Navier-Stokes方程非阻尼极限研究

Study on the Undamped Limit of Navier-Stokes Equations

摘要: 本论文对Navier-Stokes方程非阻尼极限进行了研究，即对带有阻尼项的Navier-Stokes方程解的极限行为进行研究。证明了在相同初值条件下，带有不同阻尼项的Navier-Stokes方程的解u均收敛到Navier-Stokes方程的解v。

Abstract: In this paper, the undamped limit of Navier-Stokes equation is studied, that is, the limit behavior of the solution of Navier-Stokes equation with damped term is studied. It is proved that the solutions of Navier-Stokes equations with different damping terms converge to the solutions of Navier-Stokes equations under the same initial value conditions.

1. 引言

在物理和数学领域，经典的Navier-Stokes方程一直都得到了广泛关注。对此方程的研究已经有了不少的成果，包括Ladyzhenskaya对三维Navier-Stokes方程Suitable弱解的部分正则性进行了研究[1]，Seregn给出了Navier-Stokes方程的正则性准则[2]，Robinson在三维Navier-Stokes方程经典理论中证明了Navier-Stokes方程的3D弱解的整体存在性和在小初值下3D强解的整体存在性[3]，Tsai-Tai-Peng证明了Navier-Stokes方程具有温和解[4]，Caffarelli-Kohn-Nirenberg给出了Navier-Stokes的偏正则性准则[5]等。但是目前仍有许多未解难题，比如湍流的数学理论，三维整体正则性，稳态边界值问题等。

近些年，又有许多学者对带有阻尼项的Navier-Stokes方程进行了研究并且有很多不错的结果。在2008年，蔡晓静和久全森研究了带有多项式阻尼项$\epsilon {\left|u\right|}^{\beta }u$ 的Navier-Stokes方程，他们证明了在一定条件下弱解的整体存在性，高正则解的整体存在性以及高正则解唯一性[6]。在2012年周勇证明了当$\beta \ge 3$ 时，带有阻尼项$\epsilon {\left|u\right|}^{\beta }u$ 的Navier-Stokes方程强解的整体存在性[7]。在2013年，J. Benameur研究了带有指数阻

尼项$\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u$ 的Navier-Stokes方程，证明了弱解的整体存在性[8]和强解整体存在性[9]。当$\epsilon \to 0$ 时，

带有阻尼项的Navier-Stokes方程的解是否或怎样收敛到经典的Navier-Stokes的解是一个有意义并且有趣的问题，此类问题的研究尚属空白，这个灵感来源于B. Guo和C. Guo证明了二维非牛顿流体解收敛的相关问题[10]。所以本论文将在此基础对下面问题进行证明，假设u是带有阻尼项的NS方程的解和v是经典NS方程的解，在一定条件下，$w=u-v$ 均满足下面估计：

${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon Ct{\text{e}}^{\frac{c}{\eta }t}$

此外，当$\epsilon \to 0$ 时，有${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\to 0$ 。

本论文的结构如下：在第二节，将介绍本论文需要的基本符号和相关引理，在第三节，将考虑带有多项式阻尼项$\epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u$ 的NS方程解的收敛情况，在第四节，将考虑带有指数阻尼项$\epsilon \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u$ 的NS方程解的收敛情况。

2. 符号表示和相关引理

这一章，介绍本论文所用到的基本符号和相关引理。规定Ω表示环面$T^n$ 或者表示${ℝ}^n$ 上的有界域，并且Ω和${ℝ}^n$ 均适用于下面符号，其中$n=2,3$ 。我们定义符号如下：

当$1\le p\le \infty$ 时，用$L^p\left(\Omega \right)$ 表示通常的Lebesgue空间，该空间模表示为${\Vert \cdot \Vert }_{L^P\left(\Omega \right)}$ 。用$C_{0,\sigma }^{\infty }\left(\Omega \right)$ 表示所有具有紧支集且散度为零的光滑函数构成的空间。当$1<p<\infty$ 时，$L_{\sigma }^p\left(\Omega \right)$ 表示$C_{c,\sigma }^{\infty }\left(\Omega \right)$ 在$L^p\left(\Omega \right)$ 范数下的闭包，特别的，当$p=2$ 时，定义$H\left(\Omega \right)=L_{\sigma }^2\left(\Omega \right)$ 。当$1\le k\le p\le \infty$ 时，$W^{k,p}\left(\Omega \right)$ 表示通常的Sobolev空间，该空间模表示为${\Vert \cdot \Vert }_{k,p}$ ，特别的，当$p=2$ 时，定义$H^k\left(\Omega \right)=W^{k,2}\left(\Omega \right)$ 。$W_{0,\sigma }^{k,p}\left(\Omega \right)$ 表示$C_{c,\sigma }^{\infty }\left(\Omega \right)$ 在$W^{k,p}\left(\Omega \right)$ 范数下的闭包，特别的，当$p=2,k=1$ 时，定义$V\left(\Omega \right)=W_{0,\sigma }^{1,2}\left(\Omega \right)=H\left(\Omega \right)\cap H^1\left(\Omega \right)$ 。X表示是Banach空间，该空间模表示为${\Vert \cdot \Vert }_X$ 。当$1\le p\le \infty$ 时，用$L^p\left(0,T;X\right)$ 表示定义在$\left(0,T\right)$ 上的函数$f\left(t\right)$ 的集合在X范数下的值满足${\displaystyle {\int }_0^T{\Vert f\left(t\right)\Vert }_X\text{d}t}<\infty$ ，即$L^p\left(0,T;X\right)={\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \cdot \Vert }_X\text{d}t}$ 。

设$H^1\left(\Omega \right)\times H^1\left(\Omega \right)\times H^1\left(\Omega \right)$ 中连续三线形式如下：

$b\left(u,v,w\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}_i\frac{\partial v_j}{\partial x_i}{w}_j\text{d}x},u,v,w\in H^1\left(\Omega \right)$

并且具有以下性质：$b\left(u,v,w\right)=-b\left(u,w,v\right)$ ，$b\left(u,v,v\right)=0$ 。

在三维Navier-Stokes方程经典理论中，对下面NS方程进行了研究

$\left(\text{NS}\right)\{\begin{array}{ll}{\partial }_{t}v-\eta \Delta v+\left(v\cdot \nabla \right)v+\nabla \pi =0,\hfill & {ℝ}^{+}\times {ℝ}^3,\hfill \\ \text{div}v=0,\hfill & {ℝ}^{+}\times {ℝ}^3,\hfill \\ v\left(0,x\right)=v_0\left(x\right),\hfill & x\in {ℝ}^3,\hfill \\ \left|u\right|\to 0,\hfill & \left|x\right|\to \infty .\hfill \end{array}$

