考虑加权传播率和随机干扰的谣言传播模型

A Rumor Propagation Model Considering Weighted Propagation Rate and Stochastic Noise

摘要: 在线社交网络已经成为互联网信息时代的信息传播的主要途径，对社交网络中谣言的性质、特征以及信息传播的研究一直是一项重要的研究课题。考虑社交网络环境及用户都会受到不确定因素的影响，网络结构和用户数量都会随时间发生变化，因此，在谣言传播过程中引入随机噪声；同时针对个体间的差异性，以及不同个体间连接紧密程度不同，引入加权传播率，基于此建立考虑加权传播率和随机干扰的谣言传播模型，并对此模型进行了传播动力学研究。推导了全局正解存在唯一性，推导了谣言消亡条件；并通过蒙特卡洛方法在BBV网络(加权无标度网络)以及LW网络(局域世界演化网络)上进行了仿真，验证了理论推导的合理性。实验结果表明，局域世界特性会加速谣言传播，扩大谣言最终规模；传播率的差异性能够抑制谣言峰值和最终规模；在保证网络拓扑结构不出现剧烈变化的情况下，弱噪声的加入会加速谣言的传播。

Abstract: Online social networks have become the primary channel for information dissemination in the Internet information age, making the study of the nature and characteristics of rumors in social networks, as well as the research on information propagation, an important subject of research. Considering that the social network environment and users are subject to the influence of uncertain factors, and that network structure and user numbers change over time, Stochastic noise is introduced into the rumor propagation process. At the same time, to account for the individual differences and the varying degrees of connection tightness between different individuals, a weighted transmission rate is introduced. Based on this, a rumor propagation model considering the weighted transmission rate and stochastic noise is established, and the dynamics of propagation for this model are studied. The uniqueness of the existence of the global positive solution is deduced, and the conditions for the demise of rumors are deduced. The Monte Carlo method is used to simulate the BBV network (weighted scale-free network) and LW network (local world evolution network), and the rationality of the theoretical derivation is verified. The experimental results show that the local world characteristics will accelerate the spread of rumors and expand the final scale of rumors. The difference in transmission rate can suppress the peak and final scale of rumors. In the case of ensuring that the network topology does not change drastically, the addition of weak noise will accelerate the spread of rumors.

1. 引言

据中国互联网络信息中心(CNNIC)在京发布的第51次《中国互联网络发展状况统计报告》显示[1]，截至2022年12月，我国网民规模达10.67亿，互联网普及率达75.6%。

随着信息技术的快速发展及互联网的快速普及，在线社交网络已经成为互联网信息时代的信息传播的主要途径，“微博”、“微信”、“抖音”等社交网络平台的出现使信息的传播速度大幅加快，信息传播的成本大幅降低。但与此同时，由于在线社交网络的便利性、匿名性和开放性，谣言借助社交网络将会更容易进行传播[2] [3]。

对谣言的性质、特征以及信息传播的研究一直是一项重要的研究课题。探索复杂社交网络中的谣言扩散规律和特征，不仅可以加深对谣言传播的理解，而且可以为有效的谣言控制和溯源方法提供新思路[4]。

网络谣言传播过程的复杂性体现在多个方面，如网络结构的复杂性[5]、用户属性的多样性[6] [7]及传播机制的差异性[8]、环境的扰动性[9]等。异质性不仅表现为连边的数量不同，同时也体现在权重的差异上[10]。谣言的传播个体在接收到谣言并选择传播的过程中，往往存在着更为复杂的行为。不断演化的网络拓扑结构与越发复杂的信息传播机制，使得经典的信息传播理论无法很好地解释现实网络中所出现的一些规律和现象[11]。

网络谣言的传播过程中，用户的迁入迁出存在许多不确定性且网络拓扑结构会根据用户间的关系动态变化。因此，在经典模型的基础上，考虑谣言传播过程中的随机性，构建随机模型将帮助我们更好地理解实际网络中的谣言传播机制，进一步对谣言传播过程进行更有效的干预[12]，以实现对谣言传播更好的治理和管控。

