考虑乘客候车时间成本和公交运营收益平衡的公交时刻表优化研究

Research on Bus Timetable Optimization Considering Passenger Waiting Time Cost and Bus Operation Revenue Balance

摘要: 随着城市公共交通的快速发展，编制科学合理的公交时刻表显得尤为重要。本文将乘客候车时间成本和公交运营收益平衡作为优化目标，以公交车满载率、发车间隔为约束条件，建立了公交时刻表优化模型。以南宁市26路公交线路为例进行分析，优化后的公交时刻表相比现状公交时刻表，乘客候车时间成本有所减少，公交运营收入、满载率有了一定提高，证明了模型及算法的可行性。

Abstract: With the rapid development of urban public transportation, it is particularly important to prepare a scientific and reasonable bus timetable. This paper takes passenger waiting time cost and bus operation revenue balance as the optimization objectives and establishes a bus timetable optimization model with the constraints of bus full load rate and departure interval. Taking Nanning No. 26 bus line as an example for analysis, the optimized bus timetable is compared with the status quo bus timetable, the cost of passenger waiting time is reduced, and the bus operating income and full load rate are improved, which proves the feasibility of the model and algorithm.

1. 引言

目前，发展公共交通以缓解城市交通拥堵问题已成为共识，越来越多的出行者选择公共交通出行。然而，我国的公交运营中仍然存在着满载率低、公交缺乏吸引力等问题。乘客都希望在出行时得到准时、高效的公交服务，但由于公交到站准点率较差、乘客候车时间较长等原因，公共交通的便利性难以得到保障，乘客对公交的依赖程度在逐步下降，导致不少乘客放弃了乘坐公交车的想法，转而选择了其它的交通方式出行。因此，编制科学合理的公交时刻表，是提高公交车辆满载率、推进公共交通进一步发展的重要举措。

针对公交时刻表优化问题，国内外学者已经取得了一定的研究成果。Hassold等[1]针对不同类型公交车的车辆，构建了网络流上最小消耗的数学模型。van Oudheusden等[2]建立了一个能以成本最小化实现服务最大化的发车时刻表的非线性整数规划模型，在模型中考虑了全日交通量的变化、最小车队规模等条件。Canca等[3]从公交服务水平和线路网盈利能力相关因素之间的平衡关系出发，研究了一个使计划符合乘客动态需求的非线性整数规划模型。罗建平等[4]从满足乘客出行需求、减少公交公司运营成本为目标，研究了相应的公交动态排班方法。张海燕等[5]从期待服务价值、公交公司发车运营成本两方面出发，进行了公交时刻表优化设计。谭华[6]、江雯等[7]、朱良学[8]采用遗传算法对公交时刻表进行了优化。实际上，公交时刻表优化会对乘客出行和公交公司运营带来一定影响，本文考虑从乘客候车时间成本和公交运营收益平衡两方面出发，基于遗传算法进行公交时刻表优化研究。

2. 公交时刻表模型建立与算法实现

2.1. 模型假设

本文所考虑的乘客候车时间成本和公交运营收益平衡是一个多目标优化求解问题。一方面，乘客通常会倾向于选择候车时间更短的公交服务，因为长时间的候车会增加乘客的出行时间成本。另一方面，高频次的发车间隔尽管会提高公交服务质量，减少乘客的候车时间，但会导致公交满载率不高、公交系统的运营成本增加等问题。因此，采用多目标优化方法，将乘客候车时间成本和公交运营收益平衡作为优化目标，综合考虑不同时间段的乘客需求及运营资源的分配，以达到一个最佳的平衡点。

由于实际情况存在许多复杂的外部因素，为确保公交时刻表优化问题具有普遍适用性，在对公交时刻表优化问题的基础上，本文作了若干简化与假设，以便更好地开展算法研究。在建模过程中提出以下假设条件：

1) 公交车辆为固定车型；

2) 乘客到达公交站点的到达率服从均匀分布；

3) 公交车辆能严格按照公交时刻表运行；

4) 假设公交车到站即刻发车，无需考虑乘客上下车的时间；

5) 全程实行统一票价。

2.2. 模型目标函数及约束条件

在进行模型研究时，将研究时段内乘客候车时间成本和公交企业公司运营收益平衡作为优化目标，即两者之差最小为优化目标。

乘客候车时间成本与时间段内的客流量数量、乘客候车时间及乘客平均薪资相关，即候车人数越多、发车间隔越小，乘客的总候车时间成本越小。研究时段内公交线路乘客候车时间成本计算公式为：

