《数值分析》思政示范课教学案例设计

Design of Teaching Cases for the Ideological and Political Education Demonstration Class of “Numerical Analysis”

摘要: 本文对《数值分析》思政示范课进行了设计。所设计案例将人生价值观、爱国主义、数学文化等教育贯穿于课堂教学中，使学生增长学识的同时知晓道理、塑造品格。同时，该设计还为《数值分析》后续教学内容的思政教学案例设计提供了参考，有利于思政教育融入《数值分析》教学的全过程，实现全方位育人。

Abstract: The ideological and political demonstration course of “Numerical Analysis” is designed. This case design enables students to increase their knowledge while knowing the truth and building character, which integrates life values, patriotism, mathematics culture. Meanwhile, the design also provides a reference for ideological and political teaching design in the subsequent teaching content of “Numerical Analysis”, which is conducive to the integration of ideological and political education into the whole process of “Numerical Analysis” teaching and the realization of all-round education.

1. 引言

现阶段，依据要求所有高校、教师、课程都应承担好育人责任，守好一段渠、种好责任田，使各类课程与思政课程同向同行，将显性教育和隐性教育相统一，形成协同效应，构建全员全程全方位育人大格局。因此，如何将思政教育融入各类课程，成为了各高校和教师关注的焦点。

数值分析也称计算方法、科学计算是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门课程，也是理工科高年级专业本科生和低年级研究生的必修课程。另一方面，数值分析课程主要讲授误差、插值与拟合、数值微分、常微分方程数值解法、线性方程组数值求解等内容，在诸多实际问题中有广泛的应用，如：核武器的研制、导弹的发射、飞行轨迹的预测、机翼设计和船体放样、金融计算、大气行为模拟、人工智能、机器学习等。因此，数值分析课程能更好地从各种实际应用中找到课程思政的融入点。目前已有诸多教师对思政教育融入数值分析教学进行了思考和探索。例如，闵杰等从七个方面将思政自然融入课程教学，展现了小课堂立德树人的大作为[1]。李梦霞等从塑造学生“三观”的角度出发，形成了“思政融入教学，教学体现科研”的教学理念[2]。路康亚等借助非线性方程(组)求根问题的牛顿迭代法，探讨新时代数值分析课程与思想政治教育的融合[3]。马俊杰总结了数值分析课程教学中的“分而治之”思想，并探讨了教学过程中该思想的应用[4]。高忠社将传统文化精髓、实践创新文化元素、励志文化故事等融入数值分析课程教学中，并通过三年教学数据展示了多元文化精髓融入教学后的成效[5]。

本文主要以黄淮学院数学与应用数学专业《数值分析》思政示范课为例，对《数值分析》课程第一课“引论，算法与误差”开展思政教学案例设计，力求在教学案例设计中达到“思政进课堂，育人细无声”，并着力将人生价值观教育、爱国主义教育、数学文化等教育贯穿于课堂教学的主渠道中，使学生增长学识、通晓道理、塑造品格。

2. 教学案例

案例主题：厚植爱国情怀弘扬数学文化——引论，算法与误差。

2.1. 设计理念

本案例思政内容融入的主要理念是根据课程多年教学经验，收集和提炼对应课程学习重要性、应用广泛性、秦九韶算法等知识点的思政案例，力求根据授课专业和课堂教学氛围开展不同的思政教育，并在授课过程中以隐性思政的功能，与显性思政一起产生合力，让学生通过学习，掌握事物发展规律，通晓天下道理，丰富学识，增长见识，塑造品格。在本案例常用算法讲解中涉及我国数学家秦九韶，并根据《数值分析》课程中的数值方法普遍以著名数学家来命名的特点，在思政案例收集中，丰富数学文化与课程思政的“触点”，推动课程教学与课程思政的融合发展。同时，针对课程开设专业示范特性，在本案例中充分挖掘了蕴含的德育元素和价值观元素，实现课程教学与德育的有机结合。