由于谣言传播过程与传染病扩散过程的高度相似性，传染病模型常被应用于研究谣言传播规律。在SIR模型中，将系统的个体分为三种不同状态：S (Susceptible)是易感染状态，表示可以被病毒感染的健康个体；I (Infected)是感染状态，表示已经被病毒感染，并具备感染其他易感个体的能力；R (Removed)是免疫状态，表示已被免疫，不再被其他个体感染或者已经从系统中被移去[13]。

对于社交网络系统而言，加权网络能够对实际复杂网络的拓扑结构和网络特性提供更加准确和细致的描述，加权网络模型的引入将使我们对网络相关性质和网络动力学行为的讨论与分析更加准确[14]。Barrat、Barthélemy和Vespignani提出了一个经典的加权无标度网络模型，称为BBV模型[15]，该模型综合考虑了网络结构和节点的权重等因素来研究网络的动态演化情况。在真实网络中，一台主机的加入通常是只与同一域内的其他主机相连，据此，Qin等人[16]提出了新局域世界演化模型，模型中优先连接机制只在每个节点各自的局域世界(Local-World)中有效。

在网络上的传播动力学中，节点之间的连边所代表的重要性是不同的[17]，权重往往表示节点之间的亲密程度。刘继学[18]应用新的感染机制令病毒的感染概率和网络的连接权重正相关，采用SIR模型对病毒在WANG网络模型、BBV网络模型和ZHU网络模型三种加权网络模型中的传播动力学行为进行研究。张芹[19]利用SI、SIR病毒传播模型研究了BBV网络中权值增长系数对病毒传播的影响，结果表明，网络中权值增长系数较大时，病毒扩散时间变长，进而能够抑制病毒的传播。

此外，复杂社交网络会受到许多环境因素的影响，确定性模型往往无法准确地描述真实的传播性质，为此研究者们用高斯白噪声来描述环境因素对网络拓扑的扰动，建立随机微分方程模型来探讨噪声干扰下的谣言传播动力学过程[20] [21]。Zhu等人[22]考虑了连通性的变化，并将这种变化假设为噪声，利用标准布朗运动修正节点度来体现噪声干扰，提出了一种改进的SIR模型来研究谣言在复杂社会网络中的传播。Chai等人[23]综合考虑人口扰动和连通度变化的情况，建立了一个随机信息扩散模型，更加全面地研究了噪声扰动对模型的影响。

随机谣言传播模型以及加权网络中的确定性模型均已有了较为丰富的研究成果，但大部分研究还未考虑到加权网络中不确定因素对传播过程的影响。基于以上分析，本文考虑社交网络环境及用户都会受到影响，网络结构和用户数量都会随时间发生变化，因此，在谣言传播过程中引入随机噪声；同时针对个体间的差异性，以及不同个体间连接紧密程度不同，引入加权传播率，建立考虑加权传播率和随机干扰的谣言传播模型，并对此模型进行了传播动力学研究。

2. 考虑加权传播率和随机干扰的谣言传播模型

在复杂的社交网络中，个体选择传播谣言的传播率往往不能仅用一个常数来表示；复杂网络上的权重有不同的表现形式，对谣言传播而言，权重用来表示因接触而传播的强弱程度，由于网络中边的权值是不同的，为体现个体间的差异性，以及不同个体间连接紧密程度，考虑到边权值对边传播性的影响，在加权网络中，我们定义由传播节点传播到未知节点的传播率为：

${\lambda }_{ij}=\lambda \frac{\omega \left(i,j\right)}{U}$ (1)

其中，$\omega \left(i,j\right)$ 为度为k_i的节点i与度为k_j的节点j之间的边权值，$\omega \left(i,j\right)$ 值越大，通过边$\left(i,j\right)$ 的传播率就越大；$U$ 为节点连接的平均权重，可表示为$U=\Psi /k$ ；$\Psi$ 为节点强度；在加权网络中通常有$\Psi \left(k\right)\cong C{k}^{\beta }$ ，其中C与β均与网络拓扑结构有关；特别地，当边权与网络拓扑结构无关时，$\Psi \left(k\right)=\langle \omega \rangle k$ ，$\langle \omega \rangle$ 为边权平均值。在式(1)中，当网络为无权网络时，$\omega \left(i,j\right)/U=1$ ，传播率为常数λ，与经典SIR模型相同。

