基于灰狼算法的球形机器人构件参数优化

Optimization of Spherical Robot Component Parameters Based on Grey Wolf Optimization Algorithm

摘要: 双摆驱动式球形机器人，以其零转弯半径、高实用性、灵活性和密封性著称。为提升性能并促进后续控制及路径研究，本研究对同轴双摆球形机器人进行了运动建模分析。通过受力分析设计代价函数，并运用灰狼优化算法(GWO)求解，与粒子群优化算法(PSO)对比，GWO在七次迭代后即收敛，表现更优。仿真结果显示，GWO优化的机器人球壳运动速度达2.681 m/s，优于PSO的2.513 m/s，验证了GWO的高效性及代价函数的有效性。这一成果为球形机器人运动系统设计的合理性提供了实证，对相关领域有参考意义。

Abstract: Spherical robots with dual pendulum drive are celebrated for their zero turning radius, exceptional practicality, agility, and tight sealing. To enhance performance and advance further studies in control and path planning, this research undertook a motion modeling analysis of a coaxial double pendulum spherical robot. A cost function was devised based on force analysis and solved using Grey Wolf Optimization (GWO), contrasted with the Particle Swarm Optimization (PSO) algorithm. GWO converged after just seven iterations, outperforming PSO. Simulation results revealed that the robot’s spherical shell speed optimized by GWO reached 2.681 m/s, surpassing PSO’s 2.513 m/s, thereby validating GWO’s efficiency and the efficacy of the cost function. This achievement substantiates the rationality of spherical robot motion system designs and offers valuable insights for related fields.

1. 引言

传统轮式与履带式机器人凭借成熟技术和广泛应用稳固基础，而新兴的移动机器人则不断创新为行业注入新活力。数据显示自2015年起球形机器人的研究数量爆炸式增长[1]，球形机器人以其独特的全封闭设计脱颖而出，且有着密封性、卓越平衡及高度灵活性等优点，无侧翻风险的同时外壳坚固，保护内部精密部件免受外界冲击。因此，在星球探索、危险环境作业、无人区探索等高风险领域，球形机器人展现出巨大应用潜力[2] [3]。深入剖析球形机器人的运动机制，大多数分为质心偏移与角动量守恒两大原理[4] [5]。王酉[6]等专家指出，通过调整球壳内部的质心位置是唯一可以精准地控制球形机器人的运动轨迹与速度，实现高效、稳定的移动。基于这一理念，球形机器人被进一步细分为摆锤驱动、小车驱动与多质量块驱动三种类型，每种类型各具特色，其中小车驱动型球形机器人相对于多质量块驱动型机器人有着控制直观，模型简单的优点，但小车驱动型机器人的结构限制导致运动半径过大影响灵活性[7]，而摆锤驱动型机器人在有着前二者优势的同时，能够灵活运动完成零半径运动，摆锤驱动以其独有优势备受瞩目。

Viktor Kaznov [8]团队成功研发了一款名为GroundBot的球形两栖机器人。GroundBot通过垂直摆放的双电机分别控制着其中重摆在x轴及y轴方向的运动，机器人通过重摆的位置导致机器人质心的变更进而控制机器人的运动。其融合了球形形态的独特优势，如不会翻倒、稳定性和强鲁棒性，以及易于构建为密封系统和具备充气身体选项，进一步拓展了其应用场景，这一创新设计解决了传统轮式火星车如NASA的Spirit在软土中陷入的问题，应用场景包括在软土环境中的稳定移动、水下作业及气体泄漏检测等。

哈尔滨工业大学赵勃[9]教授提出了一种新颖的椭球形机器人设计，其核心在于同轴双偏心质量驱动机制机器人结构。机器人的两个驱动电机对称摆放于同一轴线上，各个点独立控制一个重摆质量块。通过精细调控质量块的转动角度与角加速度，机器人能够实现前向、转向乃至自旋等多种运动模式。不同于普通单摆驱动球形机器人，这种双重摆的结构充分利用了两个电机所带来的驱动力矩，实机机器人运动速度能达到1.6 m/s，理论上，对称的结构导致双电机的驱动力矩可以全部传动给机器人完成自转运动，这种新型结构展示出高效的运动性能的同时其运动半径为零。

