underset{t\to \infty }{\lim }\sup \frac{In{I}_t}{t}\le \frac{3{\langle k\rangle }^2}{2{\theta }^2}-\delta$

特别的，对$\theta \ge {\theta }_0=\sqrt{\frac{3{\langle k\rangle }^2}{2{\delta }^2}}$ ，有$\underset{t\to \infty }{\lim }I\left(t\right)=0$ 成立，意味着在时间$t\to \infty$ 的情况下，谣言在网络中传播的概率将趋于零，系统达到一个稳定平衡的状态。

4.2. 同构网络上的稳态分析

已有结果表明[19]，当传播率小于传播阈值时，谣言最终会灭绝，而当传播率超过传播阈值时，谣言会爆发且在网络上长期存在。由于随机噪声的扰动，网络拓扑结构及各状态人数随时间变化，因此从初始条件出发探索谣言开始广泛传播的条件[20]。

$s\left(0\right)=-\left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)+\gamma \right)\langle k\rangle \frac{N-1}{N^2}$ (5)

$i\left(0\right)=\left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)\right)\langle k\rangle \frac{N-1}{N^2}-\mu \langle k\rangle \frac{1}{N^2}-\frac{\delta }{N}$ (6)

$r\left(0\right)=\mu \langle k\rangle \frac{1}{N^2}+\gamma \langle k\rangle \frac{N-1}{N^2}+\frac{\delta }{N}$ (7)

其中，$s\left(0\right)$ ，$i\left(0\right)$ ，$r\left(0\right)$ 分别表示$t=0$ 时刻未知者，传播者，免疫者的瞬时变化率。当系统开始运作时，未知者群体将逐渐转化为其他两种状态，导致未知者比例下降，而相应地，传播者与免疫者的比例则呈现上升趋势。此时有$s\left(0\right)<0$ ，$\left|s\left(0\right)\right|>\left|r\left(0\right)\right|$ ，$r\left(0\right)\ge 0$ ，从方程(5)到(7)可知：

$s\left(0\right)+i\left(0\right)+r\left(0\right)=0$ (8)

因此

$i\left(0\right)=\left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)\right)\langle k\rangle \frac{N-1}{N^2}-\mu \langle k\rangle \frac{1}{N^2}-\frac{\delta }{N}>0$ (9)

当$N\to \infty$ 时，可得

$\lambda >\frac{\delta }{\langle k\rangle }+\beta \alpha \left(m,n\right)$ (10)

因此，谣言传播模型在初始时刻的传播阈值为${\lambda }_c=\frac{\delta }{\langle k\rangle }+\beta \alpha \left(m,n\right)$ ，当$\lambda <{\lambda }_c$ 时，谣言将停止传播，当满足$\lambda >{\lambda }_c$ 时，谣言可在系统中广泛传播。

4.3. 异构网络上的稳态分析

设置$q\left(k^{\prime }\right)=k^{\prime }P\left(k^{\prime }\right)/\langle k^{\prime }\rangle$ ，对方程(3)直接积分可得$S_{k^{\prime }}\left(t\right)={\text{e}}^{-(\lambda -\beta +\gamma )k^{\prime }\varphi (t)}$ ，其中$\varphi \left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle \sum _{k^{\prime }}q\left(k^{\prime }\right)}}{I}_{k^{\prime }}\left(t^{\prime }\right)\text{d}{t}^{\prime }={\displaystyle {\int }_0^t\langle \langle I_{k^{\prime }}\left(t^{\prime }\right)\rangle \rangle \text{d}{t}^{\prime }}$ ，缩写形式定义为$\langle \langle O\left(k^{\prime }\right)\rangle \rangle ={\displaystyle \sum _{k^{\prime }}O\left(k^{\prime }\right)q\left(k^{\prime }\right)}$ 。令方程(3)乘以$q\left(k^{\prime }\right)$ ，对$k^{\prime }$ 求和，再对t求积分，可得：

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}\varphi \left(t\right)}{\text{d}t}\text{=}\frac{\lambda -\beta }{\lambda -\beta +\gamma }\left(1-\langle \langle {\text{e}}^{{}^{-(\lambda -\beta +\gamma )k^{\prime }\varphi (t)}}\rangle \rangle \right)-\mu {\displaystyle {\int }_0^t\langle \langle k{I}_{k^{\prime }}\left(t^{\prime }\right)\rangle \rangle \left(1-\langle \langle {\text{e}}^{{}^{-(\lambda -\beta +\gamma )k^{\prime }\varphi \left(t^{\prime }\right)}}\rangle \rangle \right)\text{d}{t}^{\prime }}\\ -\mu \theta {\displaystyle {\int }_0^t\langle \langle {\dot{B}}_k\left(t^{\prime }\right)I_{k^{\prime }}\left(t^{\prime }\right)\rangle \rangle \left(1-\langle \langle {\text{e}}^{{}^{-(\lambda -\beta +\gamma )k^{\prime }\varphi \left(t^{\prime }\right)}}\rangle \rangle \right)\text{d}{t}^{\prime }}-\delta \varphi \left(t\right)\end{array}$ (11)