在初始时刻，网络中有N个节点。A为是出生率，代表每个时刻进入网络的S节点数量；η是自然死亡率，代表每个时刻离开网络的节点数量；用标准布朗运动${\dot{B}}_i\left(t\right)$ 表示噪声，用${\sigma }_i$ 表示噪声强度，死亡率可以表示为：

$\eta -{\sigma }_i{\dot{B}}_i\left(t\right)\left({\dot{B}}_i\left(t\right)<0\right)$ (2)

其中，i = 1，2，3分别对应S，I，R三种状态的节点。对于网络上的连接扰动，用加性噪声描述度k的变化[19]：

$k\to k+\theta {\dot{B}}_0\left(t\right)$ (3)

结合加权网络中节点强度与度的关系通常有${\displaystyle {\sum }_j{\omega }_{ij}}={\Psi }_i\left(k\right)\cong C{k}^{\beta }$ [24]，考虑用节点强度变化来刻画边权值变化：

(4)

${\dot{B}}_0\left(t\right)，{\dot{B}}_1\left(t\right)，{\dot{B}}_2\left(t\right)，{\dot{B}}_3\left(t\right)$ 是相互独立的标准布朗运动，$\theta ，{\sigma }_1，{\sigma }_2，{\sigma }_3$ 是噪声强度。当${\dot{B}}_i\left(t\right)>0，{\sigma }_i{\dot{B}}_i\left(t\right)$ 表示额外出生率，当${\dot{B}}_i\left(t\right)<0，{\sigma }_i{\dot{B}}_i\left(t\right)$ 表示额外死亡率。

Figure 1. SIR model state transition plot considering weighted propagation rate and random interference

图1. 考虑加权传播率和随机干扰的SIR模型状态转移图

图1为考虑加权传播率和随机干扰的谣言传播模型状态转移图。传播动力学定义为：在时刻$t$ ，每个$I$ 节点以加权传播率${\lambda }_{ij}$ 将谣言传递给相邻的$S$ 节点。同时，$I$ 节点以$\mu$ 的概率停止传播谣言成为$R$ 节点。在下一时刻$t+1$ ，信息将基于新的网络拓扑进行扩散。在异构网络中，以$S_i\left(t\right)$ ，$I_i\left(t\right)$ ，$R_i\left(t\right)$ ，$\left(i=1，2\cdots \text{n}\right)$ 表示$t$ 时刻各状态节点的数量；假设度相同的节点受相同的噪声影响，度不同的节点所受的噪声满足独立同分布的条件，类似文献[23]建立异构网络上的考虑加权传播率和随机干扰的谣言传播模型动力学方程如下：

(5)

其中表示$t$ 时刻任意一条边与度为j的传播者节点连接的概率。

综上，得到了异构网络中同时考虑加权传播率和随机干扰的SIR模型。

3. 理论推导

研究模型的动力学特性，下面将给出定理证明模型(5)存在全局唯一正解，并且推导谣言消亡条件。

3.1. 全局正解存在唯一性

定理3.1对任意初值$X\left(0\right)=\left(S_1\left(0\right),I_1\left(0\right),R_1\left(0\right)\cdots ,S_n\left(0\right),I_n\left(0\right),R_n\left(0\right)\right)$ ，系统(5)存在唯一解$X\left(t\right)=\left(S_1\left(t\right),I_1\left(t\right),R_1\left(t\right)\cdots ,S_n\left(t\right),I_n\left(t\right),R_n\left(t\right)\right)\left(t\ge 0\right)$ ，且以概率1位于${ℝ}_{+}^{3n}$ 中，即$X\left(t\right)\in {ℝ}_{+}^{3n}$ a.s.