University of Tabriz [10]的Saber Mahboubi团队则提出的机器人设计也有异曲同工之处，其采用透明热塑性材料打造的球形外壳，集成两个摆锤、并配有两台带齿轮箱的直流电机、两个线性运动装置和双重控制单元。通过详尽的运动模式建模与仿真验证，该机器人展现出了卓越的跳跃能力、无半径转弯技巧、精确轨迹跟踪以及高效越障功能，标志着在运动灵活性与多模式运动能力上的重大突破与创新。

球形机器人中摆锤驱动方式的运动是最为宽泛的，而双重摆驱动方式相对于其他驱动方式在运动灵活性、传动高效性和结构实用性上展现出显著优势。上述研究中可以看出同轴双摆驱动结构有着研究潜力，但类似的研究并没有着重研究各构件对于机器人运动性能影响关系，为设计的机器人拥有最佳性能。本研究首先对同轴双摆驱动结构对球形机器人进行运动模型的理论分析，找出结构中各驱动机构的尺寸对于机器人运动性能的影响因素，结合实例对于机器人结构尺寸设计，将数学模型转换为一个最合适的优化问题。使用灰狼算法在迭代中取得最优结果，最后通过球形机器直线运动数值仿真结果评价代价函数效果以及灰狼算法优化结果的有效性。本研究是球形机器人控制算法的研究开展的前提，同时对所有移动机器人的建模设计有参考意义。

2. 数学模型建立

本文基于赵勃和Saber Mahboubi提出的新型球形机器人的基础上进行对球形机器人研究，球形机器人总体结构如图1所示，主要包括椭球型球壳、一对驱动电机、惯性传感器模组、重摆模组、控制模块和电源模组。首先椭球型外壳相对于球形外壳能在高速运动中更加平稳，球形机器人相对于水平方向的摆动和震荡现象会有一定的程度的抑制作用，同时椭球型外壳也便于观察机器人的运动状态。这种结构相对于单重摆驱动球形机器人在动力传输方面有优越之处，不会浪费另一个电机的驱动转矩，同时相对于传统单摆驱动机器人能够做到自转运动，即运动半径几乎为零。

Figure 1. Spherical robot structure diagram

图1. 球形机器人结构图

2.1. 椭球型球壳

由于提供驱动力矩的双重摆对向放置在机器人球壳的同一中轴线上，偏心质量只能绕中心轴的电机转动，研究机器人的运动只需要考虑偏心质量的运动即可，球壳在初始状态下，机器人内部结构如图2所示，前向滚动时，同轴双摆驱动球形机器人能提供偏心作用力最大值为$2\tau /r$ ，惯性力最大值为$2mg{r}^2\tau /J^y$ ，同时在机器人做自转运动时，双偏心质量叠加的惯性力最大值为$2mg{r}^2\tau /J^z$ ，$J^y$ 和$J^z$ 其中分别为摆锤相对于球壳绕y轴和z轴的转动惯量。

Figure 2. Schematic diagram of spherical shell components

图2. 球壳构件简图

机器人内部结构图看出摆锤杆件的长度取决于椭球形球壳短半轴的长度，面对初始状态的球壳将其视为椭圆形，将摆锤坐标位置带入椭圆标准方程可以得出，摆锤与短轴的距离d与摆锤长度l之间的关系式(1)。由椭球体体积公式推导，球壳长半轴a与短半轴b之间关系如式(2)。其中M则为球壳质量，ρ则为球壳材料密度。

$l=\frac{b\sqrt{a^2-d^2}}{a}$ (1)

$a=\frac{3M}{4\pi b^2\rho }，b=r$ (2)