其中，$v=v\left(t,x\right)=\left(v_1\left(t,x\right),v_2\left(t,x\right),v_3\left(t,x\right)\right)$ 和$\pi \left(t,x\right)$ 分别表示向量场和流体压力，粘度系数$\eta >0$ 是一个常数，给定函数$v_0=v_0\left(x\right)$ 为初速度。

定义2.1 设Ω是$T^n$ 、是${ℝ}^n$ 或是${ℝ}^n$ 中有界域，$n=2,3$ 。如果v的初值$v_0\in H$ ，且满足下列条件

i) $v\in L^{\infty }\left(0,T;H\right)\cap L^2\left(0,T;V\right)$ ，$\forall T>0$ ，

ii) v满足方程

${\displaystyle {\int }_0^s-\langle v,{\partial }_t\phi \rangle }+{\displaystyle {\int }_0^s\langle \nabla v,\nabla \phi \rangle }+{\displaystyle {\int }_0^s\langle \left(v\cdot \nabla \right)v,\phi \rangle }=\langle v_0,\phi \left(0\right)\rangle -\langle v\left(s\right),\phi \left(s\right)\rangle$ ，

则称v是NS方程在$\left[0,T\right]$ 上的弱解，其中，$\phi \in C_{0,\sigma }^{\infty }\left(\left[0,T\right]\times \Omega \right)$ 且$\text{div}\phi \left(\cdot ,T\right)=0$ 。

定义2.2 如果u是Navier-Stokes方程的弱解且有

$u\in L^{\infty }\left(0,T;H^1\right)\cap L^2\left(0,T;H^2\right)$ ，

则称u是Navier-Stokes方程在$\left[0,T\right]$ 上的强解。

引理2.3 [3]在二维情况下，设$\eta >0$ ，$v_0\in H$ ，则对于任意$T>0$ ，存在唯一v满足：

$v\in C\left(0,T;H^1\right)\cap L^{\infty }\left(0,T;H^1\right)\cap L^2\left(0,T;H^2\right)$ ，

此外，存在一个常数$C>0$ 满足下面不等式：

$\underset{0\le t\le T}{\sup }{\Vert \nabla v\Vert }_{L^2}^2\le C.$

为了表达简单，在下面证明中让C表示一个任意正数，在不同行取值可能不同。

3. 带有阻尼项$\epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u$ 的NS方程解极限的研究

在本章将证明，在不同维数空间中，当$\epsilon \to 0$ 时，带有阻尼项$\epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u$ 的Navier-Stokes方程的解在$L^2$ 范数下收敛到Navier-Stokes方程的解。

$\left({\text{NS}}_1\right)\{\begin{array}{ll}{\partial }_{t}u-\eta \Delta u+\left(u\cdot \nabla \right)u+\epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u+\nabla p_1=0,\hfill & {ℝ}^{+}\times {ℝ}^3,\hfill \\ \text{div}u=0,\hfill & {ℝ}^{+}\times {ℝ}^3,\hfill \\ u\left(0,x\right)=u_0\left(x\right),\hfill & x\in {ℝ}^3,\hfill \\ \left|u\right|\to 0,\hfill & \left|x\right|\to \infty .\hfill \end{array}$

其中，在阻尼项中$\epsilon >0,\beta \ge 1$ 是两个常数，给定函数$u_0=u_0\left(x\right)$ 为初速度。

定义3.1 如果对于$\forall T>0$ ，函数对$\langle u\left(x,t\right),p_1\left(x,t\right)\rangle$ 满足下列条件

i) $u\in L^{\infty }\left(0,T;H\left({ℝ}^3\right)\right)\cap L^2\left(0,T;V\left({ℝ}^3\right)\right)\cap L^{\beta +1}\left(0,T;L^{\beta +1}\left({ℝ}^3\right)\right)$ ，

ii) u满足方程

$-{\displaystyle {\int }_0^T\langle u,{\phi }_t\rangle }+\eta {\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\nabla u\cdot \nabla \phi }}-{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(u\cdot \nabla \right)u\phi }}+\epsilon {\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{\beta -1}u\phi }}=\langle u_0,\phi \left(0\right)\rangle$ ，

iii) $\text{div}u\left(x,t\right)=0$ 几乎处处成立，$\left(x,t\right)\in {ℝ}^3\times \left[0,T\right]$ ，

则称函数对$\langle u\left(x,t\right),p_1\left(x,t\right)\rangle$ 是NS₁方程的弱解，其中，$\phi \in C_{0,\sigma }^{\infty }\left(\left[0,T\right]\times {ℝ}^3\right)$ 且$\text{div}\phi \left(\cdot ,T\right)=0$ 。

定义3.2 如果函数对$\langle u\left(x,t\right),p_1\left(x,t\right)\rangle$ 是NS₁方程的弱解且满足

$u\in L^{\infty }\left(0,T;V\left({ℝ}^3\right)\right)\cap L^2\left(0,T;H^2\left({ℝ}^3\right)\right)$ ，

则称函数对$\langle u\left(x,t\right),p_1\left(x,t\right)\rangle$ 是NS₁方程的强解。

定义3.3 如果函数对$\langle u\left(x,t\right),p_1\left(x,t\right)\rangle$ 是NS₁方程的弱解且满足

$u\in L^{\infty }\left(0,T;V\left({ℝ}^3\right)\right)\cap L^2\left(0,T;H^2\left({ℝ}^3\right)\right)\cap L^{\infty }\left(0,T;L^{\beta +1}\left({ℝ}^3\right)\right)$ ，

则称函数对$\langle u\left(x,t\right),p_1\left(x,t\right)\rangle$ 是NS₁方程的高正则解。

下面给出带有多项式阻尼项$\epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u$ 的NS方程解存在性定理并对带有多项式阻尼项的NS方程解收敛情况进行证明。

3.1. 弱解极限行为的研究

下面在二维空间中，对带有多项式阻尼项$\epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u$ 的NS方程弱解的极限行为进行研究。

引理3.1.1 [4] (2D弱解的整体存在性)假设$\beta \ge 1$ 和$u_0\in H\left({ℝ}^2\right)$ ，则对于$\forall T>0$ ，NS₁方程存在整体弱解$\langle u\left(x,t\right),p_1\left(x,t\right)\rangle$ 满足：

$\underset{0\le t\le T}{\sup }{\Vert u\Vert }_{L^2}^2+2\eta {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\text{d}t}+2\epsilon {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert u\Vert }_{\beta +1}^{\beta +1}\text{d}t}\le {\Vert u_0\Vert }_{L^2}^2.$

此外，在Ω上也有上述类似引理，即带有阻尼项$\epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u$ 的NS方程存在二维整体弱解u，Robinson证明了NS方程有二维整体弱解v，下面给出在相同的初值条件下两个解差的估计。

定理3.1.2 设u是2D-NS₁方程下的弱解和v是2D-NS方程的弱解，并且有相同的初值$u_0=v_0\in H\left(\Omega \right)$ ，则对于$\frac{5}{3}\le \beta \le \frac{8}{3}$ ，差值$w=u-v$ 满足下面估计：