证明由于系统(5)中的系数都是局部Lipschitz的，则对任意初值$X\left(0\right)\in {ℝ}_{+}^{3n}$ ，系统(5)在区间$\left[0,{\tau }_e\right)$ 上存在唯一局部解$X\left(t\right)$ ，其中${\tau }_e$ 是爆破时间。为证明$X\left(t\right)$ 是一个整体解，仅需证明${\tau }_e=\infty$ a.s.令正整数$m_0\ge 1$ 充分大，且使得$\left(S_i\left(0\right),I_i\left(0\right),R_i\left(0\right)\right)\in {\left[1/m_0,m_0\right]}^3,\left(i=1，2，\cdots ,n\right)$ 。对任意整数$m\ge m_0$ ，定义停时

${\tau }_m=\inf \left\{t\in \left[0,{\tau }_e\right):X_i\left(t\right)\notin \left(\frac{1}{m},m\right),i=1，2，\cdots ，n\right\}$ (6)

$\varnothing$ 表示空集，约定$\text{inf}\varnothing =\infty$ 。显然，$\left\{{\tau }_m\right\}$ 是单调递增数列。再令，对于$t\ge 0$ ，可以得到几乎处处有${\tau }_{\infty }\le {\tau }_{ϵ}$ 和$\left(S_i\left(0\right),I_i\left(0\right),R_i\left(0\right)\right)\in R_{+}^{3\text{n}}$ 。如果${\tau }_{\infty }=\infty$ ，则必有${\tau }_{ϵ}=\infty$ ；否则必存在一对常数$T>0$ 和$\epsilon \in \left(0,1\right)$ 使得$P\left\{{\tau }_{\infty }\le T\right\}>\epsilon$ 。因此，存在一个整数$m_1\ge m_0$ ，使得对任意的$m\ge m_1$ ，有$P\left\{{\tau }_m\le T\right\}\ge \epsilon$ 。

定义函数$V$ 如下：

$V\left(X\left(t\right)\right)={\displaystyle \sum }_{i=1}^n\left(\sqrt{S_i\left(t\right)}-\frac{1}{2}\ln S_i\left(t\right)+\sqrt{I_i\left(t\right)}-\frac{1}{2}\ln I_i\left(t\right)+\sqrt{R_i\left(t\right)}-\frac{1}{2}\ln R_i\left(t\right)-3\right)$ (7)

其非负性可以根据$\sqrt{u}-\frac{1}{2}\text{ln}u-1\ge 0，u>0$ 得到。应用Itô公式[25]，有：

(8)

其中

$LV={\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{1}{2}\left\{\begin{array}{l}\left(S_i^{-1}-S_i^{-\frac{1}{2}}\right)\left(A-\eta S_i-\frac{\lambda }{U}{S}_i{\displaystyle \sum _j{\omega }_{ij}{\Theta }_j}\right)+\left(I_i^{-\frac{1}{2}}-I_i^{-1}\right)\left(\frac{\lambda }{U}{S}_i{\displaystyle \sum _j{\omega }_{ij}{\Theta }_j-\left(\mu +\eta \right)I_i}\right)\\ +\left(R_i^{-\frac{1}{2}}-R_i^{-1}\right)\left(\mu I_i-\eta R_i\right)+\left(-\frac{1}{4}{S}_i^{-\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}{S}_i^{-2}\right)\left({\left(\frac{\lambda }{U}\left(\frac{\beta \theta }{k_i}\right)S_i{\displaystyle \sum _j{\omega }_{ij}{\Theta }_j}\right)}^2+{\sigma }_1^2{S}_i^2\right)\\ +\left(-\frac{1}{4}{I}_i^{-\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}{I}_i^{-2}\right)\left({\left(\frac{\lambda }{U}\left(\frac{\beta \theta }{k_i}\right)S_i{\displaystyle \sum _j{\omega }_{ij}{\Theta }_j}\right)}^2+{\sigma }_2^2{I}_i^2\right)+\left(-\frac{1}{4}{R}_i^{-\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}{R}_i^{-2}\right)\left({\sigma }_3^2{S}_i^2\right)\end{array}\right\}}$ (9)