2.2. 模型分析

分析球形机器人的运动状况，驱动构件为两个仅绕球壳长半轴运动的偏心质量块，球壳为椭球体，所以将运动系统简化为“球壳–双摆”模型，机器人运动时的受力分析如图3所示，在球心处建立连体坐标系O’x’y’z’，其z’轴始终与机器人主轴重合，x’o’y’平面始终平行地面，z轴则垂直于Oxy平面，基于D’Alembert’s principle (达朗贝尔原理)对运动系统进行受力分析。球壳中两个偏心重摆同向摆动，摆角分别为${\theta }_1$ 和${\theta }_2$ ，偏心重摆受到重力作用产生绕y’轴的同向偏心力矩$M_{y1}$ 和$M_{y2}$ ，作用于系统使其能够绕y轴转动，偏心重摆加速转动产生惯性力，系统也受惯性作用力$F_{g1}$ 和$F_{g2}$ 的作用。将惯性作用力$F_{g1}$ 和$F_{g2}$ 平移至偏心质量各自的转动中心$O_1\text{'}$ 和$O_2\text{'}$ ，等效为沿x轴的惯性力$F_{xg1}$ 和$F_{xg2}$ 、沿z方向的惯性力$F_{zg1}$ 和$F_{zg2}$ ，以及绕y轴的惯性力矩$M_{yg1}$ 和$M_{yg2}$ ，其中惯性力矩$M_{yg1}$ 和$M_{yg2}$ 可以改变机器人的向前运动速度。而惯性力$F_{zg1}$ ，$F_{zg2}$ ，惯性力$F_{xg1}$ 和$F_{xg2}$ 又分别产生了绕z和x轴的惯性力矩，当重摆反向同速转动时，绕x’、y’轴的惯性力以及驱动力矩大小相等方向相反，而绕z’的惯性力大小相同方向相同，机器人原地不动完成转向运动。由此可见，偏心质量位置的变更使系统受到偏心力矩的作用，而偏心力矩的方向与摆角方向有关;偏心质量角速度的变更转变为惯性力矩的作用，而惯性力矩的方向与偏心质量角速度变化有关。而球形机器人前向运动时，机器人在Oxyz坐标系受力分析如下式(3)：

Figure 3. Force analysis diagram of the locomotor system

图3. 运动系统受力分析图

从式中可知，偏心质量运动方向与角加速度同向时，球壳$\text{y}\text{'}$ 轴上的偏心力矩与惯性力矩同向，并促其绕$\text{y}\text{'}$ 轴滚动。绕$\text{y}\text{'}$ 轴上的惯性力矩反向相互抵消，绕$z\text{'}$ 轴的惯性力也相互抵消。若两偏心质量同步，则机器人直线滚动；反向则可能导致自旋，而实际情况则取决于惯性力矩与摩擦力间的关系。但由于球形机器人球壳一般多选用光滑材料聚甲基丙烯酸甲酯，在多数情况下无需考虑摩擦。

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \sum F_y=0}\\ {\displaystyle \sum F_x=-F_{xg1}}-F_{xg2}-F_f\\ {\displaystyle \sum F_z=-F_{zg1}-F_{zg2}}-2mg+F_N\\ {\displaystyle \sum M_y=M_{y1}+M_{y2}+M_{yg1}+M_{yg2}}\\ {\displaystyle \sum M_x=M_{yg1}-M_{yg2}}\\ {\displaystyle \sum M_z=-M_{zg1}+M_{zg2}-M_f}\end{array}$ (3)

式中：

$F_N$ ——地面对球壳的支持力；

$F_f$ ——球壳与地面的静摩擦力；

$M_f$ ——地面对球壳的摩擦阻矩。

2.3. 优化目标函数

从上述机器人运动系统分析可以看出机器人球壳沿x、z轴的半径r以及偏心质量$m_1$ 、$m_2$ 对于机器人的运动性能有极大程度的影响。而对于灵活的球形机器人的质量不能无限度增大，偏心质量的变化会受到控制器质量、电机、球壳质量等因素的影响。因此为衡量球形机器人的运动参数，建立全面合适的代价函数能使得机器人的运动性能得到优化。考虑到新式的球形机器人需要完成在各地形中的运动，因此衡量机器人越障能力时爬坡能力占其中很大的部分。机器人爬坡代价函数参考岳明[11]对球形机器人爬坡性能的研究，其中球形机器人能跨越的坡度范围如式(4)。式中m为偏心质量$m_1$ 、$m_2$ 之和，M为球壳及其框架的质量，R为球壳最大半径，即为椭球型短半轴长度b，式中的L为摆锤的轴长。

$f\left(x_1\right)=\arcsin \left(\left(1+\frac{M}{m}\right)\frac{R}{L}\right)$ (4)