${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon Ct{\text{e}}^{\frac{c}{\eta }t}$ ，

并且当$\epsilon \to 0$ ，${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\to 0$ 。

证明：用NS₁方程的解与NS方程的解做差可得

$w_{t }+\left(u\cdot \nabla \right)w+\left(w\cdot \nabla \right)v-\eta \Delta w+\nabla \left(p_1-\pi \right)+\epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u=0$ ，(3.1)

再将(3.1)与w做内积并且根据$b\left(u,w,w\right)=0$ 化简整理可得

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert w\Vert }_{L^2}^2+\eta {\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2=-b\left(w,v,w\right)-\langle \epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u,w\rangle$ ，(3.2)

先对(3.2)中右边第一项进行估计，

$\left|-b\left(w,v,w\right)\right|=\left|b\left(w,w,v\right)\right|\le {\Vert w\Vert }_{L^4}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}{\Vert v\Vert }_{L^4}\le C{\Vert w\Vert }_{L^2}^{\frac{1}{2}}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^{\frac{3}{2}}{\Vert \nabla v\Vert }_{L^2}\le \frac{C}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2+\frac{\eta }{2}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2$ ，(3.3)

这里使用Hölder’s不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式，且由引理2.3知${\Vert \nabla v\Vert }_{L^2}\le C$ 。再估计(3.2)中右边第二项，

$\begin{array}{c}\left|-\langle \epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u,w\rangle \right|=\left|\langle \epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u,w\rangle \right|\le \epsilon c{\Vert u\Vert }_{L^{\frac{6\beta }{5}}}^{2\beta }+\frac{\eta }{2}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2\\ \le \epsilon c{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^{2\beta -\frac{10}{3}}{\Vert u\Vert }_{L^2}^{\frac{10}{3}}+\frac{\eta }{2}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2\end{array}$

当$\frac{5}{3}\le \beta \le \frac{8}{3}$ 时，有

$\le \epsilon C{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+\frac{\eta }{2}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2+\epsilon C$ ，(3.4)

这里使用Hölder’s不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式。

然后将(3.3)和(3.4)代入(3.2)中整理得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon C{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+\frac{c}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2+\epsilon C$ ，

再利用Gronwall不等式可得

${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le {\text{e}}^{{\displaystyle {\int }_0^t\frac{c}{\eta }\text{d}s}}\left[{\Vert w_0\Vert }_{L^2}^2+{\displaystyle {\int }_0^t\epsilon c{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2}+\epsilon c\text{d}s\right]\le {\text{e}}^{\frac{c}{\eta }t}\left[{\Vert w_0\Vert }_{L^2}^2+\epsilon ct\right]$ ，

其中最后一个不等式使用了定理3.1.1中结论${\displaystyle {\int }_0^t{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\text{d}s}\le C$ ，并且由${\Vert w_0\Vert }_{L^2}^2=0$ ，可得

${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon Ct{\text{e}}^{\frac{c}{\eta }t}.$

由定理3.1.2易知，当$\epsilon \to 0$ 时，${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\to 0$ 。下面将在三维空间中，对带有多项式阻尼项$\epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u$ 的NS方程弱解的极限行为进行研究。

引理3.1.3 [4] (3D弱解的整体存在性)假设$\beta \ge 1$ 和$u_0\in H\left({ℝ}^3\right)$ ，则对于$\forall T>0$ ，NS₁方程存在整体弱解$\langle u\left(x,t\right),p_1\left(x,t\right)\rangle$ 满足：

$\underset{0\le t\le T}{\sup }{\Vert u\Vert }_{L^2}^2+2\eta {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\text{d}t}+2\epsilon {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert u\Vert }_{\beta +1}^{\beta +1}\text{d}t}\le {\Vert u_0\Vert }_{L^2}^2.$

引理3.1.3给出了带有多项式阻尼项$\epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u$ 的NS方程存在三维整体弱解u，Robinson证明了NS方程存在三维整体弱解v，下面定理给出，在相同的初值条件下两个解差的估计。

定理3.1.4 设u是3D-NS₁方程的弱解且满足$\underset{t\ge 0}{\sup }{\Vert u\Vert }_{L^{\infty }}\le c$ ，v是3D-NS方程的弱解，并且有相同的初值$u_0=v_0\in H\left({ℝ}^3\right)$ ，则对于$\frac{5}{3}\le \beta \le \frac{7}{3}$ ，差值$w=u-v$ 满足下面估计：

${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon Ct{\text{e}}^{\frac{c}{\eta }t}$ ，

并且当$\epsilon \to 0$ ，${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\to 0$ 。

证明：由(3.2)和$b\left(w,u,w\right)=b\left(w,v,w\right)$ 可得

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert w\Vert }_{L^2}^2+\eta {\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2=-b\left(w,v,w\right)-\langle \epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u,w\rangle .$ (3.5)

先对(3.5)中右边第一项进行估计，

$\left|-b\left(w,u,w\right)\right|=\left|b\left(w,w,u\right)\right|\le {\Vert w\Vert }_{L^2}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}{\Vert u\Vert }_{L^{\infty }}\le c{\Vert w\Vert }_{L^2}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}\le \frac{c}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2+\frac{\eta }{2}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2$ ，(3.6)

这里使用了Hölder’s不等式和Young不等式并且在第二个不等号用了$\underset{t\ge 0}{\sup }{\Vert u\Vert }_{L^{\infty }}\le c$ 。再估计(3.5)中右边第二项

$\left|-\langle \epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u,w\rangle \right|=\left|\langle \epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u,w\rangle \right|\le \epsilon {\Vert {\left|u\right|}^{\beta }\Vert }_{L^{\frac{6}{5}}}{\Vert w\Vert }_{L^6}\le \epsilon c{\Vert u\Vert }_{L^{\frac{6\beta }{5}}}^{2\beta }+\frac{\eta }{2}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon c{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^{3\beta -5}{\Vert u\Vert }_{L^2}^{5-\beta }+\frac{\eta }{2}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2$

当$\frac{5}{3}\le \beta \le \frac{7}{3}$ 时，有

$\le \epsilon c\left(c{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+C\right)+\frac{\eta }{2}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon C{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+\frac{\eta }{2}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2+\epsilon C$ ，(3.7)

这里使用Hölder’s不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式。

然后将(3.6)和(3.7)代入(3.8)中整理得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon C{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+\frac{c}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2+\epsilon C$ ，

再利用Gronwall不等式可得

${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le {\text{e}}^{{\displaystyle {\int }_0^t\frac{c}{\eta }\text{d}s}}\left[{\Vert w_0\Vert }_{L^2}^2+{\displaystyle {\int }_0^t\epsilon C{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2}+\epsilon c\text{d}s\right]\le {\text{e}}^{\frac{c}{\eta }t}\left[{\Vert w_0\Vert }_{L^2}^2+\epsilon Ct\right]$ ，