2.2. 思路和设计流程

以“感受数值计算的重要性(利用影视片段创设情境)–通晓数值计算的应用范围(采用图片或动图展示应用)–掌握数值计算中一些常用的算法(课件结合板书讲授常用算法)”为主线展开教学。在创设情境中，融入做人做事道理和人生价值追求教育；在展示应用教学中融入爱国主义教育，增强民族自豪感；在常用算法讲解中融入数学文化教育，提高学生的数学素养，并促使学生树立正确的价值观，实现数学学科的育人功能。

2.3. 思政教学目标

通过知识点融入思政教育，使学生在学会数学理论知识的同时，获得爱国主义教育，树立正确的人生价值观，并受到数学文化的熏陶。同时，在思政融入课程教学过程中力求做到：1) 能够使学生自然接受；2) 能够引起学生的共鸣；3) 能够有效地激励学生产生学习内动力；4) 能够有效促进学生对课程知识的理解、掌握、拓展和深化。

2.4. 案例意义

数值分析课程第一节课主要讲授数值分析学习的重要性，其重要性主要反映在数值分析应用的广泛性和数值分析中算法的选择的重要性。本案例利用影片《横空出世》映射数值分析学习的重要性，通过老一辈科研工作者研制第一颗原子弹艰辛对学生进行做人做事道理和人生价值追求教育。数值分析的应用范围主要有：核武器的研制、导弹的发射、飞行轨迹的预测、机翼设计和船体放样、金融计算、大气行为模拟、人工智能、机器学习等。在讲授应用范围的广泛性时，可以借“机翼设计和船体放样”引申指出我国“嫦娥四号”探测器成功实施人类航天器首次着陆月球背面探测，“蛟龙号”载人潜水器已经在大海深处创造了下潜7062米的中国载人深潜纪录，进而展示现阶段国家的发展速度，增强民族自豪感，并进行爱国主义元素教育。

在算法选择的重要性讲解中，可以选择多项式求值来进行讲授，在讲解时指出常规运算计算量大，运算速度慢。为了解决这一问题引出经典案例—秦九韶算法，并介绍秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，其代表作《九章算术》标志着世界数学在中世纪达到的最高水平，潜移默化开展数学文化教育。

2.5. 案例具体实施

1) 创设情境，感受数值计算的重要性(回顾老一辈科研工作者不屈不挠的精神和坚韧的意志，用时7分钟左右)。

讲(1分钟)：科学技术的发展提出大量复杂的数值计算问题，这些问题的解决必须依靠电子计算机。例如：利用Cramer法则计算$n$ 阶线性方程组，我们需要$n!\left(n-1\right)\left(n+1\right)$ 次乘法，当$n=7$ 时，大约需要24万次乘法运算，如果不借助计算机，这个计算是巨量的。

2) 借助图片或动图并结合实际应用案例，展现数值计算应用的广泛性(融入爱国主义教育，用时17分钟左右)。

问：同学们，刚才观看了影片，知晓了数值计算的重要性。那么，数值计算除了在核弹研制方面的应用外，还在哪些方面有应用呢？

答：老师，我们上学期学了《数学建模》这门课，我觉得课程中模型的原型都有数值分析应用的痕迹。

讲：这位同学回答得非常好，你已经找到了《数值分析》课程和《数学建模》课程之间的关联。事实上，数值分析的应用范围非常广泛。比如：核武器的研制、导弹的发射、飞行轨迹的预测、机翼设计和船体放样、金融计算、大气行为模拟、人工智能、机器学习等。下面选其中一项应用进行简要介绍。