其次为发挥球形机器人的运动性能，运动速度也是机器人运动性能的指标之一。使得系统运动速度最大应代价函数设计为，基于机器人运行时的运动速度基于理想状态下机器人不发生横滚和震荡的情况下，球壳内球摆对于球心的转动惯量最大，且要考虑球壳对于球心的转动惯量尽可能小，于是基于简化的球–摆模型取球摆对球心转动惯量$J_m$ 和球壳对球心的转动惯量$J_M$ 的比值为速度代价函数如式(5)。

$f\left(x_2\right)=\frac{J_m}{J_M}=\frac{2m{L}^2}{\frac{2}{5}M\left(a^2+R^2\right)}$ (5)

对于新型双摆同轴球形机器人，转向性能也应该是设计过程中需要考虑的一部分，而自转运动复杂且难以量化为参数，于是采用上述系统分析中，对于球形机器人最大自转惯性力自转运动代价函数，代价函数如式(6)。其中$J_C$ 为机器人绕垂直地面的中轴的转动惯量，$\tau$ 则为摆锤被电机驱动的扭矩，优化过程中取常数便于分析。

$f\left(x_3\right)=\frac{2mg{r}^2\tau }{J_C}=\frac{2mg{r}^2\tau }{\frac{1}{5}M\left(a^2+r^2\right)}$ (6)

综上所述，以上分析将机器人的运动性能简化为三个优化性能，当这三个函数达到最大值时可以视为机器人运动性能达到最好。使用三个决策变量完成优化：摆锤的质量m，球壳短半轴长度b和摆锤长度L。为便于优化计算，使用决策向量X = [x1, x2, x3]代替决策变量m、b和L，其中x1的取值范围为[L1, U1]，x2的取值范围为[L2, U2]，x3的取值范围为[L3, U3]则目标优化问题的表达式如式(7)：

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{f}_1{\left(\text{X}\right)}_{\text{Max}}=\arcsin \left(\left(1+\frac{M}{x_1}\right)\frac{x_2}{x_3},{\left(x_2\right)}_{Min}\right)\\ f_2{\left(\text{X}\right)}_{\text{Max}}=\frac{2x_1{x}_3{}^2}{\frac{2}{5}M\left(a^2+x_2{}^2\right)},{\left(x_2\right)}_{Min}\\ f_3{\left(\text{X}\right)}_{\text{Max}}=\frac{x_{1}g{x}_2{}^2\tau }{0.1M\left(a^2+x_2{}^2\right)},{\left(x_2\right)}_{Min}\end{array}\\ x_1\subset \left[L1,U1\right],x_2\subset \left[L2,U2\right],x_3\subset \left[L3,U3\right]\end{array}$ (7)

3. 灰狼算法

灰狼算法应用面广泛，参数调节直观比一般优化算法更可靠，有很好的全局搜寻性能，能极大避免局部最优问题[12]。灰狼优化算法在多无人机任务分配、PID参数优化、微电网优化调度以及函数最优解问题中都有应用[13]-[16]。构件优化问题是多目标函数优化问题，所以使用灰狼算法完成球形机器人的构件优化能获得不错成效。

灰狼算法是模拟灰狼组成严密社会群体，遵循金字塔式等级制的捕猎方式。此制度下，灰狼分为α、β、δ和ω四级，低级狼服从高级狼领导。狩猎时，它们协作包围、猎捕、攻击，高效捕获猎物。基于灰狼协作捕猎原理：1、跟踪、接近并追逐猎物；2、包围并骚扰猎物至其疲惫；3、发起攻击，完成捕猎。

第一步，包围猎物。将前三个最好的狼(最优解)定义为α、β、δ，数学模型定义如式(8)和式(9)：

$\overrightarrow{D}=\left|\overrightarrow{C}\cdot \overrightarrow{X_p\left(t\right)}-\overrightarrow{X}\left(t\right)\right|$ (8)

$\overrightarrow{\text{X}\left(\text{t}+1\right)}=\overrightarrow{X_p\left(t\right)}-\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}$ (9)

式(10)表示计算个体与猎物距离，式(11)代表更新灰狼位置。A、C为系数，影响更新方向和幅度。$\overrightarrow{X_p\left(t\right)}$ 是猎物位置，$\overrightarrow{X}\left(t\right)$ 是灰狼位置。式中$\overrightarrow{A}$ 、$\overrightarrow{C}$ 如下，其中$\overrightarrow{\alpha }$ 是随迭代次数由2减小至0的收敛因子，$\overrightarrow{r_1}$ 和$\overrightarrow{r_2}$ 的模是0到1间的随机数。