其中最后一个不等式使用了定理3.1.3中结论且由${\Vert w_0\Vert }_{L^2}^2=0$ ，可得

${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon Ct{\text{e}}^{\frac{c}{\eta }t}.$

由定理3.1.4易知，当$\epsilon \to 0$ 时，${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\to 0$ 。

3.2. 强解极限行为的研究

下面在二维空间中，对带有多项式阻尼项$\epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u$ 的NS方程强解的极限行为进行研究。

定理3.2.1 (2D强解整体存在性)假设$\beta \ge 1$ 和$u_0\in V\left({ℝ}^2\right)$ ，则对于$\forall t\ge 0$ ，NS₁方程存在整体强解$\langle u\left(x,t\right),p_1\left(x,t\right)\rangle$ 满足：

$\underset{0\le t\le T}{\sup }{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+\eta {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2\text{d}s}+2\epsilon {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \left|\nabla u\right|{\left|u\right|}^{\frac{\beta -1}{2}}\Vert }_{L^2}^2}+\frac{8\left(\beta -1\right)\epsilon }{{\left(\beta +1\right)}^2}{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \nabla {\left|u\right|}^{\frac{\beta +1}{2}}\Vert }_{L^2}^2}\le C$ ，

特别的，定理3.2.1在周期和非周期情况下均成立，该定理证明类似与文献[7]中强解的证明，只是维数不同。

在Ω上也上述类似定理成立，即带有阻尼项$\epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u$ 的NS方程存在二维整体强解u，Robinson证明了NS方程有二维整体强解v，下面给出在相同的初值条件下两个解差的估计。

定理3.2.2 设u是2D-NS₁方程的强解和v是2D-NS方程的强解，并且有相同的初值$u_0=v_0\in V\left(\Omega \right)$ ，则对于$\beta \ge 1$ ，差值$w=u-v$ 满足下面估计：

${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon C{\text{e}}^{\frac{c}{\eta }t}$ ，

并且当$\epsilon \to 0$ ，${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\to 0$ 。

证明：由方程(3.2)可得

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert w\Vert }_{L^2}^2+\eta {\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2=-b\left(w,v,w\right)-\langle \epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u,w\rangle$ ，(3.8)

先估计(3.11)中右边第一项，

$\left|-b\left(w,v,w\right)\right|=\left|b\left(w,w,v\right)\right|\le {\Vert w\Vert }_{L^4}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}{\Vert v\Vert }_{L^4}\le c{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^{\frac{3}{2}}{\Vert w\Vert }_{L^2}^{\frac{1}{2}}{\Vert \nabla v\Vert }_{L^2}\le \frac{c}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2+\frac{\eta }{2}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2$ ，(3.9)

这里使用了Hölder’s不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式且第三个不等号使用了引理2.3中结论$\underset{0\le t\le T}{\sup }{\Vert \nabla v\Vert }_{L^2}^2\le C$ 。再估计(3.11)中右边第二项，

$\begin{array}{c}\left|-\langle \epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u,w\rangle \right|=\left|\langle \epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u,w\rangle \right|\le \epsilon c{\left|u\right|}^{\beta -1}{\Vert u\Vert }_{L^2}^2+\frac{1}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2\\ \le \epsilon c{\Vert u\Vert }_{L^{2\beta }}^{2\beta }+\frac{1}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon c{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^{2\beta }+\frac{1}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon c+\frac{1}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2,\end{array}$ (3.10)

这里使用了Hölder’s不等式、2D-Sobolev嵌入和Young不等式。

然后将(3.12)和(3.13)代入到(3.11)中整理得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon c+\frac{c}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2$ ，

再利用Gronwall不等式可得

${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le {\text{e}}^{{\displaystyle {\int }_0^t\frac{c}{\eta }\text{d}s}}\left[{\Vert w_0\Vert }_{L^2}^2+{\displaystyle {\int }_0^t\epsilon c\text{d}s}\right]\le {\text{e}}^{\frac{c}{\eta }t}\left[{\Vert w_0\Vert }_{L^2}^2+\epsilon ct\right]$ ，

又由于${\Vert w_0\Vert }_{L^2}^2=0$ ，所以可得

${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon Ct{\text{e}}^{\frac{c}{\eta }t}.$

由定理3.2.2易知，当$\epsilon \to 0$ 时，${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\to 0$ 。下面在将三维空间中，对带有多项式阻尼项$\epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u$ 的NS方程强解的极限行为进行研究。

引理3.2.3 [5] (3D强解的整体存在性)假设$\beta \ge 3$ 和$u_0\in V\left({ℝ}^3\right)$ ，则对于$\forall t\ge 0$ ，NS₁方程存在整体强解$\langle u\left(x,t\right),p_1\left(x,t\right)\rangle$ 满足：

$\underset{0\le t\le T}{\sup }{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+\eta {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2\text{d}s}+\epsilon {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \left|\nabla u\right|{\left|u\right|}^{\frac{\beta -1}{2}}\Vert }_{L^2}^2}+\frac{4\left(\beta -1\right)\epsilon }{{\left(\beta +1\right)}^2}{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \nabla {\left|u\right|}^{\frac{\beta +1}{2}}\Vert }_{L^2}^2}\le C$ ，

此外，引理3.2.3在Ω上也成立。即带有阻尼项$\epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u$ 的NS方程存在三维整体强解u，Robinson证明了NS方程在小初值下也存在三维整体强解v，下面给出在相同的初值条件下两个解差的估计。

定理3.2.4 设u是3D-NS₁方程下的强解和v是3D-NS方程的强解，并且有相同的初值$u_0=v_0\in V\left(\Omega \right)$ ，则对于$3\le \beta \le 5$ ，差值$w=u-v$ 满足下面估计：

${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon C{\text{e}}^{\frac{c}{\eta }t}$ ，

并且当$\epsilon \to 0$ ，${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\to 0$ 。

证明：由(3.5)可得

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert w\Vert }_{L^2}^2+\eta {\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2=-b\left(w,u,w\right)-\langle \epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u,w\rangle$ ，(3.11)

先对(3.14)中右边第一项进行估计，

$\left|-b\left(w,u,w\right)\right|=\left|b\left(w,w,u\right)\right|\le {\Vert w\Vert }_{L^4}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}{\Vert u\Vert }_{L^4}\le c{\Vert w\Vert }_{L^2}^{\frac{1}{4}}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^{\frac{7}{4}}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^{ }\le \frac{c}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2+\frac{\eta }{2}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2$ ，(3.12)