是一个有界函数，不妨令$LV\le M$ ；再利用(8)得

(10)

其中，$\mathbb{E}$ 是期望算子。设${\text{Ω}}_m=\left\{{\tau }_m\le T\right\}，\forall m\ge m_1$ ，则$P\left({\text{Ω}}_m\right)\ge \epsilon$ 。因此，对每个$\omega \in {\text{Ω}}_m$ ，都存在i使得$S_i\left({\tau }_m,\omega \right)$ 、$I_i\left({\tau }_m,\omega \right)$ 和$R_i\left({\tau }_m,\omega \right)$ 三者中至少有一个等于$m$ 或者$1/m$ ，所以$V\left(X\left({\tau }_m,\omega \right)\right)$ 不小于

$\sqrt{m}-1\pm \frac{1}{2}\ln \left(m\right)$ 。

于是

$\begin{array}{rr}\hfill V\left(X\left({\tau }_m\right)\right)\ge & \hfill \text{min}\left\{\sqrt{m}-1-\frac{1}{2}\ln \left(m\right)，\sqrt{\frac{1}{m}}-1+\frac{1}{2}\ln \left(m\right)\right\}\\ \hfill & \hfill =A_m\end{array}$ (11)

结合(10)和(11)得

$V\left(X\left(0\right)\right)+MT\ge E\left[1_{{\text{Ω}}_m}V\left(X\left({\tau }_m,\omega \right)\right)\right]\ge \epsilon A_m$ (12)

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{c}V\left(X\left(0\right)\right)+MT\ge E\left[1_{{\text{Ω}}_m}V\left(X\left({\tau }_m,\omega \right)\right)\right]\ge \epsilon A_m\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}$ ,其中，$1_{{\text{Ω}}_m}$ 是${\text{Ω}}_m$ 的示性函数。然后令$m\to +\infty$ 得到$\infty >V\left(X\left(0\right)\right)+MT\ge +\infty$ 。矛盾，故${\tau }_{\infty }=\infty$ a.s.证毕。

从定理2.1可以看出，$S_i\left(t\right)，I_i\left(t\right)，R_i\left(t\right)$ 会以1的概率不在有限时间内爆发。这意味着已知某时刻三种状态的节点数量时，可以确定任意其他时刻各状态的节点数量。

3.2. 谣言消亡条件

定理3.2对任意初值$X\left(0\right)=\left(S_1\left(0\right),I_1\left(0\right),R_1\left(0\right)\cdots ,S_n\left(0\right),I_n\left(0\right),R_n\left(0\right)\right)\in {ℝ}_{+}^{3n}$ ，假设$X\left(t\right)=\left(S_1\left(t\right),I_1\left(t\right),R_1\left(t\right)\cdots ,S_n\left(t\right),I_n\left(t\right),R_n\left(t\right)\right)\left(t\ge 0\right)$ 是系统的一个正解，

则当$\frac{1}{2}{\left(\frac{k_i}{\beta \theta }\right)}^2-\left(\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+\mu +\eta \right)<0$ 时，有

$\underset{t\to \infty }{\lim }\sup \frac{\ln I_i\left(t\right)}{t}\le \frac{1}{2}{\left(\frac{k_i}{\beta \theta }\right)}^2-\left(\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+\mu +\eta \right)<0$ (13)

即对于每个$i\in \left[1,n\right]$ ，$I_i$ 均会以指数速度趋于0。

证明 定义函数V如下：

$V\left(I_i\left(t\right)\right)=\ln I_i\left(t\right)$ (14)

应用Itô公式[25]，有：

(15)