当$t\to \infty$ 时，$\text{d}\varphi \left(t\right)/\text{d}t=0$ 。

对方程(3)进行积分可得：

$\begin{array}{l}{I}_{k^{\prime }}\left(t^{\prime }\right)=\frac{\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)}{\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)+\gamma }\left(1-{\text{e}}^{{}^{-(\lambda -\beta +\gamma )k^{\prime }\varphi (t)}}\right)-\mu {\displaystyle {\int }_0^{t}k{I}_{k^{\prime }}\left(t^{\prime }\right)\langle \langle 1-{\text{e}}^{{}^{-(\lambda -\beta +\gamma )k^{\prime }\varphi \left(t^{\prime }\right)}}\rangle \rangle \text{d}{t}^{\prime }}\\ -\mu \theta {\displaystyle {\int }_0^t{\dot{B}}_k\left(t^{\prime }\right)I_{k^{\prime }}\left(t^{\prime }\right)\langle \langle 1-{\text{e}}^{{}^{-(\lambda -\beta +\gamma )k^{\prime }\varphi \left(t^{\prime }\right)}}\rangle \rangle \text{d}{t}^{\prime }}-\delta {\displaystyle {\int }_0^t{I}_{k^{\prime }}\left(t^{\prime }\right)\text{d}{t}^{\prime }}\end{array}$

对上式关于$\mu$ 取高阶无穷小，利用常微分方程可得关于$I_{k^{\prime }}\left(t^{\prime }\right)$ 的表达式：

$I_{k^{\prime }}\left(t^{\prime }\right)=\frac{\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)}{\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)+\gamma }\left(1-{\text{e}}^{{}^{-(\lambda -\beta +\gamma )k^{\prime }\varphi (t)}}\right)-\frac{\delta \left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)\right)}{\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)+\gamma }{\displaystyle {\int }_0^t\left(1-{\text{e}}^{{}^{-(\lambda -\beta +\gamma )k^{\prime }\varphi (t)}}\right)e^{\delta (t^{\prime }-t)}\text{d}{t}^{\prime }}+o\left(\mu \right)$

当接近临界阈值时，$\varphi \left(t\right)$ 和${\varphi }_{\infty }$ 都非常小，引入有限函数$f\left(t\right)$ ，令$\varphi \left(t\right)={\varphi }_{\infty }f\left(t\right)$ ，因此上式可以化简为：

$I_{k^{\prime }}\left(t^{\prime }\right)=\left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)\right)\left(k+\theta {\dot{B}}_k\left(t^{\prime }\right)\right){\varphi }_{\infty }\left(f\left(t\right)\right)-\delta {\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(t^{\prime }\right){\text{e}}^{\delta (t^{\prime }-t)}}\text{d}{t}^{\prime }+o\left(\mu \right)++o\left({\varphi }_{\infty }^2\right)$

代入式(11)化简可得：

$\begin{array}{l}{\varphi }_{\infty }\left[\left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)\right)\langle \langle k^{\prime }\rangle \rangle -\delta -\left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)\right)\left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)+\lambda \right){\varphi }_{\infty }\langle \langle {k^{\prime }}^2\rangle \rangle \left(\frac{1}{2}+\mu I\right)\right]\\ +o\left({\varphi }_{\infty }{}^3\right)+o\left({\mu }^2\right)=0\end{array}$

其中，$I={\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(t^{″}\right)\left[\langle \langle k+\theta {\dot{B}}_k\left(t^{″}\right)\rangle \rangle f\left(t^{″}\right)-\delta {\displaystyle {\int }_0^{t^{″}}\langle \langle k+\theta {\dot{B}}_k\left(t^{\prime }\right)\rangle \rangle f\left(t^{\prime }\right){\text{e}}^{\delta (t^{\prime }-t)}\text{d}{t}^{\prime }}\right]\text{d}{t}^{″}}$，

$\langle \langle k\rangle \rangle =\langle k^2\rangle /\langle k\rangle$ ，$\langle \langle k^2\rangle \rangle =\langle k^3\rangle /\langle k\rangle$ ，所以另一个正解为：