这里使用了Hölder’s不等式和Young不等式。再估计(3.14)中右边第二项，

$\left|-\langle \epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u,w\rangle \right|=\left|\langle \epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u,w\rangle \right|\le \epsilon {\Vert {\left|u\right|}^{\beta }\Vert }_{L^{\frac{6}{5}}}{\Vert w\Vert }_{L^6}\le \epsilon c{\Vert u\Vert }_{L^{\frac{6\beta }{5}}}^{2\beta }+\frac{\eta }{2}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon c{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^{3\beta -5}{\Vert u\Vert }_{L^2}^{5-\beta }+\frac{\eta }{2}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2$

当$\frac{5}{3}\le \beta \le 5$ 时，有

$\le \epsilon C+\frac{\eta }{2}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2$ ，(3.13)

这里使用Hölder’s不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式。

然后将(3.15)和(3.16)代入(3.14)中整理得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \frac{c}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2+\epsilon C$ ，

再利用Gronwall不等式可得

${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le {\text{e}}^{{\displaystyle {\int }_0^t\frac{c}{\eta }\text{d}s}}\left[{\Vert w_0\Vert }_{L^2}^2+{\displaystyle {\int }_0^t\epsilon c\text{d}s}\right]\le {\text{e}}^{\frac{c}{\eta }t}\left[{\Vert w_0\Vert }_{L^2}^2+\epsilon ct\right]$ ，

又由于${\Vert w_0\Vert }_{L^2}^2=0$ ，所以可得

${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon Ct{\text{e}}^{\frac{c}{\eta }t}.$

由定理3.2.4易知，当$\epsilon \to 0$ 时，${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\to 0$ 。

3.3. 高正则解极限行为的研究

这章对二维空间中带有多项式阻尼项$\epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u$ 的NS方程高正则解的极限行为进行研究。

定理3.3.1 (2D高正则解的存在性)假设$\beta \ge 1$ 和$u_0\in V\left({ℝ}^2\right)\cap L^{\beta +1}\left({ℝ}^2\right)$ ，则NS₁方程存在整体高强解$\langle u\left(x,t\right),p_1\left(x,t\right)\rangle$ 满足：

$\begin{array}{l}\underset{0\le t\le T}{\sup }\left({\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert u\Vert }_{L^{\beta +1}}^{\beta +1}\right)+{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert u_t\Vert }_{L^2}^2\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2\text{d}t}\\ +\frac{\epsilon \left(\beta -1\right)}{2}{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert {\left|u\right|}^{\beta -3}\left|\nabla {\left|u\right|}^2\right|\Vert }_{L^2}^2\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \left|\nabla u\right|{\left|u\right|}^{\frac{\beta -1}{2}}\Vert }_{L^2}^2\text{d}t}\le C,\end{array}$

特别的，定理3.3.1在周期和非周期情况下均可成立，该定理证明类似于文献[6]中强解的证明。

上述定理在Ω上也成立，即带有阻尼项$\epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u$ 的NS方程存在二维整体高正则解u，Robinson证明了NS方程有二维整体强解v，下面给出在相同的初值条件下两个解差的估计。

定理3.3.2 设u是2D-NS₁方程下的高正则解和v是2D-NS方程的高正则解，并且有相同的初值$u_0=v_0\in \text{V}\left(\Omega \right)\cap L^{\beta +1}\left(\Omega \right)$ ，则对于$\beta \ge 1$ ，差值$w=u-v$ 满足下面估计：

${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon C{\text{e}}^{\frac{c }{\eta }t}$ ，

并且当$\epsilon \to 0$ ，${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\to 0$ 。

证明：由方程(3.5)可得

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert w\Vert }_{L^2}^2+\eta {\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2=-b\left(w,v,w\right)-\langle \epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u,w\rangle$ ，(3.14)

先估计(3.21)中右边第一项，

$\left|-b\left(w,u,w\right)\right|=\left|b\left(w,w,u\right)\right|\le \frac{c}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2+\frac{\eta }{2}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2$ ，(3.15)

这里使用了Hölder’s不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式、和Young不等式。再估计(3.21)中右边第二项，

$\left|-\langle \epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u,w\rangle \right|=\left|\langle \epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u,w\rangle \right|\le \epsilon c{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^{2\beta }+\frac{1}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon C+\frac{1}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2$ ，(3.16)

这里使用Hölder’s不等式、2D-Sobolev嵌入和Young不等式。

然后将(3.22)和(3.23)代入到(3.21)中整理得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon C+\frac{c}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2$ ，

再利用Gronwall不等式可得

${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le {\text{e}}^{{\displaystyle {\int }_0^t\frac{c}{\eta }\text{d}s}}\left[{\Vert w_0\Vert }_{L^2}^2+{\displaystyle {\int }_0^t\epsilon c\text{d}s}\right]\le {\text{e}}^{\frac{c}{\eta }t}\left[{\Vert w_0\Vert }_{L^2}^2+\epsilon ct\right].$

又由于${\Vert w_0\Vert }_{L^2}^2=0$ ，所以可得

${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon Ct{\text{e}}^{\frac{c}{\eta }t}.$

由定理3.3.2易知，当$\epsilon \to 0$ 时，${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\to 0$ 。在下面定理中，将对三维空间中带有多项式阻尼项$\epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u$ 的NS方程的高正则解极限行为进行研究。

引理3.3.3 (高正则解的存在性)假设$\beta \ge \frac{7}{2}$ 和$u_0\in V\left({ℝ}^3\right)\cap L^{\beta +1}\left({ℝ}^3\right)$ ，则NS₁方程存在整体高正则解$\langle u\left(x,t\right),p_1\left(x,t\right)\rangle$ 满足：

$\begin{array}{l}\underset{0\le t\le T}{\sup }\left({\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert u\Vert }_{L^{\beta +1}}^{\beta +1}\right)+{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert u_t\Vert }_{L^2}^2\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2\text{d}t}\\ +\frac{\epsilon \left(\beta -1\right)}{2}{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert {\left|u\right|}^{\beta -3}\left|\nabla {\left|u\right|}^2\right|\Vert }_{L^2}^2\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \left|\nabla u\right|{\left|u\right|}^{\frac{\beta -1}{2}}\Vert }_{L^2}^2\text{d}t}\le C.\end{array}$

同时上述定理在Ω上也成立。即带有阻尼项$\epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u$ 的NS方程存在二维整体高正则解u，Robinson证明了NS方程有二维整体强解v，下面给出在相同的初值条件下两个解差的估计。

定理3.3.4 设u是3D-NS₁方程下的高正则解和v是3D-NS方程的高正则解，并且有相同的初值$u_0=v_0\in V\left({ℝ}^3\right)\cap L^{\beta +1}\left({ℝ}^3\right)$ ，则对于$\beta \ge \frac{7}{2}$ ，差值$w=u-v$ 满足下面估计：

${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon C{\text{e}}^{\frac{c}{\eta }t}$ ，

并且当$\epsilon \to 0$ ，${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\to 0$ 。