$\overrightarrow{A}=2\cdot \overrightarrow{r_2}$ (10)

$\overrightarrow{C}=2\cdot \overrightarrow{r_2}$ (11)

第二步，狩猎。灰狼精准定位猎物，$\alpha$ 、$\beta$ 、$\delta$ 领导狼群包围。在优化问题中，我们面对未知最优解，假设$\alpha$ 、$\beta$ 、$\delta$ 更了解潜在位置。我们保存三个最优候选，利用它们推测猎物位置，并引导其他灰狼更新位置，逐步逼近，其位置更新迭代逻辑如图4。

Figure 4. Principles of grey wolf algorithm search

图4. 灰狼算法搜索原理

其位置更新的数学模型如式(12)：

$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{D_{\alpha }}=\left|\stackrel{\rightharpoonup }{C_1}\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{X_{\alpha }}-\stackrel{\rightharpoonup }{X}\right|\\ \overrightarrow{D_{\beta }}=\left|\stackrel{\rightharpoonup }{C_2}\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{X_{\beta }}-\stackrel{\rightharpoonup }{X}\right|\\ \overrightarrow{D_{\delta }}=\left|\stackrel{\rightharpoonup }{C_3}\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{X_{\delta }}-\stackrel{\rightharpoonup }{X}\right|\end{array}\right\}$ (12)

$\stackrel{\rightharpoonup }{X_{\left(t+1\right)}}=\frac{\overrightarrow{X_1}+\overrightarrow{X_2}+\overrightarrow{X_3}}{3}$ (13)

$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{X_1}=\left|\stackrel{\rightharpoonup }{X_{\alpha }}-A_1\cdot \left(\stackrel{\rightharpoonup }{D_{\alpha }}\right)\right|\\ \overrightarrow{X_2}=\left|\stackrel{\rightharpoonup }{X_{\beta }}-A_2\cdot \left(\stackrel{\rightharpoonup }{D_{\beta }}\right)\right|\\ \overrightarrow{X_3}=\left|\stackrel{\rightharpoonup }{X_{\delta }}-A_3\cdot \left(\stackrel{\rightharpoonup }{D_{\delta }}\right)\right|\end{array}\right\}$ (14)

其中，$\stackrel{\rightharpoonup }{D_{\alpha }}$ ，$\stackrel{\rightharpoonup }{D_{\beta }}$ 和，$\stackrel{\rightharpoonup }{D_{\delta }}$ 为$\alpha$ 、$\beta$ 、$\delta$ 与其他个体间的距离；$\stackrel{\rightharpoonup }{X_{\alpha }}$ ，$\stackrel{\rightharpoonup }{X_{\beta }}$ 和，$\stackrel{\rightharpoonup }{X_{\delta }}$ 表示$\alpha$ 、$\beta$ 、$\delta$ 的当前位置；$\overrightarrow{C_1}$ ，$\overrightarrow{C_2}$ 和，$\overrightarrow{C_3}$ 是随机向量，$\overrightarrow{X}$ 是当前灰狼的位置，式(13)表示了$\omega$ 的最后位置，式(14)定义了狼群中$\omega$ 的方向，$\alpha$ 、$\beta$ 、$\delta$ 的步长和方向。

第三步、搜索猎物。猎物静止时，灰狼通过突击完成狩猎。模拟逼近过程，迭代中，$\overrightarrow{\alpha }$ 从2线性降至0，$\overrightarrow{A}$ 的波动区间随之收窄，如果$\left|\overrightarrow{A}\right|>1$ 狼群远离猎物，而$\left|\overrightarrow{A}\right|<1$ 时狼群逼近猎物，$\overrightarrow{A}$ 的值在区间[−1, 1]时，灰狼可随机调整位置至猎物与当前位置间，若|A| < 1，则表示狼群迭代至局部最优。其中随机选取的C在迭代逼近过程之中用语避免陷入局部最优，当算法陷入局部最优时给予全面的搜寻条件。其中灰狼算法的伪代码如下：

Initialize the grey wolf population $X_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$

