基于“扬帆远航”模型的帆船路径动态调整策略研究

Research on Dynamic Adjustment Strategy of Sailing Path Based on the Model of “Sailing Far Away”

摘要: 本文基于第五版《数学模型》第二章第九节“扬帆远航”模型，探究帆船在航行过程中如何调整航向和帆的朝向以实现最快速度到达终点。首先分析了帆船在东北和东南两个方向上受到风力的作用，并建立相应的数学模型描述航向、帆的朝向与帆船速度之间的关系。其次，求解了东北和东南方向最优的航向和帆的朝向，同时通过数值计算建立了航向和帆的朝向与帆船转东南方向夹角之间的关系。最后，确定了该夹角的取值范围及使帆船到达终点用时最少的最优夹角。

Abstract: This article is based on the “Sailing Far Away” model in Section 9 of Chapter 2 of the fifth edition of “Mathematical Models”, exploring how sailboat adjusts its heading and sail orientation during navigation to achieve the fastest speed to reach the destination. Firstly, it analyzes the effect of wind on sailboat in the northeast and southeast directions and establishes corresponding mathematical models to describe the relationship between heading, sail orientation and boat speed. Secondly, the optimal heading and sail orientation in the northeast and southeast directions were solved, and establishes the relationship between heading, sail orientation, and the angle at which the boat turns towards the southeast direction through numerical calculations. Finally, it defines the range of the angle and identifies the optimal angle that minimizes the time for the sailboat to reach the destination.

1. 引言

海面上东风劲吹，一艘帆船计划从A点驶向正东方向的B点，如图1所示。为实现该目标，帆船应先朝东北方向前进，再转东南方向行驶。文献[1]得到了帆船启航时的航向θ以及帆的朝向α。文献[2]考虑风速以及浪高满足函数关系时，建立了航行时间最少的目标函数，借助拉格朗日函数和欧拉方程确定最佳航行路线。文献[3]运用多维动态规划法研究无人帆船的路径，从而找到了一条随着路径总长度变化而航行时间最短的路径。文献[4]研究风帆攻角操纵策略对帆船回转直径的作用规律。文献[5]中“扬帆远航”模型主要讨论了帆船在起点A处静止状态下建立了东北方向的帆船速度模型，并对该模型进行求解得到了最优航向θ及帆的朝向α。值得注意的是该模型中当帆船启航后，终点B将不在位于船的正东方，此时所确定的航向及帆的朝向不再是最优的角度。因此，本文基于“扬帆远航”模型，重点讨论帆船启航后如何动态调整其航向与帆的朝向，使得帆船尽快到达终点B。

Figure 1. Sailing schematic diagram

图1. 帆船航行示意图

如图1所示，令帆船与终点B连线和正西方向的夹角为β。本文构建了帆船启航以后航行速度的数学模型并对其进行求解，界定了夹角β的合理取值范围以及使帆船到达B点用时最短的β值。与“扬帆远航”模型比较，本文的创新点体现在以下三个方面：1) 研究了帆船运动过程中航向和帆的朝向的动态调整问题，在东北和东南两个方向分别建立了帆船速度模型；2) 求出了与夹角β相关的最优航向和帆的朝向，这表明最佳航向和帆的朝向会随着夹角β的变大而变化；3) 得到了航向和帆的朝向与夹角β之间的关系，同时求解了该夹角的最大值和最小值且在该范围内β取何值时帆船抵达B点的时间最短。

2. 问题分析

为了建立帆船速度模型，需要进行船体和帆的受力分析。帆船航行时，不仅受到风作用于帆面产生的推力，还会受到风直接吹向船体产生的阻力。本节将重点探讨帆船在东北和东南两个方向航行时所受的力，通过对推力和阻力的合理简化分解，明确识别出对帆船前进方向产生影响的力。