积分后为

$\begin{array}{c}\ln I_i\left(t\right)-\ln I_i\left(0\right)={\displaystyle {\int }_0^t\left[\frac{\lambda }{U}\frac{S_i}{I_i}{\displaystyle \sum _j{\omega }_{ij}{\Theta }_j-\frac{1}{2}{\left(\frac{\lambda }{U}\left(\frac{\beta \theta }{k_i}\right)\frac{S_i}{I_i}{\displaystyle \sum _j{\omega }_{ij}{\Theta }_j}\right)}^2}\right]}dt\\ -\left(\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+\mu +\eta \right)+{\displaystyle {\int }_0^t\frac{\lambda }{U}\left(\frac{\beta \theta }{k_i}\right)\frac{S_i}{I_i}}{\displaystyle \sum _j{\omega }_{ij}{\Theta }_{j}d{B}_0\left(\tau \right)}+{\displaystyle {\int }_0^t{\sigma }_{2}d{B}_2\left(\tau \right)}\\ \le \left(\frac{1}{2}{\left(\frac{k_i}{\beta \theta }\right)}^2-\left(\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+\mu +\eta \right)\right)t\\ +{\displaystyle {\int }_0^t\frac{\lambda }{U}}\left(\frac{\beta \theta }{k_i}\right)\frac{S_i}{I_i}{\displaystyle \sum _j{\omega }_{ij}{\Theta }_{j}d{B}_0\left(\tau \right)}+{\displaystyle {\int }_0^t{\sigma }_{2}d{B}_2\left(\tau \right)}\end{array}$ (16)

根据鞅的大数定律，可得和。于是：

(17)

证毕。

4. 仿真结果与分析

为了验证所提模型的合理性，分别在BBV网络和LW网络中利用蒙特卡洛方法进行仿真实验，为减小误差所有仿真结果均通过100次独立仿真实验取平均值，且在实验过程中设定1个随机的初始传播者节点。网络初始化条件均为当1个节点进入网络时会选择与6个节点进行连接，初始网络规模为1000个节点，LW网络中局域世界规模也为6；同时，系统中噪声为独立同分布的零均值高斯白噪声，初始参数设置为$\text{A}=10$ ，$\lambda =0.5$ ，$\mu =1$ ，$\eta =0.01$ ，$\theta =5$ ，$\sigma =0.01$ (满足定理3.2的条件)。

Figure 2. Changes in the topology of BBV networks under weak noise (θ = 1)

图2. 弱噪声(θ = 1)下BBV网络拓扑结构变化

Figure 3. Changes in the topology of BBV networks under strong noise (θ = 20)

图3. 强噪声(θ = 20)下BBV网络拓扑结构变化

为研究噪声对网络拓扑结构的影响，考虑到真实社交网络的特性，实验以BBV网络为对象。为便于统计分布情况，我们对节点强度进行向上取整；并且为便于观察分布情况，固定节点度与节点强度范围为0~200。图2分别展示了在经历1次、10次弱噪声($\theta =1$ )干扰下的BBV网络的拓扑结构演化趋势，可以发现经历一次弱噪声扰动后，度分布和强度分布均出现震荡；在经历多次弱噪声干扰后，度分布变得稀疏；并且明显发现度较小的节点数量明显减少，但整体依然近似满足幂律分布；同时观察到节点强度也有相同的变化趋势，并且出现多个局部峰值，幂律分布特性逐渐消失。这些现象表明即使弱噪声也会影响网络拓扑结构，对节点强度的影响更为显著。

图3分别展示了在经历1次、10次强噪声($\theta =20$ )干扰下的BBV网络的拓扑结构演化趋势，可以发现一次扰动后网络结构就发生了较大变化，度较小的节点明显减少，即强扰动为网络中的大部分节点都添加的新的连边；而度大于50的部分节点仍呈现幂律分布特性，与此同时网络节点强度分布完全改变，因此强噪声对网络拓扑结构有着更为显著的影响。

图4展示了分别经过10次强度不同噪声扰动后，节点强度与度的关系的变化(初始BBV网络中度与强度服从$\Psi \left(k\right)\cong \left(1+2\delta \right)k$ [18]，此处$\delta =2$ )，可以发现经过10次弱噪声扰动后度与强度仍呈现初始的相关性，但在强噪声干扰下相关性变得不显著，也印证了网络拓扑结构的变化。

Figure 4. Relationship between nodal degree and intensity after 10 diffusions under different noise intensities