Initialize$\alpha$ ，A and C

Calculate the fitness of each search agent

$X_{\alpha }$ = the best search agent

$X_{\beta }$ = the second best search agent

$X_{\delta }$ = the third best search agent

While (t < Max number of iterations))

for each search agent

Update the position of the current search agent by equation (3.7)

end for

Update $\alpha$ ， A and C

Calculate the fitness of all search agents

Update $X_{\alpha }$ ，$X_{\beta }$ ，and $X_{\delta }$

t = t + 1

end While

return $X_{\alpha }$

4. 实例分析

基于上述模型推导得出的优化函数，引入约束，选取现有机器人模型进行分析，现有机器人球壳加内部构件重量为500 g，球壳材料选取亚力克材料，亚克力材料密度位于1.17~1.20 g/cm³之间，选取密度为1.19 g/cm³进行分析。球壳的制作一般采用吹胀式的加工方式，因此球壳厚度约为2 mm。依据现有数据已经确定球壳重量以及密度，依据椭球体体积公式，可以得到球壳长短半轴的范围如式(15)。

$a{b}^2\le \frac{3M}{4\rho \pi }\approx 62824.3196$ (15)

简单将球壳视为球体即a，b参数大小相同，即可以得出半径r的大小约为39.7 mm，则简单可以得出b的值应该远小于r，同时由于椭球体的特性若需要保持球壳正向滚动，短半轴的值应该小于弧长。同时摆锤应该距离球壳越近越好，但应该考虑一些多余空间，除去球壳厚度摆锤连杆长度最少距离球壳10 mm。引入伺服电机、位姿传感器以及控制模块总长度为15 mm，宽度为10 mm左右，由于球壳加上内部器件为500 g，考虑重摆的材料应该使得重摆惯性力使得大于球壳惯性力，但重摆重量不可能无限制增大，将重摆重量限制为球壳的1.5倍之内比较有研究意义。则约束如下式(16)。由于作为新型机器人的质量在20 kg以下，可以纳入小型机器人的范畴，EUI-JUNG JUNG [17]在会议中对于机器人高速的定义标准是2.5 m/s，因此假设电机之间无摩擦，球壳与地面为点接触且球壳与地面做无滑动纯滚动的状况下，在重摆的重量尽可能小的前提下，设计的机器人最大球壳速度需要达到2.5 m/s。

$\begin{array}{l}s.t.10\text{ mm}\le b\text{}\text{}\le 39.7\text{ mm}\\ a<\text{b}\\ R-L\le 10\text{ mm}\\ R\ge 15\text{ mm}\\ 200\text{ g}\le M\le 1500\text{ g}\end{array}$ (16)

5. 实验分析

通过机器人系统运动分析、实际物料尺寸约束的确立，假设机器人球壳在地面做无滑动纯滚动的理想运动，且不考虑电机摩擦的情况下，在Matlab中使用灰狼算法对于模型进行仿真迭代优化，PSO算法也能解决参数优化问题[18] [19]，所以采用常用的PSO粒子群算法对相同问题进行求解对比。基本参数设置为：循环次数为30次，灰狼种群取50，对比现有机器人模型构建参数数据带入代价函数获得评分，代价函数评分越小表示系统综合运动性能越好。

Table 1. Spherical robot component data before and after optimization

表1. 优化前后球形机器人构件数据

结果|变量	代价函数评分	重摆质量m (g)	球壳短半轴b (mm)	重摆连杆L (mm)
优化前参数	5.6301	800	35	30
灰狼算法结果	3.0057	1107.67	33.72	28.15
PSO算法结果	3.01	1110.01	31.1	25.44

启发式搜索算法仿真迭代情况如图5所示，搜索算法优化前后机器人构件数据如表1所示，由算法优化迭代状况可以看出，灰狼算法在第7次迭代左右收敛至最优值3.0057，PSO算法在17次迭代收敛至3.01左右。对于收敛速度而言，PSO算法在收敛速度稍慢于灰狼算法，灰狼算法的搜索原理决定了算法在全局搜索能力优于PSO算法。性能方面，灰狼算法在前中期就展示出不错的性能，而相对而言PSO算法性能更加稳定，PSO算法在地次迭代时展现了更好性能表现，但陷入局部最优优化速度较慢，但PSO算法在中后期存在着稳定的收敛效果，其表现出稳定的优化性能，总体而言PSO在收敛速度方面不如灰狼算法，但若是迭代次数较少时和迭代次数很多时PSO算法能表现出不俗性能，灰狼算法在极短时间之内迭代出最佳性能，且没有陷入局部最优。