首先，分析帆船朝东北方向行驶中的受力情况，如图2所示。设风通过帆产生的推力为$w=w_1+w_2$ ，其中$w_1$ 为垂直于帆的力，$w_2$ 为平行于帆的力。$w_1$ 又可以分解为$w_1=f_1+f_2$ ，其中$f_1$ 为风在航向的推力，$f_2$ 为垂直于船体的力。设风通过船体产生的阻力为$p=p_1+p_2$ ，其中$p_1$ 为风在航向的阻力，$p_2$ 为垂直于船体的力。帆船在前进方向上受到的净推力为$f=f_1-p_1$ 。帆船速度不大时，航速与净推力成正比。确定航向θ和帆的朝向α使得帆船的净推力f朝向终点B的分力达到最大。

Figure 2. Stress analysis diagram in the northeast direction

图2. 东北方向受力分析图

其次，分析帆船转东南方向以后的受力情况，如图3所示。此时，风通过帆产生的推力为$w={w^{\prime }}_1+{w^{\prime }}_2$ ，${w^{\prime }}_1$ 又可以分解为${w^{\prime }}_1={f^{\prime }}_1+{f^{\prime }}_2$ 。风通过船体产生的阻力为$p={p^{\prime }}_1+{p^{\prime }}_2$ ，因此帆船在东南方向的净推力为$f^{\prime }={f^{\prime }}_1-{p^{\prime }}_1$ ，其中${f^{\prime }}_1,{f^{\prime }}_2$ 和${p^{\prime }}_1,{p^{\prime }}_2$ 与东北方向受力分析有相同的定义。

为了建立速度模型，本文还有如下的模型假设：

1) 令帆和船的迎风面积分别为$s_1$ 和$s_2$ 。风的推力w与$s_1$ 成正比，风的阻力p与$s_2$ 成正比，比例系数相同，记为k，且$s_1$ 远大于$s_2$ ；

2) 分力$w_2$ 与帆面平行，可以忽略不计，分力$f_2$ 和$p_2$ 与船身垂直，不予考虑；

Figure 3. Stress analysis diagram in the southeast direction

图3. 东南方向受力分析图

3) 航速v与净推力f同向且成正比，比例系数为$k_1$ ；

4) 帆船在行驶中风力不变，海面静止状态。

3. 模型建立

根据问题分析中多个力之间的关系和模型假设，分别建立东北方向和东南方向航行速度v和$v^{\prime }$ 的数学模型。首先，由假设1得到风的推力与阻力分别为

$w=k{s}_1,p=k{s}_2.$ (1)

由帆船东北方向受力分析得到

$f_1=w_1\sin \alpha =w\sin \left(\theta -\alpha \right)\sin \alpha$ ，(2)

和

$p_1=p\cos \theta$ ，(3)

再由假设3得到，帆船东北方向的速度模型为

$v=k_1\left(f_1-p_1\right).$ (4)

帆船朝向终点B的速度分量记为$v_1$ ，则

$v_1=k_1\left(f_1-p_1\right)\cos \left(\theta +\beta \right).$ (5)

当帆船启航后，随着β的变化需要不断的调整θ和α使得$v_1$ 最大。从(5)式可以看出，文献[1]中“扬帆远航”模型是本文模型中$\beta =0^{°}$ 时的特殊情形。

其次，帆船转东南方向后直接朝向终点B直线行驶，此时帆船的速度最大。因此，帆船东南方向的速度模型为

$v^{\prime }=k_1\left({f^{\prime }}_1-{p^{\prime }}_1\right)$ ，(6)

其中${f^{\prime }}_1={w^{\prime }}_1\sin \gamma =w\sin \left(\beta -\gamma \right)\sin \gamma$ ，${p^{\prime }}_1=p\cos \beta$ ，γ为东南方向上帆的朝向。此时只需确定β和γ使得$v^{\prime }$ 最大即可。

4. 模型求解

本节主要求解帆船东北方向航行速度分量模型(5)和东南方向航行速度模型(6)，同时建立夹角β与航向θ和帆的朝向α之间的关系。随后，求解帆船转东南方向夹角β的范围，并确定在该范围内β取何值时帆船达到终点B的时间最短。

4.1. 两个模型的求解

本文设定帆船到达任意位置时夹角β可以测量，这也比较符合实际情况。在东北方向，当β固定时确定θ和α使得$v_1$ 最大的问题是一个二元函数求极值问题。从等式(3)和(5)可知，$p_1$ 与α无关，因此只需在θ固定时使$f_1$ 最大，解出α，再求θ使$v_1$ 最大。由等式(2)得到，$f_1$ 可化为