证明：由方程(3.5)可得

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert w\Vert }_{L^2}^2+\eta {\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2=-b\left(w,u,w\right)-\langle \epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u,w\rangle .$ (3.17)

先估计(3.24)中右边第一项，

$\left|-b\left(w,u,w\right)\right|=\left|b\left(w,w,u\right)\right|\le {\Vert w\Vert }_{L^4}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}{\Vert u\Vert }_{L^4 }\le \frac{c}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^{\frac{1}{4}}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^{\frac{7}{4}}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}\le \frac{c}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2+\frac{\eta }{2}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2$ ，(3.18)

这里使用了Hölder’s不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式。再估计(3.24)中右边第二项

$\left|-\langle \epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u,w\rangle \right|=\left|\langle \epsilon {\left|u\right|}^{\beta -1}u,w\rangle \right|\le \epsilon c{\Vert u\Vert }_{L^{\frac{6}{5}\beta }}^{2\beta }+\frac{\eta }{2}{\Vert w\Vert }_{L^6}^2$

当$\beta \ge 5$ 时，有$\le \epsilon c{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^{\frac{2\beta -10}{\beta +7}}{\Vert u\Vert }_{L^{\beta +1}}^{\frac{2{\beta }^2+12\beta +10}{\beta +7}}+\frac{\eta }{2}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2$

$\le \epsilon c{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2+\frac{\eta }{2}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2+ \epsilon c$ ，(3.19)

这里使用Hölder’s不等式和Young不等式且最后一个不等式使用了定理3.3.3中结论$\underset{0\le t\le T}{\sup }{\Vert u\Vert }_{\beta +1}^{\beta +1}\le C$ 。

然后将(3.25)和(3.26)代入到(3.24)中整理得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon c{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2+\epsilon c+\frac{c}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2$

再利用Gronwall不等式可得

${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le {\text{e}}^{{\displaystyle {\int }_0^t\frac{c}{\eta }\text{d}s}}\left[{\Vert w_0\Vert }_{L^2}^2+{\displaystyle {\int }_0^t\epsilon c}+\epsilon c{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2\text{d}s\right]\le {\text{e}}^{\frac{c}{\eta }t}\left[{\Vert w_0\Vert }_{L^2}^2+\epsilon ct\right].$

其中最后一个不等式中使用了定理3.3.2中结论并且由${\Vert w_0\Vert }_{L^2}^2=0$ ，所以上式可化简为

${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon Ct{\text{e}}^{\frac{c}{\eta }t}.$

由定理3.3.4易知，当$\epsilon \to 0$ 时，${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\to 0$ 。

4. 三维中带有阻尼项$\epsilon \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u$ 的NS方程解极限的研究

在本章将给出，在三维情况下，当$\epsilon \to 0$ 时，带有阻尼项$\epsilon \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u$ 的Navier-Stokes方程的解在L²范数下收敛到Navier-Stokes方程的解。

$\left({\text{NS}}_2\right)\{\begin{array}{ll}{\partial }_{t}u-\eta \Delta u+\left(u\cdot \nabla \right)u+\epsilon \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u+\nabla p_2=0,\hfill & {ℝ}^{+}\times {ℝ}^3,\hfill \\ \text{div}u=0,\hfill & {ℝ}^{+}\times {ℝ}^3,\hfill \\ u\left(0,x\right)=u^0\left(x\right),\hfill & x\in {ℝ}^3,\hfill \\ \left|u\right|\to 0,\hfill & \left|x\right|\to \infty .\hfill \end{array}$

在阻尼项中$\epsilon ,\beta >0$ 是两个常数。给定函数$u_0=u_0\left(x\right)$ 为初速度。

定义4.1 如果对于$\forall T>0$ ，函数对$\langle u\left(x,t\right),p_2\left(x,t\right)\rangle$ 满足下列条件

i) $u\in L^{\infty }\left(0,T;H\left({ℝ}^3\right)\right)\cap L^2\left(0,T;{\dot{H}}^1\left({ℝ}^3\right)\right)$ 和$\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|u\right|}^2\in L^1\left(0,T;L^1\left({ℝ}^3\right)\right)$ ，

ii) ${\partial }_{t}u-\Delta u+u\cdot \nabla u+\epsilon \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u=-\nabla p$ 于分布意义成立：u满足方程

$-{\displaystyle {\int }_0^T\langle u,{\phi }_t\rangle }+\eta {\displaystyle {\int }_0^T\langle \nabla u,\nabla \phi \rangle }-{\displaystyle {\int }_0^T\langle \left(u\cdot \nabla \right)u,\phi \rangle }+\epsilon {\displaystyle {\int }_0^T\langle \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u,\phi \rangle }=\langle u_0,\phi \left(0\right)\rangle$ ，

iii) $\text{div}u\left(x,t\right)=0$ ，$\left(x,t\right)\in {ℝ}^3\times \left[0,T\right]$ ，

则称函数对$\langle u\left(x,t\right),p_2\left(x,t\right)\rangle$ 是NS₂方程的弱解，其中，$\phi \in C_{0,\sigma }^{\infty }\left(\left[0,T\right]\times {ℝ}^3\right)$ 且$\text{div}\phi \left(\cdot ,T\right)=0$ 。

定义4.2 如果函数对$\langle u\left(x,t\right),p_2\left(x,t\right)\rangle$ 是NS₁方程的弱解且满足

$u\in L^{\infty }\left(0,T;H^1\left({ℝ}^3\right)\right)\cap L^2\left(0,T;H^2\left({ℝ}^3\right)\right)\cap L^{\infty }\left(0,T;L^1\left(\Omega \right)\right)$ ，

$\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|u\right|}^2,\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|\nabla u\right|}^2,{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}{\left|\nabla {\left|u\right|}^2\right|}^2\in L^1\left({ℝ}^{+}\times {ℝ}^3\right)$ ，

$\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|u\right|}^2\in L^{\infty }\left(0,T;L^1\left(\Omega \right)\right)$

则称函数对$\langle u\left(x,t\right),p_2\left(x,t\right)\rangle$ 是NS₂方程的强解。

下面给出带有指数阻尼项$\epsilon \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u$ 的NS方程解存在性定理并对带有指数阻尼项的NS方程解收敛情况进行证明。

4.1. 弱解极限行为的研究

将在三维空间中，对带有指数阻尼项$\epsilon \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u$ 的NS方程的弱解极限行为进行研究。

引理4.1.1 [6] (3D弱解存在性)假设$\beta \ge 0$ 和$u_0\in H\left({ℝ}^3\right)$ ，则NS₂方程存在整体弱解$\langle u\left(x,t\right),p_2\left(x,t\right)\rangle$ 满足

${\Vert u\Vert }_{L^2}^2+2{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\text{d}t}+2\alpha {\displaystyle {\int }_0^t{\Vert \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|u\right|}^2\Vert }_{L^1}\text{d}t}\le {\Vert u^0\Vert }_{L^2}^2.$