Figure 5. Optimization algorithm iteration effect diagram

图5. 优化算法搜索效果图

用球形机器人直线运动运动学模型[20]，在Matlab中对于三种结果进行数值仿真，比较性能同时观察验证后的机器人最大球壳运动速度能否到设计值。参考的球形机器人运动学模型并仿真获得球壳的移动速度$\text{y'}$ 和球壳在x轴的移动位置y的仿真数据，代入优化前机器人参数、灰狼优化后参数和PSO优化后参数至Matlab后的仿真结果如图6。由于球形机器人选用一对YT57B2R0510-SJ0伺服电机，额定转速1500 RPM、扭矩0.96 NM，因此仿真扭矩选用2 NM，同时由于研究是为后续新型球形机器人控制研究的前提而不涉及控制函数，因此摆角速度以及摆角角度选用正弦函数生成周期信号以观察球壳运动性能。由图表可以看出球壳移动距离y表现稳定向前运动趋势，同时由于输入信号而呈现出周期运动迹象符合预计分析球形机器人运动模型推导。球壳移动速度$\text{y'}$ 缓慢增加至最大运动速度之后由于输入摆角信号而接近静止，整体变化趋势符合周期运动，综上可以看出机器人运动学模型的仿真的合理性。针对于机器人动力构件参数优化可以看出，之前构件尺寸机器人的球壳最大运动速度由1.675 m/s经过GWO算法优化之后到达2.681 m/s，经过PSO算法优化之后达到2.513 m/s，经过灰狼算法迭代优化之后球壳最大速度提高60.06%，同时直线运动最大运动速度达到了小型机器人中高速机器人速度标准。预定目标完成了的同时，优化效率表明优化代价函数设计的合理性以及优化代价函数评分显示出对球形机器人的运动性能极大相关，模型仿真以及验证实验表明代价函数设计对于新型球形机器人运动性能具有参考意义，同时意味着灰狼算法的表现出很好优化效率以帮助球形机器人构件的设计。本研究完成了作为球形机器人研究工作的前提，未来将针对该新型结构球形机器人完成控制算法设计，以及完成实机设计使机器人实际运动性能接近理论最大值。

Figure 6. Simulation of robots’ linear motion before and after optimization

图6. 优化前后机器人直线运动仿真

6. 结论

本文深入探讨了灰狼算法(GWO)在优化同轴双摆球形机器人构件参数方面的应用。首先，我们基于D’Alembert原理对机器人进行了详尽的运动建模与分析，进而构建了基于力学特性的代价函数，以精准刻画机器人性能与参数间的关系。通过对当前构型的机器人参数进行优化，实验结果表明，重摆质量与杆件长度的增加显著提升了机器人的运动性能，这一发现与通过运动模型受力分析所得的理论预测高度一致，不仅验证了模型的有效性，还揭示了简化模型与实际运动状态之间的重要关联性。

随后，为追求更高的运动速度设定了优化目标，并运用灰狼算法与粒子群算法对同一代价函数进行优化处理。通过对比两种算法的搜索效率、收敛速度及优化成果，结合仿真运动中的性能评估，明确展现了灰狼算法在解决该优化问题上的显著优势。

在性能评估阶段，仿真结果显示，新型机器人直线运动过程中展现出稳定前进的趋势，尽管存在因机器人球壳点面接触导致的轻微位置波动，这主要归因于球壳形态特性及开环输入驱动力缘故。特别在直线运动仿真中，机器人展现出了卓越的运动能力，由于仿真中驱动角速度是周期性变化的，所以可以看出直线运动中，重摆存在一个最优角速度配置，使得机器人能一直处于高速运动状态。这种可能性，也能显示出其固有的运动特性规律的可控性，理论上证明该结构拥有实现高速稳定运动潜力，凸显了研究其运动控制策略的重要价值。

综上所述，本文不仅成功地将灰狼算法应用于同轴双摆球形机器人参数优化，通过力学分析与算法优化实现了构件参数与运动性能的精准匹配，还为移动机器人领域的运动研究提供了宝贵参考。同时，本工作也为后续球形机器人控制策略的研究奠定了坚实基础，强调了控制研究的可行性与必要性。