图4. 不同噪声强度下扩散10次后节点度与强度的关系变化

图5(a)展示了SDE的数值解，可以发现，如果谣言开始扩散，传播者节点密度将快速增加，并随着扩散的进行在达到峰值后逐渐下降直至为零，系统到达稳定状态，与理论推导一致；图5(b)~(c)分别展示了在BBV网络以及LW网络中的仿真结果，其中系统的变化趋势与数值解结果基本一致；通过对比图5(b)与图5(c)可以发现，在LW网络中，峰值及最终密度都高于BBV网络，表明局域世界特性会加快谣言传播。

Figure 5. The evolution of rumor propagation in different networks

图5. 不同网络中谣言传播演化过程

考虑到加权传播率取决于边权值大小，即边权值分布越分散，传播率差异性越大。以BBV网络为例，在BBV网络中边权值同时受权值增长系数$\delta$ 以及噪声强度$\theta$ 的影响，通过观察传播者节点密度和免疫者节点密度变化，可以看出传播率变化对峰值密度及最终规模的影响，图6(a)展示了$\theta =0$ ，改变$\delta$ 大小时传播者节点密度变化情况，可以看到在扩散次数为4次时，传播者节点密度达到峰值，此时随着权值增长系数$\delta$ 的增大，传播者峰值密度总体呈现减小的趋势；图6(b)展示了$\theta =0$ ，改变$\delta$ 大小时免疫者节点密度变化情况，在扩散次数到达7次之后，扩散过程达到平稳状态，此时免疫者节点密度可视为谣言影响的规模，可以看到最终规模也随$\delta$ 增大而减小。

Figure 6. The effect of weighted propagation rate on the propagation process under different conditions

图6. 不同条件下加权传播率对传播过程的影响

由于噪声同时影响网络拓扑结构以及加权传播率，而这两者都对传播有影响，为研究噪声强度$\theta$ 对加权传播率的影响，固定权值增长系数$\delta =2$ 。图6(c)~(d)展示了传播率为常数时不同噪声强度$\theta$ 下的传播情况，在弱噪声下，噪声强度的变化对系统的影响并不显著。图6(e)~(f)为考虑加权传播率时不同噪声强度$\theta$ 下的传播情况，可以看到随着噪声强度$\theta$ 增大，峰值密度和最终规模都随之扩大，并且相较于固定传播率的情况下，变化更为明显。因此可认为考虑加权传播率和随机干扰的谣言传播模型对网络噪声干扰的敏感性更高。并且结合图2和图3可以理解为：网络扰动的加入使得网络中的节点不再符合幂律分布，无标度特性消失，网络各节点差异性变小，即边权值分布更加均匀；从而使得加权传播率差异变小，促进了谣言传播。在此意义下，可认为对于本文所提出的模型，在保证网络拓扑结构不出现剧烈变化的情况下，弱噪声的加入会加速谣言的传播。

5. 结束语

考虑到社交网络环境受不确定因素影响以及个体间传播行为的差异性，本文在SIR模型的基础上，建立了一个考虑加权传播率和随机干扰的谣言传播模型，并构建了该模型的随机微分方程，证明了全局正解存在唯一性及谣言消亡条件；利用蒙特卡洛方法在加权演化网络模型中进行了仿真实验，验证了理论推导的合理性；仿真实验结果表明局域世界特性会加速谣言传播，扩大谣言最终规模；传播率的异质性能够抑制谣言峰值和最终规模；在保证网络拓扑结构不出现剧烈变化的情况下，弱噪声的加入会加速谣言的传播。

复杂网络中的局域世界特性可以体现为社交网络中社群，社群的存在能够加速谣言的传播；与此同时，个体之间的受教育程度或者传播行为习惯的差异性，造成在谣言传播过程中不同的个体之间有着不同的传播率，其传播率差异越大，谣言传播速度以及最终规模都会越小；并且在网络环境受到小规模的干扰时，也会加速谣言的扩散。因此，保障网络空间的稳定性，以及促进不同社会属性的人群之间的社交，对抑制网络谣言传播有着重要意义。

基金项目

国家自然科学基金项目(62071248)。

NOTES

^*通讯作者。