应用：飞机下轮廓线条模拟(见表1)，已知飞机下轮廓线上数据如下，求X每改变0.1时的Y值。

Table 1. Outline lines and key data points under the aircraft

表1. 飞机下轮廓线条与关键数据点

X	0	3	5	7	9	11	12	13	14	15
Y	0	1.2	1.7	2.0	2.1	2.0	1.8	1.2	1.0	1.6

讲：通过后续第一章中数据拟合的学习，我们可以借助Matlab编写程序，完成飞机下轮廓线条的模拟。

$x=\left[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15\right];$

$y=\left[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6\right];$

$x1=0:0.1:15;$

$y1=\text{interp}1\left(x,y,x1,‘\text{spline}’\right);$

subplot(1,2,1); scatter(x,y);

subplot(1,2,2); plot(x1,y1)

(在应用案例讲解完毕后，随即开展思政融入环节：增强民族自豪感及爱国主义元素教育)

讲：同学们，通过上面的讲解可以清晰地看到数值计算的应用。事实上，在“机翼设计和船体放样”等领域，我国的研究已经走在世界的前列。比如：2019年1月，嫦娥四号探测器成功着陆在月球背面艾特肯盆地冯·卡门撞击坑，在“鹊桥”号中继星的支持下，嫦娥四号着陆器与“玉兔二号”巡视器分别开展了就位探测和巡视勘察。目前，嫦娥四号在月球背面的工作时长已超过300天，远超设计寿命；“玉兔二号”巡视器克服各项障碍，行驶里程也已超过300米，实现“双三百”突破。2020年12月17日凌晨，在经历23天惊心动魄的太空之旅后，嫦娥五号怀揣来自月球的岩石和土壤返回地球，稳稳着陆于内蒙古四子王旗，我国首次月面自动采样任务取得圆满成功。我国探月工程也完成了“绕、落、回”三步走战略规划的最后一步。

又如：2012年6月27日11点47分，在西太平洋马里亚纳海沟，我国自行设计、自主集成研制的“蛟龙”号载人深潜器创造了下潜7062米的世界深潜纪录，从此为中国人进入深海世界打开了大门。至此，中国是继美、法、俄、日之后世界上第五个掌握大深度载人深潜技术的国家，下潜至7000米，意味着“蛟龙”号将可在世界海洋面积99.8％的海域使用，对我国开发利用深海资源有重要的意义。“蛟龙”号不只是一个深海装备，更代表了一种不畏艰险、赶超世界的精神，它吹响了中华民族进军深海的号角。

上面两个案例正是“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”的写照，也是中国人世世代代的梦想。嫦娥五号代表人类时隔40多年后再次完成月球“挖土”的壮举，点亮着航天人无数个不眠之夜，折射出中国创新的熠熠生辉，也激荡起每一个中国人内心油然而生的自豪。“蛟龙”号载人深潜器对于拥有300多万平方公里“蓝色国土”的中国来说，具备深海探测能力，意义不言而喻。

3) 结合课件和板书，讲授多项式数值算法(融入数学文化教育，用时25分钟左右)。

讲：通过刚才应用案例的讲解，同学们可以发现数值问题最终要通过计算机进行计算，那么一个算法的好坏除了依赖于算法的简洁性外，还主要看算法运算的速度，也即看一个算法中乘法的多少？下面请同学们分组讨论下面一个问题需要多少步乘法运算？是否在保证运算出结果的前提下，尽量减少乘法运算？

(分组讨论8分钟，在分组讨论时，关注各组讨论的进度，并进行引导)

例：计算多项式$P_n\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ 的值。

讲：各位同学时间到，哪一组愿意分享讨论的结果？

答：老师，我们直接计算每一项再求和，发现：计算$a_k{x}^k$ 需要作$k$ 次乘法，因此，计算$P_n\left(x\right)$ 值就需要作：$n+\left(n-1\right)+\cdots 2+1=n\left(n\text{+}1\right)/2$ 次乘法运算及$n$ 次加法。

讲：当$n$ 比较小时，计算量不是很大，计算机可以运行出来结果。但当$n$ 较大时，计算速度会很慢，甚至可能造成计算机的死机。因此，我们需要尽可能的降低乘法运算，提升计算速度。那么其他小组是否有方法降低乘法运算次数吗？