$f_1=\frac{w}{2}\left[\cos \left(\theta -2\alpha \right)-\cos \theta \right]$ ，(7)

利用微分法可以求出$\theta =2\alpha$ 时$f_1$ 最大，记为$f_{\max }=\frac{w}{2}\left(1-\cos \theta \right)$ 。

将$f_{\max }$ 和$p_1$ 代入(5)式得到

$v_1=k_1\left[w\left(1-\cos \theta \right)/2-p\cos \theta \right]\cos \left(\theta +\beta \right)=\left(k_{1}w/2\right)\left[1-\left(1+2p/w\right)\cos \theta \right]\cos \left(\theta +\beta \right)，$ (8)

记$k_2=k_{1}w/2$ ，$k_3=1+2p/w=1+2s_2/s_1$ ，则(8)式变为

$v_1=k_2\left(1-k_3\cos \theta \right)\cos \left(\theta +\beta \right).$ (9)

通过$\frac{\text{d}{v}_1}{\text{d}\theta }=0$ 可以求出

$k_3\sin \left(2\theta +\beta \right)=\sin \left(\theta +\beta \right)$ ，(10)

这里用到了两角和公式$\sin \left(2\theta +\beta \right)=\sin \theta \cos \left(\theta +\beta \right)+\cos \theta \sin \left(\theta +\beta \right)$ 。(10)式表明，只要确定β值，按(10)式确定最优θ使得$v_1$ 取最大值。

在东南方向，确定β和γ使得$v^{\prime }$ 最大的问题仍然是一个二元函数求极值问题。同理，先固定β使${f^{\prime }}_1$ 最大，解出γ，再求β使$v^{\prime }$ 最大。因此与(7)式相同方法得到当$\gamma =\beta /2$ 时${f^{\prime }}_1$ 最大，记为${f^{\prime }}_{\max }=w\left(1-\cos \beta \right)/2$ 。

将${f^{\prime }}_{\max }$ 和${p^{\prime }}_1$ 代入(6)式得到

$\begin{array}{l}{v}^{\prime }=k_1\left[w\left(1-\cos \beta \right)/2-p\cos \beta \right]\\ =\left(k_{1}w/2\right)\left[1-\left(1+2p/w\right)\cos \beta \right]\\ =k_2\left(1-k_3\cos \beta \right).\end{array}$ (11)

对(11)式求关于β的导数得到

$\frac{\text{d}{v}^{\prime }}{\text{d}\beta }=k_2{k}_3\sin \beta >0$ ，(12)

其中$\beta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 。这说明航速$v^{\prime }$ 是一个递增函数，β越大速度$v^{\prime }$ 越大。接下来，利用(10)式求出θ值，并利用数值拟合方法求出θ与β之间的关系。

4.2. 航向θ与夹角β之间的关系

当β固定时，通过(10)式求出最优的航向θ是一个非常繁琐的过程。如果能够建立航向θ与夹角β之间

Figure 4. Schematic diagram of functions on the left and right sides of equation (10)

图4. (10)式左侧和右侧函数示意图

的一种简单关系，在帆船调整航向时会起到事半功倍的效果。令(10)式左侧和右侧部分分别设为两个函数$y_1=k_3\sin \left(2\theta +\beta \right)$ 和$y_2=\sin \left(\theta +\beta \right)$ ，其中$k_3=1+2s_2/s_1$ 。由假设1可知$s_1$ 远大于$s_2$ ，不妨取$s_2/s_1=1/10$ ，则$k_3=1.2$ 。当β取固定值时可以求出使两个函数值相等的θ。如图4所示，当$\beta =5^{°}$ 时，对应的$\theta \approx {62}^{°}$ 。当β取$0^{°},5^{°},\cdots {55}^{°}$ 时求出使(10)式成立的θ，再利用$\theta =2\alpha$ 的关系求出对应的α，并把这些数据记录在表1中。