$C=Y\times Q_i\times \frac{T_i-T_{i-1}}{2}$ (1)

公交公司运营收益与发车次数、公交线路的长度、单位线路长度上所付出的成本费用、票价及时间段内的客流量数量相关。研究时段内公交公司运营收益计算公式为：

$B=P\times {\text{Q}}_i-S\times M\times N_i$ (2)

通过将完全不同的权重函数分配给乘客的候车时间成本和公交公司的运营收益，将以上刚刚建立好的两个目标函数重新合并转化成为一个整体的目标函数，使之变为一个单目标的优化问题：

$\min F={\omega }_1\times C-{\omega }_2\times B$ (3)

考虑公交公司的运营收益，本文对公交车平均满载率进行约束：

$40\%\le \frac{Q_i}{R\times N_i}\times 100\%\le 120\%$ (4)

任何两个相邻车辆之间的发车间隔应满足最大和最小出发车间隔的约束。即：

$T_{\min }\le T_i-T_{i-1}\le T_{\max }$ (5)

其中，符号说明如下：

C——该线路所有乘客总的候车时间成本；

Y——单个乘客每分钟平均薪资；

Q_i——第i个时间段内的截面客流量；

T_i——第i趟车的发车时间；

B——公交公司的运营收益；

P——公交线路的统一票价；

S——该公交线路总长；

M——该线路上每公里的成本费用；

N_i——第i个时间段内的发车次数；

${\omega }_1$ ——分配的乘客候车时间成本权重；

${\omega }_2$ ——分配的公交运营收益权重；

R——单个公交车辆最大载客量。

3. 模型求解

3.1. 算法理论

遗传算法现作为一种有效的工具，被国内外学者广泛研究和使用。遗传算法的基本思想：先确定问题的求解空间，对其中的每个点(即可行解)进行编码，再从求解空间中任选几个可行解组成初始群体，计算出每个个体的适应度函数值，运用复制算子使适应度值高的个体具有更多的繁殖机会，最后运用交叉、变异算子产生下一代群体，对新的群体进行评价后输出满足问题要求的最优解；否则，从计算当前群体中的个体适应度函数值开始，重复上述操作。

3.2. 算法步骤

1) 编码

遗传算法染色体的编码方法有很多，本研究采用真实值编码方法。在这种编码方法中，个体染色体的各个基因座上的值就是决策变量的真实值。采用真实值编码后，每个编码位置(也称基因座)的值就表示该时刻距离首发时刻的时间，单位为分钟。

2) 适应度函数

适应度函数的设置在遗传算法的整体操作过程中起着关键作用。根据建立起来的目标函数来设定适应度函数。传统的适应度函数一般为：找目标函数最大值或目标函数最小值，本次模型的目标函数是最小化问题，为了保证染色体的适应度取值，模型设计先判断个体是否满足平均满载率的约束条件公式，选择满足的个体后以最终目标函数作为适应度值，选择最小适应度值的个体。

3) 遗传算子

遗传操作包括以下三个基本遗传算子：选择、交叉、变异。

① 选择算子

从群体中选择优胜的个体，淘汰劣质个体的操作叫选择。选择算子有时又称为复制算子。选择的目的是把优化的个体或解直接遗传到下一代或通过配对交叉产生新的个体再遗传到下一代。研究采用进行了修改的比较选择方法和最优保留策略。

② 交叉算子

最常用的交叉操作是指对2个基因串中的某一部分依照一定的概率进行交换。模型选择单点交叉作为遗传算法的交叉运算符号，其基本过程是对于按照交叉概率从种群中选出的某条染色体，随机地在染色体上选择多个断点，交换双亲上相同断点的基因，生成新的后代。

③ 变异算子

变异操作就是在一条染色体上，用另一条染色体上的其他等位基因取代某一染色体上的某一位点上的某一基因，使之成为一个新的个体。变异运算符的设计主要有两部分：一是对变异点情形的检验；二是进行顺序值替代的方式。本模型采用的是均匀变异操作。其基本过程如下：依次指定染色体当中的基因作为变异点对每个变异点以很小的变异概率从对应基因的取值范围内取一个均匀分布的随机数来代替原来的基因。