推论4.1.2 由$\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|u\right|}^2\in L^1\left({ℝ}^{+}\times {ℝ}^3\right)$ 可知$u\in {\displaystyle {\cap }_{4\le p<\infty }{L}^p\left({ℝ}^{+}\times {ℝ}^3\right)}$ ，由下面初等不等式可知

${\displaystyle {\int }_0^t{\Vert \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|u\right|}^2\Vert }_{L^1}\text{d}t}={\displaystyle \sum }_{k=1}^{\infty }\frac{{\beta }^k}{k!}{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert u\Vert }_{L^{2k+2}}^{2k+2}\text{d}t}\le c_1.$

引理4.1.1给出了带有指数阻尼项$\epsilon \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u$ 的NS方程存在三维整体弱解u，Robinson证明了NS方程存在三维整体弱解v，下面定理给出：在相同初值条件下两个解差的估计。

定理4.1.3 设$u,v$ 分别是3D-NS₂方程和3D-NS方程的弱解，并且有相同的初值$u_0=v_0\in H\left({ℝ}^3\right)$ ，则对于$\beta \ge 0$ ，差值$w=u-v$ 满足下面估计：

${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon C{\text{e}}^{\frac{c}{\eta }t}$ ，

并且当$\epsilon \to 0$ ，${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\to 0$ 。

证明：用NS₂方程的解与NS方程的解做差可得

$w_t+\left(w\cdot \nabla \right)u-\left(v\cdot \nabla \right)w-\eta \cdot w+\nabla \left(p_2-\pi \right)+\epsilon \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u=0$ ，(4.1)

再将(4.1)与w做内积并且利用$b\left(v,w,w\right)=0$ 整理可得

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert w\Vert }_{L^2}^2+\eta {\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2=-b\left(w,u,w\right)-\langle \epsilon \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u,w\rangle$ ，(4.2)

先估计(4.2)中右边第一项，

$\left|-b\left(w,u,w\right)\right|=\left|b\left(w,w,u\right)\right|\le {\Vert w\Vert }_{L^4}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}{\Vert u\Vert }_{L^4}\le c{\Vert w\Vert }_{L^2}^{\frac{1}{4}}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^{\frac{7}{4}}{\Vert u\Vert }_{L^4}\le \frac{c}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2+\frac{\eta }{2}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2$ ，(4.3)

这里使用了Hölder’s不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式且第三个不等号使用了推论4.1.2中结论。再估计(4.2)中右边第二项，

$\begin{array}{c}\left|\langle \epsilon \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u,w\rangle \right|\le \epsilon {\Vert \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u\Vert }_{L^{\frac{6}{5}}}{\Vert w\Vert }_{L^6}\le \epsilon c{\Vert \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u\Vert }_{L^{\frac{6}{5}}}^2+\frac{\eta }{2}{\Vert w\Vert }_{L^6}^2\\ \le \epsilon c{\left({\displaystyle \sum }_{k=2}^{\infty }\frac{{\beta }^k}{k!}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{2k+2}\text{d}x}+\beta {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^4\text{d}x}\right)}^{\frac{5}{3}}+\frac{\eta }{2}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2,\end{array}$ (4.4)

这里使用了Hölder’s不等式和Young不等式。

然后将(4.3)和(4.4)代入到(4.2)中整理得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon c{\left({\displaystyle \sum }_{k=2}^{\infty }\frac{{\beta }^k}{k!}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{2k+2}\text{d}x}+\beta {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^4\text{d}x}\right)}^{\frac{5}{3}}+\frac{c}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2$ ，

再利用Gronwall不等式可得

${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le {\text{e}}^{{\displaystyle {\int }_0^t\frac{c}{\eta }\text{d}s}}\left[{\Vert w_0\Vert }_{L^2}^2+{\displaystyle {\int }_0^t\epsilon c{\displaystyle {\sum }_{k=2}^{\infty }\frac{{\beta }^k}{k!}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{2k+2}\text{d}x}}}+\epsilon c\beta {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^4\text{d}x\text{d}s}\right]\le {\text{e}}^{\frac{c}{\eta }t}\left[{\Vert w_0\Vert }_{L^2}^2+\epsilon C\right]$ ，

其中最后一个不等式使用了推论4.1.1中结论。并且由${\Vert w_0\Vert }_{L^2}^2=0$ 可得

${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon C{\text{e}}^{\frac{c}{\eta }t}.$

由定理4.1.3易知，当$\epsilon \to 0$ 时，${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\to 0$ 。

4.2. 强解极限行为的研究

将在三维空间中，对带有指数阻尼项$\epsilon \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u$ 的NS方程的强解极限行为进行研究。

定理4.2.1 (3D强解存在性)假设$u_0\in V\left({ℝ}^3\right)\cap {\displaystyle {\cap }_{4\le p<\infty }{L}^p\left({ℝ}^{+}\times {ℝ}^3\right)}$ 和$\epsilon \ge 1$ ，$\beta \ge 0$ ，则对于$\forall t\ge 0$ ，NS₂方程存在整体强解$\langle u\left(x,t\right),p_2\left(x,t\right)\rangle$ 满足

$\begin{array}{l}\underset{0\le t\le T}{\sup }\left({\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+\epsilon {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(\frac{1}{\beta }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-{\left|u\right|}^2\right)\text{d}x}\right)+{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert u_t\Vert }_{L^2}^2\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2\text{d}t}\\ +\alpha \beta {\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}{\left|\nabla {\left|u\right|}^2\right|}^2\text{d}x\text{d}t}}+2\alpha {\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x\text{d}t}}\le C.\end{array}$

证明：先用NS₂方程与$u_t$ 做内积可得

$\begin{array}{l}{\Vert u_t\Vert }_{L^2}^2+\frac{\eta }{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+\frac{\epsilon }{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(\frac{1}{\beta }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-{\left|u\right|}^2\right)\text{d}x}\\ =-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(u\cdot \nabla \right)u\cdot u_t\text{d}x}\le c{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\cdot \nabla u\right|}^2\text{d}x}+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u_t\right|}^2\text{d}x},\end{array}$ (4.5)

再用NS₂方程$-\Delta u$ 做内积可得

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+\eta {\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2+\frac{\epsilon \beta }{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}{\left|\nabla {\left|u\right|}^2\right|}^2\text{d}x}+\epsilon {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(u\cdot \nabla \right)u\cdot \Delta u\text{d}x}\le \frac{c}{4}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\left(u\cdot \nabla \right)u\right|}^2\text{d}x}+\frac{\eta }{4}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\Delta u\right|}^2\text{d}x},\end{array}$ (4.6)