答：老师，我们发现多项式$P_n\left(x\right)$ 和$P_{n-1}\left(x\right)$ 有一定的关系，在计算出$P_{n-1}\left(x\right)$ 后只需再加二次乘法就能得到$P_n\left(x\right)$ 。按照这个规律应该只要$2n$ 次乘法就可以了。

讲：你们讲得非常好，所用的方法实际上就是多项式求值的迭代法。下面我们来进行具体学习。

一种看起来很“自然”的算法是直接逐项求和。我们用$t_k$ 表示$x$ 的$k$ 次幂，$u_k$ 表示$P_n\left(x\right)$ 右端前$k+1$ 项的部分和，可以得到

$\{\begin{array}{l}{t}_k=x^k\\ u_k=a_0+a_{1}x+\cdots +a_k{x}^k\end{array}$

进而

$\{\begin{array}{l}{t}_k=x\cdot t_{k-1},\\ u_k=u_{k-1}+a_k{t}_k,\end{array}k=1,2,\cdots ,n$

作为初值，令

$\{\begin{array}{l}{t}_0=1\\ u_0=a_0\end{array}$

利用初值对$k=1,2,\cdots$ ，直到$n$ 反复计算，最终得出$u_n$ 就是所求值$P_n\left(x\right)$ 。

统计上述算法的计算量。加减操作的机器运行时间比乘除操作少得多，在统计计算量时，可忽略加减法，而只统计乘除法的次数。递推公式的每一步需做两次乘法，因此总的计算量为$2n$ 次乘法。

讲：那么多项式求值的迭代法是不是最快的方法吗？实际上，早在明代，秦九韶就给出了一种更快的算法。下面，我们来学习秦九韶的做法。

$P_n\left(x\right)=\left(\left(\cdots \left(a_{n}x+a_{n-1}\right)x+a_{n-2}\right)x+\cdots +a_1\right)x+a_0$

递推公式：

$\{\begin{array}{l}{S}_n=a_n\\ S_{k-1}=x\cdot S_k+a_{k-1},\left(k=n,n-1,\cdots ,2,1\right)\end{array}$

则$S_0=P_n\left(x\right)$ 。

采用秦九韶算法计算$P_n\left(x\right)$ 值只需作$n$ 次加法运算。

讲：通过上面的学习，可以总结为：秦九韶算法是一种将一元$n$ 次多项式的求值问题转化为$n$ 个一次式的算法。其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法。在西方被称作霍纳算法，是以英国数学家霍纳命名的(晚于中国近五百年)。

(由此处自然引出秦九韶个人简介，并进行数学文化教育)

秦九韶是我国古代数学家的杰出代表之一，他的《九章算术》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，尤其是系统总结和发展了高次方程的数值解法与一次同余问题的解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”。对数学发展产生了广泛的影响。秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的科学家，他被国外科学史家称为是“他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。这也说明《九章算术》标志着世界数学在中世纪达到的最高水平，可见当时中国数学研究水平之高。但同时我们也发现：进入近代以来我国数学逐渐处于落后状态，《数值分析》课程中很多算法都是以近现代的外国科学家命名的事实就足以说明这一点。所以，大家不能停留在过去，要奋发学习，攀登数学高峰，努力赶超外国先进科学与技术。

3. 算法与误差教学反馈与改进

授课完成后，通过与学生交流，发现学生充分认可了数值分析课程学习的重要性，并感受到了数值分析应用的广泛性，学生们也都表示这门课应用性强，学习兴趣高。但学生也反馈了一些问题：

1) 问题引入不新颖，无法引起学生的足够关注。

2) 课程讲授中应用案例多，但只详细讲解了一个案例，听完后只知道应用的广泛性，但具体怎么应用的不太清楚。希望其他应用案例最好也详细讲解，或有学生自己从案例中选择具体详解讲解哪个应用案例。