4) 参数设置

在遗传算法中，考虑了群体中个体数量、迭代次数、杂交概率、突变概率等因素。在一个优化问题中，参数的选择将直接影响到最优解的效果。下面将简要说明这些参数的功能。

① 群体规模。种群大小对遗传优化的效果和遗传算法的执行效率有很大的影响。分组数目越大，搜索速度越快，但分组数目越多，时间复杂度也就越高。一般来说，规模的数量都在10到160个之间。

② 交叉概率。交叉交配是模型算法生成新种群最重要的一种手段。与突变概率相似，过高的交叉概率会打破原有的优势格局，增加随机度，使最佳个体错过；过小的概率不能及时有效地更新种群。通常情况下交叉概率的值在0.4~0.9之间。

③ 变异概率。变异的作用有两点，其一是为了保持种群的多样性，避免不完全收敛；二是赋予了遗传算法局部随机寻优的能力。如果突变几率过低，则群体的多样性会快速降低，从而造成有效基因的快速流失并且不容易修复；如果变异几率过高，虽然能确保群体的多样性，但也会增加高阶模态被打破的可能性。通常变异概率在0.001~0.1之间取值。

5) 终止条件判断

当计算过程中最优适应度值不再出现变化时，或迭代次数已达到预先设定的代数时，终止计算。

4. 算例分析

本文以南宁市26路公交车上行方向为研究对象，对该线路某日晚高峰17:00~19:00时段客流数据进行整理分析，其中客流数据以半个小时为单位进行划分，该线路上行方向各时段客流量数据结果如图1所示。

Figure 1. Passenger flows of bus routes during study hours

图1. 公交线路研究时段客流情况

根据对26路公交所调研的数据得出线路相关参数，并给出了模型输入条件。线路相关参数取值如下：

1) 南宁市26路公交线路总长S = 21.6；

2) 公交发车时段数量nT = 4；

3) 线路最大发车间隔T_max = 15；

4) 线路最小发车间隔T_min = 5；

5) 线路的最大容纳乘客数量R = 45；

6) 公交票价P = 2；

7) 单个乘客平均薪资(元/分钟)Y = 0.45；

8) 公交公司运营每公里成本费用M = 2；

9) 乘客等车时间成本分配权重系数${\omega }_1=0.5$ ；

10) 公交公司的运营收益分配权重系数${\omega }_2=0.5$ 。

通过在Matlab平台试验计算，最终得到了最佳的发车时间间隔，迭代过程及结果如图2、表1所示。

Figure 2. Plot of the variation of the optimal solution of the model objective function

图2. 模型目标函数最优解变化曲线图

Table 1. Bus route departure intervals during study hours

表1. 研究时段公交线路发车间隔

研究时段	发车间隔/min	发车班次数量/次
17:00~17:30	11	2
17:30~18:00	8	3
18:00~18:30	11	2
18:30~19:00	11	2

本次优化考虑了乘客候车时间成本和公交运营收益两个指标间的平衡，优化后晚高峰时段共计发车9班次，乘客候车时间成本减少了4.1元，公交运营收入增加128.4元，满载率提高了14%，结果证明了本模型的有效性，且达到了两者平衡的优化目标。各项数值及优化方案提升效果如表2所示。

Table 2. Comparison of results before and after bus timetable optimization

表2. 公交时刻表优化前后结果对比

公交时刻表方案	乘客候车时间成本/元	公交运营收益/元	满载率/%
现状公交时刻表方案	492.8	−75.6	40
优化后公交时刻表方案	488.7	52.8	54
优化方案提升效果	−4.1	128.4	14

5. 总结

本文以南宁市26路公交时刻表优化为例，考虑乘客候车时间成本和公交运营收益平衡，基于提出的模型和设计的算法对该线路的公交时刻表进行优化，得到研究时段内的时刻表方案。通过对优化结果的对比分析，优化后的公交时刻表方案下乘客候车时间成本有所减少，公交运营收益增加，且公交车辆满载率也有一定程度的提高，验证了模型和算法的可行性和有效性。同时，该方法也将为后续公交时刻表优化提供了新思路。

基金项目

2021年度广西中国–东盟综合交通国际联合重点实验室运行补助项目(任务书编号：21-220-21)；广西科技计划项目广西科技基地和人才专项：广西交通新技术转移中心平台建设(任务书编号：桂科AD23026029)。

NOTES

^*通讯作者。