然后将(4.5)和(4.6)相加整理可得

$\begin{array}{l}{\Vert u_t\Vert }_{L^2}^2+\left(1+\eta \right)\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+\epsilon \frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(\frac{1}{\beta }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-{\left|u\right|}^2\right)\text{d}x}+\frac{3\eta }{2}{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2\\ +\epsilon \beta {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}{\left|\nabla {\left|u\right|}^2\right|}^2\text{d}x}+2\epsilon {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\le c{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\cdot \nabla u\right|}^2\text{d}x}\equiv J,\end{array}$ (4.7)

这里使用了Hölder’s不等式和Young不等式。再对J进行估计可得

$J\equiv {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\cdot \nabla u\right|}^2\text{d}x}\le C{\Vert u\Vert }_{L^6}^2{\Vert \nabla u\Vert }_{L^3}^2\le C{\Vert u\Vert }_{L^6}^2{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}{\Vert u\Vert }_{L^6}\le C{\Vert u\Vert }_{L^6}^3{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}\le \frac{\eta }{2}{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2+C{\Vert u\Vert }_{L^6}^6.$ (4.8)

这里使用Gagliardo-Nirenberg不等式。此外，由初等不等式可得

$\frac{1}{\beta }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-{\left|u\right|}^2\ge \frac{{\beta }^2{\left|u\right|}^6}{6}$ ，(4.9)

再将(4.7)、(4.8)和(4.9)结合可得

$\begin{array}{l}{\Vert u_t\Vert }_{L^2}^2+\left(1+\eta \right)\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+\epsilon \frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(\frac{1}{\beta }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-{\left|u\right|}^2\right)\text{d}x}+\eta {\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2+\epsilon \beta {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}{\left|\nabla {\left|u\right|}^2\right|}^2\text{d}x}\\ +2\epsilon {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\le C{\Vert u\Vert }_{L^6}^6\le C{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(\frac{1}{\beta }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-{\left|u\right|}^2\right)\text{d}x},\end{array}$

然后在$\left[0,T\right]$ 上积分可得

$\begin{array}{l}\left(1+\eta \right){\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+\epsilon {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(\frac{1}{\beta }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-{\left|u\right|}^2\right)\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert u_t\Vert }_{L^2}^2\text{d}t}+\eta {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2\text{d}t}\\ +\epsilon \beta {\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}{\left|\nabla {\left|u\right|}^2\right|}^2\text{d}x\text{d}t}+2\epsilon {\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x\text{d}t}}\\ \le {\Vert \nabla u_0\Vert }^2+\epsilon {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(\frac{1}{\beta }{\text{e}}^{\beta {\left|u_0\right|}^2}-{\left|u_0\right|}^2\right)\text{d}x}+C{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(\frac{1}{\beta }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-{\left|u\right|}^2\right)\text{d}x}.\end{array}$

再使用Gronwall不等式可得

$\begin{array}{l}\underset{0\le t\le T}{\sup }{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+\epsilon {\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(\frac{1}{\beta }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-{\left|u\right|}^2\right)\text{d}x}}+{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert u_t\Vert }_{L^2}^2\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2\text{d}t}\\ +\epsilon \beta {\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}{\left|\nabla {\left|u\right|}^2\right|}^2\text{d}x\text{d}t}}+2\epsilon {\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x\text{d}t}}\le C.\end{array}$

其中C与${\Vert u_0\Vert }_{L^2}^2$ 和${\displaystyle {\cap }_{4\le p<\infty }{L}^p\left({ℝ}^{+}\times {ℝ}^3\right)}$ 相关。

推论4.2.2 在定理4.2.1的条件下可以推导出

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{1}{\beta }{\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}\text{d}x}\le C+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^2\text{d}x}$ 和${\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^p\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{p}}\le C,\beta \ge 4.$

引理4.2.1介绍了带有阻尼项$\epsilon \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u$ 的NS方程存在三维整体强解u，Robinson证明了NS方程在小初值下有三维整体强解v，下面给出在相同的初值条件下两个解差的估计。

定理4.2.3 设$u,v$ 分别是3D-NS₂方程和3D-NS方程的强解，并且有相同的初值$u_0=v_0\in V\left({ℝ}^3\right){\displaystyle {\cap }_{4\le p<\infty }{L}^p\left({ℝ}^{+}\times {ℝ}^3\right)}$ ，则对于$\beta \ge 0$ ，差值$w=u-v$ 满足下面估计：

${\Vert w\Vert }_{L^2}^{ }\le \epsilon C{\text{e}}^{\frac{c}{\eta }t}$

并且当$\epsilon \to 0$ ，${\Vert w\Vert }_{L^2}^{ }\to 0$ 。

证明：由(4.2)知

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert w\Vert }_{L^2}^2+\eta {\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2=-b\left(w,u,w\right)-\langle \epsilon \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u,w\rangle$ ，(4.10)

先估计(4.10)中右边第一项，

$\left|-b\left(w,u,w\right)\right|=\left|b\left(w,w,u\right)\right|\le {\Vert w\Vert }_{L^4}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}{\Vert u\Vert }_{L^4}\le c{\Vert w\Vert }_{L^2}^{\frac{1}{4}}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^{\frac{7}{4}}{\Vert u\Vert }_{L^4}\le \frac{c}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2+\frac{\eta }{2}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2$ ，(4.11)

这里使用了Hölder’s不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式且第三个不等号使用了推论4.2.2中结论。再估计(4.10)中右边第二项

$\begin{array}{l}\left|\langle \epsilon \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u,w\rangle \right|\\ \le \epsilon c{\Vert \left({\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\right)u\Vert }_{L^2}^2+\frac{1}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon c{\Vert {\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\Vert }_{L^3}^2+\epsilon c{\Vert u\Vert }_{L^6}^2+\frac{1}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2\\ \le \epsilon c{\Vert {\text{e}}^{\beta {\left|u\right|}^2}-1\Vert }_{L^3}^2+\epsilon c{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+\frac{1}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon c+\frac{1}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2\end{array}$ (4.12)

这里使用Hölder’s不等式、Sobolev嵌入和Young不等式且第五个不等号使用了推论4.2.2。

然后将(4.11)和(4.12)代入到(4.10)中整理得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \frac{c}{\eta }{\Vert w\Vert }_{L^2}^2+\epsilon c.$

再利用Gronwall不等式可得

${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le {\text{e}}^{{\displaystyle {\int }_0^t\frac{c}{\eta }\text{d}s}}\left[{\Vert w_0\Vert }_{L^2}^2+{\displaystyle {\int }_0^t\epsilon c\text{d}s}\right]\le {\text{e}}^{\frac{c}{\eta }t}\left[{\Vert w_0\Vert }_{L^2}^2+\epsilon c\right]$ ，

由于${\Vert w_0\Vert }_{L^2}^2=0$ ，所以上式可以化简为

${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\le \epsilon Ct{\text{e}}^{\frac{c}{\eta }t}.$

由定理4.2.3易知，当$\epsilon \to 0$ 时，${\Vert w\Vert }_{L^2}^2\to 0$ 。