${\varphi }_{\infty }=\frac{\left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)\right)\langle {\left(k+\theta {\dot{B}}_k\left(t\right)\right)}^2\rangle -\delta \langle k+\theta {\dot{B}}_k\left(t\right)\rangle }{\left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)\right)\left(\lambda -\beta \alpha \left(m,n\right)+\lambda \right)\langle {\left(k+\theta {\dot{B}}_k\left(t\right)\right)}^3\rangle \left(\frac{1}{2}+\mu I\right)}$

阈值为${\lambda }_c=\frac{\delta }{\langle k^{\prime }\rangle }+\beta \alpha \left(m,n\right)$ ，其中$k^{\prime }=k\left(t\right)+\theta \dot{B}\left(t\right)$ ，可以看出网络阈值中存在白噪声，意味着阈值不再是一个固定的、确定的数值，而是一个受到噪声干扰的随机变量。因此无法依赖一个固定的阈值来判断谣言是否会爆发。

5. 仿真

在本节中，验证了上述理论结果的正确性，以及研究了随机信息扩散模型的性质。首先利用Milstein高阶方法[21]进行数值计算，得到了同构网络上SDE模型的数值解。通过蒙特卡洛仿真探索在高斯白噪声干扰下的SIR模型的扩散过程，分别在WS小世界网络、BA无标度网络和Facebook真实社交网络中进行仿真实验，每种网络的特定参数见表1。设置参数$\lambda =0.5$ ，$\beta =0.2$ ，$m=0.5$ ，$n=0.5$ ，$\gamma =0.03$ ，$\mu =0.5$ ，$\delta =1$ ，$\theta =10$ 以满足定理2中$\theta \ge \sqrt{3{\langle k\rangle }^2/2{\delta }^2}$ 的条件成立。每次模拟从一个随机的传播节点开始，对100次独立的模拟结果求平均。同时，系统中的噪声设定为满足独立同分布的高斯白噪声，以满足受干扰的度大于0且小于网络规模的条件。

图2显示了SDE模型在同构网络上的理论值，初始时刻，网络中只存在传播者和未知者两种状态，节点数量分别为1和4999个。当未知者与传播者接触后，传播者的密度逐渐增长，达到谣言传播峰值。此后传播者的密度逐渐减少到零，意味着谣言逐渐消亡，系统达到稳定，这与定理2证明的结论一致。在此过程中，免疫者的变化速率先增后减，最后，网络中只存在未知者和免疫者两种状态。

Table 1. Characteristic parameters of WS, BA, and Facebook networks

表1. WS、BA和Facebook网络特征参数

特征	WS	BA	Facebook
节点	5000	5000	4039
边	15,000	14,994	88,234
平均度	6	5.998	43.691
最大度	12	263	1045
最小度	6	3	1

Figure 2. Theoretical values of SDE model on homogeneous networks

图2. SDE模型在同构网络上的理论值

图3显示了在人工网络和Facebook真实网络上，添加噪声扰动后随机模型的动力学行为。当噪声强度为0时，从图3(a)~(c)可看出，WS网络的变化趋势与均匀网络理论值基本一致。对比不同网络的谣言最终规模，Facebook网络是最大的，紧随其后的是WS网络，BA网络的最终规模相对最小。然而Facebook网络的峰值时间早于BA网络，WS网络的峰值时间最晚；BA网络和Facebook网络的生命周期均短于WS网络，说明达到稳态所用时间更短。此外，还得到WS网络上谣言的最终规模要比BA网络上的大，hub节点的存在和无标度特性，使得BA网络上谣言的传播速度要比WS网络上的快。

图(d)(e)(f)显示噪声强度不为0的情况，通过对比图(a)(b)(c)和图(d)(e)(f)，可以看到考虑噪声扰动时，I(t)到达峰值和消亡的时刻提前了，具有更大的I(t)峰值和更小的生命周期；同时，谣言的最大影响范围R变大了。另外，在BA网络和Facebook网络上，I(t)的峰值显著降低。从两组图的区别可以看出噪声加速了谣言传播结束的进程并扩大了最终的扩散规模。

Figure 3. Evolution process of rumor propagation in different networks

图3. 不同网络中谣言传播的演化过程

图4显示了不同噪声强度下传播者密度变化曲线，噪声强度分别设置为θ = 0，θ = 1，θ = 10和θ = 100。定义传播节点的峰值表示谣言的最大影响，结果表明很小的噪声也能缩短谣言达到最大影响的时间。与不加噪声的情形相比，加噪声后的演变具有更小的峰值时间和谣言生存周期，传播者密度峰值更大。随着噪声强度的增加，峰值有上升的趋势，谣言生命周期呈下降的趋势。

Figure 4. Variation curves of spreader density under different noise intensities (a) WS network; (b) BA network; (c) Facebook network