Table 1. Data of sail direction θ, sail orientation α and angle β

表1. 航向θ，帆的朝向α以及夹角β的数据

序号i	${\beta }_i$ 值	${\theta }_i$ 值	${\alpha }_i$ 值
1	0˚	65˚	32.5˚
2	5˚	62˚	31˚
3	10˚	59˚	29.5˚
4	15˚	56˚	28˚
5	20˚	53˚	26.5˚
6	25˚	50˚	25˚
7	30˚	47˚	23.5˚
8	35˚	44˚	22˚
9	40˚	41˚	20.5˚
10	45˚	38˚	19˚
11	50˚	35˚	17.5˚
12	55˚	32˚	16˚

如图5所示，通过表1数据进行线性拟合得到航向θ与夹角β之间的线性关系为

$\theta =-\frac{3}{5}\beta +{65}^{°}$ ，(13)

再由$\alpha =\frac{1}{2}\theta$ 确定帆的朝向与夹角β之间的关系。

Figure 5. The relation diagram between sail direction θ and angle β

图5. 航向θ与夹角β之间的关系图

4.3. 帆船转东南方向夹角β的讨论

本节首先讨论帆船转东南方向夹角β的最大值和最小值问题。由(10)式确定的航向θ以及帆的朝向α使帆船东北方向航速$v=k_2\left(1-k_3\cos \theta \right)$ 最大。为了使航速$v>0$ ，必须满足$f_{\max }>p_1$ ，即

$\frac{w}{2}\left(1-\cos \theta \right)>p\cos \theta$ ，(14)

进一步得到

$\cos \theta <\frac{1}{\frac{2p}{w}+1}=\frac{1}{\frac{2s_2}{s_1}+1}.$ (15)

当取$s_2/s_1=1/10$ 时得到$\cos \theta <0.8333$ ，即$\theta >{33}^{°}$ 。由关系式(13)得到$\beta <{53}^{°}$ ，这表明当夹角β接近${53}^{°}$ 时帆船必须转东南方向。同理，使东南方向航速$v^{\prime }>0$ ，必须满足

$\cos \beta <\frac{1}{\frac{2s_2}{s_1}+1}$ ，(16)

当取$s_2/s_1=1/10$ 时确定$\beta >{33}^{°}$ ，这说明夹角β至少大于${33}^{°}$ 时帆船才可以转东南方向。由(13)、(15)和(16)式可知，只需知道帆和船的迎风面积比例，即可确定夹角β的范围。

接下来确定帆船何时转东南方向使其到达终点B的航行时间最短。如图6所示，$A_i$ 表示β取某个值时帆船的位置，帆船东北方向的每段航行距离记为$\Delta y_i$ ，用实线表示，帆船位置到终点B的距离记为$\Delta x_i$ ，用虚线表示。根据表1的数据可知，当β取$0^{°},5^{°},\cdots {55}^{°}$ ，$\Delta x_1=10$ ，$\Delta y_1=0$ 时，利用正弦定理求出三角形$A_{1}B{A}_2$ 中其它两个边的长度，即$\Delta x_2=9.6447$ ，$\Delta y_2=0.9277$ 。再利用$\Delta x_2$ 求出三角形$A_{2}B{A}_3$ 的其它两个边的长度$\Delta x_3$ 和$\Delta y_3$ 。以此类推，求出所有的$\Delta x_i$ 和$\Delta y_i$ ，$i=1,2,\cdots ,12$ ，这些数据记录在表2中。

Figure 6. Schematic diagram of sailing distance

图6. 航行距离示意图

为了计算帆船的航行时间，需要求出当β取$0^{°},5^{°},\cdots {55}^{°}$ 时帆船东北和东南方向的最大速度。帆船在东北方向每段航行最大速度记为$v_i$ ，东南方向最大速度记为${v^{\prime }}_i$ 。两个速度分别由(10)和(11)式求出，这里不妨取$k_2=3$ ，求出的速度记录在表2中，负值表示帆船无法前进。帆船在东北方向每段航行距离所用时间记为$t_i=\Delta y_{i+1}/v_i,i=1,2,\cdots ,11$ ，东南方向每个航线所用时间记为${t^{\prime }}_i=\Delta x_i/{v^{\prime }}_i,i=1,2,\cdots ,12$ ，所有结果仍记录在表2中，横线表示负速度对应的时间，可以忽略。