针对学生反馈的问题，课程教学小组开会研讨，并制定改进方案：

1) 深入挖掘章节案例，提供学生敢兴趣的实际问题，利用课前安排学生利用观看与教学相关的视频、课件、案例等，使学生在课前已经具备一些知识储备，并节省课堂教学时间。

2) 开展网络资源建设，开发各章节案例库，录制各知识点教学短视频，收集各章节和各知识点习题库，上传数值分析研究方向的数学家、数学故事。使学生充分利用网络资源充足。

4. 经验介绍

作为数值分析课程第一课，算法与误差思政教学案例设计在授课中体现了爱国主义、人生价值观、数学文化等多方面的教育。教学团队经过多年课程思政教学改革，取得了一些可喜的成效，总结了一些可行的举措，具体总结如下。

1、结合学生专业凝练思政教学案例

课程思政建设的基础思政教学案例的设计，为了能使思政完美融入课程教学，拒绝生搬硬套，课程团队力求根据各专业的特点做好每堂课的教学设计和实施，深入挖掘专业中数学概念、符号、公式、方法、定理中的思政元素，找到合适的教学内容切入点，注重专业知识点与思政育人的自然融合。

2、传统板书与现代传媒技术融合教学

针对课程实践性的特点，课程背景知识的讲解、数值方法的几何意义以及计算实例的程序演示需要用多媒体教学，给学生直观而生动的效果。例如，在讲非线性方程的Newton法时，用动画演示Newton法的迭代过程；用Matlab作图来区别单根和重根的情形，使学生直接发现用Newton法求单根和重根的收敛速度是不一样的。其次，鉴于数学课程理论性强、推导过程复杂等特点，对重要的公式推导、理论分析等，采用传统的用板书讲解的方式，以加深学生对知识要点的理解。

3、开展拓展性课题研究性学习

在授课临近结束，设置多个拓展性课题，部分内容超出了教材范围，由学生根据教学进度在不同周分组研究完成。每组学生抽签选择1道题目。学生需要根据题目要求，自行查找资料、归纳总结知识点、动手做实验进行验证等。在所有教学内容完成后，在课堂上每组随机抽取一位学生代表做10分钟左右的汇报演讲(每次课3组学生答辩)，剩余时间由所有同学提问、答辩，汇总答辩时间6学时，教师课后评价记分(团队分)。这种方法目的在于引导学生能科学地分析问题和解决问题，充分锻炼学生自主学习与钻研的能力、撰写科学研究报告的能力、口头表达能力、以及团队合作与沟通能力等。

4、开展多元学习成效评价

传统成效评价多在课程教学结束，多注重知识点掌握的考核，无法体现学生对所学知识的应用能力。课程团队采用课堂独立抢答、课堂分组讨论、章节作业、实验报告、拓展性课题展示、考勤、期终测试等七个关键点开展评价，及时关注到学生在学习过程中的成长与进步，让学生主动参与课堂，成为主体，在学习的过程中锻炼能力。

5. 总结

在高校各专业开设的课程中融入思政教育是教育工作者义不容辞的责任。目前，数值分析课程思政教学还没有形成统一框架。因此，作为《数值分析》课程的第一堂课，本案例首先按照教育部《高等学校课程思政建设指导纲要》做好顶层设计，然后从课程教学目标、教学内容和教学策略等方面设计教学案例，让《数值分析》课程思政理念深入人心、并力求形成可复制、可推广的方案。

基金项目

河南省自然科学基金(242300421392, 242300420649)；河南省高等学校青年骨干教师培养计划(2021GGJS158)；河南省高等学校重点科研项目计划支持(23B110012)；河南省本科高校2023年课程思政建设项目；河南省职业教育和继续教育课程思政建设项目；黄淮学院国家级科研项目培育基金项目(XKPY-2022013)，黄淮学院课程思政样板课程建设项目。