图4. 不同噪声强度下的传播者密度变化曲线(a) WS网络；(b) BA网络；(c) Facebook网络

为了探究在t = 0以后每个时间步引入噪声对传播阈值的影响，对比了确定性模型和随机模型的传播阈值。如图5探究了传播率与噪声对最终谣言规模R的影响，可以看出谣言的最终规模R随着传播率的增加而增加，此外，噪声对WS网络的阈值有明显影响。图(a)显示不添加噪声时的网络阈值为0.2，图(b)显示加入噪声后的阈值减小到0.11，且在噪声的影响下传播率达到阈值后谣言可迅速扩散至整个网络。这是因为在平均度上引入噪声会导致网络中的连接关系发生微小的变化，网络中节点的连接性变得不均匀，这种不均匀性使得谣言更容易通过高度连接的节点迅速扩散到整个网络，从而降低了网络阈值。结果表明，对于加入噪声的情况，由于随机扰动，在不超过阈值时，也能促使信息传播。

Figure 5. Thresholds on homogeneous networks, where λ = 0.5, β = 0.6, m = 0.5, n = 0.5, γ = 0.09, μ = 0.5, δ = 0.6, θ = 10. (a) Represents the network threshold without considering noise, and (b) Represents the network threshold with considering noise

图5. 同构网络上的阈值，其中λ = 0.5，β = 0.6，m = 0.5，n = 0.5，γ = 0.09，μ = 0.5，δ = 0.6，θ = 10。(a) 不考虑噪声时的网络阈值；(b) 考虑噪声时的网络阈值

为研究媒体的作用对谣言传播的影响，将参数设置为λ = 0.5，β = 0.5，γ = 0.03，μ = 0.5，δ = 1，θ = 10，分别将m和n固定为0.5，探究另一个参数对传播过程的作用。图6显示了免疫节点密度随媒体发布信息的透明度m和公信力n的变化趋势。结果表明提高公信力和信息的透明度降低了谣言的最终规模，并增大了系统在两个网络上达到稳定状态的时间。当m = 0和n = 0时，最终谣言大小的密度在两个网络上都达到1，意味着几乎所有的个体都接触过并了解该谣言，从而成为免疫者。此外，政府的公正报道降低了谣言传播的速度，使得谣言比不引入媒体报道时得到抑制，提升媒体发布信息的透明度相较于其公信力而言，对谣言传播最终规模的抑制效果更为明显。

Figure 6. Impact of transparency and credibility of media-released information on the density of immune nodes

图6. 媒体发布信息的透明度和公信力对免疫节点密度的影响

Figure 7. Impact of transparency and credibility of media-released information on the density of spreading nodes

图7. 媒体发布信息的透明度和公信力对传播节点密度的影响

图7显示了媒体在报道时不同的信息透明度m和公信力n的情况下，传播节点密度的变化趋势。结果显示，与媒体不参与传播过程的情况相比，媒体参与时传播者密度增长缓慢，峰值较小，且谣言持续的时间变长。更具体地，发布信息的透明度和公信力越大，传播者密度峰值越小，谣言消亡时间越长，提高媒体发布信息的透明度更有利于降低谣言的最大影响。这是因为当媒体发布信息的透明度和公信力提高时，谣言的传播概率会逐渐降低，因此谣言的最大影响会减小，另一方面媒体在发布信息阶段的干预可以减缓谣言的传播速度，使得谣言在人群中传播的时间更长，谣言的消亡时间变长。

6. 结论

本文提出了一个综合考虑媒体报道和社交网络连通性变化的随机信息扩散模型。在同构与异构网络中，基于平均场理论构建了随机微分方程。通过分析同构网络上模型的动力学特性，证明了解的全局性以及谣言消亡的充分条件。此外，讨论了同构和异构网络上谣言传播的阈值。通过蒙特卡洛仿真在WS网络、BA网络和Facebook网络上模拟谣言的演变过程，分析了噪声干扰和媒体报道时的透明度和公信力对谣言传播过程的影响。仿真结果表明，噪声的引入加速了谣言传播消亡的进程，并且减小了同构网络上的传播阈值；提高媒体报道时的透明度和公信力可以降低谣言的最大影响和最终规模，延长了谣言的消亡时间，前者相较于后者而言，对谣言传播的抑制效果更为明显。因此媒体在信息传播过程中应遵守职业道德，更加真实、客观地报道新闻事件，在谣言传播的初期就进行干预和纠正，从而减小谣言传播的概率以及带来的负面影响，这对于维护社会稳定、保护公众利益具有重要意义。

基金项目

国家自然科学基金项目(62071248)。

NOTES

^*通讯作者。