在β的取值范围${33}^{°}<\beta <{53}^{°}$ 内，由表2最后两列时间数据分别计算出帆船在$\beta ={35}^{°},{40}^{°},{45}^{°},{50}^{°}$ 时转东南方向到达终点B所用时间。当$\beta ={35}^{°}$ 时，帆船在$A_8$ 的位置转东南方向到达B点的时间为$t={t^{\prime }}_8=\text{163}\text{.2762}$ ；当$\beta ={40}^{°}$ 时，帆船在$A_9$ 的位置再转东南方向所用时间为$t=t_8+{t^{\prime }}_9=\text{35}\text{.7448}$ ；当

Table 2. Path length, velocity and time in the northeast and southeast directions

表2. 东北和东南方向路径长度、速度和时间

序号i	帆船位置	${\beta }_i$	$\Delta x_i$	$\Delta y_i$	$v_i$	${v^{\prime }}_i$	$t_i$	${t^{\prime }}_i$
1	A1	0˚	10	0	1.4786	−0.6000	0.6273	—
2	A2	5˚	9.6447	0.9277	1.3099	−0.5863	0.6747	—
3	A3	10˚	9.3349	0.8838	1.1459	−0.5453	0.7386	—
4	A4	15˚	9.0661	0.8464	0.9869	−0.4773	0.8252	—
5	A5	20˚	8.8346	0.8144	0.8335	−0.3829	0.9445	—
6	A6	25˚	8.6373	0.7872	0.6860	−0.2627	1.1143	—
7	A7	30˚	8.4717	0.7644	0.5448	−0.1177	1.3686	—
8	A8	35˚	8.3357	0.7456	0.4104	0.0511	1.7801	163.2762
9	A9	40˚	8.2276	0.7305	0.2830	0.2422	2.5396	33.9647
10	A10	45˚	8.1462	0.7188	0.1632	0.4544	4.3541	17.9267
11	A11	50˚	8.0904	0.7104	0.0511	0.6860	13.8117	11.7941
12	A12	55˚	8.0596	0.7051	−0.0530	0.9351	—	8.6187

$\beta ={45}^{°}$ 时，帆船先后到达$A_9$ 和$A_{10}$ 的位置再转东南方向，所用时间为$t=t_8+t_9+{t^{\prime }}_{10}=\text{22}\text{.2464}$ ；当$\beta ={50}^{°}$ 时，帆船先后到达$A_9,A_{10}$ 和$A_{11}$ 的位置再转东南方向，所用时间为$t=t_8+t_9+t_{10}+{t^{\prime }}_{11}=\text{20}\text{.4679}$ 。从这些时间可以看出，夹角β越大帆船到达B点所用的时间越短。结合前面得到的结论，帆船在夹角β取值范围内越晚转东南方向，到达终点B的时间越短。图7画出了帆船在$\beta ={50}^{°}$ 转东南方向时的最佳航行路线，其中箭头表示航行距离及方向。

Figure 7. The best sailing route for sailboat

图7. 帆船最佳航行路线

5. 结论

本文主要改进了“扬帆远航”模型，讨论了帆船启航以后如何调整航向及帆的朝向使其到达终点的时间最短。首先在东北和东南方向建立了帆船的最大速度模型，并对其进行了求解，得到当帆的朝向是航向的一半时帆船的速度最大，同时确定了使航行速度最大的航向θ。其次得到了航向θ与夹角β的线性关系，通过该关系可以调整帆船任何位置上的航向及帆的朝向。最后解决了帆船转东南方向夹角β的范围以及帆船何时转东南方向使其到达终点B的整个航行时间最短问题，得到帆船在夹角β所确定的范围内越晚转东南方向到达终点B所用的时间越短。

致 谢

感谢所有评审专家提出的宝贵意见和建议。

基金项目

内蒙古自治区高等教育学会重点课题(NMGJXH-2022XF002)；呼和浩特民族学院基本科研业务费专项资金(ZSQNTS202413)；呼和浩特民族学院教改项目(JY23021)。

NOTES

^*通讯作者。